Despacho Economico

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Análise de Sistemas de Potência I 
Prof. Sergio Escalante, DSc. 
slescalante@ieee.org 
Pre-requisito: Circuitos III 
• Circuitos trifásicos equilibrados e desequilibrados. 
• Correção do fator de potência. 
• Sistema por unidade. 
• Diagramas unifilares, componentes simétricos. 
• Cálculo através de técnicas de circuitos, de 
curtocircuito 
• equilibrado e desequilibrado. 
Ementa: ASP - I 
• Introdução. 
• Representação dos componentes do sistema; 
• valor por unidade; 
• Estudo de sistema de energia elétrica em regime 
permanente; 
• Modelagem do sistema e análise do fluxo de potência; 
• aspectos computacionais do fluxo de potência. 
Bobliografia 
• Electric Energy Systems Theory: An Introduction -
O. I. Elgerd; 
• Computer Methods in Power System Analysis - 
G.W. Stagg and A. H. El-Abiad; 
• Solution of Large Networks by Matrix Methods - 
H.E. Brown 
• A. Monticelli, Fluxo de Carga em Redes de Energia 
Elétrica, Edgar Blucher, 1983 (Cap. 1-6). 
Operação Econômica de Sistemas de 
Potência 
Operação Econômica 
• A operação econômica de um sistema de potência: 
– “A operação do sistema elétrico de potência, para qualquer condição de 
carga, requer que a contribuição de cada unidade geradora seja determinada 
de modo a que o custo da potência fornecida seja mínimo”. 
• A programação da geração consiste em estabelecer metas de geração de 
cada unidade para diferentes horizontes de tempo, de modo que o custo 
seja mínimo. 
 
 
 
• Os fatores levados em consideração para a programação da geração: 
– Econômico (custo da geração); 
– Capacidade do sistema de transmissão; 
– Segurança (confiabilidade do suprimento, mínimo risco de falta de energia 
elétrica). 
• Plurianuais (5 a 10 anos); • Diárias; 
• Anuais; • Horárias (despacho na próxima hora); 
• Mensais; • Instantâneo (despacho econômico). 
Características das unidades geradoras 
• 1) Unidades térmicas a carvão, 
óleo, ou gás natural; 
– a) Custo da operação depende 
diretamente da potência gerada; 
– b) Não há, a princípio, limitação na 
quantidade de potência gerada em 
um período de tempo. 
• 2) Unidades nucleares; 
– a) O custo de operação é 
praticamente constante para 
qualquer potência gerada 
– a maior parte do custo é para a 
manutenção; 
– b) Usadas como usinas de base. 
• 3) Unidades hidrelétricas. 
– a) O custo de operação é 
praticamente zero, pois só 
depende do custo de manutenção; 
– b) Decisões operativas (quanto 
despachar na máquina) possuem 
acoplamento temporal, isto é, 
decisão tomada agora influi em 
decisão futura. A previsão da vazão 
dos rios é feita por séries 
históricas; 
– c) Usinas em cascata; 
– d) Afluência de rios; 
– e) Grandes reservatórios 
(regulação plurianual). 
 Usina que é normalmente operada para atender à demanda de energia de base, sendo operada sob carga constante. 
Operação Econômica de SEP 
• Problema da programação da geração no SISTEMA TERMICO: 
• a) Comissionamento de unidades (unit commitment); 
• Devido ao fato da carga total de um sistema elétrico de potência variar no 
decorrer do dia e atingir diferentes valores de pico de um dia para o outro, a 
concessionária de energia elétrica tem que decidir com antecedência quais 
geradores serão ligados, quando conectá-los ao sistema e também a sequência 
em que os geradores devem ser desligados e por quanto tempo. 
– i) Decidir quais unidades estarão 'on-line'; 
– ii) Questão do custo do 'start up' e 'shutdown'; 
– iii) Questão de reserva girante; iv) Horizonte de 24 horas; 
 
• b) Despacho econômico. 
– i) Decidir qual a melhor (custo mínimo) repartição de carga para as unidades 'on-line', 
– ii) Levar em consideração as perdas do sistema de transmissão e outras restrições 
operativas (segurança, confiabilidade etc). 
Operação Econômica de SEP 
• Problema da programação da geração no SISTEMA 
HIDRO-TERMICO: 
– a) Solucionar o mesmo problema para as unidades 
térmicas. 
 
– b) Solucionar o problema aumentado para as unidades 
hidrelétricas, no qual é preciso minimizar o custo acrescido 
do risco de falta de água. 
 
– 
Despacho econômico 
• Despacho econômico em sistemas térmicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Existe relação entre a vazão de combustível H ou C e a potência elétrica 
de saída Pe. A Figura mostra a curva entrada-saída ou 'Heat-rate 
characteristic‘. 
Turbina 
 P 
G T B 
Aux 
Caldeira Alternador 
Serviços 
Auxiliares 
 H 
2cba)( PPPH 
H : Potência térmica de entrada 
P : Potência eléctrica de saída 
a, b, c : Parâmetros característicos do grupo 
Custos 
• Custo de produção relativo ao combustível (Fig. A) 
 
 
 
• Custo marginal de produção (Fig. B) 
 
 
• Custo médio de produção (Fig. C) 
Pmin Pmax
C
us
to
 d
e 
pr
od
uç
ão
 
 
 
 
C
(P
) 
[€
/h
]
Potência eléctrica P [MW]
C : Custo de produção 
F : Custo do combustível 
Pmin Pmax
C
us
to
 m
ar
gi
na
l 
 
 
 
C
'(
P
) 
[€
/M
W
h]
Potência eléctrica P [MW]
Pmin Pmax
C
us
to
 m
éd
io
 
 
 
 
C
(P
)/
P
 [
€/
M
W
h]
Potência eléctrica P [MW]
P*
( )C P
P F
p P
 
   
 
a
b c
 '( ) 2C P P F b c
 2( )C P P P F  a b c
Fig. A Fig. B Fig. C 
Despacho econômico 
• Despacho econômico em sistemas térmicos 
• Curva: ‘Heat-rate characteristic’. 
 
• Como a curva varia incrementalmente, qual a 
relação ΔP×ΔC , ou seja, qual a curva de custo 
incremental. 
 
• é o custo marginal em $/MWh, 
 modelo do mercado atacadista de 
 energia (MAE) 
 
• 
Despacho econômico 
• Caso particular de 2 geradores sem perda na transmissão 
 
• O problema consiste em minimizar o custo da geração das duas 
máquinas, sujeito a restrição 
• P1 + P2 − PD = 0 , o que consiste em resolver o seguinte 
problema de otimização: 
• min( f ) = C (P1,P2 )= C1 (P1) +C2 (P2) , função objetivo, sujeito a 
• h = P1 + P2 − PD = 0 , função restrição. 
• A solução do problema são os valores de P1 e P2 de custo 
mínimo e que satisfaz ao conjunto de restrições. 
 
• 
Despacho econômico 
• Caso particular de 2 geradores sem perda na 
transmissão 
• O problema consiste em minimizar o custo da geração 
das duas máquinas, sujeito a restrição 
 
 
 
 
 
 
• 
Despacho econômico 
• Caso particular de 2 geradores sem perda na transmissão 
• Propriedades do gradiente de uma função: 
• a) É sempre perpendicular à curva de nível da função. 
– Definição do gradiente da função vetorial f: 
 
• b) O gradiente aponta para a direção de máximo crescimento 
local. 
– No ponto ótimo (mínimo) a curva de nível da função objetivo é 
tangente à curva da função restrição. 
– No ponto ótimo o gradiente da função objetivo ∇f está alinhado 
com a função restrição ∇h (mesma direção), logo são linearmente 
dependentes: 
– ∇f −λ ×∇h = 0 , que é a expressão que rege o processo de 
otimização. λ é conhecido como multiplicador de Lagrange. 
Método dos multiplicadores de Lagrange 
• a) Construir a função (objetivo ou custo) 
aumentada ou Lagrangeano. 
• L = f −λ × h 
• b) A solução ótima ocorre quando ∇L = 0 
– Interpretação da solução para o caso dos dois 
geradores.  ∇L = 0 
 
 
 
– Resolvendo: 
– 
Método dos multiplicadores de Lagrange 
• b) A solução ótima ocorre quando ∇L = 0 
– Interpretação da solução para o caso dos dois 
geradores.  ∇L = 0 
 
 
 
– Caso geral: L = f −λ × h 
 
 
 
 
 
– 
A condição necessária para que um ponto de operação seja 
de custo mínimo é que os custosincrementais dos geradores 
sejam iguais a um valor λ, que por sua vez pode ser 
calculado pelo método dos multiplicadores de Lagrange. 
Método dos multiplicadores de Lagrange 
• b) A solução ótima ocorre quando ∇L = 0 
– Caso geral: L = f −λ × h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– 
Exemplo 
• A Figura mostra dois geradores que alimentam carga 
de 500,0 MW no próprio barramento do gerador. 
Determinar o custo total mínimo de geração CT
(mínimo). 
 
 
 
 
• Considere que não há perdas na transmissão 
 
Solução 
• Determinar o custo total mínimo de geração CT
(mínimo). 
 
 
 
 
 
 
– Colocando-se o sistema em forma matricial: 
 
• 
Solução 
• Determinar o custo total mínimo de geração CT
(mínimo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 
Solução 
• Determinar o custo total mínimo de geração CT
(mínimo). 
 
 
• Solução do sistema: 
 
 
 
• Custo mínimo total: 
 
• 
Outras restrições 
• Outras restrições que devem ser consideradas no processo 
de otimização: 
– Capacidade da máquina; 
– Perdas na transmissão; 
– Capacidade da transmissão. 
 
• Se a otimização envolver perda reativa, o problema fica não 
linear. Será, portanto necessário usar um programa de fluxo 
de potência ótimo, que consiste em rodar um load flow 
sujeito a restrições, como mínima perda nas linhas e mínimo 
custo de geração. 
Extensão para o caso de n geradores 
• Sistema de n geradores sem perdas na transmissão 
 
 
 
– Solução: 
 
 
 
 
 
– Solução ótima: 
Com de limite na capacidade de geração 
• Entende-se por limite na capacidade de geração se pelo menos uma das 
máquinas não puder atender à geração para ela especificada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Não se pode usar o multiplicador de Lagrange com esta formulação, pois 
este só funciona para igualdade nas equações de restrição. 
Com de limite na capacidade de geração 
• Estratégia de solução: 
 
 
• onde são positivos e são chamadas de variáveis de folga. 
• O problema fica agora com 3×n variáveis e pode-se usar o método dos 
multiplicadores de Lagrange. 
• Rodar o problema sem se considerar as restrições. Se pelo menos um gerador 
ultrapassar o limite, estes têm a geração fixada no limite. Os demais geradores 
são despachados obedecendo a regra dos custos incrementais iguais. Pode-se 
também ajustar máquina a máquina. 
 
 
 
• . 
2 2
1 2 e i is s
Com de limite na capacidade de geração 
 
 
 
 
 
 
• Solução considerando as restrições: 
 
 
• 
Exemplo 
• Determinar λ para diferentes condições de carga. 
• Sejam duas máquinas ligadas ao mesmo barramento da carga, 
isto é, sem perdas, e que todas as máquinas estão o tempo todo 
ligadas. 
 
 
 
 
 
• Condição de carga mínima: PD = 250,0 MW 
• Condição de carga máxima: PD = 1250,0 MW 
• Condição de carga : 250,0 < PD < 1250,0 MW 
 
Solução 
• (a ) Condição de carga mínima: PD = 250,0 MW: 
 
 
 
 
 
 
• Montando o sistema matricialmente: 
 
• 
 
Solução 
• (a ) Condição de carga mínima: PD = 250,0 MW: 
 
 
 
 
 
 
 
• Solução: 
 
• P1 passou do limite inferior que é de 100,0 MW → P1 = 100,0 MW, 
• P2 deve ser ajustado para P2 = 250,0 – 100,0 → P2 = 150,0 MW 
 
Solução 
• (a ) Condição de carga mínima: PD = 250,0 MW: 
– P1 = 100,0 MW e P2 = 150,0 MW 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 
Solução 
• Determinação do custo 
Solução 
• (a ) Condição de carga máxima: PD = 1250,0 MW: 
 
 
 
 
 
 
• Montando o sistema matricialmente: 
 
• 
 
Solução 
• (a ) Condição de carga mínima: PD = 250,0 MW: 
 
 
 
 
 
 
 
• Solução: 
 
• P2 passou do limite superior que é de 625,0MW → P2 = 625,0 MW, 
• P1 deve ser ajustado para P1 = 1250,0 – 625,0 → P1 = 625,0 MW 
 
Solução 
• (a ) Condição de carga mínima: PD = 250,0 MW: 
– P1 = 625,0 MW e P2 = 625,0 MW 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 
Solução 
• Tomada de carga para valores: 250,0 < PD < 1250,0 
– Se preciso de 1,0 MW, a máquina 2 é que deve suprir esta potência pois tem 
custo menor. Isto ocorre até λ = 8,8. (parte a do problema) 
 
– i) De PD > 250,0 MW até λ2 = λ1 = 8,8 que corresponde a PD = 350,0 MW → P2 
supre demanda. 
– λ2 = 8,8⇒ P2 = 250,0 MW. 
– ii) Se PD = 350,0 MW, λ2 = λ1 = 12,4 que corresponde a PD = 1.175 MW → P1 e 
P2 suprem demanda juntos com o mesmo λ. 
– λ1 = 12,4 → P1 = 550,0 MW. 
– iii) De PD > 1.175,0 MW, até 1.250,0 MW → P1 supre a demanda. 
 
• 
Solução 
• Resumo do despacho de carga nas várias 
condições de carga: 
Exemplo A 
• Considere que um sistema de potência é alimentado por três 
unidades geradoras térmicas, cujas funções de taxa de calor H e 
limites de geração são dados na Tabela. O combustível para a 
unidade 1 é carvão, enquanto que as unidades 2 e 3 são a óleo. 
Sabendo-se que os preços destes combustíveis são: fcarvao = 1,10 
$/MBtu e fóleo = 1,00 $/MBtu e que a carga a ser alimentada é PL 
= 850 MW, determine o despacho econômico das três unidades. 
 
 
 
• 
Solução 
• >> parte-se da premissa de que as três 
unidades devem estar em operação, conforme 
previamente determinado pela função de 
Alocação de Unidades. 
• Isto significa que cada uma delas deve no 
mínimo gerar uma potência igual ao seu limite 
mínimo de geração. 
• A partir dos preços dos combustíveis e dos 
dados da Tabela, e 
 
 
• podemos determinar as funções-custo em $=h 
das três unidades, que são dadas na Tabela ao 
lado. 
fcarvao = 1,10 $/MBtu 
fóleo = 1,00 $/MBtu 
Solução 
• Para determinar o despacho econômico, 
ignoraremos por enquanto os limites de 
geração, supondo portanto que todas as 
máquinas estão livres. 
• De acordo com as condições de otimalidade, 
teremos neste caso que satisfazer as 
condições: 
 
 
 
• Além disso, a restrição de balanço de carga 
deve ser satisfeita, 
• 
Despacho com Funções-Custo Lineares 
• Despacho Econômico com Funções-Custo 
Lineares por Partes: 
• Algumas empresas representam as funções-
custo de seus geradores como funções 
formadas por múltiplos segmentos lineares, 
como mostrado no na Figura 
• Neste caso, o procedimento para 
determinar o despacho econômico pode ser 
consideravelmente simplificado. 
 
• Este procedimento é frequentemente 
referido como empilhamento. 
Despacho com Funções-Custo Lineares 
• Considerando todas as unidades que estão em 
serviço, começamos coma de menor custo 
incremental a partir de 
• Quando o custo da unidade de menor custo 
incremental atinge o limite superior de seu 
segmento linear, ou se atinge , procuramos a 
unidade com o próximo custo incremental mais 
baixo e aumentamos sua geração; 
• Chegaremos …finalmente à situação em que a geração 
de uma unidade está sendo aumentada e o total de 
toda a potência gerada iguala a carga (ou carga + 
perdas de transmissão). 
• Neste ponto, esta última unidade é parcialmente 
carregada (sobre o segmento respectivo). Se houver 
duas unidades com o mesmo custo incremental, 
simplesmente dividiremos igualmente a carga entre 
as mesmas. 
Despacho com Funções-Custo Lineares 
• Este procedimento pode ser operacionalizado 
com o auxílio de uma tabela contendo cada 
segmento de cada unidade e sua respectiva 
contribuição em MW (isto é, a potência do 
extremo direito do segmento menos a potência 
do extremo esquerdo). 
• Em seguida, esta tabela é organizada em ordem 
crescente dos custos incrementais de todas as 
unidades disponíveis para despacho. 
• A busca de cima para baixo na tabela 
proporciona a solução do problema de 
despacho econômico de forma bastante 
e…ficiente. 
Exemplo 
• Considere o caso deduas unidades geradoras cujos custos 
incrementais em $/MWh são dadas nos gráfi…cos da Figura. 
Supondo carregamentos variáveis desde 70 a 380 MW, 
construa uma tabela que forneça, para cada carregamento, 
o despacho mais econômico. 
 
 
 
• 
Solução 
• A partir das características de 
custo incremental, podemos 
construir a Tabela 
 
 
 
 
 
• 
Solução 
• Com a tabela podemos 
determinar o despacho ótimo 
para uma dada carga. 
– Por exemplo, para um 
carregamento PL = 300 MW, a 
tabela indica que a unidade 2 
deverá gerar 125 MW, enquanto 
que a unidade 1, que é a unidade 
que acompanha o crescimento da 
carga na faixa de 275 a 325 MW, 
deve gerar 175 MW. 
– O custo marginal do sistema para 
este carregamento é igual ao 
custo incremental da unidade 1, 
ou seja, = 10 $=MWh. 
Solução 
• Este método é particularmente útil 
nos casos em que a operação do 
sistema é baseada em ofertas de 
energia feitas pelos agentes 
geradores, 
– Operador do sistema vai 
selecionando as ofertas de geração 
de forma a se obter a operação mais 
econômica possível. 
• Neste caso, cada agente gerador 
oferta blocos de energia com preços 
crescentes com o nível de potência, 
em uma configuração similar à 
descrita pelas curvas de custo 
incremental de geração. 
O procedimento adotado pelo 
ONS é essencialmente o 
empilhamento das ofertas em 
função dos respectivos preços. 
Exercício 
• [Hadi Saadat, Ex. 7.4, página 271] Os custos de produção em $/h 
de três unidades térmicas são dados por 
 
 
 
• sendo P1, P2 e P3 dados em MW. A carga total, PD, é 800 MW. 
Desconsiderando as perdas nas linhas e os limites de produção 
dos geradores, determinar o despacho ótimo das unidades e o 
custo total em $/h 
– usando um método analítico 
– utilizando um método gráfico 
Parte da Solução 
• Curva do custo incremental 
Exercício 
• [Hadi Saadat, Ex 7.6, página 277] Os custos de produção em 
$/h e os limites de três unidades térmicas são dados por 
 
 
 
 
• sendo P1, P2 e P3 dados em MW. A carga total, PD, é 975 
MW. Desconsiderando as perdas nas linhas, determinar o 
despacho ótimo das unidades e o custo total em $/h. 
Exercício 
• [William Stevenson, Ex. 9.4, página 263] Uma usina tem dois 
geradores suprindo o barramento da usina, e a nenhuma delas é 
permitido operar abaixo de 100 MW ou acima de 625MW. Os 
custos incrementais com P1 e P2 dados em megawatt são: 
 
 
 
 
• Encontre  da usina para um despacho econômico com: 
• (a ) P1 + P2 = 200 MW 
• (b ) P1 + P2 = 500 MW 
Programa computacional 
• NEWAVE - Modelo de Planejamento da Operação de Sistemas 
Hidrotérmicos Interligados de Longo e Médio Prazo 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 
Custo de alguma usinas térmicas