Aula 08 Noções sobre Probabilidade(1)

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NOÇÕES SOBRE PROBABILIDADE 
Paulo E. Cabral Filho 
 
pauloeuzebio03@gmail.com 
Recife, 2018 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CENTRO DE BIOCIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE BIOFÍSICA E RADIOBIOLOGIA 
Probabilidade 
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, 
dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos 
de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se 
calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. 
 É aquele experimento que quando repetido em iguais 
condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, 
são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de 
tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem 
envolve cálculo de experimento aleatório. 
Experimento Aleatório 
Probabilidade 
Experimento Aleatório 
Jogar um dado 
Condição Climática para o domingo 
Resultado de um exame de sangue 
Probabilidade 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S ou ꭥ. 
Espaço Amostral 
Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, 
simultaneamente, sendo S o espaço 
amostral, constituído pelos 12 elementos: S 
= {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, 
R6} 
Probabilidade 
Espaço Amostral 1. Lançamento de um dado. 
 S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
2. Exame de sangue (tipo sanguíneo) . 
S = {A, B, AB, O} 
 
3. Hábito de fumar. 
S = {Fumante, Não fumante} 
 
4. Tempo de duração de uma 
lâmpada. 
S = {t: t ≥ 0} 
Probabilidade 
É o subconjunto do espaço amostral S. Notação: A, B, C.... 
Evento 
Exemplo: Lançamento de um dado 
 
Alguns eventos: 
A: sair face par A = {2, 4, 6} ⇒ ⊂ S 
B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} ⇒ ⊂ S 
C: sair face 1 C = {1} ⇒ ⊂ S 
Operações com Eventos 
Probabilidade – O Conceito 
Probabilidade – O Conceito 
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então 
a probabilidade de ocorrer um evento A é: 
 
 
 
 
 
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 
maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6 = 1/2 = 50% 
 
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos 
elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. 
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de 
um evento A é sempre: 
Probabilidade – O Conceito 
Pergunta: Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? 
 
Duas maneiras: 
 
1. Através das freqüências de ocorrências: Observamos o fenômeno aleatório n 
vezes e determinamos a frequência relativa com que cada resultado ocorre. 
Para um número grande de realizações, a frequência relativa poderia ser 
utilizada como probabilidade. 
 
 
2. Através de suposições teóricas: Por exemplo, no lançamento de um dado, 
admitindo que o dado é perfeitamente equilibrado, P(face 1) = ... = P(face 6) 
= 1/6 
Exemplo 
Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados do censo demográfico de 1991 (IBGE) 
de 101.850 habitantes de Sergipe, na faixa etária de 20 a 24 anos com 
informações sobre SEXO e se SABE LER. 
Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe. 
Exemplo 
Ω : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. 
Definimos os eventos: 
M: jovem sorteado é do sexo masculino; 
F : jovem sorteado é do sexo feminino; 
L : jovem sorteado sabe ler; 
N : jovem sorteado não sabe ler. 
P(M) = 48.249/101.850 = 0,474 
 
P(F) = ? 
P(L) = ? 
P(N) = ? 
Exemplo 
Ω : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. 
Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler e ser do sexo masculino? 
 
M ∩ L: jovem sorteado sabe ler e é do sexo masculino 
39.577/101.850 
 
Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler ou ser do sexo masculino? 
 
M ∪ L: jovem sorteado sabe ler ou é do sexo masculino 
 
(85881 + 48249 – 39577)/101.850 
 
Regra da Adição de Probabilidades 
Sejam A e B eventos de S. Então, 
 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
 
Consequências: 
 
Se A e B forem eventos disjuntos, então: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
 
Para qualquer evento A de S, 
P(A) = 1 - P(Ac). 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
INDEPENDÊNCIA 
Probabilidade condicional: 
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado 
que ocorreu B, é representada por P(A | B) e dada por 
 
P(A | B) = P(A ꓵ B)/P(B) -> P(B) > 0 
 
Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do 
produto de probabilidades . (“OU”) 
 
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B). 
 
Analogamente, se P(A) >0, 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
INDEPENDÊNCIA 
Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler sabendo-se 
que é do sexo masculino? 
 
Temos: P(L|M) = 39.577/48.249 = 0,82 
 
 
 
Pela Definição: 
P(L | M) = P(L ꓵ M)/P(M) 
 
Quem vem? 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
INDEPENDÊNCIA 
Independência de eventos: 
Dois eventos A e B são independentes se a informação da 
ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência 
de A, isto é, 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B). 
 
 
“E” 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
INDEPENDÊNCIA 
Exemplo1: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 
1/3 e a de Madalena é 2/3. 
 
Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? 
 
A: Jonas é aprovado B: Madalena é aprovada 
P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9 
 
Qual a suposição considerada? 
2/9 é a probabilidade de madalena ou Jonas serem aprovados. 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
INDEPENDÊNCIA 
Exemplo2: Qual a probabilidade do primeiro filho de Marília ser 
do sexo feminino? 
 
 
 
Exemplo3: Qual a probabilidade do primeiro filho de Marília ser 
do sexo feminino e o segundo do sexo masculino?