Trabalho Sinais e Sistemas

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Virginia Rabello 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à disciplina de Sinais e Sistemas orientada pelo 
docente Renan Caron Viero com o objetivo de estudar a obtenção da 
resposta forçada de sistemas contínuos usando a função de 
transferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porto Alegre, 2018. 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução 3 
2. Função de Transferência 3 
3. Resolução do sistema proposto 3 
4. Obtenção da Resposta Forçada 4 
5. Conclusão 7 
6. Referência 7 
 
1. Introdução 
O estudo e controle de sistemas tem sido 
deliberadamente essencial em diversas áreas 
da engenharia. Compreender o 
comportamento de um sistema possibilita a 
utilização de métodos para modificá-lo e 
ganhar desempenho. 
Neste estudo, pretende-se encontrar a 
resposta forçada de um filtro contínuo 
passa-baixa através da função de 
transferência. Com generalidade, define-se 
sistema contínuo como uma estrutura 
organizada de transferência de um sinal (t)u
noutro sinal ambos existentes no tempo (t)y 
contínuo . Se representar t [.]T 
simbolicamente o operador de transferência, 
então escreve-se: 
(t) [U (t)]y = T 
A dá-se o nome de entrada ou estímulo e (t)u 
a de saída ou resposta e pode ser (t)y 
representado na forma esquemática 
apresentada na Figura 1. 
 
Figura 1 - Representação esquemática de um 
sistema contínuo 
2. Função de Transferência 
Para utilizar a ferramenta da função de 
transferência, é necessário relembrar que 
utiliza-se a Transformada de Laplace 
representada por que trata de um sinal (s)X 
no domínio do tempo transformando-o para 
um sinal situado no domínio da variável 
complexa da Transformada, tal operação é s 
dada por: 
Também pode ser encontrada em algumas 
literaturas com a seguinte forma: 
A Função de Transferência é definida (s)H 
como a razão entre a Transformada de 
Laplace da saída e a Transformada de 
Laplace da entrada de um sistema, 
considerando que as condições iniciais são 
nulas, ou seja: 
 
 
 
 
3. Resolução do sistema proposto 
Um filtro passa-baixa, apresenta a seguinte 
função de transferência: 
 
Sendo: e a = 6 b = 9 
Usando a transformada de Laplace temos: 
 
Y (s) y(0) (0) (sY (s) (0)) 0Y (s) 0X(s)s2 − s − y + 2
9 − y + 6 = 6 
 
Como não temos condições iniciais, sy(0)=0 e 
y(0)=0, retirando esses termos temos: 
 
Y (s) sY (s) 0Y (s) 0X(s)s2 + 2
9 + 6 = 6 
(s)(s s 0) 0X(s)Y 2 + 2
9 + 6 = 6 
(s)H = X(s)
Y (s) = 60s + s+602 29
 
 
Conferindo H(s) na ferramenta Octave: 
 
Figura 1 - H(s) no Octave 
 
Os polos são os valores de “s” que fazem 
com que H(s) tenda ao infinito, ou seja, as 
raízes da equação de segundo grau do 
denominador. 
 
 ⇒2×1
− ±2
9 √( ) −4×1×6029 2
 s =− −j7,412 4
9
 s =− +j7,41 1 4
9
 
 
A equação não possui ​nenhum zero ​​já que 
não existe valor de “s” que faça com que H(s) 
tenda a zero. 
 
A ferramenta Octave confirmou os cálculos: 
 
 
Figura 2 - Pólos no Octave 
 
 
Figura 3 - Diagrama de pólos 
 
Os comandos a seguir criam a Função de 
transferência e declara um intervalo de tempo 
para avaliar a saída. 
 
Figura 4 - Criando intervalo de tempo 
4. Obtenção da Resposta Forçada 
Utilizando as instruções do tópico 2.5-1 do 
livro “Sinais e Sistemas Lineares B. P. Lathi” 
iniciado na página 185, vamos calcular a 
resposta forçada do sistema proposto (t)yØ 
para as seguintes entradas: 
 
a) (t) (t)x = u 
b) (t) os( ) x = c √ a10 × t 
c) (t) os( )x = c √a × t 
d) (t) os( )x = c √10 × a × t 
 
Sendo que .a = 6 
 
Sabemos que no domínio de “s”, , ω s = j + σ 
para todos os casos de cosseno em x(t) temos 
que σ=0 e ω=k, sendo k uma constante. 
Substituindo “s” na equação de transferência, 
temos: 
(jω )H + 0 = 60(jω+0) + (jω+0)+602 29
 
Logo: 
 
Figura 5 - Definição das entradas 
 
Para plotar as respostas forçada no Octave 
utiliza-se: 
 
 
Figura 6 - Comandos para plotar as saídas 
 
a) Vamos retomar a equação diferencial 
do filtro e usar o método de coeficientes 
indeterminados: 
 
Substituindo a=6 e b=9, temos: 
(t) , y (t) 0y(t) 0x(t) y′′ + 4 5 ′ + 6 = 6 
(t) t t yØ = β2
2 + β1 + β0 
(t) t y′Ø = 2β2 + β1 
(t) y′′Ø = 2β2 
 
Sabemos que x(t)=u(t) e que u(t) é a função 
degrau definida por: 
 
, t 1 ≥ 0 
, t 0 < 0 
 
Logo, substituindo na equação do filtro, temos: 
 
, (2β t ) 0(β t t ) 02β2 + 4 5 2 + β1 + 6 2
2 + β1 + β0 = 6 × 1 
β t , β 0β t 0β t 0β 02β2 + 9 2 + 4 5 1 + 6 2
2 + 6 1 + 6 0 = 6 
 
Igualando os coeficientes de potência similar 
temos: 
0β 6 2 = 0 
 9β 0β 2 + 6 1 = 0 
 , β 0β 0 2β2 + 4 5 1 + 6 0 = 6 
 
Resolvendo o sistema encontramos: 
; β ; β ; β0 = 1 1 = 0 2 = 0 
Portanto, a solução para a resposta forçada é: 
(t) t yØ = 1 > 0 
 
 
Figura 7 - Resposta forçada Letra a 
 
 
 
 
b) Como , então a entrada será, 7 √ 610 ≃ 0 7 
, ω=0,77.(t) os(0, 7 ) x = c 7 × t 
 
(j0, 7)H 7 = 60(j0,77) + (j0,77)+602 29
 
(j0, 7)H 7 = 60j 0,6+ j +3,47+602 29
 
(j0, 7)H 7 = 60−0,6+ j + 63,4729
 
(j0, 7)H 7 = 604,5j + 62,87 
(j0, 7)H 7 = 60∟0°63,03∟4,1° 
, 5H(j0, 7)| 7 | = 6062,87 ≃ 0 9 
H(j0, 7) − , ∟ 7 = 4 1° 
(t) , 5 cos(0, 7t , ) yØ = 0 9 7 − 4 4° 
 
Figura 8 - Resposta forçada Letra b 
 
c) Como , então a entrada será, 5√6 ≃ 2 4 
, ω=2,45..(t) os(2, 5 ) x = c 4 × t 
 
(j2, 5)H 4 = 60(j2,45) + (j2,45)+602 29
 
(j2, 5)H 4 = 60j 6+ j +11,03+602 29
 
(j2, 5)H 4 = 60−6+ j + 71,0329
 
(j2, 5)H 4 = 604,5j + 65,03 
(j2, 5)H 4 = 60∟0°65,19∟3,96° 
, 2H(j2, 5)| 4 | = 6065,03 ≃ 0 9 
H(j2, 5) − , 6 ∟ 4 = 3 9 ०
 
(t) , 2 cos(2, 5t , 6 ) yØ = 0 9 4 − 3 9
о 
 
Figura 8 - Resposta forçada Letra c 
 
d) Como , então a entrada será, 5√60 ≃ 7 7 
, ω=7,75..(t) os(7, 5 ) x = c 7 × t 
 
(j7, 5)H 7 = 60(j7,75) + (j7,75)+602 29
 
(j7, 5)H 7 = 60j 60+ j +34,87+602 29
 
(j7, 5)H 7 = 60−60+ j +94,8729
 
(j7, 5)H 7 = 604,5j + 34,87 
(j7, 5)H 7 = 60∟0°35,15∟7,35о 
, 1H(j7, 5)| 7 | = 6035,15 ≃ 1 7 
H(j7, 5) − , 5 ∟ 7 = 7 3 о 
(t) , 1 cos(7, 5t , 5 ) yØ = 1 7 7 − 7 3
о 
 
 
Figura 9 - Resposta forçada Letra d 
 
5. Conclusão 
O sistema tende a se estabilizar quando t tende ao 
infinito pois os pólos estão do lado negativo do 
sistema de eixos, as plotagens confirmaram a 
estabilidade do sistema para todas as entradas. A 
ferramenta Octave confirmou todos os cálculos e 
auxiliou para obtermos as respostas forçadas 
facilmente. A Função de transferência é uma 
ferramenta essencial para obter a resposta forçada 
de sistemas de uma forma simples e rápida. 
 
6. Referência 
LATHI, B. P. ​Sinais e Sistemas Lineares​​. 2. ed. 
Porto Alegre. Bookman, 2004. 185-189 p.