Aplicações das Séries de Fourier

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Aplicações das Séries de Fourier
Antonio Pereira de Camargo Junior
Instituto Federal do Paraná - Campus Paranaguá Rua Antonio Carlos Rodrigues, 61- Porto Seguro e-mail: Antonio.junior1305@gmail.com
	não ocorre com as séries de Taylor
	
O propósito da Análise de Fourier é relacionar os fenômenos periódicos, que ocorrem com freqüência principalmente em engenharia, e também com aplicações na física e na matemática. Com isso, pode-se procurar compreender tais funções periódicas, estas funções podem ser um tanto complicadas, contudo, podem ser representadas por meio de funções periódicas simples, como senos e cossenos, tais representações serão infinitas, chamadas de Séries de Fourier, que constituem uma ferramenta muito importante para solucionar problemas envolvendo EDOs e EDPs. As Séries de Fourier, num certo ponto, são mais universais que as conhecidas séries de Taylor do cálculo, porem muitas funções periódicas descontinuas podem ser aplicadas em Séries de Fourier, o que Palavras-chave: Funções periódicas, Séries de Fourier, aplicações.
1. INTRODUÇÃO
Jean Baptiste Joseph Fourier viveu na época de Napoleão, para quem trabalhou na França e no Egito, Fourier antecipou a idéia de expandir uma função f em uma série de funções trigonométricas e até hoje deslumbram matemáticos, físicos, estatísticos e engenheiros. No inicio dos anos de 1800 desenvolveu suas séries ao estudar a propagação de calor e levando em conta que a forma mais simples de uma onde é uma função senoidal, onde demonstrou que, qualquer função por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.
As séries de Fourier foram introduzidas precisamente, a propósito da resolução das equações diferenciais parciais, consideradas para propagação de ondas e difusão do calor, e foi com base na resolução da equação das ondas que motivou a consideração e o estudo destas séries que são aplicadas para a resolução da equação das ondas não amortecida e amortecida, da equação do calor e da equação de Laplace. Contudo, temos aplicações que transcendem muito a simples utilização para resolução de equações diferenciais.
A resolução de problemas de ciência e de engenharia, necessita de formulação matemática, solução e interpretação física. Esses modelos matemáticos servem para a aproximação dos objetos de estudo. Por exemplo: para investigar o movimento da terra, ou de outro planeta, em torno do sol, podemos escolher pontos como modelos matemáticos do sol e da terra . As séries de Fourier são de extrema importância para auxiliar a resolver esses tipos de problemas, que surgem na engenharia e na física e, a seguir veremos alguns exemplos desses problemas que possam ser empregadas as Séries de Fourier.
3. ASPECTOS TEÓRICOS PARA DESENVOLVER AS SÉRIES DE FOURIER 3.1 Função periódica, par e impar
Função periódica: as séries de Fourier são a ferramenta básica para se representar as funções periódicas, as quais desempenham um importante papel nas aplicações. Segundo o artigo (Aplicações às Séries de Fourier); uma função é periódica quando, f(x) for definida para todo x real, e se existir algum numero p positivo, o período fundamental é o menor período que a função pode ter, denominado período de f(x), tal que:
f(x) = f(x + p) (1) O gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de comprimento P (Fig. 1.1)
Figura 1.1 Função periódica
Funções periódicas conhecidas são a seno e cosseno. Se f(x) tem período p, ela também tem o período 2p, pois Fig. 1.1 implica que f(x +2p) = f([x + p]) + p) = f(x + P) = f(x), portanto para qualquer inteiro n = 1, 2, 3,...,
	f(x) = f(x + np)
	(2)
Vale ressaltar a importância de relembrar alguns conceitos básicos quanto à paridade das funções.
Função par: Para qualquer x do seu domínio: f(x) = f(-x) x ɛ X. - O domínio é simétrico a origem e o gráfico é simétrico ao eixo y.
Exemplo: f (x) = x²
Figura 1.2 função par
Função Impar: Para qualquer x do seu domínio: f(x) = -f(-x) x ɛ X - O seu domínio e seu gráfico são é simétrico em relação à origem
Figura 1.3 função impar
3.2 Séries de Fourier
	funções simples: 1, cos x, sen x, cos 2x, sem 2x
	, cós nx, sem nx,...
As séries de Fourier são do tipo trigonométrica, e varias dessas funções f(x) terão período 2π em termos de
Todas essas funções tem período 2π. E representam o chamado sistema trigonométrico. (Gomes, 2015). Uma forma de representar funções é através de polinômios utilizando a série de Taylor, por exemplo. Seja uma função f(x) infinitamente diferenciável no ponto x = a, então a serie de Taylor é dada por:
	afxf
	(3)
axn Podemos descrever uma função em séries trigonométricas e, representar a serie de Fourier da seguinte maneira.
= l xnsenbl xnaaxf n
A série acima é denominada de Serie de Fourier, onde 0a, na, nb são coeficientes da série. Nota-se que (4) é uma função periódica com período fundamental 2 l. Os coeficientes da série de Fourier de f(x) dados a partir das Fórmulas de Euler.
l dxxfla 21
	0
	(5)
n dxl xnxfl
	; 1,2,3
	(6)
a πcos1
( ) dxl xnsenxfl
	; 1,2,3
	(7)
É importante ressaltar que 0aé o valor médio da função.
3.3 Convergência e Soma de uma série de Fourier
“De acordo com (Kreyszig, 2009)”, a classe das funções que podem ser representadas por séries de Fourier é surpreendentemente grande e geral. Existem certas condições para uma função ser representada por série de Fourier, logo mostraremos uma que abrange a maioria dos casos.
Teorema: Teorema da convergência de Fourier (Gomes, 2015). Seja f com período 2 l, e seja f e f ’ seccional mente continua em [-l, l]. Então a série de Fourier converge para f(x) quando for continua, e para o valor médio ()()[]2−++ xfxf(a média dos limites a esquerda e a direita) quando em ponto x de f é descontinuo.
“Segundo (Zill et al. 2009)”, ao determinar os coeficientes 0a, nae nb, considere-se que f é integrável no intervalo e que a Eq.(4) , converge de tal modo a permitir a integração de termo a termo.
4. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO:
4.1 ONDA QUADRADA: No artigo de (Teixeira et al. 2004). Um exemplo da utilização da série de Fourier de uma função periódica simples é a onda quadrada como mostra a Fig. 1.4, que é uma forma de onda básica encontrada freqüentemente nas áreas da eletrônica e do processamento de sinais, ela alterna regularmente e instantaneamente entre dois níveis.
Figura 1.4 Onda quadrada
Pode-se determinar a série da onda quadrada mostrada na Fig. 1.4 por meio do uso dos calculos dos coeficientes da série de Fourier, a função apresenta a seguinte forma analitica abaixo:
	(8)
	
4.2 CIRCUITO ELÉTRICO
No trabalho de (Butkov, 2011). O circuito elétrico mostrado na Fig. 1.5 está sujeito a uma força eletromotiva variável E(t) periódica (não necessariamente senoidal). A resposta do sistema, a corrente I(t), deve ser encontrada. Sabe-se que a função I(t), deve satisfazer a equação diferencial, (neste artigo não iremos nos aprofundar em equações diferenciais, pois a intenção maior é apresentar exemplos das Séries de Fourier).
Cdt dIRdt
	IdL=++
	(9)
Sob condições de estado constante a função I(t) é também periódica, com o mesmo período T que E(t). Suponhamos que E(t) e I(t) possuam desenvolvimentos de Fourier (escritos sob forma complexa):
	inwtnectI)( )/2(Twπ=
	(10)
Figura 1.5 Circuito Elétrico
As series podem ser diferenciadas termo a termo o quanto for necessário, após feitas as substituições necessárias, nos dois lados da equação obtemos:
n E nwiwnw
	=
	(1)
LnwiC α+−
Em que CLw/120= é a freqüência natural do circuito, e LR/2=αé o fator de amortecimento do circuito.
Assim o problema está essencialmente resolvido, pois podemos obter os coeficientes de I(t) a partir dos coeficientes de Fourier de E(t) que
	inwtndtetETE
	(12)
Observação: De acordo com (Butkov, 2011), é importante salientar que, para admitir a diferenciação termo a termo, se as sériesde E’ e I’ convergirem uniformemente, a validez de tal procedimento é garantida. Porem, em particular pode-se mostrar que o resultado é valido desde que a séries de Fourier de E(t) exista, não importando a convergência uniforme da série da derivada.
5. RECURSO COMPUTACIONAL
Neste recurso mostraremos o gráfico da onda quadrada, fazendo uso do software VCN cálculo numérico, demonstrando como se comporta a serie de Fourier nessa aplicação, e também os cálculos dos coeficientes da série, para termos um bom entendimento e a familiarização das Séries de Fourier nos nossos estudos. A função da Onda Quadrada representada pela Fig. 1.4 é representada pela função da Eq.(8), o período fundamental é 2l, período é 2π, logo π=l .
Fazendo uso da Eq.(5), obtemos para o valor de 0=a, Eq.(6) obtém o valor para 0=na, e fazendo utilização da Eq.(7), montando a integral dessa função temos dxxnsendxxnsenbn∫∫
πππ π 0 obtemos o valor para de[])cos(12ππnnbn−=, atribuindo valores para os três primeiros termos da serie, e substituindo na Eq.(4), obtemos a seguinte série de Fourier. Se n for igual a um número par 0=nb, e se n for igual a um número ímpar πnbn 4 =.
Logo, pode-se obter a série de Fourier da função f(x) como sendo igual a:
	( ) ( ) ( ) ( )
	5
	de harmônicos
	
Os gráficos abaixo mostram a função original da onda quadrada Fig. 1.4, e após ser aplicada a série de Fourier nestes, podemos identificar as oscilações harmônicas aplicadas nessa função se aproximando da função original, à medida que estes aumentam os gráficos se aproximam cada vez mais, contudo que seja aplicado um numero limitado Gráfico 5.1 Dez harmônicos
Gráfico 5.2 Cinqüenta harmônicos
Gráfico 5.3 Cem harmônicos Gráfico 5.4 Cento e vinte e cinco harmônicos
6. CONCLUSÃO
Pode-se perceber que os estudos de Jean Baptiste Joseph Fourier, foram determinantes para o avanço da matemática da época e, ate hoje possibilita vários estudiosos e estudantes, das áreas da física e engenharia a utilizarem os recursos que as Séries de Fourier proporcionam para pode aplicar e desenvolver suas pesquisas. Ao adentrar nesse universo fascinante, com um estudo mais aprofundado, fica fácil compreender esses questionamentos que essas funções aplicadas nas séries de Fourier nos remetem. Então, vale ressaltar que, qualquer função pode ser decomposta como uma soma de funções seno e cosseno, sendo ferramenta de grande utilidade para representar funções periódicas.
As séries de Fourier são de grande importância para aplicações praticas na física e engenharia, como por exemplo: oscilador harmônico forçado, viga infinita num solo elástico entre tantos, portanto é de extrema importância reconhecer o papel que as Séries de Fourier representam para nós, e poder estudá-las, se torna ainda mais gratificante.
7. REFERÊNCIAS
Apostila Análise de Fourier.; Série, Integral e Transformada de Fourier - Professor Mateus Gomes (2015) Butkov, Eugene.; 2011. Física matemática / 1ª edição – Rio de Janeiro: LTC Kreyszig, Erwin.; 2009. Matemática superior para engenharia, volume 2 / 9ª edição – Rio de Janeiro: LTC.
Zill; G. D. e Cullen; R. M.; 2009. Matemática Avançada para Engenharia; “Equações diferencias parciais, métodos de Fourier e variáveis complexas. – 3ª edição – Porto Alegre - Editora Bookman.” Série de Fourier. Teixeira; A. L. M., Souza; M. F. de.; Capacia.; V. N. Capacia – 2011; acesso em 17/03/2015; disponível em https://metodosmatematicosuff.files.wordpress.com/2011/03/trabalho-sc3a9rie-de-fourier.docx
Introdução às Séries de Fourier.; Santos; F. J. – 2004; acesso em 17/03/2015; disponível em http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/sf.pdf