Estruturas de Concreto Conceitos

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CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTRUTURAS DE 
CONCRETO E FUNDAÇÕES 
MÓDULO: CONCRETO ARMADO I 
CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO 
Prof. Roberto Chust Carvalho 
Prof. Marcos Alberto Ferreira da Silva 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO 
A seção transversal de uma viga de concreto armado, quando 
submetida a um momento fletor M crescente, passa por três 
níveis de deformação, denominados estádios, os quais 
determinam o comportamento da peça até a sua ruina. 
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Estádio I (estado elástico): sob a ação de um momento MI de 
pequena intensidade, a tensão de tração no concreto não 
ultrapassa sua resistência característica à tração: 
• diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear;
• as tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às
deformações, correspondentes ao trecho linear do diagrama
tensão deformação do concreto;
• não há fissuras visíveis.
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Estádio II (estado de fissuração): aumentando o valor do 
momento fletor para MII, as tensões de tração na maioria dos 
pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores superiores ao 
da resistência característica do concreto à tração: 
• considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços
de tração;
• Admite-se que a tensão de compressão no concreto continua
linear;
• as fissuras de tração no concreto na flexão são visíveis.
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Estádio III (colapso): aumenta-se o momento fletor até um valor 
próximo ao de ruína (Mu): 
• A fibra mais comprimida do concreto começa a escoar a partir da
deformação específica de 0,2%, chegando a atingir, sem aumento de
tensão, 0,35%;
• Diagrama de tensões tende a ficar vertical, com quase todas as fibras
trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, praticamente todas as
fibras atingem deformações superiores a 0,2%;
• A peça está bastante fissurada, com as fissuras se aproximando da
linha neutra, fazendo com que sua profundidade diminua e,
consequentemente, a região comprimida de concreto também;
• Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um
diagrama parábola-retângulo.
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Pode-se dizer, simplificadamente, que: 
 Estádios I e II  correspondem às situações de serviço
(quando atuam as ações reais);
 Estádio III  corresponde ao estado-limite último (ações
majoradas e resistências minoradas), que só ocorre em
situações extremas.
O dimensionamento das estruturas de concreto armado é feito 
no estado-limite último (estádio III), pois o objetivo principal 
é projetar estruturas que resistam aos esforços de maneira 
econômica, sem chegar ao colapso. 
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HIPÓTESES BÁSICAS PARA O CÁLCULO 
As seções transversais permanecem planas após o inicio da
deformação até o estado-limite último;
Admite-se solidariedade perfeita entre o concreto e a
armadura;
As tensões de tração no concreto, normais à seção
transversal, são desprezadas;
A ruína da seção transversal, para qualquer tipo de flexão no
estado-limite último, fica caracterizado por deformações
específicas de cálculo do concreto (ɛc), na fibra menos 
tracionada, e do aço (ɛs), próxima à borda mais tracionada; 
Admite-se que a distribuição de tensões no concreto seja
feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com
base no diagrama tensão-deformação simplificado do
concreto; é permitida a substituição por um retângulo de
altura 0,85∙x, em que x é a profundidade da linha neutra.
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A ruina da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado-limite 
último é caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do 
concreto e do aço, que atingem (uma delas ou ambas) os valores últimos 
(máximos) das deformações específicas desses materiais: 
Encurtamentos últimos (máximos) do concreto 
•cu = 3,510
-3 (3,5‰) nas seções não inteiramente comprimidas (flexão);
•cu = 2,010
-3 (2,0‰) a 3,510-3 (3,5‰) nas seções inteiramente
comprimidas. 
Alongamento último das armaduras tracionadas 
•su = 10,010
-3 (10,0‰), para prevenir deformação plástica excessiva.
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL 
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c
s
Tração (+) Compressão (-) 0 
Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço, ao 
longo de uma seção transversal retangular com armadura simples 
submetida a ações normais, definem seis domínios de deformação: 
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 Para determinar a resistência de cálculo de uma dada seção
transversal, é preciso saber em qual domínio está situado o
diagrama de deformações específicas de cálculo dos
materiais (aço e concreto).
 A reta "a" e os domínios 1 e 2 correspondem ao estado
limite último por deformação plástica excessiva (aço com
alongamento máximo); os domínios 3, 4, 4a, 5 e reta "b"
correspondem ao estado-limite último por ruptura
convencional (ruptura do concreto por encurtamento-
limite).
Domínio 1 – Tração não uniforme, sem compressão 
• Início: s = 10‰ e c = 10‰; x = -   reta "a"  tração uniforme.
• Término: s = 10‰ e c = 0; x1 = 0.
• Estado-limite último caracterizado pela deformação s = 10‰.
• A reta de deformação gira em torno do ponto A (s = 10‰).
• A linha neutra é externa à seção transversal.
• A seção resistente é composta por aço, não existindo participação do concreto, que
se encontra totalmente tracionado e, portanto, fissurado.
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Domínio 2 – Flexão simples ou composta 
• Início: s = 10‰ e c = 0; x1 = 0.
• Término: s = 10‰ e c = 3,5‰; x = x2 = 0,259d.
• Estado-limite último caracterizado pela deformação s = 10‰.
• O concreto não alcança a ruptura (c  3,5‰).
• A reta de deformação continua girando em torno do ponto A (s = 10‰).
• A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão).
• A seção resistente é composta pelo aço tracionado e pelo concreto comprimido.
 Semelhança de triângulos 
d259,0x
)xd(0035,0x01,0
xd
01,0
x
0035,0
2
22
22




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Domínio 3 – Flexão simples (seção subarmada) ou composta 
• Início: s = 10‰ e c = 3,5‰; x = x2 = 0,259d.
• Término: s = yd (deformação específica de escoamento do aço) e c = 3,5‰; x = x3.
• Estado-limite último caracterizado por c = 3,5‰ (deformação de ruptura do
concreto).
• A reta de deformação gira em torno do ponto B (c = 3,5‰).
• A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão): na fronteira entre os
domínios 3 e 4, sua altura (x = x3) é variável com o tipo de aço.
• A seção resistente é composta pelo aço tracionado e pelo concreto comprimido.
• A ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento da armadura:
situação ideal, pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente máxima (são
aproveitados integralmente).
• A ruína se dá com aviso (grandes deformações).
• As peças que chegam ao estado limite último no domínio 3 são chamadas de
"subarmadas" (ou normalmente armadas na fronteira entre os domínios 3 e 4).
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Semelhança de triângulos 
0 0035
0 0035
0 0035
0 00353 3
3 3
3
,
, ( )
,
,
x d x
x d x
x
d
yd
yd
yd


 





x3 - varia com o tipo de 
aço empregado 
Domínio 3 – Flexão simples (seção subarmada) ou composta 
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Domínio 4 – Flexão simples (seção superarmada) ou composta 
• Início: s = yd e c = 3,5‰; x = x3 .
• Término: s = 0 e c = 3,5‰; x = x4 = d.
• Estado-limite último caracterizado por c = 3,5‰ (deformação de ruptura do
concreto).
• A reta de deformação continua girando em torno do ponto B (c = 3,5‰).
• A linha neutra corta a seção transversal (tração e compressão).
• No estado-limite último a deformação da armadura é inferior a yd (não atinge a
tensão de escoamento).
• A seção resistente é composta pelo aço tracionado e pelo concreto comprimido.
• A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe sem que a armadura atinja
sua deformação de escoamento (não há grandes deformações do aço nem fissuração
do concreto que sirvam de advertência).
• As peças que chegam ao estado-limite último no domínio 4 são chamadas de
"superarmadas" e são antieconômicas, pois o aço não é utilizado com toda sua
capacidade resistente; assim, devem, se possível, ser evitadas.
Domínio 4 – Flexão simples (seção superarmada) ou composta 
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Domínio 4a – Flexão composta com armaduras comprimidas 
• Início: s = 0 e c = 3,5‰; x = x4 = d.
• Término: s  0 (compressão) e c = 3,5‰; x = x4a = h.
• Estado limite último caracterizado por c = 3,5‰ (deformação de ruptura do
concreto).
• A reta de deformação continua girando em torno do ponto B (c = 3,5‰).
• A linha neutra corta a seção transversal na região de cobrimento da armadura menos
comprimida.
• A seção resistente é composta pelo aço e pelo concreto comprimidos.
• Armaduras comprimidas e pequena zona de concreto tracionado.
• A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com encurtamento da
armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência).
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Domínio 4a – Flexão composta com armaduras comprimidas 
4a
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Domínio 5 – Compressão não-uniforme, sem tração 
• Início: s  0 e c = 3,5‰; x = x4a = h.
• Término: s = 2,0‰ e c = 2,0‰; x = x5 = +   reta "b"  compressão uniforme.
• Estado-limite último caracterizado por c = 3,5‰ (na flexo-compressão) e c = 2,0‰
(na compressão uniforme).
• A reta de deformação gira em torno do ponto C, distante (3/7) h da borda mais
comprimida.
• A linha neutra não corta a seção transversal, que está inteiramente comprimida.
• A seção resistente é composta pelo aço e pelo concreto comprimidos.
• Compressão simples (uniforme, na reta b) ou composta (excêntrica).
• A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com encurtamento da
armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência).
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Semelhança de triângulos 
 
h
7
3
a
0035,0
h0015,0
a
a0020,0a0015,0h0015,0
ah
0020,0
a
0020,00035,0







Domínio 5 – Compressão não-uniforme, sem tração 
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CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM VIGAS SOB 
FLEXÃO NORMAL 
O cálculo da quantidade de armadura longitudinal, para seções 
transversais retangulares, conhecidos a resistência do concreto (fck), 
largura da seção (bw), altura útil (d) e tipo de aço (fyd e yd), é feito, de 
maneira simples, a partir do equilíbrio das forças atuantes na seção. Será 
estudada a flexão normal pura e simples, que é representada pelos 
domínios 2, 3, 4 e 4a. 
EQUACIONAMENTO: 
Seja o seguinte problema: conhecidos fck, bw, d, tipo de aço (fyd e yd) e o 
momento de cálculo Md (Md = 1,4M), determinar a área da armadura 
longitudinal necessária (As) para que uma viga de concreto armado e 
seção transversal retangular resista a esse momento (figura seguinte). 
s
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(3.1)
em relação a qualquer ponto (no 
 ao momento externo de cálculo: 
(3.2)
Das equações 3.1 e 3.2:
zFM sd  (3.3)
b) Posição da linha neutra (x)
Conhecendo a posição da linha neutra, é possível saber o domínio em que a peça está
trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) e o braço de 
alavanca (z).
     x8,0bf85,0F wcdc  (3.4)
x4,0dz  (3.5)
Colocando Fc e z na equação 3.2, tem-se:
     x4,0dx68,0fbx4,0dx8,0bf85,0zFM cdwwcdcd  (3.6)
ou, ainda
  cdw2d fbx272,0dx68,0M  (3.7)
Resolvendo a equação (3.7) obtém-se x, o qual define a posição da linha neutra, que é 
fundamental para a solução do problema proposto. Nota-se que a variação de x não é linear com 
o esforço solicitante Md, mas segue um polinômio do segundo grau. 
(3.1)
internas em relação a qualquer ponto (no 
o momento externo de cálculo: 
(3.2)
zFM sd  (3.3)
b) Posição da linha neutra (x)
 Conhecendo a posição da linha neutra, é possível saber o domínio em que a peça está
trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) e o braço de 
alavanca (z). 
     x8,0bf85,0F wcdc  (3.4)
x4,0dz  (3.5)
 
Colocando Fc e z na equação 3.2, tem-se:
     x4,0dx68,0fbx4,0dx8,0bf85,0zFM cdwwcdcd  (3.6)
 
ou, ainda
 
  cdw2d fbx272,0dx68,0M  (3.7)
 
Resolvendo a equação (3.7) obtém-se x, o qual define a posição da linha neutra, que é 
fundamental para a solução do problema proposto. Nota-se que a variação de x não é linear com 
o esforço solicitante Md, mas segue um polinômio do segundo grau.
 
(3.1)
forças internas em relação a qualquer t (no 
r igual ao momento externo de cálculo: 
(3.2)
(3.3)
b) Posição da linha neutra (x)
Conhecendo a posição da linha neutra, é possível saber o domínio em que a peça está
trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) e o braço de 
alavanca (z).
 
     x8,0bf85,0F wcdc  (3.4) 
 
x4,0dz  (3.5)
 
Colocando Fc e z na equação 3.2, tem-se:
 
     x4,0dx68,0fbx4,0dx8,0bf85,0zFM cdwwcdcd  (3.6)
 
ou, ainda 
 
  cdw2d fbx272,0dx68,0M  (3.7)
Resolvendo a equação (3.7) obtém-se x, o qual define a posição da linha neutra, que é 
fundamental para a solução do problema proposto. Nota-se que a variação de x não é linear com 
o esforço solicitante Md, mas segue um polinômio do segundo grau. 
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     x8,0bf85,0F wcdc 
x4,0dz 
Resultante de compressão no concreto: 
Braço de alavanca: 
Posição da Linha neutra (x): 
     x4,0dx68,0fbx4,0dx8,0bf85,0zFM cdwwcdcd 
  cdw2d fbx272,0dx68,0M 
Resolvendo a equação acima obtém-se x, o qual define a posição da linha 
neutra; a partir dessa posição, é possível verificar em que domínio a peça 
atingirá o estado-limite último. 
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Cálculo da área necessária de armadura (As): 
Admitindo que a peça esteja trabalhando nos nos domínios 2 ou 3, o aço 
escoou e, e a expressão da armadura modifica-se para: 
Com o valor de x determinado, é possível encontrar As. A força na 
armadura (Fs) vem do produto da área de aço (As) pela tensão atuante no 
aço (fs). Tem-se:sssds AfF ;zMF 
s
d
s
fz
M
A


Então, a armadura fica dada por: 
yd
d
s
fz
M
A


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Domínio em que a peça atingirá o estado-limite último: 
 Obtido o valor de x que define a posição da linha neutra, é possível
verificar em que domínio a peça atingirá o estado-limite último.
 Na flexão simples, os domínios possíveis são 2, 3 e 4. No início do
domínio 2 tem-se c = 0, e no final do domínio 4, tem-se s = 0, que 
são as piores situações que podem ocorrer (um dos dois materiais não 
contribui na resistência). 
 O melhor é que a peça trabalhe no domínio 3; o domínio 2 é aceitável,
e o domínio 4 deve ser evitado.
 Conhecido o momento e demais variáveis necessárias para resolver o
problema, como saber se a seção está trabalhando no domínio 3 e se a
armadura já atingiu a deformação de escoamento?
 É possível saber por meio da relação entre as deformações e a posição
da linha neutra.
sc
c
scc d
xdx






Como as seções permanecem planas após a deformação, por semelhança 
dos triângulos ABC e ADE do diagrama de deformações, é possível obter 
a relação entre a posição da linha neutra (x) e a altura útil (d): 
Posição da linha neutra: 
No limite do domínio 2 e em 
todo o 3, c = 3,5‰ (0,0035); 
assim, resulta: 
s0035,0
0035,0
d
x


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 Conclui-se que, para uma seção conhecida, a posição da
linha neutra, no domínio 3, depende apenas da deformação
específica do aço, e o limite entre os domínios 3 e 4
depende do tipo de aço, caracterizado pela deformação
específica de escoamento de cálculo do aço (yd). 
 Agora é possível resolver os diversos problemas,
lembrando que a fronteira entre os domínios 2 e 3 é dada
pelo par de valores c = 3,5‰ e s = 10‰ (x = 0,259d), 
e, entre os domínios 3 e 4 por c = 3,5‰ e s = yd (x é 
função do tipo de aço), é possível resolver os diversos 
problemas. 
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Aço CA25 (yd = 1,04‰, no limite entre os domínios 3 e 4) 
0035,0
0035,0
d
x34 


Aço CA50 (yd = 2,07‰, no limite entre os domínios 3 e 4) 
0035,0
0035,0
d
x34 


Exemplos para os aços CA25 e CA50: 
Exercício 1: Para uma seção retangular de concreto armado (bw = 0,12m 
e d = 0,29 m) sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm 
(Md = 1,4M = 1,412,2 = 17,08 kNm), determinar a quantidade de 
armadura longitudinal necessária. Dados: fck = 20 MPa (20.000 kN/m
2);
Aço CA50. 
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Resolução: 
Colocando os valores conhecidos na equação da linha neutra, determina-
se o valor de x (posição da linha neutra): 
  fbx0,272dx0,68M cdw2d 
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Verificando o domínio em que a seção esta: 
No limite entre os domínios 2 e 3 (c = 3,5‰, s = 10‰), a posição da 
linha neutra é x = 0,259d = 0,2590,29 = 0,0751 m, maior que o valor 
encontrado para x, indicando que o problema ocorre no domínio 2 e, 
portanto, o aço já escoou: fs = fyd = 50/1,15 = 43,478 kN/cm
2. Colocando
o valor de x na equação do braço de alavanca, fica:
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Exercício 2: Para uma viga de seção retangular de concreto armado, com 
largura bw = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, determinar o momento 
resistente da seção e o valor da área de aço necessária correspondente a 
esse momento. Considerar fck = 20 MPa (20000 kN/m
2) e aço CA50.
Resolução: 
Inicialmente, calcula-se o momento fletor resistente com x/d 
correspondendo ao limite entre os domínios 3 e 4: 
Calculando a área de aço necessária: 
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ALTURA MÍNIMA DE UMA SEÇÃO COM ARMADURA SIMPLES 
O maior momento que uma seção pode resistir ocorre quando ela está 
trabalhando no limite entre os domínios 3 e 4; a menor altura necessária 
(dmín) para a seção resistir a um dado momento aplicado ocorrerá 
também no limite entre esses dois domínios. 
  cdw2d fbx272,0dx68,0M 
sc
c
d
x



sc
c



  cdw222d fbd272,0d68,0M 
 2cdw
d
272,068,0fb
M
d

x = d 
(Equação da LN) 
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
34
0 0035
0 0035


,
, yd  23434cdw
d
min
272,068,0fb
M
d


Para que a altura seja mínima, deve-se ter o maior  possível, o que 
ocorrerá com s o menor possível; o menor s com armadura 
econômica é o referente ao limite entre os domínios 3 e 4, ou seja, 
s = yd. Assim, o maior  é o 34: 
Conclui-se que: 
• d  dmín    34    yd  domínios 2 ou 3  seção subarmada.
• d  dmín    34    yd  domínio 4  seção superarmada.
• d = dmín   = 34   = yd  limite dos domínios 3 e 4  seção
normalmente armada.
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Exercício 3: Para uma viga de concreto armado com seção 
retangular, bw = 12 cm, pede-se para determinar a altura 
mínima (dmín) e a quantidade de armadura longitudinal 
necessária. Dados: fck = 20 MPa; aço CA50; Md = 17,08 kNm. 
Resolução: 
Inicialmente, calcula-se a altura mínima: 
 
17,65cm
0,6280,272-0,6280,68
1,4
2
12
1708
d
0,628
0,002070,0035
0,0035
ξ
2
min
34






ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Calculando a área de aço necessária: 
Como se trata do limite entre os domínios 3 e 4, a deformação 
da armadura e a tensão (fyd) são a de escoamento. 
2
s
yd
d
s
d
s
34
3434
cm2,97A 
574,8
1708
1,15
50
13,22
1708
fz
M
fz
M
A
cm13,22z 11,080,417,65x0,4dz
cm11,08x 17,650,628d0,628d
0,002070,0035
35 0,00
xx











ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
FÓRMULAS ADIMENSIONAIS PARA O DIMENSIONAMENTO 
DE SEÇÕES RETANGULARES 
  cdw2d fbx272,0dx68,0M 
 












 2
2
cd
2
w
cdw
2
cd
2
w
d
d
x
272,0
d
x
68,0
fdb
fbx272,0dx68,0
fdb
M
2)KX(272,0)KX(68,0KMD 
KMD=
fdb
M
cd
2
w
d
 KXd
x

x0,4dz 
d
x
4,01
d
x4,0d
d
z



KX4,01KZ 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
:resulta d,(KZ)z como e, 
fz
M
A
s
d
s 


s
d
s
fd)KZ(
M
A


KZ
d
z

ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
x = 0 (início do domínio 2)  
0
d
x
KX 
  
0KMD
x = d (fim do domínio 4)  
1
d
x
KX 
  
408,0KMD
 
sc
c
sc
c
εε
ε
KX KX
d
x
 
εε
ε
d
x




Como KX só admite valores de 0 a 1, pode-se construir 
uma tabela em que a cada KX arbitrado entre 0 e 1 
corresponde: um valor de KMD; um de KZ; e, 
conhecendo-se c, um de s. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
KMD KX KZ c s 
0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,000 
0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,000 
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,000 
0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,000 
0,05000,0758 0,9697 0,8205 10,000 
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,000 
0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,000 
0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,000 
0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,000 
0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,000 
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,000 
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,000 
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,000 
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,000 
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,000 
Quadro: Valores para cálculo de armadura longitudinal (Tabela de KMD) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
KMD KX KZ c s 
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,000 
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,000 
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,000 
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,000 
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,000 
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,000 
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,000 
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,000 
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,000 
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,000 
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,000 
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106 
0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662 
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204 
0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919 
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793 
Quadro: Valores para cálculo de armadura longitudinal (Tabela de KMD) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Quadro: Valores para cálculo de armadura longitudinal (Tabela de KMD) 
KMD KX KZ c s 
0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814 
0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971 
0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255 
0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658 
0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170 
0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785 
0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496 
0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297 
0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181 
0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144 
0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181 
0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287 
0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459 
0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691 
0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981 
KMD KX KZ c s 
0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324 
0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719 
0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162 
0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649 
0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179 
0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748 
0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355 
0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997 
0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672 
0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100 
0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652 
0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283 
0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983 
0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732 
0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506 
Quadro: Valores para cálculo de armadura longitudinal (Tabela de KMD) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Exercício 4: Para uma seção retangular de concreto armado (bw = 0,12m 
e M = 12,2 kNm), determinar a quantidade de armadura longitudinal 
necessária, admitindo, primeiramente, altura útil d = 0,29 m, e, em 
seguida, que ela não seja conhecida. Utilizar fórmulas adimensionais e 
tabela para dimensionamento. Dados: fck = 20 MPa ; aço CA50. 
Resolução: 
a) admitindo que a altura útil seja conhecida (d = 29 cm)
12,0
4,1
000.20
29,012,0
08,17
fdb
M
KMD
2cd
2
w
d 




Com KMD = 0,12 (na Tabela de KMD), obtêm-se os valores: 
KX = 0,1911; KZ = 0,9236; c = 2,3621‰; s = 10,00‰. 
s = 10,00‰ > yd = 2,067‰, o aço escoou: fs = fyd = 43,478 kN/cm
2.
s = 10,00‰ e C = 2,3621‰ < 3,5‰  domínio 2. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Calculando a área de aço necessária: 
2
s2
s
d
s 1,46cmA 
1,15
)/cm(kN 50
(m) 0,290,9236
(kNm)17,08
fd(KZ)
M
A 




b) admitindo que a altura útil não seja conhecida (d = 29 cm)
Inicialmente, calcula-se dmín: 
m0,1765
)0,6280,272-0,628(0,68
1,4
20.000
0,12
17,08
d
0,628
0,002070,0035
0,0035
ε0,0035
0,0035
ξ
2
min
yd
34








ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Com d = dmin a peça trabalha no limite entre os domínios 3 e 4, e o valor 
de KMD fica: 
32,0
1,4
20.000
0,176512,0
08,17
fdb
M
KMD
2cd
2
w
d 




Com KMD = 0,32 (na Tabela de KMD), obtêm-se os valores: 
KX = 0,6287; KZ = 0,7485; c = 3,5‰; s = 2,07‰. 
s = 2,07‰ = yd  o aço escoou: fs = fyd = 43,478 kN/cm
2.
Calculando a área de aço necessária: 
2
s
s
d
s 2,97cmA 
1,15
50
0,17650,7485
17,08
fd(KZ)
M
A 




CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
 Podem ocorrer situações em que, por imposições de projeto,
arquitetônicas, etc., seja necessário utilizar para a viga uma
altura menor que a altura mínima exigida pelo momento
fletor atuante de cálculo Md; consequentemente, a seção 
com essa altura menor que a mínima só conseguirá resistir 
(trabalhando no domínio 3 ou no limite entre os domínios 3 
e 4) a uma parcela desse momento. 
No domínio 4 é possível altura menor que a mínima (pois é
onde se consegue o maior momento resistente), mas ele
deve ser evitado pelos motivos já citados.
Uma solução possível, sem utilizar o domínio 4, é
complementar a peça com uma armadura de compressão.
Nesse caso, determina-se o momento que a seção consegue
resistir com a sua altura real e armadura apenas tracionada,
trabalhando no limite entre os domínios 3 e 4 (M34); a 
diferença entre o momento atuante Md, e o momento M34, 
que será chamada de M2 (M2 = Md - M34), será resistida por 
uma armadura de compressão. Nessa situação, a viga terá 
uma armadura inferior tracionada, e uma superior 
comprimida (armadura dupla). 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Tem-se o seguinte problema a resolver: 
 M34 – momento obtido impondo que a seção trabalhe no limite entre
os domínios 3 e 4, e que será resistido pelo concreto comprimido e por 
uma armadura tracionada As34; a altura útil real da peça pode ser 
entendida como a sua altura útil mínima para M34; 
 M2 – momento que será resistido por uma armadura comprimida As
e, para que haja equilíbrio, por uma armadura tracionada As2 (além de
As34 já calculada para M34).
 Considerando x = x34, determina-se o valor de M34 e, com ele, a
armadura tracionada As34 e o momento M2 (M2 = Md - M34). Com M2
calcula-se finalmente As2 e As. É preciso, ainda, verificar se a
armadura comprimida As atingiu a deformação de escoamento ou
não, pois a região comprimida da seção sofre deformações específicas 
menores que a região tracionada (até 0,0035, que é a máxima 
permitida para o concreto comprimido). 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
x34
As34
Fs34
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
     3434cdw3434wcd34 x4,0dx68,0fbx4,0dx8,0bf85,0M 
d
ε0,0035
0,0035
x 
εε
ε
d
x
yd
34
ydc
c34 




  yd34
34
yd
34
34
yd34
34
yd
34
34s
fd)KX(4,01
M
fd)
d
x
4,01(
M
f)x4,0d(
M
fz
M
A








'
s
34d'
s
s
2'
s
f)'dd(
MM
A
'f)'dd(
M
A





)'dd(fA)'dd(FM yd2s2s2 
    yd
34d
yd
2
2s
f'dd
MM
f'dd
M
A





x34
As34
Fs34
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: ConcretoArmado I 
Exercício 5: Para um momento M = 45 kNm, calcular a armadura 
necessária de uma seção retangular com largura bw = 0,12 m e 
d = 0,29 m, com aço CA50 e fck = 20 MPa. Adotar d’ = 2,6 cm (distância 
da armadura comprimida até a borda comprimida). 
Resolução: 
Inicialmente, calcula-se a altura mínima: 
m34,0
)0,6280,272-0,6280,68(
1,4
20.000
0,12
544,1
d
2
min 



Como d = 0,29 m  dmím = 0,34 m  armadura dupla! 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Calculando os momentos M34 e M2: 
Calculando a armadura tracionada: 
    
   
2
s
yd
34d
yd34
34
s
6,35cm1,474,88
1,15
50
0,0260,29
46,1-451,4
1,15
50
0,290,6280,41
46,1
A
fd'd
MM
fdKX0,41
M
A











     
 
kNm16,9=46,1-451,4MMM
kNm46,10,290,6280,4-0,290,290,6280,8
1,4
20.000
0,850,12M
d0,628d
2,073,5
3,5
x
x0,4dx0,68fbx0,4dx0,8bf0,85M
34d2
34
34
3434cdw3434wcd34






ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Calculando a armadura comprimida: 
É necessário conhecer antes fs, e, portanto s: 
   
   
2'
s
yd
34d'
s
ydsydyds
34
34
s
1,47cmA 
1,15
50
0,0260,29
46,1-451,4
fd'd
MM
A
f'f CA50) aço o para 0,207%(εε'ε como
0,0030
0,290,628
0,026-0,290,6280,0035
x
d'x0,0035
'ε














ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
CÁLCULO DE ARMADURA EM VIGAS DE SEÇÃO 
TRANSVERSAL EM FORMA DE “T” 
 Em um pavimento de concreto armado apoiado no contorno em vigas,
as lajes maciças e vigas não são independentes umas das outras; seus
elementos, lajes e vigas, trabalham em conjunto.
 Quando a viga deforma, parte da laje adjacente a ela também deforma,
comportando-se como se fosse parte da viga, colaborando em sua
resistência; a viga incorpora parte da laje, e sua seção passa a ter a
forma de um "T" (ou de um "L" invertido).
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
A parte vertical da viga é chamada de alma (nervura), e a parte 
horizontal de mesa, que é composta de duas abas: 
Uma viga de concreto armado só será considerada como de seção "T" 
quando a mesa e parte da alma estiverem comprimidas; caso contrário, 
dependendo do sentido de atuação do momento fletor, apenas a parte 
superior da mesa ou inferior da alma estarão comprimidas (essas partes 
têm a forma retangular), e como as regiões tracionadas de concreto não 
trabalham, ou seja, não colaboram na resistência, a viga será calculada 
como tendo seção retangular. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
 Nos trechos de momentos negativos junto aos apoios (vigas
contínuas), provavelmente a seção da viga será retangular (caso de
viga abaixo da laje), pois apenas parte da alma estará comprimida.
 No caso dos momentos positivos, a viga só será considerada de seção
"T" se a linha neutra estiver passando pela alma; caso contrário, a
região de concreto comprimida será retangular, com largura igual a bf, 
e não existirá colaboração da alma e de parte da mesa, que estarão 
tracionadas. 
Seção "T" - L N passa pela alma Seção retangular - L N passa pela mesa 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
 Não é toda a largura da laje adjacente que colabora na resistência da
viga; parte da trabalha apenas como elemento para transferir cargas às
vigas. Apenas uma parte da laje, mais próxima à viga, colabora com a
mesma. A distribuição de tensões de compressão na parte superior da
viga (mesa) não é uniforme: há uma concentração de valores junto à
parte central da viga (alma).
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
 A determinação da largura da laje que colabora com a viga (largura
colaborante - bf) é feita integrando a distribuição de tensões na altura 
h e em uma largura até onde as tensões tendem a zero, a fim de 
encontrar a resultante; essa resultante é igualada a uma outra, obtida 
considerando-se distribuição uniforme de tensões, com valor igual a 
0,85fcd, atuando na altura hf e largura bf . 
 Esse procedimento resulta em um cálculo complexo, e por essa razão
existem soluções simplificadas a favor da segurança, mas baseadas
nos mesmos princípios; uma delas é a que propõe NBR 6118:2007.
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
De acordo com a NBR 6118:2007, a largura colaborante bf
será a largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da
distância "a" entre pontos de momento fletor nulo, para cada 
lado da viga em que houver laje colaborante. A distância "a" 
pode ser estimada em função do comprimento  do tramo 
considerado: 
a
 (viga simplesmente apoiada) 
 75,0a
 (tramo com momento em uma só extremidade) 
 60,0a
 (tramo com momentos nas duas extremidades) 
 2a
 (viga em balanço) 
Deverão ser respeitados os limites de b1 e b3: 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 










a0,10
b
b 
a0,10
b0,5
b
4
3
2
1
wb wb
2b
4b
c
b1
fb
1bwb
f
b3
3b
1 2b < 0,5b 1 b < 0,1a
3 3 4
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Nas situações em que a L.N. passa pela alma da seção, o 
cálculo da armadura é feito em duas etapas: 
• calcula-se inicialmente o momento resistido pelas abas;
• o momento restante é absorvido pela nervura (alma). 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
  
















 







2
h
dbbhf85,0
2
h
d
2
bb
2hf85,0
2
h
dFM fwffcd
fwf
fcd
f
1c1
M2 = Md - M1 
s
2
s
f
1
s
fd)KZ(
M
f
2
h
d
M
A










Exercício 6: Calcular a armadura para a viga simplesmente apoiada, de 
vão  igual 8 m, cuja seção é a da figura abaixo; a viga está submetida a 
um momento Md = 6770 kNm. Considerar aço CA50 e fck = 26 MPa. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
17880218b2bb
80cm8000,100,10a0,10b
apoiada) tesimplesmen (viga 800cma
18cmb ;b2bb
3wf
3
w3wf






Calculando a largura colaborante bf: 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Supondo a linha neutra na mesa da viga, calcula-se KMD: 
07,0
4,1
26000
1,757,1
6770
fdb
M
KMD
2cd
2
w
d 




0,20mh m0,19=1,750,1076d(KX)x f 
A linha neutra está na mesa e a seção é calculada como retangular. 
Calculando a armadura longitudinal: 
Com KMD = 0,07 (na Tabela de KMD), obtêm-se os valores: 
KX = 0,1076; KZ = 0,9570; c = 1,2054‰; s = 10‰. 
2
s
s
d
s 93,0cmA 
1,15
50
1,750,957
6770
fd(KZ)
M
A 




ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Exercício 7: Calcular a armadura para a viga do exemplo anterior, 
supondo Md = 6770 kNm. Considerar aço CA50 e fck = 26 MPa. 
Resolução: 
Supondo a linha neutra na mesa da viga, calcula-se KMD: 
103,0
1,4
26000
1,757,1
10000
fdb
M
KMD
2cd
2
w
d 




Com KMD = 0,105 (na Tabela de KMD)  KX = 0,1654. 
0,20mhm0,29=1,750,1654d(KX)x f 
A linha neutra está na almae a seção é calculada como “T”. 
Inicialmente, calcula-se o momento resistido pelas abas: 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
 
kNm 7918,10
2
0,2
1,750,18)(1,700,20
1,4
26000
0,85M
2
h
dbbhf0,85M
2
h
d
2
bb
2hf0,85
2
h
dFM
1
f
wffcd1
fwf
fcd
f
c11

























 







O momento resistido pela alma fica: 
ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
M2 = Md - M1 = 10000 – 7918,10 = 2081,90 kNm 
Calculando a amadura necessária: 
s
2
s
f
1
s
fd)KZ(
M
f
2
h
d
M
A










2033,0
4,1
26000
1,750,18
2081,9
=KMD
2


ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÕES 
Módulo: Concreto Armado I 
Com KMD = 0,205 (na Tabela de KMD), obtêm-se os valores: 
KZ = 0,8597; c = 3,5‰; s = 6,48‰. 
Como s = 6,48‰ > yd = 2,07‰  o aço escoou: fs = fyd = 50/1,15. 
A armadura longitudinal fica: 
2
s 142,20cm31,83110,37
1,15
50
1,750,8597
2081,9
1,15
50
2
0,20
1,75
7918,1
A 









