2-Dimensionamento de concreto armado à flexão

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Objetivos
Módulo 1
Os estádios das estruturas em concreto armado
Identificar os processos de colapso da estrutura em concreto armado.
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Módulo 2
Os domínios de deformação da estrutura
Reconhecer os domínios de deformação e suas classificações.
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Módulo 3
Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Aplicar cálculos para o dimensionamento da armadura longitudinal.
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Módulo 4
Análise de uso de tabelas adimensionais
Interpretar as tabelas adimensionais para o dimensionamento do elemento
estrutural.
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Introdução
Bem-vindo aos estudos de dimensionamento de estruturas de concreto armado à flexão.
AVISO: orientações sobre unidades de medidas
Dimensionamento de
concreto armado à �exão
Profª. Larissa Camporez Araújo
Descrição Dimensionamento de estruturas em concreto armado: conhecimento das regiões de colapso, ou seja, os estádios,
bem como dos domínios de deformação dos elementos componentes do sistema para a obtenção de um bom
dimensionamento das armaduras das peças estruturais.
Propósito As construções, sejam elas de pequeno, médio ou grande porte, demandam cálculos estruturais específicos para o
dimensionamento dos elementos estruturais em concreto armado que devem ser realizados por engenheiros
estruturais; portanto, faz-se necessário o conhecimento dos estádios e dos domínios de deformação, bem como a
compreensão das equações e das tabelas utilizadas com o objetivo de dimensionamento dos elementos.
Preparação Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de
seu smartphone/computador.

dVídeos
1
Os estádios das estruturas em concreto armado
Ao final deste módulo, você será capaz de identificar os processos de colapso da estrutura em concreto armado.
Os estádios das estruturas em concreto armado
Processo de colapso: estádios
Para o correto dimensionamento dos elementos estruturais submetidos à flexão, é importante que o engenheiro
calculista tenha o domínio sobre o tipo de flexão que atua sobre o elemento e os níveis de deformação que a flexão
pode provocar. Tais deformações são conhecidas como estádios e determinam o comportamento da peça até o seu
colapso.
Dizemos que o elemento estrutural está submetido à flexão quando nele atua o momento fletor, e é com o objetivo de
resistir a esse momento que o engenheiro dimensiona as armaduras longitudinais. Esse dimensionamento é realizado
tendo em vista o Estado Limite Último a Momento Fletor (ELU-M) e considera que, na seção mais solicitada (com o
maior valor de momento), seja alcançada a deformação específica limite do material (concreto ou aço), isto é, a ruptura
pode ocorrer no concreto comprimido ou no aço tracionado.
Vale lembrar que, para o dimensionamento de elementos em concreto armado no Estado Limite Último (ELU), devemos
considerar as:
Solicitações de cálculo
São majoradas.
Resistências características de cálculo
São minoradas.
Se as solicitações de cálculo alcançarem as resistências de cálculo, consideraremos que a
estrutura entrou em colapso, ou seja, o dimensionamento ocorreu para o estado limite último.
As vigas são exemplos clássicos de elementos submetidos à flexão simples. Com o objetivo de apresentar um exemplo
de projeto para armadura longitudinal de uma peça estrutural proveniente de esforços de flexão dimensionada pelo ELU-
M, está ilustrado na imagem a seguir o projeto de uma viga chamada de V1 com dimensão da seção transversal, base
de 14cm com 30cm de altura e comprimento de face a face dos pilares P1 e P2 (apoios para a viga) de 410cm. À direita
da viga, o corte A-A está demonstrado com o intuito de apresentar a seção transversal da peça.
Imagem 1 - Projeto estrutural de uma viga.
Para a viga em questão (biapoiada), a Armadura Longitudinal Inferior (ALI) é a armadura utilizada para combater os
esforços de tração devido ao momento fletor positivo que atua no elemento. Vamos ver a principal diferença entre a ALI
e a Armadura Longitudinal Superior. Ambas serão dimensionadas e explicadas no módulo 3.


dVídeos
Armadura Longitudinal Inferior (ALI)
Podemos afirmar que ela é uma armadura
passiva utilizada para combater o esforço
tração na flexão.
Armadura Longitudinal Superior (ALS)
Já a ALS pode tanto ser uma armadura de
flexão para auxiliar o concreto no combate às
tensões de compressão devido ao momento
fletor como ser apenas uma armadura de porta
estribo.
A seguir serão apresentados os tipos de flexão que podem atuar no elemento estrutural e os estádios em que o
elemento pode ser classificado.
Tipos de �exão
As tensões que surgem no elemento estrutural devido aos esforços de flexão provocados pelo momento fletor (M) são
tensões normais de tração ou compressão. Essas tensões surgem na seção transversal do elemento, e o que separa a
tração da compressão é a Linha Neutra (LN), que passa pelo centroide da seção transversal. Nela, as tensões e as
deformações são nulas.
A imagem a seguir ilustra, de forma esquemática, a seção
transversal de uma viga submetida a esforços de flexão
devido à ação do momento fletor positivo, com tensão
normal de compressão acima da linha neutra e tensão
normal de tração abaixo dessa linha. Na linha neutra, a
tensão é nula.
Imagem 2 - Esquema de viga submetida a tensão de flexão.
A seguir serão apresentados os tipos de flexão comuns que ocorrem em elementos estruturais.
Como as armaduras de flexão são dimensionadas para o Estado Limite Último, ou seja, considerando o limite de
resistência do elemento estrutural, além de conhecer a tensão de flexão ao qual o elemento está submetido, é
necessário identificar o estádio em que o elemento será dimensionado. Vamos apresentar os estádios a seguir.
Estádios
Os conceitos apresentados aqui são referentes ao processo de colapso de vigas sob tensões normais. São adotadas as
vigas por serem elas elementos com cálculos de dimensionamento mais simples, o que facilita a compreensão dos
conceitos relacionados aos estádios.
Os estádios podem ser definidos como os vários estágios
de tensão pelo qual um elemento fletido passa, desde o
carregamento inicial até a sua ruptura.
Experimentalmente, a viga é instrumentada e submetida a
um carregamento crescente, de forma que seja possível a
medição das deformações que ocorrem na parte central
ao longo da sua altura, conforme ilustra a imagem a
seguir.
Imagem 7 - Parte central da viga onde são realizadas as medições de
deformação.
Para a viga de concreto armado, são definidos três estádios de deformação: estádio I, estádio II e estádio III. Eles serão
descritos a seguir.
O estádio I corresponde ao início do carregamento; logo, as tensões normais que surgem são de baixa magnitude e dessa forma o
concreto consegue resistir às tensões de tração. Nesse estádio, o diagrama de tensões é linear ao longo da seção transversal da peça, a
lei de Hooke é válida e a peça se encontra no estado elástico.
A imagem a seguir apresenta o estádio I de forma esquemática. Ao ser aplicado o momento fletor (MI) na viga devido ao carregamento
externo, surgem internamente as forças de compressão na parte superior e de tração na parte inferior a fim de obter o
equilibrio das ações. Essas forças internas provocam a tensão de compressão com a consequente deformação de encurtamento
 e a tensão de tração com o consequente alongamento .

Flexão normal simples 
Flexão normal composta 
Flexão obliqua simples e composta 
Flexão pura 
Estádio I Estádio II Estádio III
(Fco) (Ftr)
(σco)
(εco) (σtr) (εtr)
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Imagem 8 - Forma esquemática do estádio I.
A linha neutra (LN) encontra-se a uma profundidade x I. A distância d é chamada de altura útil da seção e é medida da extremidade da
viga mais distante das barras de aço até o centroide dessas barras, já a altura h é a altura total da viga. Neste estádio, a tensão de tração
do concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração, logo não ocorrem fissurasde tração na peça. O estádio I encerra
quando surgem as primeiras fissuras.
Hipóteses básicas de dimensionamento
Vamos conhecer as hipóteses de cálculo de elementos estruturais lineares sob solicitações normais que são
apresentadas na ABNT NBR 6118:2014. As hipóteses são:
As seções transversais permanecem planas após a deformação. Ou seja, as deformações são, em cada fibra
de concreto, proporcionais à sua distância até a linha neutra da seção;
A deformação das barras de aço passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das barras de aço ativas
(para concreto protendido) aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em seu
entorno. Isto é, a deformação no aço é igual à deformação no concreto;
As tensões de tração no concreto, normais na seção transversal, devem ser desprezadas no ELU;
O colapso da seção transversal submetida a qualquer tipo de flexão no estado limite último é caracterizado
pelas deformações específicas de cálculo do concreto para as fibras mais comprimidas e do aço próximo da
borda mais tracionada. Os valores últimos das deformações vão definir os domínios de deformação a serem
apresentados no próximo módulo.
Questão 1
Um engenheiro calculista dimensionará algumas peças estruturais de uma pequena residência. Para tanto, ele
decidiu voltar às anotações que fez durante o curso de Concreto Armado I para relembrar alguns conceitos. Ao
verificar suas anotações, percebeu que, em uma delas, se equivocou e anotou o conceito errado. Marque a opção que
apresenta a anotação equivocada que estava em seu caderno.
Questão 2
Para uma boa compreensão do dimensionamento de elementos estruturais, é necessária a identificação dos
domínios de deformação de peças de concreto armado. A seguir são apresentadas afirmações a respeito dos
estádios.
1. Os estádios de deformação são estudados experimentalmente por meio de um carregamento inicial até a
ruptura do elemento estrutural. 
2. O estádio I é o primeiro e corresponde ao início do carregamento. As tensões são pequenas, e o concreto
resiste aos esforços de tração, não ocorrendo fissuração do elemento. 

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
A
Os elementos estruturais do tipo pilares são elementos caracterizados por suportar apenas tensão
normal devido às forças normais, não sendo necessário o estudo de tensões de flexão.
B
Os elementos estruturais do tipo pilares são submetidos à flexão obliqua composta, em que ocorre a
excentricidade da resultante dos esforços normais, gerando momento em duas direções.
C
As vigas, assim como as lajes, são, na maioria dos casos, submetidas à flexão simples, ou seja, o
carregamento das peças é perpendicular à seção transversal do elemento.
D
Em elementos estruturais do tipo vigas protendidas, atuam esforços normais na seção transversal da
viga. Esses esforços não podem ser desprezados no cálculo das tensões.
E
A flexão pura é um caso específico de flexão em que se atua no elemento estrutural, ou em parte dele,
apenas o momento fletor, sendo todos os demais esforços nulos.
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3. No estádio II, o elemento ainda se comporta segundo a lei de Hooke e se encontra fissurado. A profundida
da linha neutra nesse estádio é menor que no estádio I.
4. No estádio III, ocorre o momento fletor com valor próximo de colapso, ou seja, o concreto na zona
comprimida está na iminência de ruptura e encontra-se plastificado. O diagrama de tensões passa a ser da
forma parabólico retangular.
São corretas:
2
Os domínios de deformação da estrutura
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer os domínios de deformação e suas classificações.
Os domínios de deformação da estrutura
Domínios de deformação
Os domínios de deformação são situações em que pelo menos um dos materiais, aço ou concreto, atinge o seu estado
limite último, ou seja, corresponde à ruína de uma seção transversal por ruptura do concreto ou deformação excessiva
da armadura (aço).
Para a melhor compreensão deste módulo, primeiramente serão apresentadas as situações de deformações últimas
dos materiais, os diagramas de tensões do concreto no estado limite último, para então serem abordados os domínios
de deformação. Inicialmente, vamos conhecer as classes.
Concretos de classes até C50
; ocorre nas
seções totalmente comprimidas.
; ocorre nas
seções sob flexão.
Concretos de classes C50 até C90
ocorre nas seções totalmente comprimidas.
ocorre nas seções sob flexão.
Para o alongamento último da armadura, que é o alongamento máximo permitido ao longo da armadura tracionada,
 é dado por:
A Apenas I e III.
B Apenas II e IV.
C Apenas I e II.
D Apenas II, III e IV.
E I, II, III e IV.
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

εc2 = 2, 0 ⋅ 10
−3 = 2, 0%∘
εcu = 3, 5 ⋅ 10
−3 = 3, 5%∘
εc2 = 2%0 + 0, 085% ⋅ (fck − 50)
0,53;
εcu = 2, 6%0 + 35% ⋅ [(90 − fck)/100]
4;
(εcu)
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para prevenir deformação plástica excessiva.
A tensão de cálculo na armadura é obtida a partir do diagrama de tensão deformação do aço e é dada pela
divisão da resistência última do aço pelo seu coeficiente de ponderação , obtendo-se a seguinte equação:
A distribuição das tensões dos concretos até a classe C50 é realizada de acordo com o diagrama parábola-retângulo
para o qual é permitida (pela ABNT NBR 6118:2004) a transformação para o diagrama tensão-deformação simplificado
do concreto. A tensão máxima do concreto no diagrama parábola-retângulo é: . Esse diagrama é formado por
uma parábola do grau com vértice na fibra correspondente à deformação de compressão de e um trecho reto
entre as deformações e .
Como citado anteriormente, a norma permite a utilização do diagrama simplificado em substituição ao diagrama
parábola-retângulo esquematizado na imagem 11. Nesse caso, considera-se a profundidade da linha neutra igual
, e as seguintes tensões são consideradas:
 para zonas comprimidas de largura constante ou crescente no sentido das fibras
mais comprimidas a partir da linha neutra;
 para zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais
comprimidas a partir da linha neutra.
Imagem 11 - Diagramas de tensões no concreto no estado limite último para concretos até a classe C50.
Na imagem 11, é a área de aço na zona comprimida; , a área de aço na zona tracionada; , a distância entre o
centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida e a face mais próxima do elemento estrutural; e , o
alongamento do aço.
Já a distribuição das tensões para concretos das classes C50 a C90 se faz de acordo com um diagrama curvo e
retangular com tensão de pico igual a: . Esse diagrama, conforme a ABNT NBR 6118:2014, pode ser
substituído por um retângulo com profundidade da linha neutra dada pela seguinte equação:
Nesta equação:
A tensão pode ser admitida constante até a profundidade da linha neutra, sendo igual a:
 quando a largura da seção, medida paralelamente em relação à linha neutra, não diminuir a partir
desta para a borda comprimida;
 Quando ocorre o contrário.
Em que:
Para concretos de classes até
C50.
Para classes C 50 até C90.
Entendidas as deformações e as tensões últimas, seguiremos para o próximo item com o objetivo de compreender os
domínios de deformação dos sistemas de concreto armado.
εcu = 10, 0 ⋅ 10
−3 = 10, 0%0
(fyd) x
(fyk) (γs)
fyd =
fyk
γs
0, 85 ⋅ fcd
2∘ 2%
2% 3, 5%
(y)
a : 0, 8 ⋅ x;
0, 85 ⋅ fcd =
0,85⋅fck
γc
:
0, 80 ⋅ fcd =
0,80⋅fck
γc
:
A′s As d
′
εs
0, 85 ⋅ fcd
(y)
y = λ ⋅ x
λ = 0, 8 :  para fck ≤ 50MPa
λ = 0, 8 − (fck − 50)/400 : para fck > 50MPa (fckemMPa)
αc ⋅ fcd :
0, 9 ⋅ αc ⋅ fcd :
αc = 0, 85
αc = 0, 85 ⋅ [1 −
fck−50
200
]
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Domínios de deformação na seção transversal
Os domínios de deformação representam diversas possibilidades de ruína da seção do elemento estrutural. Podemos
ter deformação excessiva da armadura, esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas ou
esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas.
Para um bom dimensionamento e desempenho daestrutura, é essencial que o engenheiro
calculista identifique em qual domínio o elemento estrutural está trabalhando.
Vejamos a representação gráfica dos domínios de deformação.
Imagem 12 - Domínios de deformação no estado limite último em uma seção transversal para concretos até C50.
Tem-se seis domínios de deformação para os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo da
seção transversal retangular com armadura apenas na região de tração em elementos submetidos a esforços normais,
conforme ilustra a Imagem 12 para concretos de classe até C50.
 1 de 2 
Cada trecho do diagrama apresentado nas Imagens 12 e 13 será descrito e explicado nas seções seguintes.
Com objetivo esclarcer melhor esse tópico, as dimensões altura de seção transversal , distância do centro de
gravidade da armadura longitudinal tracionada até a fibra mais comprimida de concreto, também chamada de altura útil
da seção , e a distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal comprimida e a face mais próxima do
elemento estrutural comprimido são apresentadas na imagem 14, assim como a largura da seção transversal de
vigas de seção retangular. Vale citar que é comum no pré-projeto utilizar .
Imagem 14 - Representação das dimensões em uma viga com seção retangular.
É preciso saber em qual domínio está situado o diagrama de deformações ( imagem 12 e imagem 13) do elemento a ser
dimensionado com a finalidade de determinar a resistência de cálculo de uma dada seção transversal. O engenheiro
calculista deve buscar o dimensionamento das vigas e lajes nos domínios 2 e 3 e, para o dimensionamento de pilares,
os domínios 4, 4a e 5. Essa busca é importante para evitar rupturas. Vejamos:
Domínio 2
Em elementos estruturais, subarmados
e dimensionados no domínio 2, a
ruptura ocorre por deformação
excessiva da armadura, uma ruptura
convencional, sem haver o
esmagamento do concreto. Nesta
situação, consideramos a ruptura
como dúctil.
Limite do domínio 3 e 4
Em peças normalmente armadas, a
ruptura ocorre no limite do domínio 3 e
4, havendo o esmagamento do
concreto e o escoamento da
armadura.
Domínio 4
Já em elementos superarmados,
dimensionados no domínio 4, o aço
não escoa e a ruptura ocorre por
esmagamento do concreto. Nesse
caso, temos a ruptura frágil, que ocorre
de forma brusca, ou seja, sem aviso
prévio.
Essas situações devem ser evitadas. Para isso, fazemos o emprego de armadura dupla.
(h)
(d)
(d′)
d = 0, 9.h
 
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Com o objetivo de explicar cada um desses domínios, nos itens seguintes eles serão abordados de forma
individualizada. Vale ressaltar que, neste conteúdo, serão considerados apenas concretos para classes até C50.
Domínio 1
O domínio 1 tem início com e , na reta "a", com a profundidade da linha neutra .
Nessa situação, a seção encontra-se sob tração uniforme. Para , a deformação no concreto devido à tração
diminui, enquanto a deformação no aço permanece . O término ocorre com e . A linha neutra
se encontra no limite superior da seção transversal; com isso, temos .
Nesse domínio, a reta de deformação gira em torno do ponto A, a linha neutra fica fora da seção transversal e a seção
resistente é composta pelo aço, não havendo participação do concreto, pois ele se encontra totalmente fissurado devido
às tensões de tração. Todas as situações descritas acima são ilustradas de forma esquemática na imagem 15, sendo
que o último desenho do esquema mostra o giro em torna do ponto A e a faixa do domínio 1 (para uma melhor
compreensão, vale ver novamente a Imagem 12. Não há ocorrência de compressão na seção transversal do elemento.
Imagem 15 - Características do domínio 1.
Domínio 2
O domínio 2 tem início no término do domínio 1, ou seja, com e , e . O término ocorre com
, , e , com a linha neutra cortando a seção transversal. Com isso, temos a
parte superior comprimida e a parte inferior tracionada, conforme representa a imagem 16. A reta também gira em torno
do ponto A. A determinação de é realizada pela semelhança de triângulos:
O concreto não alcança a ruptura, pois: . Já o aço está no limite último caracterizado por ,
com grandes deformações. A seção resistente é composta de aço tracionado e concreto comprimido, e apenas o aço
atinge o seu limite máximo. colapso ocorre com aviso prévio, grande de formação e intensa fissuração, acontecendo
em peças com flexão simples ou composta.
Imagem 16 - Características do domínio 2.
Domínio 3
O domínio 3 tem início no término do domínio 2, ou seja, com e O
término ocorre com (deformação específica de escoamento do aço), (deformação de ruptura
do concreto) e , que varia com o tipo de aço empregado e a linha neutra cortando a seção transversal. Com isso,
temos tração e compressão na seção transversal. As características do domínio 3 são ilustradas na Imagem 17. Nesse
domínio, a reta gira em torno do ponto B. A semelhança de triângulos, realizada para determinar , é a seguinte:
A seção resistente é composta de aço tracionado e concreto comprimido. Ocorre uma grande deformação no aço e
ruptura do concreto, que se dá com o escoamento do aço. Desse modo, o colapso se dá com aviso prévio. Até o
domínio 3, as peças estruturais sãosub armadas. O ideal, com peças normalmente armadas, ocorre em
dimensionamentos no domínio 3 perto do domínio 4.
εs = 10% εc = 10%0 x = −∞
x < 0
10% εs = 10% εc = 0
x1 = 0
εs = 10%0 εc = 0 x1 = 0
εs = 10% εc = −3, 5% x2 = 0, 259. d
x2
εc < −3, 5% εs = 10%
O
0,0035
x2
=
0,01
d−x2
→ x2 = 0, 259 ⋅ d
εs = 10%0 εc = −3, 5%∘, e x2 = 0, 259. d.
εs = εyd εc = −3, 5%
x = x3
x3
0,0035
x3
=
εyd
d−x3
→ x3 =
0,0035⋅d
εyd+0,0035
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Imagem 17 - Características do domínio 3.
Domínio 4
O domínio 4 tem início no término do domínio 3, ou seja, com , e e . Já o término
ocorre com , , e . Com a linha neutra cortando a seção transversal, temos uma
seção resistente com aço tracionado e concreto comprimido. As características do domínio 4 são ilustradas na imagem
18: nesse domínio, a reta gira em torno do ponto B.
Apenas o concreto alcança a ruptura: . A ruptura é frágil, pois o concreto rompe sem que a armadura
atinja seu valor máximo. Com isso, o colapso ocorre sem aviso prévio. Os elementos estruturais dimensionados nesse
domínio são superarmados, sendo, portanto, antieconômicos.
Imagem 18 - Características do domínio 4.
Domínio 4a
O domínio 4a tem início no término do domínio 4, ou seja, com , , e O término
ocorre com (compressão), e . Com a linha neutra no limite inferior da seção
transversal, temos uma seção resistente com aço e concreto comprimidos. As características do domínio 4a estão
ilustradas na imagem 19. Nesse domínio, a reta também gira em torno do ponto B.
Apenas o concreto alcança a ruptura: . As armaduras se encontram comprimidas. O colapso ocorre com
ruptura frágil, sem aviso prévio, ou seja, sem a ocorrência de fissuração. Os pilares normalmente são dimensionados
nesse domínio.
Imagem 19 - Características do domínio 4a.
Domínio 5
O domínio 5 tem início no término do domínio 4a, ou seja, com , e . O término
ocorre com: , e , ou seja, na reta "b" com compressão uniforme. A reta gira
em torno do ponto C e apenas o concreto alcança a ruptura: (na flexocompressão). Dessa forma, a
ruptura é frágil e o colapso ocorre sem aviso prévio, ou seja, sem fissuração. A linha neutra não corta a seção
transversal, sendo essa seção composta de aço e concreto comprimidos. As características desse domínio são
ilustradas na imagem 20. A semelhança de triângulos para determinar a distância do ponto C é:
εs = εyd εc = −3, 5%0 x = x3
εs = 0 εc = −3, 5% x = x4 = d
εc = −3, 5%
εs = 0 εc = −3, 5%0 x = x4 = d.
εs < 0 εc = −3, 5% x = x4a = h
εc = −3, 5%
εs < 0 εc = −3, 5%0 x = x4a = h
εs = −2%0 εc = −2%0 x = x5 = +∞
εc = −3, 5%
0,0035−0,0020
a
=
0,0020
h−a
→ a =
3
7
⋅ h
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Imagem 20 - Características do domínio 5.
Questão 1
O engenheiro estrutural, ao fazer o cálculo do elemento deconcreto armado dentro dos domínios de deformação,
precisa considerar quais tipos de deformações e tensões?
Questão 2
Os domínios de deformação classificam as diversas possibilidades de colapso da seção do elemento estrutural, que
podem ser por deformação excessiva da armadura, por esmagamento do concreto em seções parcialmente
comprimidas ou por esmagamento dele em seções totalmente comprimidas. A seguir é apresentada uma frase que
caracteriza um desses domínios:
Nesse domínio, a linha neutra corta a seção transversal; logo, a seção resistente é composta de aço tracionado e
concreto comprimido, e a reta gira em torno do ponto B. Ocorre grande deformação no aço e ruptura do concreto, que
se dá com o escoamento do aço. Desse modo, o colapso ocorre com aviso prévio.
Marque a opção que apresenta o domínio correspondente à frase descrita acima.
3
Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar cálculos para o dimensionamento da armadura longitudinal.

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
A Específicas; de flexão.
B Últimas; últimas.
C Características; específicas.
D Características; características.
E Últimas; características.
Responder
A Domínio 1
B Domínio 2
C Domínio 3
D Domínio 4
E Domínio 5
Responder

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Como dimensionar os elementos submetidos à �exão
Cálculo da armadura longitudinal
O cálculo da armadura longitudinal é utilizado para a determinação da área de aço em elementos submetidos à flexão
normal, como as vigas. No dimensionamento da quantidade de armadura longitudinal para seções transversais
retangulares, são conhecidos a resistência do concreto , a largura da seção , a altura útil e o tipo de aço
(sua tensão e sua deformação específica ). Ele é realizado a partir do equilíbrio de forças e momentos na
seção transversal.
A ABNT NBR 61118:2014, a fim de garantir a ductilidade do elemento estrutural (no caso de vigas e lajes), afirma que a
posição da linha neutra no ELU deve ser limitada aos valores:
 para concretos com 
 para concretos com 
Portanto, para o estudo do dimensionamento da armadura longitudinal, este módulo será subdividido em: equações
para concretos de classes até C50 e equações para concretos de classes entre C50 e C90, além de dimensionamentos
específicos para o máximo momento resistente na seção, a altura mínima de uma seção com armadura simples e o
cálculo de armadura dupla.
Equacionamento para concretos de classe até C50
Em um elemento de seção retangular, os diagramas de deformações e tensões na seção solicitada para flexão simples
para concretos até C50, sem considerar a ductilidade , são apresentados na imagem a seguir. Nesse
caso, depende da deformação específica de cálculo do aço Para considerar o aumento de ductilidade
proposto pela ABNT NBR 6118: 2014, basta substituir o por (deformação específica limite), que corresponde ao
valor de .
Imagem 21 - Elemento de seção retangular e diagramas na seção solicitada para flexão simples em concretos até C50 sem considerar a ductilidade.
As equações para o cálculo da armadura longitudinal são obtidas por meio do equilibrio de forças e momentos na seção
transversal do elemento. Com o objetivo de obter equaçốes padronizadas, vamos adotar como conhecidos os
parâmetros: e Além disso, consideraremos o momento de cálculo igual a:
Sendo o momento atuante na seção devido aos esforços solicitantes. A seguir, será apresentado o passo a passo
para o dimensionamento da armadura longitudinal tracionada .

(fck) (b) (d)
−fyd− −εyd
x
d
≤ 0, 45 → fck ≤ 50MPa;
x
d
≤ 0, 35 → 50MPa < fck < 90MPa
(
x
d
≤ 0, 45)
x
d
(εyd).
εyd εlim
x
d
= 0, 45
fck, b, d, fyd εyd.
Md = γc ⋅ M = 1, 4 ⋅ M
M
(As)
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Equilíbrio da seção
O equilíbrio de esforços na seção transversal, forças e momentos, será realizado considerando o esquema apresentado
na imagem a seguir.
Como não há força externa, o equilibrio de forças é
realizado levando-se em consideração apenas as forças
internas. Logo, o somatório de forças considerará a
resultante da força atuante no concreto e a
resultante da força atuante no aço , como mostra
esta equação:
Imagem 22 - Ações externas e internas na seção transversal para o cálculo de
equilíbrio de esforços.
As resultantes das forças do concreto e do aço são obtidas graças à relação entre força, tensão e área
. Vamos considerar que a peça esteja trabalhando no domínio 2 ou 3 (caso de vigas);
por isso, e Assim chegamos às seguintes equaçốes:
Fazendo o equilíbrio de momentos no ponto (indicado na imagem 22), temos:
É importante conhecer a posição da linha neutra para poder identificar o domínio em que a peça está trabalhando e
calcular a resultante de força no concreto e o braço de alavanca dado pela equação:
Substituindo a equação do braço de alavanca na equação do momento de cálculo, temos:
Resolvendo a equação acima, obtém-se o valor de , que é fundamental para o dimensionamento da armadura
longitudinal. Verifica-se que não varia de forma linear com o , mas segue um polinômio de segundo grau, como
mostra esta equação:
Para determinar a área de aço da armadura longitudinal, é feito o somatório de momento no ponto a (veja a
imagem 22), como mostra a seguinte equação:
Logo:
Após calcular a profundidade da linha neutra, é possível determinar qual o domínio a peça atingirá no seu estado limite
último. Na flexão simples, que está sendo considerada neste tópico, os domínios possíveis são o 2, o 3 e o 4. Sendo a
melhor opção que a peça trabalhe no domínio 3, o 2 é aceitável, enquanto o 4 tem de ser evitado devido à ruptura frágil,
entre outros motivos.
Como as seções permanecem planas após a deformação,
podemos relacionar a profundidade da linha neutra com a
altura útil, utilizando, para tal, a semelhança de triângulos
ABC e ADE apresentada a seguir. A relação entre x e d é
dada pela equação:
Imagem 23 - Relação entre a posição da linha neutra e a altura útil.
No término do domínio 2 e em todo o domínio 3 , a deformação específica do concreto é dada por:
 Substituindo na equação acima, temos a posição da linha neutra dada por esta equação:
(Fc)
(Fs)
∑F→+ = 0 : Fc − Fs = 0 → Fc = Fs
(Força = Tensão × Área)
εs = εyd fs = fyd.
Fs = fyd ⋅ As
Fc = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ Ac = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x
c
(∑Mc) = 0 : Md − Fc ⋅ z = 0 → Md = 0, 85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x ⋅ z
(x)
(z)
z = d −
0,8
2
⋅ x = d − 0, 4 ⋅ x
Md = 0, 85fcd ⋅ b ⋅ 0, 8 ⋅ x ⋅ (d − 0, 4x)
Md = (0, 68 ⋅ x ⋅ d − 0, 272 ⋅ x2) ⋅ b ⋅ fcd
x
x Md
x =
0, 68 ⋅ d ± √(0, 68 ⋅ d)2 − 4.0, 272 ⋅ ( Md
b⋅fcd
)
0, 544
(As)
(∑Mb) = 0 : Md − Fs ⋅ z = 0 → Md = fyd ⋅ As ⋅ z
As =
Md
fyd⋅z
x
εc
=
d
εc+εs
∴
x
d
=
εc
εc+εs
εc = 3, 5%0 = 0, 0035.
x
d
=
0,0035
0,0035+εs
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Portanto, para uma seção conhecida, a posição da linha neutra no domínio 3 dependerá apenas da deformação
específica do aço. De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, não devemos usar valores do domínio 3 que sejam
superiores a ; sendo assim, também não cabe o estudo para o limite entre o domínio 3 e o 4.
Exemplo de aplicação da teoria
Para a resolução de exercícios, vale lembrar que o limite entre os domínios 2 e 3 é dado pelos valores e
, com , e que o limite de utilização do domínio 3 é .
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um momento fletor
solicitante de , determine a área de aço necessária.
Dados:
Aço CA .
Veja a solução em três etapas:
Equacionamento para concretos de qualquer classe
O equacionamento para o cálculo da armadura longitudinal é realizado da mesma forma que para concretos de classes
até , porém aparecem os termos e . As equaçőes a serem utilizadas para o dimensionamento são:
Sendo que e devem ser empregados em função da classe do concreto e das condiçốes de ductilidade. As
equações para e foram apresentadas no módulo 2.
Cálculo do máximo momento resistente na seção
Conhecidasa armadura longitudinal, a seção e as propriedades do material, o cálculo do momento máximo resistente
na seção se torna uma situação comum na prática. Para o cálculo, consideramos que a seção trabalhará entre o início
do domínio 2 até o limite do domínio 3 e que o aço tracionado estará escoando, ou seja, e
, assim como o concreto com classe até . Sabendo que:
x = 0, 45 ⋅ d
εs = 10%0
εc = −3, 5%0 x = 0, 259 ⋅ d; x = 0, 45 ⋅ d
b = 14 cm d = 36 cm
(M) 20kN. m; (As)
fck = 25MPa
50 (fyk = 500MPa)
Determinar a profundidade da linha neutra x 
Verificar o domínio de trabalho da viga 
Cálculo de As 
C50 αc λ
Fc = Fs
Md = Fc∗z = Fs′z
Fc = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ λ ⋅ x
z = d −
1
2
⋅ λ ⋅ x
Md = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ λ ⋅ x ⋅ (d − 0, 5 ⋅ λ ⋅ x)
Md = (αc ⋅ fcd) ⋅ b ⋅ (λ ⋅ x, d − 0, 5 ⋅ λ2 ⋅ x2)
x =
d ± √d2 − 2 ⋅ ( Md
b⋅αc⋅fcd
)
λ
As =
Md
fyd ⋅ z
x
d
=
εcu
εcu + εs
εcu,αc λ
αc λ
x = 0, 45 ⋅ d fs = fyd
εs = εyd 50MPa
Fs = As′fyd;Md = Fs ⋅ z; z = d − 0, 4 ⋅ xex =
As ⋅ fyd
0, 68 ⋅ b ⋅ fcd
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Temos que o momento máximo resistido na seção, conhecida , é dado por:
Vale lembrar que a profundidade da linha neutra deve atender ao limite e que, caso isso não ocorra,
deve-se aumentar a altura útil da viga ou utilizar uma armadura de compressão (armadura dupla). Contudo, esse
assunto não será abordado em nosso estudo.
Exemplo prático
Obtenha o momento máximo resistente que pode ser aplicado a uma viga de seção retangular de concreto armado, com
largura e altura útil , para uma área de aço .
Dados:
Veja a solução em três etapas:
Cálculo do máximo momento resistente da seção com armadura simples
Quando a viga apresenta armadura longitudinal apenas na região tracionada, não sendo necessária uma armadura na
região comprimida, dizemos que se trata de uma viga com armadura simples. Para uma viga com essa armadura,
determinada seção e submetida à ação de um momento fletor, podemos determinar a menor altura útil necessária
 a partir destas equações:
Assim, temos que:
Impondo o limite de , a altura última mínima ocorre quando ; logo:
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um momento fletor solicitante 
de determinar a altura útil mínima e a área de aço necessária.
Dados:
Veja a solução em duas etapas:
As
Md = As′fyd⋅(d − 0, 4 ⋅ x)
x = 0, 45 ⋅ d.
b = 14 cm d = 36 cm As = 1, 5 cm
2
fck = 25MPa;
 Aço CA 50 (fyk = 500MPa)
Calcular a profundidade da linha neutra e verificar o domínio de trabalho 
Calcular o momento resistente de cálculo 
Calcular o momento máximo resistido pela viga 
(dmin)
Md = (0, 68 ⋅ x ⋅ d − 0, 272 ⋅ x2) ⋅ b ⋅ fcd,
e
ξ =
x
d
=
εc
εc + εs
Md = (0, 68 ⋅ ξ ⋅ d2 − 0, 272 ⋅ ξ2 ⋅ d2) ⋅ b ⋅ fcd
ξ = x/d ≤ 0, 45 ξ = 0, 45
dmin = 2, 0 ⋅ √
Md
b ⋅ fcd
b = 14cm (M)
20 kN ⋅ m; (dmin) (As)
fck = 25MPa
 Aço CA 50 (fyk = 500MPa)
Determinar dmin 
Calcular a armadura necessária para dmin = 21, 17 cm 
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Cálculo de seções com armadura dupla
O engenheiro estrutural poderá encontrar situações em que, por imposição de projeto, seja ele arquitetônico ou até
mesmo estrutural, será necessário dimensionar uma viga para uma altura menor do que a mínima determinada por 
e exigida pelo momento fletor atuante de cálculo .
Para essas situações, será necessário determinar o momento de cálculo máximo suportado pela seção transversal da
viga utilizando a armadura simples Esse momento será limitado pela profundidade limite da linha neutra
 (domínio 3). A diferença entre o momento de cálculo aplicado à estrutura e o momento limite, 
é dada por:
Já será resistida por uma armadura longitudinal posicionada na região de compressão da seccão transversal
, a qual, para essa situação, chamamos de armadura dupla. Em busca do equilíbrio de forças no elemento
estrutural, a área de armadura longitudinal comprimida deverá ser somada à armadura longitudinal tracionada. Dessa
forma, será dado por:
Em que corresponde à armadura longitudinal tracionada que resiste ao momento fletor .
Imagem 24 - Seção transversal e esquema de cálculo para seção transversal com armadura dupla.
A imagem 24 apresenta uma seção transversal com armadura dupla para um momento fletor positivo e o esquema de
cálculo utilizado para obter as equações do dimensionamento de vigas em que se faz necessária a armadura dupla. O
dimensionamento é separado em duas partes. Primeiramente, calcula-se o momento fletor limite para a armadura
simples e a área de aço para essa armadura Em seguida, calcula-se a armadura necessária para resistir ao
momento .
Nesse caso, não se considera a resistência do concreto, pois ela já foi considerada no primeiro cálculo. Resolvendo de
forma análoga ao procedimento para determinar a armadura longitudinal simples (equacionamento para concretos de
classe até C50), chega-se às seguintes equações:
Nesta equação:
É a distância do centro da armadura comprimida à borda comprimida da seção
transversal.
É a tensão de compressão na armadura longitudinal.
Para peças trabalhando até o limite no domínio 3 estabelecido pela ABNT NBR
6118:2014.
Portanto:
dmin
(Md)
(Md,lim).
xlim = 0, 45 ⋅ d ΔM,
ΔM = Md − Md,lim
ΔM
(A′
s
)
As
As = As,lim + A′s
As,lim Md,lim
(As,lim).
ΔM
Md,lim = 0, 25092 ⋅ b ⋅ d
2 ⋅ fcd
As,lim = 0, 306 ⋅ b ⋅ d ⋅
fcd
fyd
A′s =
Md − Md,lim
σ′
sd
(d − d′)
d′
σ′
sd
σ′
sd
= fyd
As = As,lim +
Md−Md,lim
fyd(d−d′)
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Questão 1
O engenheiro estrutural da obra de uma casa unifamiliar, ao verificar seu projeto, ficou em dúvida sobre a área de aço
 adotada em determinada viga. Ele retirou do projeto da viga as seguintes informações:
Concreto: 
Aço da armadura longitudinal: CA 50
Largura da viga: 
Altura útil da seção: 
Momento fletor atuante de cálculo: 
Em seguida, ele refez o cálculo. Marque a opção que apresenta o valor que mais se aproxima da encontrada pelo
engenheiro ao recalcular a viga.
Questão 2
Dois anos após a conclusão da obra de uma residência, os proprietários chamaram o engenheiro calculista para
saber se poderiam acrescentar um carregamento em uma viga na garagem. O engenheiro, de posse dos projetos,
obteve as seguintes informações:
Concreto: 
Aço da armadura longitudinal: CA 50
Área de aço da armadura longitudinal: 
Armadura simples
Largura da viga: 
Altura útil da seção: 
A partir dessas informações, ele calculou o momento máximo que poderia ser aplicado na viga em questão. Indique
a opção que apresenta o valor mais próximo do obtido pelo engenheiro.
4
Análise de uso de tabelas adimensionais
Ao final deste módulo, você será capaz de interpretar as tabelas adimensionais para o dimensionamento do elemento estrutural.

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
(As)
fck = 20MPa
b = 12 cm
d = 27 cm
M = 12kN ⋅ m
As
A 0,57cm²
B 1,57cm²
C 2,57cm²
D 3,57cm²
E 4,57cm²
Responder
fck = 25MPa
3, 0 cm2
b = 14 cm
d = 36 cm
A 16,4kN.m
B 22,3kN.m
C 30,7kN.m
D 42,9kN.m
E 54,6kN.m
Responder

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Como buscar os valores para o dimensionamento nas tabelas
adimensionais
Uso de tabelas adimensionais
As tabelas adimensionais são utilizadas como facilitadoras para o dimensionamento de estruturas de concreto armado.
Elas permitem o emprego de diversos sistemas de unidades e a utilização de quadros e gráficos. Como consequência,
essas tabelas simplificam os cálculos de dimensionamento dos elementos.
As equações que utilizam tabelas adimensionais para concretos de classe até C50 serão apresentadas a seguir.
Equações de dimensionamento utilizando as tabelas adimensionais
Neste item, serão apresentadas as equações de dimensionamento nos casos em que são utilizadas as tabelas
adimensionais para o cálculo de elementos estruturais.
As tabelas adimensionais
Como só admite valores de 0 a 1, constitui-se uma tabela variando o valor de dentro dessa intervalo. Cada
valor arbitrário de corresponde a um valor de e outro de , ambos calculados pelas equações
apresentadas no item anterior.Conhecendo , é possível determinar e, como par das deformações, identificar o
domínio no qual a peça está trabalhando.
A tabela 1 é uma tabela adimensional com valores de , além da indicação do domínio de
deformação para aço CA 50 e concretos de classe até C50 (apenas para os domínios de deformação 2 e 3).
0,005 0,010 0,015 0,020
0,07 0,015 0,022 0,030
0,997 0,994 0,991 0,988
0,07 0,15 0,23 0,31
10,00 10,00 10,00 10,00
Domínio 2 2 2 2
Tabela 1 - Tabela adimensional para o dimensionamento de armadura longitudinal para aço CA 50 e concreto até C50.
Elaborado por Larissa Camporez Araújo.
Exemplos de aplicação
Agora veremos alguns exemplos de dimensionamento utilizando a tabela unidimensional.
Exemplo prático

Equação para obter o Md 
Equação para obter z 
Equação para o cálculo de As 
Equação para determinar x 
KX KX
KX KMD KZ
εc oεs
KMD,KX,KZ, εc, εs
KMD
KX
KZ
εc
εs
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Dada uma seção retangular de concreto armado com e altura útil sob a ação de um momento
fletor solicitante de , determine a área de aço longitudinal necessária. Utilize a tabela
adimensional.
Dados:
Aço CA 
Veja a solução em três etapas:
Exemplo prático
Dada uma seção retangular de concreto armado com e sob a ação de um momento fletor solicitante 
de determine a área de aço longitudinal necessária considerando Utilize a tabela adimensional.
Dados:
Aço CA 
Solução:
Questão 1
Um jovem, com o intuito de ampliar sua residência, contratou um engenheiro estrutural para elaborar o projeto de
expansão. O engenheiro concluiu que, nessa expansão, será necessária uma viga para suportar um momento atuante
de cuja seção transversal tem e altura útil Para o dimensionamento,
ele utilizou o auxílio das tabelas adimensionais e optou por usar concreto de e aço . Sendo
assim, ele obteve a área de aço de armadura longitudinal, , igual a:
Questão 2
Durante a fase de armação dos elementos estruturais de uma obra, o cliente decidiu paralisá-la para solicitar o
aumento de esforços em determinada região do projeto. O engenheiro calculista, responsável pelo projeto da obra,
concluiu que o aumento dos esforços resultaria em um momento atuante de em uma viga. A fim de obter
a menor altura para essa viga, o engenheiro fez o cálculo da armadura longitudinal utilizando a altura útil
mínima e mantendo a largura da viga Sabendo que a resistência característica de projeto do
concreto para essa obra é e que o aço utilizado é o CA 50, a obtida nos cálculos do engenheiro,
sabendo que ele utilizou o auxílio das tabelas adimensionais, foi de:
b = 14 cm d = 36 cm
(M) 20kN ⋅ m (As)
fck = 25MPa;
50 (fyk = 500MPa)
Calcular KMD 
Determinar e o dominio a partir da tabela adimensionalKX,KZ, εc, εs 
Determinar a área de aço As 
b = 14cm (M)
20kN ⋅ m (As) dmin.
fck = 25MPa
50 (fyk = 500MPa).
Determinar dmin 
Calcular KMD 
Determinar e o dominio a partir da tabela adimensionalKX,KZ, εc, εs 
Determinar a área de aço As 

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
30kN ⋅ m largura = 14 cm d = 36 cm.
fck = 30MPa CA50
As
A 0,88cm²
B 1,22cm²
C 1,88cm²
D 2,22cm²
E 2,88cm²
Responder
35kN ⋅ m
(As)
(dmin) b = 16 cm.
fck = 25MPa As
A 2,26cm²
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Considerações �nais
Como vimos neste conteúdo, o dimensionamento da área de aço necessária para armaduras longitudinais submetidas à
flexão faz parte do cotidiano do engenheiro estrutural. Saber não apenas dimensionar a partir de um projeto novo, mas
também proporcionar soluções para projetos já realizados ou em andamento, faz parte do escopo do engenheiro
calculista.
Estabelecemos também a compreensão dos tipos de flexão e a identificação do estádio e de como ocorre o colapso de
elementos submetidos à momento fletor são indispensáveis para a elaboração do dimensionamento de um projeto
estrutural que atenda aos requisitos de norma. Conhecemos ainda as formas de classificar o domínio de trabalho ao
qual a peça está submetida e o comportamento dela nesse domínio, como, por exemplo, se o elemento está sendo
dimensionado para um colapso dúctil com aviso prévio, ocorrência de fissuras e deformação excessiva do aço, ou para
uma ruptura frágil, sem aviso prévio e colapso do concreto, o que também é extremamente relevante para a correta
elaboração do dimensionamento à flexão.
O principal objetivo do estudo do dimensionamento das estruturas de concreto armado submetidas à flexão é
proporcionar ao engenheiro civil conhecimentos básicos de uso rotineiro para apresentar soluções estruturais às peças
submetidas a um esforço de momento fletor.
Podcast
Agora a especialista Larissa Camporez Araújo fará um resumo do conteúdo abordado.
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Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118: projeto de estruturas de concreto –
procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 8953: Concreto para fins estruturais. Rio de Janeiro:
ABNT, 2015.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR ISO 6892-2: materiais metálicos – ensaio de tração. Rio
de Janeiro: ABNT, 2013.
CARVALHO, R. C., FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR
6118:2014. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2014. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
PARIZOTTO, L. Concreto armado [recurso eletrônico]. Porto Alegre: SAGAH, 2017.
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Pesquise o artigo Novo modelo de projeto de vigas de concreto armado na flexão considerando o fator de ductilidade e
veja como os autores Caio G. Nogueira e Isabela D. Rodrigues apresentam um novo roteiro de dimensionamento de
peças submetidas à flexão simples considerando o fator de ductilidade, que quantifica a capacidade da estrutura de
suportar deslocamentos antes de se romper. 
Pesquise a dissertação de mestrado Instabilidade e dimensionamento de pilares de concreto armado de seção
poligonal submetidos à flexão composta oblíqua e veja como o autor Lucas Peres de Souza aborda a flexão composta
obliqua em pilares. 
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