D Aula IV Torção

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TORÇÃO 
Prof.: Eng. Civil Esp. Ricardo Paganin 
E-mail: engpaganin@gmail.com 
1 
Momento Torsor 
• O torque é um momento que tende a torcer um elemento 
em torno de seu eixo longitudinal. 
• Considerando a ação de uma força transversal a uma 
seção, pode-se definir o momento de torque, como 
sendo: 
 
 
𝑀𝑡 = 𝐹 ∗ 𝑑 
 
 
 
2 
Torção 
• Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o 
raio do eixo permanecerão inalterados. 
 
 
 
3 
Torção 
• Quando um esforço externo de torção é aplicado a uma 
peça, internamente também surgem esforços de torção, 
que tendem a promover o cisalhamento entre as infinitas 
camadas deste material. 
• Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se 
aplica. 
 
 
 
4 
Torção 
• Assim, a tensão de cisalhamento máxima no eixo analisado, 
pode ser determinada pela equação: 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑀𝑡 ∗ 𝑟
𝐽
 
• Onde: 
• 𝜏𝑚á𝑥 = tensão de cisalhamento máxima no eixo; 
• 𝑀𝑡 = Torque resultante; 
• 𝐽 = Momento polar de inércia da seção transversal; 
• 𝑟 = raio externo. 
 
• A tensão em qualquer ponto da seção circular também pode 
ser encontrada, substituindo-se o raio pela distância 
intermediária desejada. 
5 
Torção 
6 
• O momento polar de inercia de uma seção circular 
maciça é: 
𝐽 = 
𝜋 ∗ 𝑟4
2
 𝑜𝑢 
𝜋 ∗ 𝑑4
32
 
 
• Se o eixo for de uma seção tubular: 
 
𝐽 = 
𝜋 ∗ (𝑟𝑒
4 − 𝑟𝑖
4)
2
 
 ou 
𝐽 = 
𝜋 ∗ (𝑑𝑒
4 − 𝑑𝑖
4)
32
 
Torção 
7 
• Exemplos: 
• 1) A distribuição de tensão em um eixo foi representada 
em gráfico ao longo de três linhas radiais, conforme a 
figura. Determine o torque interno resultante na seção. 
(𝑀𝑡 = 11𝑘𝑁.𝑚) 
Torção 
8 
• Exemplos: 
• 2) O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três 
torques. Determine a tensão de cisalhamento 
desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a-a 
do eixo. 
Torção 
9 
• Exemplos: 
• 3) O tubo mostrado tem diâmetro interno de 80 mm e 
externo de 100 mm. Se um esforço de 80 N, for aplicado, 
conforme mostra a figura, determine as tensões de 
cisalhamento ao longo da seção interna e externa do 
tubo. (𝜏𝑖 = 0,276 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜏𝑒 = 0,345 𝑀𝑃𝑎) 
Torção 
10 
• Exemplos: 
• 4) Dado um eixo de aço (G = 0,84.106 kgf/cm²) construído 
de um trecho AB com diâmetro de 10 cm e um trecho BC 
com diâmetro de 7,5 cm. Pede-se: a) A maior tensão de 
cisalhamento no trecho AB. b) A maior tensão de 
cisalhamento no trecho BC. 
(𝜏𝐴𝐵 = 152,79 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚
2 𝑒 𝜏𝐵𝐶= 724,33𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²) 
Torção 
11 
• Exemplos: 
• 5) Para a estrutura abaixo determine: a) A maior tensão 
normal que age na peça. b) A maior tensão de 
cisalhamento tangencial. ( σ = 477,46 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜏 =
31,83 𝐺𝑃𝑎) 
Torção 
12 
• Exemplos: 
• 6) Seja um eixo de seção circular vazada, sujeito à ação 
de um momento torsor T de 60.000 kgf.cm e uma carga 
normal de tração de 20.000 kgf. Pede-se: a) A tensão de 
cisalhamento tangencial na parede interna da peça. b) A 
tensão normal causada pela força axial. c) A maior tensão 
de cisalhamento tangencial da peça. 
• a) 𝜏 = 1175,31 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 
• b) σ = 1273,88 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 
• c) 𝜏 = 1762,98 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 
 
Torção 
13 
• Exemplos: 
• 7) Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão de 
cisalhamento admissível de 84 MPa. Se o diâmetro do 
eixo for 37,5 mm, determine o torque máximo T que pode 
ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse 
feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo? 
• A) 𝑇 = 0,87 𝑘𝑁.𝑚 
• B) 𝑇′ = 0,7 𝑘𝑁.𝑚 
 
 
Torção 
14 
• Exemplos: 
• 8) O tubo é submetido a um torque de 750 N.m. 
Determine a parcela desse torque à qual a seção 
sombreada cinza externa (75 mm a 100 mm) resiste. 
• (T = 0,515 kN.m) 
 
 
Torção 
15 
• Exemplos: 
• 9) O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm. 
Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta ao 
eixo. Considere T1 = 20 N.m. 
• (𝜏𝑚𝑎𝑥 = 5,38 𝑀𝑃𝑎) 
 
 
Torção 
16 
• 10) O conjunto é composto por duas seções de tubos de 
aço galvanizado interligadas por uma redução em B. O 
tubo menor tem diâmetro externo de 18,75 mm e 
diâmetro interno de 17 mm, enquanto o tubo maior tem 
diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 21,5 
mm. Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C, 
determine as tensões de cisalhamento máximas 
desenvolvidas em cada seção do conjunto. 
• (𝜏𝐴𝐵 = 62,55 𝑀𝑃𝑎) 
• (𝜏𝐵𝐶 = 18,89 𝑀𝑃𝑎) 
 
 
Transmissão de Potência 
17 
• Eixos e tubos de seções transversais circulares, são 
frequentemente usados para transmitir potência 
desenvolvida por uma máquina. 
• Potência é definida como o trabalho realizado por 
unidade de tempo. Em um eixo rotativo com torque, a 
potência é dada por: 
 
𝑃 = 𝑀𝑡 ∗ 𝜔 
 
• 𝑃 = Potência (watt – W); 
• 𝑀𝑡 = Momento torsor (N.m); 
• 𝜔 = Velocidade angular (rad/s) 
 
 
Transmissão de Potência 
18 
• Como ω = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓, a potência também pode ser obtida, pela 
equação: 
 
𝑃 = 𝑀𝑡 ∗ 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 
 
• 𝑓 = frequência em Hz (Hertz), rps. 
• 1 rpm = 1/60 Hz. 
 
• Unidades de Interesse: 
• CV = Cavalo Vapor = 735,5 W; 
 
• HP = Horse – Power = 745,7 W 
 
• 1 HP = 1,0139 CV 
 
 
 
 
 
Transmissão de Potência 
19 
• Para um projeto de um eixo, quando a potência e a 
frequência de rotação são conhecidas, o torque pode ser 
determinado, e com isso é possível dimensionar o valor 
necessário, para a seção transversal. 
 
 
𝐽
𝑟
=
𝑀𝑡
𝜏𝐴𝑑𝑚
 
 
• Se o eixo for maciço é possível determinar uma valor 
único para o raio. Porém se o eixo for tubular, pode-se 
arbitrar um valor para o raio externo ou interno, e com 
isso determinar o outro valor desconhecido. 
 
 
 
Transmissão de Potência 
20 
• Exemplos: 
• 1) Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 
3.750 W do motor M ao qual é acoplado. Se o eixo girar a 
175 rpm, e o aço tiver uma tensão admissível de 100 
MPa, determinar o diâmetro exigido com precisão de mm. 
(𝑑 = 22 𝑚𝑚) 
Transmissão de Potência 
21 
• Exemplos: 
 
• 2) Um eixo tubular com diâmetro interno de 30 mm e 
diâmetro externo de 42 mm será usado para transmitir 90 
kW de potência. Determine a frequência de rotação do 
eixo de modo que a tensão de cisalhamento não 
ultrapasse 50 MPa. (𝑓 = 26,6 𝐻𝑧) 
Transmissão de Potência 
22 
• Exemplos: 
• 3) Um tubo de aço com diâmetro externo de 62,5 mm é 
usado para transmitir 3 kW quando gira a 27 rev/minuto. 
Determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o 
diâmetro interno d do tubo se a tensão de cisalhamento 
admissível for 70 MPa. (𝑑 = 55 𝑚𝑚) 
Transmissão de Potência 
23 
• Exemplos: 
• 4) O motor transmite 400 kW ao eixo de aço AB, o qual é 
tubular e tem diâmetro externo de 50 mm e diâmetro 
interno de 46 mm. Determine a maior frequência e a 
velocidade angular com a qual ele pode girar se a tensão 
de cisalhamento admissível para o material for de 175 
MPa. (𝑓 = 52,26 𝐻𝑧, e 𝜔 = 328,36 𝑟𝑎𝑑/𝑠) 
Transmissão de Potência 
24 
• Exemplos: 
• 5) Um motor redutor de 2,5 kW pode girar a 330 
rev/minuto. Se a tensão de cisalhamento última para o 
eixo é de 112 MPa, determine com aproximação de 
múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro do eixo que pode 
ser usado. Utilize para o motor 𝛾 = 2. (𝑑 = 20 𝑚𝑚) 
Ângulo de Torção 
25 
• Como vimos, o torque gera uma rotação, ou seja, uma 
deformação angularna peça. Este valor pode ser medido 
pela seguinte equação: 
 
𝜙 =
𝑀𝑡 ∗ 𝐿
𝐽 ∗ 𝐺
 
• Onde: 
• 𝜙 = ângulo de torção em radianos; 
• 𝑀𝑡 = Momento resultante (N.m); 
• 𝐽 = Momento Polar de Inércia (m4); 
• 𝐺 = Módulo de Elasticidade ao cisalhamento (N/m²). 
• O sinal, obedece a regra da mão direita. 
Ângulo de Torção 
26 
• Exemplos: 
• 1) O eixo maciço abaixo é feito em aço com módulo de 
elasticidade ao cisalhamento de 120 GPa. Sabendo que 
o eixo tem um diâmetro de 50 mm, determine o ângulo de 
torção para os trechos AB, BC e CD, assim como o 
ângulo de torção total do eixo (LAB = 150 cm, LBC = 70 cm, 
LCD = 120 cm). 
• 𝜙𝐴𝐵 = 0,001629 𝑟𝑎𝑑 
• 𝜙𝐵𝐶 = −0,000665 𝑟𝑎𝑑 
• 𝜙𝐶𝐷 = −0,000163 𝑟𝑎𝑑 
• 𝜙𝐴𝐷 = 0,000801 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
Ângulo de Torção 
27 
• Exemplos: 
• 2) As engrenagens acopladas à extremidade fixa do eixo 
de aço estão sujeitas aos torques mostrados. Se o 
módulo de elasticidade ao cisalhamento for 80 GPa e o 
eixo tiver diâmetro de 14 mm, determine o deslocamento 
do dente P da engrenagem em mm. (21,3 𝑚𝑚) 
Ângulo de Torção 
28 
• Exemplos: 
• 3) Os eixos de 30 mm de diâmetro são feitos de aço-
ferramenta (G = 75 GPa) e estão apoiados em mancais 
que permitem aos eixos girarem livremente. Se o motor 
em A desenvolver um torque T = 45 N.m no eixo AB, 
enquanto a turbina em E é fixa e não pode girar, 
determine o ângulo de torção das engrenagens B e C. 
(𝜙𝐵 = 0,011318 𝑟𝑎𝑑, 𝜙𝐶 = 0,008488 𝑟𝑎𝑑) 
Ângulo de Torção 
29 
• Exemplos: 
• 4) As hélices de um navio estão acopladas a um eixo 
tubular de aço A-36, com 60 m de comprimento, diâmetro 
externo de 340 mm e diâmetro interno de 260 mm. Se a 
potência de saída for 4,5 MW quando o eixo gira a 20 
rad/s, determine a tensão de torção máxima no eixo e 
seu ângulo de torção. (G = 75 GPa). (τ = 44,32 𝑀𝑃𝑎, 
ϕ = 0,2085 𝑟𝑎𝑑 𝑜𝑢 11,95°) 
Ângulo de Torção 
30 
• Exemplos: 
• 5) O eixo de transmissão tubular para a hélice de um 
aerodeslizador tem 6 m de comprimento. Se o motor 
transmitir 4 MW de potência ao eixo quando as hélices 
giram a 25 rad/s, determine o diâmetro interno exigido 
para o eixo, considerando que o diâmetro externo é 250 
mm. Qual é o ângulo de torção do eixo quando ele está 
em operação? Considere 𝜏𝐴𝐷𝑀 = 90 𝑀𝑃𝑎 e 𝐺 = 75 𝐺𝑃𝑎. 
(𝑑𝑖 = 201,3 𝑚𝑚, ϕ = 0,0576 𝑟𝑎𝑑 𝑜𝑢 3,3°) 
Ângulo de Torção 
31 
• Exemplos: 
• 6) O eixo de aço A-36 (G=75 GPa) é composto pelos tubos AB 
e CD e uma seção maciça BC. Está apoiado em mancais lisos 
que permitem que ele gire livremente. Se as engrenagens, 
presas às extremidades do eixo, forem submetidas a torques 
de 85 N.m, determine o ângulo de torção da engrenagem A em 
relação à engrenagem D. Os tubos têm diâmetro externo e 
interno de, respectivamente, 30 mm e 20 mm. A seção maciça 
tem diâmetro de 40 mm. (ϕ = −0,01534 𝑟𝑎𝑑 ) 
Ângulo de Torção 
32 
• Exemplos: 
• 7) Considerando os mesmos dados do exercício anterior, 
determine o ângulo de torção da extremidade B da seção 
maciça em relação a extremidade C. ( 
ϕ = −0,001127 𝑟𝑎𝑑 ) 
Ângulo de Torção 
33 
• Exemplos: 
• 8) O eixo da hélice do hidrofólio é de aço A-36 (G = 75 
GPa) e tem 30 m de comprimento. Está acoplado a um 
motor diesel em linha, o qual transmite uma potência 
máxima de 2000 KW e provoca rotação de 1700 rpm no 
eixo. Se o diâmetro externo do eixo for de 200 mm e a 
espessura da parede do eixo for de 10 mm, determine a 
tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo. 
Determine também o ângulo de torção no eixo à potência 
total. (𝜏𝑚𝑎𝑥 = 20,797 𝑀𝑃𝑎, ϕ = 0,0832 𝑟𝑎𝑑) 
Elementos com Torque Indeterminado 
34 
• Da mesma forma que tínhamos em cargas axiais, 
existem estruturas com reações de torque 
indeterminadas. Estas reações também podem ser 
determinadas com os conceitos de deslocamentos. A 
condição necessária exigida é que a soma dos 
deslocamento em ambas as extremidade da peça seja 
igual a 0 (zero). 
 
 𝑀𝑡 = 0 
 
𝜙𝐴/𝐵 = 0 
 
Elementos com Torque Indeterminado 
35 
• Exemplos: 
• 1) O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro 
de 20 mm. Se for submetido aos dois torques, determine 
as reações nos apoios fixos A e B. 
(𝑀𝑡𝐴 = −345 𝑁.𝑚 𝑒 𝑀𝑡𝐵 = 645 𝑁.𝑚) 
 
Elementos com Torque Indeterminado 
36 
• Exemplos: 
• 2) O eixo abaixo é composto por um tubo de aço (G = 80 
GPa) unido a um núcleo de latão (G = 36 GPa). Se um 
torque de 250 N.m for aplicado em sua extremidade, 
determine a tensão de cisalhamento máxima em cada 
material. (𝜏𝐴ç𝑜 = 20,5 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜏𝐿𝑎𝑡ã𝑜 = 4,62 𝑀𝑃𝑎) 
 
Elementos com Torque Indeterminado 
37 
• Exemplos: 
• 3) O eixo de aço A-36 (G = 75 GPa) tem diâmetro de 50 
mm e está preso nas extremidade A e B. Se for 
submetido ao momento, determine a tensão de 
cisalhamento máxima nas regiões AC e CB do eixo. 
(𝜏𝐴𝐶 = 8,15 𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜏𝐵𝐶 = 4,07 𝑀𝑃𝑎) 
 
Elementos com Torque Indeterminado 
38 
• Exemplos: 
• 4 O tubo de bronze C86100 (G = 38 GPa) tem diâmetro 
externo de 37,5 mm e espessura de 3 mm. A conexão em 
C está sendo apertada com uma chave de torque. Se for 
aplicada uma força F de 100 N, determine a tensão de 
cisalhamento máxima no tubo. (𝜏𝑀𝐴𝑋 = 3,21 𝑀𝑃𝑎) 
 
Eixos Maciços não Circulares 
39 
• Como vimos em seções circulares, ao aplicar-se uma 
ação de torque a área da seção, continua plana, porém 
em seções maciças não circulares, isso não ocorre. 
 
Eixos Maciços não Circulares 
40 
• Logo como a distribuição de tensões não é normal, e 
pode-se determinar, os valores de tensões e os ângulos 
de torção, através da seguinte Tabela. 
 
Eixos Maciços não Circulares 
41 
• Exemplos: 
• 1) O eixo de alumínio, tem área da seção transversal de 
um triângulo equilátero. Determine o maior torque que 
pode ser aplicado à extremidade do eixo, se a tensão de 
cisalhamento admissível for de 56 MPa, e o ângulo de 
torque restrito à 0,02 rad. Qual é o torque que pode ser 
aplicado á uma seção circular feita com a mesma área de 
seção transversal? (G = 26 GPa) (𝑀𝑡 = 24,12 𝑁.𝑚 ) 
(𝑀𝑡 = 33,10 𝑁.𝑚) 
Eixos Maciços não Circulares 
42 
• Exemplos: 
• 2) O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção 
transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de 
torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento 
nos trechos AC e BC, e o ângulo de torção da 
extremidade B em relação à extremidade A. (G = 37 GPa) 
( 𝜏𝐵𝐶 = 0,955 𝑀𝑃𝑎 , 𝜏𝐴𝐶 = 1,592 𝑀𝑃𝑎 e 
𝜙𝐴𝐵 = −0,003618 𝑟𝑎𝑑) 
Eixos Maciços não Circulares 
43 
• Exemplos: 
• 3) Compare os valores da tensão de cisalhamento 
elástica máxima e do ângulo de torção desenvolvidos em 
eixo de aço inoxidável 304 (G = 75 GPa) com seções 
transversais circular e quadrada. Cada eixo tem a mesma 
área de seção transversal de 5600 mm², comprimento de 
0,9 m e está submetido a um torque de 500 N.m. 
( 𝜏𝐶 = 4,23 𝑀𝑃𝑎 , 𝜏𝑄 = 5,74 𝑀𝑃𝑎 , 𝜙𝐶 = 0,001204 𝑟𝑎𝑑 e 
𝜙𝑄 = 00,001358 𝑟𝑎𝑑) 
Torção 
44 
• Exercícios: 
 
• 1) Determinar: a) O torque que causará uma tensão de 
cisalhamento máxima de 45 MPa em um cilindro vazado 
de aço, com um raio externo de 45 mm e um raio interno 
de 30 mm; b) A máxima tensão de cisalhamento causada 
polo mesmo torque T, em um eixo cilíndrico maciço de 
mesma área da seção transversal. (a) 5,17 kN.m, b) 87,2 
MPa) 
 
 
Torção 
45 
• Exercícios: 
 
• 2) Um torque de 1,75 kN.m é aplicado ao cilindro maciço 
mostrado. Determine: (a) A máxima tensãode 
cisalhamento; (b) O percentual de torque absorvido pelo 
núcleo de diâmetro 25 mm. 
• (a) 71,3 MPa, b) 6,25%) 
 
 
Torção 
46 
• Exercícios: 
• 3) Os torques são exercidos nas polias A, B e C. 
Sabendo-se que ambos os eixos são maciços, determinar 
a máxima tensão de cisalhamento: (a) no eixo AB; (b) no 
eixo BC. (a) 75,5 MPa, b) 63,7 MPa) 
 
 
 
Torção 
47 
• Exercícios: 
• 4) Para o eixo maciço ABCDE, são aplicados os torques 
conforme mostra a figura. Determine: (a) Em qual trecho 
ocorre a maior tensão de cisalhamento; (b) A respectiva 
tensão. (a) Trecho CD, b) 85,94 MPa) 
 
 
 
Torção 
48 
• Exercícios: 
• 5) O eixo AB tem diâmetro de 30 mm e é feito de uma 
aço, com tensão admissível ao cisalhamento de 90 MPa, 
enquanto que o eixo BC tem diâmetro de 50 mm, com 
uma liga de alumínio que tem tensão admissível ao 
cisalhamento de 60 MPa. Determine o maior torque T que 
pode ser aplicado em A. (477 N.m) 
 
 
 
Torção 
49 
• Exercícios: 
• 6) Para a estrutura abaixo, determine: (a) O torque T que 
gera um ângulo de torção de 3° no eixo cilíndrico vazado 
de aço (G = 77 GPa); (b) O ângulo de torção causado 
pelo mesmo torque, num eixo cilíndrico maciço de 
mesma área. (a) 8,68 kN.m; b) 0,136 rad ou 7,8°) 
 
 
 
Torção 
50 
• Exercícios: 
• 7) De acordo com o torque de 4500 N.m aplicado na peça 
abaixo, determine: (a) O ângulo de torção em um eixo de 
alumínio (G = 25,5 GPa); (b) O ângulo de rotação, 
assumindo se o eixo maciço foi substituído por um eixo 
vazado de diâmetro interno de 25,4 mm e mesmo 
diâmetro externo. (a) 0,0681 rad ou 3,9°; b) 0,069 rad) 
 
 
 
Torção 
51 
• Exercícios: 
• 8) O motor elétrico exerce um torque de 675 N.m sobre 
um eixo de alumínio ABCD, quando está girando com 
uma velocidade constante. Sabe-se que G = 26 GPa, e 
que os torques são representados na figura, assim 
determine os ângulo de torção (a) Trecho BC; (b) trecho 
BD. (a) 0,03076 rad; b) 0,06876 rad) 
 
 
 
Torção 
52 
• Exercícios: 
• 9) Determine a máxima tensão de cisalhamento em um 
eixo maciço de 12 mm de diâmetro, que transmite 2,5 kW 
a uma frequência de: (a) 25 Hz; (b) 50 Hz. (a) 46,9 MPa; 
b) 23,5 MPa) 
 
• 10) Um eixo maciço de aço (G= 77 GPa), de 30 mm de 
diâmetro, gira com uma frequência de 30 Hz. Determinar 
a máxima potência que o eixo pode transmitir, sabendo-
se que a tensão de cisalhamento admissível é de 50 
MPa, e que o ângulo de torção não pode exceder a 7,5°. 
(50kW)