Esforços Internos em Meios Contínuos

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Meios contínuos - esforços internos 
(tensões e pressões)
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Estática – caracterização de esforços
Cinemática
Dinâmica
Esforços 
Internos
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Meios contínuos - esforços internos 
(tensões e pressões)
Definições:
Grandezas:
Campos:
Esforços 
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Meios contínuos - esforços internos 
(tensões e pressões)
Para a caracterização de grandezas (ou quantidades) usuais em
engenharia podem ser necessários diferentes números de especificações:
 1 especificação: grandeza escalar;
 3 especificações: grandeza vetorial;
 9 especificações: grandeza tensorial.
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Grandezas:
Campos:
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Para a caracterização de grandezas (ou quantidades) usuais em
engenharia podem ser necessários diferentes números de especificações:
 1 especificação: grandeza escalar;
 3 especificações: grandeza vetorial;
 9 especificações: grandeza tensorial.
Definições:
Grandezas:
Campos:
Tratam-se de distribuições contínuas de grandezas descritas por
funções do espaço e do tempo.
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campo escalar: distribuição de temperaturas de um corpo T( x , y , z , t )
Exemplos:
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Internos
campo tensorial: estado de tensões em um ponto de um corpo
campo vetorial: velocidades










)t,z,y,x(w
)t,z,y,x(v
)t,z,y,x(u
ou)t,z,y,x(V

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(tensões e pressões)
de campo: forças externas que agem sobre o material, sem contato
físico
Exemplo: força de campo gravitacional = peso
Forças:
de contato: forças exercidas sobre o contorno do material, através do 
contato direto.
Exemplo: esforços normais e tangenciais no contato com a vizinhança.
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Meios contínuos - esforços internos 
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A caracterização do estado de tensões em um ponto no interior de um
meio contínuo pode ser feita através da visualização deste ponto
isolado do restante da matéria, por exemplo, na origem de um sistema
de coordenadas cartesianas x, y, z.
 
x 
y 
z 
Tensões em um ponto em meios contínuos
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Meios contínuos - esforços internos 
(tensões e pressões)
Substituindo, inicialmente, os esforços referentes ao plano
perpendicular ao eixo x, sua resultante será representada pelo vetor
de tensões 𝑡𝑥 , cujos módulo, direção e sentido dependem da ação da
vizinhança sobre o ponto considerado.
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Meios contínuos - esforços internos 
(tensões e pressões)
O vetor de tensões 𝑡𝑥 , pode ser representado por suas componentes
nas direções x, y, z, na forma 𝑡𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 𝑖 + 𝜏𝑥𝑦 𝑗 + 𝜏𝑥𝑧 𝑘 , sendo σ a
tensão normal e  a tensão tangencial.
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(tensões e pressões)
Adotando raciocínio análogo ao anterior, ao isolarmos o ponto em
relação aos planos perpendiculares aos eixos y e z, ficam determinados
os vetores de tensão 𝑡𝑦 e 𝑡𝑧 , respectivamente.
 
xx xy 
xz 
zz 
zx 
zy 
yy 
yx 
yz 
x 
y 
z 
Tensões em um ponto em meios contínuos
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 kjit xzxyxxx

 kjit yzyyyxy


 kjit zzzyzxz


O primeiro sub-índice das
tensões refere-se ao plano e o
segundo ao sentido da tensão.
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Meios contínuos - esforços internos 
(tensões e pressões)
É importante observar que na ampliação do ponto analisado,
através do tetraedro, fica determinado um quarto plano, genérico, ao
qual também pode ser associado um vetor de tensões 𝑡𝑛 , relacionado
aos demais e cujas componentes nas direções x, y, z também podem
ser determinadas. 
xx xy 
xz 
zz 
zx 
zy 
yy 
yx 
yz 
x 
y 
z 
nt

 
Tensões em um ponto em meios contínuos
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(tensões e pressões)
Cada vetor de tensão é descrito por 3 componentes escalares:
 kjit xzxyxxx


 kjit yzyyyxy


 kjit zzzyzxz
















zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
e à matriz formada pelas componentes dos vetores de tensão
denominamos, tensor de tensões em um ponto de um corpo T:
A operação do {tensor de tensões} pelo {vetor unitário normal ao
plano genérico n} fornece o vetor de tensões , correspondente a este
plano genérico n.
 
nt

T
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