MATERIAL DIDÁTICO

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Bons estudos!
Revisão de Funções 
e Gráficos
10 • capít ul o 1
OBJETIVOS
• Compreender o que é uma função matemática;
• Reconhecer uma função do primeiro grau;
• Realizar cálculos de valores de função de primeiro grau e determinar sua raiz e intercepto;
• Esboçar e interpretar gráficos de funções do primeiro grau;
• Aplicar o conhecimento sobre função do primeiro grau em situações práticas do cotidiano.
capít ul o 1• 11
1.1 Conceito
Em nosso cotidiano, m esm o sem perceber, estam os envolvidos por diversos ti-
pos de funções. A relação existen te, por exem plo, entre o consum o de água em 
nossa casa e o valor que irem os pagar, o tem po para cum prir um trajeto e a ve-
locidade desenvolvida, a quantidade de açúcar para adoçar certa quantidade de 
suco, a quantidade de itens com prados e o valor a ser pago, en tre tan tas outras 
situações em que há a relação entre duas (ou m ais) grandezas, que cham are-
m os de variáveis.
Para m uitos profissionais, determ inadas variáveis necessitam ser analisa-
das com certa precisão. Considere, por exemplo, a quan tidade de itens produ-
zidos que determ ina o custo total envolvido nessa produção; a receita total ob-
tida com a venda de um a utilidade que depende da quan tidade vendida; o lucro 
com a venda de certa utilidade que, entre outras coisas, depende tam bém da 
quantidade vendida; o volum e de vendas (dem anda) tem relação com o preço 
praticado; a quan tidade ofertada de certo produto, no m ercado, relaciona-se 
com o preço desse produto. 
É lógico que tais relações não são exclusivas. Por exem plo, a quan tidade 
ofertada de certo produto, no m ercado, tem relação com o preço que está sendo 
praticado, m as tam bém depende de outras variáveis tais com o a taxa de juros 
vigente, a quantidade de parcelas praticado nos financiam entos para aquisição 
desse produto, os preços dos produtos sim ilares concorrentes, en tre tan tas ou-
tras. No en tanto, conhecer individualm ente cada um a das relações entre a vari-
ável de in teresse volum e de vendas e as variáveis que, de certa form a, provocam 
alteração de seus valores é im prescindível para se ter in form ações im portan tes 
sobre a variável de in teresse.
CONEXÃO
Um vídeo interessante sobre aplicações de funções está disponível no endereço:<http:/ /
revistaescola.abril.com.br/ matematica/ pratica-pedagogica/ vide-funcao-afim-resolucao- 
problemas-604921.shtml> .
Ele apresenta a experiência de uma professora do ensino fundamental que trabalhou 
com seus alunos aplicações de um tipo específico de função: a função afim. Vale a pena con-
ferir, pois nele são apresentados alguns procedimentos que faremos no estudo de funções.
12 • capít ul o 1
Neste capítulo estudarem os um tipo de função que conhecem os por função 
do prim eiro grau. É um a das form as m ais elem entares de função que existe, 
m as que possui um a infin idade de aplicações.
1.2 Domínio
Um a ideia intuitiva de função que podemos ter é a de uma “m áquina” que pro-
duz um valor y quando nela inserim os um valor x. Há um a “transform ação” da 
variável x para a produção da variável y. E isso acontece através de uma fórm ula 
m atem ática que relaciona valores de dois conjuntos.
Considere dois con juntos A e B. Um a função m atem ática en tre A e B, nes-
sa ordem, é um a relação que associa a cada um dos elem entos de A um ún ico 
elem ento de B. Há um a infin idade de tipos de função. Neste capítulo, estuda-
rem os a função de prim eiro grau, que é aquela que pode ser escrita na form a:
y ax b f x ax b= + ( ) = + ou 
em que a e b são valores reais quaisquer, com a ≠ 0.
A letra a é denom inada de coeficien te an gular (ou de inclinação) da função. 
Com o o gráfico da função de prim eiro grau é sem pre um a reta, en tão o valor de 
a determ ina se ela será crescen te (a > 0) ou decrescen te (a < 0). A letra b é o co-
eficien te angular (ou in tercepto) da função e determ ina o pon to no qual a reta 
(gráfico da função de prim eiro grau) cruza com o eixo vertical (que é tam bém 
conhecido por eixo y).
O con jun to de valores x num a função é denom inado domínio da função e 
denotado por D(f). Já os valores de y que são relacionados aos valores do do-
m ínio constituem um con jun to denom inado imagem da função, denotado por 
Im(f).
O coeficiente da variável x numa função de primeiro grau não pode assumir valor zero 
porque, se isso acontecer, a função deixa de ser de primeiro grau para tornar-se uma 
função constante (aquela cujo valor não varia mesmo quando alteramos o valor de x).
capít ul o 1• 13
É com um utilizarm os as letras x e y para represen tar as variáveis em um a 
função m atem ática. No entan to, podem os utilizar as letras que quiserm os. 
Quando, por exem plo, relacionam os o custo de produção de determ inada utili-
dade com a sua quantidade produzida, utilizam os as letras C e q para represen-
tar tais variáveis.
Vam os ver, in icialm ente, dois exem plos de funções do prim eiro grau, cal-
culando alguns de seus valores e construindo seus gráficos. Mais adiante, vere-
m os algum as aplicações.
1.3 Funções lineares e não lineares
EXEMPLO
Considere a função f x x( ) = +2 3 .
Vamos determinar alguns de seus valores a partir dos seguintes valores de x: –2, –1, 0, 
1, 2 e 3.
• Se x = –2, então f −( ) = ⋅ −( ) + = − + = −2 2 2 3 4 3 1.
• Se x = –1, então f −( ) = ⋅ −( ) + = − + =1 2 1 3 2 3 1.
• Se x = 0, então f 0 2 0 3 0 3 3( ) = ⋅ + = + = .
• Se x = 1, então f 1 2 1 3 2 3 5( ) = ⋅ + = + = .
• Se x = 2, então f 2 2 2 3 4 3 7( ) = ⋅ + = + = .
• Se x = 3, então f 3 2 3 3 6 3 9( ) = ⋅ + = + = .
Podemos apresentar os resultados numa tabela:
X F(X)
–2 –1
–1 1
0 3
1 5
2 7
3 9
Tabela 1.3 – Valores da função f(x) = 2x + 3.
14 • capít ul o 1
Note que os valores de x que escolhemos estão variando de uma em uma unidade. Já 
os valores calculados de y variam de duas em duas. Isso já era esperado, pois o coeficiente 
angular (a) da função dada é igual a 2. Ele determina qual será a variação de y cada vez que x 
aumenta uma unidade.
Os valores da tabela representam apenas alguns pontos da função f(x) = 2x + 3 (ou 
y = 2x + 3). Existem outros infinitos, mas eles já são suficientes para que possamos verificar 
o comportamento do gráfico dessa função. Na verdade, como o gráfico de uma função é uma 
reta, apenas dois dos pontos acima seriam suficientes.
É comum indicar os pontos de uma função através de pares ordenados (x, y). No caso 
dos valores calculados para a função desse exemplo (tabela 1.3), temos os seguintes pares 
ordenados: (–2, –1), (–1,1), (0,3), (1,5), (2,7) e (3,9).
1.3.1 Função quadrática e representação gráfica 
1.3.1.1 Introdução
Vam os iniciar nosso estudo sobre função do segundo grau m ostrando um a si-
tuação que exem plifica bem o surgim ento desse tipo de função, a partir de um a 
função de prim eiro grau em que a variável independen te x é função de outra 
variável.
EXEMPLO
O proprietário de um restaurante que comercializa somente pratos executivos, todos com 
o mesmo preço, resolveu realizar um estudo sobre a receita diária do estabelecimento e 
como o volume de vendas varia em função do preço praticado. Para isso, realizou, durante 
longo período, um levantamento comparando a quantidade x de pratos vendidos diariamente 
e o preço p cobrado por unidade. Chegou, assim, ao seguinte modelo:
x = 100 – 2p
Notou, então, que, para cada real aumentado no preço da refeição, há uma redução de 
2 unidades na quantidade vendida (pois o coeficiente angular da função é –2). Esse modelo 
obtido permite também outras conclusões. Veja como ele pode influenciar a receita diária do 
restaurante.
capít ul o 1• 15
Como vimos em um dos exemplos do capítulo anterior, a função que fornece a receita 
total y de uma utilidade em relação à quantidadecomercializada x tem a forma:
y = p · 2p
em que p é o preço unitário de venda.
Se o preço p for fixo, a função receita total é considerada de primeiro grau e seu valor 
cresce indefinidamente à medida que a quantidade x aumenta. No entanto, no caso desse 
restaurante, temos a informação de que a quantidade vendida está diretamente relacionada 
com o preço unitário através da relação:
x = 100 – 2p
Da mesma forma que podemos escrever x em função de p, podemos fazer o inverso: 
escrever p em função de x. Para isso, basta isolar p na função x = 100 – 2p:
x p
p x
p x
p x
= −
= −
=
−
= −
100 2
2 100
100
2
50 0 5,
Substituindo a expressão p = 50 – 0,5 x na função receita total, temos:
y x x
p
= −( ) ⋅50 0 5,
Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever:
y = 50 x – 0,5 x2
Note que o formato da função obtida difere daquele que vimos quando estudamos as 
funções de primeiro grau. Temos, agora, uma função de segundo grau (pois a variável indepen-
dente aparece elevada à potência 2).
Vamos estudar algumas das características dessas funções. Podemos determinar, entre 
outras coisas, qual deve ser a quantidade comercializada para que o valor da receita seja 
máximo. Você pode pensar assim: quanto maior a quantidade vendida, maior será o valor re-
cebido (receita). Mas não podemos nos esquecer que, agora, para que a quantidade vendida 
aumente, o preço deve baixar. E se o preço for muito baixo, mesmo com uma quantidade 
grande, a receita pode parar de crescer. É isso que acontece em casos como o deste exem-
plo.
16 • capít ul o 1
Mais adiante, após estudarmos as características de uma função de segundo grau, reto-
maremos este exemplo para determinar “qual é a melhor relação preço versus quantidade para 
que a receita seja a maior possível”.
1.3.2 A função de segundo grau: definição e exemplos
Toda função que relaciona elem entos de A e B (x ∈ A e y ∈ B), nessa ordem , é 
um a função de A em B se puder ser escrita na form a:
y = f(x) = ax2 + bx + c
em que a, b e c são valores reais, com a ≠ 0. 
EXEMPLO
São exemplos de funções do segundo grau:
a) f (x) = x2 – 6 x + 5, em que a = 1, b = – 6, c = 5;
b) g (x) = – x2 + 4x – 3, em que a = – 1, b = 4, c = – 3;
c) y = – 5x2 + 2x, em que a = – 5, b = 2, c = 0;
d) h (x) = x2 + 7, em que a = 1, b = 0, c = 7;
e) f (x) = 2 – 5 x + 3x2, em que a = 3, b = – 5, c = 2;
f) y + 2x2 + x = 9, que pode ser escrita na forma y = – 2x2 – x + 9, em que a = – 2, 
 b = –1, c = 9.
capít ul o 1• 17
1.4 Funções crescentes e decrescentes
Associando cada valor de x a seu respectivo valor y (da tabela 1.3 – Valores da 
função f(x) = 2x + 3), no gráfico, tem os:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1(–1, 1)
0
0–3 –2 –1
–1
–2
(–2 –)1
1 2 3 4
(0, 3)
(1, 5)
(2, 7)
(3, 9)
Figura 1 – Localização dos pontos da tabela 1.3.
Na figura, apenas os pon tos que calculamos é que foram inseridos no gráfi-
co. Apenas para facilitar os cálculos e a localização dos pontos, escolhem os va-
lores in teiros para a variável x. Contudo, o dom ín io de um a função do prim eiro 
grau com preende todos os núm eros reais. Se escolherm os, por exem plo, m ais 
valores de x en tre 1 e 2, tais com o: 1,1; 1,2; 1,3 etc., ou refinando ainda m ais: 
1,01; 1,02; 1,03 etc, irem os preenchendo o espaço en tre os pontos (1,5) e (2,7). 
18 • capít ul o 1
O m esmo acontece com relação aos outros pontos e em toda a extensão do do-
m ínio da função. Por isso, após localizarm os os pon tos calculados, podem os 
ligá-los através de segm entos de reta.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0–3 –2
–2
–1
–1
1 2 3 4
Figura 2 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.3.
Note que, no gráfico, a reta é crescente (à medida que x cresce, y tam bém 
cresce) e a taxa de crescim ento é de 2 unidades em y para cada un idade em x. 
Essa taxa de crescim ento é determ inada pelo coeficiente angular (ou de inclina-
ção) da função. Outro ponto notável é o in tercepto (ou coeficien te linear), que 
no caso da função abordada é o 3. Ele determ ina onde o gráfico irá in terceptar 
o eixo y.
capít ul o 1• 19
Em bora a representação do gráfico da função f(x) = 2x + 3 da figura 2 lim ite-
se ao dom ín io (valor de x) de –2 a 3, poderíam os expandi-la in finitam ente tan to 
para valores m aiores quanto para valores menores que os considerados na ta-
bela 1.3. Representam os a função de form a fin ita, m as não podem os esquecer 
que ela é in fin ita.
Vejamos, agora, um exemplo em que o coeficiente angular é negativo.
EXEMPLO
Considere, agora, a função f(x) = – 2x + 3.
Vamos determinar, como no exemplo anterior, alguns de seus valores a partir dos seguin-
tes valores de x: –2, –1, 0, 1, 2 e 3.
• Se x = –2, então f(–2) = – 2 · (–2) + 3 = 4 + 3 = 7.
• Se x = –1, então f(–1) = – 2 · (– 1) + 3 = 2 + 3 = 5.
• Se x = 0, então f(0) = – 2 · 0 + 3 = 0 + 3 = 3.
• Se x = 1, então f(1) = – 2 · 1 + 3 = – 2 + 3 = 1.
• Se x = 2, então f(2) = – 2 · 2 + 3 = – 4 + 3 – 1.
• Se x = 3, então f(3) = – 2 · 3 + 3 = – 6 + 3 = – 3.
Resumindo os resultados numa tabela, temos:
X F(X)
–2 7
–1 5
0 3
1 1
2 –1
3 –3
Tabela 1.4 – Valores da função f(x) = –2x + 3. 
20 • capít ul o 1
Nesse caso também, os valores de x escolhidos estão aumentando de uma em uma 
unidade, mas os valores calculados de y, ao contrário do exemplo anterior, estão diminuindo 
de duas em duas. Isso porque o coeficiente angular (a) da função considerada é igual a –2. 
O intercepto, por sua vez, é o mesmo.
A partir dos valores calculados, podemos construir o gráfico da função:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
0 1 2 3 4
Figura 3 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.4.
Nos dois exemplos dados, é possível perceber que, quando a > 0, a função é crescente 
e quando a < 0, a função é decrescente.
capít ul o 1• 21
1.5 Pontos de máximo e mínimo
1.5.1 Gráfico da função de segundo grau: a parábola
O gráfico de qualquer função de segundo grau tem o form ato de um a parábola, 
com concavidade que pode estar voltada para cim a ou para baixo, conform e o 
sinal do coeficiente da variável x2. Veja:
Vértice
Vértice
Se a > 0, a concavidade é voltada
para cima.
Se a < 0, a concavidade é voltada
para baixo.
Figura 4 – Concavidade e vértice da parábola.
Portanto, dada a função, já podem os prever sua concavidade. No en tan to, é 
preciso ter m ais inform ações para poder esboçar seu gráfico. 
O vértice da parábola é o seu pon to m ais baixo (quando a concavidade é 
voltada para cim a) ou o ponto m ais alto (quando a concavidade é voltada para 
baixo). Outra in form ação im portan te é a sim etria que a parábola possui com 
relação ao eixo vertical que passa sobre seu vértice. 
Veja a figura.
Vértice
Figura 5 – Simetria da parábola.
22 • capít ul o 1
Se traçarm os um a linha horizontal que cruze a parábola em dois pontos, o 
segm ento determ inado por um desses pon tos e a in tersecção dessa linha com 
o eixo vertical têm a m esm a m edida que o segmento determ inado por essa in-
terseção e o outro ponto de cruzam ento da linha horizontal com a parábola. 
Para com preender m elhor, considere que o eixo vertical da figura 5 é um a 
dobra que você pode realizar. As linhas que determ inam os dois lados da m es-
m a parábola vão coincidir após a dobra.
Já temos algum as in form ações in teressantes que nos auxiliarão no gráfico 
da função de segundo grau. Mas, ainda, há pontos im portan tes que devem ser 
determ inados através de cálculos: as raízes, o intercepto e o próprio vértice.
Assim com o acontece com a função do primeiro grau, para calcularm os asraízes da função de segundo grau (se elas existirem ), devem os igualar a função 
y a zero e resolver a equação resultan te. Contudo, essa resolução não é, geral-
m ente, tão sim ples com o ocorre com as funções lineares. Só para relem brar, 
as raízes (soluções) de um a equação de segundo grau, da form a ax2 + bx + c = 0 
podem ser dadas pela fórm ula de Bhaskara:
x
b raiz ac
a
=
− ± − de b2 4
2
em que ∆ = b2 – 4ac.
1.6 Estudo do sinal de funções elementares 
e suas aplicações
1.6.1 Intercepto
O in tercepto de um a função y = f(x) é sem pre o valor que y assum e quando a 
variável x é igual a zero. No caso geral da função de segundo grau, quando x = 0, 
tem os:
f(0) = a · 02 + b · 0 + c
f(0) = 0 + 0 + c
f(0) = c
Portanto, o intercepto de um a função de segundo grau é sem pre (0,c).
capít ul o 1• 23
1.6.2 Vértice da parábola
Como já vim os, o vértice está no eixo de simetria da parábola. En tão, sua coor-
denada x pode ser obtida calculando-se a m édia entre as raízes (se elas existi-
rem ). Mas há casos em que elas não existem e tem os que recorrer a outro tipo 
de cálculo. Portanto, para facilitar, podem os utilizar as fórm ulas abaixo para 
determ inar as coordenadas x e y do vértice, que denotarem os, respectivam ente, 
por x
v
 e y
v
:
x
b
av
=−
2
y
av
=−
∆
4
A coordenada y
v
 representa o valor máximo ou mínimo da função, con-
forme a concavidade seja voltada, respectivamente, para baixo ou para cima. 
Consequentemente, a coordenada x
v
 é o valor que atribuímos à variável indepen-
dente x para que obtenhamos o valor máximo ou mínimo da função.
CONEXÃO
No endereço:<http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 10956> , você irá en-
contrar um aplicativo que realiza uma simulação interativa com gráficos de funções do pri-
meiro e do segundo grau. Vale a pena conferir, pois através desse aplicativo, você poderá 
compreender melhor o papel de cada coeficiente nesses tipos de função.
1.6.3 Exemplos de gráficos
Agora vam os aplicar as fórm ulas vistas na construção de alguns exem plos de 
gráficos de funções quadráticas.
24 • capít ul o 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Esboce o gráfico da função y = x2 – 4x – 5 , identificando (e calculando) as raízes (se 
existirem), o intercepto e o vértice.
Resolução
Temos a = 1, b = –4 e c = –5. Como a > 0, então concluímos que a parábola tem con-
cavidade voltada para cima.
O intercepto é o ponto (0, c), isto é, (0,–5).
As raízes são calculadas igualando-se y a zero e resolvendo a equação resultante:
y x x= ⇒ − − =0 4 5 02
Temos:
∆
∆
∆
∆
= −
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
= +
=
b ac2
2
4
4 4 1 5
16 20
36
Como o valor do discriminante ∆ é positivo, então concluímos que a função possui duas 
raízes reais distintas. Vamos calculá-las utilizando a fórmula de Bhaskara:
x
b
a
x
x
x
x
=
− ±
=
− −( ) ±
⋅
=
±
= =
=
−
= −
∆
2
4 36
2 1
4 6
2
10
2
5
2
2
1
1
3
 
Portanto, as raízes são 5 e –1.
Quando obtemos as raízes de uma função quadrática, como no exemplo em que elas 
são –1 e 5, significa que determinamos os pontos (–1,0) e (5,0), e não o ponto (–1,5). 
Não se esqueça de que, para obtê-las, igualamos a função (y) a zero e elas indicam 
onde ocorrem as interseções do gráfico com o eixo x. Portanto, de forma geral, consi-
derando que uma função tenha as raízes x1 e x2, os pontos por elas determinados são 
(x1,0) e (x2,0).
capít ul o 1• 25
As coordenadas do vértice são:
x
b
av
= − = −
−
⋅
= −
−
= − − =
2
4
2 1
4
2
2 2( )
e
y
av
= − = −
⋅
= − = −
∆
4
36
4 1
36
4
9
Logo, o vértice é o ponto (2,–9).
Com essas informações, podemos construir o gráfico.
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0–3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
x
26 • capít ul o 1
Limites
28 • capít ul o 2
OBJETIVOS
Um dos objetivos deste capítulo é introduzir o conceito e cálculo do limite de uma função. 
Ao ler este capítulo e resolver todos os exercícios, o aluno terá compreendido o conceito de 
limite e estará pronto para adentrar a segunda parte deste capítulo, que tratará da função 
derivada.
O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância está no fato de 
conhecê-lo para poder compreender a definição e o cálculo da função derivada.
A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto 
é, sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – 
y). Como a próxima unidade nos apresentará a derivada como sendo um limite do coeficiente 
angular, então devemos, agora, conhecer mais de perto o limite de funções.
Ao final deste capítulo, depois da leitura e da resolução dos exercícios (resolvidos e pro-
postos), o aluno terá aprendido:
• a noção e o conceito de limite de uma função;
• a calcular o valor do limite de uma função num ponto qualquer;
• a diferença conceitual entre o valor da função e o valor do limite num ponto.
capít ul o 2 • 29
2.1 Introdução ao Limite
2.1.1 O conceito intuitivo de limite
O lim ite de um a fun ção n um determ in ado valor de x, isto é, o lim 
x → x0
 f(x) é 
defin ido com o aquele valor que a fun ção assum e n as vizin h an ças de x = x0. 
Note que o lim 
x → x0
 f(x) está relacionado aos valores que a função assum e 
nas vizinhanças de x0, m as não necessariamente em x0. A função pode até não 
ser definida em x = x0 (x0 fora do dom ínio da função), m as o lim ite poderá existir.
Separem os, pois, os dois principais casos de cálculo do lim ite: o de funções 
con tínuas e o de descon tínuas, conform e segue.
2.1.2 Funções contínuas
O valor do lim ite de um a função, quando x tende para um valor x0 confunde-se 
com o valor da função f(x0)) no pon to x = x0, se a função f(x) for contínua no pon-
to x = x0, isto é, se f(x) for definida neste ponto.
Desta form a, se f(x) é con tín ua em x = x0, então: 
lim 
x→ x0
 f(x0)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontrar o lim
x→ 2(3x – 1).
Resolução
Vamos calcular os valores que f(x) = 3x – 1 assume nas vizinhanças de x = 2. As duas 
próximas tabelas apresentam resultados suficientes para que possamos verificar o compor-
tamento da função f(x) nas vizinhanças de x = 2.
X Y = 3X – 1
–1 –4,00000
0 –1,00000
1 2,00000
1,5 3,50000
1,6 3,80000
1,9 4,70000
1,99 4,97000
1,999 4,99700
1,9999 4,99970
1,99999 4,99997
X Y = 3X – 1
5 14,00000
4 11,00000
3 8,00000
2,5 6,50000
2,2 5,60000
2,1 5,30000
2,01 5,03000
2,001 5,00300
2,0001 5,00030
2,00001 5,00003
30 • capít ul o 2
Podemos observar que a função assume valores m uito próxim os de 5,0 n as vizinhan-
ças à esquerda de x = 2.
Tomemos, agora, as vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos observar, também, que a função assume valores m uito próxim os de 5,0 nas 
vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos dizer, então, que o limite de f(x) quando x tende para 2 é 5, isto é, lim
x→ 2(3x – 
1) = 5.
Nesse caso, o valor do limite da função quando x tende para 2 se confunde com o valor 
da função. Eles são iguais, pois a função é contínua em x = 2.
Desta forma: lim
x → 2(3x – 1) = f(2) = 5.
Para que exista o limite de uma função com x tendendo a certo valor x0, é necessário que 
esta função esteja tendendo ao mesmo valor conforme x se aproxima de x0, tanto pela 
esquerda como pela direita (tanto por valores menores que x0 como por valores maiores 
que x0).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Vamos calcular os limites a seguir, apenas efetuando a substituição do valor mencio-
nado para x. Até o item (q), é possível determinar os valores dos limites dessa forma, pois 
todas as funções apresentadas são contínuas para x = x0. No entanto, no item (r) isso não 
ocorre.Vejamos:
a) lim
x→ 1 (3x – 4)
lim
x→ 1 (3x – 4) = f(1) = –1
b) lim
x→ –2 (3x – 4)
lim
x→ –2 (3x – 4) = f(–2) = –10
c) lim
x→ 0 (3x – 4)
lim
x→ 0 (3x – 4) = f(0) = – 4
capít ul o 2 • 31
d) lim
x→ 10 (x)
lim
x→ 10 (x) = f(10) = 10
e) lim
x→ –4 (–x – 4)
lim
x→ –4 (–x – 4) = f(– 4) = 0
f) lim
x→ 2 (5)
lim
x→ 2 (5) = f(2) = 5
g) lim
x→ –3 (10)
lim
x→ –3 (10) = f(–3) = 10
h) lim 1
2
2
x
x
→
( )
lim =f1
2
2
x
x
→
( ) =1
2
1
4
i) lim
x→ 1 (x3 – 1)
lim
x→ 1 (x3 – 1) = f(1) = 0
j) lim
x→ –1 (x3 – 1)
lim
x→ –1 (x3 – 1) = f(–1) = –2
k) lim
x→ 0 (x2 – 3x + 4)
lim
x→ 0 (x2 – 3x + 4) = f(0) = 4
l) lim
x→ –1 (x4 + 1)
lim
x→ –1 (x4 + 1) = f(–1) = 2
m) lim 1 21x x + x→
lim 1 2 f1x x
+ x
→
= ( )=1 3
32 • capít ul o 2
n) lim 42x x +→ −3 1
x
 
lim 4 f2x x
+→ − = ( )=3 1 2 8x
o) lim
x→ 3 4 13x +
 lim
x→ 3 4 13x + = f(3) =5
p) lim
x→ 2 
3 4
2 1
2x x
x
a
−
−
lim
x→ 2 
3 4
2 1
2x x
x
−
−
 18 − x
q) lim
x→ 3 
x
x
2 4
2
−
−
lim
x→ 3 
x
x
2 4
2
−
−
 = f(3) = 5
r) lim
x→ 2 
x
x
2 4
2
−
−
lim
x→ 2
x
x
2 4
2
−
−
 = f(2) = ?
No item (s), observamos que a função no ponto x = 2 não existe, mas o limite existe? 
Quanto vale?
Vimos, até aqui, que, se a função é contínua no ponto em que estamos querendo cal-
cular o limite, então o lim ite se confunde com o próprio valor da função neste ponto. 
Como a função (item s acima) não é contínua no ponto x = 2, então sabemos que não 
existe o valor da função nesse ponto, mas o limite existe? Como calculá-lo? Veremos que 
capít ul o 2 • 33
o limite existe, sim, nesse caso (item s acima), apesar de não existir o valor da função no 
ponto x = 2. Temos que recorrer ao conceito original do limite de vizinhança. O limite é 
definido pela tendência da função em torno do ponto (nas suas vizinhanças), mas não nele 
exatamente, isto é, precisamos descobrir o comportamento da função em torno do ponto 
x = 2, mas não nele. Continuaremos com esta discussão.
2.2 Análise Gráfica de Limite
2.2.1 Funções descontínuas
Para encon trarm os o lim ite de funções em pontos de descon tinuidades, deve-
m os calcular os valores da função nas vizinhanças do pon to em questão. Mes-
m o que a função não esteja definida no ponto x0 (descontínuo), o lim ite poderá 
existir, pois o conceito de lim ite está ligado ao com portam ento da função nas 
proxim idades de x0 (pon to de descontinuidade). Retom em os o caso do item (s) 
do exem plo anterior.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre o valor-limite:
lim
x
x
x
→
−
−
2
2 4
2
Resolução
Vamos calcular os valores que f(x) assume nas vizinhanças de x = 2.
X
 
−
−
y = x 4
x 2
2
–1 1,00000
0 2,00000
1 3,00000
1,5 3,50000
1,6 3,60000
34 • capít ul o 2
X
 
−
−
y = x 4
x 2
2
1,9 3,90000
1,99 3,99000
1,999 3,99900
1,9999 3,99990
1,99999 3,99999
Podemos observar que a função assume valores m uito próxim os de 4,0 n as vizinhan-
ças à esquerda de x = 2.
Tomemos, agora, as vizinhanças à direita:
X
 
−
−
y = x 4
x 2
2
5 7,00000
4 6,00000
3 5,00000
2,5 4,50000
2,2 4,20000
2,1 4,10000
2,01 4,01000
2,001 4,00100
2,0001 4,00010
2,00001 4,00001
Podemos observar, também, que a função assume valores m uito próxim os de 4,0 nas 
vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos dizer, então, que o limite de f(x), quando x tende a 2, é igual a 4, isto é:
lim
x
x
x
→
−
−
2
2 4
2
Neste caso, f(2) nem existe, ou seja, a função não está definida em x = 2 (f(x) é des-
contínua em x = 2), mas o limite existe e vale 4.
Vimos que obter o valor do limite num ponto (x), em que a função não é contínua, não é 
capít ul o 2 • 35
uma operação difícil, mas sim trabalhosa. Porém, nos casos em que podemos fatorar a fun-
ção, a obtenção do limite é menos trabalhosa, conforme apresentado a seguir.
Outra forma de se obter o valor do limite da função no ponto x0 (descontínuo) passa 
pela utilização do m étodo da fatoração. Com a fatoração, podemos encontrar outra função 
(g(x)) que seja contínua em x0 e que tenha exatamente o mesmo comportamento da função 
original (f(x)) do nosso problema (que é descontínua no ponto x0). Se esta segunda função 
(g(x)) apresentar o mesmo comportamento que a função original (f(x)), então os limites das 
duas funções terão o mesmo valor, ainda que f(x) seja descontínua em x = x0, e o limite 
será o próprio valor da função g(x) em x0. 
O segredo está no fato de que devemos lembrar que o valor do limite depende única e 
exclusivamente do comportamento da função nas vizinhanças do ponto x0, e não necessaria-
mente sobre ele. Assim, como as duas funções f(x) e g(x) têm o mesmo comportamento em 
todos os pontos, então os limites das duas funções são os mesmos e assumem o valor de 
g(x0). Vejamos o exemplo seguinte (ainda o caso do item s do exemplo 1 anterior).
2.3 Como Calcular Limites
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre o valor-limite:
lim
x
x
x
→
−
−
2
2 4
2
Resolução
Já sabemos que a função não é definida em x = 2. Vamos, então, fatorá-la.
Fatorando a expressão do denominador (parte superior da fração), obtemos:
x
x
x x
x
x
2 4
2
2 2
2
2−
−
=
−( ) +( )
−
= +
36 • capít ul o 2
Temos, então, duas funções:
(I) A função original de nosso problema que não é definida (descontínua) em x = 2, que é:
f(x) = x
x
2 4
2
−
−
(II) A função obtida pela fatoração de f(x), que é:
g(x) = x – 2 
Como os comportamentos destas duas funções são exatamente os mesmos para todo e 
qualquer valor de x, exceto em x = 2, em que a função f(x) não é contínua, e lembrando que, 
para o cálculo do limite, só precisamos conhecer o comportamento da função nas vizinhan-
ças do ponto em questão (x = 2, no caso), mas não necessariamente nele, então:
lim lim ( )x x
x
x
x
→ →
−
−
≡ + =2
2
2
4
2
2 4
 
Derivada de uma 
função
38 • capít ul o 3
O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância está no fato de conhe-
cê-lo para poder compreender a definição e o cálculo da função derivada.
A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto é, 
sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – 
y). Esta unidade nos apresentará a derivada como sendo um limite do coeficiente angular.
OBJETIVOS
• Relembrar o conceito e o cálculo do coeficiente angular como medida de variação no valor 
da função (y) e como um impacto;
• na variação da variável independente (x);
• No conceito da função derivada como uma taxa “pontual” de variação da função;
• No cálculo da função derivada num ponto qualquer;
• No cálculo da função derivada analiticamente por meio de sua definição, utilizando o cál-
culo do limite.
capít ul o 3 • 39
3.1 Introdução à Derivada
A derivada de um a função é outra função que tem a característica poderosa de 
nos mostrar o com portam ento da função original. A derivada de um a função 
nos mostra a form a de seu crescim ento/decrescim ento. Ela apresen ta a taxa de 
variação (crescim ento/decrescim ento) da função, isto é, o quan to a função (y) 
cresceria ou decresceria se increm entássemos “um pouco” a variável indepen-
dente (x). Na natureza, tem os alguns exem plos de derivadas.
A velocidade (fun ção velocidade) é a derivada do espaço n o estudo da 
cin em ática, pois é a velocidade que n os “m ostra” com o os espaços estão 
sen do percorridos em relação ao tem po por um veículo. Se este veículo está 
im prim in do gran de aceleração, en tão, com o passar do tem po, a fun ção es-
paço vai aum entan do e a cada segun do o aum en to é m aior, isto é, a taxa de 
aum en to do espaço percorrido por segun do, por exem plo, vai aum en tan do. 
Se, em con trapartida, o espaço percorrido aum en ta, m as sem pre n um a m es-
m a taxa – por exem plo, 5 m etros a cada segun do –, é porque a sua velocidade 
(taxa de variação) é con stan te.
O exem plo m ais com um na Adm inistração Geral é o do custo m arginal. O 
custo m arginal é a função derivada do custo em relação à quantidade produzi-
da de bens ou serviços. Sabem os que, para produzir certa quantidade Q de pro-
duto final, precisam os gastar cQ com m atérias-prim as, energia, capital, m ão de 
obra, transporte etc. Desta form a, para cada n ível de produção Q, é conhecida a 
quantia m onetária para a sua obtenção, isto é, o custo. 
O custo m arginal, por ser a derivada do custo, apresen ta-nos o quan to a em -
presa terá de gastar a m ais (aum ento no custo) para conseguir produzir “um 
pouco” m ais de produto final. Assim , o custo m arginal m ostra a taxa de varia-
ção do custo quando se altera o nível de produção de um a em presa ou de um a 
linha de produção.
Vam os com eçar revendo um conceito que nos será de bastan te utilidade: o 
coeficien te angular.
40 • capít ul o 3
3.2 O coeficiente angular
O coeficien te angular nos apresen ta a variação no valor da função (y) com o de-
corrência de um a variação na variável x (independente), isto é, ele nos m ostra o 
im pacto provocado na função (y) pela variação em x.
Se a função é crescen te, isto é, se um aum ento em x provoca um aum ento 
no valor da função (y), então o coeficiente angular irá m ostrar o quanto (∆y) a 
função cresce provocada pelo aum ento na variável x (∆x). 
A forma utilizada para se determinar uma função derivada, que será abordada neste 
capítulo, não é a mais prática nem a mais ágil, mas é necessária para que se compre-
enda o conceito de derivada. Na próxima unidade, veremos formas bem mais práticas 
de obter tais funções.
Em contrapartida, se a função é decrescente, isto é, se um aum ento em x 
provoca um a dim inuição no valor da função, então o coeficiente angular irá 
m ostrar o quanto (∆y) a função dim inui de valor com o decorrência do aum ento 
na variável x (∆x).
O coeficiente angular, que denotarem os por m , en tre dois pontos, P1(x1, y1) e 
P2(x2 , y2), é dado pela expressão abaixo:
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
2 1
2 1
Ele é num ericam ente igual à tangente do ângulo α, form ado pelo prolon-
gam ento do segm ento de reta P P1 2 e pelo eixo x (eixo das abscissas ou eixo 
horizon tal), conform e m ostrado na figura 14 a seguir:
capít ul o 3 • 41
x1
P2
x2
x
y2
y
y1
∆y
∆x
α
P1
Figura. 6 – Esquema para a obtenção do coeficiente angular
Nos exem plos seguin tes, verem os com o calcular o coeficien te angular en tre 
dois pontos. Note que um a das funções apresen tadas é do prim eiro grau e a 
outra é do segundo. Procure notar a diferença en tre os resultados.
A utilização da letra grega delta maiúscula (D) seguida de uma variável (x, por exemplo) 
indica a variação ocorrida nessa variável, isto é, Dx é uma forma de indicar um intervalo 
da variável x.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Calcule o coeficiente angular entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = 3x + 1:
a) x1 = 0 e x2 = 1
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
4 1
1 0
3
b) x1 = 1 e x2 = 2
m
y
x
y y
x x
= =
−
−
=
−
−
=
∆
∆
2 1
2 1
7 4
2 1
3
42 • capít ul o 3
c) x1 = 2 e x2 = 3
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
10 7
3 2
3
d) x1 = 10 e x2 = 11
m
x
y
y y
x x
= =
−
−
=
−
−
=
∆
∆
2 1
2 1
34 31
11 10
3
e) x1 = 0 e x2 = 10
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
31 1
10 0
3
f) x1 = 1 e x2 = 101
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
304 4
101 1
3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Calcule o coeficiente angular entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = x2.
a) x1 = 0 e x2 = 1
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
1 0
1 0
1
b) x1 = 1 e x2 = 2
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
4 1
2 1
3
c) x1 = 2 e x2 = 3
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
9 4
3 2
5
capít ul o 3 • 43
d) x1 = 10 e x2 = 11
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
121 100
11 10
21
e) x1 = 0 e x2 = 10
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
100 0
10 0
10
f) x1 = 1 e x2 = 101
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
⋅ −
−
=
2 1
2 1
10 201 1
101 1
102
3.3 Interpretação gráfica da derivada
3.3.1 Derivada pela definição
A defin ição m atem ática da derivada vem da ideia do coeficien te angular, po-
rém é m uito m ais refinada, apurada. O coeficien te angular m ede ou calcula a 
variação que ocorre na função (y) ao provocarm os um a variação na variável in-
dependente (x). Graficam ente, o coeficiente angular de um a reta é um núm ero 
que represen ta a inclinação da reta em seu gráfico num determ inado pon to, 
com o vim os nos exem plos an teriores, em que x variava de 0 até 1 ou de 1 até 2 
ou, ainda, de 0 a 10.
A derivada, en tretan to, m ostra-nos a variação da função quando provocada 
por um a m udança (aum ento/dim inuição) muito pequena (infin itesim al) na va-
riável x. Assim , a derivada é capaz de m edir “a tendên cia de variação da função 
n um ∆x m uito pequen o, ten dendo a zero”. A derivada m ostra, por assim dizer, 
a variação da função não m ais en tre dois pontos (coeficien te angular), m as sim 
“a tendência de variação da fun ção num ponto” (já que ∆x → 0). 
A derivada da função no pon to x0 pode ser entendida com o sendo a taxa de 
variação pontual, no pon to x0.
44 • capít ul o 3
A notação de derivada pode ser encon trada, en tre vários autores, com o 
sendo:
y’; f’(x); dy
dx
; ∆
xy
Todas estas notações dizem respeito à m esma função m atem ática: “a deri-
vada de y em relação a x”.
Voltando à definição de derivada, podem os dizer que ela é a m esm a do coe-
ficien te angular entre dois pontos, porém com a única e im portan te diferença 
de que o acréscim o na variável x, a partir de x0, é m uito pequeno, tendendo a 
zero (∆x → 0), conform e expressão abaixo:
y y
x
f x x f x
x
x x
lim lim
( ) ( )
= =
+ −
→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
0 0
3.3.2 Interpretação gráfica da derivada
Já sabem os que a derivada de um a função nos apresen ta sua “tendência de 
variação em cada pon to” e que, desta form a, há pequen a diferen ça em rela-
ção ao coeficien te angular, no sen tido de que este últim o torna um a variação 
fin ita (grande) em variável independen te (x). É por isso que precisam os de 2 
pon tos para calcular o coeficien te an gular, sendo represen tado graficam en te 
pelo ângulo α, form ado en tre o segm ento de reta en tre os dois pon tos P P1 2 e 
a abscissa, conform e podem os observar pela figura 7, a seguir.
A in terpretação gráfica da derivada tam bém se baseia na ideia de um ân-
gulo, o θ da figura 6. No en tan to, este ângulo é form ado pela tangen te à cur-
va que passa pelo pon to x0, não n ecessitando de outro pon to para defin i-la, 
com o ocorre com o coeficien te an gular. Assim , podem os dizer que a derivada 
de um a função é dada pela tan gen te do ân gulo θ da tangen te à curva em cada 
pon to x.
Em bora estejam os falando em tangen te de ângulo, não precisarem os utili-
zar os conceitos da trigonom etria para trabalhar com derivadas.capít ul o 3 • 45
f(x0 + ∆x)
θ
α
f(x)
f(x0) P1
P2
Reta tangente
a f(x) pelo
ponto x0
(x0) (x0) + ∆x
Figura 7 – Representações gráficas do coeficiente angular e das derivadas (respectivamen-
te as tangentes dos ângulos α e θ)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre, pela definição, as seguintes derivadas, sendo y = 3x + 1:
a) y’(x0 = 1) ou y(1), que representam a derivada da função no ponto x0 = 1;
b) y’(2);
c) y’(0);
d) y’(x).
Para representarmos a derivada de uma função y em um ponto x0 específico, podemos 
escrever y’(x0).
Resolução
a) y (1) 
Vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f(x0) 
e f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
1 3 1 1 4
1 3 1 1 3 3 1 4 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + + = +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
46 • capít ul o 3
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a e no limite, que é a definição da 
derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
 
y x x x
x
x f
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim
1
1 1
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f
00
0
0
4 3 4
3
3
3
+ −
=
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
xx
x
lim
lim ( )
CONEXÃO
No endereço:< http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 11411> , você encon-
trará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado “fun-
ción derivada”, que mostra o conceito de taxa de variação média e sua interpretação geomé-
trica, de taxa de variação instantânea, a função derivada e a derivada de função composta. 
Também apresenta exemplos e exercícios que poderão auxiliar sua aprendizagem. O texto é 
apresentado em espanhol.
b) y’(2)
Novamente vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f(x0) e 
f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
2 3 2 1 7
2 3 2 1 6 3 1 7 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + + = +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é 
a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a 
seguir:
capít ul o 3 • 47
y x x x
x
x f
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim
2
2 2
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f
00
7 3 7+ −∆
∆
x
x
=
=
=
→
→
lim
lim ( )
∆
∆
∆
∆x
x
x
x0
0
3
3
3
c) y’(0)
Determinando as expressões que representam f(x0) e f(x0 + Dx), temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
0 3 0 1 1
0 3 0 1 3 1 1 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + = +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a e no limite, que é a definição da 
derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
y x x x
x
x
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim
0
0 0
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f f
00
0
0
1 3 1
3
3
3
+ −
=
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆∆
∆
x
x
x
xx
x
lim
lim ( )
CONEXÃO
No endereço:< http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 4998> , você en-
contrará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado 
“limits”, que calcula limites de funções.
48 • capít ul o 3
d) y’(x)
Determinando as expressões que representam f(x0) e f(x0 + Dx), temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x x x
0
0
3 1
3 1 3 3 1
= = +
+ = + = + + = + +∆ ∆ ∆ ∆
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é 
a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado 
a seguir:
y x x x x
x
x x x
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
f f
f f
00
0
0
3 3 1 3 1
3 3 1 3 1
3
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
+ + − +
=
+ + − −
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
( )
lim
lim
limm ( )∆x→
=
0 3
3
EXEMPLO
Encontre, pela definição, as seguintes derivadas, sendo y = x2 – 2x + 1:
a) y’(2);
b) y’(x).
Resolução
a) y’(2) 
Da mesma forma que no exemplo anterior, vamos determinar, inicialmente, as expres-
sões que representam f(x0) e f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
x
x x x x x
0
2
0
2
2 2 2 2 1 4 4 1 1
2 2 2 2
= = − ⋅ + = − + =
+ = + = + − +∆ ∆ ∆ ∆ ))
( )
( )
+
= + + − − +
= + +
1
4 4 4 2 1
2 1
2
2
∆ ∆ ∆
∆ ∆
x x x
x x
capít ul o 3 • 49
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a de-
finição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
y x x x
x
i x x
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
l m ( )
lim
2
2 1 1
0
0 0
0
2
=
+ −
=
+ + −
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
f f
→→
+
0
2 2( )∆ ∆
∆
x x
x
=
+
= +
= +
=
→
→
lim ( )
lim ( )
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
x
x
x x
x
x
0
0
2
2
0 2
2
b) y’(x) 
Nesse caso, para determinar as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx), devemos 
substituir x0 por x e proceder ao cálculo do limite que define a derivada.
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
x x x x x x x x
x x
0
2
0
2
2
2 1
2 1
2
= = − +
+ = + = + − + +
= +
∆ ∆ ∆ ∆
∆∆ ∆ ∆x x x x+ − − +( )2 2 2 1
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a (x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a 
definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a 
seguir:
y x x x
x
x x x x x x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( )
2
2 2 2
0
0 0
0
2 2
=
+ −
=
+ + − − +
→
→
∆
∆
∆
∆
∆ ∆ ∆
f f
11 2 1
2 2 2 1 2 1
2
0
2 2 2
− − +
=
+ + − − + − + −
=
→
( )
lim ( )
lim
x x
x
x x x x x x x x
xx
∆
∆ ∆ ∆
∆∆
∆∆
∆
∆
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
∆
x
x
x
x x x x
x
x x x
x
x x
→
→
→
+ −
=
+ −
= + −
0
2
0
0
2 2
2 2
2 2
( )
lim ( )
lim ( ))
= + −
= −
2 0 2
2 2
x
x
50 • capít ul o 3
EXEMPLO
Encontre, pela definição, a derivada de:
a) y = 4x + 3;
b) y = 1 – 5x;
c) y
x
4 ;
d) y = x2
Resolução
Note que não está sendo especificado nenhum valor para x0. Dessa forma, iremos consi-
derar um valor genérico x0 = x. No mais, o procedimento é semelhante ao que já realizamos 
nos exemplos anteriores.
a) y = 4x + 3
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x
0
0
4 3
4 3
4 4 3
= = +
+ = + = + +
= + +
∆ ∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que define a deri-
vada, temos:
y x
x x x
x
x x x
x
x
x
'( ) lim ( ) ( )
lim ( )
lim
=
+ −
=
+ + − +
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
4 4 3 4 3
f f
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x
x
x
x
→
→
→
+ + − −
=
=
=
0
0
0
4 4 3 4 3
4
4
4
lim
lim ( )
capít ul o 3 • 51
b) y = 1 – 5x;
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x
0
0
1 5
1 5
1 5 5
= = −
+ = + = − +
= − −
∆ ∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que definea deri-
vada, temos:
y x f x x f x
x
x x x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( )
=
+ −
=
− − − −
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
1 5 5 1 5
=
− − − +
=
−
= −
= −
→
→
→
lim
lim
lim ( )
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x
x
x
x
0
0
0
1 5 5 1 5
5
5
5
c) y
x
4 ;
Temos:
f
f f
( ) ( )
( ) ( )
x f x
x
x x x x
x x
0
0
4
4
= =
+ = + =
+
∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) e no limite que define a 
derivada, temos:
52 • capít ul o 3
y x x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim
lim
=
+ −
=
+
−
=
−
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
0
4 4
4
f f
44
4 4 4
4
0
0
( )
( )
lim ( )
lim (
x x
x x x
x
x x x
x x x
x
x
x x
x
x
+
+
=
− −
+
=
−
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
++
=
−
+
⋅
=
−
+
=
−
+
=
−
→
→
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x x
x x x
x x
x
x
)
lim ( )
lim ( )
( )
0
0
4 1
4
4
0
44
2x
CONEXÃO
No exemplo anterior, item (c), o mínimo múltiplo comum (mmc) de x e (x + Dx) é igual a 
 x(x + Dx).
d) y = x2
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x x x x x
0
2
0
2 2 22
= =
+ = + = + = + +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
capít ul o 3 • 53
Substituindo as expressões equivalentes a e no limite que define a derivada, temos:
y x
x
f x x f x
x
x
x x x x x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( )
li
=
→
+ −
=
→
+ + −
=
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
0
0 0
0
2 2 2 2
mm
( )
lim ( )
lim ( )
∆
∆ ∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
x
x x x
x
x
x x x
x
x
x x
x
→
+
=
→
+
=
→
+
= +
=
0
2 2
0
2
0 2
2 0
22x
54 • capít ul o 3
Regras de 
Derivação
56 • capít ul o 4
OBJETIVOS
Depois de ler e resolver os exercícios deste capítulo, o aluno terá aprendido as regras de 
diferenciação de funções e saberá rapidamente obter a derivada:
• de uma função potência f(x) = x n;
• de uma função multiplicada por uma constante k: k · f(x);
• de uma função constante f(x) = k;
• da soma (ou subtração) de duas funções: f(x) ± g(x);
• do produto de duas funções: f(x) · g(x);
• da divisão de duas funções: f x
g x
( )
( )
.
capít ul o 4 • 57
4.1 Regras de Derivação
Vim os, no capítulo 3, com o calcular a derivada originalm ente, isto é, pela 
sua defin ição.
Porém , a todo m om ento precisam os calcular derivadas e levarem os bastan-
te tem po resolvendo-as “pela defin ição” (usando o cálculo do lim ite). Este tem a 
traz, então, um a série de regras de diferenciação (derivação) para que o pro-
cesso de obtenção do cálculo seja bastan te prático. O aluno aprenderá, neste 
capítulo, as principais regras de diferenciação (ou derivação) de funções. São 
regras bastan te sim ples que perm itirão ao aluno obter rapidam ente a form a 
m ais sim ples da derivada de um a função sem ter que recorrer ao cálculo do 
lim ite (derivada pela definição). 
4.2 Derivada de função
4.2.1 Derivada da função xn
Seja um a função do tipo y = xn, en tão a sua derivada é:
y’ = nx(n – 1), ∀ n ∈ R
Dem on stração utilizando a defin ição de lim ite
As demonstrações destas regras (apresentadas a seguir) podem ser obtidas através 
da definição de derivada, utilizando-se o limite. Para efeito de curiosidade, vamos de-
monstrar apenas o primeiro caso (função potência). Não vamos nos prender a demons-
trações, já que não é o objetivo deste curso. O importante aqui é a utilização correta 
das regras para encontrarmos as derivadas das funções e as utilizarmos em aplicações 
importantes no curso de Administração.
58 • capít ul o 4
Vam os então considerar y = xn. Daí, tem os:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
x x x
x x x x x x
x nx x nx x
n
n
n n n
0
0
1 2
= =
+ = + = +
= + +− −
∆ ∆ ∆
∆ ∆ 22
2 2 1
+
+ + + +− −… nx x nx x xn n n∆ ∆ ∆( )
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no lim ite que de-
fine a derivada, tem os:
y x
x x x
x
x nx x nx x
x
x
n n n
( ) lim ( ) ( )
lim ( )
=
+ −
=
+ +
→
→
− −
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
0
0 0
0
1 2 2
f f
++ + + + −
=
+
− −
→
− −
… nx x nx x x x
x
nx x nx
n n n n
x
n n
2 2 1
0
1 2
( ) ( ) ( )
lim (
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
xx nx x nx x x
x
x nx nx
n n n
x
n n
) ( ) ( ) ( )
lim [
2 2 2 1
0
1 2
+ + + +
=
+
− −
→
− −
… ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
xx nx x nx x x
x
nx nx x
n n n
x
n n
+ + + +
= +
− − −
→
− −
…
2 3 2 1
0
1 2
( ) ( ) ( ) ]
lim [
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
++ + + +
= + ⋅ + + ⋅
− − −
− − −
…
…
nx x nx x x
nx nx nx
n n n
n n n
2 3 2 1
1 2 2 30 0
( ) ( ) ( ) ]∆ ∆ ∆
++ ⋅ +
=
− −
−
nx
nx
n n
n
0 02 1
1
EXEMPLO
Se y = x3, então y’ = 3x3–1 ⇒ y’ = 3x2.
 Como não está sendo pedida a derivada em determinado ponto, consideremos x0 = x.
capít ul o 4 • 59
EXEMPLO
Encontre a derivada de cada uma das funções apresentadas a seguir, utilizando a regra 
da derivada da função y = xn.
a) y = x2
b) y = x8
c) y = x10
d) y = x100
e) y = x
f) y
x
1
3
g) y
x
1
h) 
y
x
1
10
i) y x
j) y x3
k) y x5
l) y x3
m) y x47
Resolução
a) y = x2
Se y = x2, então y’ = 2x2–1 ⇒ y’ = 2x.
b) y = x8
Se y = x8, então y’ = 8x8–1 ⇒ y’ = 8x7.
c) y = x10
Se y = x10, então y’ = 10x10–1 ⇒ y’ = 10x9.
d) y = x100
Se y = x100, então y’ = 100x100–1 ⇒ y’ = 100x99.
e) y = x
Se y = x, então y’ = 1x1–1 ⇒ y’ = x0 ⇒ y’ = 1.
f) y
x
1
3
Se y
x
1
3
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x–3 Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −3 3 3 03 1 4 4 , 
60 • capít ul o 4
g) y
x
1
Se y
x
1 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x–1. Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −1 1 01 1 2 2 , 
h) y
x
1
10
Se y
x
1
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x–10. Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −10 10 10 010 1 11 11 , 
i) y x
Se y x , podemos escrever, de forma equivalente, y x
1
2 . Então:
 
y x y x y
x
y
x
x’ ’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − >
− −1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1 1
2
1
2
 , 
j) y x3
Se y x3 , podemos escrever, de forma equivalente, y x
3
2 . Então:
 
y x y x y x x’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = ≥−3
2
3
2
3
2
0
3
2
1 1
2 , 
k) y x5
Se y x5 , podemos escrever, de forma equivalente, y x
5
2 . Então:
capít ul o 4 • 61
l) y x3
Se y x3 , podemos escrever, de forma equivalente, y x
1
3 . Então:
m) y x47
Se y x47 , podemos escrever, de forma equivalente, y x
4
7 . Então:
 
y x y x y
x
y
x
x’ ’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = ⇒ = >
− −4
7
4
7
4
7
4
7
0
4
7
1 3
7
3
7
37
, 
4.2.2 Derivada de k· f(x)
Seja um a função do tipo y = k · f(x), em que:
• k é um a constan te (∀ k ∈ R);
• f(x) é um a função qualquer, cuja derivada é f ’(x).
Então, sua derivada será:
y’ = k · f ’(x)
EXEMPLO
Encontre as derivadas das funções seguintes, utilizando as regras de derivação que você 
conhece:
a) y = 3x2
b) y x
8
10
c) y = 100x3
d) y x
10
10
e) y = 100x100
f) y
x
5
g) y
x
= −
6
3
h) y x2
62 • capít ul o 4
i) y x25
3
3
j) y x20 3 5
k) y x8
2
23
l) y = 3
Quando encontramos,numa função, uma constante (k) que esteja multiplicando ou 
dividindo outra função, então, se queremos aplicar a derivação, devemos nos preocupar 
somente com a parte funcional (parte que apresenta o x), mantendo a constante intac-
ta, ou seja, da forma (multiplicando ou dividindo) como se apresenta na função original, 
antes de começar a derivação.
Resolução
a) y = 3x2
Se y = 3x2, então:
y’ (x) = 3 · (2)x(2 – 1) = 6x1 = 6x 
b) y x
8
10
Se y x
8
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y x
1
10
8
. Então:
y x y x y x’ ’ ’ .= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =−1
10
8 1
10
8 8
10
8 1 7
7
c) y = 100x3
Se y = 100x3, então:
y’ = 100 · (3)x3 – 1 = 300x2
d) y x
10
10
Se y x
10
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y x
10
10
. Então: 10 10
10 1 9x x
−( )
=
e) y = 100x100
Se y = 100x100, então:
y’= 100 · (100)x100 – 1 = 10.000 · x99 
capít ul o 4 • 63
f) y
x
5
Se y
x
5
, podemos escrever, de forma equivalente, y
x
x= = ⋅ −5
1
5 1. Então:
g) y
x
= −
6
3
Se y
x
= −
6
3
, podemos escrever, de forma equivalente, 
y
x
x= − = − ⋅ −6 1 63
3
.
 Então:
y x y x y
x
’ ( ) ’ ’ .= − ⋅ − ⇒ = ⇒ =− − −6 3 18 183 1 4 4
h) y x2
Se y x2 , podemos escrever, de forma equivalente, y x2
1
2 . 
 
y x y x y
x
y
x
’ ’ ’ ’ .= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −2 1
2
1 112 1
1
2
1
2
i) y x253
3
Se y x25
3
3
, podemos escrever, de forma equivalente, 
y x x x= ⋅ = ⋅ = ⋅25
3
5
3
5
3
3
3
2 3
2 Então:
y x
y
y x
y x
y
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
− −
20 3
20 3 5
20 1
3
20 3
3
1
2
5
2
1
2 1
5
2 1
1
2
3
2
1
2 3
2
’
’
’
’’
’
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅( )
20
3
3
20
3
3
1
2
3
2
3 12
x
y x
64 • capít ul o 4
j) y x20 3 5
Se y x20 3 5 , podem os escrever, de form a equivalen te, y = 20 · 3½ · x5/2
Então:
y x
y
y x
y x
y
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
− −
20 3
20 3 5
20 1
3
20 3
3
1
2
5
2
1
2 1
5
2 1
1
2
3
2
1
2 3
2
’
’
’
’’
’
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅( )
20
3
3
20
3
3
1
2
3
2
3
1
2
x
y x
 
k) y x8
2
23
Se y x8
2
23
, podem os escrever, de form a equivalente, 
y x y x y x= ⇒ = ⇒ =8
2
2
2
3 23 23 2
3 . Então:
y x y x y x= ⇒ = ⇒ =8
2
2
2
3 23 23 2
3 . Então:
y x y x y
x
y
x
· · · · .= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
3
1
3
3
l) y = 3
Como y = 3 é uma função constante, podemos escrevê-la na forma y = 3x0. E, aplicando 
as mesmas regras que aplicamos nos itens anteriores, temos:
y’ = 3 · 0 · x0–1 = 0
Em situações como essas (de funções constantes), não é necessário que apliquemos 
tais regras, pois, na próxima seção, definiremos uma regra para derivadas de funções cons-
tantes. Podemos dizer que a derivada de uma função constante é sempre igual a zero.
capít ul o 4 • 65
4.2.3 Derivada de f(x) = k
Seja um a função constante, isto é, y = k, em que k é um a constan te (k ∈ R). 
Então, sua derivada será: 
y’ = 0
EXEMPLO
Encontre as derivadas das funções seguintes:
a) y = 3
b) y = 10 400
c) y 1
10
d) y 5
e) y = p
f) y = 53
Resolução
Todas as funções apresentadas nos itens de (a) a (f) são funções constantes. Portanto, 
para todos esses casos, temos:
y’ = 0
4.3 Derivada de uma soma (ou subtração) de 
funções
Seja um a função do tipo y = f(x) ± g(x), em que:
• f(x) é um a função cuja derivada é f’(x);
• g(x) é um a função cuja derivada é g’(x).
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).
Então, sua derivada será:
y’(x) = f ’(x) ± g’(x)
66 • capít ul o 4
EXEMPLO
Derive as funções seguintes, utilizando as regras de derivação:
a) y = 3x2 + 2x – 10
b) y = 3x2 + 4x – 5
c) y x x= −
8
10
3
d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10
Resolução:
a) y = 3x2 + 2x – 10
Se y = 3x2 + 2x – 10, então:
y x x y x· ·= ⋅ + − ⇒ = +− −3 2 2 0 6 22 1 1 1 .
b) y = 3x2 + 4x – 5
Se y = 3x2 + 4x – 5, então:
y x x y x· ·= ⋅ + − ⇒ = +− −3 2 4 0 6 42 1 1 1 .
c) y x x= −
8
10
3
Se y x x= −
8
10
3 , então:
y x x y x· ·= − ⇒ = −
−
−
8
10
3 4
5
3
8 1
1 1
7
.
d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10
Se y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10, então:
y x x x y x x’ ’ .= ⋅ − ⋅ + − ⇒ = − +− − −100 3 4 2 3 0 300 8 33 1 2 1 1 1 2
Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, 
é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. 
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x)
capít ul o 4 • 67
4.4 Derivada do produto de duas funções: a 
regra do produto
Seja um a função do tipo y = f(x) · g(x), em que:
• f(x) é um a função cuja derivada é f ’(x); 
• g(x) é um a função cuja derivada é g’(x). 
Então, sua derivada será:
y’(x) = f ’(x) · g(x) + g’(x) · f(x)
Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, 
é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. 
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).
EXEMPLO
Utilizando as regras de derivação, obtenha as derivadas de cada uma das funções se-
guintes:
a) y = x3 · (4x + 2)
b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3)
c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20)
d) y x x x= − +5
2
25 4 22( )
Resolução
a) y = x3 · (4x + 2)
Podemos observar que a função y é o produto de duas funções, que denotaremos, res-
pectivamente, por f(x) e g(x). Portanto:
y = f(x) · g(x)
68 • capít ul o 4
em que 
f ( )
( )
x x
g x x
=
= +
3
4 2
, 
e suas derivadas são
f' ( )
’( )
x x
g x
=
=
3
4
2
Para simplificar a notação, vamos denotar as funções f(x), g(x), f (´x) e g (´x) por f, g, f ´e 
g .´ Além disso, podemos suprimir o uso do sinal da multiplicação “·”, quando esta operação 
estiver evidente.
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x
’ ’
’ ( ) ( )
= +
= + +
f' f
3 4 2 42 3
A expressão y x x x’ ( ) ( )= + +3 4 2 42 3 já é a derivada que queríamos determinar. No 
entanto, podemos continuar a desenvolvê-la e simplificá-la (sempre que possível). Portanto:
y x x x
y x x x
y x x
’ ( ) ( )
’
’
= + +
= + +
= +
3 4 2 4
12 6 4
16 6
2 3
3 2 3
3 2
A regra do produto de duas funções não é tão intuitiva quanto a regra da soma (ou 
subtração). Agora, a derivada de uma multiplicação não é simplesmente a multiplicação 
das derivadas.
capít ul o 4 • 69
b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3)
Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos:
y = f · g,
em que 
f =
= −
2 3 1
3
3x + x + 
g x
,
e suas derivadas são
f' = +
=
6 3
1
2x
g’
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x x
y x x x x
’ ’
’ ( )( ) ( )
’
= +
= + − + + +
= − + − + +
f' f
6 3 3 1 2 3 1
6 18 3 9 2
2 3
3 2 3 33 1
8 18 6 83 2
x
y x x x
+
= − + −’
c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20)
Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos:
y = f · g,
em que 
f x
g x x
=
= − +
5
2
25 4 22
,
e suas derivadas são
f' =
= −
5
2
504g x’
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x x x
y x x
’ ’
’ ( )( ) ( )
’
= +
= − − + −
= − −
f' f
300 8 3 20 3 100 4
900 600
2 3 2
3 2 224 160 300 12
1200 636 160
2 3 2
3 2
x x x x
y x x x
+ + −
= − +’
70 • capít ul o 4
d) y x x x= − +5
2
25 4 22( )
Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos escrever a função y como o produto 
de duas funções f e g:
y = f · g,
em que 
f =
= − +
5
2
25 4 22
x
g x x
,
e suas derivadas são
f' =
= −
5
2
50 4g x’
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x x
y x x x
’ ’
’ ( ) ( )
’
= +
= − + + −
= − + +
f' f
5
2
25 4 2 50 4 5
2
125
2
10 5 125
2
2
2
−−
= − +
10
375
2
20 5
2
x
y x x’
Note que, em cada um dos casos resolvidos anteriormente, poderíamos ter obtido a deri-
vada sem aplicar a regra do produto. Bastaria, para isso, multiplicar as expressões (utilizando 
a propriedade distributiva), transformando cada uma das funções em polinômios (sem utiliza-
ção da forma de multiplicação). No entanto, haverá casos em que esse tipo de recurso não 
será possível. Por isso, é imprescindível que se saiba aplicar a regra do produto.
CONEXÃO
No endereço:<http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 6091> , você irá en-
contrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do produto” (“the pro-
duct rule”) para a obtenção de derivadas de alguns exemplos específicos de funções. Você 
capít ul o 4 • 71
mesmo insere a função produto que deseja derivar (a partir de algumas funções já predefini-
das) e o programa fornece o resultado da derivada, bem como apresenta uma representação 
gráfica da função produto e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será necessário o plug in 
“Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.
4.5 Derivada da divisão de duas funções: a 
regra do quociente
Seja um a função do tipo em que:
y x
g x
f ( )
( )
• f(x) é um a função cuja derivada é f ’(x),
• g(x) é um a função cuja derivada é g’(x).
Então, sua derivada será:
y x g x g x x
g x
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )]=
⋅ − ⋅f' f
2
.
Utilizando um a notação m ais sim plificada, podem os escrever:
y g g
g
'
'
=
−f' f
2
EXEMPLO
Aplicando as regras de derivação, determine as derivadas das funções seguintes:
a) y x
x
5
3
4
2
b) y x x
x
=
+ −
−
5 8 1
2 3
2
c) y x
x x
=
+
−
4
3 2
25
4
72 • capít ul o 4
Resolução
a) y x
x
5
3
4
2
Note que essa função pode ser simplificada antes de ser derivada. Podemos escrever:
y x ou y x5
3
5
3
2
2
,
e, em seguida, derivá-la:
y x y x’ ’= ⇒ =−5
3
2 10
3
2 1
Apenas para ilustrar e mostrar que, pela aplicação da regra do quociente. a derivada 
obtida será a mesma, vamos determinar y ´dessa forma.
Vamos, inicialmente, escrever a função y como o quociente de duas funções, f e g:
y
g
f
,
em que 
f =
=
5
3
4
2
x
g x
,
e suas derivadas são
f' =
=
20
6
3x
g x’
.
Aplicando a regra do quociente, temos: y x y x’ ’= ⋅ ⇒ = ⋅206
10
3
2 2
b) y x x
x
=
+ −
−
5 8 1
2 3
2
Escrevendo a função y como o quociente de duas funções f e g, temos:
y
g
f
,
capít ul o 4 • 73
em que 
f = + −
= −
5 8 1
2 3
2x x
g x
,
e suas derivadas são
f' = +
=
10 8
2
x
g’ .
Aplicando a regra do quociente, temos:
y g g
g
y x x x x
x
y x x
’
’
’
( )( ) ( )
( )
’
=
−
=
+ − − + −
−
=
−
f' f
2
2
2
2
10 8 2 3 2 5 8 1
2 3
20 30 ++ − − − +
−
=
− −
−
16 24 10 16 2
2 3
10 30 22
2 3
2
2
2
2
x x x
x
y x x
x
( )
’ ( )
c) y x
x x
=
+
−
4
3 2
25
4
Escrevendo a função y como o quociente de duas funções, f e g, temos:
y
g
f
,
em que 
f x
g x x
= +
= −
4
3 2
25
4
e suas derivadas são
f' =
= −
4
3 8
3
2
x
g x x’
.
74 • capít ul o 4
Aplicando a regra do quociente, temos:
y g g
g
y x x x x x x
x x
y x
’
’
’
( ) ( )( )
( )
’
=
−
=
− − − +
−
=
−
f' f
2
3 3 2 2 4
3 2 2
6
4 4 3 8 25
4
4 116 3 75 8 200
4
8 75 200
4
5 6 2 5
3 2 2
6 5 2
3 2
x x x x x
x x
y x x x x
x x
− − + +
−
=
− − +
−
( )
’ ( ))2
CONEXÃO
No endereço: <http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 6090> , você irá en-
contrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do quociente” (“the 
quotiente rule”) para a obtenção de derivadas de alguns exemplos específicos de funções. 
Você mesmo insere a função quociente que deseja derivar (a partir de algumas funções já 
predefinidas) e o programa fornece o resultado da derivada, bem como apresenta uma re-
presentação gráfica da função quociente e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será neces-
sário o plug in “Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CHIANG, A. Matemática para economistas. Edusp/ McGraw-Hill, 1982.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005.
GOLDSTEIN, L. J. Matemática aplicada à economia, administração e ciências contá-
beis. Bookman, 1999.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. Harbra, 2001.
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, H. M. Matemática: para os cursos de economia, admi-
nistração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1997.
TAN, S. T. Matemática aplicada à administração e economia. Pioneira Thomson 
Learning, 2001.
WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. Harbra, 1988.
capít ul o 4 • 75
4.6 Aplicação de Derivada para 
Determinação de Máximos e Mínimos – 
Problema de Otimização
O prim eiro passo para resolver este tipo de problem a é determ inar, de form a 
precisa, a função a ser otim izada. Em geral, obtem os um a expressão de duas va-
riáveis, m as, usando as condições adicionais do problem a, esta expressão pode 
ser reescrita com o um a função de um a variável derivável e, assim , poderem os 
aplicar os teorem as.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Aplicação de regra de derivação
O custo para produzir certo produto é dado por C(x) = x3/ 3 − 6 x2 + 30 x + 25. 
Determine o lucro máximo se o preço do produto for R$ 10,00.
O lucro é dado por L(x) = R(x) − C(x), em que a receita é R(x) = 10 x; logo;
= − + − −L x x x x( ) 1
3
18 60 753 2
Derivando e igualando a zero:
− 3 x2 + 36 x − 60 = 0 =⇒ x = 2 e x = 10.
Derivando novamente:
L ` ` (x) = 1/3 . [36 – 6x]
Logo: L’’ (2) = 8 e x = 2 é ponto de mínimo; L’’ (10) = −8 e x = 10 é ponto de máximo.
L(10) = R$ 41,66.
 
2 4 6 8 10 12
100
50
Disponível em: <http:/ / www.ime.uerj.br/ ~calculo/ Ecomat/ cap7.pdf, pdf> . 
Acesso em: 02 mai. 2015. Adaptado.
 
Note que o ganho da empresa é 
devido ao fato de que o custo é 
C(10) = R$ 58,33 e a receita é 
R(10) = R$ 100,00.
76 • capít ul o 4
Aplicações 
Matemáticas em 
Economia
78 • capít ul o 5
OBJETIVOS
Ao final desse capítulo, o aluno deverá estar apto a:
• Entender porque as empresas precisam de funções que maximizem seus lucros;
• Aplicar seus conhecimentos a situações em que a tomada de decisão visa a elevar lucros, 
sem descuidar do cumprimento de outras restrições próprias do ambiente de negócios;
• Calcular o ponto de equilíbrio de uma operação;
• Compreender a elasticidade - preço da demanda.
capít ul o 5 • 79
5.1 Maximização do lucro de uma empresa
5.1.1 Maximização do lucro
Quando uma firma está em condição de monopólio, só ela produz e vende o 
produto no mercado.Assim, recai sobre ela toda a demanda. O preço não é mais 
constante como em concorrência, quando a empresa não tem controle sobre 
quanto cobrar pelo produto. Em concorrência, o preço é estabelecido pelo merca-
do. Em monopólio, a empresa tem poder de mercado e, portanto, ela pode decidir 
o quanto irá produzir e qual o preço que colocará no produto, conhecendo a função 
de demanda que relaciona o preço e a quantidade demandada.
No exem plo a seguir, verem os um a situação em que há esse tipo de rela-
ção entre preço e dem anda (ou quan tidade dem andada) e com o essa relação 
in fluencia o com portam ento das funções receita total e lucro total.
EXEMPLO
Encontre a quantidade e o preço ótimos, isto é, aqueles valores, respectivamente, que a 
empresa deveria produzir e colocar no preço unitário do produto, de forma a maximizar seu 
lucro, sabendo-se que a empresa apresenta custo fixo de R$ 1.000,00 e custo unitário de 
produção de R$ 4,00. A empresa conhece a função (curva) de demanda de seu produto 
(Q = 120 – p ou p = 120 – Q). Encontre também o lucro máximo. 
Sugestão: obtenha as funções CT e RT e faça um gráfico. 
Resolução
Custo total: CT = CF + CV = 1.000 + 4Q
Receita total: RT = pQ = (120 – Q)Q = 120Q – Q2
Note agora que a função receita total será uma parábola (função do segundo grau).
Lucro da empresa: L = RT – CT = 120Q – Q2 – 1.000 – 4Q, que simplificando resulta em 
L = – Q2 + 116Q – 1.000
O valor máximo do lucro (Lucro máximo: Lmáx) ocorre no vértice da parábola:
− −
=
−
−
−
−
= ( )b
a a2 4
116
2
9 456
4
58 2 364; ; . ; .∆
Produzindo uma quantidade de 58 unidades do produto (conforme podemos observar 
pelo gráfico abaixo), a empresa obterá o maior lucro possível, que será de R$ 2.364,00, já 
80 • capít ul o 5
que o preço seria, segundo a função da demanda, anterior: p = 120 – Q = 120 – 58 = 62,00 
reais. Para compreender melhor, devemos raciocinar que a empresa colocaria o preço em 
R$ 62,00 e, assim, as pessoas estariam interessadas em comprar 58 unidades do produto, 
gerando, então, um lucro total (máximo) de R$ 2.364,00 para a empresa. Este é o ponto de 
operação da empresa monopolista.
O gráfico a seguir representa as funções envolvidas nesse exemplo.
4.000 $
3.000
2.000
1.000
0
–1.000
–2.000
0 20 40 60 80 100 120
Qótima = 58
Lmáx. = 2.364 LT RT
CT Q
EXEMPLO
Dadas as funções receita total RT(Q) = –Q2 + 200Q e custo total CT(Q) = 4.000 + 30Q, para 
Q variando de 0 a 120 unidades, de uma determinada utilidade:
a) determine a quantidade para a qual essa utilidade proporciona receita máxima;
b) obtenha a função lucro total para essa utilidade;
c) determine a quantidade para a qual o lucro proporcionado por essa utilidade é má-
ximo;
d) esboce os gráficos das funções custo total, receita total e lucro total dessa utilidade.
Resolução
a) Como a função receita total é uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma 
parábola com concavidade voltada para baixo, então seu valor máximo (receita má-
xima) ocorre no vértice dessa parábola. Portanto, a quantidade que proporciona 
receita máxima é dada pela fórmula:
capít ul o 5 • 81
Q b
av
=
−
2
Note que, na fórmula mostrada, o valor que será obtido é referente à coordenada x do 
vértice (x
v
).
Na função RT(Q) = –Q2 + 200Q, temos a = –1 e b = 200. Portanto, o valor da coorde-
nada Q
v
 é:
Q b
av
=
−
=
−
−
=
−
−
=
2
200
2 1
200
2
100( )
O resultado nos diz que o valor máximo de receita ocorre quando a quantidade Q vendida 
(e produzida) é igual a 100. Caso seja necessário calcular o valor dessa receita máxima, bas-
ta substituir Q por 100 na função RT(Q) = –Q2 + 200Q e calcular o valor de RT. 
Pode parecer estranho, mas, de acordo com a função, se a quantidade for maior que 100, 
a receita começará a diminuir. Isso pode ocorrer na prática, pois há relação entre quantidade 
e preço e, à medida que a quantidade aumenta, o preço pode cair. E lembre-se de que a 
receita é obtida pela multiplicação da quantidade pelo preço. Portanto, mesmo a quantidade 
aumentando, se o preço cair, o valor de receita poderá diminuir.
b) A função lucro total LT pode ser obtida pela diferença entre as funções receita total 
RT e custo total CT. Portanto:
LT(Q) = RT(Q) – CT(Q)
LT(Q) = – Q2 + 200Q – (4.000 + 30 Q)
LT(Q) = – Q2 + 200Q – 4.000 – 30 Q
LT(Q) = – Q2 + 170Q – 4.000
c) Assim como ocorreu com a função receita, quando determinamos a quantidade 
para a qual ela era máxima, vamos aqui proceder da mesma forma para determinar 
a quantidade que gera lucro máximo, ou seja, que maximiza a função lucro total.
Na função LT(Q) = – Q2 + 170Q – 4.000, que é do segundo grau, temos a = –1, b = 170 
e c = –4000. Portanto, a coordenada Qv é dada por:
Q b
av
=
−
=
−
−
=
−
−
=
2
170
2 1
170
2
85( )
82 • capít ul o 5
d) Os gráficos das funções lucro total, receita total e custo total são apresentados a 
seguir. As linhas pontilhadas indicam o comportamento das funções apresentadas, 
mas em uma região (domínio) que já não é mais válida para esta aplicação, pois no 
enunciado há menção de que as funções receita e custo apresentadas, nesse caso, 
são válidas para Q variando de 0 a 120 unidades.
 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Quantidade
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Custo
Receita
Lucro
5.2 Receita, Custo e Lucro Marginais
RMg(x) = R′(x). A receita m arginal RMg(x) é a receita aproxim ada da venda x+1 
após ter vendido x unidades. O lucro m arginal de um bem é o lucro aproxim ado 
ao vender um a un idade adicional do bem .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Interpretação de dados em uma tabela – aplicação de custo fixo, variável, total, médio e 
marginal.
capít ul o 5 • 83
01. Dada a tabela a seguir de custos de uma operação de produção de um bem, calcule e/
ou descreva:
a) o custo adicional (marginal) para a produção da nona unidade;
b) o lucro obtido para a venda das 9 (nove) unidades, ao preço unitário de R$ 10,00;
c) o lucro obtido com a venda de 10 (dez) unidades, ou seja, uma unidade adicional do bem;
d) em quantas unidades produzidas se dá a maximização de lucro dessa empresa na ope-
ração de produção analisada;
e) o que ocorre com os custos fixos, variáveis e totais médios de produção;
f) o que a empresa deve fazer em relação à tomada de decisão da produção da décima 
unidade, caso a sua estratégia seja de aumento de participação de mercado.
PRODUÇÃO CUSTO FIXO CUSTO VARIÁVEL
CUSTO 
TOTAL
CUSTO FIXO 
MÉDIO
CUSTO 
VARIÁVEL 
MÉDIO
CUSTO 
MÉDIO
CUSTO 
MARGINAL
0 15,00 0 15,00
1 15,00 7,50 22,50 15,00 7,50 22,50 7,50
2 15,00 12,00 27,00 7,50 6,00 13,50 4,50
3 15,00 15,00 30,00 5,00 5,00 10,00 3,00
4 15,00 16,50 31,50 3,75 4,13 7,88 1,50
5 15,00 18,00 33,00 3,00 3,60 6,60 1,50
6 15,00 24,00 39,00 2,50 4,00 6,50 6,00
7 15,00 30,00 45,00 2,14 4,29 6,43 6,00
8 15,00 37,50 52,50 1,88 4,69 6,56 7,50
9 15,00 46,50 61,50 1,67 5,17 6,83 9,00
10 15,00 57,00 72,00 1,50 5,70 7,20 10,50
11 15,00 69,00 84,00 1,36 6,27 7,64 12,00
Resolução
a) Conceito de custo marginal: observe-se que, quando se adiciona uma unidade ao 
volume produzido, pode-se calcular quanto custa produzir esta unidade adicional (Marginal).
Assim, para o nível de produção de 8 (oito) unidades, o custo total foi de R$ 52,50 e, ao 
mudar o volume de produção para 9 (nove) unidades, o custo total passa a ser de R$ 61,50. 
Desta forma, ao se subtraírem esses dois valores, chega-se à conclusão de que a nona uni-
dade produzida custou R$ 9,00.
O uso do custo marginal é relevante, pois serve para calcular o ponto ótimo de produção.
b) Lucro obtido: supondo que o preço de mercado de venda para o seu produto sejade R$ 10,00 por unidade e, se esta empresa estiver produzindo 9 (nove) unidades, a sua 
receita será de 9 X R$ 10,00 = R$ 90,00
Por outro lado, seu custo total será de R$ 61,50, como informa a tabela do exercício.
84 • capít ul o 5
Por conseguinte, o lucro obtido será igual a receita – custo total = R$ 90,00 – R$ 61,50 
= R$ 28,50
c) Se os gestores decidirem aumentar o nível de produção para 10 (dez) unidades, e 
não mais 9 (nove) unidades, o custo total observado na tabela passará de R$ 61,50 para R$ 
72,00. Admitindo-se, naturalmente, que haja comprador para esta unidade adicional, a recei-
ta passará dos R$ 90,00 anteriores para R$ 100,00. Logo, obterá um lucro de R$ 28,00.
d) Conceito de maximização de lucro: percebe-se que, apesar do esforço produti-
vo adicional, o lucro apurado ao final do movimento de incremento da produção foi menor 
(R$ 28,00 < R$ 28,50), o que faz pensar que, na estratégia de maximização de lucro, nenhu-
ma unidade adicional será produzida se seu custo marginal for inferior ao preço de mercado 
de venda do bem ou serviço.
e) Pode-se observar na tabela que, quanto maiores forem os valores da coluna de 
produção, menores serão os custos fixos médios.
Da mesma forma, visualiza-se uma redução inicial nos custos variáveis médios que, em 
seguida, inicia uma trajetória de crescimento, mostrando um esgotamento da relação eficien-
te entre os fatores de produção fixos e variáveis.
Também, pode-se observar que o mesmo ocorre com os custos médios (totais médios) 
só que em patamares produtivos mais altos.
Outra explicação que se pode dar para o comportamento desta variação nos custos mé-
dios diz respeito ao aumento de procura dos fatores de produção variáveis e que podem vir a 
sofrer aumentos de seu preço devido ao aumento de sua demanda.
f) Genericamente, pode-se estabelecer:
Receita marginal > custo marginal
No entanto, percebe-se ainda que o custo médio para produzir 10 (dez) unidades foi de 
R$ 7,20, que é inferior ao preço de venda, indicando claramente que ainda estamos na faixa 
de lucratividade, mas não na de maximização de lucro. 
Entretanto, caso a organização tenha por estratégia o aumento de sua participação no 
mercado e não de maximização de lucro, ela deverá aumentar a sua produção.
Assim, fica demonstrada uma visão econômica dos custos, que inclui as variáveis micro-
econômicas e o ambiente externo do mercado.
Disponível em: : < http:/ / estaciodocente.webaula.com.br/ salaframe.asp?curso=686&A-
cessoSomenteLeitura=S&topico= 766246&vzGestor= S> . Acesso em: 02 mai. 2015.
capít ul o 5 • 85
5.3 Ponto de Equilíbrio
Para operar na produção de bens ou serviços, toda e qualquer em presa neces-
sita em pregar um a série de recursos, conhecidos com o fatores de produção. 
Os fatores de produção são utilizados com o objetivo de se conseguir produzir 
certa quantidade de produtos ou serviços para oferecer à sociedade. Os m ais 
com uns são m ão de obra, m atéria-prim a, energia (elétrica e/ou outras), trans-
portes, capital investido (financeiro ou im obilizado).
O conhecimento da função custo é muito im portante para o administrador 
no sentido de que lhe permite saber o quanto está gastando (com os fatores de 
produção) para produzir certa quantidade de produtos (ou serviços). A função 
custo pode ser dividida ou classificada em custo fixo e custo variável, dependen-
do de com o varia, conform e a em presa queira produzir m ais produtos. Assim, o 
custo fixo, com o o próprio nom e diz, independe da quantidade produzida, isto é, 
é um custo constante ao longo do tempo ao qual a em presa incorre, independen-
temente de quanto está produzindo, pois é decorrente da decisão que a em presa 
toma sobre construir suas instalações prediais e adquirir equipamentos, veícu-
los, maquinários etc. Mesmo que a empresa não esteja produzindo nada, ela tem 
de arcar com o pagamento ou a imobilização destes ativos (fixos) todos. Os custos 
com mão de obra, matéria-prima, energia (por exemplo) são ditos variáveis por-
que dependem da quantidade produzida (de produtos ou serviços) pela em presa.
Conhecer e adm inistrar estas funções custos é m uito im portante para o ad-
m inistrador nos dias de hoje, em que é crescente o nível de concorrência entre 
as empresas. O adm in istrador tem de planejar e con trolar suas operações da 
form a m ais enxuta e econôm ica possível, buscando, assim , a m inim ização de 
seus custos e m antendo, é claro, o nível de qualidade de seu produto ou serviço. 
Outra função m uito im portante na avaliação do desem penho das em presas 
é a função receita (ou faturam ento), que m ostra o volum e de recursos financei-
ros obtidos pela em presa com as vendas de seus produtos ou serviços. Por fim , 
a função lucro, que a em presa obterá, é a diferença entre a receita e os custos. 
O lucro representa a quantidade de recursos financeiros que realm ente perten-
cem à em presa, isto é, representa o saldo para a em presa provenien te das ven-
das (receita) depois de pagos os fatores de produção envolvidos (custos).
Assim , ao final da leitura e com a execução dos exercícios deste capítulo, o 
aluno terá aprendido:
86 • capít ul o 5
• a valorizar o estudo de funções m atem áticas para o adm inistrador em pre-
gá-las com o um ferram ental de gestão, que o auxilie a m edir e a avaliar o desem -
penho da em presa de várias m aneiras; 
• a criar aplicações de fun ções m atem áticas aplicadas à adm in istração; 
• a obter (ou calcular) funções custo, com o custo fixo e custo variável; 
• a obter a função receita da em presa, proven iente das vendas de produtos 
ou serviços; 
• a calcular o lucro da em presa, em pregando as funções receita e custo; 
• a obter pontos de equilíbrio (break-even-point) em que a em presa com eça 
a ter lucro; 
• a obter o ponto de operação de em presas, em que a em presa m axim iza 
seu lucro.
5.3.1 Equilíbrio de firma (break-even-point)
O ponto de equilíbrio de um a em presa é aquele em que a receita total iguala-se 
ao custo total (lucro nulo). A partir deste pon to, isto é, se a em presa produzir e 
vender um a quan tidade superior à quantidade de equilíbrio (Q
e
), ela terá lucro.
$
RT
CT
CV
CF
Q
Qe
Figura 8: Representação gráfica das funções custo e receita e da quantidade de equilíbrio de 
uma empresa inserida num mercado de concorrência.
A seguir, apresentarem os as funções custo e receita e as variáveis que são 
utilizadas nos estudos envolvendo tais funções. Alguns cálculos tam bém serão 
abordados com a finalidade de descrever procedim entos para se determ inar o 
equilíbrio da firm a (break-even-point).
capít ul o 5 • 87
5.3.1.1 Custo total
A função que fornece o custo total referente à produção de um a utilidade é dada 
por:
CT = CF + CV = CF + cQ
em que:
• Q é a quan tidade produzida do produto; 
• CT é o custo total de produção;
• CF é o custo fixo (investim entos em construções, instalações, equipam en-
tos etc.). O custo fixo independe da quan tidade (Q) produzida;
• CV é o custo variável da produção e depende da quantidade (Q) produzida 
(gastos com m ão de obra, m atéria-prim a, energia etc.);
• c é o custo un itário (variável) de produção, isto é, é o custo para se produzir 
um a un idade do produto.
5.3.1.2 Receita total ou faturam ento
A função que fornece a receita total (ou faturam ento) referente à venda de Q 
unidades de um a utilidade, vendida a um preço un itário igual a p, é dada por:
RT = pQ
em que:
p é o preço do produto no m ercado;
RT é a receita ou faturamento obtido com o total da venda das Q unidades do 
produto.
88 • capít ul o 5
5.3.1.3 Ponto de equlíbrio
Para determ iná-lo, basta igualar as funções receita e custo total e calcular o 
valor de Q na equação resultan te para saber qual é a quan tidade que deve ser 
produzida e vendida paraque o produto não dê nem lucro nem prejuízo. Em 
seguida, você pode determ inar o valor da receita e/ou do custo (pois eles serão 
iguais) do pon to de equilíbrio substituindo em qualquer um a das funções (cus-
to ou receita) o valor de Q pela quantidade de equilíbrio obtida.
(Q
e
) ⇒ RT = CT
pQ
e
 = CF + cQe
en tão:
 
Q C
p ce
F
=
−
Quando definimos, na prática, uma função custo total, precisamos determinar para que 
quantidades ela é válida, pois sabemos que, à medida que a produção aumenta, o custo 
por unidade pode diminuir, em razão da possibilidade da negociação de compra de um 
volume maior de matéria-prima, por exemplo.
EXEMPLO
Uma empresa de refrigerantes apresenta custo fixo de $100.000, custo unitário de $ 0,60 e 
preço de mercado de $ 2,00. Sendo assim, monte as funções do custo total da receita total 
e encontre o ponto de equilíbrio (Q
e
).
capít ul o 5 • 89
Resolução
Temos:
CF = 100.000 
c = 0,60 
p = 2,00
A função custo total é dada por: CT = 100.000 + 0,60Q.
Dado o preço unitário p, podemos definir a função receita total como RT = 2Q.
Para obter o Q
e
 (quantidade do ponto de equilíbrio), podemos resolver a equação:
R C
Q Q
Q
Q
Q
T T
e e
e
e
e
=
= +
=
−
=
=
2 100 000 0 60
100 000
2 0 60
100 000
140
71
. ,
.
,
.
,
.. ,428 57 reais
ou calcular diretamente por meio da fórmula:
Q C
p c
Q
Q
Q
e
F
e
e
e
=
−
=
−
=
=
100 000
2 0 60
100 000
140
71 428 57
.
,
.
,
. , reais
A receita obtida com a venda de determinado produto não é o mesmo que o lucro ob-
tido. Lucro é o valor da receita subtraído o custo desse produto.
A seguir, você tem o gráfico que representa as funções e o ponto de equilíbrio do exem-
plo trabalhado.
90 • capít ul o 5
$
RT
CT
CV
Qe
CF
Q
200.000
180.000
160.000
140.000
120.000
100.000
80.000
60.000
40.000
20.000
0
0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 90.000 100.00
Você dispõe também, logo abaixo, de uma tabela com alguns valores das funções apre-
sentadas nesse exemplo.
Q CF = 100.000 CV = 0,6 * Q CT = CF +CV RT = 2,00 * Q
0 100.000 0 100.000 0
10.000 100.000 6.000 106.000 20.000
20.000 100.000 12.000 112.000 40.000
30.000 100.000 18.000 118.000 60.000
40.000 100.000 24.000 124.000 80.000
50.000 100.000 30.000 130.000 100.000
60.000 100.000 36.000 136.000 120.000
70.000 100.000 42.000 142.000 140.000
80.000 100.000 48.000 148.000 160.000
90.000 100.000 54.000 154.000 180.000
100.000 100.000 60.000 160.000 200.000
O conhecimento do ponto de equilíbrio referente a uma utilidade é muito importante para 
que se estabeleça uma meta de produção e venda que proporcione lucro. Produzir e vender a 
quantidade de equilíbrio significa não ter prejuízo; no entanto, também significa não ter lucro. 
Portanto, essa meta tem que ser superior à quantidade de equilíbrio.
capít ul o 5 • 91
5.4 Elasticidade – preço da demanda
A curva de dem an da n os m ostra o estabelecim en to do n ível de preço (p) 
n o m ercado fren te à quan tidade (Q) de dem an da do produto pela sociedade. 
A lei da dem an da e da oferta é fun dam en tal em econ om ia e adm in istração. 
Aqui, aplicam os o lado da dem an da (procura). O n ível de preço in fluen cia 
n egativam en te a quan tidade procurada de produtos, isto é, há um a ten dên -
cia de as pessoas ficarem m en os propen sas a com prar (ou com prarem m e-
n ores quan tidades) o produto quan do seu preço aum en ta.
EXEMPLO
Plotar as funções demandas pelos produtos A e B a seguir e observar a relação negativa 
entre o nível de preço e a quantidade de demanda de produtos.
A: B: Q p e Q pA A B S= − = −50 4 80 2
em que:
• pA é o nível de preço do produto A;
• pB é o nível de preço do produto B;
• QA é a quantidade de demanda do produto A;
• QB é a quantidade de demanda do produto B.
Resolução
A tabela seguinte apresenta alguns valores calculados para as duas funções.
DEMANDAS
PA QA PB QB
0 50 0 80
40 40 20 70
80 30 40 60
120 20 60 50
160 10 80 40
200 0 100 30
120 20
140 10
160 0
92 • capít ul o 5
De acordo com os valores apresentados na tabela anterior, podemos esboçar o gráfico 
a seguir:
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Demanda do produto B
Demanda do produto A
Q
p (preço)
CONEXÃO
Nas aplicações que você irá realizar das funções, é importante realizar a representação grá-
fica destas para melhor análise. Portanto, uma sugestão interessante e útil é que você realize 
o download e instale em seu computador um aplicativo que, com certeza, será de grande 
utilidade. Trata-se do “Plotfunção”, disponível no endereço: <http:/ / objetoseducacionais2.
mec.gov.br/ handle/ mec/ 11400> .
 
Aplicações 
Matemáticas em 
Marketing
94 • capít ul 6 1
OBJETIVOS
Após a leitura deste capítulo o aluno deverá lograr entender a relação entre a matemática e 
o (a):
• previsão e mensuração de demanda;
• pesquisa de marketing;
• mensuração do valor da marca;
• gerenciamento de preços;
• promoção de vendas/ descontos;
• propaganda/ dispêndio de marketing;
• orçamento de marketing.
capít ul o 6 • 95
6.1 Previsão e mensuração da demanda em 
marketing
Uso de proporção e percen tagem – aplicação de potencial de m ercado
Pode–se usar percentagem ou porcentagem para calcular a demanda (potencial de 
mercado) de uma utilidade para uma população.
Defin ições 
1. Proporção de um a quan tidade ou grandeza em relação a um a outra ava-
liada sobre a cen tena [sím b.: %]; percen tual.
2. Fração da cen tena que equivale a um a determ inada fração de outro nú-
m ero e é usada no lugar desta; p.ex., 50/100 (ou 50 %) equivale a 600/1200, a 
70/140, a 4/8 etc. [Tem a vantagem de permitir a com paração de grandezas di-
ferentes e de tornar m ais fácil a m anipulação de cifras m uito grandes ou m uito 
pequenas em quadros, gráficos, tabelas etc.].
Os exercícios com entados a seguir servem para esclarecer com o m ensurar a 
dem anda em m arketing.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. A demanda de carne depende da magnitude com que é consumida e do número de 
pessoas que possam consumi–la. Assim, se uma pessoa alimenta–se em média de 0,5 kg de 
carne por semana, ela estará comendo 2 kg de carne por mês (de 4 semanas). 
Se uma cidade tiver uma população de 900.000 habitantes, consumindo esse produto, 
qual a demanda da empresa fornecedora, supondo–se que sua participação de mercado seja 
de 13%?
96 • capít ul 6 1
01. Gabarito
13% de 900.000 habitantes = 117.000 habitantes
117.000 habitantes X 2 kg de carne/ mês = 234.000 kg de carne ou 234 T 
02. Na cidade de Ribeirão Preto, a empresa XZT tem demanda de 400.000 unidades do 
produto P 1 e seu potencial de mercado é de 14,5%. Considerando estes dados, pode–se 
afirmar que seu potencial de vendas de:
02. Gabarito
14,5% de 400.000 unidades = 58.000 unidades
 Uso de média móvel
Pode–se usar a média móvel para prever e, posteriormente, verificar a existência de ten-
dência de uma série histórica de demanda em marketing.
Posteriormente, pode–se verificar de forma gráfica, se a previsão não está discordando 
muito da realidade (com erro muito significativo).
Média móvel
Definições da Web
Média aritmética de um certo número (n) das observações mais recentes. Na medida em 
que se realizam novas observações, abandona–se as observações mais antigas. ...
<http:/ / www.pinho.com.br/ dicionario/ M.htm> .
03. Utilizar, primeiramente, a média móvel.
Se a demanda de um produto nos últimos 8 meses teve o comportamento em unidades, 
como segue, prever a demanda para o 9º mês empregando a média móvel com 4 períodos:
X Y
1 28
2 40
3 25
4 32
5 27
6 41
7 34
8 37
03. Gabarito
Mm4= 27+41+34+ 37 = 34,75
 4
capít ul o 6 • 97
Admitindo que a demanda do 9º mês foi de 40 unidades, fazer a previsão da demanda para o 10º mês.
03. Resolução
Mm4 = 41+34+37+ 40 = 38
 4
04. Em sequencia ao exercício 3, identificar de forma gráfica a existência de tendência na 
série histórica da demanda
Uso de regressão linear
Calculam–se os coeficientes angular (β) e linear (α), de acordo com as fórmulas a seguir, 
para depois calcular a função de 1º grau Y = α + β X
04. Gabarito
MÊS (X) DEMANDA (Y) ∑X ∑X2 XY
1 28 1 1 28
2 40 3 5 80
3 25 6 14 75
4 32 10 30 128
5 27 15 55 135
6 41 21 91 246
7 34 28 140 238
8 37 36 204 296
9 40 45 285 360
10 38 55 385 380
TOTAL 342 1966
Usar as fórmulas
= (10 X 1966 – 55 X 342)/ (10 X 385 –55 X 55) = 1,030303
98 • capít ul 6 1
= (342 – 1,030303 X 55)/ 10 = 28,5333335
Y = 28, 5333335 + 1,030303 X
MÊS (X) DEMANDA (Y) PREVISÃO DA DEMANDA (Y)
1 28 29,56
2 40 30,59
3 25 31,62
4 32 32,65
5 27 33,68
6 41 34,71
7 34 35,74
8 37 36,77
9 40 37,56
10 38 38,83
6.2 Pesquisa de marketing
Aplicação de con jun tos e de tam an ho de am ostra
capít ul o 6 • 99
Pretende–se saber quantos elem entos ou quantas observações da variável 
de in teresse deve–se tom ar da população ou un iverso am ostrado. Este núm ero 
cham a–se tam anho da am ostra.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Uma população consome três marcas de refrigerantes: A, B e C. 
Feita uma pesquisa de mercado, colheram– se os resultados tabelados abaixo. 
MARCA NÚMERO DE CONSUMIDORES DE REFRIGERANTES
A 97
B 172
A e B 15
B e C 30
A e C 25
A, B e C 07
Nenhuma das três marcas 110
Determine o número de pessoas consultadas.
01. Gabarito
100 • capít ul 6 1
50 pessoas consomem somente A.
120 pessoas consomem somente B.
90 pessoas consomem somente C.
15 pessoas consomem A e B.
25 pessoas consomem A e C.
30 pessoas consomem B e C.
07 pessoas consomem A, B e C.
110 pessoas não consomem nenhuma das três marcas.
O total de pessoas entrevistadas foi: 50 + 120 + 90 + 15 + 25 + 30 + 07 + 110 = 447. 
02. Aplicação de tamanho de amostra
João conduziu uma pesquisa de mercado com estudantes do colégio onde estuda, que-
rendo entender como avaliam a qualidade do ensino prestado pela escola. Para tal, conse-
guiu entrevistar 120 alunos entre os 212 existentes no colégio. Pergunta–se: 
a) O que representam, respectivamente, 212 e 120 alunos no enunciado acima?
b) Considere agora outra hipótese: João ouviu 30 alunos em sua pesquisa. O critério para 
escolhê–los foi a facilidade de acesso, por serem colegas de sua turma ou alunos (as) 
do seu convívio pessoal. Como é classificada esta amostra?
02. Gabarito
a) 212 universo e 120 amostra
b) Amostra não probabilística por conveniência.
03. Uso de probabilidade
O jornal Diário publicou na edição da segunda–feira pesquisa realizada pelo Instituto 
XPTO medindo a intenção de voto para a eleição do segundo turno ao cargo de prefeito do 
município. Segundo a pesquisa, a intenção de voto dos dois candidatos é a seguinte: Murilo: 
56% das intenções de voto e Brito: 44% das intenções de voto. 
A consulta foi feita com 800 eleitores. Considerando um coeficiente de confiança de 
95,0% e a margem de erro de 3 pontos percentuais, qual dos resultados abaixo não pode 
ser considerado:
a) Murilo: 53%; Brito: 47%
b) Murilo: 59%; Brito: 41%
c) Murilo: 57%; Brito: 43%
d) Murilo: 55%; Brito: 45%
e) Murilo: 51%; Brito: 49%
capít ul o 6 • 101
03. Gabarito
Para Murilo: 51% está fora da margem de erro de 3% (que vai de 59% = 56% + 3% 
até 53% = 56% – 3%)
Para Brito: 49% está fora da margem de erro de 3% (que vai de 47% = 44% + 3% até 
41% = 44% – 3%)
6.3 Mensuração do valor da marca
Alguns analistas veem as m arcas com o prolongadoras dos produtos e das insta-
lações de um a em presa. Acreditam que as marcas represen tam o principal ati-
vo perm anen te de um a em presa. Todavia, qualquer m arca poderosa represen ta 
um conjun to de consum idores leais.
Avaliação da em presa Petrobras 
Com base no m odelo de Avaliação Patrimonial Contábil, o qual está basea-
do na diferença en tre os ativos e os passivos exigíveis resultando no Patrim ônio 
Líquido da em presa de acordo com os princípios contábeis tradicionais, a em -
presa Petrobras, tem seus valores de Patrimônio Líquido descritos na tabela 1. 
TABELA 1 – VALOR PATRIMONIAL CONTÁBIL DA 
EMPRESA PETROBRAS ANO PATRIMÔNIO LÍQUIDO (EM MIL R$) 
1999 17.564.122 
2000 24.945.639 
2001 28.966.503 
2002 34.324.906 
2003 49.367.329 
2004 62.130.169 
2005 78.785.236 
2006 97.530.648 
2007 113.854.127 
2008 138.365.282 
2009 159.464.599 
2010 (estimativa) 130.430.000 
102 • capít ul 6 1
Realizando um a regressão linear com esses valores descritos no quadro 2, 
pode–se realizar um a estim ativa do valor con tábil da em presa para o ano de 
2010 com base nos valores do Patrim ônio Líquido dos 11 anos anteriores. A re-
gressão linear resultou na equação dem onstrada na figura 2, sendo que a escala 
encontra–se em bilhões de Reais. 
Figura 2 – Regressão linear do valor de Patrimônio Líquido da empresa Petrobras. Elaborado 
pelos autores 
Salienta–se que a regressão linear utilizada no gráfico 1 é um m étodo para 
se estimar o valor esperado de um a variável “y”, dados os valores de algum as ou-
tras variáveis “x”. A regressão, em geral, trata da questão de se estim ar um valor 
condicional esperado. Por m eio dessa análise, foi possível increm entar o m o-
delo de avaliação por m eio do Patrim ônio Líquido, já que in icialm ente tinha–se 
apenas os dados dos anos de 1999 a 2009. Sendo assim , para o ano de 2010, o 
valor esperado de Patrim ônio Líquido é de aproxim adam ente R$ 130 bilhões. 
capít ul o 6 • 103
Com base no m odelo 1 – Modelo de Avaliação Patrim onial – a Petrobras pos-
sui um valor de m ercado de R$ 130 bilhões. Esse m odelo não considera as con-
dições de m ercado para a valorização dos ativos e am ortização das dívidas, bem 
com o esse m étodo não leva em consideração as necessidades de investim ento 
em capital de giro e im obilização para m anutenção da capacidade com petitiva 
para o próxim o período. 
Utilizando–se da análise por m eio dos valores dos dividendos pagos aos 
acionistas, o valor de um a em presa pode oscilar com base no fluxo futuro de 
dividendos. A tabela 2 expõe os valores pagos anualm ente, do ano 2001 ao ano 
de 2009, aos acion istas da Petrobras.
TABELA 2 – EVOLUÇÃO DOS VALORES 
DE DIVIDENDOS PAGOS AOS ACIO-
NISTAS 
ANO 
DIVIDENDOS PAGOS (EM BILHÕES 
R$) 
TAXA DE CRESCIMENTO (ANO 
BASE = 2001) 
2001 3,66 100% 
2002 2,81 76,78% 
2003 5,65 154,37% 
2004 5,04 137,70% 
2005 7,02 191,80% 
2006 7,9 215,85% 
2007 7,58 207,10% 
2008 6,21 169,67% 
2009 15,44 421,86% 
2010 12,1486 (estimativa) 
Conform e se observa na tabela 2, o valor apontado no ano de 2010 é um a 
estim ativa com base num a regressão linear realizada com os dados dos 9 anos 
an teriores. Dem onstra–se tam bém o crescim ento percen tual dos anos poste-
riores tom ando com o base o ano de 2001. 
Pode–se perceber que, na m aioria dos anos, houve aum ento na distribuição 
dos dividendos. Duas das exceções são relativas à queda dos dividendos nos 
ano de 2007 e 2008, m uito provavelm ente devido à crise econôm ica que ocorreu 
nos Estados Unidos e que abalou tam bém a econom ia do Brasil nesse período. 
A figura 3 m ostra a regressão linear dos dividendos da em presa Petrobras. 
104 • capít ul 6 1
Figura 3 – Crescimento dos dividendos pagos aos acionistas. Elaborado pelos autores 
Destaca–se em relação a figura 3, que o valor dos dividendos não é o valor 
da em presa, porém é porém é utilizado com o form a de analisar a variação do 
retorno da em presa para os acion istas por m eio da precificação das ações. De 
maneira indireta, este valor in terfere no valor de m ercado final obtido pelo 
m odelo 3 – Valor Presen te dos Dividendos, apresen tado no referencial teórico. 
Com base nesse m odelo o valor da ação de um a em presa pode ser calculado 
com base no fluxo futuro de dividendos.
Iberoam erican Journal of Industrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, 
v. 5, n . 9, p. 275–295, 2013. 290. Acesso em : 19 abr. 2015.
RESUMO
É importante notar que o valor da marca está inserido no valor patrimonial de mercado e 
não deve ser adicionado ao mesmo.
Quando se estima a avaliação da empresa (valuation), o valor da marca já está 
incluído.
capít ul o 6 • 105
O valor de mercado estimado da Petrobras de R$ 130 bilhões, em 2010, já embute o 
valor citado (da marca) e, também, os riscos estimados.
O valor de uma marca é o valor presente dos fluxos de caixa estimados exclusivamente 
por ela, excluídos os riscos envolvidos para os próximos anos.
O valor da estimação é feita por meio de cálculo indireto por consultorias.
Estas desenvolveram diversas metodologias para calcular o valor da marca.
Uma delas é estimar o lucro gerado por uma empresa forte e compará–lo ao de uma 
empresa fraca. A diferença será a estimativa do valor da marca.
Outra forma é estimar uma taxa do royalty que a empresa não precisa pagar, por ser ela 
mesma a detentora da marca, posto que não precisa licenciá–la.
Há, no entanto, discordâncias das estimações, conforme acima exposto, como por exem-
plo, que o valor da marca seja resultado da estimação dos seus fluxos de caixa. A empresa 
pode estar em um momento de criação de base de clientes, assumindo prejuízos devido ao 
seu investimento, para então em um segundo momento, explorar financeiramente essa base.
6.4 Gerenciamento de preços
Apesar da influência m aior dos fatores relacionados ao preço no m arketing m o-
derno, o preço con tinua sendo um elem ento vital do m ix de m arketing.
Uso de taxa de marcação (markup) aplicada sobre o preço de custo, descontado o 
icms e acrescido de frete.
Usar a fórm ula
{TM = 100% – [IMPOSTOS + TAXAS + DESPESAS GERAIS DE ADMINISTRA-
ÇÃO + DESPESAS GERAIS DE VENDAS + COMISSÕES + LUCRO DESEJADO]}
106 • capít ul 6 1
Preços na indústria, com ércio ou serviços são calculados, m as con tém di-
versos com ponentes in tangíveis.
Tentará se dem onstrar que preço não pode ser estabelecido puram ente no 
n ível operacional (do supervisor de loja no comércio), pois diversas verten tes 
estratégicas estão sem pre incorporadas na visão do preço ideal.
Estas vertentes são:
a) base de cálculo científica;
b) posicionam ento estratégico;
c) cadeia de valor;
d) redirecionador de custo;
e) produtos substitutos;
f) ciclo de vida do produto;
g) matriz de portfólio;
h) elasticidade da dem anda.
A base de cálculo cien tífica é assim designada pela em presa quando esta 
adotar um a m etodologia que resulta em um a taxa de m arcação:
{TM = 100% – [IMPOSTOS + TAXAS + DESPESAS GERAIS DE ADMINISTRAÇÃO 
+ DESPESAS GERAIS DE VENDAS + COMISSÕES + LUCRO DESEJADO]} aplica-
da sobre o preço de custo, descontado o ICMS e acrescido do frete.
Normalm ente, por não fazer esses cálculos o com erciante, principalm ente 
adota um fator (constante) de m ultiplicação ao preço de custo para atingir o pre-
ço de venda. Esse fator usualm ente está com preendido no intervalo entre 2 e 3.
O posicionam ento estratégico (Porter, 1980) nos in form a que a em presa 
pode escolher em ser líder: ou por redução de custos, ou por lançam ento de 
produtos.
Muitas vezes, um a prom oção (desconto) pode estar enterrando a noção es-
tratégica de a em presa escolher ser líder em custos.
Promoções no lançam ento do produto estão relacionadas ao retorno sobre 
o investim ento.
Preços são estabelecidos (cien tificam ente) um pouco m ais elevados na in-
trodução (pelo m odelo de ciclo de vida de produto), m as in icialm ente são dei-
xados um pouco abaixo da concorrência; este tipo de prom oção (desconto) que 
dim inui preço tem por objetivo a in trodução do produto no m ercado e o dis-
pêndio com m arketing deve ser atribuído em parte ao investim ento in icial, por 
se tratar de estratégia verificada pelo longo prazo do retorno das ações.
capít ul o 6 • 107
A cadeia de valor trabalha para a qualidade das relações desde o produtor, 
atacadista e distribuidor, com ercian te varejista, clien te, m as não se lim ita a es-
tes, visto que credores, clientes in ternos (funcionários), acionistas são tam bém 
grupos de in teresse envolvidos nos relacionam entos da em presa. 
Não se atinge o preço adequado sem levar em con ta a cadeia de valor (que 
agrega valor pela qualidade das relações) em cada transação den tro e fora da 
em presa envolvendo determ inado produto, porquan to todos os in teresses 
acima m encionados devem ficar harm onizados. E o preço é a peça-chave para 
que a receita viabilize ao m enos o ponto de equilíbrio e, finalm ente, o lucro da 
em presa.
Redirecionadores de custo se deslocam de volum e e escala para qualidade 
(foco no cliente). Logo, os preços devem ser com patíveis m ais com qualidade 
percebida pelo clien te do que com escala de produção (foco no produto).
Os produtos substitutos (um a das forças descritas por Porter) tornam difícil 
o cálculo da participação de m ercado para cada produto.
Assim sendo, os preços devem levar em con ta essa dificuldade, visto que um 
ou m ais concorren tes podem nem m esm o ser do ram o de produtos em que a 
em presa opera. Com o a participação de m ercado é determ inante da rentabili-
dade da em presa (Profit Im pact of Market Strategy – PIMS), pode–se im aginar 
o quan to é im portante a determ inação de preço que transpõe esta dificuldade.
O ciclo de vida de produto abordado anteriorm ente com as suas fases (in-
trodução, crescim ento, m aturidade, declín io e rejuvenescim ento) tom adas em 
con junto com a m atriz de portfólio delim itam quem são: “ralos” de caixa, ge-
radores de caixa, autossusten tados, e tom adores de caixa. Os preços são decor-
rentes da análise de onde se encon tram os produtos considerando o ciclo e a 
m atriz citada.
A elasticidade da dem anda derruba qualquer hipótese de que o preço é ope-
racional e não estratégico.
Sem um a profunda análise da elasticidade pode se estar estabelecendo ní-
vel de preço m ais alto ou m ais baixo sem o devido proveito. O pior que pode 
acontecer é utilizar a curva de elasticidade erradam ente, isto é, considerar o 
preço (porque não é possível prover todas as inform ações de m ercado) m ais 
elástico, sendo o produto m ais inelástico e vice-versa.
Todas as considerações abordadas são insuficientes para determ inar qual 
preço é m ais adequado para os produtos; aqui não foram considerados aspec-
tos com o tecnologia, oportun idade, cenários econôm icos, forças da sociedade, 
dentre um a infinidade de outros critérios. 
108 • capít ul 6 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
04. Suponhamos que você pague hoje R$ 1,00 (custo) no kg de tecido, o ICMS é de 17%, 
PIS e Cofins 4%, comissão do vendedor 1,5%, despesas administrativas 4% e o lucro dese-
jado ante o imposto seja de 15%.
 ESTRUTURA: 
Preço de venda (PV) = 100,00%
ICMS na venda = 17,00%
PIS e Cofins = 4,0%
Comissões = 1,50%
Despesas administrativas = 6,00%
Lucro antes dos impostos = 15,00%
Total (CTV) – Custo total venda = 43,5%
MKD = (PV – CTV)/ 100
MKD = (100 – 43, 5)/ 100
MKD = 56,5/ 100
MKD = 0,565
Ao utilizamos o índice Markup Divisor (MKD) o custo seria de R$ 1,00 / 0,565 = R$ 1,77. 
Assim, o preço do quilo de tecido garantir o pagamento de todos os custos, impostos e gerar 
um lucro de 15%.
Fórmula markup multiplicador:
MKM = 1/ MKD MKM = 1/ 0,565
MKM = 1,7699115 ou 1,77
Se utilizarmos este índice Markup multiplicador (MKM) o custo seria 
R$ 1,00 X 1,77 = R$ 1,77 o quilo,ou seja,
chegamos também no mesmo valor usando esta formula. Confirme na tabela abaixo a 
estrutura onde foi aplicado o Markup de 1,77 que é suficiente para gerar lucro de 15% sobre 
a venda.
capít ul o 6 • 109
DEMONSTRAÇÃO DO RESULTADO: 
Preço de venda (PV) R$ 1,77 100%
(–) Custos aquisição chapa (R$ 1,00) (56,5%)
(–) Icms (R$ 0,30) (17%)
(–) PIS e cofins (R$ 0,07) (4,0%)
(–) Comissões (R$ 0,03) (1,5%)
(–) Despesa adm (R$ 0,10) (6 %)
= Lucro R$ 0,27 (15 %)
Lucro de 15% sobre o preço de venda de R$ 1,77, igual a R$ 0,27.
Esse valor representa 27% sobre o preço de custo e não 102% sobre a venda.
6.5 PROMOÇÃO DE VENDAS/ 
DESCONTOS
Promoção de vendas refere–se ao conjun to de ferram entas para aceleração das 
vendas de produtos/ serviço e é um dos quatro aspectos do prom ocional m ix. 
Reside num conjun to diversificado de incentivo a curto prazo que visa estim u-
lar a com pra ou venda de um produto ou serviço:
Com o auxílio de duas reportagens, dos sites h ttp://www.industriahoje.com .
br/ e h ttp://carros.uol.com .br/, pretende–se desenvolver um raciocín io sobre o 
que fizeram as indústrias brasileiras para prom over produtos e resgatar vendas, 
quando houve o realinham ento do Im posto sobre Produtos Industrializados 
(que havia sido reduzido). 
O cálculo do IPI é dem onstrado, in icialm ente, pois é de im portância funda-
m ental na negociação de com pra e venda de produtos industrializados.
110 • capít ul 6 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Uso de percentagem
Como calcular o valor do ipi na compra de um produto?
A formula para o cálculo do IPI sobre um produto é bastante simples, mas requer muita 
atenção, pois pode variar de produto para produto.
O que é o IPI?
O IPI significa Imposto Sobre Produtos Indust r ia lizados. 
Exemplo de Alíquotas de IPI
IPI sobre Aço = Geralmente é taxado em 5%
Como fazer o cálculo do IPI?
– Chapa de Aço = R$ 3.000,00 a Telada com ICMS, PIS e COFINS já inclusos, IPI de 
5% a Incluir.
Adquirimos 15.500 kg de Chapa de Aço, como o preço está sendo negociado por tela-
da na NF o peso sairá como 15,5 T.
– Calculando: 15,5 x 3.000,00 = R$ 46.500,00
O valor de R$ 46.500,00 corresponde então ao valor total do material (15,5 T ou 
15.500 kg) já com ICMS, PIS e Confins inclusos, falta agora calcular o IPI, que para este 
produto é de 5%.
– Calculando: Valor do Produto + IPI = Valor Total NF
– Cálculo direto na calculadora: R$ 46.500,00 x 1,05 = R$ 48.825,00 (1,05 é o mesmo 
que + 5%)
Note que fizemos o calculo direto multiplicando o valor por 1.05. Se o IPI fosse de 10%, 
bastaria multiplicar por 1.10, ou até mesmo de 25% por 1.25 e assim por diante.
Para saber o valor liquido somente do IPI que está embutido no seu produto basta 
calcular da seguinte forma na Calculadora.
R$ 48.825,00 x 5 + Tecla % = R$ 2441,25 IPI (Para somar aperte a tecla + na calcu-
ladora)
A redução do IPI nos preços dos automóveis foi fator decisivo para aumentar a venda 
dos veículos nos anos de 2012 e 2013, porém geraram prejuízos finais para as contas do 
governo.
Por exemplo, o aumento do IPI para veículos fez com que as fábricas retivessem os au-
tomóveis nos pátios, para desovar de uma vez em grandes promoções como, por exemplo, 
a Black Friday de novembro de 2014.
Baseado em Post de: Fábio Alves em: 17, ago, 2012. Acesso em: 19 abr. 2015. Disponível em: 
<http:/ / www.industriahoje.com.br/ como–calcular–o–valor–do–ipi–na–compra–de–um–produto>
capít ul o 6 • 111
Lojas se preparam para novo ipi e carro 1.0 pode ficar R$ 1.300 mais caro
Por Leonardo Feli. Colaboração para o UOL, em São Paulo (SP) 
21/ 11/ 201414h53. 
[...] “As fábricas tendem até a reter a produção de dezembro, para desovar de uma 
vez o que estiver nas concessionárias e faturar as últimas unidades produzidas já com 
o imposto novo”, declarou uma vendedora da Fiat. Não à toa, pelo menos três das qua-
tro representantes do quarteto de ferro (Chevrolet, Ford e Volks) anunciam em rádio, 
jornais e TV que FARÃO PROMOÇÕES FORTES PARA ESTE FIM DE SEMANA –– o 
mote é as ofertas só durarão até domingo. A GM foi além, e já confirmou participação 
no Black Friday 2014, marcado para a próxima sexta–feira (28).
Para o especialista em mercado automotivo e blogueiro de UOLCarros, Joel Leite, 
as fabricantes devem diluir o reajuste em doses “homeopáticas” no primeiro trimestre 
de 2015.
“Fizeram o mesmo no ano passado, quando entrou em vigor a obrigatoriedade de 
ABS e airbags, e o IPI também subiu um ponto”, lembrou. De fato, naquela ocasião 
os preços subiram apenas 1,4% em janeiro, mas depois tiveram altas respectivas de 
2,4% e 1,6% em fevereiro e março, segundo dados da AUTOINFORME. 
Pátio da fábrica da Volkswagen em Taubaté (SP): marcas esperam decisão do governo 
para faturar produção do fim do ano
A partir de abril, entretanto, o que se viu foi uma queda gradual nos valores, inter-
rompida só em julho. “O que é preciso ver é se o consumidor está disposto a pagar 
por esse aumento. Parte da queda nas vendas este ano está atrelada ao aumento 
dos preços nos primeiros meses. Ao perceberem isso, as montadoras começaram a 
trabalhar com promoções e bônus, e o cenário passou a ser, quase sistematicamente, 
de ligeira queda nos preços reais mês a mês. Pode ocorrer fenômeno parecido em 
2015”, previu.
Disponível em:<http:/ / carros.uol.com.br/ noticias/ redacao/ 2014/ 11/ 21/ lojas–se–preparam–
para–novo–ipi–e–carro–10–pode–ficar–r–1300–mais–caro.htm htm> . Acesso em: 19 abr. 
2015.
112 • capít ul 6 1
Conclusão sobre os textos apresentados anteriormente
O uso artificial de redução do IPI resultou, quando do realinhamento (retorno gradual do 
IPI), em uma queda nas vendas, em parte compensada por promoções de vendas.
02. Em uma promoção numa concessionária de veículos, está sendo dado um desconto de 
5% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$ 34.000,00, então qual será o 
preço para pagamento à vista desse bem?
Gabarito
R$ 34.000 X 5% = R$ 1.700
R$ 34.000 – R$ 1.700 = R$ 32.300,00
03. Um bem durável teve seu preço acrescido de 8%. Tempos depois, esse novo preço 
sofreu um desconto de 8%. Sendo Pi o preço inicial e Pf o preço final do bem, qual a relação 
entre Pf e Pi?
Gabarito
P f = 99,36% de Pi
P f = Pi X 1,08 = 1,08 Pi
Cálculo do desconto:
1,08 Pi X 8% = 0,0864 Pi
Relação dos preços:
1,08 Pi – 0,0864 Pi = 0,9936 Pi ou 99,36% Pi
6.6 Propaganda/ dispêndio de marketing
Mídias digitais
Mídia digital refere–se a con teúdo de áudio, vídeo e foto que foi codificado 
(com pactado digitalm ente). A codificação de con teúdo envolve converter en tra-
da de áudio e vídeo em arquivo de m ídia digital.
Exem plo de um a cam pan ha de branding
Vam os supor o seguin te investim ento em branding:
O colégio MKZ, gostaria de fortalecer a sua m arca para um público ado-
lescente, na faixa de 10 a 14 anos e consequentem ente conquistar algum as 
m atrículas.
capít ul o 6 • 113
A fim de atingir este objetivo, solicita a um a agência um a cam panha de 
branding. O orçam ento para esta cam panha é de R$ 10.000,00 para ser investi-
do no site Y com CPM de R$ 10,00 (custo por m il im pressões). Com este investi-
m ento, pode–se com prar 1.000.000 visualizações.
Ao final da cam panha, a agência de Marketing envia o seguin te relatório:
Impressões: 1.000.000 (1.000 visualizações x R$ 10.000/10)
Cliques: 250
CTR (taxa de cliques): 0,025% (cliques/impressões = 250/1.000.000)
calculando o cpc (custo por clique) tem os:
CPC: R$ 40,00 (R$ 10.000,00/250 cliques)
Podem os observar tam bém que de todos os cliques, poucos foram converti-
dos em m atrículas. Supondo a seguinte conversão, vem :
Conversões: 3 (Qtd de m atrículas efetivas no colégio, após clicarem no 
banner)
Calculando o percentual de Conversões/Cliques, tem os:
Taxa de Conversão: 1,2% (3 Conversões/250 Cliques)Assim , podem os nos pergun tar: Qual o custo por aquisição (CPA), recurso 
financeiro que investim os para trazer as 3 m atrículas para o colégio?
CPA (Custo/Conversões): R$ 10.000/3 = R$ 3333,33
Ou seja, para cada reserva feita no colégio, precisam os desem bolsar R$ 
3333,33 em m arketing.
Supondo que o valor m édio da m atrícula do colégio é de R$ 800,00, obtem os 
o seguinte retorno financeiro:
Receita: R$ 2400,00 (R$ 800,00 x 3 Conversões)
Bom , vam os agora ao cálculo do ROI.
Calculo do retorno in vestim ento
Com o calcular o retorno sobre o investimento (ROI) desta cam panha? Valeu 
a pena investir nesta m ídia?
O ROI pode ser calculado da seguinte form a:
ROI = (receita – custo)/custo
Substituindo os valores da cam panha, tem os:
ROI = (2.400 – 10.000)/10.000
ROI = – 0,76
ROI = – 76%
O que este núm ero quer dizer? Quer dizer que, para cada R$ 1,00 investido 
114 • capít ul 6 1
perdeu-se ainda R$ 0,76, dem ostrando que a cam panha de m arketing foi um 
fracasso.
Exem plo de um a cam pan ha de PPC
Para o caso de se investir os m esm os R$ 10.000,00 em outra m ídia, por 
exem plo, PPC (pay per click), em que se poderia ter um pouco m ais de controle 
sobre os resultados e o cenário poderia ser m ais satisfatório, vejam os:
Im pressões: 250.000
Cliques: 10.500
CTR (taxa de cliques): 4,2% (cliques/im pressões)
CPC m édio: R$ 0,95 (R$ 10.000,00/10.500 cliques)
Conversões: 18
Receita: R$ 14.400 = 18 conversões x R$ 800,00 (preço da reserva de 
hospedagem )
Custo: R$ 10.000 (investim ento no Google AdWords)
Calculando o retorno sobre o investim ento, tem os:
ROI = (Receita – Custo)/Custo
ROI = (R$ 14.400 – R$ 10.000 )/R$ 10.000
ROI = 0,44
ROI = 44%
O que quer dizer que para cada R$ 1,00 investido, ganhou-se R$ 1,44. 
Pode–se dizer que a cam panha foi bem sucedida, con tudo deve–se conhe-
cer os custos operacionais e variáveis, para saber se haverá lucro liquido.
6.7 Orçamento de marketing
Tem por objetivo exam inar os aspectos fundamentais do processo de estrutura-
ção do orçam ento de despesas de m arketing, sugerir m étodos de planejam en-
to, operacionalização e con trole do orçam ento, e colocar o orçam ento de des-
pesas de m arketing em sua perspectiva de im portância adequada.
capít ul o 6 • 115
Aplicações de orçam en to de despesas de m arketing
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Estamos contratando um grupo musical para uma festa. O grupo tem três opções de 
cobrança para o evento.
• Plano 1: CF = R$ 500 + CV = R$ 2 por pessoa presente.
• Plano 2: CV = R$ 5 por pessoa.
• Plano 3: CF = R$ 1.000
a) Calcule o custo total para os três planos, c/ frequência de 100, 500 e 1.000 pessoas.
b) Analise o risco e o retorno para os três planos, sob o ponto de vista do empresário que 
contrata o conjunto.
Resolução
a) 
PESSOAS PLANO 1 PLANO 2 PLANO 3
100 R$ 500 + R$ 2 X 100 = R$ 700 R$ 5 X 100 = R$ 500 R$ 1.000
500 R$ 500 + R$ 2 X 500 = R$ 1.500 R$ 5 X 500 = R$ 2.500 R$ 1.000
1.000 R$ 500 + R$ 2 X 1.000 = R$ 2.500 R$ 5 X 1.000 = R$ 5.000 R$ 1.000
b) O risco será o do número de pessoas pagantes resultar em custo superior ao da 
receita atingida.
02. Um programa de TV apresenta as seguintes premissas:
Horário 22:00 horas.
Duração do Programa: 3 meses.
Verba disponível = R$ 10.000.000, distribuída: 50%, 25% e 25%.
Custos variáveis = R$ 3.000.000, R$ 2.500.000, R$ 2.500.000.
Custo fixo = R$ 500.000 por mês.
Gastos gerais = R$ 120.000, R$ 100.000, R$ 100.000.
a) Previsão de gastos do programa.
GASTOS 1 2 3 TOTAL
CV R$ 3.000.000 R$ 2.500.000 R$ 2.500.000 R$ 8.000.000 
CF R$ 500.000 R$ 500.000 R$ 500.000 R$ 1.500.000 
Gastos Gerais R$ 120.000 R$ 100.000 R$ 100.000 R$ 320.000 
Total R$ 3.620.000 R$ 3.100.000 R$ 3.100.000 R$ 9.820.000 
116 • capít ul 6 1
b) Previsão de fluxo de caixa para o programa.
DISCRIMINAÇÃO 1 2 3 TOTAL
Verba R$ 5.000.000 R$ 2.500.000 R$ 2.500.000 R$ 10.000.000 
Gastos R$ 3.620.000 R$ 3.100.000 R$ 3.100.000 R$ 9.820.000 
Saldo do mês R$ 1.380.000 R$ 780.000 R$ 180.000 R$ 180.000 
Saldo acumulado R$ 1.380.000 R$ 2.160.000 R$ 2.340.000 R$ 2.340.000 
c) Os gastos reais durante o programa:
1o mês R$ 3.454.000 2º mês R$ 2.250.000 3º mês R$ 4.385.000
REAL X ORÇADO 1 2 3 TOTAL
ORÇADO R$ 3.620.000 R$ 3.100.000 R$ 3.100.000 R$ 9.820.000 
REAL R$ 3.454.000 R$ 2.250.000 R$ 4.385.000 R$ 10.089.000
DIFERENÇA R$ 166.000 R$ 850.000 (R$ 1.285.000) (R$ 269.000) 
Conclusão: Entre o orçado e o realizado houve uma diferença para menos de R$ 269.000.
03. Elabore o orçamento de mídia, utilizando as seguintes premissas:
• Valor da verba R$ 40.000.000,00 divididos em 12 meses
• Duração do programa 12 meses
• Custos fixos serão de R$ 1.000.000 por mês
• Gastos gerais não devem ultrapassar R$ 1.000.000,00 por mês
• O programa será exibido de segunda a sexta das 18h00min às 19h00min
• Encargos trabalhistas: 28% da remuneração
Gastos
– Engenharia básica de externa:
3 operadores de áudio: R$ 3.000,00 cada operador por mês + encargos.
2 câmeras: R$ 2.500,00 cada por mês + encargos.
2 auxiliares de câmera: R$ 2.000,00 cada por mês + encargos.
2 operadores de vídeo: R$ 2.500,00 cada por mês + encargos.
1 geradorista com três auxiliares: R$ R$ 6.000,00 + encargos.
capít ul o 6 • 117
– Engenharia de estúdio:
4 Câmeras: R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos.
2 Operadores de áudio: R$ 3.000,00 Cada operador por mês + encargos
1 Operador de cabo: R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos.
4 Assistentes de iluminação: R$ 2.000,00 Cada por mês + encargos.
1 Eletricista: R$ 1.000,00 + Encargos.
1 Operador de equipamento de suporte: R$ 2.000,00 Cada por mês + encargos.
1 Operador de sistema: R$ 3.000,00 + Encargos.
1 Supervisor: R$ 5.800,00 + Por mês + encargos.
1 Operador de vídeo – R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos.
1 Operador de vt – R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos.
1 Assistente de estúdio (produção): R$ 3.000,00 Por mês + encargos
1 Diretor de corte (produção): R$ 10.000,00 Por mês + encargos
– Produção direta:
1 Assistente de base (produção): R$ 3.000,00 Por mês + encargos
1 Coordenador: R$ 7.000,00 Por mês + encargos
3 Assistentes de produção: R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos
1 Auxiliar de produção: R$ 2.000,00 Por mês + encargos
1 Gerente de produção: R$ 10.000,00 Por mês + encargos
1 Diretor de produção: R$ 12.000,00 Por mês + encargos
– Produção de arte:
1 Produtor de arte: R$ 5.000,00 Por mês + encargos
3 Assistentes: R$ 2.000,00 Cada por mês + encargos
2 Contrarregra de cena: R$ 2.500,00 Cada por mês + encargos
– Cenografia:
1 Cenógrafo: R$ 5.000,00 Por mês + encargos
2 Assistentes – R$ 2.000,00 Cada por mês + encargos
– Figurino:
1 Figurinista: R$ 2.000,00 + Encargos.
2 Assistentes: R$ 1.000,00 Cada por mês + encargos
118 • capít ul 6 1
– Continuidade (produção):
2 Continuístas: R$ 500,00 cada por mês + encargos
– Efeitos especiais (pós/ mecânico):
1 Supervisor: R$ 4.800,00
3 Produtores de efeitos gráficos: R$ 3.000,00 Cada por mês + encargos
– Atores: 36 personagens
18 Atrizes: R$ 360.000,00 Por mês
18 Atores: R$ 540.000,00 Por mês
– Encargos trabalhistas 28% ao ano.
– Os cenários econômicos para o período foram:
Inflação zero e aumento dos cf p/ segundo semestre de 8%.
Inflação de 3% mês e aumento dos cf p/ segundo semestre de 8%.
Inflação de 5% mês e aumento dos cf p/ segundo semestre de 8%, com aplicação do 
saldo em conta corrente utilizando a taxa selic de 2% mês.
 
Pede–se:
Faça o orçamento utilizando os três cenários, ajustando os gastos gerais durante a exe-
cução do programa. Faça também o acompanhamento dos gastos reais x orçados, concluin-
do no final da produção se o programa terá uma sobra de caixa ou necessidade de aporte de 
capital para os três cenários econômicos.
04. Considere os seguintes dados para um programa de 4 meses:
Verba liberada p/ mês:1o R$ 6.000.000, 2O R$ 6.000.000, 3O R$ 3.000.000, 4O R$ 
3.000.000 Durante os 4 meses de programa.
Engenharia externa: R$ 98.500, R$ 84.000, R$ 85.000, R$ 85.000
Engenharia de estúdio: R$ 95.500, R$ 82.000, R$ 88.000, R$ 88.000.
Produção direta: R$ 64.000, R$ 52.000, R$ 98.000, R$ 98.000.
Produção de arte: R$ 25.000, R$ 18.000, R$ 20.000, R$ 20.000.
Cenografia: R$ 15.500, R$ 12.000, R$ 16.000, R$ 16.000.
Figurino: R$ 8.500, R$ 8.500, R$ 9.500, R$ 9.500.
Atores: R$ 2.843.000, R$ 2.443.500, R$ 3.733.500, R$ 3.733.500.
Outros gastos durante o programa:
Custos fixos: R$ 500.000 Nos três primeiros meses, R$ 200.000 No último mês.
capít ul o 6 • 119
Gastos gerais extraordinários: R$ 200.000, R$ 600.000, R$ 600.000 E R$ 200.000.
Gastos reais: R$ 4.250.000, R$ 3.900.000, R$ 5.250.000, R$ 4.750.000.
GASTOS VARIÁVEIS 1 2 3 4 TOTAL
ENGENHARIA EXTERNA 
ENGENHARIA DE ESTÚDIO 
PRODUÇÃO DIRETA 
PRODUÇÃO DE ARTE 
CENOGRAFIA 
FIGURINO 
ELENCO DE ATORES 
TOTAL 
Com os dados acima, elabore:
a) Previsão de gastos para os 4 meses de programação.
b) Previsão do fluxo de caixa para os 4 meses de programação.
Indique o valor do saldo de caixa previsto para o fim do programa.
Indique o valor da Margem Bruta prevista para o fim do programa. 
c) Faça o quadro comparativo real x orçado e comente o resultado obtido:
a) Previsão de Gastos para os 4 meses de programação.
DISCRIMINAÇÃO 1 2 3 4 TOTAL
CUSTOS VARIÁVEIS 
 
ENGENHARIA EXTERNA 
 
ENGENHARIA ESTÚDIO 
 
PRODUÇÃO DIRETA 
 
PRODUÇÃO DE ARTE 
 
CENOGRAFIA 
 
FIGURINO 
 
ELENCO DE ATORES 
 
 
 
CUSTOS FIXOS 
 
GASTOS GERAIS 
 
TOTAL 
 
120 • capít ul 6 1
b) Previsão do Fluxo de caixa para os 4 meses de programação.
DISCRIMINAÇÃO 1 2 3 4 TOTAL
VERBA 
 
CUSTOS VARIÁVEIS 
 
MARGEM BRUTA 
 
CUSTOS FIXOS 
 
GASTOS GERAIS 
 
SALDO 
 
SALDO ACUMULADO 
 
Indique o valor do saldo de caixa no final do programa:
Indique o valor da Margem disponível para os Custos Fixos e Gastos gerais.
Aplicações 
Matemáticas em 
Produção
122 • capít ul o 7
OBJETIVOS
Ao final desse capítulo, o aluno deverá ser capaz de compreender as aplicações matemáticas 
em: 
• medida da Produtividade;
• projeto e Medida do Trabalho;
• medida da Capacidade;
• avaliação de alternativas de localização.
capít ul o 7 • 123
7.1 Medida da produtividade
Basicam ente, têm -se dois tipos de m edição:
O sim ples ou direto tam bém conhecido com o produtividade de fator ún ico, 
que será calculado pela seguinte fórm ula:
PRODUTIVIDADE OUTPUTS
INPUTS
O m ais com plexo e am plo tam bém conhecido com o produtividade m utifa-
tores ou produtividade de fatores totais.
PRODUTIVIDADE OUTPUTS
INPUTS CAPITAL ENERGIA DIVERSOS
=
+ + +
Para entender m elhor esta diferença, vam os fazer alguns exercícios para 
m elhor com preensão do que vim os em relação à aplicação desta m edição da 
produtividade. 
EXEMPLO
Uma loja de fast food, dentro de um shopping, possui uma máquina de fazer sorvetes que 
produz um total de 1.200 casquinhas de sorvete por dia. Considerando que a loja fique aberta 
por 11 horas, diariamente, qual será a produtividade desta máquina por hora?
Basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja:
PRODUTIVIDADE OUTPUTS
INPUTS
casquinhas
horas
casq1 200
11
109. uuinhas hora/
EXEMPLO
Uma refinaria produz em seu processo diário de refino do petróleo vários tipos de derivados 
e, dentre eles:
250.900 litros de gasolina aditivada;
12.000 litros de querosene de aviação;
124 • capít ul o 7
120.000 litros de óleo combustível;
1.000 kg de asfalto.
Qual é a sua produtividade por hora em relação ao refino da gasolina?
Basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja:
PRODUTIVIDADE NO REFINO DA GASOLINA OUTPUTS
INPUTS
250 900
2
.
44
10 454
 horas
 litros/ hora.
PRODUTIVIDADE NO REFINO DO QUEROSENE OUTPUTS
INPUTS
12 000
2
.
44
500
 horas
 litros/ hora
PRODUTIVIDADE NO REFINO DO COMBUST VEL OUTPUTS
INPUTS
12 00. 00
24
5 000
 horas
 litros/ hora.
PRODUTIVIDADE NO REFINO DO ASFALTO FABRICADO OUTPUTS
INPUTS
1 000
24
417. ,
 horas
kg/ hora
EXEMPLO
Uma pequena confecção possui quatro funcionárias: Sílvia, com salário de R$ 1.790,00; 
Sandra, com salário de R$ 1.250,00; Renata, com salário de R$ 1.140,00 e Rosane, com 
salário de R$ 1.030,00. Juntas, produzem 61.600 blusas por mês. A gerente deseja saber 
qual a produtividade diária e também a produtividade por cada real pago de salário. Por essa 
razão, contatou você como cronoanalista, para desempenhar a atividade de medir tempos de 
fabricação e, em consequência, mensurar produtividades.
capít ul o 7 • 125
Para a primeira pergunta, basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja:
PRODUTIVIDADE OUTPUTS
INPUTS
 blusas
 dias
 blu61 600
30
2 053. . ssas/ dia
Para a segunda pergunta, basta utilizar a fórmula de produtividade multifatores, ou seja:
PRODUTIVIDADE OUTPUTS
INPUTS + CAPITAL + ENERGIA + DIVERSOS
PRODUTIVIDADE 61.600 blusas
R$ 1.790,00 + R$ 1.250,00 + R$ 11.140,00 + R$ 1.030,00
PRODUTIVIDADE = 11,82 blusas por real pago de salário.
EXEMPLO
Uma pequena indústria de marcenaria possui três vendedores, Jorge, Silvia e Sérgio. Em ja-
neiro, eles venderam um total de R$250.000,00 e, em fevereiro, um total de R$ 301.000,00, 
sendo os produtos comercializados janelas e portas, cujos clientes são lojas de material de 
construção. Os resultados das vendas foram os seguintes:
126 • capít ul o 7
JANEIRO FEVEREIRO
VENDEDOR JANELAS PORTAS TOTAL DAS VENDAS JANELAS PORTAS
TOTAL DAS 
VENDAS
R$ R$ R$ R$ R$ R$
JORGE 39.910,00 50.089,20 89.999,20 52.000,00 51.012,00 103.012,00
SÍLVIA 35.000,00 54.910,80 89.910,80 43.090,29 71.988,00 115.078,29
SÉRGIO 30.090,00 40.000,00 70.090,00 34.909,71 48.000,00 82.909,71
TOTAIS 105.000,00 145.000,00 250.000,00 130.000,00 171.000,00 301.000,00
Se a empresa quiser saber a produtividade diária do vendedor Jorge no mês de janeiro, 
basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja:
PRODUTIVIDADE OUTPUTS
INPUTS
R$89.999,20
 dias
R$ 2.903,20
31
// dia
Se a empresa quiser saber a produtividade diária da vendedora Sílvia no mês de fevereiro 
na venda de portas, basta utilizar a fórmula de produtividade de fator único, ou seja:
PRODUTIVIDADE OUTPUTS
INPUTS
R$71.988,00
 dias
R$ 2.571,00
31
// dia
Se a empresa quiser saber a produtividade diária do vendedor Sérgio na venda de jane-
las, nos meses de janeiro e fevereiro, basta utilizar a fórmula de produtividade de multifatores, 
ou seja:
PRODUTIVIDADE OUTPUTS
INPUTS + CAPITAL + ENERGIA + DIVERSOS
PRODUTIVIDADE R$ 30.090,00 + R$ 34.909,71
31 dias + 28 dias
PRODUTIVIDADE R$ 64.909,71
59 dias
R$ 1.101,69/ dia
capít ul o 7 • 127
Disponível em: <http:/ / estaciodocente.webaula.com.br br> . Acesso em: 20 abr. 2015.
7.2 Projeto e medida do trabalho
Medir o trabalho é determ inar quanto tem po um a operação leva para ser 
realizada.
Pode-se definir um tem po-padrão, obtido após considerações sobre o ritm o 
de trabalho do operador e sobre seu m étodo de trabalho.
O tem po-padrão para se realizar um a tarefa serve para estudos a fim de de-
terminar o custo de um produto e m edir os parâm etros que levam trabalha-
dores a receber prem iações pelo trabalho realizado. Com o é um a m edição da 
variável tem po (selecionada dentre outras), deve ser repetida periodicam ente, 
pois as condições dos operadores, das m áquinas e dos processos se alteram 
com o tem po.
Relaciona-se, na operação, com :
1. estudo de tem pos com cronôm etros;
2. tem pos históricos;3. dados-padrão predeterm inados;
4. am ostragem do trabalho.
A in terpretação com um do significado das porcentagens de tolerância é que 
elas perm item certo percentual do tem po total dispon ível.
Assim , pode-se calcular o tem po-padrão de um a tarefa pelo uso de 
percentagem .
128 • capít ul o 7
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Uso de percentagem
Calcular o tempo-padrão de uma tarefa da qual foram medidos 20 ciclos, obtendo-se 
1,55 minutos como média. A operadora foi avaliada com tendo uma eficiência de 75%. A 
tolerância habitual da empresa para fadiga e tempo pessoal (margem) é de 20% sobre o dia 
de trabalho.
Gabarito
Tempo normal:
1,55 minutos X 0,75 (ou 75% de ritmo ou eficiência da operadora) = 1,16 minuto
Tempo padrão: 116 100
100
1 16 100
100 20
145, min
arg
, min , min uto
m em
uto×
−
= ×
−
= uuto
02. Qual o número de medidas a serem realizadas para uma operação de produção de pa-
rafusos, sabendo que uma amostra inicial de medidas forneceu a média de 7,35 minutos e 
um desvio-padrão de 1,90 minuto. A precisão desejada é de 10% com um grau de confiança 
de 95%.
Usar a fórmula a seguir
n
E
=
⋅∑ α σ/ 2
2
Onde
 n : número de indivíduos na amostra
 
α /2∑ : valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado
 σ : desvio-padrão populacional da variável estudada
 E : margem de erro ou erro máximo de estimativa. Identifica a diferença máxima 
entre a média amostral (x) e a verdadeira média populacional.
n = 1,96 X 1,90 = 3,724 = 5 medições
 10% X 7,35 0,735
capít ul o 7 • 129
03. Um cronoanalista anotou os tempos no formulário a seguir e calculou os respectivos 
desvios-padrão para os três elementos constituintes de uma tarefa:
ELEMENTO TEMPO (MINUTOS) DESVIO-PADRÃO (MINUTOS)
A 7,05 1,50
B 3,47 0,84
C 5,85 0,72
a) Qual o elemento que deve ser tomado como base para o cálculo do número de ciclos 
a medir?
b) Quantos ciclos deverão ser medidos para uma precisão de 5% com um grau de con-
fiança de 99%?
Gabarito
c) O valor da média que está mais próximo da mediana é o ideal; valores muito altos e 
muito baixos são expurgados nessa situação. Portanto, o valor ideal é o da média de 
tempo igual a 5,85 minutos e desvio-padrão igual a 0,72 minutos
d) Usar a fórmula seguinte:
n
E
=
⋅∑ α σ/ 2
2
n =
⋅
⋅
=
2 58 0 72
5 5 85
40
2
, ,
% ,
04. Calcular o número dos ciclos necessários para que os tempos medidos atinjam margem 
de erro estatística de 10% e confiança estatística de 95%.
ELEMENTO TEMPO (MINUTOS) DESVIO-PADRÃO (MINUTOS)
A 7,05 1,50
B 3,47 0,84
Gabarito
Elemento A = 18 ciclos
Elemento B = 23 ciclos
130 • capít ul o 7
7.3 Medida da capacidade
Capacidade é a quan tidade m áxim a de produtos e serviços que um a em -
presa pode produzir durante um período de trabalho predeterm inado, m uitas 
vezes m edido por dia, m ês ou ano. É função de duas variáveis: volum e ou quan-
tidade e tem po.
Exemplos
• Um a rede de lojas de revenda de roupas m ede a capacidade com o vendas 
anuais por unidade de negócio.
• Um cinem a m ede a capacidade com o o núm ero de assentos disponíveis.
• Um torneiro m ecânico m ede a capacidade com o a utilização por hora/
m áquina.
• Um a m anicure m ede a capacidade com o a quantidade de clientes atendi-
dos por dia.
• Um a em presa de jardinagem m ede a capacidade com o o rendim ento por 
m etro quadrado de gram a cortado.
Capacidade de projeto = capacidade efetiva + perdas
×TAXA DE UTILIZAÇÃO = ÍNDICE DE PRODUÇÃO MÉDIA PERDAS
CAPACIDADE MÁXIMA
Slack et a l., 1997
Lim ite de capacidade
Em todas as produções, existem atividades que são realizadas em paralelo 
ou em sequência.
Um a determ inada atividade será responsável por um lim ite em relação às 
dem ais. 
Esse lim ite é conhecido com o gargalo ou restrição da capacidade da opera-
ção de produção.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Em uma fábrica, a capacidade máxima da uma sopradora para moldar garrafas PET é de 
15.000 unidades por dia (10 horas), sendo que, destas, 12.000 garrafas são envasadas com 
granel líquido. Qual a taxa de utilização dessa máquina?
capít ul o 7 • 131
Resolução
Aplicação de percentagem
× =UTILIZAÇÃO = 12.000
15.000
100 80%
02. Outra fábrica produz tampas que servirão para completar as garrafas citadas anterior-
mente. A capacidade máxima da injetora de tampas é de 120.000 unidades por dia (10 
horas), sendo que são envasadas com granel líquido 12.000 garrafas que necessitam ser 
tampadas pela rosqueadora. 
a) Qual a taxa de utilização dessa máquina?
b) Essa máquina ficará parada quantas horas por dia?
132 • capít ul o 7
Resolução
Aplicação de percentagem
a) 
× =UTILIZAÇÃO = 12.000
120.000
100 10%
b) A injetora ficará parada 9 horas, pois sua produção horária é de 12.000 tampas, 
ou seja, 120.000 / 10 horas. Assim, em 1 hora por dia a máquina atende toda a 
demanda de tampas.
03. Uma empresa que faz travessia por ferry boat possui uma frota com dois barcos, realizan-
do 15 travessias diárias, cada uma com 90 carros e 650 pessoas. 
Sabendo-se que a média de um mês fora da alta estação (fora das férias escolares, por 
exemplo) é de 1.400 carros e 11.000 pessoas por dia, qual é a taxa de utilização diária dessa 
empresa para transporte naquela época do ano:
a) de carros?
b) de pessoas?
Resolução
a) Capacidade para carros = 2 barcos x 15 travessias diárias x 90 carros/ travessia = 
= 2.700 Carros
 Taxa de utilização para carros = 1.400 X 100 / 2.700 = 51,85%
b) Capacidade para pessoas = 2 barcos x 15 travessias diárias x 650 pessoas = 
= 19.500 Pessoas
 Taxa de utilização para pessoas = 11.000 X 100 / 19.500 = 56,41%
capít ul o 7 • 133
04. Para se produzir uma garrafa de óleo lubrificante, temos descritas algumas atividades 
principais: 
a) produção da garrafa, 
b) fabricação da tampa, 
c) colagem do rótulo e
d) enchimento da garrafa com o óleo lubrificante. 
Considere que para a produção de uma garrafa levem-se 4 minutos; para uma tampa, a 
produção é feita em 2 minutos; para a colagem de um rótulo, a tarefa gasta 5 minutos; e, por 
último, para o enchimento da garrafa são necessários 30 segundos. 
Fica fácil entender que o gargalo é a colagem do rótulo, pois não adianta produzir mais 
tampas ou disponibilizar mais garrafas, se serão gastos 5 minutos na colagem.
Se, agora, dobrarmos a capacidade da máquina que cola o rótulo (rotuladora), baixando 
o tempo pela metade, qual será novo gargalo dessa linha de produção?
Resolução
Uso de fração e comparação entre quantidades
Se dobrarmos a produção da rotuladora, ela passará a colar o rótulo em:
5 minutos / 2 = 2,5 minutos.
Na comparação com os outros tempos (4 minutos para a fabricação de uma garrafa, 2 
minutos para a produção de uma tampa e 0,5 minuto para o enchimento da garrafa), verifi-
ca-se que o novo gargalo é o que tem o maior tempo, ou seja, a fabricação de uma garrafa, 
passa a ser o novo gargalo.
05. Uso de operações aritméticas e expressões.
Capacidade de projeto
O sistema é considerado ideal, como se não existissem perdas.
Para a medição desta capacidade não são consideradas atividades tais como setups, 
manutenções programadas, transporte entre os setores e limitações relacionadas ao 
fluxo produtivo.
Capacidade efetiva
São levadas em consideração as necessidades ou as perdas do sistema.
Nesta análise, consideram-se as necessidades de processo (perdas programadas), 
mas sem considerar questões relativas ao fluxo fabril e ao tamanho dos lotes.
134 • capít ul o 7
Uma empresa de calçados funciona 24 horas por dia, todos os dias do mês, incluindo 
domingos e feriados. Analisando a operação de costurar cabedal, obtiveram-se os seguintes 
tempos:
Mudanças de produtos (setups): 58 horas;
Calcule as capacidades de projetoe efetivação da operação (mensal) sabendo que a 
capacidade do projeto do sistema é de 1.500 pares/ hora.
Manutenção preventiva regular: 19 horas;
Amostragens de qualidade: 6 horas;
Tempos de troca de turnos: 43 horas;
Paradas para manutenção corretiva: 14 horas;
Investigação de falhas de qualidade: 25 horas;
Falta de estoque de material de cobertura: 12 horas
Resolução
Mudanças de produtos (setups): 58 horas;
Manutenção preventiva regular: 19 horas;
Amostragens de qualidade: 6 horas;
Tempos de troca de turnos: 43 horas;
Perdas planejadas = 126 horas
Paradas para manutenção corretiva: 14 horas;
Investigação de falhas de qualidade: 25 horas;
Falta de material de cobertura: 12 horas;
Perdas não planejadas = 51 horas
Capacidade projeto = 24 x 30 x 1.500 = 1.080 Milhões de pares de calçados por mês. 
(100%)
Capacidade efetiva = ((24 x 30) – 126) x 1.500 = 891 Mil pares de calçados por mês. 
(82,5%)
Taxa de utilização = (((24 x 30) – 126) – 51) x 1.500= 814,5 Mil pares de calçados por 
mês (75,4%, Resultado de 814.500 X 100 / 1.080.000)
capít ul o 7 • 135
7.4 Avaliação de alternativas de localização
Entre os fatores que influem na localização de um a em presa industrial, des-
tacam-se por sua im portância os fatores de pessoal, quan to à dispon ibilidade 
de pessoal qualificado e quan to à atitude sindical. De m esm a im portância, são 
a localização dos m ercados consum idores, a localização dos principais forne-
cedores e a qualidade da rede de transportes. De grande relevância, tam bém , 
são as facilidades oferecidas, com o isenção de taxas e im postos e a oferta de 
serviços específicos existen tes no local, com o água tratada, estação coletiva 
para tratam ento de esgotos industriais, energia elétrica, linhas digitais para te-
lecomunicação, escolas técnicas especializadas, hospitais, entre outros. Outros 
fatores im portantes são a qualidade de vida, os aspectos culturais da região, o 
clim a, a proxim idade de em presas do m esmo tipo, o terreno, o construção, os 
regulam entos am bien tais e as atitudes da com unidade. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Uso de função de primeiro grau 
Aplicação de custos
Uma empresa reduziu a provável localização de sua nova fábrica a três localidades: 
A, B e C. Com os dados de custos fixos e de custos variáveis, determinar a melhor locali-
zação, considerando que a capacidade da fábrica é de 20.000 unidades por ano.
LOCALIDADE CUSTOS FIXOS POR ANO CUSTO VARIÁVEL UNITÁRIO
A R$ 420.000 R$ 150,00
B R$ 800.000 R$ 100,00
C R$ 1.200.000 R$ 80,00
Qual o custo total para a capacidade estimada de 20.000 unidades por ano?
Localidade A
Custo total = r$ 420.000 + 20.000 Unidades x r$ 150,00 = r$ 3.420.000
Localidade B
Custo total = r$ 800.000 + 20.000 Unidades x r$ 100,00= r$ 2.800.000
Localidade C
Custo total = r$ 1.200.000 + 20.000 Unidades x r$ 80,00= r$ 2.800.000
136 • capít ul o 7
O resultado foi um empate entra as localidades B e C, como as que tiveram menor custo 
total.
Há necessidade de ponderar por outros meios.
02. Uso de média ponderada
Uso de operações aritméticas e expressões
Essa empresa vai ponderar os fatores qualitativos das três localidades citadas anterior-
mente como candidatas para sediar sua nova unidade. 
A empresa inicialmente definiu os fatores a serem considerados e atribuiu a cada um 
deles um peso, sendo que o total dos pesos soma 100. 
Posteriormente, pediu a seus principais executivos que atribuíssem a cada uma das loca-
lidades uma nota, entre 0 (pior condição) e 10 (melhor condição), para cada um dos fatores. 
Para cada localidade, tomou-se a nota média e a tabela para a decisão final apresentou 
os resultados que seguem. 
Que localidade deve ser escolhida? 
FATORES
PESO FATOR NOTAS MÉDIAS POR FATOR
A B C
20 DISPONIBILIDADE DE PES-SOAL 8 6 7
10 ASPECTOS SINDICAIS 9 5 8
25 RESTRIÇÕES AMBIENTAIS 6 8 9
10 QUALIDADE DE VIDA 10 6 10
15 SUPRIMENTO DE MATERIAIS 7 9 5
5 ISENÇÃO DE IMPOSTOS 4 7 9
15 DESENVOLVIMENTO REGIO-NAL 6 8 5
TOTAIS 50 49 58
Cálculo para localidade A
(8 X 20) + (9 X 10) + (6 X 25) + (10 X 10) + (7 X 15) + (4 X 5) + (6 X 15) / (20 + 
10 + 25 + 10 + 15 + 5 + 15) = 715/ 100 = 71,5
Cálculo para localidade B
capít ul o 7 • 137
(6 X 20) + (5 X 10) + (8 X 25) + (6 X 10) + (9 X 15) + (7 X 5) + (8 X 15) / (20 + 10 
+ 25 + 10 + 15 + 5 + 15) = 720/ 100 = 72
Cálculo para localidade C
(7 X 20) + (8 X 10) + (9 X 25) + (10 X 10) + (5 X 15) + (9 X 5) + (5 X 15) / (20 + 
10 + 25 + 10 + 15 + 5 + 15)
 = 740/ 100 = 74
Quanto maior o valor, melhor o local. 
Dentro do critério apresentado, a localidade C seria a escolhida pelo critério dos fatores, 
após ter empatado com a localidade B no critério de custos.
03. Localização de Lojas
Segundo Woiler & Mathias (1996, p. 125), em artigo publicado na Revista CEPPG – 
n. 23 – 2/ 2010 – ISSN 1517-8471 – P. 161 à 175, “o problema de encontrar a localização 
ótima corresponde, em termos de empresa, a achar a localização que dê a maior diferença 
entre receitas e custos”. De maneira sintética, as organizações procuram se estabelecer em 
locais em que consigam maximizar as receitas e minimizar as despesas, ampliando desta 
forma seus resultados finais.
A seleção do local para implantação de uma loja é proporcional à dirnensão da loja (área 
ocupada) ( inversamente proporcional à distância que o cliente deve percorrer ate a loja (di-
ficuldade/ facilidade de chegada).
Capítulo 2 – Localização – (Martins e Laugeni, 2000)
Usar a fórmula a seguir:
∑ ( )
= ×
=
N C P
S
T
S
T
ij i ij
j
ij
A
j
ij
A
j i
n
Nij = número de clientes da região i dispostos a deslocar-se até local j
Pij = probabilidade de um cliente da região i ir até a região j
Ci = número total de clientes residentes na região i
Sj = área da loja situada em j
138 • capít ul o 7
Tij = tempo que o cliente leva para ir de i até j
A = parâmetro utilizado para refletir o efeito que o tempo de viagem causa nos hábitos 
de compra do cliente (normalmente A = 2)
Capítulo 2 – Localização – (Martins e Laugeni, 2000)
Consideremos uma situação em que há uma loja na localização 1 e uma segunda loja na 
localização 3. Os clientes ocorrem nas 4 zonas e realizam 3.800 viagens por dia para suas 
compras. Com a utilização do modelo mostrado, verificamos que a loja 1, a menor, atende 
1.526 clientes (viagens) e a loja 2 atende os demais 2.274 clientes ao dia. O que ocorrerá se 
uma loja 3 se instalar na zona 2?
Utilizando novamente o modelo, verificamos que a loja 1 atenderá 1.045 clientes, a loja 
2 atenderá 1.606 clientes e a loja 3 atenderá 1.149 clientes por dia. O modelo permite, 
portanto, verificar o impacto que um novo negócio acarreta a uma determinada região e 
determinar o volume potencial desse novo negócio para que sua viabilidade possa ser con-
venientemente avaliada.
DADOS DAS ALTERNATIVAS
DISTRIBUIÇÃO DAS ALTERNATIVAS
ZONA J CLIENTE I TEMPO DE VIAGEM
ZONA 1
LOJA 1
T I 1 T I 2 T I 3 LOJA 1000 FT2
ZONA 2
LOJA 3 1 1.000 5 15 10 1 200
ZONA 2
LOJA 3 2 500 10 10 5 2 400
ZONA 3 3 1.500 10 10 15 3 400
ZONA 4
LOJA 2 4 800 15 5 10
MATRIZ DE PROBABILIDADES P
LOJA 1 LOJA 2 LOJA 3
ZONA 1 0,580 0,130 0,290
ZONA 2 0,091 0,182 0,727
ZONA 3 0,257 0,515 0,228
ZONA 4 0,0425 0,7665 0,191
Aplicações 
Matemáticas em 
Logística
140 • capít ul o 8
OBJETIVOS
O aluno, ao final desse capítulo, estará apto a compreender a aplicação da matemática em:
• operações de armazenagem
• controle de estoque
• operações de transporte 
• operações de movimentação e embalagem
• otimização de sistemas de transporte
capít ul o 8 • 141
8.1 Operações de armazenagem
“O processo de armazenagem propriamente dito compreende a adequada transferência dos volumes 
da doca ou outro pontode descarga para o local de empilhamento onde serão armazenados, devida-
mente protegidos de agentes humanos, físicos, químicos ou ambientais capazes de comprometer a 
integridade e estrutura da embalagem e seu conteúdo” (RODRIGUES, 2007, p. 24).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uso da regra de três simples
01. Em um armazém, 6 caminhões são descarregados por minuto. 
Quanto tempo leva para descarregar trinta caminhões?
Resolução
6 caminhões 1 minuto
30 caminhões x minutos
 
x =
×
=
30 1
6
5 minutos
02. Uso de regra de três simples
Em um terminal de carga, existem 2 horas para 8 caminhões descarregarem suas car-
gas. Cada caminhão demora em média 20 minutos para descarregar as suas mercadorias. O 
terminal só pode atender 1 caminhão por vez para o descarregamento. O intervalo de chega-
da dos caminhões no terminal é de 15 minutos. Um caminhão só poderá ser descarregardo 
se o anterior já estiver com toda sua carga descarregada. Considerando a teoria das filas, 
podemos afirmar que o número de caminhões que ficará sem descarregar será de:
Resolução
1 caminhão 20 minutos
x caminhões 120 minutos
 
=
×
=x
120 minutos 1 caminhão
20 minutos
6 caminhões
142 • capít ul o 8
Logo, 2 caminhões ficarão sem descarregar.
Obs.: o tempo total não é afetado pela chegada dos caminhões, pois 1 caminhão leva 15 
minutos para surgir na plataforma, que é um tempo menor que o tempo de descarga de 20 
minutos. Dessa forma, mesmo se outro caminhão chegar, ainda restarão 5 minutos para o 
caminhão que o precedeu descarregar sua mercadoria na plataforma. 
03. Uso de regra de três simples
Em uma transportadora, 4 caminhões são descarregados por minuto. Quanto tempo leva 
para descarregar dez caminhões?
Resolução
caminhões 1 minuto
10 caminhões x minutos
 
=
×
=x
10 caminhões 1 minuto
4 caminhões
2,5 minutos
04. Uso de regra de três simples
Um terminal portuário descarrega 22 contêineres/ hora. Calcule o tempo que 80 contêi- 
-neres levam para ser descarregados.
Resolução
22 contêineres 1 hora
80 contêineres x horas
 
=
×
=x
80 contêineres 1 hora
22 contêineres
3,63 horas
05. Uso de regra de três simples
Em um terminal de carga, existem 4 horas para os caminhões descarregarem suas cargas. 
Cada caminhão demora em média 20 minutos para descarregar as suas mercadorias. O 
terminal pode atender 2 caminhões por vez para o descarregamento. O intervalo de chegada 
dos caminhões no terminal é de 30 minutos. Um caminhão só pode entrar no terminal se 
capít ul o 8 • 143
o anterior já estiver com toda sua carga descarregada. Existem 16 caminhões e o terminal 
aceita esperar todos os caminhões descarregarem suas cargas, mas com cobrança de horas 
extras e outras despesas necessárias se precisarem estender o horário. 
a) Quantos minutos demoraram o descarregamento de todos os caminhões? 
b) Haverá necessidade de ultrapassar as 4 horas destinadas para a descarga dos cami-
nhões?
Resolução
a) Para 16 caminhões, teremos 8 operações simultâneas de descarga, já que 2 cami-
nhões são atendidos por vez para o descarregamento.
Logo, entre as 8 operações há 7 intervalos, em que os próximos caminhões deverão 
chegar.
Como o tempo médio de descarga é de 20 minutos (para 2 caminhões) e o tempo 
de chegada é de 30 minutos, sempre haverá uma espera de 10 minutos de gargalo 
entre operações (= 30 minutos – 20 minutos). Assim, haverá 7 esperas (gargalos) 
de 10 minutos cada uma.
O tempo de descarga será:
2 caminhões 20 minutos
16 caminhões x minutos
 
x =
×
=
16 20
2
160 caminh es minutos
 caminh es
 minutos
Os 160 minutos obtidos no cálculo anterior devem, agora, ser somados ao gargalo de 7 
esperas de 10 minutos = 7 X 10 minutos = 70 minutos.
Total de tempo = 160 minutos + 70 minutos = 230 minutos
144 • capít ul o 8
b) Como 230 minutos é um tempo menor que 4 horas (ou seja, 240 minutos = 4 horas 
X 60 minutos), o terminal não precisará estender seu horário de descarga.
06. Uso da regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta 
ou inversamente proporcionais.
Um big-bag e meio tem a sua carga de 1,5 t descarregada em 1 minuto e meio. 
Quanto é a carga descarregada de 1 big-bag em 1 minuto?
Resolução
1,5 big-bag 1,5 t
1 big-bag y t
y t = 1 big-bag X 1,5 t = 1 t
 1,5 big-bag
1 t 1,5 minuto
x t 1 minuto
x t = 1 t X 1 minuto = 1 t / 1,5 = 0,67 t
 1,5 minuto
07. Uso da regra de três composta
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas, quantos cami-
nhões serão necessários para descarregar 125 m3?
capít ul o 8 • 145
Resolução
Montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em 
cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observação
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de cami-
nhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto 
a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a 
razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido 
das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
termos foram invertidos
(seta contrária)
20
x
=
160
125
5
8
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
20
20
20
1
1
x
=
160
125
5
8
=
20
25
=
4
5
=
⋅
=x
5 20
4
25
Logo, serão necessários 25 caminhões.
Disponível em: < http:/ / www.somatematica.com.br/ fundam/ regra3c.php> . Acesso em: 
02 mai. 2015.
146 • capít ul o 8
8.2 Controle de estoque
Lote econôm ico de com pras
É a quantidade ideal a ser adquirida a cada reposição de estoque, em que 
o custo total de aquisição, bem com o os respectivos custos de estocagem , são 
m ínim os para o período considerado.
FÓRMULA
LEC
2× ×
×
D C
C P
p
m u
D = dem anda anual
C p = custo da em issão do pedido
C 
m
 = custo de m anter o estoque
P 
u
 = preço unitário.
Núm ero de pedidos por ano associado ao lote econôm ico de com pra
É o núm ero de vezes que se pede um a quantidade igual ao lote econôm ico 
de com pra para suprir a em presa com um determ inado item
N = D / LEC
Pon to de ressuprim en to
O ponto de ressuprim ento é o n ível m ais econôm ico de reposição de um 
item em estoque. É quando ocorre o estoque m ín im o do período e tem os 
que obrigatoriam ente fazer um novo pedido, para que não ocorra a falta do 
m aterial/produto. 
Fórmula
O cálculo do ressuprim ento é defin ido pela função:
PR = (Dm éd x LT) + Eseg
capít ul o 8 • 147
PR = pon to de ressuprim ento
D 
méd. = dem anda m édia diária
LT = lead tim e ou tem po de ressuprim ento em dias
E 
seg. = estoque do segurança
Q
E
máx
ES
tem po
Custo total de estoque de um item
O custo total de estoque é o custo do pedido acrescido ao custo de m anter 
em estoque a quan tidade pedida. Por essa razão, é im portan te sem pre levar em 
con ta o lote econôm ico de com pra que m inim izao citado custo total.
Fórm ulas
Custo de m anter estoque de um lote de com pra Q de um item
CME = I x P
u
 x Q / 2
CME = custo de m anter estoque de um lote de com pra q de um item ;
P 
u
 = preço unitário do item ;
Q/2 = estoque m édio de um lote q com prado de um item .
CP = C
u
 x D / Q
148 • capít ul o 8
CP = custo do pedido;
C 
u
 = custo unitário do pedido;
D = dem anda anual do item ;
Q = lote de com pra
CT = CME + CP
CT = custo total do estoque de um item ;
CME = custo de m anter estoque de um lote de com pra q de um item ;
CP = custo do pedido.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões
Calcule o lote econômico de compra (LEC) de um produto XZT, sabendo que 20% é o 
custo de oportunidade (para aplicação financeira) do investimento feito em estoque, o preço 
unitário do produto é de R$100,00, a demanda anual é de 20.000 unidades e o custo de 
fazer um pedido é igual a R$133,33.
Resolução
LEC R R= × × × =2 20 000 133 33 0 20 100 00 516. $ , / , $ , unidades
02. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões
A agência Y do Banco ∆ pede dinheiro a seu escritório principal para desempenhar suas 
transações diárias. Se a estimativa de necessidade anual de dinheiro for de R$ 15.000.000 
e cada solicitação custar R$ 3.600 e o custo do dinheiro parado for de 10% ao ano, calcule a 
quantidade de dinheiro que a agência deve incluir em cada remessa, supondo que o dinheiro 
fosse pedido no sistema do lote econômico de compra (LEC)?
Resolução
LEC R R R= × × =2 1 600 000 3 600 0 1 339 4112 $ . . $ . / , $ . 
03. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões.
capít ul o 8 • 149
O comprador de uma empresa deseja calcular o LEC para um item Y. A demanda anual 
é de 1.000.000 unidades, cada uma custando $ 10 . O custo por pedido é de $ 80 e o custo 
de manutenção de estoques é de 22% a.a. Calcule o lote econômico de compra.
Resolução
LEC R R= × × × =2 1 000 000 00 0 33 510 00 8 5282 . . $ / , $ , . 80, unidades
04. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões
O consumo estimado de um item é de 120.000 toneladas ao ano. A negociação de com-
pras resultou em um preço de R$ 50,70 / t, mantido constante ao longo do ano. É prevista 
uma taxa de manutenção de estoques anual de 22% para o período e custo de cada pedido 
de R$ 1.500,00. Determine o lote econômico de compra e o número de pedidos ao longo 
do ano.
LEC R R= × × × =2 120 000 1 500 0 22 50 70 5 6812 . $ . / , $ , . toneladas
N = 120.000 t ao ano / 5.681 t por pedido = 21 pedidos / ano
05. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões
Calcular o ponto de ressuprimento, sabendo que a demanda média diária do produto 
MZT é 80 unidades, o tempo de espera para o atendimento pelo fornecedor é de 20 dias e 
o estoque de segurança é de 60 unidades.
Resolução
PR = (80 unidades/ dia X 20 dias) + 60 dias = 1.660 dias
06. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões
Calcular o custo total do estoque de um item conhecendo a taxa de manutenção de 
estoque de 22% ao ano, o custo unitário do pedido de R$ 12,00, o preço unitário do item de 
R$ 50,00 e a demanda anual do item de 15.000 unidades, para compras em lotes de 200 
unidades, 1.000 unidades e 1.500 unidades.
150 • capít ul o 8
Resolução
Q = 200 UNIDADES Q = 1.000 UNIDADES Q = 1.500 UNIDADES
CME = 0,22 x 50 x 200 / 2 = 
R$ 1.100 / ano 
CME = 0,22 x 50 x 1000/ 2 
=R$ 5.500 / ano
CME = 0,22 x 50 x 1.500/ 2 = 
R$ 8.250 / ano
CP = 12 x 15.000/ 200 = 
R$ 900 / ano 
CP = 12 x 15.000/ 1.000 = 
R$180 / ano 
CP = 12 x 15.000/ 1.500 = R$120 
/ ano 
CT = CME + CP = 1.100 + 
900 = R$ 2.000 / ano 
CT = CME + CP = 5.500 
+ 180 = R$ 5.680 / ano 
CT = CME + CP = 8.250 + 120 = 
R$ 8.370 / ano 
07. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões
A empresa J consome nas suas operações, anualmente, 8.000 litros de um produto, cujo 
preço é de R$ 5,00 por litro. A taxa de manutenção de estoques estimada é de 13,5% ao 
ano e o custo de fazer um pedido é de $50,00. Determinar o LEC do material comprado e o 
número (N) de pedidos ao longo do ano.
Gabarito
LEC R R= × × × =2 8 000 00 0 135 5 00 1 0892 . $ / , $ , . 50, litros
N = 8.000 litros / 1089 litros = 7,34
8.3 Operações de transporte 
Galvão (2003): Na área de distribuição de m ateriais em logística, existe um pro-
blem a difícil de resolver, que é o atendim ento de todos os pon tos de um a área 
de distribuição, no m enor tem po e na m enor distância possíveis.
[...] Seguindo esses conceitos, tem os a form ulação m atem ática sim plificada 
para calcularm os o tem po do ciclo das en tregas:
Fórmula
TC = 2Do
Vo
 + 
D2
V2
 + 
T
60
Xqp
{ }
{ }
TC = Tem po do ciclo de en tregas
Do = Distância percorrida do depósito até a zona de en trega
capít ul o 8 • 151
Vo = Velocidade desenvolvida en tre o depósito e a zona de en trega
D2 = Distância percorrida den tro da zona de en trega
V2 = Velocidade desenvolvida dentro da zona de en trega
T p = Tem po gasto em cada parada para en trega/coleta
q = Quantidade de entregas a serem executadas.
A escolha do período em que as visitas se repetem vai depender basicam en-
te de dois fatores an tagôn icos: de um lado, o nível de atendim ento ao clien te, 
que se sente m elhor atendido com entregas m ais frequen tes; de outro, o custo 
do transporte para o distribuidor (Novaes, 1997).
Fórm ulas
NV = M
NR
 
T
7
 t NV = M
NR
no caso de en tregas di rias× ⇒
M= N
q
NV = núm ero de veículos necessários na frota
M = núm ero de zonas de en tregas em que a região deve ser dividida
T = total de dias úteis / sem ana
t = in tervalo de tem po en tre visitas sucessivas - no caso de en tregas diárias 
t = 1
NR = núm ero de roteiros que cada veículo executa por dia
q = núm ero de paradas (en tregas/coletas) por roteiro
N = núm ero total de paradas (entregas/coletas) executadas por dia.
152 • capít ul o 8
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões.
Um caminhão faz entregas em uma zona localizada a uma distância de 60 km do centro 
de distribuição, utilizando velocidade média de 60 km por hora. Ao chegar à zona de entrega, 
ainda percorre 2 km, à velocidade de 20 km por hora, levando 30 minutos em cada ponto 
de entrega/ coleta. Calcule o tempo do ciclo (TC) de entregas para 10 entregas executadas.
Resolução
TC = 2 X (60 km / 60 km por hora) + (2 km/ 20 km por hora) + 0,5 hora X 10 entregas =
= 2 horas + 0,1 horas + 5 horas = 7,1 horas
02. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões
Sabendo que o número total de paradas nas entregas efetuadas por caminhões de uma 
transportadora é igual a 240, que o número de paradas (entregas/ coletas) executadas por 
dia é 10 e considerando que o número de roteiros que cada caminhão executa por dia é 8, 
no caso de entregas diárias, calcule o número de veículos necessários na frota.
Gabarito
M = 240/ 10 = 24;
NV = 24/ 8 = 3 veículos
03. Uso da fórmula – Uso de operações aritméticas e expressões
O número total de paradas nas entregas efetuadas por caminhões de uma transportado-
ra é igual a 420. Sabendo que o número de paradas (entregas/ coletas) executadas por dia é 
7 e que 10 é o número de roteiros executados por cada caminhão / dia, no caso de entregas 
realizadas de segunda-feira a domingo, determine o número de veículos necessários na frota. 
Resolução
M = 420/ 7 = 60;
NV = (60/ 10) = 6 veículos
capít ul o 8 • 153
8.4 Operações de movimentação e 
embalagem
Em logística, a m ovim entação das em balagens ocorre entre as etapas do proces-
so, sendo que a transferência de carga do arm azém ou depósitopara o veículo 
de transporte é um problem a que deve ser analisado no projeto da em balagem .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
04. Uso de percentagem
A empresa MKZ vende apliques para parede com lâmpada, sendo o seu valor unitário 
R$ 80,00. A venda em 2014 foi de 10.000 apliques. Para o ano de 2015, estima-se um 
crescimento de 15% das vendas. Atualmente, a empresa utiliza a embalagem A1, que custa 
1,50/ unidade. Utilizando esta embalagem, a empresa teve uma perda anual de apliques de 
4% na armazenagem e 5% no transporte. Tentando diminuir estes elevados índices, a em-
presa estuda a possibilidade de adotar uma nova embalagem, a A2, que custa 2,00/ unidade 
e geraria uma perda anual de 3% na armazenagem e 4% no transporte. 
A outra opção é a embalagem A3, que custa 2,50/ unidade e geraria uma perda anual de 
2% na armazenagem e 3% no transporte.
Desta maneira, qual embalagem eu devo utilizar em 2015: A1, A2 ou A3?
Resolução
Vendas 2014 = 10.000 apliques
Vendas 2015 = 11.500 apliques
 EMBALAGEM PERDA ARMAZENAGEM PERDA TRANSPORTE
TIPO QUANTIDADE CUSTO1 PERC QUANT CUSTO2 PERC QUANT CUSTO3 CTotal
A1 11.500 R$ 17.250 4% 460 R$ 690,00 5% 575 R$ 862,50 R$ 18.803
A2 11.500 R$ 23.000 3% 345 R$ 690,00 4% 460 R$ 920,00 R$ 24.610 
A3 11.500 R$ 28.750 2% 230 R$ 575,00 3% 345 R$ 862,50 R$ 30.188
A embalagem tipo A1 é a que, ainda, vai gerar menor custo total, portanto deve ser 
mantida.
154 • capít ul o 8
05. Uso de percentagem
A empresa XZT vende garrafas de óleo lubrificante, sendo o seu valor unitário R$ 2,50. A 
venda em 2014 foi de 150.000 garrafas de óleo lubrificante. Para o ano de 2015, estima-se 
uma redução de 20% das vendas. Atualmente, a empresa utiliza a embalagem B1, que custa 
0,20/ unidade. Utilizando esta embalagem, a empresa teve uma perda anual de apliques de 
4% na armazenagem e 5% no transporte. Tentando diminuir estes elevados índices, a em-
presa estuda a possibilidade de adotar uma nova embalagem, a B2, que custa 0,60/ unidade 
e geraria uma perda anual de 1% na armazenagem e 2% no transporte. 
A outra opção é a embalagem B3, que custa 0,40/ unidade e geraria uma perda anual de 
2% na armazenagem e 3% no transporte.
Desta maneira, qual embalagem eu devo utilizar em 2015: A1, A2 ou A3?
Gabarito
Vendas 2014 = 150.000 garrafas para óleo lubrificante
Vendas 2015 = 120.000 garrafas para óleo lubrificante
 EMBALAGEM PERDA ARMAZENAGEM PERDA TRANSPORTE
TIPO QUANT CUSTO1 PERC QUANT CUSTO2 PERC QUANT CUSTO3 CTOTAL
B1 120.000 R$ 24.000 4% 4.800
R$ 
960,00 5% 6.000
R$ 
1.200,00
R$ 
26.160
B2 120.000 R$ 72.000 1% 1.200
R$ 
720,00 2% 2.400
R$ 
1.440,00
R$ 
74.160
B3 120.000 R$ 48.000 2% 2.400
R$ 
960,00 3% 3.600
R$ 
1.440,00
R$ 
50.400
A embalagem tipo A1 é a que, ainda, vai gerar menor custo total, portanto deve ser 
mantida.
8.5 Otimização de sistemas de transporte
[...] Em qualquer problem a de program ação linear, o analista sem pre vai dese-
jar m axim izar (exem plo, lucro) ou m inim izar (exem plo, custo) algum a função 
das variáveis de decisão. A função a ser m axim izada (ou m in im izada) é a função 
objetivo, que é um a função linear. [...] A economia obtida e a experiência adqui-
rida pela experim entação justificam a utilização da pesquisa operacional.
capít ul o 8 • 155
Fórm ula
Maxim ize: S1 x1 + S2 x2 m Maxim ize o lucro – esta é a “função objetivo”)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Uso da fórmula
Uma fábrica de tintas distribui dois tipos de produto: 1 tinta para interiores e 1 tinta para 
exteriores. Para isso recorre a duas transportadoras, A e B, das quais possui, respectivamen-
te, 6 e 9 carros à disposição, disponibilidade essa que não pode ser reforçada. Para distribuir 
uma tonelada de tinta interior são necessários um carro de A e dois carros de B. No caso 
da tinta exterior, para distribuir uma tonelada são necessários um carro de A e dois carros 
de B. Um estudo de mercado indica que a procura de tinta interior não excede em mais de 
1 tonelada a de tinta exterior. O preço de venda da tinta interior é de R$ 30,00 por kg e o 
da tinta exterior de R$45,00 por kg. Podemos dizer que a função objetivo do problema de 
pesquisa operacional descrito é:
Resolução
Max Z = 30x1 + 45x2,
Z é o resultado esperado do lucro ou do custo, respectivamente, maximizado ou minimi-
zado; x1é a quantidade a ser transportada da tinta interior; x2 é a quantidade da tinta exterior. 
Na equação, ainda segundo a fórmula, entram R$30,00/ kg, que é o preço de venda da tinta 
interior, e R$45,00, que é o preço de venda da tinta exterior.
02. Uso da fórmula
Certa empresa distribui produtos com dois tipos de caminhões: P1 e P2. 
O lucro unitário da distribuição por P1 é de R$ 1.000 e o lucro unitário por P2 é de 
R$ 1.800. 
A empresa precisa de 20 litros de óleo combustível para utilizar P1 e de 30 litros de óleo 
combustível para utilizar P2. A quantidade disponível para isso é de 1.200 litros. 
A demanda esperada para a distribuição é de 40 pallets diários para P1 e 30 pallets 
diários para P2. Qual é a função objetivo para que a empresa maximize seu lucro nessas 
distribuições?
Resolução
Max Z = 1000x1 + 1800x2
Z é a função objetivo de maximização de lucro; x1 é a quantidade a ser distribuída de 
156 • capít ul o 8
produto com lucro unitário de R$1.000 por P1 (um dos dois tipos de caminhão); x2 é a 
quantidade a ser distribuída de produto com lucro unitário de R$1.800 por P2 (o outro tipo 
de caminhão).
03. Uso da fórmula
Baseado no texto a seguir informe a função objetivo que representa o modelo.
Uma empresa pode distribuir dois produtos (1 e 2). Na distribuição do produto 1, a em-
presa gasta seis horas-homem e vinte litros de combustível. Na distribuição do produto 2, a 
empresa gasta uma hora-homem e trinta litros de combustível. A empresa dispõe de doze 
horas-homem e noventa litros de combustível para o período de distribuição. Sabe-se que os 
lucros líquidos da distribuição dos produtos são $1 e $3 respectivamente.
Resolução
Max. Z = 1 x1 + 3 x2
04. Uso da fórmula
Qual a função objetivo do texto a seguir? 
Lucro por quilo do produto 1 = $1,00 x1= peso do produto 1 
Lucro por quilo do produto 2 = $1,00 x2= peso do produto 2 
Lucro por quilo do produto 3 = $ 2,00 x3 =peso do produto 3
Resolução
Max. Z = x1 + x2 +2 · x3
Acesso ao WEBAULA em 02/ 05/ 2015
Aplicações 
Matemáticas em 
Finanças
158 • capít ul o 9
OBJETIVOS
O aluno ao final desse capítulo deverá lograr conhecer as aplicações matemáticas em:
• risco sistemático e beta de carteiras de investimentos;
• CAPM (modelo de precificação de ativos financeiros);
• WACC (custo de capital médio ponderado) / obtenção de capital;
• modelo de dividendos;
• análise de investimentos;
• alavancagem financeira;
• medidas de liquidez, rentabilidade, estrutura de capital e de giro.
capít ul o 9 • 159
9.1 Risco sistemático e beta de carteira de 
investimentos
Tipos de risco
• Risco total do títu lo = risco não diversificável + risco diversificável
• Risco diversificável: associado às causas randôm icas, é atribuído a even-
tos específicos da em presa com o greves, processos, ações regulatórias e perdas 
de um im portan te cliente.
• Risco não diversificável (ou sistem ático): é atribuído a fatores de m ercado 
que afetam todas as em presas e não pode ser elim inado por m eio de diversifi-
cação. Fatores tais com o guerras, in flação, inciden tes in ternacionais e eventos 
políticos m otivam o risco não diversificável. Esse é o ún ico risco relevante.
1 5 10
Risco
total
No de títulos (ativos) na carteira
Risco diversificável
Risco não diversificável
Ri
sc
o
 
da
 
ca
rt
e
ir
a
 
Tk
p
15 20 25
Coeficiente beta (b):
É utilizado para medir o risco não diversificável.
Retorno de mercado
É o retorno da carteira de mercadode todos os títulos negociados.
Ex.: Índice Bovespa
160 • capít ul o 9
Fórmula
Prêmio pelo risco de uma ação = beta da ação x prêmio pelo risco de mercado
EXERCÍCIO RESOLVIDO
05. Uso de regressão linear
Uso da fórmula
Verificar, no gráfico, os betas das curvas dos ativos R e S e explicar qual dos dois é mais 
arriscado.
– 20 10 15 20 25 30 35
35
30
25 (2003)
(1998)
(2003)
(2005)
βR = inclinação = 0,80
Beta (β) derivado de dados de retorno 
(2006)
Ativo R
Ativo 
(2002)
20
15
10
5
– 15 – 10
– 10
– 15
– 20
– 25
– 5
β = 1,30
Resolução
O beta mais alto do ativo S (1,30) em relação ao do ativo R (0,80) indica que o seu 
retorno é mais sensível à mudança dos retornos de mercado. E, portanto, o ativo S é mais 
arriscado que o ativo R.
Prêmio pelo risco de mercado representa a remuneração adicional que os investidores 
esperam obter pelo fato de deterem ações ao invés de títulos de renda fixa. Esse risco de 
mercado está relacionado ao risco de uma carteira amplamente diversificada de ações onde 
não se corre riscos de problemas com uma empresa especifica, mas apenas de todo mercado.
capít ul o 9 • 161
Beta da ação
• Expressa o grau de risco de um a ação em relação a um portfólio de m erca-
do (carteira de m ercado)
• Se o retorno de um a ação flutua de form a idên tica ao retorno de m ercado 
→ beta = 1
• Se um a ação sobe ou desce 1,5% quando o m ercado sobe ou desce 1% 
→ beta = 1,5
• Um a ação pode subir ou descer m enos que o m ercado → beta < 1
06. Uso da fórmula
Calcule os betas das ações, que possuem o seguinte comportamento no mercado e 
informe qual das duas é a mais volátil:
13. Cia. XZT → a ação sobe 0,5% quando o mercado sobe e 0,5% quando o mercado 
desce.
14. Cia. MKZ → a ação sobe e desce 1,5%, quando o mercado sobe e desce.
Resolução
A ação da Cia. MKZ é a mais volátil das duas, pois possui um beta maior (1,5) quando 
comparado a um beta de 0,5 da Cia. XZT.
9.2 CAPM (modelo de precificação de ativos 
financeiros)
CAPM (capital asset price m odel) – m odelo de form ação de preço de ativo 
de capital
Fórm ula
E (Ri)= Rf + ßi [E(Rm) – Rf]
E (Ri) = retorno esperado sobre o ativo
Rf = taxa livre de risco
162 • capít ul o 9
ß i = beta do ativo i
E (Rm ) = retorno esperado sobre a carteira de m ercado. O retorno que os 
investidores esperam ganhar sobre um investim ento patrim onial, dado o ris-
co a ele ineren te, torna-se o custo do patrim ônio líquido para os gerentes da 
em presa.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
07. Uso da fórmula
Em dezembro de 2002, a Pepsi Cola Co. possuía um beta de 1,06. A taxa das Letras do 
Tesouro, à época, era 3,35% a.a. Calcule o custo do patrimônio líquido, sabendo que o retorno 
esperado para o mercado americano é de 9,76%?
Resolução
E(R) = Rf + beta do patrimônio líquido (E [Rm] – Rf)
E(R) = 3,35% + 1,06 (9,76% – 3,35%) =
= 10,15%
08. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – porcentagens
Para o caso da Pepsi Cola Co. estudado no exercício 3, calcule o custo do patrimônio 
líquido para os diversos anos, sabendo que a estrutura a termo das Letras do Tesouro é:
1º ano = 4,00% - 3º ano = 4,70%
2º ano = 4,40% - 4º ano = 5,00%
Resolução:
• 1º ano = 10,10%
• 2º ano = 10,08%
• 3º ano = 10,06%
• 4º ano = 10,04%
Carteira ótima com ativo livre de risco
• Ativo livre de risco, por definição, tem um retorno esperado que será sempre igual ao 
retorno efetivo, logo, variância zero.
• A ausência de variância (covariância = 0) implica uma correlação linear
capít ul o 9 • 163
Linha do m ercado
de capitais
Carteira eficien te de m ercado
CAPM E SML (linha de mercado de títulos)
Aceitar (TIRprojeto > kprojeto VPL > 0)
Ta
x
a
 
e
x
ig
id
a
 
de
 
re
to
rn
o
 
(%
)
Rejeitar (TIRprojeto < kprojeto VPL < 0)
Risco do Projeto
Kprojeto = R 
projeto x (K R )
A
EXERCÍCIO RESOLVIDO
09. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – porcentagens
1. Uma ação possui um beta de 1,5 com taxa livre de risco de 8% e prêmio pelo risco 
de mercado de 10,5%. Calcular o custo da ação ordinária.
2. Em dezembro de 2005, a MKZ possuía um beta de 1,05. A taxa das Letras Fi-
nanceiras do Tesouro, à época, era 16,0% a.a. Calcule o custo do patrimônio líquido, 
sabendo que o retorno esperado para o mercado é de 19,0 %?
164 • capít ul o 9
3. Para o caso estudado no exercício anterior, calcule o patrimônio líquido para os 
diversos anos, sabendo que a estrutura a termo das Letras do Tesouro é: ano 1 = 
16,25%, ano 2 = 16,5%, ano 3 = 16,75% e ano 4 = 17,0%.
4. O custo de capital próprio de uma empresa é de 11%. As ações da empresa pos-
suem beta de 1,8 e uma taxa de mercado de 8%. Calcular a taxa livre de risco que 
contemple o custo de capital próprio da empresa.
5. Calcule a taxa de mercado sabendo que o custo de capital próprio de uma empresa 
é de 16,0%, seu beta é de 1,20 e a taxa livre de risco é de 12%.
6. O custo de capital próprio de uma empresa é de 15,5%. Calcular o beta de uma 
ação sendo a taxa livre de risco de 4,5% e o prêmio por risco de mercado de 8%.
7. Suponha que o retorno sobre a carteira de ativos de mercado seja de 17%, o co-
eficiente beta seja de 1,2 e a taxa de remuneração dos títulos públicos seja de 16%. 
Pede-se: qual o retorno esperado da ação?
8. O rendimento dos títulos públicos é de 20%, uma ação média tem no mercado 
uma taxa de 25% e o beta da empresa é de 1,2. Utilizando o modelo CAPM, calcule o 
custo da ação.
9. Suponha que o retorno sobre a carteira de ativos de mercado seja de 15%, o co-
eficiente beta seja de 0,0 e a taxa de remuneração do ativo livre de risco seja de 9%. 
Pede-se: qual o retorno esperado da ação?
10. Suponha que o retorno sobre a carteira de ativos de mercado seja de 10%, o co-
eficiente beta seja de –0,2 e a taxa de remuneração dos títulos públicos seja de 6%. 
Pede-se: qual o retorno esperado da ação?
11. Uma ação possui um beta de 1,2 com taxa livre de risco de 10% e o prêmio pelo 
risco de mercado seja de 12,5%. Calcular o custo da ação ordinária.
12. A taxa livre de risco fornecida pelos assessores de investimento da empresa XZT é 
de 7%; o beta da empresa é igual a 1,50; o retorno de mercado é igual a 11%. Calcule 
o custo da ação ordinária da XZT.
capít ul o 9 • 165
13. Se o custo de patrimônio líquido de uma empresa é de 13%, seu beta é de 1,50 
e a remuneração de títulos públicos é de 7%, qual a taxa de retorno oferecida pelo 
mercado?
Gabarito
01. 11,75%
02. 19,15%
03. 19,13%, 19,12%, 19,11% e 19,10%
04. 4,25%
05. 15,33%
06. 3,14
07. 17,2%
08. 26%
09. 9%
10. 5,2%
11. 13%
12. 13%
13. 11%
9.3 WACC (Custo de capital médio 
ponderado) / Obtenção de capital
Custo de capital da em presa – WACC (weighted average cost of capital)
Intuitivam ente: é a m édia ponderada dos diversos custos em que a em presa 
incorre para se financiar.
Incluindo: custo do endividam ento é o custo que o acionista busca pelo seu 
capital de risco.
Fórm ula
WACC = Ke [E/ (E+D)] + Kd [D/ (E+D)]
166 • capít ul o 9
WACC = custo de capital m édio ponderado
Ke = custo do capital próprio
Kd = custo do endividam ento após im postos
E/(E+D) = proporção em valor de m ercado do patrim ônio líquido em relação 
ao valor do m ix total
D/(E+D) = proporção em valor de m ercado da Dívida em relação ao valor do 
m ix total
Concluindo Kb é o custo de capital de terceiros e Tc é a alíquota de Im posto 
de Renda. Assim , Kd = Kb X (1- Tc)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
10. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – porcentagens
Qual o custo de capital médio ponderado da empresa?
A empresa tem:
• custo de capital próprio = 10 %
• custo de capital de terceiros = 20%
• alíquota doIR = 40 %
• patrimônio líquido = $ 8.000.000
• dívida = $ 10.000.000
WACC = 10% X [8.000.000/ (8.000.000+10.000.000)] + 
+ 12% X {[10.000.000/ (8.000.000+ 10.000.000)] x (1 – 0,40) } = 4,44% + 4,00% = 
8,44%
11. Aplicação de operações aritméticas e expressões – Porcentagens
Calcular o custo de capital médio ponderado de uma empresa que tem a seguinte estru-
tura de capital: 50% de capital próprio e 50% em obrigações, sabendo que o custo de capital 
próprio é de 15% e o de terceiros (já descontado o IR) é de 18%.
WACC = 0,5 X 15% + 0,5 X 18% = 16,5 %
12. Exercícios (para fixação)
1. Uma empresa capta 10% de seus recursos em ações preferenciais, 40% em ações 
ordinárias e 50% em obrigações. O custo de capital próprio é de 13%, das ações 
capít ul o 9 • 167
preferenciais (quase capital de terceiros) é de 8% e de capital de terceiros é de 12%. 
Calcule o WACC.
2. Considerando o IR de 20%, calcular o custo de capital médio ponderado com base 
no exercício anterior.
3. A. M. Silva possui um custo de capital médio ponderado de 20,5%. A empresa pos-
sui uma estrutura de capital composta de 15% de ações preferenciais, 40% de dívidas 
e obrigações e o restante de ações ordinárias. Qual deverá ser o custo das ações ordi-
nárias, se o custo das preferenciais é de 22,5% e das obrigações após o IR é de 16%?
4. De acordo com a tabela abaixo, calcule o custo ponderado de capital considerando 
um IR de 35%. 
COMPOSIÇÃO CUSTO
AÇÕES PREFERENCIAIS 15% 10%
AÇÕES ORDINÁRIAS 60% 12%
OBRIGAÇÕES 25% 8%
5. O administrador financeiro da empresa de Vidros Transparentes determinou os vá-
rios custos de capital, de acordo com suas fontes e custos relativos, a saber: 
FONTES DE CAPITAL CUSTO PARTICIPAÇÃO
EMPRÉSTIMO DE LONGO PRAZO 17% 40%
AÇÕES PREFERENCIAIS 20% 10%
AÇÕES ORDINÁRIAS 22% 50%
Em vista do custo de capital e supondo-se inalterado o nível de risco, a empresa deve 
aceitar todos os projetos que obtenham um retorno maior ou igual a qual percentual?
6. Qual o custo de capital médio ponderado da pousada Porto Seguro, considerando 
o quadro abaixo?
FONTES CUSTO PROPORÇÃO
DEBÊNTURES 15% 8%
EMPRÉSTIMOS 12% 22%
AÇÕES PREFERENCIAIS 16% 30%
CAPITAL PRÓPRIO 20% 40%
168 • capít ul o 9
7. A Gama Co. possui uma estrutura de capital composta de 30% de ações ordiná-
rias, 10% de ações preferenciais e o restante em obrigações. Dado que o retorno das 
ações ordinárias é de 15%, das ações preferenciais é de 9%, qual deverá ser o retorno 
das obrigações para que o WACC seja de 16,5%? (Obs.: IR de 20%)
8. A Esperança possui uma estrutura de capital composta de 50% de ações ordiná-
rias, 5% de ações preferenciais e o restante de obrigações emitidas. Considerando 
o retorno das ações ordinárias de 15%, das preferenciais de 7%, qual deverá ser o 
retorno das obrigações para que o WACC seja de 12,5%?
9. Uma empresa financeira tem os seguintes valores estabelecidos em seu balanço 
patrimonial: dívida $ 600.000 e ações $ 100.000. Calcule os pesos da estrutura de 
capital dessa empresa.
10. Se o custo da dívida após o imposto de renda é de 10% e o custo da ação ordinária 
é de 12%, calcule o custo de capital médio ponderado do exercício anterior.
11. A empresa Puro Ar compilou a informação mostrada na tabela baixo:
FONTES DE CAPITAL VALOR CONTÁBIL $ CUSTO (%)
DÍVIDA DE LONGO PRAZO 4.100.000 6,0%
AÇÕES PREFERENCIAIS 40.000 13,0%
AÇÕES ORDINÁRIAS 1.060.000 17,0%
TOTAL 5.200.000
Calcule o custo de capital médio ponderado da empresa.
12. Com base nas seguintes informações sobre a empresa MKZ, responda qual o cus-
to de capital médio ponderado da empresa:
 a) dívidas = valor de face $ 13.000, sendo o custo da dívida de 5%
 b) ações ordinárias = $ 36.000, sendo o seu custo de 25%
 c) ações preferenciais = $ 21.000, sendo o seu custo de 30%
capít ul o 9 • 169
13. A empresa Stotani apresenta a seguinte estrutura mostrada na tabela a seguir:
FONTE DE CAPITAL VALOR DE MERCADO $ %
DÍVIDA A LONGO PRAZO 2.840.000 8,0
AÇÃO PREFERENCIAL 200.000 9,5
AÇÕES ORDINÁRIAS 2.000.000 14,0
TOTAL 5.040.000
Calcule o WACC da empresa.
14. A partir das informações da empresa TATI, calcule a sua estrutura de capital:
FONTE DE CAPITAL VALOR DE MERCADO $ CUSTO
EMPRÉSTIMOS A LONGO PRAZO 350.000 20%
AÇÕES PREFERENCIAIS 300.000 30%
AÇÕES ORDINÁRIAS 120.000 25%
15. Calcule o WACC da empresa do exercício anterior.
16. Calcular o valor do WACC da empresa Sixel que compilou a informação mostrada 
na tabela abaixo:
FONTE DE CAPITAL VALOR DE MERCADO $ %
DÍVIDA A LONGO PRAZO 3.940.000 6,0
AÇÃO PREFERENCIAL 60.000 13,0
AÇÕES ORDINÁRIAS 3.000.000 17
TOTAL 7.000.000
17. Calcular o valor do WACC da empresa do exercício anterior, considerando a alíquo-
ta de 30% de imposto de renda.
18. A Rigid Tool tem em seus livros os seguintes montantes e custos específicos (de-
pois do imposto de renda) para cada fonte de capital:
FONTES DE CAPITAL VALOR CONTÁBIL $ CUSTO ESPECÍFICO
EMPRÉSTIMOS A LONGO PRAZO 700.000 5,3%
AÇÕES PREFERENCIAIS 50.000 12,0%
AÇÕES ORDINÁRIAS 650.000 16.0%
170 • capít ul o 9
Calcule o custo de capital médio ponderado, usando pesos baseados no valor contábil 
e explique como a empresa pode usar esse custo no processo de decisões de investimento.
Gabarito
01. WACC = 10% X 8% + 40% X 13% + 50% X 12% = 12% 
02. WACC = 10% X 8% (1-20%) + 40% X 13% + 50% X 12% (1-20%) = 10,64%
03. 20,5%= 5% X 22,5% + 40% X 16% + 45% X K = 1,125 + 6,4 + 45% K
 K = 12,475/ 45% = 27,72%
04. 9,475 %
05. 19,8%
06. 16,64%
07. WACC = 30% X 15% + 10% X 9% X (1-20%) + 60% X 16,5% X (1 -20%) = 13,14%
08. 50% X 15% + 5% X 7% + 45 % X K% = 12,5%
 K = 10,33%
09. Capital próprio = 14,28%; dívida = 85,72%
10. WACC = 10,28%
11. WACC = 8,29%
12. WACC = 22,78%
13. WACC = 10,44%
14. 45,45% de empréstimos a longo prazo; 38,96% de ações preferenciais; 15,59% de 
ações ordinárias
15. 45,45% X 20% + 38,96% X 30% + 15,59% X 25% = 24,67%
16. 10,77%
17. 9,71%
18. WACC = 10,5%. A empresa deve aceitar qualquer projeto que dê retorno acima de 
10,5%.
 1.000 Perguntas de Finanças, Cláudio Maciel e Débora Vides, IOB Thompson, 2005
9.4 Modelo de dividendos
Modelo geral
Quando os investidores com pram ações, geralm ente esperam obter dois 
tipos de fluxo de caixa: os dividendos durante o período em que conservam 
as ações e o preço esperado ao final deste período. Com o este preço esperado 
é dado pelos dividendos futuros, o valor de um a ação é o valor presente dos 
capít ul o 9 • 171
dividendos até o in finito.
Fórm ula
Valor esperado da ação:
DPS
r
t
t
t
11 +( )=
=∞
∑
Modelo de crescim ento zero
Se DPS1 represen ta o m ontan te de dividendos anuais com crescim ento zero, 
en tão a equação poderia se reduzir a:
Fórm ula:
P =DPS DPS FJVPA DPS r0 1 r,n× +( ) = ×( ) ===∞∑ 1 1 1 11 / /r ttt
A equação m ostra que, com crescim ento zero, o valor da ação poderia igua-
lar-se ao valor presen te de um a perpetuidade DPS1 unidades m onetárias, des-
con tada a taxa r.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
13. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações
Espera-se que os dividendos da Denham Company permaneçam constantes a $ 3 por 
ação indefinidamente. Se o retorno exigido sobre suas ações for de 15%, o valor das ações 
será:
Resolução
$ 20 = ($ 3/ 0, 15) 
Modelo de crescimento constante
Suponha que os dividendos crescerão a uma taxa constante, g, menor que o retorno 
exigido r; onde DPS0 representa o dividendo mais recente.
Fórmula:
P = DPS g r DPS g r0 0
1 1
0
2 21 1 1 1× +( ) +( ) + × +( ) +( ) +/ / ........... /+ × +( ) +( )∞ ∞DPS g r0 1 1
172 • capít ul o 9
Se simplificarmos, a equação poderá ser escrita da forma a seguir, que é o modelo sim-
plificado de Gordon.
Fórmula:
P0 = DPS1/ r – g
Sendo DPS1 = DPS0 x (1 + g)DPS = dividendos esperados daqui a um ano = DPS0 (1 + g)
r = taxa exigida de retorno para investidores em patrimônio líquido
g = taxa de crescimento perpétua dos dividendos
14. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações
A Lomar Company pagou dividendos por ação cujo crescimento determinado pela série 
de 2009 a 2014 foi de 7%. A empresa estima que seus dividendos em 2015, DPS1, serão 
iguais a $ 1,50. Suponha que o retorno exigido, r, seja de 15 %. O valor da ação será:
Resolução
P0 = $ 1,50 / 0,15 – 0,07 = $ 18,75 por ação
15. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações
A Alfa Ltda. possui uma taxa de capital próprio de 14%. A taxa de crescimento é de 8% 
e o valor do último dividendo pago foi de $ 4,50. Calcular o preço atual da ação.
Resolução
DPS0 (1+g) / r – g = P0
$ 4,50 (1+0,08) / 0,14 – 0,08 = $ 81
16. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações e porcentagens
A empresa XZK possui ações ordinárias cotadas em $ 10; ela pagou dividendos de 
$ 0,50 por ação e estima crescimento dos dividendos de 3%; então, o custo da ação será:
capít ul o 9 • 173
Resolução
( )
=
+
−
= → =P
0,5 1 0,03
r 0,03
10 r 0,0815 ou 8,15%0
Embora o modelo de crescimento de Gordon seja uma abordagem simples e poderosa 
para avaliar o patrimônio líquido, seu uso é limitado a empresas que estejam crescendo a uma 
taxa de crescimento estável. 
Como se espera que a taxa de crescimento dos dividendos de uma empresa dure para 
sempre, também se pode esperar que as outras medições de desempenho da empresa (in-
clusive os lucros) cresçam à mesma taxa. 
Qual taxa de crescimento é razoável como uma taxa de crescimento “estável”? 
Não há limites inferiores, lógicos ou matemáticos. 
Uma taxa de crescimento estável tem que ser constante ao longo do tempo?
Taxa de
crescim ento
decrescente Taxa de crescim ento
estável
17. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações e porcentagens
Para o caso Pepsi, calcule o valor das ações hoje, supondo que o dividendo por ação para 
os próximos 4 anos será:
1º ano = $ 21,00 3º ano = $ 23,00
2º ano = $ 27,00 4º ano = $ 25,00
Resolução
Valor esperado da ação:
[$ 21 / (1+ 10,15%)1 ] + [ $ 27 / (1+10,15%)2 ] + [ $ 23 / (1+ 10,15%)3] + 
+ [$ 25 / (1+10,15%)4] = = $ 19,06 + $ 22,25 + $ 17,21 + $ 16,98 = $ 75,5
174 • capít ul o 9
Valor da empresa
Fórmula
∑ ( )+Valor da empresa=
CF da empresa
1 WACC
t
t
t variando de 1 até ∞
 CF da empresat = fluxo de caixa da empresa esperado no período t
WACC = custo de capital médio ponderado
18. Uso da fórmula
Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações e porcentagens
A Abaeté tinha em 2007 um patrimônio líquido contábil de R$ 6,4 milhões e o seu valor 
de mercado era R$ 30 milhões. O valor contábil das dívidas era R$ 9 milhões, enquanto o seu 
valor de mercado era R$ 8,9 milhões. Suponha que o custo de capital do patrimônio líquido 
era de 18,83% a.a. e o custo das dívidas antes do pagamento de impostos era de 12,28% 
a.a. Calcule o custo de capital ponderado considerando a ponderação pelo valor de mercado 
e pelo valor contábil. (a alíquota de imposto de renda é 40%)
Ponderação pelo valor de mercado
FONTE DE 
FINANCIAMENTO
VALOR DE MER-
CADO EM MIL
PESO A VALOR 
DE MERCADO
CUSTO DE 
CAPITAL
CUSTO DE 
CAPITAL APÓS 
OS IMPOSTOS
PRODUTO
DÍVIDA 8.900 22,9% 12,28%
12,28%
(1 – 0, 40) = 
7,37%
1,69%
PATRIMÔNIO 
LÍQUIDO 30.000 77,1% 18,83% 18,83% 14,52%
TOTAL 38.900
CUSTO DE CAPI-
TAL PONDERADO 16,21%
capít ul o 9 • 175
Ponderação pelo valor contábil
FONTE DE 
FINANCIAMENTO
VALOR DE MER-
CADO EM MIL
PESO A VALOR 
DE MERCADO
CUSTO DE 
CAPITAL
CUSTO DE 
CAPITAL APÓS 
OS IMPOSTOS
PRODUTO
DÍVIDA 9.000 58,4% 12,28%
12,28%
(1 – 0, 40) = 
7,37%
4,30%
PATRIMÔNIO 
LÍQUIDO 6.400 41,6% 18,83% 18,83% 7,83%
TOTAL 15.400
CUSTO DE CAPI-
TAL PONDERADO 12,13%
9.5 Análise de investimentos
Valor presen te líquido (VPL)
O valor presen te líquido é obtido subtraindo-se o investim ento in icial (II) 
do valor presen te das entradas de caixa (FCt), descontadas a um a taxa igual ao 
custo de capital da em presa (K).
Fórm ula:
∑ ( )= + −=VPL
CF
1 i
CFj j 0
j 1
n
CF é o fluxo de caixa no tem po j e no tem po 0 e i é igual à taxa de juros 
utilizada.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
19. Uso da fórmula
Seja o caso de uma empresa que possui um custo de capital de 10% e deseja aceitar um 
de dois projetos, cujos padrões são apresentados (graficamente) como padrão de fluxo de 
caixa convencional e padrão de fluxo de caixa não convencional, a seguir:
176 • capít ul o 9
- projeto (A) → anuidade
- projeto (B) → série mista
Componentes do fluxo de caixa
Padrão convencional (anuidade)
Entradas
de caixa
Saídas
de caixa
0
$ 42.000
$ 14.000 $ 14.000 $ 14.000 $ 14.000 $ 14.000
1 2 3 4 5
Padrão não convencional (série mista)
Entradas de caixa operacionais
0
$ 45.000
Investimen to inicial (II)
$ 28.000 $ 12.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000
1 2 3 4 5
Qual dos dois projetos (A) ou (B) deve ser aceito pela empresa e por qual razão?
Resolução
Cálculo dos VPLs para as alternativas de investimento:
Projeto A
Entrada de caixa anual $ 14.000
X FJVPA10%,5 3,791
Valor presente das entradas de caixa $ 53.074
- Investimento inicial 42.000
Valor presente líquido (VPL) $ 11.074
capít ul o 9 • 177
Projeto B
ANO ENTRADA DE CAIXA FJVP10%,5 VALOR PRESENTE
1 $ 28.000 0,909 $ 25.452
2 12.000 0,826 9.912
3 10.000 0,751 7.510
4 10.000 0,683 6.830
5 10.000 0,621 6.210
Valor presente das entradas de caixa $ 55.914
- investimento inicial 45.000
Valor presente líquido (VPL) $ 10.914
PELA HP 12 C 
45.000 CHS g Cfo
28.000 g CFj
12.000 g CFj
10.000 g CFj
10.000 g CFj
10.000 g CFj
10 i
f NPV
≈ 10.924
Assim, o projeto (A) deve ser aceito, por possuir um VPL maior que o do projeto (B).
Taxa interna de retorno (TIR)
A TIR é definida como a taxa de desconto que iguala o VPL do investimento a zero (já que 
o valor presente das entradas de caixa é igual ao investimento inicial).
Fórmula:
$0 = FC1
1+TIR( )t II, tal que:t=1
n
FJVPA(TIR, n) =
II
FCt
Período de payback
(simplificação para anuidade)
Concluindo:
Se o VPL for maior que zero, aceita-se 
o projeto; se for menor, rejeita-se o projeto.
Se for maior que zero, obterá um retor-
no maior que seu custo de capital.
178 • capít ul o 9
20. Uso da fórmula
Baseando-se no exercício 1 da empresa que tem o custo de capital de 10%, entrada de 
caixa anual de $ 14.000 e investimento inicial de $ 42.000, qual é taxa interna de retorno 
do investimento?
Resolução
O passo a passo para encontrar a TIR (método de tentativa e erro) é:
Passo 1: dividindo-se o II de $ 42.000 pelo FCt de $ 14.000, obtém-se um período de 
payback de 3 anos.
Passo 2: na tabela de FJVPA
 (TIR, n) , os fatores mais próximos de 3 para 5 anos são: 3,058 
para 19% e 2,991 para 20%.
Portanto, a TIR com a aproximação de 1% (aceitável) está entre 19% e 20%, estando 
bastante acima do custo de capital de 10% da empresa.
Pela HP 12 C
42.0000 CHS g CFo 
14.0000 g CFj
5 g Nj
f IRR
Período de payback
A sua principal deficiência é não se basear em fluxos de caixa descontados para verificar 
se eles adicionam valor à empresa.
É, simplesmente, um período de tempo máximo aceitável quando o projeto alcança o seu 
“ponto de equilíbrio”. 
Falha ao deixar de considerar o valor de dinheiro no tempo.
Fórmula:
PB Custos do Projeto/ Investimento
Entradas de caixa do per oodo
Concluindo:
Se a TIR for maior do que o custo de 
capital. aceita-se o projeto;se for menor, 
rejeita-se o projeto.
capít ul o 9 • 179
21. Uso da fórmula
Considerando os projetos X e Y da tabela a seguir, qual deles deve ser aceito pela em-
presa XZT, levando em conta somente o período de payback.
Cálculo dos períodos de payback para dois projetos x e y que são alternativos
PROJETO X PROJETO Y
INVESTIMENTO INICIAL $ 10.000 $ 10.000
ANO ENTRADAS DE CAIXA
1 $ 5.000 $ 3.000
2 5.000 4.000
3 1.000 3.000
4 100 4.000
5 100 3.000
Resolução
O projeto X tem investimento de $ 10.000, sendo que as entradas de caixa dos anos 1 e 
2, cada uma de $ 5.000, fazem com que o payback (período em que retorna o investimento) 
seja de exatos dois anos. 
O projeto Y, com o mesmo investimento de $ 10.000, somente terá o retorno do inves-
timento em três anos (a soma de: $ 3.000 do ano 1, $ 4.000 do ano 2 e $ 3.000 do ano 3).
O projeto X seria preferível ao Y, embora a abordagem ignore as entradas de caixa de, 
apenas $ 1.200 de X, nos anos 3, 4 e 5, contra $ 7.000 de Y nos anos 4 e 5.
22. Os presentes exercícios tratam de valor presente líquido, taxa interna de retorno 
e período de payback.
1. Utilizando a técnica do VPL, qual dentre os dois projetos A e B, a seguir, é o melhor?
O projeto A retorna uma entrada de caixa anual de $ 14.000 (utilize o fator de anuidade 
FJVPA10%,5 = 3,791) e tem investimento inicial de $ 42.000.
O projeto B tem o mesmo investimento inicial do projeto A e retorna a seguinte série 
de FCt : $ 26.000, $ 10.000, $ 10.000, $ 10.000 e $ 12.000 (utilize os fatores de valor 
presentes FJVP10%,1 = 0,909, FJVP10%,2 = 0,826, FJVP10%,3 = 0,751, FJVP10%,4 = 0,683 e 
FJVP10%,5 = 0,621).
2. (Maciel, C. e Vides, D., 1.000 Perguntas – Finanças, Rio de Janeiro, Ed. Rio; IOB Thomp-
son, 2006)
Calcule o VPL para os projetos seguintes de 20 anos e comente a aceitação de cada um, 
presumindo que o custo de oportunidade da empresa seja de 14%:
180 • capít ul o 9
2.1. Os fluxos de entrada de caixa são de $ 2.000 por ano e o investimento inicial é de 
$ 10.000
(Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.)
2.2. Os fluxos de entrada de caixa são de $ 3.000 por ano e o investimento inicial é de 
$ 25.000
(Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.)
3. (Maciel, C. e Vides, D., 1.000 Perguntas – Finanças, Rio de Janeiro, Ed. Rio; IOB Thomp-
son, 2006)
A empresa Mel está considerando uma nova máquina para misturar fragrâncias. A máqui-
na exige um investimento inicial de $ 24.000 e vai gerar fluxos de caixa de $ 5.000 ao ano, 
por 8 anos. Calcule o VPL para o custo de capital de 10%. 
(Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.)
4. Calcule o VPL do exercício anterior para o custo de capital de 12%. 
(Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.)
5. Calcule o VPL do mesmo exercício para o custo de capital de 14%.
(Use a HP12 C e registre os passos para o cálculo.)
6. A empresa XYZ tem um custo de capital de 10% e está avaliando, pelo VPL, se aceita 
ou rejeita o projeto A, cujo investimento inicial é de $ 18.000 e os FCt , para os anos 1, 2 , 3, 
4 e 5 são, respectivamente, $ 3.000, $ 4.000, $ 6.000, $ 5.000 e $ 1.000. Utilize os mesmos 
fatores de valor presente do exercício 1.
7. A mesma empresa resolveu avaliar, usando a técnica de período de payback, o projeto 
B, de mesmo investimento inicial ($ 18.000). Sabendo que está prevista uma entrada de cai-
xa anual de $ 6.000 nos próximos cinco anos, a XYZ deve aceitá-lo ou rejeitá-lo? Comente 
sua decisão.
8. Comente a decisão a ser tomada pela empresa XYZ, para aceitar um dos dois proje-
tos acima (A e B são mutuamente excludentes, isto é, aceitar um significa rejeitar o outro). 
Considere, apenas para essa questão, que as duas técnicas de avaliação empregadas sejam 
perfeitamente comparáveis.
capít ul o 9 • 181
9. Se houver interesse em continuar a avaliar somente o projeto B, utilizando a TIR (taxa 
interna de retorno), a empresa XYZ deverá aceitá-lo ou rejeitá-lo? 
Sabe-se que:
• anuidades = $ 6.000
• vida do projeto = 5 anos
• custo de capital = 10%
• fatores de anuidade FJVPA16%,5 = 3,274, FJVPA17%,5 = 3,199, FJVPA18%,5 = 3,127, 
FJVPA19%,5 = 3,058, FJVPA20%,5 = 2,991
Comente sua decisão, aceitando a aproximação de 1% na taxa de retorno.
10. (Gitman, J., Princípios de Administração Financeira, São Paulo, Harbra, 2000) – Adap-
tado de:
A Fitch Industries está em um processo de escolha do melhor, dentre dois projetos – M 
e N – de investimento mutuamente excludentes. Os fluxos de caixa relevantes para cada 
projeto são apresentados a seguir. O custo de capital da empresa é de 14%.
 Projeto M Projeto N
Investimento Inicial (II) $ 28.500 $ 30.000
Ano (t) Entradas de caixa (FCt)
1 $ 10.000 $ 11.000
2 $ 10.000 $ 10.000
3 $ 10.000 $ 9.000 
4 $ 10.000 $ 8.000
10.1. Calcule o período de payback para cada projeto.
10.2. Calcule o VPL (valor presente líquido) para cada projeto.
10.3. Calcule a TIR (taxa interna de retorno) para cada projeto.
Obs.: utilize no cálculo os fatores de valor presente FJVP14%,1 = 0,877; FJVP14%,2 = 
0,769; FJVP14%,3 = 0,675; FJVP14%,4 = 0,592; e os fatores de anuidade FJVPA16%,4 = 2,798; 
FJVPA15%,4 = 2,855; FJVPA14%,4 = 2,914; FJVPA13%,4 = 2,974; FJVPA12%,4 = 3,037
11. Faça um resumo das preferências determinadas, de acordo com cada técnica e indique 
qual projeto (M ou N) você recomendaria. Explique por quê.
12. (Gitman, J., Princípios de Administração Financeira, São Paulo, Harbra, 2000) – Adap-
tado de:
Calcule o valor presente líquido para os seguintes projetos, que têm vidas de vinte anos. 
182 • capít ul o 9
Comente a aceitabilidade de cada um deles. 
Suponha que a empresa tenha um custo de oportunidade de 14%.
a) Investimento inicial de $ 10.000; entradas de caixa de $ 2.000 ao ano
b) Investimento inicial de $ 25.000; entradas de caixa de $ 3.000 ao ano
c) Investimento inicial de $ 30.000; entradas de caixa de $ 5.000 ao ano
Obs.: utilize no cálculo o fator de anuidade FJVPA14%,20 = 6,623
13. (Gitman, J., Princípios de Administração Financeira, São Paulo, Harbra, 2000) – Adap-
tado de: 
A Neil Corporation tem três projetos em análise. Seus fluxos de caixa são apresentados 
no quadro a seguir. A empresa tem um custo de capital de 14%.
 Projeto A Projeto B Projeto C
Investimento Inicial $ 40.000 $ 40.000 $ 40.000
Ano (t) Entradas de caixa
1 $ 13.000 $ 7.000 $ 19.000
2 13.000 10.000 16.000
3 13.000 13.000 13.000
4 13.000 16.000 10.000
5 13.000 19.000 7.000
a) Calcule o período de payback para cada projeto. Qual deles é o preferido de acordo 
com esse método?
b) Calcule o valor presente líquido para cada projeto. Qual deles é o preferido de acor-
do com esse método?
c) Comente os resultados obtidos em a e b e faça a recomendação do melhor projeto. 
Explique a sua escolha.
Obs.: Utilize no cálculo os fatores de valor presente FJVP14%,1 = 0,877; FJVP14%,2 = 
0,769; FJVP14%,3 = 0,675; FJVP14%,4 = 0,592; FJVP14%,5 = 0,519; e o fator de anuidade 
FJVPA14%,5 = 3.433
Resolução
01. O projeto B é o melhor.
2.1 $ 3.246. O VPL é positivo; portanto, aceita-se o projeto. Os passos para o cálculo 
são: 10.000 CHS g CF0; 2.000 g CFj; 20 g Nj; 14 i; f NPV.
2.2 -$ 5.130. O VPL é negativo; portanto, rejeita-se o projeto. Os passos para o cálculo 
capít ul o 9 • 183
são: 25.000 CHS g CF0; 3.000 g CFj; 20 g Nj; 14 i; f NPV.
02. $ 3.947. Os passos para o cálculo são: 24.000 CHS g CF0; 5.000 g CFj; 8 g Nj; 10 
i; f NPV.
03. $ 1.920. Os passos para o cálculo são: 24.000 CHS g CF0; 5.000 g CFj; 8 g Nj; 12 
i; f NPV.
04. $ 117. Os passos para o cálculo são: 24.000 CHS g CF0; 5.000 g CFj; 8 g Nj; 14 
i; f NPV.
05. Rejeitar A.
06. Aceitar A. O período de payback não leva em conta os fluxos de caixa descontados.
07. O VPL é uma técnica mais confiável,pois leva em conta os fluxos de caixa des-
contados.
08. Aceitar B. O projeto dá retorno entre 19% e 20%, que são taxas muito maiores que 
o custo de capital da empresa (10%).
09. 1.1. 2,85 anos para o projeto M e 3 anos para o projeto N; 1.2. $ 640 para o pro-
jeto M e -$ 1.852 para o projeto N; 1.3. ≈15% para o projeto M e entre 12% e 13% 
para o projeto N.
10. Por qualquer uma das técnicas empregadas, o projeto M é o melhor.
 10.1. $ 3.246; b) -$ 5.131; c) $ 3.115
 10.2. projeto C; b) projeto C; c) Em ambas as técnicas, o projeto C resultou me-
lhor; esse é um caso em que o apelo intuitivo do período de payback, resultando como 
critério simplificado e básico de decisão, traria bons resultados como complemento a 
técnicas de decisão mais sofisticadas (por exemplo: o valor presente líquido).
9.6 Alavancagem financeira
(de J. Gitm an, Princípios de Adm inistração Financeira, Harbra Edit.)
A alavancagem financeira resulta da presença de encargos financeiros fi-
xos no fluxo de lucros da em presa. Pode-se definir a alavancagem financeira 
com o a capacidade da em presa para usar encargos financeiros fixos a fim de 
m axim izar os efeitos de variações no lucro antes dos juros e im postos (LAJIR) 
sobre os lucros por ação (LPA) da em presa. Os dois encargos financeiros fixos 
que podem ser encon trados na dem onstração do resultado são (1) juros sobre 
em préstim os e (2) dividendos de ações preferenciais. Esses encargos devem ser 
184 • capít ul o 9
pagos independen tem ente do m ontante de LAJIR dispon ível para pagá-los. O 
exercício a seguir ilustra com o funciona a alavancagem financeira.
Alavancagem financeira
A capacidade da empresa para usar encargos financeiros fixos a fim de maximizar 
os efeitos de variações no lucro antes dos juros e impostos (LAJIR) sobre os lucros por 
ação (LPA) da empresa.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
23. Aplicação da demonstração de resultado
A Chen Foods, uma pequena empresa de comida chinesa, espera lucros antes dos juros 
e impostos de $ 10.000 no ano corrente. Ela tem um título de dívida de $ 20.000 com uma 
taxa de juros anuais do cupom de 10% e 600 ações preferenciais em circulação, com $ 4 de 
dividendo anual por ação. Possui ainda 1.000 ações ordinárias em circulação. Os juros anuais 
sobre a emissão de títulos são de $ 2.000 (0,10X$ 20.000). Os dividendos anuais sobre as 
ações preferenciais são de $ 2.400 ($ 4,00/ ação X 600 ações). O quadro 1 apresenta os 
lucros por ação correspondentes aos níveis de lucros antes dos juros e impostos de $ 6.000, 
$ 10.000 a $ 14.000, supondo que a empresa esteja na faixa de 40% de imposto de renda. 
Duas situações são ilustradas no quadro.
Caso 1 – Um aumento de 40% no LAJIR (de R$ 10.000 para $ 14.000) resulta num 
acréscimo de 100% nos lucros por ação (de R$ 2,40 para $ 4,80).
Caso 2 – Uma queda de 40% no LAJIR (de $ 10.000 para $ 6.000) resulta num decrés-
cimo de 100% nos lucros por ação (de $ 2,40 para $ 0).
Resolução
LPA para vários níveis de LAJIR
 Caso 2 Caso 1
 – 40% + 40%
LAJIR $ 6.000 $ 10.000 $ 14.000
Menos: juros (J) 2.000 2.000 2.000
capít ul o 9 • 185
Lucro antes do imposto de 
renda
Menos: imposto de renda 
(T= 0,40)
 4.000
 1.600
$ 8.000
3.200
$ 12.000
4.800
Lucro líquido depois do 
imposto de renda 
Menos: dividendos de ações 
preferenciais (DP) 
$ 2.400
$ 2.400
$ 0
$ 4.800
$ 2.400
$ 7.200
$ 2.400
Lucro disponível para acio-
nistas (LAC) $ 0 $ 2.400 $ 4.800
Lucro por ação (LPA) 1.000 = $ 
0
$ 2.400
 1.000 = $ 
2,40
$ 4.800
 1.000 = $ 4,80
-100% + 100%
Gitman, J – Princípios de Administração Financeira, Harbra, SP, 2007.
O efeito da alavancagem financeira é tal que um aumento do LAJIR da empresa acarreta 
um aumento mais do que proporcional nos lucros por ação, enquanto uma queda no LAJIR 
da empresa resulta num decréscimo mais do que proporcional no LPA.
Medição do grau de alavancagem financeira
O grau de alavancagem financeira (GAF) é a medida numérica da alavancagem financei-
ra da empresa. A seguinte equação representa uma forma alternativa de medir o GAF.
Fórmula:
=GAF Variação percentual no LPA
Variação percentual no LAJIR
Sempre que a variação percentual no LPA resultante de uma dada variação no LAJIR for 
maior que a variação percentual no LAJIR, verifica-se a existência de alavancagem financei-
ra. Isso significa que, sempre que o GAF for superior a 1, há alavancagem financeira.