MATERIAL DIDÁTICO

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Bons estudos!
Revisão de Funções 
e Gráficos
10 • capít ul o 1
OBJETIVOS
• Compreender o que é uma função matemática;
• Reconhecer uma função do primeiro grau;
• Realizar cálculos de valores de função de primeiro grau e determinar sua raiz e intercepto;
• Esboçar e interpretar gráficos de funções do primeiro grau;
• Aplicar o conhecimento sobre função do primeiro grau em situações práticas do cotidiano.
capít ul o 1• 11
1.1 Conceito
Em nosso cotidiano, m esm o sem perceber, estam os envolvidos por diversos ti-
pos de funções. A relação existen te, por exem plo, entre o consum o de água em 
nossa casa e o valor que irem os pagar, o tem po para cum prir um trajeto e a ve-
locidade desenvolvida, a quantidade de açúcar para adoçar certa quantidade de 
suco, a quantidade de itens com prados e o valor a ser pago, en tre tan tas outras 
situações em que há a relação entre duas (ou m ais) grandezas, que cham are-
m os de variáveis.
Para m uitos profissionais, determ inadas variáveis necessitam ser analisa-
das com certa precisão. Considere, por exemplo, a quan tidade de itens produ-
zidos que determ ina o custo total envolvido nessa produção; a receita total ob-
tida com a venda de um a utilidade que depende da quan tidade vendida; o lucro 
com a venda de certa utilidade que, entre outras coisas, depende tam bém da 
quantidade vendida; o volum e de vendas (dem anda) tem relação com o preço 
praticado; a quan tidade ofertada de certo produto, no m ercado, relaciona-se 
com o preço desse produto. 
É lógico que tais relações não são exclusivas. Por exem plo, a quan tidade 
ofertada de certo produto, no m ercado, tem relação com o preço que está sendo 
praticado, m as tam bém depende de outras variáveis tais com o a taxa de juros 
vigente, a quantidade de parcelas praticado nos financiam entos para aquisição 
desse produto, os preços dos produtos sim ilares concorrentes, en tre tan tas ou-
tras. No en tanto, conhecer individualm ente cada um a das relações entre a vari-
ável de in teresse volum e de vendas e as variáveis que, de certa form a, provocam 
alteração de seus valores é im prescindível para se ter in form ações im portan tes 
sobre a variável de in teresse.
CONEXÃO
Um vídeo interessante sobre aplicações de funções está disponível no endereço:<http:/ /
revistaescola.abril.com.br/ matematica/ pratica-pedagogica/ vide-funcao-afim-resolucao- 
problemas-604921.shtml> .
Ele apresenta a experiência de uma professora do ensino fundamental que trabalhou 
com seus alunos aplicações de um tipo específico de função: a função afim. Vale a pena con-
ferir, pois nele são apresentados alguns procedimentos que faremos no estudo de funções.
12 • capít ul o 1
Neste capítulo estudarem os um tipo de função que conhecem os por função 
do prim eiro grau. É um a das form as m ais elem entares de função que existe, 
m as que possui um a infin idade de aplicações.
1.2 Domínio
Um a ideia intuitiva de função que podemos ter é a de uma “m áquina” que pro-
duz um valor y quando nela inserim os um valor x. Há um a “transform ação” da 
variável x para a produção da variável y. E isso acontece através de uma fórm ula 
m atem ática que relaciona valores de dois conjuntos.
Considere dois con juntos A e B. Um a função m atem ática en tre A e B, nes-
sa ordem, é um a relação que associa a cada um dos elem entos de A um ún ico 
elem ento de B. Há um a infin idade de tipos de função. Neste capítulo, estuda-
rem os a função de prim eiro grau, que é aquela que pode ser escrita na form a:
y ax b f x ax b= + ( ) = + ou 
em que a e b são valores reais quaisquer, com a ≠ 0.
A letra a é denom inada de coeficien te an gular (ou de inclinação) da função. 
Com o o gráfico da função de prim eiro grau é sem pre um a reta, en tão o valor de 
a determ ina se ela será crescen te (a > 0) ou decrescen te (a < 0). A letra b é o co-
eficien te angular (ou in tercepto) da função e determ ina o pon to no qual a reta 
(gráfico da função de prim eiro grau) cruza com o eixo vertical (que é tam bém 
conhecido por eixo y).
O con jun to de valores x num a função é denom inado domínio da função e 
denotado por D(f). Já os valores de y que são relacionados aos valores do do-
m ínio constituem um con jun to denom inado imagem da função, denotado por 
Im(f).
O coeficiente da variável x numa função de primeiro grau não pode assumir valor zero 
porque, se isso acontecer, a função deixa de ser de primeiro grau para tornar-se uma 
função constante (aquela cujo valor não varia mesmo quando alteramos o valor de x).
capít ul o 1• 13
É com um utilizarm os as letras x e y para represen tar as variáveis em um a 
função m atem ática. No entan to, podem os utilizar as letras que quiserm os. 
Quando, por exem plo, relacionam os o custo de produção de determ inada utili-
dade com a sua quantidade produzida, utilizam os as letras C e q para represen-
tar tais variáveis.
Vam os ver, in icialm ente, dois exem plos de funções do prim eiro grau, cal-
culando alguns de seus valores e construindo seus gráficos. Mais adiante, vere-
m os algum as aplicações.
1.3 Funções lineares e não lineares
EXEMPLO
Considere a função f x x( ) = +2 3 .
Vamos determinar alguns de seus valores a partir dos seguintes valores de x: –2, –1, 0, 
1, 2 e 3.
• Se x = –2, então f −( ) = ⋅ −( ) + = − + = −2 2 2 3 4 3 1.
• Se x = –1, então f −( ) = ⋅ −( ) + = − + =1 2 1 3 2 3 1.
• Se x = 0, então f 0 2 0 3 0 3 3( ) = ⋅ + = + = .
• Se x = 1, então f 1 2 1 3 2 3 5( ) = ⋅ + = + = .
• Se x = 2, então f 2 2 2 3 4 3 7( ) = ⋅ + = + = .
• Se x = 3, então f 3 2 3 3 6 3 9( ) = ⋅ + = + = .
Podemos apresentar os resultados numa tabela:
X F(X)
–2 –1
–1 1
0 3
1 5
2 7
3 9
Tabela 1.3 – Valores da função f(x) = 2x + 3.
14 • capít ul o 1
Note que os valores de x que escolhemos estão variando de uma em uma unidade. Já 
os valores calculados de y variam de duas em duas. Isso já era esperado, pois o coeficiente 
angular (a) da função dada é igual a 2. Ele determina qual será a variação de y cada vez que x 
aumenta uma unidade.
Os valores da tabela representam apenas alguns pontos da função f(x) = 2x + 3 (ou 
y = 2x + 3). Existem outros infinitos, mas eles já são suficientes para que possamos verificar 
o comportamento do gráfico dessa função. Na verdade, como o gráfico de uma função é uma 
reta, apenas dois dos pontos acima seriam suficientes.
É comum indicar os pontos de uma função através de pares ordenados (x, y). No caso 
dos valores calculados para a função desse exemplo (tabela 1.3), temos os seguintes pares 
ordenados: (–2, –1), (–1,1), (0,3), (1,5), (2,7) e (3,9).
1.3.1 Função quadrática e representação gráfica 
1.3.1.1 Introdução
Vam os iniciar nosso estudo sobre função do segundo grau m ostrando um a si-
tuação que exem plifica bem o surgim ento desse tipo de função, a partir de um a 
função de prim eiro grau em que a variável independen te x é função de outra 
variável.
EXEMPLO
O proprietário de um restaurante que comercializa somente pratos executivos, todos com 
o mesmo preço, resolveu realizar um estudo sobre a receita diária do estabelecimento e 
como o volume de vendas varia em função do preço praticado. Para isso, realizou, durante 
longo período, um levantamento comparando a quantidade x de pratos vendidos diariamente 
e o preço p cobrado por unidade. Chegou, assim, ao seguinte modelo:
x = 100 – 2p
Notou, então, que, para cada real aumentado no preço da refeição, há uma redução de 
2 unidades na quantidade vendida (pois o coeficiente angular da função é –2). Esse modelo 
obtido permite também outras conclusões. Veja como ele pode influenciar a receita diária do 
restaurante.
capít ul o 1• 15
Como vimos em um dos exemplos do capítulo anterior, a função que fornece a receita 
total y de uma utilidade em relação à quantidadecomercializada x tem a forma:
y = p · 2p
em que p é o preço unitário de venda.
Se o preço p for fixo, a função receita total é considerada de primeiro grau e seu valor 
cresce indefinidamente à medida que a quantidade x aumenta. No entanto, no caso desse 
restaurante, temos a informação de que a quantidade vendida está diretamente relacionada 
com o preço unitário através da relação:
x = 100 – 2p
Da mesma forma que podemos escrever x em função de p, podemos fazer o inverso: 
escrever p em função de x. Para isso, basta isolar p na função x = 100 – 2p:
x p
p x
p x
p x
= −
= −
=
−
= −
100 2
2 100
100
2
50 0 5,
Substituindo a expressão p = 50 – 0,5 x na função receita total, temos:
y x x
p
= −( ) ⋅50 0 5,
Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever:
y = 50 x – 0,5 x2
Note que o formato da função obtida difere daquele que vimos quando estudamos as 
funções de primeiro grau. Temos, agora, uma função de segundo grau (pois a variável indepen-
dente aparece elevada à potência 2).
Vamos estudar algumas das características dessas funções. Podemos determinar, entre 
outras coisas, qual deve ser a quantidade comercializada para que o valor da receita seja 
máximo. Você pode pensar assim: quanto maior a quantidade vendida, maior será o valor re-
cebido (receita). Mas não podemos nos esquecer que, agora, para que a quantidade vendida 
aumente, o preço deve baixar. E se o preço for muito baixo, mesmo com uma quantidade 
grande, a receita pode parar de crescer. É isso que acontece em casos como o deste exem-
plo.
16 • capít ul o 1
Mais adiante, após estudarmos as características de uma função de segundo grau, reto-
maremos este exemplo para determinar “qual é a melhor relação preço versus quantidade para 
que a receita seja a maior possível”.
1.3.2 A função de segundo grau: definição e exemplos
Toda função que relaciona elem entos de A e B (x ∈ A e y ∈ B), nessa ordem , é 
um a função de A em B se puder ser escrita na form a:
y = f(x) = ax2 + bx + c
em que a, b e c são valores reais, com a ≠ 0. 
EXEMPLO
São exemplos de funções do segundo grau:
a) f (x) = x2 – 6 x + 5, em que a = 1, b = – 6, c = 5;
b) g (x) = – x2 + 4x – 3, em que a = – 1, b = 4, c = – 3;
c) y = – 5x2 + 2x, em que a = – 5, b = 2, c = 0;
d) h (x) = x2 + 7, em que a = 1, b = 0, c = 7;
e) f (x) = 2 – 5 x + 3x2, em que a = 3, b = – 5, c = 2;
f) y + 2x2 + x = 9, que pode ser escrita na forma y = – 2x2 – x + 9, em que a = – 2, 
 b = –1, c = 9.
capít ul o 1• 17
1.4 Funções crescentes e decrescentes
Associando cada valor de x a seu respectivo valor y (da tabela 1.3 – Valores da 
função f(x) = 2x + 3), no gráfico, tem os:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1(–1, 1)
0
0–3 –2 –1
–1
–2
(–2 –)1
1 2 3 4
(0, 3)
(1, 5)
(2, 7)
(3, 9)
Figura 1 – Localização dos pontos da tabela 1.3.
Na figura, apenas os pon tos que calculamos é que foram inseridos no gráfi-
co. Apenas para facilitar os cálculos e a localização dos pontos, escolhem os va-
lores in teiros para a variável x. Contudo, o dom ín io de um a função do prim eiro 
grau com preende todos os núm eros reais. Se escolherm os, por exem plo, m ais 
valores de x en tre 1 e 2, tais com o: 1,1; 1,2; 1,3 etc., ou refinando ainda m ais: 
1,01; 1,02; 1,03 etc, irem os preenchendo o espaço en tre os pontos (1,5) e (2,7). 
18 • capít ul o 1
O m esmo acontece com relação aos outros pontos e em toda a extensão do do-
m ínio da função. Por isso, após localizarm os os pon tos calculados, podem os 
ligá-los através de segm entos de reta.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0–3 –2
–2
–1
–1
1 2 3 4
Figura 2 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.3.
Note que, no gráfico, a reta é crescente (à medida que x cresce, y tam bém 
cresce) e a taxa de crescim ento é de 2 unidades em y para cada un idade em x. 
Essa taxa de crescim ento é determ inada pelo coeficiente angular (ou de inclina-
ção) da função. Outro ponto notável é o in tercepto (ou coeficien te linear), que 
no caso da função abordada é o 3. Ele determ ina onde o gráfico irá in terceptar 
o eixo y.
capít ul o 1• 19
Em bora a representação do gráfico da função f(x) = 2x + 3 da figura 2 lim ite-
se ao dom ín io (valor de x) de –2 a 3, poderíam os expandi-la in finitam ente tan to 
para valores m aiores quanto para valores menores que os considerados na ta-
bela 1.3. Representam os a função de form a fin ita, m as não podem os esquecer 
que ela é in fin ita.
Vejamos, agora, um exemplo em que o coeficiente angular é negativo.
EXEMPLO
Considere, agora, a função f(x) = – 2x + 3.
Vamos determinar, como no exemplo anterior, alguns de seus valores a partir dos seguin-
tes valores de x: –2, –1, 0, 1, 2 e 3.
• Se x = –2, então f(–2) = – 2 · (–2) + 3 = 4 + 3 = 7.
• Se x = –1, então f(–1) = – 2 · (– 1) + 3 = 2 + 3 = 5.
• Se x = 0, então f(0) = – 2 · 0 + 3 = 0 + 3 = 3.
• Se x = 1, então f(1) = – 2 · 1 + 3 = – 2 + 3 = 1.
• Se x = 2, então f(2) = – 2 · 2 + 3 = – 4 + 3 – 1.
• Se x = 3, então f(3) = – 2 · 3 + 3 = – 6 + 3 = – 3.
Resumindo os resultados numa tabela, temos:
X F(X)
–2 7
–1 5
0 3
1 1
2 –1
3 –3
Tabela 1.4 – Valores da função f(x) = –2x + 3. 
20 • capít ul o 1
Nesse caso também, os valores de x escolhidos estão aumentando de uma em uma 
unidade, mas os valores calculados de y, ao contrário do exemplo anterior, estão diminuindo 
de duas em duas. Isso porque o coeficiente angular (a) da função considerada é igual a –2. 
O intercepto, por sua vez, é o mesmo.
A partir dos valores calculados, podemos construir o gráfico da função:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
0 1 2 3 4
Figura 3 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.4.
Nos dois exemplos dados, é possível perceber que, quando a > 0, a função é crescente 
e quando a < 0, a função é decrescente.
capít ul o 1• 21
1.5 Pontos de máximo e mínimo
1.5.1 Gráfico da função de segundo grau: a parábola
O gráfico de qualquer função de segundo grau tem o form ato de um a parábola, 
com concavidade que pode estar voltada para cim a ou para baixo, conform e o 
sinal do coeficiente da variável x2. Veja:
Vértice
Vértice
Se a > 0, a concavidade é voltada
para cima.
Se a < 0, a concavidade é voltada
para baixo.
Figura 4 – Concavidade e vértice da parábola.
Portanto, dada a função, já podem os prever sua concavidade. No en tan to, é 
preciso ter m ais inform ações para poder esboçar seu gráfico. 
O vértice da parábola é o seu pon to m ais baixo (quando a concavidade é 
voltada para cim a) ou o ponto m ais alto (quando a concavidade é voltada para 
baixo). Outra in form ação im portan te é a sim etria que a parábola possui com 
relação ao eixo vertical que passa sobre seu vértice. 
Veja a figura.
Vértice
Figura 5 – Simetria da parábola.
22 • capít ul o 1
Se traçarm os um a linha horizontal que cruze a parábola em dois pontos, o 
segm ento determ inado por um desses pon tos e a in tersecção dessa linha com 
o eixo vertical têm a m esm a m edida que o segmento determ inado por essa in-
terseção e o outro ponto de cruzam ento da linha horizontal com a parábola. 
Para com preender m elhor, considere que o eixo vertical da figura 5 é um a 
dobra que você pode realizar. As linhas que determ inam os dois lados da m es-
m a parábola vão coincidir após a dobra.
Já temos algum as in form ações in teressantes que nos auxiliarão no gráfico 
da função de segundo grau. Mas, ainda, há pontos im portan tes que devem ser 
determ inados através de cálculos: as raízes, o intercepto e o próprio vértice.
Assim com o acontece com a função do primeiro grau, para calcularm os asraízes da função de segundo grau (se elas existirem ), devem os igualar a função 
y a zero e resolver a equação resultan te. Contudo, essa resolução não é, geral-
m ente, tão sim ples com o ocorre com as funções lineares. Só para relem brar, 
as raízes (soluções) de um a equação de segundo grau, da form a ax2 + bx + c = 0 
podem ser dadas pela fórm ula de Bhaskara:
x
b raiz ac
a
=
− ± − de b2 4
2
em que ∆ = b2 – 4ac.
1.6 Estudo do sinal de funções elementares 
e suas aplicações
1.6.1 Intercepto
O in tercepto de um a função y = f(x) é sem pre o valor que y assum e quando a 
variável x é igual a zero. No caso geral da função de segundo grau, quando x = 0, 
tem os:
f(0) = a · 02 + b · 0 + c
f(0) = 0 + 0 + c
f(0) = c
Portanto, o intercepto de um a função de segundo grau é sem pre (0,c).
capít ul o 1• 23
1.6.2 Vértice da parábola
Como já vim os, o vértice está no eixo de simetria da parábola. En tão, sua coor-
denada x pode ser obtida calculando-se a m édia entre as raízes (se elas existi-
rem ). Mas há casos em que elas não existem e tem os que recorrer a outro tipo 
de cálculo. Portanto, para facilitar, podem os utilizar as fórm ulas abaixo para 
determ inar as coordenadas x e y do vértice, que denotarem os, respectivam ente, 
por x
v
 e y
v
:
x
b
av
=−
2
y
av
=−
∆
4
A coordenada y
v
 representa o valor máximo ou mínimo da função, con-
forme a concavidade seja voltada, respectivamente, para baixo ou para cima. 
Consequentemente, a coordenada x
v
 é o valor que atribuímos à variável indepen-
dente x para que obtenhamos o valor máximo ou mínimo da função.
CONEXÃO
No endereço:<http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 10956> , você irá en-
contrar um aplicativo que realiza uma simulação interativa com gráficos de funções do pri-
meiro e do segundo grau. Vale a pena conferir, pois através desse aplicativo, você poderá 
compreender melhor o papel de cada coeficiente nesses tipos de função.
1.6.3 Exemplos de gráficos
Agora vam os aplicar as fórm ulas vistas na construção de alguns exem plos de 
gráficos de funções quadráticas.
24 • capít ul o 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Esboce o gráfico da função y = x2 – 4x – 5 , identificando (e calculando) as raízes (se 
existirem), o intercepto e o vértice.
Resolução
Temos a = 1, b = –4 e c = –5. Como a > 0, então concluímos que a parábola tem con-
cavidade voltada para cima.
O intercepto é o ponto (0, c), isto é, (0,–5).
As raízes são calculadas igualando-se y a zero e resolvendo a equação resultante:
y x x= ⇒ − − =0 4 5 02
Temos:
∆
∆
∆
∆
= −
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
= +
=
b ac2
2
4
4 4 1 5
16 20
36
Como o valor do discriminante ∆ é positivo, então concluímos que a função possui duas 
raízes reais distintas. Vamos calculá-las utilizando a fórmula de Bhaskara:
x
b
a
x
x
x
x
=
− ±
=
− −( ) ±
⋅
=
±
= =
=
−
= −
∆
2
4 36
2 1
4 6
2
10
2
5
2
2
1
1
3
 
Portanto, as raízes são 5 e –1.
Quando obtemos as raízes de uma função quadrática, como no exemplo em que elas 
são –1 e 5, significa que determinamos os pontos (–1,0) e (5,0), e não o ponto (–1,5). 
Não se esqueça de que, para obtê-las, igualamos a função (y) a zero e elas indicam 
onde ocorrem as interseções do gráfico com o eixo x. Portanto, de forma geral, consi-
derando que uma função tenha as raízes x1 e x2, os pontos por elas determinados são 
(x1,0) e (x2,0).
capít ul o 1• 25
As coordenadas do vértice são:
x
b
av
= − = −
−
⋅
= −
−
= − − =
2
4
2 1
4
2
2 2( )
e
y
av
= − = −
⋅
= − = −
∆
4
36
4 1
36
4
9
Logo, o vértice é o ponto (2,–9).
Com essas informações, podemos construir o gráfico.
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0–3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
x
26 • capít ul o 1
Limites
28 • capít ul o 2
OBJETIVOS
Um dos objetivos deste capítulo é introduzir o conceito e cálculo do limite de uma função. 
Ao ler este capítulo e resolver todos os exercícios, o aluno terá compreendido o conceito de 
limite e estará pronto para adentrar a segunda parte deste capítulo, que tratará da função 
derivada.
O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância está no fato de 
conhecê-lo para poder compreender a definição e o cálculo da função derivada.
A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto 
é, sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – 
y). Como a próxima unidade nos apresentará a derivada como sendo um limite do coeficiente 
angular, então devemos, agora, conhecer mais de perto o limite de funções.
Ao final deste capítulo, depois da leitura e da resolução dos exercícios (resolvidos e pro-
postos), o aluno terá aprendido:
• a noção e o conceito de limite de uma função;
• a calcular o valor do limite de uma função num ponto qualquer;
• a diferença conceitual entre o valor da função e o valor do limite num ponto.
capít ul o 2 • 29
2.1 Introdução ao Limite
2.1.1 O conceito intuitivo de limite
O lim ite de um a fun ção n um determ in ado valor de x, isto é, o lim 
x → x0
 f(x) é 
defin ido com o aquele valor que a fun ção assum e n as vizin h an ças de x = x0. 
Note que o lim 
x → x0
 f(x) está relacionado aos valores que a função assum e 
nas vizinhanças de x0, m as não necessariamente em x0. A função pode até não 
ser definida em x = x0 (x0 fora do dom ínio da função), m as o lim ite poderá existir.
Separem os, pois, os dois principais casos de cálculo do lim ite: o de funções 
con tínuas e o de descon tínuas, conform e segue.
2.1.2 Funções contínuas
O valor do lim ite de um a função, quando x tende para um valor x0 confunde-se 
com o valor da função f(x0)) no pon to x = x0, se a função f(x) for contínua no pon-
to x = x0, isto é, se f(x) for definida neste ponto.
Desta form a, se f(x) é con tín ua em x = x0, então: 
lim 
x→ x0
 f(x0)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontrar o lim
x→ 2(3x – 1).
Resolução
Vamos calcular os valores que f(x) = 3x – 1 assume nas vizinhanças de x = 2. As duas 
próximas tabelas apresentam resultados suficientes para que possamos verificar o compor-
tamento da função f(x) nas vizinhanças de x = 2.
X Y = 3X – 1
–1 –4,00000
0 –1,00000
1 2,00000
1,5 3,50000
1,6 3,80000
1,9 4,70000
1,99 4,97000
1,999 4,99700
1,9999 4,99970
1,99999 4,99997
X Y = 3X – 1
5 14,00000
4 11,00000
3 8,00000
2,5 6,50000
2,2 5,60000
2,1 5,30000
2,01 5,03000
2,001 5,00300
2,0001 5,00030
2,00001 5,00003
30 • capít ul o 2
Podemos observar que a função assume valores m uito próxim os de 5,0 n as vizinhan-
ças à esquerda de x = 2.
Tomemos, agora, as vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos observar, também, que a função assume valores m uito próxim os de 5,0 nas 
vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos dizer, então, que o limite de f(x) quando x tende para 2 é 5, isto é, lim
x→ 2(3x – 
1) = 5.
Nesse caso, o valor do limite da função quando x tende para 2 se confunde com o valor 
da função. Eles são iguais, pois a função é contínua em x = 2.
Desta forma: lim
x → 2(3x – 1) = f(2) = 5.
Para que exista o limite de uma função com x tendendo a certo valor x0, é necessário que 
esta função esteja tendendo ao mesmo valor conforme x se aproxima de x0, tanto pela 
esquerda como pela direita (tanto por valores menores que x0 como por valores maiores 
que x0).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Vamos calcular os limites a seguir, apenas efetuando a substituição do valor mencio-
nado para x. Até o item (q), é possível determinar os valores dos limites dessa forma, pois 
todas as funções apresentadas são contínuas para x = x0. No entanto, no item (r) isso não 
ocorre.Vejamos:
a) lim
x→ 1 (3x – 4)
lim
x→ 1 (3x – 4) = f(1) = –1
b) lim
x→ –2 (3x – 4)
lim
x→ –2 (3x – 4) = f(–2) = –10
c) lim
x→ 0 (3x – 4)
lim
x→ 0 (3x – 4) = f(0) = – 4
capít ul o 2 • 31
d) lim
x→ 10 (x)
lim
x→ 10 (x) = f(10) = 10
e) lim
x→ –4 (–x – 4)
lim
x→ –4 (–x – 4) = f(– 4) = 0
f) lim
x→ 2 (5)
lim
x→ 2 (5) = f(2) = 5
g) lim
x→ –3 (10)
lim
x→ –3 (10) = f(–3) = 10
h) lim 1
2
2
x
x
→
( )
lim =f1
2
2
x
x
→
( ) =1
2
1
4
i) lim
x→ 1 (x3 – 1)
lim
x→ 1 (x3 – 1) = f(1) = 0
j) lim
x→ –1 (x3 – 1)
lim
x→ –1 (x3 – 1) = f(–1) = –2
k) lim
x→ 0 (x2 – 3x + 4)
lim
x→ 0 (x2 – 3x + 4) = f(0) = 4
l) lim
x→ –1 (x4 + 1)
lim
x→ –1 (x4 + 1) = f(–1) = 2
m) lim 1 21x x + x→
lim 1 2 f1x x
+ x
→
= ( )=1 3
32 • capít ul o 2
n) lim 42x x +→ −3 1
x
 
lim 4 f2x x
+→ − = ( )=3 1 2 8x
o) lim
x→ 3 4 13x +
 lim
x→ 3 4 13x + = f(3) =5
p) lim
x→ 2 
3 4
2 1
2x x
x
a
−
−
lim
x→ 2 
3 4
2 1
2x x
x
−
−
 18 − x
q) lim
x→ 3 
x
x
2 4
2
−
−
lim
x→ 3 
x
x
2 4
2
−
−
 = f(3) = 5
r) lim
x→ 2 
x
x
2 4
2
−
−
lim
x→ 2
x
x
2 4
2
−
−
 = f(2) = ?
No item (s), observamos que a função no ponto x = 2 não existe, mas o limite existe? 
Quanto vale?
Vimos, até aqui, que, se a função é contínua no ponto em que estamos querendo cal-
cular o limite, então o lim ite se confunde com o próprio valor da função neste ponto. 
Como a função (item s acima) não é contínua no ponto x = 2, então sabemos que não 
existe o valor da função nesse ponto, mas o limite existe? Como calculá-lo? Veremos que 
capít ul o 2 • 33
o limite existe, sim, nesse caso (item s acima), apesar de não existir o valor da função no 
ponto x = 2. Temos que recorrer ao conceito original do limite de vizinhança. O limite é 
definido pela tendência da função em torno do ponto (nas suas vizinhanças), mas não nele 
exatamente, isto é, precisamos descobrir o comportamento da função em torno do ponto 
x = 2, mas não nele. Continuaremos com esta discussão.
2.2 Análise Gráfica de Limite
2.2.1 Funções descontínuas
Para encon trarm os o lim ite de funções em pontos de descon tinuidades, deve-
m os calcular os valores da função nas vizinhanças do pon to em questão. Mes-
m o que a função não esteja definida no ponto x0 (descontínuo), o lim ite poderá 
existir, pois o conceito de lim ite está ligado ao com portam ento da função nas 
proxim idades de x0 (pon to de descontinuidade). Retom em os o caso do item (s) 
do exem plo anterior.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre o valor-limite:
lim
x
x
x
→
−
−
2
2 4
2
Resolução
Vamos calcular os valores que f(x) assume nas vizinhanças de x = 2.
X
 
−
−
y = x 4
x 2
2
–1 1,00000
0 2,00000
1 3,00000
1,5 3,50000
1,6 3,60000
34 • capít ul o 2
X
 
−
−
y = x 4
x 2
2
1,9 3,90000
1,99 3,99000
1,999 3,99900
1,9999 3,99990
1,99999 3,99999
Podemos observar que a função assume valores m uito próxim os de 4,0 n as vizinhan-
ças à esquerda de x = 2.
Tomemos, agora, as vizinhanças à direita:
X
 
−
−
y = x 4
x 2
2
5 7,00000
4 6,00000
3 5,00000
2,5 4,50000
2,2 4,20000
2,1 4,10000
2,01 4,01000
2,001 4,00100
2,0001 4,00010
2,00001 4,00001
Podemos observar, também, que a função assume valores m uito próxim os de 4,0 nas 
vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos dizer, então, que o limite de f(x), quando x tende a 2, é igual a 4, isto é:
lim
x
x
x
→
−
−
2
2 4
2
Neste caso, f(2) nem existe, ou seja, a função não está definida em x = 2 (f(x) é des-
contínua em x = 2), mas o limite existe e vale 4.
Vimos que obter o valor do limite num ponto (x), em que a função não é contínua, não é 
capít ul o 2 • 35
uma operação difícil, mas sim trabalhosa. Porém, nos casos em que podemos fatorar a fun-
ção, a obtenção do limite é menos trabalhosa, conforme apresentado a seguir.
Outra forma de se obter o valor do limite da função no ponto x0 (descontínuo) passa 
pela utilização do m étodo da fatoração. Com a fatoração, podemos encontrar outra função 
(g(x)) que seja contínua em x0 e que tenha exatamente o mesmo comportamento da função 
original (f(x)) do nosso problema (que é descontínua no ponto x0). Se esta segunda função 
(g(x)) apresentar o mesmo comportamento que a função original (f(x)), então os limites das 
duas funções terão o mesmo valor, ainda que f(x) seja descontínua em x = x0, e o limite 
será o próprio valor da função g(x) em x0. 
O segredo está no fato de que devemos lembrar que o valor do limite depende única e 
exclusivamente do comportamento da função nas vizinhanças do ponto x0, e não necessaria-
mente sobre ele. Assim, como as duas funções f(x) e g(x) têm o mesmo comportamento em 
todos os pontos, então os limites das duas funções são os mesmos e assumem o valor de 
g(x0). Vejamos o exemplo seguinte (ainda o caso do item s do exemplo 1 anterior).
2.3 Como Calcular Limites
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre o valor-limite:
lim
x
x
x
→
−
−
2
2 4
2
Resolução
Já sabemos que a função não é definida em x = 2. Vamos, então, fatorá-la.
Fatorando a expressão do denominador (parte superior da fração), obtemos:
x
x
x x
x
x
2 4
2
2 2
2
2−
−
=
−( ) +( )
−
= +
36 • capít ul o 2
Temos, então, duas funções:
(I) A função original de nosso problema que não é definida (descontínua) em x = 2, que é:
f(x) = x
x
2 4
2
−
−
(II) A função obtida pela fatoração de f(x), que é:
g(x) = x – 2 
Como os comportamentos destas duas funções são exatamente os mesmos para todo e 
qualquer valor de x, exceto em x = 2, em que a função f(x) não é contínua, e lembrando que, 
para o cálculo do limite, só precisamos conhecer o comportamento da função nas vizinhan-
ças do ponto em questão (x = 2, no caso), mas não necessariamente nele, então:
lim lim ( )x x
x
x
x
→ →
−
−
≡ + =2
2
2
4
2
2 4
 
Derivada de uma 
função
38 • capít ul o 3
O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância está no fato de conhe-
cê-lo para poder compreender a definição e o cálculo da função derivada.
A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto é, 
sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – 
y). Esta unidade nos apresentará a derivada como sendo um limite do coeficiente angular.
OBJETIVOS
• Relembrar o conceito e o cálculo do coeficiente angular como medida de variação no valor 
da função (y) e como um impacto;
• na variação da variável independente (x);
• No conceito da função derivada como uma taxa “pontual” de variação da função;
• No cálculo da função derivada num ponto qualquer;
• No cálculo da função derivada analiticamente por meio de sua definição, utilizando o cál-
culo do limite.
capít ul o 3 • 39
3.1 Introdução à Derivada
A derivada de um a função é outra função que tem a característica poderosa de 
nos mostrar o com portam ento da função original. A derivada de um a função 
nos mostra a form a de seu crescim ento/decrescim ento. Ela apresen ta a taxa de 
variação (crescim ento/decrescim ento) da função, isto é, o quan to a função (y) 
cresceria ou decresceria se increm entássemos “um pouco” a variável indepen-
dente (x). Na natureza, tem os alguns exem plos de derivadas.
A velocidade (fun ção velocidade) é a derivada do espaço n o estudo da 
cin em ática, pois é a velocidade que n os “m ostra” com o os espaços estão 
sen do percorridos em relação ao tem po por um veículo. Se este veículo está 
im prim in do gran de aceleração, en tão, com o passar do tem po, a fun ção es-
paço vai aum entan do e a cada segun do o aum en to é m aior, isto é, a taxa de 
aum en to do espaço percorrido por segun do, por exem plo, vai aum en tan do. 
Se, em con trapartida, o espaço percorrido aum en ta, m as sem pre n um a m es-
m a taxa – por exem plo, 5 m etros a cada segun do –, é porque a sua velocidade 
(taxa de variação) é con stan te.
O exem plo m ais com um na Adm inistração Geral é o do custo m arginal. O 
custo m arginal é a função derivada do custo em relação à quantidade produzi-
da de bens ou serviços. Sabem os que, para produzir certa quantidade Q de pro-
duto final, precisam os gastar cQ com m atérias-prim as, energia, capital, m ão de 
obra, transporte etc. Desta form a, para cada n ível de produção Q, é conhecida a 
quantia m onetária para a sua obtenção, isto é, o custo. 
O custo m arginal, por ser a derivada do custo, apresen ta-nos o quan to a em -
presa terá de gastar a m ais (aum ento no custo) para conseguir produzir “um 
pouco” m ais de produto final. Assim , o custo m arginal m ostra a taxa de varia-
ção do custo quando se altera o nível de produção de um a em presa ou de um a 
linha de produção.
Vam os com eçar revendo um conceito que nos será de bastan te utilidade: o 
coeficien te angular.
40 • capít ul o 3
3.2 O coeficiente angular
O coeficien te angular nos apresen ta a variação no valor da função (y) com o de-
corrência de um a variação na variável x (independente), isto é, ele nos m ostra o 
im pacto provocado na função (y) pela variação em x.
Se a função é crescen te, isto é, se um aum ento em x provoca um aum ento 
no valor da função (y), então o coeficiente angular irá m ostrar o quanto (∆y) a 
função cresce provocada pelo aum ento na variável x (∆x). 
A forma utilizada para se determinar uma função derivada, que será abordada neste 
capítulo, não é a mais prática nem a mais ágil, mas é necessária para que se compre-
enda o conceito de derivada. Na próxima unidade, veremos formas bem mais práticas 
de obter tais funções.
Em contrapartida, se a função é decrescente, isto é, se um aum ento em x 
provoca um a dim inuição no valor da função, então o coeficiente angular irá 
m ostrar o quanto (∆y) a função dim inui de valor com o decorrência do aum ento 
na variável x (∆x).
O coeficiente angular, que denotarem os por m , en tre dois pontos, P1(x1, y1) e 
P2(x2 , y2), é dado pela expressão abaixo:
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
2 1
2 1
Ele é num ericam ente igual à tangente do ângulo α, form ado pelo prolon-
gam ento do segm ento de reta P P1 2 e pelo eixo x (eixo das abscissas ou eixo 
horizon tal), conform e m ostrado na figura 14 a seguir:
capít ul o 3 • 41
x1
P2
x2
x
y2
y
y1
∆y
∆x
α
P1
Figura. 6 – Esquema para a obtenção do coeficiente angular
Nos exem plos seguin tes, verem os com o calcular o coeficien te angular en tre 
dois pontos. Note que um a das funções apresen tadas é do prim eiro grau e a 
outra é do segundo. Procure notar a diferença en tre os resultados.
A utilização da letra grega delta maiúscula (D) seguida de uma variável (x, por exemplo) 
indica a variação ocorrida nessa variável, isto é, Dx é uma forma de indicar um intervalo 
da variável x.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Calcule o coeficiente angular entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = 3x + 1:
a) x1 = 0 e x2 = 1
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
4 1
1 0
3
b) x1 = 1 e x2 = 2
m
y
x
y y
x x
= =
−
−
=
−
−
=
∆
∆
2 1
2 1
7 4
2 1
3
42 • capít ul o 3
c) x1 = 2 e x2 = 3
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
10 7
3 2
3
d) x1 = 10 e x2 = 11
m
x
y
y y
x x
= =
−
−
=
−
−
=
∆
∆
2 1
2 1
34 31
11 10
3
e) x1 = 0 e x2 = 10
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
31 1
10 0
3
f) x1 = 1 e x2 = 101
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
304 4
101 1
3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Calcule o coeficiente angular entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = x2.
a) x1 = 0 e x2 = 1
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
1 0
1 0
1
b) x1 = 1 e x2 = 2
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
4 1
2 1
3
c) x1 = 2 e x2 = 3
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
9 4
3 2
5
capít ul o 3 • 43
d) x1 = 10 e x2 = 11
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
121 100
11 10
21
e) x1 = 0 e x2 = 10
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=
2 1
2 1
100 0
10 0
10
f) x1 = 1 e x2 = 101
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
⋅ −
−
=
2 1
2 1
10 201 1
101 1
102
3.3 Interpretação gráfica da derivada
3.3.1 Derivada pela definição
A defin ição m atem ática da derivada vem da ideia do coeficien te angular, po-
rém é m uito m ais refinada, apurada. O coeficien te angular m ede ou calcula a 
variação que ocorre na função (y) ao provocarm os um a variação na variável in-
dependente (x). Graficam ente, o coeficiente angular de um a reta é um núm ero 
que represen ta a inclinação da reta em seu gráfico num determ inado pon to, 
com o vim os nos exem plos an teriores, em que x variava de 0 até 1 ou de 1 até 2 
ou, ainda, de 0 a 10.
A derivada, en tretan to, m ostra-nos a variação da função quando provocada 
por um a m udança (aum ento/dim inuição) muito pequena (infin itesim al) na va-
riável x. Assim , a derivada é capaz de m edir “a tendên cia de variação da função 
n um ∆x m uito pequen o, ten dendo a zero”. A derivada m ostra, por assim dizer, 
a variação da função não m ais en tre dois pontos (coeficien te angular), m as sim 
“a tendência de variação da fun ção num ponto” (já que ∆x → 0). 
A derivada da função no pon to x0 pode ser entendida com o sendo a taxa de 
variação pontual, no pon to x0.
44 • capít ul o 3
A notação de derivada pode ser encon trada, en tre vários autores, com o 
sendo:
y’; f’(x); dy
dx
; ∆
xy
Todas estas notações dizem respeito à m esma função m atem ática: “a deri-
vada de y em relação a x”.
Voltando à definição de derivada, podem os dizer que ela é a m esm a do coe-
ficien te angular entre dois pontos, porém com a única e im portan te diferença 
de que o acréscim o na variável x, a partir de x0, é m uito pequeno, tendendo a 
zero (∆x → 0), conform e expressão abaixo:
y y
x
f x x f x
x
x x
lim lim
( ) ( )
= =
+ −
→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
0 0
3.3.2 Interpretação gráfica da derivada
Já sabem os que a derivada de um a função nos apresen ta sua “tendência de 
variação em cada pon to” e que, desta form a, há pequen a diferen ça em rela-
ção ao coeficien te angular, no sen tido de que este últim o torna um a variação 
fin ita (grande) em variável independen te (x). É por isso que precisam os de 2 
pon tos para calcular o coeficien te an gular, sendo represen tado graficam en te 
pelo ângulo α, form ado en tre o segm ento de reta en tre os dois pon tos P P1 2 e 
a abscissa, conform e podem os observar pela figura 7, a seguir.
A in terpretação gráfica da derivada tam bém se baseia na ideia de um ân-
gulo, o θ da figura 6. No en tan to, este ângulo é form ado pela tangen te à cur-
va que passa pelo pon to x0, não n ecessitando de outro pon to para defin i-la, 
com o ocorre com o coeficien te an gular. Assim , podem os dizer que a derivada 
de um a função é dada pela tan gen te do ân gulo θ da tangen te à curva em cada 
pon to x.
Em bora estejam os falando em tangen te de ângulo, não precisarem os utili-
zar os conceitos da trigonom etria para trabalhar com derivadas.capít ul o 3 • 45
f(x0 + ∆x)
θ
α
f(x)
f(x0) P1
P2
Reta tangente
a f(x) pelo
ponto x0
(x0) (x0) + ∆x
Figura 7 – Representações gráficas do coeficiente angular e das derivadas (respectivamen-
te as tangentes dos ângulos α e θ)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre, pela definição, as seguintes derivadas, sendo y = 3x + 1:
a) y’(x0 = 1) ou y(1), que representam a derivada da função no ponto x0 = 1;
b) y’(2);
c) y’(0);
d) y’(x).
Para representarmos a derivada de uma função y em um ponto x0 específico, podemos 
escrever y’(x0).
Resolução
a) y (1) 
Vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f(x0) 
e f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
1 3 1 1 4
1 3 1 1 3 3 1 4 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + + = +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
46 • capít ul o 3
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a e no limite, que é a definição da 
derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
 
y x x x
x
x f
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim
1
1 1
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f
00
0
0
4 3 4
3
3
3
+ −
=
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
xx
x
lim
lim ( )
CONEXÃO
No endereço:< http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 11411> , você encon-
trará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado “fun-
ción derivada”, que mostra o conceito de taxa de variação média e sua interpretação geomé-
trica, de taxa de variação instantânea, a função derivada e a derivada de função composta. 
Também apresenta exemplos e exercícios que poderão auxiliar sua aprendizagem. O texto é 
apresentado em espanhol.
b) y’(2)
Novamente vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f(x0) e 
f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
2 3 2 1 7
2 3 2 1 6 3 1 7 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + + = +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é 
a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a 
seguir:
capít ul o 3 • 47
y x x x
x
x f
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim
2
2 2
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f
00
7 3 7+ −∆
∆
x
x
=
=
=
→
→
lim
lim ( )
∆
∆
∆
∆x
x
x
x0
0
3
3
3
c) y’(0)
Determinando as expressões que representam f(x0) e f(x0 + Dx), temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
0 3 0 1 1
0 3 0 1 3 1 1 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + = +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a e no limite, que é a definição da 
derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
y x x x
x
x
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim
0
0 0
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f f
00
0
0
1 3 1
3
3
3
+ −
=
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆∆
∆
x
x
x
xx
x
lim
lim ( )
CONEXÃO
No endereço:< http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 4998> , você en-
contrará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado 
“limits”, que calcula limites de funções.
48 • capít ul o 3
d) y’(x)
Determinando as expressões que representam f(x0) e f(x0 + Dx), temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x x x
0
0
3 1
3 1 3 3 1
= = +
+ = + = + + = + +∆ ∆ ∆ ∆
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é 
a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado 
a seguir:
y x x x x
x
x x x
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
lim
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
f f
f f
00
0
0
3 3 1 3 1
3 3 1 3 1
3
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
+ + − +
=
+ + − −
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
( )
lim
lim
limm ( )∆x→
=
0 3
3
EXEMPLO
Encontre, pela definição, as seguintes derivadas, sendo y = x2 – 2x + 1:
a) y’(2);
b) y’(x).
Resolução
a) y’(2) 
Da mesma forma que no exemplo anterior, vamos determinar, inicialmente, as expres-
sões que representam f(x0) e f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
x
x x x x x
0
2
0
2
2 2 2 2 1 4 4 1 1
2 2 2 2
= = − ⋅ + = − + =
+ = + = + − +∆ ∆ ∆ ∆ ))
( )
( )
+
= + + − − +
= + +
1
4 4 4 2 1
2 1
2
2
∆ ∆ ∆
∆ ∆
x x x
x x
capít ul o 3 • 49
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a de-
finição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
y x x x
x
i x x
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
l m ( )
lim
2
2 1 1
0
0 0
0
2
=
+ −
=
+ + −
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
f f
→→
+
0
2 2( )∆ ∆
∆
x x
x
=
+
= +
= +
=
→
→
lim ( )
lim ( )
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
x
x
x x
x
x
0
0
2
2
0 2
2
b) y’(x) 
Nesse caso, para determinar as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx), devemos 
substituir x0 por x e proceder ao cálculo do limite que define a derivada.
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
x x x x x x x x
x x
0
2
0
2
2
2 1
2 1
2
= = − +
+ = + = + − + +
= +
∆ ∆ ∆ ∆
∆∆ ∆ ∆x x x x+ − − +( )2 2 2 1
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a (x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a 
definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a 
seguir:
y x x x
x
x x x x x x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( )
2
2 2 2
0
0 0
0
2 2
=
+ −
=
+ + − − +
→
→
∆
∆
∆
∆
∆ ∆ ∆
f f
11 2 1
2 2 2 1 2 1
2
0
2 2 2
− − +
=
+ + − − + − + −
=
→
( )
lim ( )
lim
x x
x
x x x x x x x x
xx
∆
∆ ∆ ∆
∆∆
∆∆
∆
∆
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
∆
x
x
x
x x x x
x
x x x
x
x x
→
→
→
+ −
=
+ −
= + −
0
2
0
0
2 2
2 2
2 2
( )
lim ( )
lim ( ))
= + −
= −
2 0 2
2 2
x
x
50 • capít ul o 3
EXEMPLO
Encontre, pela definição, a derivada de:
a) y = 4x + 3;
b) y = 1 – 5x;
c) y
x
4 ;
d) y = x2
Resolução
Note que não está sendo especificado nenhum valor para x0. Dessa forma, iremos consi-
derar um valor genérico x0 = x. No mais, o procedimento é semelhante ao que já realizamos 
nos exemplos anteriores.
a) y = 4x + 3
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x
0
0
4 3
4 3
4 4 3
= = +
+ = + = + +
= + +
∆ ∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que define a deri-
vada, temos:
y x
x x x
x
x x x
x
x
x
'( ) lim ( ) ( )
lim ( )
lim
=
+ −
=
+ + − +
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
4 4 3 4 3
f f
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x
x
x
x
→
→
→
+ + − −
=
=
=
0
0
0
4 4 3 4 3
4
4
4
lim
lim ( )
capít ul o 3 • 51
b) y = 1 – 5x;
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x
0
0
1 5
1 5
1 5 5
= = −
+ = + = − +
= − −
∆ ∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que definea deri-
vada, temos:
y x f x x f x
x
x x x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( )
=
+ −
=
− − − −
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
1 5 5 1 5
=
− − − +
=
−
= −
= −
→
→
→
lim
lim
lim ( )
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x
x
x
x
0
0
0
1 5 5 1 5
5
5
5
c) y
x
4 ;
Temos:
f
f f
( ) ( )
( ) ( )
x f x
x
x x x x
x x
0
0
4
4
= =
+ = + =
+
∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) e no limite que define a 
derivada, temos:
52 • capít ul o 3
y x x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim
lim
=
+ −
=
+
−
=
−
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
0
4 4
4
f f
44
4 4 4
4
0
0
( )
( )
lim ( )
lim (
x x
x x x
x
x x x
x x x
x
x
x x
x
x
+
+
=
− −
+
=
−
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
++
=
−
+
⋅
=
−
+
=
−
+
=
−
→
→
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x x
x x x
x x
x
x
)
lim ( )
lim ( )
( )
0
0
4 1
4
4
0
44
2x
CONEXÃO
No exemplo anterior, item (c), o mínimo múltiplo comum (mmc) de x e (x + Dx) é igual a 
 x(x + Dx).
d) y = x2
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x x x x x
0
2
0
2 2 22
= =
+ = + = + = + +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
capít ul o 3 • 53
Substituindo as expressões equivalentes a e no limite que define a derivada, temos:
y x
x
f x x f x
x
x
x x x x x
x
’( ) lim ( ) ( )
lim ( )
li
=
→
+ −
=
→
+ + −
=
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
0
0 0
0
2 2 2 2
mm
( )
lim ( )
lim ( )
∆
∆ ∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
x
x x x
x
x
x x x
x
x
x x
x
→
+
=
→
+
=
→
+
= +
=
0
2 2
0
2
0 2
2 0
22x
54 • capít ul o 3
Regras de 
Derivação
56 • capít ul o 4
OBJETIVOS
Depois de ler e resolver os exercícios deste capítulo, o aluno terá aprendido as regras de 
diferenciação de funções e saberá rapidamente obter a derivada:
• de uma função potência f(x) = x n;
• de uma função multiplicada por uma constante k: k · f(x);
• de uma função constante f(x) = k;
• da soma (ou subtração) de duas funções: f(x) ± g(x);
• do produto de duas funções: f(x) · g(x);
• da divisão de duas funções: f x
g x
( )
( )
.
capít ul o 4 • 57
4.1 Regras de Derivação
Vim os, no capítulo 3, com o calcular a derivada originalm ente, isto é, pela 
sua defin ição.
Porém , a todo m om ento precisam os calcular derivadas e levarem os bastan-
te tem po resolvendo-as “pela defin ição” (usando o cálculo do lim ite). Este tem a 
traz, então, um a série de regras de diferenciação (derivação) para que o pro-
cesso de obtenção do cálculo seja bastan te prático. O aluno aprenderá, neste 
capítulo, as principais regras de diferenciação (ou derivação) de funções. São 
regras bastan te sim ples que perm itirão ao aluno obter rapidam ente a form a 
m ais sim ples da derivada de um a função sem ter que recorrer ao cálculo do 
lim ite (derivada pela definição). 
4.2 Derivada de função
4.2.1 Derivada da função xn
Seja um a função do tipo y = xn, en tão a sua derivada é:
y’ = nx(n – 1), ∀ n ∈ R
Dem on stração utilizando a defin ição de lim ite
As demonstrações destas regras (apresentadas a seguir) podem ser obtidas através 
da definição de derivada, utilizando-se o limite. Para efeito de curiosidade, vamos de-
monstrar apenas o primeiro caso (função potência). Não vamos nos prender a demons-
trações, já que não é o objetivo deste curso. O importante aqui é a utilização correta 
das regras para encontrarmos as derivadas das funções e as utilizarmos em aplicações 
importantes no curso de Administração.
58 • capít ul o 4
Vam os então considerar y = xn. Daí, tem os:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
x x x
x x x x x x
x nx x nx x
n
n
n n n
0
0
1 2
= =
+ = + = +
= + +− −
∆ ∆ ∆
∆ ∆ 22
2 2 1
+
+ + + +− −… nx x nx x xn n n∆ ∆ ∆( )
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no lim ite que de-
fine a derivada, tem os:
y x
x x x
x
x nx x nx x
x
x
n n n
( ) lim ( ) ( )
lim ( )
=
+ −
=
+ +
→
→
− −
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
0
0 0
0
1 2 2
f f
++ + + + −
=
+
− −
→
− −
… nx x nx x x x
x
nx x nx
n n n n
x
n n
2 2 1
0
1 2
( ) ( ) ( )
lim (
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
xx nx x nx x x
x
x nx nx
n n n
x
n n
) ( ) ( ) ( )
lim [
2 2 2 1
0
1 2
+ + + +
=
+
− −
→
− −
… ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
xx nx x nx x x
x
nx nx x
n n n
x
n n
+ + + +
= +
− − −
→
− −
…
2 3 2 1
0
1 2
( ) ( ) ( ) ]
lim [
∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
++ + + +
= + ⋅ + + ⋅
− − −
− − −
…
…
nx x nx x x
nx nx nx
n n n
n n n
2 3 2 1
1 2 2 30 0
( ) ( ) ( ) ]∆ ∆ ∆
++ ⋅ +
=
− −
−
nx
nx
n n
n
0 02 1
1
EXEMPLO
Se y = x3, então y’ = 3x3–1 ⇒ y’ = 3x2.
 Como não está sendo pedida a derivada em determinado ponto, consideremos x0 = x.
capít ul o 4 • 59
EXEMPLO
Encontre a derivada de cada uma das funções apresentadas a seguir, utilizando a regra 
da derivada da função y = xn.
a) y = x2
b) y = x8
c) y = x10
d) y = x100
e) y = x
f) y
x
1
3
g) y
x
1
h) 
y
x
1
10
i) y x
j) y x3
k) y x5
l) y x3
m) y x47
Resolução
a) y = x2
Se y = x2, então y’ = 2x2–1 ⇒ y’ = 2x.
b) y = x8
Se y = x8, então y’ = 8x8–1 ⇒ y’ = 8x7.
c) y = x10
Se y = x10, então y’ = 10x10–1 ⇒ y’ = 10x9.
d) y = x100
Se y = x100, então y’ = 100x100–1 ⇒ y’ = 100x99.
e) y = x
Se y = x, então y’ = 1x1–1 ⇒ y’ = x0 ⇒ y’ = 1.
f) y
x
1
3
Se y
x
1
3
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x–3 Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −3 3 3 03 1 4 4 , 
60 • capít ul o 4
g) y
x
1
Se y
x
1 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x–1. Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −1 1 01 1 2 2 , 
h) y
x
1
10
Se y
x
1
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x–10. Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −10 10 10 010 1 11 11 , 
i) y x
Se y x , podemos escrever, de forma equivalente, y x
1
2 . Então:
 
y x y x y
x
y
x
x’ ’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − >
− −1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1 1
2
1
2
 , 
j) y x3
Se y x3 , podemos escrever, de forma equivalente, y x
3
2 . Então:
 
y x y x y x x’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = ≥−3
2
3
2
3
2
0
3
2
1 1
2 , 
k) y x5
Se y x5 , podemos escrever, de forma equivalente, y x
5
2 . Então:
capít ul o 4 • 61
l) y x3
Se y x3 , podemos escrever, de forma equivalente, y x
1
3 . Então:
m) y x47
Se y x47 , podemos escrever, de forma equivalente, y x
4
7 . Então:
 
y x y x y
x
y
x
x’ ’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = ⇒ = >
− −4
7
4
7
4
7
4
7
0
4
7
1 3
7
3
7
37
, 
4.2.2 Derivada de k· f(x)
Seja um a função do tipo y = k · f(x), em que:
• k é um a constan te (∀ k ∈ R);
• f(x) é um a função qualquer, cuja derivada é f ’(x).
Então, sua derivada será:
y’ = k · f ’(x)
EXEMPLO
Encontre as derivadas das funções seguintes, utilizando as regras de derivação que você 
conhece:
a) y = 3x2
b) y x
8
10
c) y = 100x3
d) y x
10
10
e) y = 100x100
f) y
x
5
g) y
x
= −
6
3
h) y x2
62 • capít ul o 4
i) y x25
3
3
j) y x20 3 5
k) y x8
2
23
l) y = 3
Quando encontramos,numa função, uma constante (k) que esteja multiplicando ou 
dividindo outra função, então, se queremos aplicar a derivação, devemos nos preocupar 
somente com a parte funcional (parte que apresenta o x), mantendo a constante intac-
ta, ou seja, da forma (multiplicando ou dividindo) como se apresenta na função original, 
antes de começar a derivação.
Resolução
a) y = 3x2
Se y = 3x2, então:
y’ (x) = 3 · (2)x(2 – 1) = 6x1 = 6x 
b) y x
8
10
Se y x
8
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y x
1
10
8
. Então:
y x y x y x’ ’ ’ .= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =−1
10
8 1
10
8 8
10
8 1 7
7
c) y = 100x3
Se y = 100x3, então:
y’ = 100 · (3)x3 – 1 = 300x2
d) y x
10
10
Se y x
10
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y x
10
10
. Então: 10 10
10 1 9x x
−( )
=
e) y = 100x100
Se y = 100x100, então:
y’= 100 · (100)x100 – 1 = 10.000 · x99 
capít ul o 4 • 63
f) y
x
5
Se y
x
5
, podemos escrever, de forma equivalente, y
x
x= = ⋅ −5
1
5 1. Então:
g) y
x
= −
6
3
Se y
x
= −
6
3
, podemos escrever, de forma equivalente, 
y
x
x= − = − ⋅ −6 1 63
3
.
 Então:
y x y x y
x
’ ( ) ’ ’ .= − ⋅ − ⇒ = ⇒ =− − −6 3 18 183 1 4 4
h) y x2
Se y x2 , podemos escrever, de forma equivalente, y x2
1
2 . 
 
y x y x y
x
y
x
’ ’ ’ ’ .= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −2 1
2
1 112 1
1
2
1
2
i) y x253
3
Se y x25
3
3
, podemos escrever, de forma equivalente, 
y x x x= ⋅ = ⋅ = ⋅25
3
5
3
5
3
3
3
2 3
2 Então:
y x
y
y x
y x
y
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
− −
20 3
20 3 5
20 1
3
20 3
3
1
2
5
2
1
2 1
5
2 1
1
2
3
2
1
2 3
2
’
’
’
’’
’
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅( )
20
3
3
20
3
3
1
2
3
2
3 12
x
y x
64 • capít ul o 4
j) y x20 3 5
Se y x20 3 5 , podem os escrever, de form a equivalen te, y = 20 · 3½ · x5/2
Então:
y x
y
y x
y x
y
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
− −
20 3
20 3 5
20 1
3
20 3
3
1
2
5
2
1
2 1
5
2 1
1
2
3
2
1
2 3
2
’
’
’
’’
’
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅( )
20
3
3
20
3
3
1
2
3
2
3
1
2
x
y x
 
k) y x8
2
23
Se y x8
2
23
, podem os escrever, de form a equivalente, 
y x y x y x= ⇒ = ⇒ =8
2
2
2
3 23 23 2
3 . Então:
y x y x y x= ⇒ = ⇒ =8
2
2
2
3 23 23 2
3 . Então:
y x y x y
x
y
x
· · · · .= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
3
1
3
3
l) y = 3
Como y = 3 é uma função constante, podemos escrevê-la na forma y = 3x0. E, aplicando 
as mesmas regras que aplicamos nos itens anteriores, temos:
y’ = 3 · 0 · x0–1 = 0
Em situações como essas (de funções constantes), não é necessário que apliquemos 
tais regras, pois, na próxima seção, definiremos uma regra para derivadas de funções cons-
tantes. Podemos dizer que a derivada de uma função constante é sempre igual a zero.
capít ul o 4 • 65
4.2.3 Derivada de f(x) = k
Seja um a função constante, isto é, y = k, em que k é um a constan te (k ∈ R). 
Então, sua derivada será: 
y’ = 0
EXEMPLO
Encontre as derivadas das funções seguintes:
a) y = 3
b) y = 10 400
c) y 1
10
d) y 5
e) y = p
f) y = 53
Resolução
Todas as funções apresentadas nos itens de (a) a (f) são funções constantes. Portanto, 
para todos esses casos, temos:
y’ = 0
4.3 Derivada de uma soma (ou subtração) de 
funções
Seja um a função do tipo y = f(x) ± g(x), em que:
• f(x) é um a função cuja derivada é f’(x);
• g(x) é um a função cuja derivada é g’(x).
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).
Então, sua derivada será:
y’(x) = f ’(x) ± g’(x)
66 • capít ul o 4
EXEMPLO
Derive as funções seguintes, utilizando as regras de derivação:
a) y = 3x2 + 2x – 10
b) y = 3x2 + 4x – 5
c) y x x= −
8
10
3
d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10
Resolução:
a) y = 3x2 + 2x – 10
Se y = 3x2 + 2x – 10, então:
y x x y x· ·= ⋅ + − ⇒ = +− −3 2 2 0 6 22 1 1 1 .
b) y = 3x2 + 4x – 5
Se y = 3x2 + 4x – 5, então:
y x x y x· ·= ⋅ + − ⇒ = +− −3 2 4 0 6 42 1 1 1 .
c) y x x= −
8
10
3
Se y x x= −
8
10
3 , então:
y x x y x· ·= − ⇒ = −
−
−
8
10
3 4
5
3
8 1
1 1
7
.
d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10
Se y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10, então:
y x x x y x x’ ’ .= ⋅ − ⋅ + − ⇒ = − +− − −100 3 4 2 3 0 300 8 33 1 2 1 1 1 2
Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, 
é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. 
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x)
capít ul o 4 • 67
4.4 Derivada do produto de duas funções: a 
regra do produto
Seja um a função do tipo y = f(x) · g(x), em que:
• f(x) é um a função cuja derivada é f ’(x); 
• g(x) é um a função cuja derivada é g’(x). 
Então, sua derivada será:
y’(x) = f ’(x) · g(x) + g’(x) · f(x)
Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, 
é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. 
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).
EXEMPLO
Utilizando as regras de derivação, obtenha as derivadas de cada uma das funções se-
guintes:
a) y = x3 · (4x + 2)
b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3)
c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20)
d) y x x x= − +5
2
25 4 22( )
Resolução
a) y = x3 · (4x + 2)
Podemos observar que a função y é o produto de duas funções, que denotaremos, res-
pectivamente, por f(x) e g(x). Portanto:
y = f(x) · g(x)
68 • capít ul o 4
em que 
f ( )
( )
x x
g x x
=
= +
3
4 2
, 
e suas derivadas são
f' ( )
’( )
x x
g x
=
=
3
4
2
Para simplificar a notação, vamos denotar as funções f(x), g(x), f (´x) e g (´x) por f, g, f ´e 
g .´ Além disso, podemos suprimir o uso do sinal da multiplicação “·”, quando esta operação 
estiver evidente.
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x
’ ’
’ ( ) ( )
= +
= + +
f' f
3 4 2 42 3
A expressão y x x x’ ( ) ( )= + +3 4 2 42 3 já é a derivada que queríamos determinar. No 
entanto, podemos continuar a desenvolvê-la e simplificá-la (sempre que possível). Portanto:
y x x x
y x x x
y x x
’ ( ) ( )
’
’
= + +
= + +
= +
3 4 2 4
12 6 4
16 6
2 3
3 2 3
3 2
A regra do produto de duas funções não é tão intuitiva quanto a regra da soma (ou 
subtração). Agora, a derivada de uma multiplicação não é simplesmente a multiplicação 
das derivadas.
capít ul o 4 • 69
b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3)
Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos:
y = f · g,
em que 
f =
= −
2 3 1
3
3x + x + 
g x
,
e suas derivadas são
f' = +
=
6 3
1
2x
g’
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x x
y x x x x
’ ’
’ ( )( ) ( )
’
= +
= + − + + +
= − + − + +
f' f
6 3 3 1 2 3 1
6 18 3 9 2
2 3
3 2 3 33 1
8 18 6 83 2
x
y x x x
+
= − + −’
c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20)
Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos:
y = f · g,
em que 
f x
g x x
=
= − +
5
2
25 4 22
,
e suas derivadas são
f' =
= −
5
2
504g x’
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x x x
y x x
’ ’
’ ( )( ) ( )
’
= +
= − − + −
= − −
f' f
300 8 3 20 3 100 4
900 600
2 3 2
3 2 224 160 300 12
1200 636 160
2 3 2
3 2
x x x x
y x x x
+ + −
= − +’
70 • capít ul o 4
d) y x x x= − +5
2
25 4 22( )
Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos escrever a função y como o produto 
de duas funções f e g:
y = f · g,
em que 
f =
= − +
5
2
25 4 22
x
g x x
,
e suas derivadas são
f' =
= −
5
2
50 4g x’
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x x
y x x x
’ ’
’ ( ) ( )
’
= +
= − + + −
= − + +
f' f
5
2
25 4 2 50 4 5
2
125
2
10 5 125
2
2
2
−−
= − +
10
375
2
20 5
2
x
y x x’
Note que, em cada um dos casos resolvidos anteriormente, poderíamos ter obtido a deri-
vada sem aplicar a regra do produto. Bastaria, para isso, multiplicar as expressões (utilizando 
a propriedade distributiva), transformando cada uma das funções em polinômios (sem utiliza-
ção da forma de multiplicação). No entanto, haverá casos em que esse tipo de recurso não 
será possível. Por isso, é imprescindível que se saiba aplicar a regra do produto.
CONEXÃO
No endereço:<http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 6091> , você irá en-
contrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do produto” (“the pro-
duct rule”) para a obtenção de derivadas de alguns exemplos específicos de funções. Você 
capít ul o 4 • 71
mesmo insere a função produto que deseja derivar (a partir de algumas funções já predefini-
das) e o programa fornece o resultado da derivada, bem como apresenta uma representação 
gráfica da função produto e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será necessário o plug in 
“Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.
4.5 Derivada da divisão de duas funções: a 
regra do quociente
Seja um a função do tipo em que:
y x
g x
f ( )
( )
• f(x) é um a função cuja derivada é f ’(x),
• g(x) é um a função cuja derivada é g’(x).
Então, sua derivada será:
y x g x g x x
g x
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )]=
⋅ − ⋅f' f
2
.
Utilizando um a notação m ais sim plificada, podem os escrever:
y g g
g
'
'
=
−f' f
2
EXEMPLO
Aplicando as regras de derivação, determine as derivadas das funções seguintes:
a) y x
x
5
3
4
2
b) y x x
x
=
+ −
−
5 8 1
2 3
2
c) y x
x x
=
+
−
4
3 2
25
4
72 • capít ul o 4
Resolução
a) y x
x
5
3
4
2
Note que essa função pode ser simplificada antes de ser derivada. Podemos escrever:
y x ou y x5
3
5
3
2
2
,
e, em seguida, derivá-la:
y x y x’ ’= ⇒ =−5
3
2 10
3
2 1
Apenas para ilustrar e mostrar que, pela aplicação da regra do quociente. a derivada 
obtida será a mesma, vamos determinar y ´dessa forma.
Vamos, inicialmente, escrever a função y como o quociente de duas funções, f e g:
y
g
f
,
em que 
f =
=
5
3
4
2
x
g x
,
e suas derivadas são
f' =
=
20
6
3x
g x’
.
Aplicando a regra do quociente, temos: y x y x’ ’= ⋅ ⇒ = ⋅206
10
3
2 2
b) y x x
x
=
+ −
−
5 8 1
2 3
2
Escrevendo a função y como o quociente de duas funções f e g, temos:
y
g
f
,
capít ul o 4 • 73
em que 
f = + −
= −
5 8 1
2 3
2x x
g x
,
e suas derivadas são
f' = +
=
10 8
2
x
g’ .
Aplicando a regra do quociente, temos:
y g g
g
y x x x x
x
y x x
’
’
’
( )( ) ( )
( )
’
=
−
=
+ − − + −
−
=
−
f' f
2
2
2
2
10 8 2 3 2 5 8 1
2 3
20 30 ++ − − − +
−
=
− −
−
16 24 10 16 2
2 3
10 30 22
2 3
2
2
2
2
x x x
x
y x x
x
( )
’ ( )
c) y x
x x
=
+
−
4
3 2
25
4
Escrevendo a função y como o quociente de duas funções, f e g, temos:
y
g
f
,
em que 
f x
g x x
= +
= −
4
3 2
25
4
e suas derivadas são
f' =
= −
4
3 8
3
2
x
g x x’
.
74 • capít ul o 4
Aplicando a regra do quociente, temos:
y g g
g
y x x x x x x
x x
y x
’
’
’
( ) ( )( )
( )
’
=
−
=
− − − +
−
=
−
f' f
2
3 3 2 2 4
3 2 2
6
4 4 3 8 25
4
4 116 3 75 8 200
4
8 75 200
4
5 6 2 5
3 2 2
6 5 2
3 2
x x x x x
x x
y x x x x
x x
− − + +
−
=
− − +
−
( )
’ ( ))2
CONEXÃO
No endereço: <http:/ / objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/ mec/ 6090> , você irá en-
contrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do quociente” (“the 
quotiente rule”) para a obtenção de derivadas de alguns exemplos específicos de funções. 
Você mesmo insere a função quociente que deseja derivar (a partir de algumas funções já 
predefinidas) e o programa fornece o resultado da derivada, bem como apresenta uma re-
presentação gráfica da função quociente e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será neces-
sário o plug in “Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CHIANG, A. Matemática para economistas. Edusp/ McGraw-Hill, 1982.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005.
GOLDSTEIN, L. J. Matemática aplicada à economia, administração e ciências contá-
beis. Bookman, 1999.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. Harbra, 2001.
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, H. M. Matemática: para os cursos de economia, admi-
nistração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1997.
TAN, S. T. Matemática aplicada à administração e economia. Pioneira Thomson 
Learning, 2001.
WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. Harbra, 1988.
capít ul o 4 • 75
4.6 Aplicação de Derivada para 
Determinação de Máximos e Mínimos – 
Problema de Otimização
O prim eiro passo para resolver este tipo de problem a é determ inar, de form a 
precisa, a função a ser otim izada. Em geral, obtem os um a expressão de duas va-
riáveis, m as, usando as condições adicionais do problem a, esta expressão pode 
ser reescrita com o um a função de um a variável derivável e, assim , poderem os 
aplicar os teorem as.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Aplicação de regra de derivação
O custo para produzir certo produto é dado por C(x) = x3/ 3 − 6 x2 + 30 x + 25. 
Determine o lucro máximo se o preço do produto for R$ 10,00.
O lucro é dado por L(x) = R(x) − C(x), em que a receita é R(x) = 10 x; logo;
= − + − −L x x x x( ) 1
3
18 60 753 2
Derivando e igualando a zero:
− 3 x2 + 36 x − 60 = 0 =⇒ x = 2 e x = 10.
Derivando novamente:
L ` ` (x) = 1/3 . [36 – 6x]
Logo: L’’ (2) = 8 e x = 2 é ponto de mínimo; L’’ (10) = −8 e x = 10 é ponto de máximo.
L(10) = R$ 41,66.
 
2 4 6 8 10 12
100
50
Disponível em: <http:/ / www.ime.uerj.br/ ~calculo/ Ecomat/ cap7.pdf, pdf> . 
Acesso em: 02 mai. 2015. Adaptado.
 
Note que o ganho da empresa é 
devido ao fato de que o custo é 
C(10) = R$ 58,33 e a receita é 
R(10) = R$ 100,00.
76 • capít ul o 4
Aplicações 
Matemáticas em 
Economia
78 • capít ul o 5
OBJETIVOS
Ao final desse capítulo, o aluno deverá estar apto a:
• Entender porque as empresas precisam de funções que maximizem seus lucros;
• Aplicar seus conhecimentos a situações em que a tomada de decisão visa a elevar lucros, 
sem descuidar do cumprimento de outras restrições próprias do ambiente de negócios;
• Calcular o ponto de equilíbrio de uma operação;
• Compreender a elasticidade - preço da demanda.
capít ul o 5 • 79
5.1 Maximização do lucro de uma empresa
5.1.1 Maximização do lucro
Quando uma firma está em condição de monopólio, só ela produz e vende o 
produto no mercado.Assim, recai sobre ela toda a demanda. O preço não é mais 
constante como em concorrência, quando a empresa não tem controle sobre 
quanto cobrar pelo produto. Em concorrência, o preço é estabelecido pelo merca-
do. Em monopólio, a empresa tem poder de mercado e, portanto, ela pode decidir 
o quanto irá produzir e qual o preço que colocará no produto, conhecendo a função 
de demanda que relaciona o preço e a quantidade demandada.
No exem plo a seguir, verem os um a situação em que há esse tipo de rela-
ção entre preço e dem anda (ou quan tidade dem andada) e com o essa relação 
in fluencia o com portam ento das funções receita total e lucro total.
EXEMPLO
Encontre a quantidade e o preço ótimos, isto é, aqueles valores, respectivamente, que a 
empresa deveria produzir e colocar no preço unitário do produto, de forma a maximizar seu 
lucro, sabendo-se que a empresa apresenta custo fixo de R$ 1.000,00 e custo unitário de 
produção de R$ 4,00. A empresa conhece a função (curva) de demanda de seu produto 
(Q = 120 – p ou p = 120 – Q). Encontre também o lucro máximo. 
Sugestão: obtenha as funções CT e RT e faça um gráfico. 
Resolução
Custo total: CT = CF + CV = 1.000 + 4Q
Receita total: RT = pQ = (120 – Q)Q = 120Q – Q2
Note agora que a função receita total será uma parábola (função do segundo grau).
Lucro da empresa: L = RT – CT = 120Q – Q2 – 1.000 – 4Q, que simplificando resulta em 
L = – Q2 + 116Q – 1.000
O valor máximo do lucro (Lucro máximo: Lmáx) ocorre no vértice da parábola:
− −
=
−
−
−
−
= ( )b
a a2 4
116
2
9 456
4
58 2 364; ; . ; .∆
Produzindo uma quantidade de 58 unidades do produto (conforme podemos observar 
pelo gráfico abaixo), a empresa obterá o maior lucro possível, que será de R$ 2.364,00, já 
80 • capít ul o 5
que o preço seria, segundo a função da demanda, anterior: p = 120 – Q = 120 – 58 = 62,00 
reais. Para compreender melhor, devemos raciocinar que a empresa colocaria o preço em 
R$ 62,00 e, assim, as pessoas estariam interessadas em comprar 58 unidades do produto, 
gerando, então, um lucro total (máximo) de R$ 2.364,00 para a empresa. Este é o ponto de 
operação da empresa monopolista.
O gráfico a seguir representa as funções envolvidas nesse exemplo.
4.000 $
3.000
2.000
1.000
0
–1.000
–2.000
0 20 40 60 80 100 120
Qótima = 58
Lmáx. = 2.364 LT RT
CT Q
EXEMPLO
Dadas as funções receita total RT(Q) = –Q2 + 200Q e custo total CT(Q) = 4.000 + 30Q, para 
Q variando de 0 a 120 unidades, de uma determinada utilidade:
a) determine a quantidade para a qual essa utilidade proporciona receita máxima;
b) obtenha a função lucro total para essa utilidade;
c) determine a quantidade para a qual o lucro proporcionado por essa utilidade é má-
ximo;
d) esboce os gráficos das funções custo total, receita total e lucro total dessa utilidade.
Resolução
a) Como a função receita total é uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma 
parábola com concavidade voltada para baixo, então seu valor máximo (receita má-
xima) ocorre no vértice dessa parábola. Portanto, a quantidade que proporciona 
receita máxima é dada pela fórmula:
capít ul o 5 • 81
Q b
av
=
−
2
Note que, na fórmula mostrada, o valor que será obtido é referente à coordenada x do 
vértice (x
v
).
Na função RT(Q) = –Q2 + 200Q, temos a = –1 e b = 200. Portanto, o valor da coorde-
nada Q
v
 é:
Q b
av
=
−
=
−
−
=
−
−
=
2
200
2 1
200
2
100( )
O resultado nos diz que o valor máximo de receita ocorre quando a quantidade Q vendida 
(e produzida) é igual a 100. Caso seja necessário calcular o valor dessa receita máxima, bas-
ta substituir Q por 100 na função RT(Q) = –Q2 + 200Q e calcular o valor de RT. 
Pode parecer estranho, mas, de acordo com a função, se a quantidade for maior que 100, 
a receita começará a diminuir. Isso pode ocorrer na prática, pois há relação entre quantidade 
e preço e, à medida que a quantidade aumenta, o preço pode cair. E lembre-se de que a 
receita é obtida pela multiplicação da quantidade pelo preço. Portanto, mesmo a quantidade 
aumentando, se o preço cair, o valor de receita poderá diminuir.
b) A função lucro total LT pode ser obtida pela diferença entre as funções receita total 
RT e custo total CT. Portanto:
LT(Q) = RT(Q) – CT(Q)
LT(Q) = – Q2 + 200Q – (4.000 + 30 Q)
LT(Q) = – Q2 + 200Q – 4.000 – 30 Q
LT(Q) = – Q2 + 170Q – 4.000
c) Assim como ocorreu com a função receita, quando determinamos a quantidade 
para a qual ela era máxima, vamos aqui proceder da mesma forma para determinar 
a quantidade que gera lucro máximo, ou seja, que maximiza a função lucro total.
Na função LT(Q) = – Q2 + 170Q – 4.000, que é do segundo grau, temos a = –1, b = 170 
e c = –4000. Portanto, a coordenada Qv é dada por:
Q b
av
=
−
=
−
−
=
−
−
=
2
170
2 1
170
2
85( )
82 • capít ul o 5
d) Os gráficos das funções lucro total, receita total e custo total são apresentados a 
seguir. As linhas pontilhadas indicam o comportamento das funções apresentadas, 
mas em uma região (domínio) que já não é mais válida para esta aplicação, pois no 
enunciado há menção de que as funções receita e custo apresentadas, nesse caso, 
são válidas para Q variando de 0 a 120 unidades.
 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Quantidade
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Custo
Receita
Lucro
5.2 Receita, Custo e Lucro Marginais
RMg(x) = R′(x). A receita m arginal RMg(x) é a receita aproxim ada da venda x+1 
após ter vendido x unidades. O lucro m arginal de um bem é o lucro aproxim ado 
ao vender um a un idade adicional do bem .
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Interpretação de dados em uma tabela – aplicação de custo fixo, variável, total, médio e 
marginal.
capít ul o 5 • 83
01. Dada a tabela a seguir de custos de uma operação de produção de um bem, calcule e/
ou descreva:
a) o custo adicional (marginal) para a produção da nona unidade;
b) o lucro obtido para a venda das 9 (nove) unidades, ao preço unitário de R$ 10,00;
c) o lucro obtido com a venda de 10 (dez) unidades, ou seja, uma unidade adicional do bem;
d) em quantas unidades produzidas se dá a maximização de lucro dessa empresa na ope-
ração de produção analisada;
e) o que ocorre com os custos fixos, variáveis e totais médios de produção;
f) o que a empresa deve fazer em relação à tomada de decisão da produção da décima 
unidade, caso a sua estratégia seja de aumento de participação de mercado.
PRODUÇÃO CUSTO FIXO CUSTO VARIÁVEL
CUSTO 
TOTAL
CUSTO FIXO 
MÉDIO
CUSTO 
VARIÁVEL 
MÉDIO
CUSTO 
MÉDIO
CUSTO 
MARGINAL
0 15,00 0 15,00
1 15,00 7,50 22,50 15,00 7,50 22,50 7,50
2 15,00 12,00 27,00 7,50 6,00 13,50 4,50
3 15,00 15,00 30,00 5,00 5,00 10,00 3,00
4 15,00 16,50 31,50 3,75 4,13 7,88 1,50
5 15,00 18,00 33,00 3,00 3,60 6,60 1,50
6 15,00 24,00 39,00 2,50 4,00 6,50 6,00
7 15,00 30,00 45,00 2,14 4,29 6,43 6,00
8 15,00 37,50 52,50 1,88 4,69 6,56 7,50
9 15,00 46,50 61,50 1,67 5,17 6,83 9,00
10 15,00 57,00 72,00 1,50 5,70 7,20 10,50
11 15,00 69,00 84,00 1,36 6,27 7,64 12,00
Resolução
a) Conceito de custo marginal: observe-se que, quando se adiciona uma unidade ao 
volume produzido, pode-se calcular quanto custa produzir esta unidade adicional (Marginal).
Assim, para o nível de produção de 8 (oito) unidades, o custo total foi de R$ 52,50 e, ao 
mudar o volume de produção para 9 (nove) unidades, o custo total passa a ser de R$ 61,50. 
Desta forma, ao se subtraírem esses dois valores, chega-se à conclusão de que a nona uni-
dade produzida custou R$ 9,00.
O uso do custo marginal é relevante, pois serve para calcular o ponto ótimo de produção.
b) Lucro obtido: supondo que o preço de mercado de venda para o seu produto seja