Formulario Geometria Analitica versao B1

Prévia do material em texto

Formulário de Geometria Analítica Prof. Júlio César Tomio 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Produtos Notáveis: 
 
2222 2)()( babababa ++=−−=+ 2222 2)()( babababa +−=+−=− 22)).(( bababa −=−+ 
 
Equação do 2º grau: 02 =++ cbxax com 
a
b
x
2
∆±−
= sendo acb 42 −=∆ 
Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau: 
a
b
xx −=′′+′ e 
a
c
xx =′′′ . 
 
ESTUDO DO PONTO NO ℝℝℝℝ3 
 
Distância entre dois pontos A e B no espaço: 222 )()()(),( ABABAB zzyyxxBAd −+−+−= 
 
Ponto médio ),,( MMM zyxM de um segmento de reta AB : 
↳ ↳ ↳ ↳ Coordenadas: 
2
BA
M
xx
x
+
= , 
2
BA
M
yy
y
+
= e 
2
BA
M
zz
z
+
= 
 
Baricentro ),,( GGG zyxG de um triângulo qualquer: 
↳ ↳ ↳ ↳ Coordenadas: 
3
CBA
G
xxx
x
++
= , 
3
CBA
G
yyy
y
++
= e 
3
CBA
G
zzz
z
++
= 
 
TRIÂNGULOS 
 
# Ângulos Internos de um triângulo: 
 
• Ângulo Reto: ângulo de 90º • Ângulo Agudo: 0 < α < 90º • Ângulo Obtuso: 90º < α < 180º 
 
Observação: A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º. 
 
# Classificação dos Triângulos: 
 
Quanto aos Ângulos: 
• Acutângulo: Três ângulos agudos • Retângulo: Um ângulo reto • Obtusângulo: Um ângulo obtuso 
 
Quanto aos lados: 
• Eqüilátero: Três lados iguais (e três ângulos iguais de 60º) 
• Isósceles: Dois lados iguais (e dois ângulos iguais ou congruentes) 
• Escaleno: Três lados diferentes (e três ângulos diferentes) 
 
# Segmentos Notáveis de um Triângulo: 
 
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. 
Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida. 
Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto (90º). 
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio. 
 
A Mediana, a bissetriz e a altura são conhecidas como “cevianas”, em homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648–1736). 
 
# Pontos Notáveis de um Triângulo: 
 
Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo. 
Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo. 
Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo. 
Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo, e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo. 
 
# Triângulo Retângulo – Informações Básicas: 
 
 Relações Trigonométricas: 
hip
opcat
sen =θ , 
hip
adjcat
=θcos , 
adjcat
opcat
tg =θ 
 
 Ângulos complementares: º90=+ βα 
 
 Teorema de Pitágoras: 222 )()()( catcathip += 
Considerando “a” o maior lado de um triângulo e  
o seu vértice oposto, temos que: 
 
Se a2 = b2 + c2 ⇒ Triângulo retângulo (Â = 90º) 
 
Se a2 < b2 + c2 ⇒ Triângulo acutângulo (Â < 90º) 
 
Se a2 > b2 + c2 ⇒ Triângulo obtusângulo (Â > 90º) 
hip 
cat 
cat 
● 
α 
β 
Formulário de Geometria Analítica Prof. Júlio César Tomio 
 
 
Módulo: θsen.. wuwu rrrr =× com °≤≤ 1800 θ 
 Observação: 0//
rrrrr
=×⇒ wuwuSe 
 
ÁLGEBRA VETORIAL NO ℝℝℝℝ3 
 
Notação analítica (vetor posição): ( )zyxv ,,=r Notação utilizando dois pontos A e B : ABABv −==r 
 
Notação através da combinação linear da base canônica (vetor posição): kzjyixv
rrrr
++= 
 
Paralelismo: ∈=== nn
z
z
y
y
x
x
com
2
1
2
1
2
1 ℝ Versor de um vetor: 
u
u
uvers r
r
r
= 
 
Módulo de um vetor: 222 zyxu ++=
r
 Vetor Unitário: 1222 =++= zyxur 
 
Produto Escalar: 212121 ... zzyyxxwu ++=⋅
rr
 ou θcos.. wuwu rrrr =⋅ com °≤≤ 1800 θ 
 
Ângulo entre dois vetores: 
wu
wu
rr
rr
.
cos
⋅
=θ com °≤≤ 1800 θ Observação: 0=⋅⇒⊥ wuwu rrrrSe 
 
Produto Vetorial: 
222
111
zyx
zyx
kji
wu
rrr
rr
=× 
Aplicações do Produto Vetorial: Área Paralelogramo = wu
rr
× Área Triângulo = 
2
wu
rr
×
 
Produto Misto: 
333
222
111
),,()(
zyx
zyx
zyx
wvuwvu ==×⋅
rrrrrr
 Obs.: Se u
r
, v
r
 e w
r
 são coplanares ⇒ 0),,( =wvu rrr 
 
Aplicações do Produto Misto: Volume do Paralelepípedo = ),,( wvu rrr Volume do Tetraedro = ),,(6
1
wvu
rrr
⋅ 
 
Ângulos e cosenos diretores: ||cos v
x
r=α , ||cos v
y
r=β e ||cos v
z
r=γ com 1coscoscos 222 =++ γβα 
 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA “ r ”: vtAP r.= ou vtAP r.+= ou ainda ),,.(),,(),,( 000 cbatzyxzyx += 
Sendo que rzyxA ∈),,( 000 , “ v ” é o vetor diretor de r , “ t ” é o parâmetro e P é um ponto genérico de r . 
 
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES 
 
Coordenadas polares →→→→ ( )θ,rP 
 
Coordenadas cartesianas →→→→ ( )y,xP 
 
Conversão de polar para retangular: θ= cos.rx e θ= sen.ry 
 
Conversão de retangular para polar: 222 yxr += e 
x
y
tg =θ 
 
VALORES TRIGONOMÉTRICOS Conversão graus ⇔⇔⇔⇔ radianos: 180º →→→→ pipipipi rad 
 
 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º 
 
sen 
 
0 2
1 
2
2 
2
3 
 
1 
2
3 
2
2 2
1 
 
0 
 
1− 
 
0 
 
sen 
 
cos 
 
1 
2
3 
2
2 2
1 
 
0 2
1
− 
2
2
− 
2
3
− 
 
1− 
 
0 
 
1 
 
cos 
 
tg 
 
0 
3
3 
 
1 
 
3 
 
∄ 
 
3− 
 
1− 
3
3
− 
 
0 
 
∄ 
 
0 
 
tg 
 
Acadêmico(a):_______________________________________________________________ Turma: _________________ 
 
Versão B1 
y 
y 
x ≡ p 
P 
r 
x 0 
θ