TRIÂNGULOS COMPLETÃO

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CURSO PROGRESSÃO 
 
Profº Emilson Moreira 
 
Matemática 
 
 1 
triângulos 
1) Definição : Triângulo é o polígono de três lados. 
2) Elementos de um triângulo : Num triângulo ABC, temos : 
 
*A , B e C são os vértices do triângulo. 
 
* AB , BC e AC são os lados do triângulos, esses lados podem ser 
denominados pela letra minúscula correspondente a seu ângulo 
oposto. Assim o lado BC poderá ser denominado como a, o lado 
AC poderá ser denominado como b e o lado AB poderá ser 
denominado como c. 
 
*BAC , ACB e CBA são os ângulos internos do triângulo. 
 
*AB + BC + AC = a + b + c é o perímetro do triângulo 
 
 3) Ângulos Externos : São os ângulos formados por um lado 
com o prolongamento de outro. 
Os ângulos ABB' ; BAA' e ACC' são os ângulos externo do 
triângulo ABC. Os ângulos ABB' pode ser representado como B', 
BAA' como A' e ACC' como C' 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Relação entre Ângulos Externos e Internos 
Um ângulo interno e um ângulo externo adjacentes ( relativos a 
um mesmo vértice ) são sempre suplementares 
 
5) Classificação de um triângulo : Um triângulo pode ser 
classificados de duas maneiras : 
 
 
I - Quantos aos lados : 
 Eqüilátero : Quando possui seus três lados iguais. 
 Isósceles : Quando possui dois de seus lados iguais. 
 Escaleno : Quando possui os três lados desiguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) Quantos aos ângulos : 
 Acutângulo : Quando possui os três lados agudos. ( ângulos 
menores que 900 ) 
 Retângulo : Quando possui um ângulo reto e dois ângulos 
agudos. 
 Obtusângulo : Quando possui um ângulo obtuso ( ângulos 
maiores que 90º ) e dois ângulos agudos. 
 
 
6) Condição de Existência de um Triângulo 
Para que três valores representem os lados de um triângulo é 
necessário que : 
 Todo o lado é menor que a diferença não negativa entre os 
outros dois. 
 Todo o lado é maior que a soma entre os outros dois. 
Se a , b e c são os lados de um triângulo, teremos : 
 
 b - c < a < b + c 
 
7) Lei Angular de Thales 
Em todo triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 
180º . 
 
8) Soma dos Ângulos Externos 
 
Em todo triângulo a soma dos ângulos externos é sempre igual a 
360º. 
 
9) Cevianas : Definimos ceviana como sendo qualquer segmento 
de reta ( que não seja um lado ) que une um vértice a seu lado 
oposto ou a seu prolongamento. 
 
Os segmentos AQ , AP , NA , AM e AS são cevianas relativas ao 
lado BC 
 
9.1) Cevianas Notáveis de um Triângulo: 
1 - Altura: É a ceviana perpendicular ao lado oposto ou a seu 
prolongamento. Todo triângulo possui 3 alturas, cada uma delas 
relativa a um dos lados do triângulo. Essas alturas se cortam num 
ponto único denominado ortocentro. 
 
 
 
 
 
Matemática 2 
 
 
 
Obs - Triângulo Órtico: é o triângulo cujos vértices são os pés 
das alturas de um triângulo. O triângulo retângulo não possui 
triângulo órtico, já que seu ortocentro é o vértice do ângulo reto. 
 
2 - Mediana: É a ceviana que toca o lado oposto em seu ponto 
médio e, com isso, o divide em dois segmentos iguais. Todo 
triângulo possui 3 medianas, cada uma delas relativa a um dos 
lados do triângulo. Essas alturas se cortam num ponto único 
denominado baricentro. 
 
AM é a mediana relativa ao lado BC e M é o pé da mediana 
relativa ao lado BC. Os segmentos BM e CM são iguais 
BM' é a mediana relativa ao lado AC e M' é o pé da mediana 
relativa ao lado AC. Os segmentos AM' e CM' são iguais 
CM" é a mediana relativa ao lado AB e M" é o pé da mediana 
relativa ao lado AB. Os segmentos AM" e BM" são iguais 
T é baricentro do triângulo ABC 
Obs - Relação Importante 1: 
O baricentro divide cada mediana na razão de 2 para 1. A sua 
distância ao vértice é sempre o dobro de sua distância ao lado. 
 
 
Obs - Relação Importante 2: 
Em todo triângulo retângulo a mediana relativa à hipotenusa é 
igual a sua metade : 
 
AM = BM = CM e AM = BC/2 
 
3 - Bissetriz Interna: É a ceviana que divide um ângulo interno 
em dois ângulos adjacentes e iguais. Todo triângulo possui 3 
bissetrizes internas, cada uma delas relativa a um dos lados do 
triângulo. Essas bissetrizes internas se cortam num ponto único 
denominado incentro. 
 
AN é a bissetriz interna relativa ao lado BC e N é o pé da bissetriz 
interna relativa ao lado BC. Os ângulos BAN e CAN são iguais. 
BN' é a bissetriz interna relativa ao lado AC e N' é o pé da 
bissetriz interna relativa ao lado AC. Os ângulos CBN' e ABN' 
são iguais. 
CN" é a bissetriz interna relativa ao lado AB e N" é o pé da 
bissetriz interna relativa ao lado AB. Os ângulos CBN" e ACN" 
são iguais. 
I é incentro do triângulo ABC e é o centro da circunferência 
inscrita nesse triângulo 
 
3a - Relação Importante: O pé da bissetriz interna divide o lado 
em dois segmentos proporcionais aos lados a eles adjacentes. 
Sendo assim, podemos escrever : 
 
 
4 - Bissetriz Externa: É a ceviana que divide um ângulo externo 
em dois ângulos adjacentes e iguais. 
Todo triângulo possui 3 bissetrizes externas, cada uma delas 
partindo de cada vértice do triângulo. Essas bissetrizes internas se 
cortam duas a duas em três pontos denominados ex-incentro que 
serão respectivamente os centros das circunferências tangentes 
externas aos lados desse triângulo. 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiPvaagoevRAhWCHZAKHVXVCc0QjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.oilproject.org%2Flezione%2Fpunti-notevoli-di-un-triangolo-circocentro-baricentro-incentro-ortocentro-12547.html&psig=AFQjCNFPBdiLfFhJx01DYSkjhNqcfWNpmQ&ust=1485912702433930
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiPvaagoevRAhWCHZAKHVXVCc0QjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.oilproject.org%2Flezione%2Fpunti-notevoli-di-un-triangolo-circocentro-baricentro-incentro-ortocentro-12547.html&psig=AFQjCNFPBdiLfFhJx01DYSkjhNqcfWNpmQ&ust=1485912702433930
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=0ahUKEwisz4rrqevRAhXLFJAKHcUsCLMQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Frinconmatematico.com%2Fforos%2Findex.php%3Ftopic%3D46720.0&psig=AFQjCNFGb-4A_0_mas5AcZgT3Z7dmf5YWg&ust=1485914584533833
 
Matemática 3 
 
 
 
Obsipc: Mediatriz - Uma linha Notável : Mediatriz é a 
perpendicular que intercepta um lado em seu ponto médio. Todo 
triângulo possui 3 mediatrizes. Essas mediatrizes se cortam em 
um ponto denominado circuncentro que é o centro da 
circunferência circunscrita a esse triângulo. 
 
 
 
A reta m é a mediatriz relativa ao lado BC. Os segmentos BM e 
CM são iguais. M é o pé da mediatriz relativa ao lado BC. 
A reta m' é a mediatriz relativa ao lado AB. Os segmentos AM' e 
BM' são iguais. M' é o pé da mediatriz relativa ao lado AB. 
A reta m'' é a mediatriz relativa ao lado AC. Os segmentos AM'' e 
CM'' são iguais. M'' é o pé da mediatriz relativa ao lado AC. 
 O é o circuncentro do triângulo ABC e é o centro da 
circunferência circunscrita a esse triângulo 
 
 
Observações Importantes : 
Obs 1 : A mediatriz não é uma Ceviana 
Obs 2 : Em todo triângulo eqüilátero altura, mediana, bissetriz 
interna e mediatriz relativas a um mesmo lado são coincidentes. 
Obs 3 : Em todo triângulo isósceles altura, mediana, bissetriz 
interna e mediatriz relativas à base são coincidentes. 
10) Teoremas Angulares nos Triângulos 
Teorema 1: O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois 
ângulo de um triângulo vale 90º somado à metade do terceiro 
ângulo. 
 
No triângulo ABC, BM e CM são, respectivamente, as bissetrizes 
internas relativas aos lados AB e AC. ( ABM e CBM são iguais e 
ACM e BCM são iguais ). O maior ângulo formado por essas 
bissetrizes internas será dado por : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 2 : O ângulo formado pelas bissetrizes externas de dois 
ângulo de um triângulo vale 90º diminuído da metade do terceiro 
ângulo. 
 
No triângulo ABC, EM e FM são, respectivamente, as bissetrizesexternas relativas aos ângulos C e B. ( Os ângulos ACE e ECC' 
são iguais e ABF e FBB' são iguais ). O menor ângulo formado 
por essas bissetrizes externas será dado por : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 3 : O ângulo formado pelas bissetrizes externa e interna 
de dois ângulo de um triângulo vale a metade do terceiro ângulo. 
 
No triângulo ABC, CM e BM são, respectivamente, as bissetrizes 
internas e externas relativas aos ângulos C e B. 
(Os ângulos ACM e BCM são iguais e ABM e MBB' são iguais). 
O menor ângulo formado por essas bissetrizes será dado por : 
 
 
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjmoI2rsevRAhXHjpAKHSoLCJEQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.mundopositivo.com.br%2Fnoticias%2F20393470-confira_as_melhores_dicas_de_matem%25C3%25A1tica_para_ir_bem_no_enem.html&psig=AFQjCNHPoVEyEr_YuW05SVQ7DBaxtcy_XQ&ust=1485917781641829
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjSzaD9s-vRAhUBhpAKHbznAtUQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.wikiwand.com%2Fes%2FCircunferencia_circunscrita&psig=AFQjCNE7AYzf_OZopzy2qGKbaasPMl9Flg&ust=1485918417946115
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjSzaD9s-vRAhUBhpAKHbznAtUQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.wikiwand.com%2Fes%2FCircunferencia_circunscrita&psig=AFQjCNE7AYzf_OZopzy2qGKbaasPMl9Flg&ust=1485918417946115
 
Matemática 4 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 4 : Em todo triângulo o ângulo formdo pelas bissetriz 
interna e a altura relativas a um mesmo lado vale a semi-diferença 
positiva entre os outros ângulos do triângulo. 
 
No triângulo ABC, AH é a altura relativa ao lado BC e AM é a 
bissetriz interna relativa ao lado BC ( Os ângulos MAB e MAC 
são iguais ). O ângulo MAH = p formado por essa altura e por 
essa bissetriz interna será dado por : 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01 - Verificar se com os segmentos abaixo podemos construir 
triângulos. 
5 m , 12 m e 19 m 
02 - Verificar se com os segmentos abaixo podemos construir 
triângulos. 
7 cm , 11 cm e 14 cm 
03 - Determine os valores inteiros máximo e mínimo para o 
perímetro de um triângulo de lados : 
2 m e 5 m 
04) Determine os valores inteiros máximo e mínimo para o 
perímetro de um triângulo de lados : 
8 cm e 12 cm 
05 - Dois lados de um triângulo isósceles medem 6 cm e 17 cm. 
Qual é o perímetro desse triângulo? 
06 - Determine os valores possíveis para x sabendo que os lados 
de um triângulo são expressos em metros pelas expressões 10 , 15 
e 2x - 3. 
07 - Determine os lados de um triângulo de perímetro 35 m e 
cujos lados são expressos em metros pelas expressões x + 1 ; 3x - 
9 e 2x - 5 
08 - Determine os ângulos de um triângulo sabendo que eles são 
representados em graus por números pares e consecutivos. 
09 - Determine os ângulos de um triângulo sabendo que eles são 
diretamente proporcionais a 3, 4 e 11. 
 10 - Em um triângulo ABC, o ângulo A mede 74º. Determine os 
ângulos B e C se um excede o outro em 32º. 
11 - Num triângulo ABC os ângulos B e C excedem o ângulo A 
em 24º e 66º, respectivamente. Calcular os ângulos externos 
desse triângulo. 
12 - Determine os ângulos de um triângulo sabendo que eles são 
representados, em graus, pelas expressões x + 36º ; 2x - 15º e 3x - 
39º 
13 - Os ângulos internos de um triângulo são expresso em graus 
por 3x + 3º ; 2x - 1º e x + 40º. Determine-os 
14 - Os ângulos externos de um triângulo são expresso em graus 
por 5x + 15º ; 155º - x e 4x - 10º. Determine os ângulos internos 
desse triângulo 
15 - Os ângulos da base de um triângulo isósceles são expressos 
em graus por 4x + 10º e 2x + 40º. Determine a medida do ângulo 
do vértice. 
16 - Os ângulos distintos de um triângulo isósceles são 
proporcionais a 2 e 5. Quais são os ângulos desse triângulo ? 
17 - Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são tais que o 
maior excede o menor em 40º. Calcular esses ângulos. 
18 - Num triângulo ABC, o ângulo B excede em 12º o ângulo A 
e o triplo desse também excede em 12º o ângulo C. 
Quais são os ângulos desse triângulo ? 
19 - Em um triângulo ABC, o ângulo A está para o ângulo B 
assim como 9 está para 5 e o ângulo B está para o ângulo C assim 
como 5 está para 6. Calcule cada um dos ângulos externos do 
triângulo. 
20 - Determine o maior dos ângulos formado pelas bissetrizes 
internas de um triângulo eqüilátero. 
21 - Determine o maior dos ângulos formado pelas bissetrizes 
internas de um triângulo retângulo. 
22 - Determine o maior dos ângulos formado pelas bissetrizes 
internas de um triângulo escaleno cujo maior dos ângulos mede 
75o. 
23 - Determine os ângulos de um triângulo isósceles cujo ângulo 
formado pelas bissetrizes internas dos ângulos da base mede 142o. 
24 - Determine os ângulos de um triângulo isósceles cujo ângulo 
formado pelas bissetrizes externas dos ângulos da base mede 48o. 
25 - Determine os ângulos de um triângulo ABC cujo ângulo 
formado pelas bissetrizes externas dos ângulos relativos ao lado 
BC mede 63o., sabendo que os ângulos B e C são um o dobro do 
outro . 
26 - A mediana de um triângulo retângulo forma com um dos 
catetos um ângulo de 320. Determine cada um dos ângulos agudos 
desse triângulo. 
27 - Num triângulo, a diferença entre dois de seus ângulos é 440. 
Determine o ângulo formado pela bissetriz interna e pela altura, 
ambas relativas ao lado adjacentes a esses dois ângulos. 
28 - Num triângulo um dos ângulos mede 720. Determine o 
ângulo formado pelas bissetrizes, interna e externa dos outros dois 
ângulos. 
29 - Em um triângulo ABC, o ângulo A mede 68º e o ângulo B 
mede 560 .Determine os ângulos formados em torno o incentro 
desse triângulo. 
30 - Em um triângulo ABC, o ângulo A mede 500 24'. Determine 
o ângulo formado pela bissetriz interna de B com a bissetriz 
externa de C. 
31 - Em um triângulo retângulo ABC, retângulo em A, a mediana 
relativa ao lado BC forma com ele um ângulo de 1500. Determine 
cada um dos ângulos agudos desse triângulo retângulo. 
32 - As medianas de um triângulo, relativas aos lados BC, AC e 
AB, medem respectivamente 12 cm, 15 cm e 21 cm. Determine as 
distâncias do baricentro aos vértices A, B e C 
33 - Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo 
baricentro dista 5 cm do vértice do ângulo reto. 
34 - Calcule B e C na figura abaixo, sabendo que o ângulo M tem 
por medida 36º e é formado pela bissetriz interna de C e a 
bissetriz externa de B e que a razão entre as medidas de B e C é 
de 5 : 4. 
 
 
 
 
Matemática 5 
 35 - Determine o valor de x na figura abaixo, sabe-se que os 
segmentos TV e QM estão em retas paralelas. 
 
36 - Determine o valor do ângulo externo x na figura abaixo. 
 
 
 
37 - Calcule, na figura abaixo, o valor do ângulo interno x 
 
 
38 - Determine, na figura abaixo, o valor do ângulo x. 
 
39 - Determine, em função dos ângulos m, n e p, o valor do 
ângulo x. 
 
40 - Determine, em função de a, b e c , o valor do ângulo m 
 
41 - Calcular, na figura abaixo, o valor de a + b + c 
 
42 - Calcular, na figura abaixo, o valor de a + b + c + d + e 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) Não 
02) Sim 
03) 7 > 2p > 3 
04) 20 > 2p > 4 
05) 40 cm 
06) 14 > x > 4 
07) 9 , 11 e 15 cm 
08) 580 , 600 e 620 
09) 30º , 40º e 110º 
10) 37º , 69º e 74º 
11) 150º , 126º e 84º 
12) 69º , 51º e 60º 
13) 72º , 45º e 63º 
14) 40º , 50º e 90º 
15) 40º 
16) 40º , 40º e 100º ou 30º , 75º e 75º 
17) 25º e 65º 
18) 36º , 48º e 96º 
19) 135º , 126º e 99º 
20) 120º 
21) 135º 
22) 127º 30' 
23) 38º , 38º e 104º 
24) 48º , 48º e 84º 
25) 42º , 84º e 54º 
26) 32º e 58º 
27) 22º 
28) 36º 
29) 124º , 118º e 118º 
30) 25º 12' 
31) 15º e 75º 
32) 8 cm , 10 cm e 14 cm 
33) 15 cm 
34) B = 60º e C = 48º 
 
Matemática6 
35) x = 62º 01' 
36) x = 129º 
37) x = 54º 
38) x = 150º 
39) x = p + m + n 
40) m = b + c - a 
41) a + b + c = 132º 
42) a + b + c + d + e = 180º 
 
NÍVEL 2 
 
1. Considere o triângulo ABC da figura adiante. 
 
Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a bissetriz externa 
do ângulo C um ângulo de 50°, determine a medida do ângulo 
interno A. 
 
2. Na figura adiante, AB=AC, BX=BY e CZ=CY. Se o ângulo A 
mede 40°, então o ângulo XYZ mede: 
a) 40° 
b) 50° 
c) 60° 
d) 70° 
e) 90° 
 
3. Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. 
Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos 
outros ângulos internos? 
a) 20° b) 40° c) 60° d) 80° e) 140° 
 
4. Na figura a seguir determine o ângulo que é oposto ao lado de 
menor comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Observe a figura.Nessa figura, AB = BD = DE e o segmento 
BD é bissetriz de EïC. A medida de AÊB, em graus, é 
a) 96 
b) 100 
c) 104 
d) 108 
e) 110 
 
6. Na questão a seguir escreva nos parênteses (V) se for 
verdadeiro ou (F) se for falso. 
 
 
( ) O triângulo ABC é equilátero. 
( ) O triângulo ACD é isósceles. 
( ) ‘ - (– + ’) é divisível por 2. 
( ) åî = Ø. 
( ) Os triângulos ABC e ACD têm áreas iguais. 
 
7. PA é bissetriz do triângulo ABC. Determine x, y, z, t. 
 
8. Existe ou não um triângulo com lados medindo 3cm, 2cm, 
7cm? Justifique sua resposta. 
 
9. Num triângulo isósceles ABC, com AB = AC, AM é mediana. 
Se B = 40°, determine os ângulos x e y. 
 
10. Os três ângulos de um triângulo têm para expressões 
respectivamente, 5x - 40°, 2x + 20°, 3x. Verifique se este 
triângulo é equilátero. 
 
11. O triângulo cujos lados medem 10cm, 24cm e 26cm: 
a) é acutângulo 
b) é retângulo 
c) é eqüilátero 
d) é isósceles 
e) é obtusângulo 
 
Matemática 7 
12. O triângulo de lados 8,15 e 17 tem: 
a) um ângulo reto 
b) dois ângulos retos 
c) três ângulos agudos 
d) um ângulo obtuso 
e) dois ângulos obtusos 
 
13. Com três segmentos e comprimentos iguais a 10cm, 12cm e 
23cm... 
a) é possível apenas formar um triângulo retângulo 
b) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo 
c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo 
d) é possível formar os três triângulos 
e) não é possível formar um triângulo 
 
14. O perímetro de um triângulo isósceles de 3cm de altura é 
18cm. Os lados desse triângulo em cm são: 
a) 7, 7, 4 
b) 5, 5, 8 
c) 6, 6, 6 
d) 4, 4, 10 
e) 3, 3, 12 
 
15. A medida da altura do triângulo equilátero cujo lado mede 
20cm é: 
a) 20 cm 
b) 10 cm 
c) 10Ë3 cm 
d) 20Ë3 cm 
e) 5 cm 
 
16. Observe a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nela, a, 2a, b, 2b, e x representam as medidas, em graus, dos 
ângulos assinalados. O valor de x, em graus, é: 
a) 100 b) 110 c) 115 d) 120 
 
17. Na figura abaixo, tem-se que AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se 
o ângulo EDF mede 80°, então o ângulo ABC mede: 
a) 20° 
b) 30° 
c) 50° 
d) 60° 
e) 90° 
 
18. Observe esta figura: 
 
Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retas CB 
e ED são paralelas. Assim sendo, o ângulo AïC mede 
a) 39° 
b) 44° 
c) 47° 
d) 48° 
 
19. Na figura a seguir, os segmentos de reta åæ, åè e èî são 
congruentes, ’ é um ângulo externo, e ‘ um ângulo interno do 
triângulo ABD. 
 
Assinale a opção que contém a expressão correta de ’ em termos 
de ‘. 
a) ’ = 3‘. 
b) ’ = 2‘. 
c) ’ = ‘/2. 
d) ’ = 2‘/3. 
e) ’ = 3‘/2. 
 
20. Na figura a seguir, as retas r e s são perpendiculares e as retas 
m e n são paralelas. Então, a medida do ângulo ‘, em graus, é 
igual a: 
 
a) 70. 
b) 60. 
c) 45. 
d) 40. 
e) 30. 
 
 
Matemática 8 
21. Um triângulo com lados medindo 2.10¦¡, 10¢¡¡-1 e 10¢¡¡+1: 
a) é isósceles 
b) é retângulo 
c) tem área 10¢¦¡-1 
d) tem perímetro 4.10¢¦¡ 
e) é acutângulo 
 
22. Na figura ilustrada abaixo, os segmentos AB, BC, CD, DE e 
EA são congruentes. Determine, em graus, a medida do ângulo 
CAD. 
 
 
 
23. Um barco está sendo rebocado para a margem de um porto 
por um cabo de aço. Inicialmente, o barco está no ponto A da 
ilustração, quando o cabo tem comprimento de 100m. Após puxar 
o cabo de 20m, o barco ocupa a posição B. Nessas condições, 
podemos afirmar que a distância AB é: 
 
a) maior que 20m. 
b) igual a 20m. 
c) igual a 19m 
d) igual a 18m. 
e) menor que 18m. 
24. Na figura abaixo, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a 
reta suporte da bissetriz do ângulo CÂH. 
 
Se c = 30° e b = 110°, então: 
a) x = 15° 
b) x = 30° 
c) x = 20° 
d) x = 10° 
e) x = 5° 
25. ABCD é uma paralelogramo, M é o ponto médio do lado CD, 
e T é o ponto de intersecção de AM com BD. O valor da razão 
DT/BD é: 
a) 1/2. 
b) 1/3. 
c) 2/5. 
d) 1/4. 
e) 2/7. 
 
26. Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm perímetros iguais. 
Se a diagonal do quadrado mede 9Ë2m, então a altura do 
triângulo, em metros é: 
a) Ë3/2 
b) Ë3 
c) 2Ë3 
d) 4Ë3 
e) 6Ë3 
 
27. No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC 
medem respectivamente 5cm, 7cm e 9cm. Se P é o ponto de 
encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e 
MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR 
é: 
a) 10/9 
b) 9/8 
c) 7/6 
d) 4/3 
e) 7/5 
 
 
28. Considere um triângulo equilátero de lado Ø como mostra a 
figura a seguir. Unindo-se os pontos médios dos seus lados 
obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um 
destes quatro triângulos é igual a: 
 
 
 
a) 5Ø/2 
b) Ø 
c) 3Ø 
d) Ø/2 
e) 3Ø/2 
 
 
 
 
 
Matemática 9 
GABARITO 
1. 100° 
2. [D] 
3. [B] 
4. 58 
5. [D] 
6. V V V V V 
7. x = 30° ; y = 100° ; z = 80° ; t = 70° 
8. Não existe; pois 7 > 2 + 3 
9. x = 50 
y = 90 
10. É equilátero 
11. [B] 
12. [A] 
13. [E] 
14. [B] 
15. [C] 
16. [D] 
17. [A] 
18. [D] 
19. [A] 
20. [A] 
21. [B] 
22. 36° 
23. [A] 
24. [D] 
25. [B] 
26. [E] 
27. [D] 
28. [E] 
 
OUTRAS QUESTÕES 
 
1) Dados os números abaixo, verifique se podem representar 
triângulos e, em caso afirmativo, classifique quanto aos lados e 
aos ângulos. 
a) 6, 8, 14 
b) 4, 5, 10 
c) 19, 20, 21 
d) 8, 15, 17 
e) 3, 4, 6 
f) 3, 3, 2 
 
2) (PUC) O maior dos segmentos desenhados na figura abaixo 
é: 
 
a) AB 
b) AC 
c) BC 
d) BD 
e) CD 
 
 
 
 
 
3) (Fuvest) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em 
graus, é: 
 
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 
4) Na figura a seguir, AB = AC, AD = AE e BÂD = 48º . O valor do 
ângulo C E é: 
 
a) 12° 
b) 18° 
c) 24° 
d) 36° 
e) 48° 
 
5) A distância entre o circuncentro e o baricentro de um triângulo 
retângulo de hipotenusa 42 cm é: 
a) 14 cm b) 12 cm c) 9 cm d) 7 cm e) 6 cm 
 
6) Na figura, os dois triângulos são equiláteros. 
 
Qual é o valor do ângulo x? 
 
7) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A e M é o ponto 
médio do lado BC. Então a medida de  , em graus, é: 
 
a) 80º b) 90º c) 100º d) 110º e) 120º 
 
8) No triângulo ABC, da figura, AM e CN são medianas que se 
interceptam em G. Sendo AG = 10 cm e CN = 18 cm, calcule x, y 
e z. 
 
 
 
 
 
Matemática 10 
9) Na figura, M é o ponto médio do lado BC e CN é a bissetriz 
interna. Então a medida  , em graus, é: 
 
a) 80º 
b) 75º 
c) 70º 
d) 65º 
e) 60º 
 
10) Um ponto P, interno a um triângulo, eqüidista dos vértices de 
um triângulo ABC. O ponto P é: 
a) O baricentro do triângulo ABC. 
b) O incentro do triângulo ABC. 
c) O circuncentro do triângulo ABC. 
d) O ortocentro do triângulo ABC. 
e) Um ex-incentro do triângulo ABC. 
 
11) Um ponto Q pertence à região interna de um triângulo DEF e 
eqüidista dos lados desse triângulo.O ponto Q é: 
a) O baricentro do triângulo DEF. 
b) O incentro do triângulo DEF. 
c) O circuncentro do triângulo DEF. 
d) O ortocentro do triângulo DEF. 
e) Um ex-incentro do triângulo DEF. 
 
12) Qualdos pontos notáveis do triângulo pode ser um de seus 
vértices? 
a) baricentro b) incentro c) circuncentro 
d) ortocentro e) ex-incentro. 
 
13) Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicionam 
externamente em relação à sua região triangular? 
a) Baricentro e Ortocentro 
b) Incentro e Circuncentro 
c) Baricentro e Circuncentro 
d) Incentro e Ortocentro 
e) Baricentro e Incentro 
 
14) (UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um 
vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é 
denominado: 
a) Mediana b) Mediatriz c) Bissetriz d) Altura e) Base. 
 
15) (ESAM) O segmento da perpendicular traçada de um vértice 
de um triângulo à reta do lado oposto é denominada altura. O 
ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do 
triângulo é chamado: 
a) Baricentro b) Incentro c) Circuncentro d) Ortocentro e) Mediano 
 
16) (CESESP) Dentre os quatro centros principais do triângulo 
qualquer, há dois deles que podem se situar no seu exterior, 
conforme o tipo de triângulo. Assinale a alternativa em que os 
mesmos são citados. 
a) O baricentro e o ortocentro. 
b) O baricentro e o incentro. 
c) O circuncentro e o incentro. 
d) O circuncentro e o ortocentro. 
e) O incentro e o ortocentro. 
 
 
17) No triângulo ABC da figura = 60º e = 20º. Qual o valor 
do ângulo HÂS formado pela altura e a bissetriz? 
 
 
18) No triângulo ABC da figura é altura e é a bissetriz do 
ângulo A C. Determine B C, sendo dados BÂH = 30º e A B 
= 40°.