Lógica: Proposições Simples e Compostas

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Matemática e Raciocínio Lógico
aula 1 – Proposições simples e compostas
Prof. Me. George Morais
O que é lógica?
“Um método científico formal de examinar ou pensar em ideias (Cambridge Dictionary)
“É o estudo normativo, filosófico do raciocínio válido.” (Wikipedia-PT)
Neste curso abordaremos a Lógica Formal (ou Lógica Aristotélica);
A estrutura de raciocínio será fundamentada nas LEIS DO PENSAMENTO;
Leis do pensamento
Princípio da Identidade
Se uma proposição qualquer e verdadeira, então ela é verdadeira.
“Cada coisa é aquilo que é.” (Gottfried Leibniz)
Princípio do terceiro excluído
Toda proposição tem um dos dois valores lógicos: ou verdadeiro ou falso, excluindo-se qualquer outro.
Princípio de não-contradição
Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa.
Proposições
Proposição é toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira (V) ou falsa (F) (mas não V e F ao mesmo tempo);
Usamos letras maiúsculas para representar as proposições:
P: Todo recifense é pernambucano.
Q: O Brasil está situado na Europa.
R: Existe vida humana fora da Terra.
Proposições
FRASES QUE NÃO SÃO PROPOSIÇÕES
Qual a sua idade?
Varra esta sala agora.
X + 2 = 9.
Eu sou mentiroso (Paradoxo de Eubulides)
Negação
A partir de uma proposição P qualquer, podemos construir uma nova proposição dita negação de P adicionando a palavra “NÃO” ou expressões como “Não é verdade que” ou “É falso que”. Escrevemos ~P ou ¬P;
Exemplos:
P: Eu tenho um crocodilo de estimação;
~P: Eu NÃO tenho um crocodilo de estimação;
Q: Neymar é brasileiro;
~Q: É falso que Neymar é brasileiro;
Tabela-Verdade
P
¬P
V
F
F
V
exercícios
Proposições simples e compostas
Proposições simples: Apenas um sujeito e um predicado;
Exemplo: “Regina é escritora.”
Podemos, a partir de proposições simples construir novas proposições empregando operadores lógicos (conectivos);
Exemplos: 
 O número 2 é primo e crocodilos têm asas.
 O número 2 é primo ou Alice tem 17 anos de idade.
 3 é par se e somente se 3 é divisível por 2.
 OBS.: A proposição “Guilherme e Maria são solteiros” é simples.
Operadores lógicos (conectivos)
“E” (conjunção P^Q)
Exemplo: O número 2 é primo e crocodilos têm dentes
A conjunção P^Q é verdadeira se P e Q são ambas verdadeiras. Se uma delas for falsa, P^Q será falsa.
P
Q
P^Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Tabela-verdade
Operadores lógicos (conectivos)
“OU” (Disjunção Inclusiva P ∨ Q)
Exemplo: O número 2 é primo ou crocodilos têm dentes
A disjunção inclusiva P ∨ Q é verdadeira se pelo menos uma dentre P ou Q for verdadeira. Se as duas forem falsas, P ∨ Q será falsa.
P
Q
P∨Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Tabela-verdade
Tabela-verdade
exercícios
exercícios
Tabela-verdade
Operadores lógicos (conectivos)
“OU... Ou...” (disjunção exclusiva P ∨ Q)
Exemplo: Ou Brasília é a capital do Brasil ou Brasília é a capital da Argentina
A condicional P ∨ Q é verdadeira se uma (e apenas uma) das proposições P e Q for verdadeira. Em outros casos, P ∨ Q será falsa.
Tabela-verdade
EXERCÍCIOS
exercícios
Tautologia e contradição
Consideremos uma proposição P e analisemos as proposições P ∨ ¬P e P ^ ¬P.
 
P
¬P
P∨ ¬P
V
F
V
F
V
V
Tautologia
Contradição
Tautologia e contradição
Exemplos:
“Renato é são-paulino ou Renato não é são-paulino” é uma tautologia.
“Renato é são-paulino e Renato não é são-paulino” é uma contradição.
Proposições que podem ser verdadeiras ou falsas são chamadas contingências.
 
Exercícios