RM1 7. Carga Axial

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Carga Axial, esforço axial ou normal
Carga Axial, esforço axial ou normal
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Esforço normal – Hipóteses:
➢ O eixo da barra inicialmente reto,
permanece reto após a deformação.
➢ A seção transversal inicialmente
plana, permanece plana após a
deformação.
➢ A força normal está aplicada no
centróide da seção.
➢ O material é elástico, homogêneo e
isotrópico.
➢ Deformação uniforme.
➢ Tensão uniforme.
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Tensão Normal Máxima
➢ Diagrama de corpo livre.
➢ Cálculo dos esforços normais atuantes.
➢ Aplicação da condição de equilíbrio.
➢ Cálculo da tensão normal nas seções.
➢ Determinação da máxima tensão normal.
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𝜎 =
𝐹
𝐴
𝜎 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
Convenção de sinais
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Estruturas sob esforços normais
6
Treliças
Colunas/Pilares
Estruturas sob esforços normais
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Cabos Tirantes
Estruturas sob esforços normais
8
Estacas de Fundação
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- Barra carregada em uma
extremidade e fixa na outra.
- Distorções próximas ao ponto de
aplicação da carga e no engaste.
- Na região central considera as
tensões e deformações com
distribuição uniforme.
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➢ Em regiões suficientemente afastada
do ponto de aplicação das cargas a
distribuição de deformações e de
tensões serão independente da forma
de aplicação do carregamento.
➢ Em geral: este afastamento deve ser
maior que a maior dimensão da seção
transversal da peça.
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Barré de Saint-Venant (1855)
Qualquer sistema de forças estaticamente equivalentes
(força resultante e momento resultante) produzem tensões e
deformações iguais em uma região suficientemente afastada
do ponto de aplicação das cargas.
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Resumindo:
Não é preciso considerar a
distribuição de tensão complexa nos
pontos de aplicação de carga ou em
apoios, quando analisarmos a
distribuição de tensão em um corpo
em seções suficientemente
afastadas dos pontos de aplicação
de carga.
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𝜎 =
𝑃(𝑥)
𝐴(𝑥)
𝜎 = 𝐸 × 𝜀
𝜀 =
𝑑𝛿
𝑑𝑥
𝛿 = න
0
𝐿𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝐴(𝑥)𝐸
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𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
𝛿 =෍
𝑃𝐿
𝐴𝐸
1) Considerando a barra mostrada na Figura abaixo, determine
a equação para obtenção do deslocamento da extremidade A
em relação à extremidade D.
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2) A barra de aço A-36 mostrada na Figura
ao lado é composta por dois segmentos, AB
e BD, com áreas de seção transversal
respectivamente iguais à 600 mm² e 1.200
mm². Determine o deslocamento vertical
da extremidade A e o deslocamento de B
em relação a C. Dado: E= 210 GPa.
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3) Um elemento é feito de um material
com peso específico γ e módulo de
elasticidade E. Se esse elemento tiver a
forma de um cone com as dimensões
mostradas na Figura ao lado, determine
até que distância sua extremidade se
deslocará sob a força da gravidade,
quando suspenso na posição vertical.
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𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
𝜋. 𝑟2. ℎ
3
4) O conjunto mostrado na Figura abaixo é composto por um
tubo de alumínio AB com área da seção transversal de 400mm².
Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um
colar rígido e passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN
for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade
C da barra. Dados: Eaço= 200 GPa; Eal= 70 GPa.
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Resolver os problemas abaixo listados do livro
Resistência dos Materiais – 7ª Edição do autor Russell
Charles Hibbeler.
➢ 4.1
➢ 4.3
➢ 4.7
➢ 4.12
➢ 4.15
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Utilizado para determinar a tensão ou deslocamento em um ponto
de um elemento submetido a carregamento complicado.
Condições para aplicação:
➢ Relação linear entre carga e tensão/deslocamento a ser determinado.
➢ Ausência de mudanças significativas na geometria ou configuração
inicial do elemento.
Obs.: Não se aplica em colunas com flambagem.
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𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 − 𝑃 = 0
Condição de compatibilidade 
(condição cinemática)
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𝛿𝐴/𝐵 = 0
𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐸
−
𝐹𝐵𝐿𝐶𝐵
𝐴𝐸
= 0
𝐹𝐴 = 𝑃
𝐿𝐶𝐵
𝐿
𝐹𝐵 = 𝑃
𝐿𝐴𝐶
𝐿
Estaticamente Indeterminado
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0 = 𝛿𝑝 − 𝛿𝐵
𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐸
−
𝐹𝐵𝐿𝐶𝐵
𝐴𝐸
= 0
𝐹𝐴 = 𝑃
𝐿𝐶𝐵
𝐿
𝐹𝐵 = 𝑃
𝐿𝐴𝐶
𝐿
1) A haste de aço mostrada na Figura abaixo tem diâmetro de 5
mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há
uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine
as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial
P = 20 kN conforme mostra a figura. Despreze o tamanho do
colar em C. Considere Eaço = 200 GPa.
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2) A haste de aço mostrada na Figura abaixo tem diâmetro de 5
mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há
uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine
as reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial
P = 20 kN conforme mostra a figura. Despreze o tamanho do
colar em C. Considere Eaço = 200 GPa.
FAÇA PELO MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO
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3) Uma pilar de concreto possui quatro barras de aço. Se for
submetido a uma força axial de 800 kN, determine o diâmetro
exigido para cada barra de modo que 25% da carga seja
suportada pelo aço e 75% pelo concreto. Dados: Eaço= 200 GPa,
Econc= 25 GPa.
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Considerando material homogêneo e isotrópico, a variação do
comprimento pode ser obtida por:
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𝛿𝑇 = න
0
𝐿
𝛼 × ∆𝑇𝑑𝑥
Elementos estaticamente indeterminado:
➢ Restrições de deslocamentos.
➢ Consideração da tensão térmica no projeto.
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1) A barra de aço apresentada na Figura está
restringida para caber exatamente entre
dois suportes fixos quando T1= 30°C. Se a
temperatura aumentar até T2= 60°C,
determine a tensão térmica normal média
desenvolvida na barra.
Dados: α= 12x10-6/°C; Eaço= 200 GPa.
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2) Um tubo de alumínio com área de seção
transversal de 600mm² é utilizado como
luva para um parafuso de aço com área de
seção transversal de 400mm². Quando a
temperatura é T1= 15°C, a porca mantém o
conjunto em uma posição precisa, de tal
modo que a força axial no parafuso é
desprezível. Se a temperatura aumentar
para T2= 80°C, determine a tensão normal
média no parafuso e na luva. Ealum=73,1
GPa; Eaço= 200 GPa; αalum= 23x10
-6/°C; αaço=
12x10-6 /°C.
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3) Duas barras feitas de materiais diferentes são acopladas e
instaladas entre duas paredes quando a temperatura é T1= 10°C.
Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando a
temperatura for T2= 20°C. As propriedades dos materiais e as
áreas de seção transversal de cada barra são dadas na figura.
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A chave elétrica fecha quando as
hastes da ligação CD e AB se
aquecem, oque provoca a
translação e a rotação do braço
rígida BDE até fechar o contato em
F. A posição original de BDE é
vertical e a temperatura é 20°C. Se
AB for feita de bronze e CD de
alumínio, determine o espaço “s”
exigido entre os contatos para a
chave fechar quando a temperatura
alcançar 110°C. Dados: Ebronze = 103
GPa; αbronze = 17x10
-6/°C; Ealum = 68,9
GPa; αalum = 24x10
-6/°C.
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Carga axial > Distribuição de tensão complexa.
➢ Tensão máxima.
➢ Material Elástico.
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𝑃 = න
𝐴
𝜎𝑑𝐴
Em casos de mudança da área da seção transversal
pode-se determinar a tensão máxima na seção crítica,
aplicando um fator de concentração de tensão.
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𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾
𝑃
𝐴
𝐾 =
𝜎𝑚á𝑥
𝜎𝑚é𝑑
𝜎𝑚é𝑑 =
𝑃
𝐴
O fator de concentração de tensão (K) não depende das
propriedades dos materiais e sim da geometria e da
descontinuidade do elemento.
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K>3 K≈1,5
K<1,5K<1,5
Fator de concentração de tensão (K)
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44
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1) As dimensões da barra de aço são
mostradas na Figura ao lado. Se a
tensão admissível for 130 MPa,
determine a maior força axial P que a
barra pode suportar.
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2) A tira de aço mostrada na Figuraabaixo está sujeita a
uma carga axial de 80 kN. Determine a tensão normal
máxima desenvolvida na tira e o deslocamento de uma de
suas extremidades em relação à outra. Dados: σe = 700
MPa; Eaço=200 GPa.
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HIBBELER, Russel Charles. Resistência dos materiais.
Tradução: Arlete Simille Marques; Revisão técnica:
Sebastião Simões da Cunha Jr. 7 ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2010.
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