P1/2018.2 Cálculo 1 - Unificado - UFRJ

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Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Primeira Prova de Cálculo I - Unificado
27/09/2018
— QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA —
1a Questão: (2.0 pts) Indique a opção correta dos itens de múltipla-escolha abaixo no quadro adequado do caderno de
respostas:
I) Considere f : R→ R uma função derivável com f(1) = 4 e f(3) = 8, e considere as afirmações abaixo:
A) f possui pelo menos uma raiz
B) Para algum c ∈ (1, 3) vale que f(c) = 5.
C) Para algum c ∈ (1, 3) vale que f ′(c) = 2.
Escolha a alternativa correta:
a) Somente A é verdadeira
b) Somente B é verdadeira
c) Somente C é verdadeira
d) A e B são verdadeiras
e) B e C são verdadeiras
f) Todas são verdadeiras
g) Todas são falsas
II) Considere as afirmações abaixo:
A) Se uma função é côncava para cima então ela é necessariamente crescente em todo seu domínio
B) O gráfico de uma função pode interceptar o eixo vertical mais de uma vez
Classifique-as como verdadeira ou falsa:
a) Ambas são falsas
b) Ambas são verdadeiras
c) A é falsa e B é verdadeira
d) A é verdadeira e B é falsa
III) Seja f(x) uma função qualquer, e considere as afirmações abaixo:
A) A reta tangente a f(x) em um dado ponto pode interceptar seu gráfico em outro ponto
B) f(x) possui reta tangente em todo ponto de seu gráfico
Classifique-as como verdadeira ou falsa:
a) Ambas são falsas
b) Ambas são verdadeiras
c) A é falsa e B é verdadeira
d) A é verdadeira e B é falsa
IV) O limite lim
x→−∞
ax2018 + b
cx2018 + d
é igual a: a) a/c b) b/d c) 0 d) −∞ e) +∞
— VIRE A PÁGINA — QUESTÕES DISCURSIVAS NO VERSO —
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Primeira Prova de Cálculo I - Unificado
27/09/2018(continuação)
— QUESTÕES DISSERTATIVAS — JUSTIFIQUE TODAS SUAS RESPOSTAS —
2a Questão: (1.5 pts) Considere a função f definida como
f(x) =

|3x− 1| − |3x+ 1|
x
, para x > 0,
a, para x = 0,
sen(ax)
x
, para x < 0.
Determine o valor de a para que tenhamos f contínua em R.
Resolução: Primeiramente, notemos que o único potencial ponto de descontinuidade de f é para x = 0. Agora, calculando
os limites laterais de f quando x vai a zero, temos que:
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
|3x− 1| − |3x+ 1|
x
= lim
x→0+
−(3x− 1)− (3x+ 1)
x
= lim
x→0+
−6x
x
= −6.
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
sen(ax)
x
= lim
x→0−
a
sen(ax)
ax
y=ax
= lim
y→0
a
sen(y)
y
= a.
Para que tenhamos f contínua em 0 devemos ter lim
x→0+
f(x) = lim
x→0−
f(x) = f(0) = a, ou seja a = −6.
3a Questão: (2.0 pts) Faça o que se pede abaixo:
a) Calcule a derivada de exp
(
sen(x2)√
x
)
, onde exp(y) denota a função ey.
b) Considere a função f dada por f(x) = x2 +
√
x3 + 8 ln(x). Seja a função g tal que seu valor em x = 2 vale 4 e sua
derivada nesse mesmo valor vale 3. Calcule (f ◦ g)′(2).
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27/09/2018(continuação)
Solução:
a) Temos que:
exp
(
sen(x2)√
x
)′
= exp
(
sen(x2)√
x
)[
sen(x2)√
x
]′
= exp
(
sen(x2)√
x)
)[
(
√
x)(sen(x2))′ − sen(x2)(√x)′
(
√
x)2
]
= exp
(
sen(x2)√
x
)[
2x
√
x cos(x2)− sen(x2)/2√x
x
]
= exp
(
sen(x2)√
x
)[
2
√
x cos(x2)− sen(x
2)
2
√
x3
]
.
b) Queremos calcular (f ◦ g)′(2) = f ′(g(2))g′(2). Sabemos do enunciado que g(2) = 4 e que g′(2) = 3. Calculemos quem
é f ′(g(2)) = f ′(4):
f ′(x) = 2x+
3
2
√
x+
8
x
⇒f ′(4) = 8 + 3
2
√
4 +
8
4
= 13.
Dessa forma, o resultado desejado é dado por (f ◦ g)′(2) = f ′(g(2))g′(2) = 13× 3 = 39.
4a Questão: (2.5 pts) Considere a função f(x) = xe−x, sendo suas derivadas primeira e segunda dadas, respectivamente,
por f ′(x) = e−x(1− x) e f ′′(x) = e−x(x− 2). Siga o roteiro abaixo para esboçar um gráfico de f :
I) Encontre as raízes de f
II) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de f , caso existam
III) Identifique os intervalos onde f é crescente e decrescente
IV) Encontre os pontos de máximo e mínimo locais de f , caso existam
V) Identifique os intervalos onde f é côncava para cima ou para baixo, e encontre os seus pontos de inflexão, caso existam
VI) Com base nas informações acima, esboce um gráfico de f
Solução:
I) Fazendo f(x) = xe−x = 0 temos que a única raiz é em x = 0.
II) Como f está definida para todo x ∈ R, não há candidatos a assíntota vertical. Para assíntotas horizontais, calculemos
os limites abaixo:
• lim
x→∞xe
−x = lim
x→∞
x
ex
L′H
= lim
x→∞
x′
(ex)′
= lim
x→∞
1
ex
= 0.
• lim
x→−∞xe
−x = −∞, pois o primeiro termo vai para −∞ e o segundo vai para ∞.
Dessa forma, temos uma assíntota horizontal em y = 0.
III) Note que os pontos críticos de f satisfazem f ′(x) = e−x(1−x) = 0, de modo que somente x = 1 é ponto crítico. Como
f ′(x) é negativa para x > 1 e positiva para x < 1, temos que f é crescente no intervalo (−∞, 1) e decrescente no
intervalo (1,∞).
IV) Pela análise de sinais de f ′ feita no item anterior, temos que f tem um máximo local para x = 1, e nenhum mínimo
local.
V) Notamos que f ′′(x) é positiva quando x > 2 e negativa quando x < 2, de modo que f é côncava para cima no intervalo
(2,∞) e côncava para baixo no intervalo (−∞, 2). Dessa forma, o único ponto de inflexão de f é para x = 2.
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VI)
5a Questão: (2.0 pts) Um caminhão despeja cimento sobre o solo, que se acumula em um monte da forma de um cone,
cuja altura é igual ao raio da base. Se o volume de cimento aumenta a uma taxa de 10m3/s, a que razão aumenta a área da
base do monte formado pelo cimento, quando sua altura é de 4m?
Solução: Denote por V o volume de cimento, h a altura do monte, r o raio da base e A a área da base. Sabemos que o
volume do cone e a área da base são dados, respectivamente, por V =
1
3
pir2h e A = pir2. Do enunciado temos que r = h, de
modo que podemos reescrever V como V =
1
3
pir3. Queremos determinar A′(t) quando r = 4m.
Derivando A em relação a t, temos que: A′(t) =
d
dt
pir(t)2 = 2pir(t)r′(t).
Derivando V em relação a t, temos que: V ′(t) =
d
dt
1
3
pir(t)3 = pir(t)2r′(t).
Como o enunciado nos informa que V ′(t) = 10m3/s, temos que r′(t) =
10
pir(t)2
, que substituindo na fórmula para A′(t) nos
dá que A′(t) = 2pir(t)r′(t) =
20
r(t)
. Logo, quando r = h = 4m, e denotando por t0 o tempo no qual isso acontece, temos que
A′(t0) = 20/4 = 5m2/s.
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