1. INTRODUÇÃO

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UNIDADE VI – NOÇÕES DE PROBABILIDADE:
1 	INTRODUÇÃO: O termo probabilidade é usado de modo muito amplo diariamente para sugerir um certo grau de incerteza sobre o que ocorre no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está ocorrendo no presente. Por exemplo, o aluno poderá ficar contente porque acha que sua probabilidade de obter bons resultados nas provas é grande. A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas situações que envolvem uma tomada de decisão. Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do conhecimento, tais como: Economia, Psicologia, Biologia, Educação e outros ramos de ciências.
Foi no século XVII, com os chamados jogos de azar, que surgiram os primeiros estudos de Probabilidade. O primeiro trabalho escrito de que se tem notícia e que envolve a noção de Probabilidade data de 1477. Trata-se de um comentário feito à Divida Comédia (Dante), onde há referência às Probabilidades associadas aos vários resultados decorrentes do jogo de 3 dados.
Os fenômenos que são analisados através da Estatística, mesmo quando o experimento é realizado dentro das mesmas condições anteriores, sofrem alterações de uma observação para outra, dificultando a sua análise. Desse modo, é aconselhável a utilização de um modelo matemático que facilitem a previsão de resultados futuros. Este modelo matemático de análise é probabilístico e será denominado de Cálculo de Probabilidade. 
2 	TÉCNICAS DE CONTAGEM: Listar e contar os eventos elementares do experimento aleatório, lançamento de uma moeda três vezes seguidas, é um procedimento simples, pois o espaço amostral do experimento é pequeno. Entretanto, se o experimento fosse o lançamento de um dado três vezes seguido ou o lançamento de uma moeda oito vezes seguida, p procedimento listar e contar os possíveis resultados seria trabalhoso. As técnicas de contagem determinam, sem enumeração direta, o número de resultados possíveis de um espaço amostral.
3 	ANÁLISE COMBINATÓRIA: É a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento (evento) sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades.
FATORIAL: n! = n. (n – 1) . (n – 2). ... . 3 . 2 . 1 n N e n > 1
 n! (lê-se: n fatorial de n)
1! = 1
0! = 1	DEFINIÇÕES ESPECIAIS: 
OBS: OBSERVE QUE NÃO EXISTE FATORIAL DE NÚMERO NEGATIVO, CASO APAREÇA UM NÚMERO NEGATIVO VOCÊ IRÁ CALCULAR O FATORIAL DO SEU MÓDULO.
Exemplo:
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 b) 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
c) calcular: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 = 120 = 15
 3! + 2! 3 . 2 . 1 + 2. 1 6 + 2 8
d) calcular: 5! = 5 . 4 . 3! = 20 = 10
 3! . 2! 3! . 2 . 1 2
e) calcular: 6! + 3! - 2! = 6 .5 .4 .3. 2 + 3 . 2 – (2 .1) = 720 + 6 – 2 = 724 = 6,03
 5! 5. 4 . 3 . 2 120 120
3.1 	COMBINAÇÃO SIMPLES:
C 
n, p
 = n! 
 
 p! (n – p )!
Combinação simples de n elementos distintos tomados p a p (n ≥ p ) são todos os subconjuntos de p elementos que é possível formar a partir de um conjunto.
 n,p : (n,p) N e p ≤ n
Ex: Calcular: 2
a) C5,3 = 5! = 5! = 5 . 4 . 3! = 10
 3! (5 – 3)! 3! 2! 3! 2. 1
 3
b) C6,2 = 6! = 6! = 6 . 5 . 4! = 15
 2! (6 – 2)! 2! 4! 2 . 1 4!
CASOS ESPECIAIS DE COMBINAÇÃO SIMPLES:
Cn,p para n N* e p = 0
C
n,0
 
= 
 n! 
= 
 n! 
= 1
 0! (n – 0)! n! Um conjunto com n elementos (n N*) admite um único subconjunto com zero elementos, que é o conjunto vazio
Cn,p para n = p = 0
C
0,0
 
= 
 0! 
= 1
 0! (0 – 0)! Um conjunto com zero elemento admite um único subconjunto com zero elemento, que é o próprio conjunto vazio.
Ex: a) Uma classe de 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. Determine o número de comissões em que participa o aluno X e não participa a aluna Y.
Solução: Devemos escolher:
3 alunos entre os 9 restantes (elimina-se 1 no todo por causa do aluno X que está permanente e tira-se 1 da comissão porque 1 vaga já está garantida p/ o aluno X) C 9,3
2 alunas entre os 4 restantes (elimina-se 1 no todo por causa da aluna Y que nunca estará presente, e não se altera a quantidade da comissão C 4,2
 3 4 2
C 9,3 . C 4,2 = 9! . 4! = 9 . 8 . 7 . 6! . 4 . 3 . 2! = 84 . 6 = 504
 3! 6! 2! 2! 3 . 2 . 6! 2! . 2
4	ARRANJOS SIMPLES:
A
n,p
 
= n . (n – 1) . (n – 2) . ... . (n – p + 1) 
lê-se: arranjo simples de n elementos tomados p a p.
A
n,p
 
= n! 
 
( n – p)!
 Fórmula utilizando o fatorial
Ex: Calcular:
a) A6,2 = 6! = 6 . 5 . 4! = 30
 (6 – 2)! 4!
 5! + 3! 5! + 3!
b) A5,4 + A3,2 = (5 – 4)! (3 – 2)! = 1! 1! = 5. 4 . 3 . 2 + 3 . 2 =
 A4,2 - A2,1 4! - 2! 4 . 3. 2! - 2! 4 . 3 - 2
 (4 – 2)! (2 –1)! 2! 1!
 = 120 + 6 = 126 = 63 = 12,6
 12 – 2 10 5
 c) Quantos números com 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los?
Solução: Vamos analisar: Os números formados devem ter 3 algarismos. Ao inverter-se a ordem, logicamente teremos novos números; portanto o problema é de arranjo simples.
Onde o nosso n=6 e o nosso p=3.
A6,3 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3! = 120 podemos formar 120 números
 (6 – 3)! 3!
5	 PERMUTAÇÕES:
5.1 	PERMUTAÇÃO SIMPLES:
P
n
 
= n. (n – 1) . (n – 2). ... . 1 = n!
É o tipo de agrupamento, sem repetição, em que entram todos os elementos em cada grupo.
	 Observe que a permutação simples é um caso particular de arranjo simples, isto é:	A n,n = P n
Ex: a) Calcular o número de permutações simples dos elementos do conjunto {a, b, c}. Como o conjunto é formado por 3 elementos temos uma P3 = 3! = 3. 2 = 6
Tais permutações são: (a, b, c); (b, a, c); (c, a, b); (a, c, b); (b, c, a); (c, b, a)
b) Calcular o número de anagramas da palavra AMOR.
OBS: Chama-se anagrama de uma palavra toda permutação que pode ser formada com suas letras. Neste exemplo podemos mostrar alguns anagramas da palavra AMOR:
AMOR	ROMA	OMAR	RMOA 	...
Como trata-se de um conjunto formado por 4 elementos (letras) o total de anagramas dessa palavra é P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24
c) Calcular o número de anagramas da palavra SAUDE.
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 = 120
5.2 	PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS:
P
n
 
(n1, n2, ... , nk)
 = 
 n!
 
.
 (n1! . n2! . ... . nk!)
Ex: a) Qual é o número de anagramas da palavra COLOSSO?
Devem-se permutar 7 letras com 3 letras iguais a O e 2 letras iguais a S, isto é:
 2
P7 (3,2) = 7! = 7 . 6 . 5 .4 . 3! = 420
 3! . 2! 3! . 2 
Qual é o número de anagramas da palavraREPRESENTANTE?
Devem-se permutar 13 letras com 4 letras iguais a E, 2 letras iguais a R, 2 letras iguais a T e 2 letras iguais a N, isto é:
 6 4 3
P13 (4,2,2,2) = 13! = 13.12.11.10.9.8.7.6.5.4! = 32432400
 4!.2!.2!.2! 4! . 2 . 2 . 2 
Qual é o número de anagramas da palavra UNIVERSIDADE?
Devem-se permutar 12 letras com 2 letras iguais a I, 2 letras iguais a E, 2 letras iguais a D, isto é:
 6 4 
P12 (2,2,2) = 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2! = 14968800
 2!.2!.2! 2 . 2 . 2! 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO N° 16:
Calcule:
4! – 2! – 0! =
 1!
12! = 
 9!
 105! =
 104!
9! . 5! =
 8! . 7!
 n! =
 (n – 1)!
 (n + 1)! =
 (n – 1)!
Calcular usando o fatorial:
A 8,2 =
A 3,3 =
A 7,0 =
A 0,0 =
A 9,5 =
Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 5 pessoas?
 Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Se apenas uma pessoa dirige, de quantas maneiras diferentes os passageiros podem se acomodar no carro para uma viagem?
Calcule o número de anagramas da palavra CADERNO.
Calcule o número de anagramas da palavra MARMELADA.
De quantas maneiras podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas:
indistintamente:
as 5 do mesmo naipe:
8) Uma urna contém 12 bolas, das quais 7 são pretas e 5, brancas. De quantas modos podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 sejam brancas?