Lista 10 Gabarito MA 13

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MA13 - Lista 10
1. É verdade que duas retas distintas ortogonais a uma ter
eira são paralelas entre si?
Resposta: Não. Na �gura a seguir, as retas AB e DH são ambas ortogonais à reta
FG e, no entanto elas são ortogonais entre si.
b
A
b
B
b
C
bD
b
E
b
F
b
G
b
H
2. Desenhe um 
ubo. Que poliedro tem por vérti
es os 
entros das fa
es do 
ubo?
Um OCTAEDRO REGULAR:
b
A
b
B
b
C
b
E
b
F
b
G
b
H
3. Sejam V A, V B e V C segmentos mutuamente perpendi
ulares. Mostre que a projeção de
V sobre o plano ABC é o orto
entro do triângulo ABC.
b
V
b
C
b
A
bB
b
D
b
H
V A⊥pl(V BC) ⇒ V A⊥BC. Além
disso, V H⊥pl(ABC) ⇒ V H⊥BC.
Portanto BC é ortogonal a duas retas
on
orrentes de pl(V HA) = pl(AV D),
ou seja, BC⊥pl(AV D) e AD ⊂
pl(AV D)⇒ BC⊥AD.
Com argumentos análogos, mostra-se
que a reta CH⊥AB e, portanto H é o
ponto de en
ontro de duas alturas do
triângulo ABC.
4. O triângulo ABC, retângulo em A, está 
ontido em um plano α. Sobre a perpendi
ular
a α traçada por C tomamos o ponto D e, por �m, as perpendi
ulares CE e CF às retas
AD e BD, respe
tivamente. Mostre que:
A) AB é perpendi
ular a AD.
B) CE é perpendi
ular a EF .
C) DF é perpendi
ular a EF .
C
B
A
D
F
E
(α)
A) DC é perpendi
ular a CA e CA é perpendi
ular a AB. Logo, pelo Teorema das
três perpendi
ulares, DA é perpendi
ular a AB.
B) Como AB⊥pl(ACD), temos CE⊥AB e CE⊥AD, ou seja, CE é ortogonal a
duas retas 
on
orrentes do plano ABC e, portanto CD⊥pl(ADB), em parti
ular
CE⊥EF ⊂ pl(ADB)
C) CF é ortogonal a DF , pois CD⊥pl(ADB) e DF⊥CF portanto DF é ortogonal
a duas retas do plano CEF e é ortogonal a todas as retas desse plano, ou seja,
DF⊥EF ⊂ pl(CEF )
5. Mostre que as arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais.
Basta veri�
ar que 
ada aresta está 
ontida no plano mediador, que é perpendi
ular
por de�nição, da aresta oposta. Isso é verdade porque os vérti
es da aresta oposta
a uma aresta qualquer de um tetraedro regular perten
em às mediatrizes da aresta
onsiderada nos planos formados pela aresta e um vérti
e da aresta oposta.
6. Qual é o lugar geométri
o dos pontos equidistantes de três pontos A, B e C, não 
oline-
ares?
É uma reta perpendi
ular ao plano formado por esses pontos passando no 
ir
un
entro
do triângulo ABC. Essa reta é a interseção dos planos mediadores dos segmentos AB,
AC e BC.
7. A �gura abaixo mostra um paralelepípedo retângulo. Sejam, AÔP = α, BÔP = β e
CÔP = γ. Mostre que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
b
A
b
O
b
B
b
C
b
P
cosα =
AO
PO
, cos β =
BO
PO
e cos γ =
CO
PO
, portanto cos2 α + cos2 β + cos2 γ =
AO2 +BO2 + CO2
PO2
=
PO2
PO2
= 1
8. Em um tetraedro regular de aresta a 
al
ule:
a) a distân
ia entre duas arestas opostas.
b)o 
osseno do ângulo entre duas fa
es.
a
√
3
2
a
2
d
θ
2
A
B
C
H
D
a) d2 =
(
a
√
3
2
)2
−
(a
2
)2
∴ d =
a
√
2
2
b) Usando a lei dos 
ossenos no triângulo AHD, cos θ =
3a2
4
+
3a2
4
− a2
2× 3a
2
4
=
1
3
9. Em um o
taedro regular de aresta a 
al
ule:
a) a distân
ia entre duas fa
es opostas.
b) o 
osseno do ângulo entre duas fa
es adja
entes.
O losango desta
ado na �gura nos forne
erá todas as informações que desejamos.
Esse losango tem lado medindo
a
√
3
2
, diagonal menor medindo a e diagonal maior
medindo a
√
2.
A distân
ia entre as fa
es do o
taedro será igual à distân
ia entre os lados opostos do
losango e o ângulo entre as fa
es do o
taedro será igual ao maior ângulo do losango.
a) Distân
ia entre as fa
es (x):Alosango =
D × d
2
= lado × x usando os valores
onhe
idos:
a2
√
2
2
=
a
√
3
2
x ∴ x = a
√
2
3
=
a
√
6
3
b) Usando a lei dos 
ossenos, se θ é o ângulo entre as fa
es do o
taedro, cos θ =
3a2
4
+
3a2
4
− 2a2
2× 3a
2
4
= −1
3
10. As molé
ulas de metano (CH4) tem o formato de um tetraedro regular, 
om um átomo
de hidrogênio em 
ada vérti
e, 
ada um deles ligado ao átomo de 
arbono no 
entro do
tetraedro. Cal
ule o ângulo formado por duas dessas ligações.
α
θ
Vamos 
onsiderar apenas o quadrilátero ressaltado. Note que ele possui dois ângulos
retos opostos e, portanto α + θ = pi, onde θ é o ângulo entre as fa
es do tetraedro,
al
ulado no exer
í
io 8, letra b. Como α = pi − θ, cosα = − cos θ = −1
3
11. Sejam A e B pontos do espaço. Qual é o lugar geométri
o dos pontos do espaço tais que
o ângulo APB seja reto?
b
B
b
A
b
P2
b
P1
Basta notar que △APB estará sempre ins
rito em uma meia 
ir
unferên
ia de diâ-
metro AB, portanto P é um ponto da esfera de diâmetro AB.
13. Seja P um ponto exterior a um plano α e Q um ponto de α. Qual é o lugar geométri
o dos
pés das perpendi
ulares traçadas de P às retas de α que passam por Q?
O L.G. Pro
urado deve estar no plano α e tambem deve estar na esfera de diâmetro
PQ (vide o exer
í
io anterior) portanto ele é a interseção do plano α e a esfera de
diâmetro PQ. Isso será um 
ír
ulo de diâmetro P ′Q, onde P ′ é a projeção de P sobre
o plano α.
14. Um pedaço de papel na forma de um quadrado ABCD é dobrado ao longo da diagonal
AC de modo que os lados AB e AD passem a formar um ângulo de 60o . A seguir ele é
olo
ado sobre uma mesa apoiado sobre esses lados. Nessas 
ondições, 
al
ule o 
osseno
do ângulo que AC faz 
om o plano da mesa.
Seja 2 o lado do quadrado. O triângulo ABD é equilátero, pois é isós
eles e tem
um ângulo de 60o. Con
lui-se daí que BD = AB = BC = CD = 2 e, portanto
BDC também é equilátero. Seja M o ponto médio de BD. O ângulo pro
urado será
∠MAC = θ. Como sabemos que AC = 2
√
2, AM = CM =
√
3, podemos apli
ar a
lei dos 
ossenos: cos θ =
8 + 3− 3
2×√3× 2√2 =
2√
6
=
√
6
3