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EXERCÍCIOS DE CADEIA DE MARKOV 31 10 2018 F7  SEP (2)

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EXERCÍCIOS CADEIA DE MARKOV A TEMPO DISCRETO
TURMA F7 SEP – OUTUBRO 2018
EXERCÍCIO 1: Considere uma máquina que no início de um dado dia particular ou está quebrada ou está operando em perfeita condição. Supondo que essa máquina esteja quebrada no início do n-ésimo dia, ela terá uma probabilidade p de que no início do (n+1)-ésimo dia ela estará consertada e em condições perfeitas de funcionamento. Supor ainda, que se no início do n-ésimo dia ela estiver operando em perfeitas condições, ela terá uma probabilidade q de que no início de (n+1)- ésimo dia estará quebrada. Defina os estados e encontre a matriz de transição. 
EXERCÍCIO 2: Suponha que choverá ou não amanhã, dependerá das condições previstas pela meteorologia se chove ou não hoje e não das condições meteorológicas passadas. Suponha também que se chove hoje, então choverá amanhã com probabilidade (, e se não chove hoje, então choverá amanhã com probabilidade (. Defina os estados e encontre a matriz de probabilidade de transição.
EXERCÍCIO 3: O nível econômico de um homem é classificado em três categorias: Rico (R); Classe Média (M) e Pobre (P). Suponha que dos filhos de um homem rico 95% são ricos e 5% são de classe média. No caso de um indivíduo de classe média, 10% são ricos, 70% de classe média e 20% são pobres. No caso de um homem pobre, 30% são de classe média e 70% são pobres. Se cada homem tem apenas um filho, ache a cadeia de Markov que representará uma família através de gerações sucessivas.
EXERCÍCIO 4: O Banco 1 oferece empréstimos que são pagos nas datas de vencimento ou ocorrem com atraso. Se o pagamento de um empréstimo atrasar mais do que quatro trimestres (1 ano), o Banco 1 considera o empréstimo como um crédito em liquidação e o elimina da contabilidade. A tabela abaixo dá uma amostra da experiência passada do Banco 1 com empréstimos.
	Quantia Emprestada
	Trimestres de atraso
	Histórico de Pagamento
	$ 10.000
	0
	$ 2.000 pagos, $ 3000 atrasados mais que 1 trimestre, $ 3.000 atrasados mais que 2 trimestres e o restante atrasado mais que 3 trimestres
	$ 25.000
	1
	$ 4.000 pagos, $ 12.000 atrasados mais que 1 trimestre, $ 6.000 atrasados mais que 2 trimestres e o restante atrasado mais que 3 trimestres
	$ 50.000
	2
	$ 7.500 pagos, $ 15.000 atrasados mais que 1 trimestre e o restante atrasado mais que 2 trimestres 
	$ 50.000
	3
	$ 42.000 pagos e o restante atrasado mais que 1 trimestre
	$ 100.000
	4
	$ 50.000 pagos
 
Expresse a situação de empréstimo do Banco 1 como uma cadeia de Markov.
EXERCÍCIO 5. Pacientes que sofrem de falência renal podem fazer um transplante ou diálise periódica. Durante qualquer ano 30% conseguem transplantes de pessoas que morreram e 10% recebem rins de um doador vivo. No ano seguinte a um transplante, 30% dos transplantados com rins de pessoas mortas e 15% dos que receberam rins de doadores vivos voltam à diálise. As porcentagens de óbitos entre os dois grupos são 20% e 10% respectivamente. Entre os que continuam com a diálise , 10% morrem, e, entre os que sobrevivem mais de um ano após o transplante, 5% morrem e 5% voltam à diálise. Represente a situação como uma cadeia de Markov.
EXERCÍCIO 6. Considere o exercício 4 acima (Banco 1). Suponha que o Banco 1 tem hoje $ 500.000 de empréstimos pendentes. Desses $ 100.000 são novos, $ 50.000 estão com 1 trimestre de atraso, $ 150.000 estão com 2 trimestres de atraso, $ 100.000 estão com três trimestres de atrasos e o restante está com mais de quatro trimestres de atraso. Qual seria o quadro desses empréstimos após dois ciclos de empréstimos? 
EXERCÍCIO 7. Considere o exercício 5 acima. 
a) Para um paciente que está atualmente em diálise, qual é a probabilidade de receber um transplante em dois anos?
b) Para um paciente que atualmente sobrevive há mais de um ano, qual a probabilidade de sobreviver mais quatro anos? 
EXERCÍCIO 8. Em um domingo ensolarado de primavera, o MiniGolf pode obter $ 2.000 de receita bruta. Se o dia estiver nublado, a receita cai 20%. Um dia chuvoso reduz a receita em 80%. Se o dia de hoje estiver ensolarado, há 80% de chance que amanhã o tempo também vai estar ensolarado, sem nenhuma chance de chuva. Se o dia estiver nublado, há 20% de chance de chover amanhã e 30% de chance de fazer sol. A chuva continuará no dia seguinte com uma probabilidade de 0,8, mas há 10% de chance de fazer sol.
a) Determine a receita diária esperada para o MiniGolf.
b) Determine o número médio de dias em que o tempo não estará ensolarado
EXERCÍCIO 9: Exemplo 1.2 (Estoque) – página 1 da apostila. Uma pequena loja de equipamentos eletrodomésticos vende um certo tipo de máquina de lavar roupa. No entanto, ela somente pode ter em estoque no máximo cinco unidades. Então se no final do dia a loja tem no estoque somente uma unidade ou nenhuma, o gerente manda buscar tantas unidades quantas sejam necessárias para ter cinco na loja no dia seguinte antes de 
começar o expediente. Vamos chamar de Xn à quantidade de unidades na loja no final do n-ésimo dia. Elas podem ser consideradas variáveis aleatórias, pois é razoável supor que não temos como prever a quantidade de máquinas de lavar que serão compradas cada dia. De acordo com o exercício 6.(página 73 apostila) e considerando o exemplo (1.2 – conforme descrito) assuma que o número de clientes que quer comprar uma máquina de lavar cada dia é 0, 1, 2 ou 3 com probabilidade 0.3, 0.4, 0.2 e 0.1 respectivamente. Mostre que {Xn} é uma cadeia de Markov e determine sua matriz de transição.
EXERCÍCIO 10. (Exercício 12 – página 73 da apostila) Os resultados de uma pesquisa revelam que 80% das filhas de mulheres trabalhadoras trabalham, enquanto só 30% das filhas de mulheres que não trabalham, o fazem. Esta situação pode ser modelada por uma cadeia de Markov X = {Xn}n ε N onde Xn representa o status laboral de uma mulher na geração n, isto é, o espaço de estados é E = {T,NT} (T=mulher que trabalha, 
NT=mulher que não trabalha).
(a) Escreva a matriz de transição para este modelo.
(b) Se numa época determinada a proporção de mulheres trabalhadoras é de 30%, qual
será a proporção das netas destas mulheres que trabalham?
(c) Calcule a probabilidade de que uma mulher e a sua avó trabalhem.
(d) A longo prazo qual será a proporção de mulheres trabalhadoras?
EXERCÍCIO 11. (FAZER EXERCÍCIO 13 – página 73 e 74 da apostila)
13. Uma seguradora de carros classifica os seus clientes em três classes: não desejáveis,
satisfatórios e preferenciais. A classificação de um cliente pode mudar de um ano para
o outro. Não é possível passar de preferencial a não desejável nem vice-versa. 40 % dos segurados não desejáveis viram satisfatórios, 30% dos satisfatórios vira preferencial enquanto 10 % deles viram não desejáveis e 20% dos preferenciais viram satisfatórios. Podemos representar esta situação usando uma cadeia de Markov X = {Xn}n∈N onde
Xn representa a classificação de um cliente no ano. Temos, portanto, E = {não desejável, satisfatório, preferencial}.
(a) Escreva a matriz de transição do modelo.
(b) Represente a topologia da cadeia.
(c) Calcule a probabilidade de um cliente preferencial continuar a sê-lo no próximo ano e virar satisfatório no ano seguinte.
(d) Calcule a probabilidade de um cliente não desejável virar satisfatório depois de dois
anos.
(e) A longo prazo quais serão as proporções de clientes em cada uma das classes?
EXERCÍCIO 12. (FAZER EXERCÍCIO 14 – pagina 74 da apostila)
Um professor tem duas lâmpadas na sua garagem. Quando as duas se queimam, elas são trocadas de forma tal que no começo do dia seguinte haverão duas lâmpadas funcionando. Suponha que quando as duas funcionam, exatamente uma delas para de
funcionar com probabilidade 0,02. No entanto, se há somente uma funcionando, ela se
queimará com probabilidade 0,05. A longo prazo qual é a fração do tempo que haverá
exatamente uma lâmpada funcionando?