WEB Aula 02 Especialização em MBA Gestão Financeira Matemática Financeira

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MBA EM GESTÃO FINANCEIRA
WEBAULA 1
Unidade 2 – Matemática Financeira
 
O objetivo desta unidade é apresentar as formas de calcular as prestações em cada sistema de amortização e o valor dos juros e da amortização contidos na prestação.
Em juros compostos, os cálculos de taxas equivalentes se diferem dos juros simples. Para transformar as taxas, por exemplo, taxa de 10% ao ano para taxa mensal é preciso entender o que são taxas nominais, efetivas e equivalentes.
 
Fonte: Shutterstock (2012)
TAXA DE JUROS NOMINAL
É a taxa de juros contratada em uma operação, ou seja, é o valor expresso no contrato ou título, e nem sempre é a taxa efetivamente cobrada. Teixeira e Di Pierro Netto (1998) acrescentam que na taxa nominal o período ao qual a taxa se refere não coincide com o período de capitalização.
Por exemplo, suponhamos que um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos durante três meses a taxa de 70% ao ano, capitalizados mensalmente. Pode-se perceber que a taxa esta expressa em termos anuais, mas, a capitalização se dá em termos mensais. Isto indica que a remuneração do capital se dá em termos mensais, portanto, faz-se necessária a diferenciação entre taxa nominal e taxa efetiva.
A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.
	Exemplos:
1300% ao ano com capitalização mensal.
480% ao semestre com capitalização mensal.
320% ao ano com capitalização trimestral.
 
 
 
TAXA DE JUROS EFETIVA
É a taxa de juros real aplicada sobre o valor do título, no período considerado, produzindo o montante igual ao valor nominal do título. A taxa efetiva é representada por if. No caso do exemplo acima a taxa efetiva pode ser calculada da seguinte maneira:
 
	onde:
if = taxa efetiva
i = taxa nominal
k = frequência de períodos relativos à capitalização de if
 
 
A taxa efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
	Exemplos:
•  150% ao mês com capitalização mensal.
•  480% ao semestre com capitalização semestral.
•  80% ao ano com capitalização anual.
 
Veja este exemplo de cálculo da taxa efetiva:
Dada uma taxa nominal de 70% ao ano, determinar a respectiva taxa anual efetiva:
Portanto,
 
Fonte: Danilzan (2012)
 
Fonte: Danilzan (2012)
TAXA DE JUROS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes no sistema de capitalização composta, quando aplicadas pelo mesmo prazo, em um mesmo período, resultam em um mesmo montante. São calculadas pela seguinte fórmula:
Utilizando-se do mesmo exemplo anterior qual a taxa equivalente para um ano.
ou 79,58% ao ano
 
Vamos calcular com a ajuda da HP 12C:
Teclas                      Visor
f FIN f 2                      0,00
100 CHS PV         -100,00
105 FV                   105,00
12 1/x n                  0,0833
    i                         79,59% a.a      
 
Qual é a taxa anual equivalente à taxa de 10% a.m.?
Teclas                      Visor
f FIN f 2                      0,00
100 CHS PV         -100,00
110 FV                   110,00
12 1/x n                  0,0833
    i                          213,84% a.a      
 
Qual é a taxa mensal equivalente à taxa de 140% a.a.?
Teclas                      Visor
f FIN f 2                      0,00
100 CHS PV         -100,00
240 FV                   240,00
12 n                        12,00
i                              7,57% a.m.
 
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?
i= (1 + 0,20) 0,083333333 - 1
i= 1,015309470 – 1
i= 0,015309470 x 100
i= 1,53 % a.m
HP 12C
100 CHS PV
120 FV
12n
i
 
Calcular a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
i= (1+ 0,02)12 – 1
i=1,26824180 – 1
i= 0,26824180  x 100 = 26,82% a.a
 
HP 12C
100 CHS PV
102 FV
12  1/x  n
i
Um fundo de renda fixa paga, atualmente, juros compostos de 30% ao ano. Calcule a taxa de juros equivalente:
a)  Mensal;
b)  Semestral;
a) i = 30%  a. a
ie = ( 1 +  i )n- 1
ie = ( 1 +  0,30 ) - 1
ie = ( 1,30 )0,08333 - 1
ie = 1,022103557 – 1
ie = 0,022103557 x 100
ie = 2,21% a . m
 
NA HP 12C
100 CHS PV
130 FV
12 n
i
 
b) i = 30 %  a .m
ie = ( 1 +  i )n- 1
ie = ( 1 +  0,30 )½ - 1
ie = ( 1,30 )0,5 - 1
ie = 1,140175425 – 1
ie =  0,140175425 x 100
ie = 14% a.s
NA HP 12C
100 CHS PV
130 FV
2 n
i
 
É possível também programar a HP 12C para calcular diretamente as taxas equivalentes.
Programa para conversão de taxas na calculadora HP 12C.
Saiba que o emulador da calculadora HP 12C não faz o cálculo das taxas equivalentes.
 
Para iniciar este programa pressione:
g    GTO  00                   Digite                           No visor
f  P/R                             00-
Enter                             01-36
1                                   02-1
x<>  y                           03-34
%                                  04-25
+                                   05-40
R/S                                06-31
1/x                                07-22
yx                                  08-21
R/S                                09-31
yx                                  10-21
1                                    11-1
-                                    12-30
1                                   13-1
0                                   14-0
0                                   15-0
x                                   16-20
g GTO 00                        17-43.3300
f P/R                            sai do modo programado
 
Dados de entrada:
1º taxa que tenho: R/S
2º prazo que tenho: R/S
3º prazo que quero: R/S
Dados de saída:
Taxa que quero
 
Exemplo: determinar a taxa equivalente de 5% ao mês para ao ano.
5 R/S
30R/S
360R/S    resposta
Taxa de 79,59% ao ano.
 
Observação: Para HP Platinum digitar g GTO 000 
Fonte: Shutterrstoch (2012a)
DESCONTOS COMPOSTOS
Você aprendeu sobre descontos simples, que existe o desconto comercial e o racional. O conceito de desconto no regime de capitalização composta é também o abatimento que obtemos quando saldamos uma dívida (um compromisso) antes de seu vencimento.
Utilizamos principalmente o desconto composto para operação em longo prazo. Temos também dois tipos de descontos compostos: o racional e o comercial.
Um cálculo que fazemos em relação aos descontos, é quando queremos saber o valor atual de um título. Mas o que é valor atual? Vamos conceituar:
Valor atual, em regime de juro composto, de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos o montante N.
Assim temos a seguinte fórmula:
A = N ( 1 + i )-n
Também podemos utilizar calcular o valor atual usando outra fórmula:
N= Valor nominal
A= Valor atual
n= número de períodos antes do vencimento
i= taxa de desconto
D= desconto composto
 
Vamos aos exemplos:
1) Um comerciante quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo valor nominal é de R$ 120,00. Sabendo que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% a. m., ache o valor atual desse título e o valor do desconto racional.
Dados:
N= 120,00
i  = 3%
n= 3 meses
 
A= 120,00/ (1,03)3
A= 120,00/1,092727
A= 109,82
 
D= N – A
D=120,00 – 109,82
D= 10,18
O valor do título será de R$ 109,82 e o desconto concedido será de R$ 10,18
 
Na HP 12C
120,00 FV
3n
3i
PV
RCL FV +
 
Veja este outro exercício resolvido:
Uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 4 meses antes de seu vencimento. O valor nominal deste título é de R$ 1300,00. Sabendo que a taxa é de 5% a.m à taxa de desconto racional composto, calcule:
Qual será o valor atual cobrado?
A= N (1 + i)-n
A= 1300,00 (1,05)-4
A= 1300,00 x 0,822702474
A= 1069,51
 
Na HP 12C
1300,00 FV
4n
5i
PV
Se apertar o CHS tira o sinal negativo.
 
Um título com vencimento em 12 meses foi descontado 5 meses antes do vencimento. Sendo o valor nominal de R$ 5000,00e a taxa de 1,5% a.m., calcular o líquido resgatado, no desconto racional composto.
A= N (1 + i) –n
A= 5000,00 (1,015)-5
A= 5000,00 x. 0,928260325
A= 4641,30
Na HP 12C
5000,00 FV
5 n
1,5 i
PV
 
Vamos praticar agora um cálculo de taxa equivalente e desconto racional composto:
	Calcular o valor atual de um título de valor nominal igual a R$ 4000,00 descontados 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 30% ao ano.
Vídeo 5 - Desconto racional composto e taxa equivalente
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Conseguiu fazer o cálculo de desconto composto? Transformou a taxa de 30% ao ano para mensal? Ainda tem mais exercícios para praticar!
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
O desconto comercial é determinado aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (N) do título de crédito.
Usamos a fórmula do valor atual do título corresponde a:
Ac= N ( 1 -  i )n
Vou apresentar um exemplo:
Um título com valor nominal de R$ 5000,00 será descontado 5 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto de 1,5% ao mês, capitalizável mensalmente.
Ac= 5000,00  (1 – 0,015)5
Ac= 5000,00 x  (0,985)5
Ac= 5000,00 x 0,927216502
Ac =4636,08
 
Pela calculadora HP 12C:
5000 CHS PV
1,5 chs i
5n
FV
 
Podemos também calcular o valor do desconto comercial composto:
Dc = N [1 – (1 – i)n]
 
Calcule o valor do desconto comercial composto de um título de R$ 4000,00 descontados 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 2% a.m.
Dc = 4000,00 [1 – (1 – 0,02)3]
Dc = 4000,00 [1 – (0,98)3]
Dc = 4000,00 [1 – 0,941192]
Dc = 4000,00 .  0,058808
Dc = 235,23
 
Pela calculadora HP 12C:
4000,00 CHS PV
2 chs i
3 n
FV
RCL PV
+
 
Quer fazer uma revisão dos descontos simples e compostos?
Veja os slides neste link:
www.bertolo.pro.br/MatFin/Slides/SlideMatFin5.pps
 
Fluxo de Caixa
Quando você realizar outros exemplos de exercícios de outros autores, alguns deles apresentarão um esquema de setas para representar as situações que os enunciados dos exercícios pedem. Esta representação é conhecida como Fluxo de Caixa.
É uma representação gráfica que contempla informações sobre as Entradas e Saídas de capital, realizada em certos períodos, marcada na linha de tempo com início no instante t = 0. Este contribui para a compreensão dos estudos e os efeitos da análise de diversas aplicações, desde um investimento ou empréstimo, financiamento  etc.
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.
É essencial que o fluxo de caixa seja utilizado para as finanças pessoais também, entender o que são receitas, despesas, saber gerenciar suas finanças. Neste link você ouvirá dicas sobre como gerenciar suas finanças:
https://www.youtube.com/watch?v=NdtRV6kYisQ
As atividades financeiras são muito antigas e até hoje se percebe a necessidade de conhecer mais sobre o assunto.
Quer saber mais? Leia sobre alguns aspectos históricos da Matemática Comercial e Financeira.
De acordo com a história da matemática é uma atividade muito antiga. Segundo os historiadores, os juros e os impostos existem desde a Babilônia no ano de 2000 a. C. Os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. Já havia empréstimo de sementes e outros produtos agrícolas. Percebe-se pelos textos históricos que as transações comerciais estavam ligadas à agricultura.
Na Babilônia, os juros é uma das práticas mais antigas da matemática financeira. Existiam escritórios desde aproximadamente 500 a.C. Havia um sistema de trocas de mercadorias.
Alguns autores nos relatam que no Egito, as mercadorias eram estimadas e pagas em metais como cobre, bronze, algumas vezes ouro ou prata.
Há relatos que já no século VII a.C., na Grécia surgiram as primeiras moedas semelhantes às atuais, com a impressão do cunho oficial.
Os juros eram usados principalmente em relação às colheitas, por exemplo, as sementes eram emprestadas para a semeadura de certa localidade, assim o pagamento na próxima colheita era realizado nos seus prazos. Alguns textos relatam que o prazo para o pagamento era de um ano.
 
 
Fonte: Schweitzer (2012)
Segundo os historiadores, houve uma grande expansão do comércio, guerras para conquistar outras terras, o que motivou um desenvolvimento maior das operações financeiras, na qual cada país estabelecia a sua moeda.
Há um relato que os primeiros bancos para operações financeiras foram criados pelos sacerdotes, pois a estes era confiada a custódia dos ouros, o que era um costume da época.
A moeda, como hoje a conhecemos, é o resultado de uma longa evolução. No início não havia moeda. Praticava-se o escambo, simples troca de mercadoria por mercadoria, sem equivalência de valor.
Assim, quem pescasse mais peixe do que o necessário para si e seu grupo trocava este excesso com o de outra pessoa que, por exemplo, tivesse plantado e colhido mais milho do que fosse precisar (O SURGIMENTO..., 2003).
 
 
Fonte: Patrimonio Designs Limited (2012)
Ainda há povos com costumes primitivos que se utilizam deste sistema de trocas.
	Nestes links você poderá se aprofundar mais sobre os aspectos históricos:
•  .
•  .
•  .
Quer se tornar de gastador a poupador em 7 passos? Leia as orientações neste link:
•  .
 
	Há diversos livros que abordam a História da Matemática e alguns tópicos de Matemática Financeira, alguns deles são:
IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Ed. Nova Fronteira.
MATTOS, Antônio Carlos M. O modelo matemático dos juros: uma abordagem sistêmica. Ed. Vozes, Petrópolis.
ROBERT, Jozsef. A origem do dinheiro. Ed. Global, 1982.
Anuidades ou Pagamentos:
Na introdução da unidade 1 ao apresentar a ementa, contextualizei as Séries de pagamentos. Este é o nome dado as operações financeiras que envolvem pagamento ou recebimentos parcelados e que deverão ocorrer em prazos já preestabelecidos.
Podemos classificar as séries de acordo com diversos critérios:
Certas, aleatórias, uniformes, imediatas ou diferidas, postecipadas ou antecipadas, temporárias ou perpétuas, periódicas ou aperiódicas, inteiras ou fracionárias.
Fonte: Modella (2012)
Uma lista de quantias (chamadas usualmente de pagamentos ou termos), referidas a épocas diversas, é chamada de série ou anuidade, ou, ainda, renda certa. Se esses pagamentos forem iguais e igualmente espaçados no tempo, a série diz-se uniforme. A sucessão de pagamentos pode se destinar ao pagamento de uma dívida é o que se denomina de Amortização.
As anuidades são classificadas segundo os prazos, valores, periodicidade e forma de pagamento.
Em relação aos prazos estes podem ser temporários, quando o período é limitado, por exemplo, ao realizarmos um consórcio desde o início sabemos qual o prazo final ou perpétuo, quando o período é infinito, por exemplo, quando se destina à aposentadoria.
 
Fonte: Andresr (2012)
Em relação aos valores: - uniformes ou constantes, pois os pagamentos são iguais. Quando os pagamentos ou recebimentos têm valores diferentes são chamados de variáveis.
Em relação ao período, estes podem ser periódicos, períodos iguais; ou não periódicos, períodos diferentes.
Forma de pagamento: - antecipada, no inicio do período; - imediata, no fim do período; diferida, após decorridos um certo período.
Os períodos e valores das anuidades são calculados por meio das fórmulas do valor presente e valor futuro demonstradas posteriormente.
Para entender melhor sobre a forma:
a)  Imediata: Quando o primeiro pagamento ou recebimento, ocorre no primeiro período, temos duas classificações: postecipado e antecipado.
Antecipadas: os pagamentos ocorrem no início de cada período. Podemos citar, adiantamento do aluguel no ato da locação, compra com entrada.
 
Postecipadas: os pagamentos ocorrem no fim de cada período,ou seja, a primeira prestação tem um prazo de carência, por exemplo, carência de 30 dias após o contrato.
b)  Diferida, quando o primeiro pagamento ou recebimento não ocorre no primeiro período, neste caso tem um prazo de carência que pode ser postecipado, quando o primeiro movimento ocorre um período após o término da carência ou diferimento ou antecipado, quando o primeiro movimento coincide com o final da carência ou diferimento.
Séries Uniformes Diferidas
Série diferida antecipada
PMT
Série diferida postecipada
 
Você já fez algum empréstimo ou conhece alguém que já fez? Imagino que sim, eu, por exemplo, já fiz alguns para comprar bens! É importante que o administrador conheça sobre empréstimos. Às vezes precisamos emprestar um dinheiro, mas pagamos com juros, é claro, porém com parcelas dentro do nosso orçamento.
Fonte: Texelart (2012)
EMPRÉSTIMOS
Quando há um crédito direto a consumidor, este fica com um montante em dinheiro, que será pago em prestações. Os empréstimos podem ser realizados de curto e médio prazo e também em longo prazo quando seu período for acima de 3 anos. Quando é emprestado um dinheiro, normalmente faz-se um seguro de cubra o credor no caso de morte, inadimplência, entre outras situações. O valor máximo de um empréstimo é oferecido de acordo com a renda do mutuário. O pagamento de um empréstimo é realizado em prestações que se destina tanto à amortização da dívida como ao pagamento de juros.
Normalmente há um período de carência para o mutuário.
	Nos financiamentos em longo prazo o devedor ou mutuário tem também três modalidades para resgatar sua dívida:
pagando no vencimento o capital e os juros;
pagando periodicamente os juros e no vencimento o capital;
pagando periodicamente os juros e uma quota de amortização do capital.
Das três modalidades, a mais interessante para o mutuário é a terceira.
Cada uma das modalidades citadas constitui um sistema.
Como nos empréstimos em longo prazo os juros são cobrados no regime composto, o não-pagamento de uma prestação torna maior o saldo devedor, pois é juro sobre juro.
Para calcular prestações, valor presente, valor futuro, temos várias fórmulas, vou iniciar pelo Valor presente.
 
SÉRIE DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS
Entende-se como série de prestações periódicas o conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de valor nominal igual, dispostos em períodos de tempo constantes, ao longo de um fluxo de caixa (TEIXEIRA; DI PIERRO NETO, 1998).
Prestações Postecipadas: são o tipo de série na qual os pagamentos ocorrem no final de cada intervalo de tempo, ou seja, não existe pagamento na data zero;
 
CÁLCULO DO VALOR DAS PRESTAÇÕES POSTECIPADAS
 
CÁLCULO DO VALOR PRESENTE DAS PRESTAÇÕES POSTECIPADAS
 
 
CÁLCULO DO VALOR FUTURO DAS PRESTAÇÕES POSTECIPADAS
Uma loja de eletrodomésticos está vendendo um refrigerador por R$ 1000,00 à vista ou, este mesmo valor em 8 prestações mensais iguais. Calcule o valor de cada prestação na seguinte hipótese com uma taxa de juros de 2,5% a.m:
- 8 prestações iguais sem entrada.
Como é sem entrada precisamos ativar a função G END na HP 12C.
 
 
Na HP12C
G END
1000,00 CHS PV
8n
2,5i
PMT
O Sra. Tereza deseja adquirir um veículo que custa à vista R$ 30000,00. Para tanto, dará 30% do valor como entrada e o restante em 48 prestações mensais iguais, sendo a primeira 30 dias após a compra. Calcule o valor da entrada, e o valor das prestações, sabendo que a taxa de juros cobrada pela financiadora é de 2,3% ao mês.
 
VALOR PRESENTE
Usualmente, costuma-se comparar valores de títulos ou até mesmo de produtos à vista, porém para que a comparação seja justa e igualitária os valores comparados devem ser trazidos a valor presente, ou seja, títulos com vencimentos diferentes devem ser convertidos a valores atuais, para se comparar a melhor opção de compra ou investimento. Para isso utiliza-se a fórmula que já estudamos:
	onde,
PV = valor presente
FV = valor futuro
	 
i = taxa de juros
n = período
 
Considerando que uma empresa possui um título de R$ 8000,00 que vence em 6 meses, qual o valor atual do título (PV), sabendo que a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês.
PV = 8000,00 ( 1+ 0,02)-6
PV= 7103,77
 
Conforme vemos neste exemplo, pode-se calcular facilmente o valor atual (PV) por meio da utilização da fórmula dos juros compostos. Mas existem situações nas quais os pagamentos são realizados em forma de prestações (parcelas). Nestes casos, o valor atual (PV) é realizado por meio do seguinte calculo:
No qual temos:
	PV = Valor Presente (atual)
	i = taxa de juros do período
	PMT = Valor da Prestação
	n = número de períodos
Por exemplo: Patrícia contraiu uma dívida para pagar em 18 prestações mensais de R$ 280,00 à taxa de juros de 2,5% ao mês. Qual o valor presente desta dívida?
Neste caso usamos a fórmula das prestações postecipadas, não indica que tem entrada no ato da compra.
VALOR FUTURO
Quando se realiza investimento ou compra a prazo é comum o empresário comparar o montante pago ou investido com o valor presente, este montante é calculado pela seguinte fórmula:
 
	onde,
FV = valor futuro
PMT = depósito ou prestação
	PV = valor presente
i = taxa de juros
n = período
Um cliente pretende comprar a prazo um notebook em dez prestações mensais de R$ 195,00, sabendo que a loja cobra 1% de juros ao mês qual é o montante final (FV).
 
FV= 195,00 x 0,1044622125/0,01
FV= 195,00 x 10,4622125
FV= 2040,13
 
Na HP 12C
195,00 PMT
10n
1 i
FV
 
Praticando...
Resolva o exercício abaixo e depois veja a resolução no vídeo 6
	Um cliente deseja comprar um notebook e se dirigiu até uma loja que vende este produto por R$ 2500,00 à vista ou em 10 prestações sem entrada. Calcule o valor de cada prestação sabendo que a taxa de juros cobrada pela loja é de 1% a.m.
Vídeo 6 Prestação postecipada
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Em concursos geralmente não se pode fazer uso de calculadoras, então tem mesmo que saber as fórmulas. A HP 12C é extremamente útil nestes cálculos de prestações, como também para as prestações antecipadas e diferidas.
Prestações Antecipadas:
Caracterizam-se pelos pagamentos ocorrerem no início de cada período, portanto o primeiro pagamento ocorre na data zero.
Cálculo do valor das Prestações Antecipadas
Jaqueline recebeu pelo correio o extrato bancário referente a uma conta de poupança em seu nome. O valor total disponível para saque é de R$ 4800,00 e o rendimento desta aplicação é de 0,7% a.m. Sabendo que esta caderneta de poupança foi aberta há 36 meses, qual o valor depósito feito mensalmente por Jaqueline considerando este caso como uma série antecipada?
Como é com entrada temos que ativar a função G BEG na HP 12C:
 
João Carlos está se preparando para se aposentar e resolveu investir, há algum tempo, numa aposentadoria privada. O rendimento desta aplicação é de 0,8% a.m. e os depósitos mensais são no valor de R$ 320,00. Calcule o valor acumulado por João Carlos no final de um período de 15 anos, sabendo que o primeiro depósito foi feito no momento da aquisição do investimento.
Certo equipamento eletrônico está sendo vendido em 26 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 3400,00 cada, sendo que o primeiro deve ser efetuado no ato da compra. Se a empresa vendedora cobra uma taxa de juro composto de 2 % a.m., qual é o preço à vista desse equipamento?
 
Praticando...
Resolva o exercício abaixo e depois veja a resolução no vídeo 7
	Uma concessionária está vendendo um automóvel por R$ 24000,00 à vista ou em 24 prestações, com uma taxa de juros  de 2,5% a.m. Calcule o valor da prestação, sabendo que a primeira é paga no ato da compra como entrada.
Vídeo 7 - Prestação antecipada
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Para calcular prestações antecipadas verifique sempre se a função G BEG estáativada na sua HP 12C e agora temos um exemplo de prestações diferidas.
 
Prestações diferidas
Fonte: Zentilia (2012)
Você já viu nas mídias uma propaganda como esta?
Tenho certeza que sim! São as prestações com prazo de carência. Os períodos e valores das anuidades são calculados por meio de diversas fórmulas. Veja um exemplo:
Um empresário efetuou 6 depósitos mensais de R$ 1500,00, recebendo uma taxa de 2% a.m. de juros. Quanto terá esta pessoa 3 meses após o último depósito?
PMT = R$ 1500,00
i = 2% a.m.
n = 6 depósitos mensais
k = 3 meses de carência
FV = ?
 
FV = 1,792638854 x 5,601430890
FV= 10041,34
 
Utilizando a calculadora financeira HP 12C:
1500,00  CHS   PMT
6 n
2  i
FV
CHS  PV
CLx  PMT
3 n       
FV
 
Fonte: Viktor (2012)
Sistemas de amortização de empréstimos
No sistema de amortização usamos alguns conceitos mais comuns que são importantes para a compreensão do assunto:
Definições Importantes:
Amortizar: Significa devolver o capital que se tomou emprestado, pagamento do capital emprestado, realizado por meio de prestações periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, semestrais  etc.
Encargos Financeiros: juros da operação que podem ser pré-fixados ou pós–fixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor;
Empréstimo: obtenção de Capital para pagamento em uma ou mais prestações, geralmente não associado à compra de um bem;
Juros: é o custo do capital tomado sob o aspecto do mutuário e o retorno do capital investido sob o aspecto do mutuante.
Financiamento: Obtenção de Capital para pagamento em duas ou mais prestações, geralmente associado à compra de um bem (bens de consumo duráveis, veículos, imóveis etc.). Quando um vendedor nos oferece um financiamento para a compra de um objeto, ele está fazendo uso de tabelas que foram produzidas por sua gerência financeira.
Prestação: é o pagamento da amortização mais os juros relativos ao saldo devedor imediatamente anterior ao período referente à prestação. A taxa de juros pode ser pré ou pós-fixada, dependendo de cláusula contratual. Entende-se como taxa pré-fixada aquela cuja expectativa de inflação futura já está incorporada à taxa, enquanto na pós-fixada existe a necessidade de apurar-se a desvalorização ocorrida por conta da inflação, compensado-a por meio da correção monetária.
Saldo devedor ou estado da dívida: é o valor devido em certo período, imediatamente após a realização do pagamento relativo a este período.
Prazo de carência: Período compreendido entre a primeira liberação do empréstimo ou financiamento e o pagamento da primeira amortização.
Prazo total: Corresponde à soma do prazo de carência com o prazo de amortização.
 
Sistema de Amortização Constante
Neste sistema, a principal característica é que as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes, enquanto que no SFA as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta. Teixeira e Di Pierro Netto (1998, p. 87) comentam que “a prestação a ser paga será decrescente, na medida em que os juros incidirão sobre o saldo devedor cada vez menor”.
As parcelas são calculadas por meio da divisão do valor do empréstimo pelo número de prestações, ou seja, é simples.
Neste sistema, as amortizações são periódicas, sucessivas e decrescentes em P.A. de uma dívida, na qual a prestação incorpora o principal mais encargos.
Ex.: Sistema Financeiro de Habitação.
 
Fonte: Viktoria (2012)
Como montar uma tabela SAC? Acompanhe as explicações: Primeiro temos que fazer o cálculo da Amortização:
Para calcular a amortização divide-se o capital emprestado pelo número de prestações a serem pagas:
A = C/ n
Vamos usar algumas siglas para os cálculos:
Usaremos p para parcelas;
Usaremos a para amortização;
j para juro;
i para a taxa e
sd para saldo devedor.
 
Preparar o quadro demonstrativo para um empréstimo de R$ 24000,00 que será pago em 6 prestações mensais com uma taxa de
1% a.m.  de juros, por meio do S.A.C.
A= C/ n
A= 24000,00/6
A= 4000,00
Agora vamos determinar os valores das parcelas, determinando o valor do juro a cada período.
Primeiro período:
J = 0,01 x 24000,00
J= 240,00
Temos que p= a + J
P= 4000,00 + 240,00
P= 4240,00
O saldo devedor corresponde a 24000,00 – 4000,00 =20000,00
 
Considerando este saldo devedor, calcularemos a segunda parcela, fazendo o mesmo procedimento:
J = 0,01 x 20000,00
J= 200,00
Temos que p= a + J
P= 4000,00 + 200,00
P= 4200,00
O saldo devedor corresponde a 20000,00– 4000,00 = 16000,00
 
Considerando este saldo devedor, calcularemos a terceira parcela, fazendo o mesmo procedimento:
J = 0,01 x 16000,00
J= 160,00
Temos que p= a + J
P= 4000,00 + 160,00
P= 4160,00
O saldo devedor corresponde a 16000,00– 4000,00 = 12000,00
 
Considerando este saldo devedor, calcularemos a quarta parcela, fazendo o mesmo procedimento:
J = 0,01 x 12000,00
J= 120,00
Temos que p=a + J
P= 4000,00 + 120,00
P= 4120,00
O saldo devedor corresponde a 12000,00– 4000,00 = 8000,00
 
Considerando este saldo devedor, calcularemos a quinta parcela, fazendo o mesmo procedimento:
J = 0,01 x 8000,00
J= 80,00
Temos que p= a + J
P= 4000,00 + 80,00
P= 4080,00
O saldo devedor corresponde a 8000,00– 4000,00 = 4000,00
 
Considerando este saldo devedor, calcularemos a sexta parcela, fazendo o mesmo procedimento:
J = 0,01 x 4000,00
J= 40,00
Temos que p= a + J
P= 4000,00 + 40,00
P= 4040,00
O saldo devedor corresponde a 4000,00– 4000,00 = 0
 
Representando os dados em uma tabela do Excel temos:
Tabela 1 –Tabela SAC
	Prestação
	Saldo Devedor
	Valor da Prestação
	Juros
	Amortização
	0
	R$ 24.000
	 
	 
	 
	1
	R$ 20.000
	R$ 4.240,00
	R$ 240,00
	R$ 4.000,00
	2
	R$ 16.000
	R$ 4.200,00
	R$ 200,00
	R$ 4.000,00
	3
	R$ 12.000
	R$ 4.160,00
	R$ 160,00
	R$ 4.000,00
	4
	R$ 8.000
	R$ 4.120,00
	R$ 120,00
	R$ 4.000,00
	5
	R$ 4.000
	R$ 4.080,00
	R$ 80,00
	R$ 4.000,00
	6
	R$ 0
	R$ 4.040,00
	R$ 40,00
	R$ 4.000,00
Fonte: Do autor
Representando graficamente temos:
Fonte: Do autor
Agora é hora de praticar e depois ver a resolução no vídeo:
	Preparar o quadro demonstrativo para um empréstimo de R$ 12000,00 que  será pago em 6 prestações mensais com uma taxa de 2% a.m. de juros, por meio do S.A.C.
Vídeo 8 - Cálculo da Tabela SAC
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TABELA SAC
Vamos construir uma tabela SAC, considerando um financiamento de R$ 20000,00, a ser pago em 18 meses, à taxa de juros de 1,5% a.m.
Tabela 2 – Tabela SAC 2
	Prestação
	Saldo Devedor
	Valor da Prestação
	Juros
	Amortização
	0
	R$ 20.000
	 
	 
	 
	1
	R$ 18.889
	R$ 1.411,11
	R$ 300,00
	R$ 1.111,11
	2
	R$ 17.778
	R$ 1.394,44
	R$ 283,33
	R$ 1.111,11
	3
	R$ 16.667
	R$ 1.377,78
	R$ 266,67
	R$ 1.111,11
	4
	R$ 15.556
	R$ 1.361,11
	R$ 250,00
	R$ 1.111,11
	5
	R$ 14.444
	R$ 1.344,44
	R$ 233,33
	R$ 1.111,11
	6
	R$ 13.333
	R$ 1.327,78
	R$ 216,67
	R$ 1.111,11
	7
	R$ 12.222
	R$ 1.311,11
	R$ 200,00
	R$ 1.111,11
	8
	R$ 11.111
	R$ 1.294,44
	R$ 183,33
	R$ 1.111,11
	9
	R$ 10.000
	R$ 1.277,78
	R$ 166,67
	R$ 1.111,11
	10
	R$ 8.889
	R$ 1.261,11
	R$ 150,00
	R$ 1.111,11
	11
	R$ 7.778
	R$ 1.244,44
	R$ 133,33
	R$ 1.111,11
	12
	R$ 6.667
	R$ 1.227,78
	R$ 116,67
	R$ 1.111,11
	13
	R$ 5.556
	R$ 1.211,11
	R$ 100,00
	R$ 1.111,11
	14
	R$ 4.444
	R$ 1.194,44
	R$ 83,33
	R$ 1.111,11
	15
	R$ 3.333
	R$ 1.177,78
	R$ 66,67
	R$ 1.111,11
	16
	R$ 2.222
	R$ 1.161,11
	R$ 50,00
	R$ 1.111,11
	17
	R$ 1.111
	R$ 1.144,44
	R$ 33,33
	R$ 1.111,11
	18
	R$ 0
	R$ 1.127,78
	R$ 16,67
	R$ 1.111,11
Fonte: Do autor
 
TABELA PRICE
Segundo Samanez (2002, p. 208):
Neste sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais e periódicas. É mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem sobre o saldodevedor que por sua vez decresce na medida em que as prestações são pagas, estes são decrescentes e, conseqüentemente, as amortizações do principal são crescentes.
A dívida é quitada por meio de prestações iguais, periódicas e sucessivas. Um exemplo utilizado no Brasil é o CDC e também vendas a prazo divulgadas pelas grandes redes de varejo.
O sistema francês ou sistema Price é muito utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. A amortização é crescente em progressão geométrica de razão igual a (1+ i) e o juro é decrescente.
Fórmulas:
Criado pelo matemático inglês Richard Price, consiste na utilização do sistema Francês, porém diferenciando-se pelo uso da taxa proporcional. No Sistema Price usa-se a taxa proporcional do regime de juros simples e NÃO a taxa equivalente composta.
Exemplo:
Um empréstimo de R$ 5000,00 a serem pagos em 5 prestações com uma taxa de 1% ao mês. Calcule o valor das prestações e monte a planilha utilizando o Sistema Price.
 
Transformando a taxa:
 
Na HP 12C
G END
5000,00 chs PV
5n
1i
PMT 
 
Primeiro período:
J = 0,01 x 5000,00
J= 50,00
Temos que p= a + J
a= p - j
a= 1030,20 – 50,00
a= 980,20
O saldo devedor corresponde a 5000,00 – 980,20 = 4019,80
 
Segundo período:
J = 0,01 x 4019,80
J= 40,20
Temos que p=a + J
a= p - j
a= 1030,20 – 40,20
a= 990,00
O saldo devedor corresponde a 4019,80 – 990,00= 3029,80
 
Terceiro Período
Considerando este saldo devedor:
J = 0,01 x 3029,80
J= 30,30
Temos que p=a + J
a= p - j
a= 1030,20 – 30,30
a= 999,90
O saldo devedor corresponde a 3029,80– 999,90= 2029,90
 
Quarto período
Considerando este saldo devedor:
J = 0,01 x 2029,90
J= 20,30
Temos que p=a + J
a= p - j
a= 1030,20 – 20,30
a= 1009,90
O saldo devedor corresponde a 2029,90– 1009,90= 1020,00
 
Quinto período
Considerando este saldo devedor:
J = 0,01 x 1020,00
J= 10,20
Temos que p=a + J
a= p - j
a= 1030,20 – 10,20
a= 1020,00
O saldo devedor corresponde a 1020,00– 1020,00= 0,00
 
Preenchendo a tabela temos:
Tabela 3 – Tabela Price
	Prest.
	Saldo Devedor
	Valor da Prestação
	Juros
	Amortização
	0
	R$ 5.000,00
	 
	 
	 
	1
	R$ 4.019,80
	R$ 1.030,20
	R$ 50,00
	R$ 980,20
	2
	R$ 3.029,80
	R$ 1.030,20
	R$ 40,20
	R$ 990,00
	3
	R$ 2.029,90
	R$ 1.030,20
	R$ 30,30
	R$ 999,90
	4
	R$ 1.020,00
	R$ 1.030,20
	R$ 20,30
	R$ 1.009,90
	5
	-R$ 0,00
	R$ 1.030,20
	R$ 10,20
	R$ 1.020,00
	6
	-R$ 1.030
	R$ 1.030,20
	-R$ 0,00
	R$ 1.030,20
Fonte: Do autor
 
	Para a construção da Tabela Price são necessárias as seguintes observações:
o valor dos juros é obtido sobre o saldo atual anterior ao período desejado;
o valor da amortização é encontrado subtraindo o valor dos juros do valor da prestação;
o saldo devedor é a soma dos juros ao saldo anterior;
o saldo atual é a subtração entre o saldo devedor e o valor da prestação.
 
Para entender a construção da Tabela Price utilizando a HP 12C, veja o exemplo a seguir adaptado de acordo com Teixeira e Di Pierro Netto (1998):
Maria Cristina fez um empréstimo de R$ 2000,00 que deve ser liquidado em 4 prestações mensais, iguais, postecipadas e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada nessa operação é de 2% ao mês, calcular o valor das prestações, das parcelas de amortização, dos juros contidos em cada prestação e do saldo devedor após cada pagamento.
Tabela 4 – Tabela Price na HP 12C
	f CLEAR REG
	0,00
	Limpa todos os registros
	2000 CHS PV
	-2000,00
	Insere o valor emprestado
	4 n
	4,00
	Insere o número de prestações
	2i
	2,00
	Insere a taxa percentual de juros
	PMT
	525,25
	Mostra o valor das prestações
	1 f AMORT
	40,00
	Mostra a parcela de juros na 1ª prestação
	X >< Y
	485,25
	Mostra a parcela de amortização na 1ª prestação
	RCL PV
	-1514,75
	Mostra o saldo devedor após o pagamento da 1ª prestação.
	1 f AMORT
	30,30
	Mostra a parcela de juros na 2ª prestação
	X >< Y
	494,95
	Mostra a parcela de amortização na 2ª prestação
	RCL PV
	-1019,80
	Mostra o saldo devedor após o pagamento da 2ª
prestação.
	1 f AMORT
	20,40
	Mostra a parcela de juros na 3ª prestação
	X >< Y
	505,85
	Mostra a parcela de amortização na 3ª prestação
	RCL PV
	-514,95
	Mostra o saldo devedor após o pagamento da 3ª
prestação.
	1 f AMORT
	10,30
	Mostra a parcela de juros na 4ª prestação
	X >< Y
	514,95
	Mostra a parcela de amortização na 4ª prestação
	RCL PV
	0,00
	Mostra o saldo devedor após o pagamento da 4ª prestação.
Fonte: Do autor
 
Veja outra situação:
Uma pessoa obteve financiamento de R$ 60000,00 para a compra de um terreno, Tabela Price, para pagamento em 48 prestações mensais postecipadas. A taxa de juros cobrada sobre o saldo devedor foi de 1% ao mês. Calcule o valor das prestações, a soma das parcelas de juros pagas, a soma das parcelas de amortização pagas e o saldo devedor, após o pagamento das primeiras 10 prestações. Neste caso não precisa fazer a tabela desde o início.
Tabela 5 – Tabela Price 2
	f CLEAR REG
	0,00
	Limpa todos os registros
	60000,00 CHS PV
	- 60000,00
	Insere o valor emprestado
	48n
	48,00
	Insere o número de prestações
	1i
	1,00
	Insere a taxa percentual de juros
	PMT
	1580,03
	Mostra o valor das prestações
	10 f AMORT
	5547,03
	Mostra o total de juros pagos, nas 10 primeiras prestações.
	X >< Y
	10253,27
	Mostra total amortizado, após o pagamento das 10 primeiras prestações.
	RCL PV
	- 49746,73
	o saldo devedor após o pagamento das 10 primeiras prestações.
Fonte: Do autor
 
Representando graficamente temos:
Fonte: Do autor
	Pesquise Biblioteca Digital da UNOPAR no livro abaixo como se caracteriza o comportamento dos juros no Sistema de Amortização Price.
O livro de SAMANEZ, CARLOS PATRICIO. MATEMÁTICA FINANCEIRA, 4ª EDIÇÃO, que você encontra na biblioteca digital da Pearson.
Vamos construir uma tabela Price, considerando um financiamento de R$ 20000,00, a ser pago em 18 meses, à taxa de juros de 1,5% a.m.
 
Tabela 6 – Tabela Price 3
	Prestação
	Saldo Devedor
	Valor da Prestação
	Juros
	Amortização
	0
	R$ 20.000,00
	 
	 
	 
	1
	R$ 19.023,88
	R$ 1.276,12
	R$ 300,00
	R$ 976,12
	2
	R$ 18.033,13
	R$ 1.276,12
	R$ 285,36
	R$ 990,76
	3
	R$ 17.027,51
	R$ 1.276,12
	R$ 270,50
	R$ 1.005,62
	4
	R$ 16.006,81
	R$ 1.276,12
	R$ 255,41
	R$ 1.020,70
	5
	R$ 14.970,79
	R$ 1.276,12
	R$ 240,10
	R$ 1.036,01
	6
	R$ 13.919,24
	R$ 1.276,12
	R$ 224,56
	R$ 1.051,55
	7
	R$ 12.851,91
	R$ 1.276,12
	R$ 208,79
	R$ 1.067,33
	8
	R$ 11.768,57
	R$ 1.276,12
	R$ 192,78
	R$ 1.083,34
	9
	R$ 10.668,99
	R$ 1.276,12
	R$ 176,53
	R$ 1.099,59
	10
	R$ 9.552,91
	R$ 1.276,12
	R$ 160,03
	R$ 1.116,08
	11
	R$ 8.420,08
	R$ 1.276,12
	R$ 143,29
	R$ 1.132,82
	12
	R$ 7.270,27
	R$ 1.276,12
	R$ 126,30
	R$ 1.149,81
	13
	R$ 6.103,21
	R$ 1.276,12
	R$ 109,05
	R$ 1.167,06
	14
	R$ 4.918,64
	R$ 1.276,12
	R$ 91,55
	R$ 1.184,57
	15
	R$ 3.716,30
	R$ 1.276,12
	R$ 73,78
	R$ 1.202,34
	16
	R$ 2.495,93
	R$ 1.276,12
	R$ 55,74
	R$ 1.220,37
	17
	R$ 1.257,26
	R$ 1.276,12
	R$ 37,44
	R$ 1.238,68
	18
	-R$ 0,00
	R$ 1.276,12
	R$ 18,86
	R$ 1.257,26
Fonte: Do autor
 
Agora é o último exercício para praticar:
	Lucas adquiriu um terreno financiando R$ 12000,00 a serem pagos em 6 prestações com uma taxa de 2% ao ano. Calcule o valor das prestações e monte a planilha utilizando o Sistema Price.
Vídeo 9 - Cálculo da Tabela Price na HP 12C.
O Plugin Silverlight está desabilitado ou não foi instalado em seu browser, faça o download clicando aqui ou ative o mesmo.
Você observou ao realizar estes cálculos que as prestações são constantes no Sistema Price, enquanto no Sistema SAC, a amortização é constante.
Os elementos da Tabela Price sofreram alterações ao longo dos anos. Veja o link:
https://www.youtube.com/watch?v=3T8o8HS3L6s
	Conheça mais sobre o sistema de amortização:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/amortiza/amortiza.htm
http://www.minhacarreira.com.br/cursos/arquivos/Knowledge-Apresentacao-Amostra-MatematicaFinanceira.pdf
 
Sistema de amortização Crescente (SACRE)
Há diversos sistemas como foi colocado anteriormente, mas atualmente há uma grande utilização que procurou conciliar as desvantagens e vantagens do SAC e Price que é o Sistema de Amortização Crescente, utilizado amplamente pelo SFH - Sistema Financeiro Habitacional administrado pela Caixa Econômica Federal.
Neste sistema o valor das prestações é decrescente e tem um valor da parcela de amortização superior o que proporciona uma maior redução no saldo devedor.
Veja na tabela abaixo:
Tabela 7 – Tabela comparativa SAC- PRICE- SACRE
	Comparativo
	Sistema de Amortização Constante - SAC
	TABELA PRICE – TP
	Sistema de Amortização SACRE
	Prestações
	Decrescentes
	Constantes
	Decrescentes
	Amortizações
	Constantes
	Crescentes
	Decrescentes
	Juros
	Decrescentes
	Decrescentes
	Decrescentes
	Vantagens
	O saldo devedor diminui mais rapidamente em relação ao TP
	 A prestação inicial menor em relação a calculada pelo SAC ou SACRE
	Observa-se que o saldo devedor diminui mais rapidamente em relação a TP ou SAC
	Desvantagens
	Tem um prestação inicial maior
	Há uma diminuição do saldo devedor mais lentamente em relação ao SAC ou SACRE
	Nesta a prestação inicial é maior
Fonte: Do autor
Neste sistema, o saldo devedor do financiamento é corrigido mensalmente pela TR. Há inicialmente a correção do saldo devedor e depois a diminuição da parcela da amortização, proporcionando um saldo devedor corrigido.
Cálculo do valor mensal dos juros que você paga: Valor juros mensal = taxa juros mês x saldo devedor mês x TR Cálculo do valor da amortização do seu financiamento Valor amortização = prestação - valor juros mês.
 
Sistema de Amortização Americano
Neste sistema, o pagamento do principal é realizado de uma só vez, ao final do período do empréstimo, no qual os juros são pagos geralmente periodicamente, mas podem também ser eventualmente ser capitalizados e pagos de uma só vez, junto com o principal. Não são previstas amortizações intermediárias durante a vigência dos pagamentos, sendo os juros pagos periodicamente (mais comum) ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado. Isto depende do acordo realizado entre as partes interessadas. Ex.: Títulos da dívida pública, debêntures  etc.
	
	Para discutir
Para finalizar esta disciplina, participe do fórum colocando sugestões de sites, livros, exercícios, situações que contextualizem os conteúdos que foram abordados nesta disciplina; e que podem ajudar ainda mais na compreensão deles. Vamos debater também sobre os diferentes Sistemas de Amortização, cálculos de prestações. Um grande abraço!
 
ANDRESR. 3D grandpa and grandpa isolated over a white background. Shutterstock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
DANILZAN. 3D man and simbol dollar isolated on white. Shutterrstoch. Disponível:. Acesso em: 7 ago. 2012.
KESHET, Ayelet. Very happy man under a rain of cash. Shutterstock. Disponível em:. Acesso em: 9 ago. 2012.
MERYLL. Inserting credit card into bank. Shutterstock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
MODELLA. To transfer money for savings. Shutterstock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
O SURGIMENTO do dinheiro no mundo. 2003. Disponível em:. Acesso em: 9 ago. 2012.
PATRIMONIO DESIGNS LIMITED. Largemouth bass fish jumping done in retro woodcut style. Shutterstock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
POKOMEDA. Blue arrow. Shutterstock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
SAMANEZ, Carlos P. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002.
SCHWEITZER, Elena. Cereals - maize, wheat, barley, millet, rye, rice and oats. Shutterstock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
SHUTTERRSTOCH. As hunge tsunami wave of gold coins symblize success and good profits. Disponível:. Acesso em: 7 ago. 2012a.
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TEIXEIRA, James; DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.
TEXELART. 3D white business person with a calculator and a briefcase. Shutterstock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
VIKTOR, Zadorozhnyi. Accounting. Shuttertock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
VIKTORIA. Vector Illustration of house. Shuttertock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
ZENTILIA. 3D rendering of a laptop with blue grafhics. Shuttertock. Disponível em:. Acesso em: 7 ago. 2012.
 
  
SUGESTÕES DE LEITURA
AYRES JUNIOR, Frank. Matemática financeira. São Paulo: McGraw-Hill, 1981.
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
FERREIRA, Roberto G. Matemática financeira aplicada. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
GUERRA, Fernando. Matemática financeira com a HP12C. 3. ed. Florianópolis: Editora da UFSC, 2006.
HARIKI, Seiji. Matemática aplicada: administração, economia, contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2005.
HAZZAN, Samuel ; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2005.
KUHNER, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática aplicada e análise de investimentos. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
MEDRI, Waldir. Matemática comercial e financeira. Londrina: EDUEL, 2004.
PARENTE, Eduardo Afonso de Medeiros. Matemática comercial e financeira. São Paulo: FTD, 1996.
SILVA, Sebastião M. Matemática para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 2.ed.  São Paulo: Atlas, 1992.