Livro - Muros de Arrimo pdf

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OSVALDEMAR MARCHETTI 
., EDITORA SQ 
~BLUCHER anos 
MUROS DE ARRIMO VII 
NOTAS INTRODUTÓRIAS 
1. As normas da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técrúcas) nº. 6118/2003 
referente a projetos e NBR 14.931/2003 referente a obras englobam os assuntos 
concreto simples, concreto armado e concreto protendido. Neste livro só aborda-
remos o concreto armado. 
2. De acordo com as orientações dessas normas, a unidade principal de força é o 
N (Newton) que vale algo como 0,1 kgf. 
Usaremos neste livro as novas unidades decorrentes, mas para os leitores que 
estão acostumados com as velhas urúdades elas aparecerão aqui e ali sempre valendo 
a conversão seguinte: 
1 N = 0,1 kgf 1 tfm = lOkNm 
10 N = lkgf 1 tf = 10 kN = 1.000 kgf 
1 kN = 100 kgf 100 kgf/cm2 = 1 kN/cm2 
1 MPa = 10 kgf/cm2 lkN/m3 = 100 kgf/m3 
k (quilo) = 1.000 = 103 1 MPa = 10 kgf/cm2 = 1.000 kN/m2 = 100 tf/m2 
M (mega) = 1.000.000 = 106 
G (giga) = 109 
Por razões práticas 
1 kgf = 9,8 N = 10 N 
MUROS DE ARRIMO IX 
ONTEÚDO 
INTRODUÇÃO ................................................................................................ 1 
1.1 Estado de equilíbrio plástico em solos .................................................. .......... .. . 1 
1.2 Empuxos de terra em muros de contenção - Rankine ..................................... 4 
1.3 Empuxos de terra em muros de contenção - Coulomb ................. ...... .... ... ..... 8 
1.4 Empuxos de terra em repouso em muros de contenção ................................. 17 
1.5 Efeito da compactação sobre muros de contenção - Terry S. lngold ............ 20 
1.6 Empuxos devidos a cargas especiais ......................... .. ..................................... 25 
2 MUROS DE ARRIMO ..................................................................... ............... 41 
2.1 Muros de arrimo por gravidade ....................................................................... 41 
2.2 Muros de arrimo de flexão ......................................................................... ...... 43 
2.3 Muro de arrimo com contrafortes .................................................... ................ 44 
2.4 Cortinas de arrimo ............................... ............ ....... .......................................... 45 
2.5 Muros de arrimo atirantados ... : ........................................................................ 46 
2.6 Outros tipos de muros ...................................................................................... 47 
3 ESTABILIDADE DOS MUROS ...... .. ... ..................... .. ................... ... .... .. ......... 49 
3.1 Deslizamento (escorregamento) ....................................................................... 49 
3.2 Tombamento ................................................................................................ ..... 50 
3.3 Tensões no solo na base do muro de arrimo ......... ........................................... 50 
4 PROJETO DE MUROS DE ARRIMO ...... ................. .. ..... ................ ............... 53 
4.1 Projeto de muro de arrimo de gravidade ................... ...... ............................... . 53 
4.2 Projeto de muro d e arrimo de flexão ... ..... ........................................ ...... ....... .. 68 
4.3 Projeto de muro de arrimo com contraforte .................................................... 88 
5 ANEXOS ... .... ............................................................................................... 105 
5.1 Tabelas de armadura mínima de retração ...... ............... ............................ ..... 105 
5.2 Cisalhamento em lajes ............. ............... .............. ..................... .. ............. ...... 111 
5.3 Lajes-dimensionamento ............................................................... .. ........ .... ..... 11 1 
5.4 Dimensionamento de vigas à flexão ....... ........................................................ 116 
5.5 Dimensionamento de vigas ao cisalhamento ............................. .. ........... ... .... 134 
1 
1 - INTRODUÇÃO 
.1 - ESTADO DE EQUILÍBRIO PLÁSTICO EM SOLOS 
O equiUbrio plástico que age em um elemento do solo é mostrado na Figura 1. 
d, E 
b' b 
0V 
Figura 1 
>la Figura 1, AB representa a superfície horizontal de uma massa semi-infinita 
- areia sem coesão e de peso específico y e E representa um elemetno de areia de 
:ma z e com área unitária. 
_-\ tensão normal na base na altura z vale au = yz e é uma tensão principal. As 
::nsões ah perpendiculares a au são também principais e existe uma relação entre 
- e ah dada por 
K= <Jh 
<JV 
O valor K, de acordo com os ensaios de compressão triaxial, pode assumir qual-
~r valor entre os limites Ka e Kp, sendo: 
Ka = tg2 ( 45º -! ) 
e <j, = ângulo de atrito interno da areia. 
Quando uma massa de solo é depositada por um processo natural ou arti-
E=:al. o valor K tem um valor Ko intermediário entre Ka e Kp, onde Ko é uma 
tante empírica denominada de coeficiente de empuxo de terras em repouso. 
u ,alor depende do grau de compacidade da areia e do processo, pelo qual o 
:>pósito foi feito. 
2 MUROS DE ARRIMO 
Quando a compactação for por apiloamento manual, o valor de Ko varia entre 0 . ..,, 
para areia fofa e 0,5 para areia compacta. 
Caso a compactação seja feita por camadas, o valor Ko pode aumentar até cerca 
de 0,8. Para alterarmos o valor de Ko de uma massa de areia para o valor Ka, é neces-
sário lhe darmos a possibilidade de se expandir na direção horizontal. 
' ' ,----... 
' 
' 
b, b 
Areia 
Figura2 
Quando a massa de areia que está inicialmente no estado de repouso - seçãc 
vertical ab, move-se de uma distância d 1, afastando-se do aterro, para a 1b1; o coefi-
ciente de empuxo em repouso Ko passa para o coeficiente de empuxo ativo Ka. 
Valores de translação para mobilizar o coeficiente de empuxo ativo 1 
Tipo de solo Valores de d1 1 
Solo sem coesão - compacto (areias) 0,1% H a 0,2% H 1 
Solo sem coesão - fofo (areias) 0,2% H a 0,4% H 1 
Solo coesivo rijo (argilas) 1% H a 2% H , 
Solo coesivo mole (argilas) 2% Ha 5% H } 
1 - INTRODUÇÃO 3 
d, d1 Coeficiente de empuxo 
Ili Solo sem Solo ai 
.... coesão coesivo ~ 
o 
~kP Passivo 3 a 14 1 a 2 ,ro 
---- ----- -~ 
<ll 
<ll 
(1) 
-à: 
-
-
.o·'ko Repouso 0.4 a O 6 0.4 a 0,8 
kA . - Ativo O 33 a O 22 1 a 0,5 
Afastado do reaterro Cont ra o reaterro 
Figura3 
Para um muro de arrimo de H = 5 m, se o solo for sem coesão, d 1 = 0,1% 500 = 
0,5 cm= 5 rrnn. O coeficiente de empuxo de repouso Ko, após esta translação, mobi-
liza o coeficiente de empuxo ativo Ka. 
Quando a massa de areia que está incialmente no estado de repouso - seção 
vertical ab, move-se de uma distância Di, contra o reaterro, para a2b2. O coeficiente 
de empuxo em repouso Ko, após esta translação, mobiliza o coeficiente de empuxo 
passivo Kp (Fig. 4). 
. 
. 
. 
. 
' ' . 
r+--+-: 
. . 
. . 
. 
Areia 
Figura4 
-
4 MUROS DE ARRIMO 
1.2 - EMPUXOS DE TERRA EM MUROS DE CONTENÇÃO - RANKINE 
Quando construímos um muro de arrimo e depois vamos depositar o aterro, en-
quanto o aterro está sendo colocado, o muro sofre algum deslocamento sob o empu-
xo. Se a posição do muro é fixa, o empuxo de terras conservará um valor próximo ao 
do empuxo das terras em repouso. Porém, logo que o muro começa a transladar, o 
solo se deforma com a massa de solo adjacente, do estado de repouso para o estado 
ativo de equilfürio plástico. 
Deste modo, se um muro de arrimo pode suportar o empuxo ativo das terras, ele 
não rompe. Embora a face interna dos muros de arrimo seja áspera, Rankine supôs 
que fossem lisas na elaboração de sua hipótese. 
H 
B 
A 
<jJ = (ângulo de atrito do solo) 
y = (peso específico do solo) 
E = (empuxo do solo) 
Figura5 
r,r /3 cos /3 - ~ cos2 f3 -cos2 </J 
n.a = cos · ---"====== 
cos /3 + ~ cos2 f3 - cos2 </J 
K: /3 COS /3 + ~ COS2 /3- COS2 </> p = cos . ---'"====== 
cos /3 - ~ cos2 f3 - cos2 </J 
PA =Ka·y·H-2-C-.JKA (ativo) 
p =Kp ·r·H + 2 ·C·W (passivo) p 
2C 
zc= rÍKA 
1 - "-RODUÇÃO 5 
1 
TABELA 1.2.A - Coeficiente de empuxo ativo Ka (Rankine) 
fJ 
10 12 15 18 
</> 
20 22 24 26 
o 0,7041 0,6558 0,5888 0,5279 0,4903 0,4555 0,4217 0,3905 
5 0,7352 0,6788 0,6046 0,5392 0,4996 0,4627 0,4282 0,3959 
10 0,9848 0,7799 0,6636 0,5789 0,5312 0,4883 0,4492 0,4134 
15 o o 0,9659 0,6785 0,6028 0,5429 0,4923 0,4480 
20 o o o o 0,9397 0,6768 0,5830 0,5152 
25 o o o o o o o 0,6999 
30 o o o o o o o o 
35 o o o o o o o o 
40 o o o o o o o o 
fJ 28 30 32 34 36 38 40 42 
o 0,3610 0,3333 0,3073 0,2827 0,2596 0,2379 0,2147 0, 1982 
5 0,3656 0,3372 0,3105 0,2855 0,2620 0,2399 0,2192 O, 1997 
10 0,3802 0,3495 0,3210 0,2944 0,2696 0,2464 0,2247 0,2044 
15 0,4086 0,3730 0,3405 0,3106 0,2834 0,2581 0,2346 0,2129 
20 0,4605 0,4142 0,3739 0,3381 0,3060 0,2769 0,2504 0,2262 
25 0,5727 0,4936 0,4336 0,3847 0,3431 0,3070 0,2750 0,2465 
30 o 0,8660 0,5741 0,4776 0,4105 0,3582 0,3151 0,2784 
35 o o o o 0,5971 0,4677 0,3906 0,3340 
40 o o o o o o 0,7660 0,4668 
-
'W 
6 MUROS DE ARRIMO 
TABELA 1.2.B - Coeficiente de empuxo ativo Kp (Rankine) 
qi 
(3 
10 12 15 18 20 22 24 26 
o 1,4203 1,5250 1,6984 1,8944 2,0396 2, 1980 2,3712 2,5611 
5 1,3499 1,4620 1,6415 1,8404 1,9864 2, 1450 2,3179 2,5070 
10 0,9848 1,2435 1,4616 1,6752 1,8257 1,9862 2,1589 2,3463 
15 o o 0,9659 1,3751 1,5478 1,7186 1,8954 2,0826 
20 o o o o 0,9397 1,3047 1,5146 1,7141 
25 o o o o o o o 1, 1736 
30 o o o o o o o o 
35 o o o o o o o o 
40 o o o o o o o o 
/3 28 30 32 34 36 38 40 42 
o 2,7698 3,0000 3,2546 3,5371 3,8518 4,2037 4,5989 5,0447 
5 2,7145 2,9431 3, 1957 3,4757 3,7875 4, 1360 4,5272 4,9684 
10 1,5507 2,7748 3,0216 3,2946 3,5979 3,9365 4,3161 4,7437 
15 2,2836 2,5017 2,7401 3,0024 3,2925 3,6154 3,9766 4,3827 
20 1,9175 2, 1318 2,3618 2,6116 2,8857 3, 1888 3,5262 3,9044 
25 1,4343 1,6641 1,8942 2,1352 2,3938 2,6758 2,9867 3,3328 
30 o 0,8660 1,3064 1,5705 1,8269 2,0937 2,3802 2,6940 
35 o o o o 1, 1238 1,4347 1,7177 2,0088 
40 o o o o o o 0,7660 1,2570 
pio 1.2.A 
Sm 
Figura 6 
1 - INTRODUÇÃO 7 
Solo: <j> = 30º 
y = 18 kN/m3 
C=O 
::>a Tabela 1.2.A temos: Ka = 0,3495 e (B) Kp = 2, 77 48. 
plo 1.2.B 
Sm 
PA = Ka · y · H = 0,395 · 18 · 5 = 31,45 kN/m2. 
- 11,82 
_l 
19,63 
Figura 7 
Solo: 
<j> = 30º 
e= 18 kN/m3 
e= 10 kN/m2 
8 MUROS DE ARRIMO 
O mesmo exemplo anterior com solo: C = 1 O kN/m2 (coesão) 
PA =KA-y-H-2- C -JKA 
p A = 0,3495x 18 x 5 - 2xlüx ~0,3495 = 19,63 kN/m2 
p 8 =-2CJKA =-2xlüx~0,3495 =-11,82 kN/m
2 
2C 
zc = yfi0., 
2x10 
ZC= =l 88 m 
18x~0,3495 ' 
1.3 - EMPUXOS DE TERRA EM MUROS DE CONTENÇÃO - COULOI 
As hipóteses para o cálculo do empuxo de terra são as seguintes: 
a) Solo isot~~pico e hom~o que po~s~i atrito interno~ c~esão. _ . 
b) A superfície de ruptura e unta-superflc1e plana, o que nao e verdaderro, mas s1 
plifica os cálculos. 
c) As forças de atrito são distribuídas uniformemente ao longo do plano de ruptl\ 
e vale f = tg </> (f = coeficiente de atrito). 
d) A cunha de ruptura é um corpo rígido . 
e) Existe atrito entre o terreno e a parede do muro. 
f) Ruptura é um problema em duas dimensões. 
H 
a 
A 
E~ 
cp = (ângulo de atrito interno do solo) 
E = (empuxo do solo) 
Figura8 
INTRODUÇÃO 9 
Ka=~~~~~~-s_e_n_
2(~a_+_~~):...._~ ~~~~ 
sen2a. sen(a -8). [1 + sen(~ + 8). sen(~ - /3) l 2 
sen(a-8) · sen(a + /3) 
sen2(a-111) Kp=-------_:_____!_~..:__ ___ _ ~ 
sen2a. sen(a + 8) ·[1- sen(~ + 8). sen(~ + /3) l 2 
sen(a + 8) · sen(a + /3) 
PA =Ka-y-H-2-C-ÍKA. (ativo) 
Pp =Kp-y-H +2-C-ÍKP (passivo) 
2C 
ZC=--
y/Ka, 
·---------- --· 
1 Ü MUROS DE ARRIMO 
TABELA 1.3.A - Coeficiente de empuxo ativo Ka (Coulomb) 
a = 90º e {3 = Oº 
ô 
<I> o 16 17 20 22 
10 0,7041 0,6145 0,6122 0,6070 0,6049 
12 0,6558 0,5724 0,5702 0,5650 0,5628 
15 0,5888 0,5153 0,5133 0,5084 0,5062 1 
18 0,5279 0,4640 0,4622 0,4578 0,4559 . 
20 0,4903 0,4325 0,4309 0,4269 0,4251 1 
22 0,4550 0,4029 0,4014 0,3978 0,3962 
24 0,4217 0,3750 0,3737 0,3705 0,3690 
26 0,3905 0,3487 0,3475 0,3447 0,3434 1 
28 0,3610 0,3239 0,3228 0,3203 0,3193 
30 0,3333 )Y,3004 0,2994 0,2973 0,2964 1 
32 
V O, 307 3------ 0,2782 0,2773 0,2755 0,2748 1 
34 0,2827 0,2571 0,2564 0,2549 0,2544 
36 0,2596 0,2372 0,2366 0,2354 0,2350 1 
38 0,2379 0,2184 0,2179 0,2169 0,2166 1 
40 0,2174 0,2006 0,2002 0,1994 0, 1992 1 
42 0,1982 O, 1837 O, 1834 0,1828 0, 1827 1 
1 - INTRODUÇÃO 11 
l TABELA 1.3.A- Coeficiente de empuxo ativo Ka (Coulomb} (continuação) 
a = 90º e {3 = 5º 
() 
<j> 
o 16 17 20 22 
10 0,7687 0,7009 0,6998 0,6983 0,6986 
12 0,7117 0,6427 0,6413 0,6386 0,6382 
15 0,6347 0,5694 0,5678 0,5645 0,5635 
18 0,5660 0,5069 0,5054 0,5021 0,5008 
20 0,5240 0,4696 0,4682 0,4650 0,4638 
22 0,4848 0,4352 0,4338 0,4309 0,4297 
24 0,4482 0,4032 0,4019 0,3992 0,3982 
26 0,4139 0,3733 0,3722 0,3698 0,3688 
1 
1 
28 0,3817 0,3454 0,3444 0,3422 0,3414 
1 
30 0,3516 0,3-1'92 0,3183 0,3165 0,3158 
32 0,3233 0,2946 0,2939 0,2923 0,2917 
34 0,2968 0,2715 0,2709 0,2695 0,2691 
36 0,2720 0,2498 0,2492 0,2481 0,2478 
38 0,2487 0,2293 0,2289 0,2280 0,2278 
40 
' 
0,2269 0,2101 0,2097 0,2090 0,2089 
42 0,2064 O, 1920 O, 1917 O, 1912 O, 1911 
1 2 MUROS DE ARRIMO 
TABELA 1.3.A - Coeficiente de empuxo ativo Ka (Coulomb) (continuação) 
a = 90º e f3 = 1 Oº 
ô 
<l> 
o 16 17 20 22 
10 0,9698 1,0089 1,0142 1,0321 1,0460 
12 0,8115 0,7773 0,7780 0,7816 0,7855 1 
15 0,7038 0,6545 0,6539 0,6537 0,6548 
18 0,6188 0,5683 0,5674 0,5658 0,5659 
20 0,5692 0,5206 0,5196 0,5177 0,5174 1 
22 0,5237 0,4781 0,4770 0,4750 0,4746 1 
24 0,4818 0,4396 0,4386 0,4367 0,4362 
26 0,4431 0,4045 0,4036 0,4017 0,4012 ~ 
28 0,407 1 0,3722 0,3713 0,3696 0,3692 
30 0,3737 0,3"423 0,3415 0,3400 0,3396 ~~ 
--
32 0,3425 0,3145 0,3139 0,3126 0,3122 1 
34 0,3135 0,2887 0,2881 0,2870 0,2868 1 
36 0,2865 0,2646 0,2641 0,2632 0,2631 1 
38 0,2612 0,2421 0,2417 0,2410 0,2409 1 
40 0,2377 0,2211 0,2202 0,2202 0,2202 1 
42 0,2157 0,2014 0,2011 0,2007 0,2008 
1 - INTRODUÇÃO 1 3 
1 TABELA 1.3.A - Coeficiente de empuxo ativo Kp (Coulomb) 
a = 90º e f3 = Oº 
ô 
<I> 
o 16 17 20 22 
li 10 1,4203 1,9539 1,9956 2, 1304 2,2295 
12 1,5250 2, 1441 2,1936 2,3546 2,4736 
1 15 1,6984 2,4641 2,5276 2,7349 2,8895 
1 18 1,8944 2,8360 2,9164 3,1815 3,3811 
20 2,0396 3, 1191 3,2132 3,5250 3,7615 
22 2, 1980 3,4359 3,5461 3,9130 4, 1933 
li 24 2,3712 3,7922 3,9212 4,3536 4,6865 
26 2,5611 4, 1947 4,3462 4,8670 5,2534 
1 
28 2,7698 4,6520 4,8303 5,4356 5,9096 
1 30 3,0000 
---
5, 1744 5.3850 6, 1054 6,6748 
32 3,2546 5,7748 6,0247 6,8861 7,5743 
34 3,5371 6,4694 6,7674 7,8037 8,6410 
36 3,8518 7,2788 7,6364 8,8916 9,9187 
38 4,2037 8,2295 8,6615 10,1943 11,4663 
40 4,5989 9,3560 9,8823 11 ,7715 13,3644 
42 5,0447 10,7040 11,3512 13,7052 15,7261 
14 MUROS DE ARRIMO 
TABELA 1.3.A - Coeficiente de empuxo ativo Kp (Coulomb) (continuação) 1 
a = 90º e f3 = 5º 1 
ô 1 
<I> 
o 16 17 20 22 l 
10 1,5635 2,3460 2,4092 2,6154 2,7687 
12 1,6875 2,5776 2,6515 2,8937 3,0751 
15 1,8938 2,9759 3,0690 3,3771 3,6105 
18 2, 1287 3,4489 3,5665 3,9592 4,2599 
20 2,3039 3,8153 3,9531 4,4158 4,7732 
22 2,4964 4,2312 4,3929 4,9399 5,3661 
24 2,7085 4,7056 4,8961 5,5452 6,0558 
26 2,9429 5,2499 5,4753 6,2492 6,8642 
28 3,20}7 5,8783 6,1463 7,0742 7,8197 
30 ------{4918 6,6087 6,9292 8,0491 8,9597 
32 3,8147 7,4641 7,8500 9,2117 10,3341 
34 4, 1769 8,4742 8,9423 10,6129 12,010636 4,5848 9,6781 10,2510 12,3215 14,0833 
38 5,0465 11, 1279 11 ,8363 14,4330 16,6854 
40 5,5717 12,8945 13,7809 17,0828 20,0111 
42 6, 1727 15,0761 16,2006 20,4683 24,3518 1 
1 - IN7-'00UÇÃO 15 
TABELA 1.3.A - Coeficiente de empuxo ativo Kp (Coulomb) (continuação) 
1 
a = 90º e {3 = 1 Oº 
o 
q, 
o 16 17 20 22 
1 
10 1,7040 2,7837 2,8748 3,1752 3,4023 
1 
13 1,8519 3,0745 3, 1805 3,5328 3,8012 
1 
15 2,0989 3,5828 3,7167 4, 1659 4,5125 
1 
18 2,3823 4, 1989 4,3691 4,9463 5,3980 
20 2,5954 4,6847 4,8854 5,5715 6, 1137 
22 2,8313 5,2445 5,4824 6,3023 6,9572 
: 
24 3,0933 5,8938 6, 1773 7, 1632 7,9599 
1 
26 3,3854 6,6522 6,9922 8, 1862 9, 1637 
28 3,7125 7,5449 7,9557 9,4139 10,6248 
1 
30 4,0804 8,6049 9,1055 10,9034 12,4206 
32 - 4,4959 9,8761 10,4918 12,7334 14,6595 
34 4,9678 11,4171 12, 1831 15,0140 17,4973 
36 5,5066 13,3089 14,2741 17,9035 21,1643 
38 6, 1253 15,6647 16,8992 21,6360 26,0127 
40 6,8405 18,6472 20,2543 26,5688 32,6018 
42 7,6732 22,4968 24,6332 33,2702 41,8640 
1 6 MUROS DE ARRIMO 
Exemplo 1.3.A 
B 
H = Sm 
a= 90º 
$ = 30º a= 90º 
y = 18 kN/m3 ~ = 1 Oº 
c=O 
2 2 
O = 3 X (j) = 3 X 30 = 20º 
Figura 9 
Da TabelaJ.3 temos: 
__ ___.-/· Ka = 0,34 
Exemplo 1.3.B 
PA =Ka -y-H-2·C·fta 
P11 =0,34xl8x5-2x0~0,34 =30,6 kN/m
2 
PB=O 
11,66 kN/m2 __ ;3 
A 18,94 kN/m2 
Figura 10 
1 - INTRODUÇÃO 1 7 
O mesmo exemplo (1.2.A) com solo contendo e= 10 kN/m2 (coesão) ó= 20º 
pi\= Ka-y · H -2-C .JKa = 0,34x20x5-2xlüx~0,34 = 18,94 kN/m2 
p8 =-2-C-J°Ka =-2-10)0,34 =-11,66 kN/m 2 
2-C 2x10 
ZC= = :::1,91 m 
r·ÍKa 18 x~0,34 
1.4 - EMPUXOS DE TERRA EM REPOUSO EM MUROS DE 
CONTENÇÃO 
O cálculo do coeficiente de empuxo em repouso (K0) que deverá ser utilizado na 
determinação do empuxo em estruturas de gravidade, que não devam se deslocar, 
!oi estudado por vários autores, mas aqui, iremos apresentar apenas as equações 
segundo Myslêvec (1972) e segundo Jaky. 
(,)~ 
o' 
Tensão na ruptura 
Figura 11 
Tensão no repouso 
(antes da ruptura) 
ºº 
O ângulo </>o é chamado de ângulo de atrito estático do solo. Este ângulo de atrito 
estático C</>o) é menor que o ângulo de atrito do solo na ruptura(</>), pois no empuxo 
em repouso, somente parte da resistência ao cisalhamento C .) é mobilizada. Também 
C0 é menor que a coesão mobilizada (C), pois no repouso somente parte da resis-
tência ao cisalhamento é mobilizada. O valor de </>o será determinado utilizando-se a 
seguinte equação: 
sen </> 
sen </)0 = , 2 - sen </> 
onde <f> é o ângulo de atrito interno do solo na ruptura. 
18 M UROS DE A RRIMO 
O valor de C0 será determinado utilizando-se a seguinte equação: 
e = e . tg <l>o e coesão estática do solo) 
o tg </> 
ah= av -Ka <f>0 - 2-C0 -~Ka </>0 
Ka ~o = tg2 ( 45-~ }=1- sen ~ ( coeficiente de _empuxo) em repouso ativo 
onde ah é pressão horizontal; au: pressão vertical; Ka <f>o : coeficiente de empuxo no 
estado repouso-ativo. 
Tabela 1.4 - Valores dos coeficientes no estado repouso-ativo 
</> sen(<Po) <Po Ka </>o tg (</>0)/tg(<f>) 
5 0,0456 2,6115 0,9128 0,5213 
-
1 8 0,0748 4,2892 0,8608 0,5337 
10 0,0951 5,4559 0,8264 0,5417 1 
12 0, 1160 6,6623 0,7921 0,5495 
15 0, 1486 8,5485 0,7412 0,5610 
18 0, 1827 10,5296 0,6910 0,5721 
20 0,2063 11 ,9049 0,6580 0,5792 
22 0,2305 13,3248 0,6254 0,5862 
25 0,2679 15,5408 0,5774 0,5964 1 
28 0,3067 17,8628 0,5305 0,6061 
30 0,3333 19,4712 0,5000 0,6124 
32 0,3605 21 ,1291 0,4701 0,6185 1 
34 0,3881 22,8370 0,4408 0,6243 
36 0,4162 24,5959 0,4122 0,6300 1 
38 0,4447 26,4063 0,3843 0,6355 1 
40 0,4736 28,2688 0,3572 0,6409 
42 0,5028 30, 1839 0,3309 0,6460 
45 0,5469 33, 1559 0,2929 0,6533 1 
1 - INTRODUÇÃO 1 9 
Exemplo 1.4.A 
Calcular os empuxos no muro de gravidade (muro com deslocamentos muito 
uzidos) . 
30,5 m 
• I 
Figura 12 
<1> = 34º 
e = 7 kN/m2 
'Ynat = 21 kN/m3 
Em função de a estrutura ser um muro de gravidade sujeito a deslocamentos mui-
reduzidos, o solo adjacente ao mesmo estará em um estado de repouso-ativo. 
Deste modo, utilizaremos as fórmulas de Myslevec (1972): 
p = y-z·Koª -2 -Co-~Koª 
C - C-tg <f>o 
o - tg </> 
Da Tabela 1.4 temos: 
<P = 34º </>o= 22,837º 
Koa = 0,4408 Co = 7 X 0,6243 = 4,3701 
sen </> = sen </> = sen 34 º = O 3881 
0 2 - sen <f> 2 - sen 34 º ' 
<f>o = 22,837º 
Koa = tg2 ( 45°-
22
'~
370
)=0,4408 
e =e. tg <f>o = 7. tg 22,837º = 4 3704 kN/m2 
o tg </> tg 34º ' 
2Q MUROS DE ARRIMO 
p=y·z·Koª -2-C0 )Koa 
p = 21 · Z ·0,4408-2 X 4,3701 X ~~0,-44_0_8 
p = 9,2568 z-5,8029 
para z = O - p = - 5,8029 kN/m2 
para z = 37 m - p = 9,2568 X 37 - 5,8029 = 336,6987 kN/m2 
- 5,8029 kN/m2 
) 
I 
/ 
336,6987 kN/m2 
Figura 13 
1.5 - EFEITO DA COMPACTAÇÃO SOBRE MUROS DE CONTENÇÃO 
- TERRY S. INGOLD 
O efeito da compactação sobre muros tem grande influência sobre as pressões 
laterais. O diagrama resultante da compactação é ilustrado a seguir (Fig. 14): 
Acréscimo de pressão 
lateral devido à 
compactação 
Figura 14 
hc 
h 
1 - INTRODUÇÃO 21 
- CÍKa I Ka-C2 2-p-Ka2 
zc = + +------
y (1-Ka) , y2 -(1-Ka) n-y-(l-Ka2 ) 
ah =Ka-(y- zc+~) - 2-C-fta 
m n-zc 
s agora mostrar, por intermédio de um exemplo, o efeito da compactação e 
·tude, em relação ao empuxo calculado por Rankine ou Coulomb. 
~ ~ 
Aterro compactado 
y = 18 kN/m3 
c =0 
H (variável) $ = 30º 
Ka = 0,33 
./ 
1 
Figura 15 
considerar um rolo compactador de p = 50 kN/m 
o da compactação 
Calculo de zc: e = O 
2p ka2 
!----- - = 
n-p-(l-Ka2 ) 
peso total 
P = largura do cilindro 
2x50x0,33\ =0, 465 m 
n-18-(1-0,33 ) 
22 MUROS DE A RRIMO 
a.2) Cálculo de shm: e = O 
ahm = Ka(r· zc+~)=0,33(18x0,465+ 2 x 50 ) 
n-zc n x 0,465 
a hm = 25,35 kN/m2 
b) Empuxo de terra 
\ 
\ H 
pa = Ka · r · H - 2. e· .fKa 
pa=Ka-y-H 
IE~~ Ka r H'I 
+-+---E 
H/3 
pa = ka · y · H 
Figura 16 
1 1 2 Empuxo= - · Ka · y · H · H = - · Ka · y · H 
2 2 
Empuxo= ..!..x0,33x l 8x H 2 = 2,97 H 2 
2 
Cálculo de hc 
ahm 25,35 
Ka·r·hc=ahm~hc=-- = = 4,27 m 
Ka·r 0,33xl8 
e) Esforços totais no muro 
: 
6E (acréscimo de empuxo 
devido à compactação) 
\ 
1 - INTRODUÇÃO 23 
4,27 m 
~ 25,35 kN/m2 -~ 
~ \ pa = ka · y · H = 0,33 · 18 · H = 5,94 H 
\ Figura 17 
H Ea ó.E ó.E/E a 
(cm) (kN/m) (kN/m) (%) 
2,0 11,88 32,92 270 
3,0 26,73 43,43 162 
4,0 47,52 47,98 101 
5,0 74,25 48,22 65 
1 8,0 190,08 48,22 25 
li 10,0 297,00 48,22 16 
. ' 15,0 668,25 48,22 7 
~ 
paraH = 2 m: 
pa= Ka·r·H = 0,33x18x2 = 11,88 kN/m2 
1 1 
Ea = - · Ka · y · H 2 = - x O, 33 x 18 x 22 = 11 88 kN/m 2 2 ' 
/iE = ( 2 + ~535 X 25,35-11,88) = 32,92_ kN/m 
24 MUROS DE ARRIMO 
0,465 m 
1,535 m 2m 
·------1 
, ____ 
I· 11,88 ·I \ I 25,35 ·I 
~ --- ~~·--~ -P-ig_u_r_a_l_B~ --- ---~ -~ 
paraH = 3 rn: 
pa = Ka -y-H = 0,33x 18x 3= 17,82 kN/rn2 
1 2 1 ? Ea= -· Ka ·y·H = -x0,33x l8x 3~ = 26,73 kN/rn 
2 2 
M:-( 3+~535 x25,35-26, 73 )-43,426 kN/m-43,43 kN/m 
rr-~ :;:_--=====,...._ ____ 0,465 m 
2,535 m 3m 
,-
· : 
,-
, ~ 
I· 17,82 ~ 
I· 25,35 ·1 
Figura 19 
paraH = 5 rn: 
pa = Ka ·y·H = 0,33xl8x5 = 29,7 kN/rn2 
1 1 
Ea= - ·Ka-y-H2 = - x0,33x l8 x52 =74,25 kN/rn 
2 2 
1 - INTRODUÇÃO 25 
0,465 m 0,465 m 
hc = 4,27 m 3,805 m 
' 5m ' ' 4,35 m 
' 
25,35 
O, 7 3 fn-.._ __ 
I· 29,7 ·I 
Figura20 
Vemos por esse exemplo que, para pequenas aluras, os valores de empuxo, devi-
:io à compactactação, são bastante importantes. 
1.6 - EMPUXOS DEVIDOS A CARGAS ESPECIAIS 
.6.1 - Empuxos devidos a cargas distribuídas na superfície 
H 
ho = qo 
y 
Solo:<!>, y, e 
Ka · y · ho = ks, q0 
Figura21 
o = Ka · y · ho= Ka · qo 
26 MUROS DE ARRIMO 
Exemplo: 
Paraqo = 20 kN/m2 H = 5 m y = 18 kN/m3 <P = 30º Ka = 0,33 
\ 
20 
ho=-=111 m 
18 ' 
Ka·qo=0,33x20=6,6 kN/m2 
1.6.2 - Em~xos devidos à água no solo: (N.A.) (Nível d'água) 
N.A. H, 
(2) i---v"------=::===------+-
H 
Solo: <j), Y, C, Ysat, Ysub H2 
(3) 
Figura22 
Pressões verticais efetivas 
avl = O 
av2 = y-Hl 
av3 = y · Hl + y sub · H2 
Pressões horizontais 
p 1 = Ka · av 1 - 2 · C · VKa 
p2 = Ka · y · Hl - 2 · C · VKa 
p3 = Ka - y . Hl + Ka . y sub . H2 - 2 . C . VKa 
Pressões hidrostáticas 
pwl = O 
pw2 =Ü 
pw2 =h2 
- ~ 
C = 0 
1 - INTRODUÇÃO 27 
Jliagrama de pressões 
h, 
H 
Figura 23 
Exemplo: 
Calcular o diagrama de pressão: 
q0 = 20 kN/m2 
Ie1,8m Solo 1: <l> = 32º, Y1 = 18 kN/m3 N.A. 
2 
---
h2 = 1 m Solo 2: <P = 30º, Y2 = 20 kN/m3 
3 Solo 3: <l> = 10º 
c3 = 20 kN/ m2 
h3 = 2,4 m y3 = 20 kN/m
3 
4 
Solo 4: <P = 20º 
h4 =1,Sm c4 = 20 kN/ m2 Água Ya = 1 O kN/ m3 
5 
Y4 = 19 kN/m3 
Figura24 
28 MUROS DE ARRIMO 
a) Pressões verticais efetivas 
av1 = Pi = 20 kN/m 
2 
av2 = P2 =Pi+ Y1 · H 1 = 20+ 18 x 1,8 = 52,4 kN/m
2 
I 2 
cftv3 = P3 = P2 +Cr2 -ya)-h2 = 52,4+(20-10) X 1 = 62,4 kN/m 
OiV4 = P4 = p3 + (y3 -ya)-h3 = 62,4+(20-10) x 2,4 = 86,4 kN/m2 
av5 = P5 = P4 +(r4 -ya)- h4 = 86,4+(19-10) xl,5 = 99,9 kN/m2 
b) Coeficiente de empuxo ativo (Rankine) 
solo 1: (/J = 32°~Ka1 = 0,3073 
solo 2: <P = 30°~Ka2 = 0,3333 
solo 3: (/)=10º~Ka3 = 0,7041 
solo4: (/)=20º~ Ka4 =0,4903 
c) Empuxos horizontais do solo 
Solo 1: 
e ~Ka3 = ~O, 7041 = 0,8391 
e ~Ka4 = ~0,4903 = O, 7002 
Ka1 ·Pi= 0,3073x 20 = 6,146 kN/m
2 
Ka1 ·P2 =0,3073x52,4=16,102 kN/m
2 
Solo 2: 
Ka2 · p 2 = 0,3333x52,4 = 17,465 kN/m2 
Ka2 · p 3 = 0,3333x62,4 = 20,798 kN/m
2 
Solo 3: 
Ka3 · p3 - 2·C3 -~Ka3 = O, 7041 x62, 4-2x20x0,8391 = 10,37 kN/m2 
Ka3 · P4 -2·C3 -~Ka3 = 0,704lx86,4 - 2x20x0,8391 = 27,27 kN/m
2 
Solo 4: 
Ka4 · P4 - 2·C4 -~Ka4 = 0,4903x86,4 - 2x20x0,7002 = 14,35 kN/m2 
Ka4 · p 5 -2 ·C4 -~Ka4 = 0,4903x99,9-2x 20x0,7002 = 20,97 kN/m2 
Pressões hidrostáticas 
pw1 =Ü 
P W2 =Ô 
pw3 -=:= ya·hz = 10·1 = 10 kN/m
2 
pw 4 = pw3 + ya · h3 == 10 + 10 x 2, 4 = 34 kN/m 
2 
pw5 = pw4 +ra·h4 = 34 +10 x 1,5 = 49 kN/m
2 
:'íagrama de pressões: 
I-,.sm 
h4 =1 ,Sm 
Solo 
6,146 kN/m2 
16,102 kN 2 
17,405 kN/m2 
20,798 kN/m2 
10,37 kN/m 
27,27 kN/m2 
14,35 kN 2 
20,97 kN/m2 
Figura25 
1 - INTRODUÇÃO 29 
Água 
10 kN/m2 
34 kN/m2 
49 kN/m2 
3Q MUROS DE ARRIMO 
1.6.3 - Cargas concentradas 
.Af3 pressões laterais , usando a Teoria da Elasticidade e com testes de Spangler e 
Wick.le C 1956), são apresentadas a seguir: 
x = m · H V(kN) 
(a) 
T m > 0,4 1,77V m2n2 oh=~ (m2+ n2)3 
z = nH 
_j H m ~0,4 0,28V n2 Oh=~ (0,16+ n2)3 
(b) 
~llf~hftt~ 
o\ = oh cos2 ( 1 , 1 a) 
Figura26 
Exemplo: 
1-• __ x_=_m_H __ ~r • 100 kN 
H=4m 
Figura27 
1 - INTRODUÇÃO 31 
a Param= 0,3 -x = 0,3 · 4 = 1,2 m usaremos a equação params 0,4 
C5h=0,28·V. n 2 
H 2 (0,16+n2)3 
n= O 2~ <5h= 0,28 ·100. 0,22 = 8 75 kN/m 2 
' 42 (0,16+0,22)3 ' 
n=04~<5h=0,28-l00_ 0,42 =855kN/m2 
' 42 (0,16+0,42)3 ' 
n=O 6~<5h= 0,28-100. 0,62 4 48 kN/m2 
' 42 (0,16+0,62)3 ' 
n=O 8~<5h= 0,28-100. 0,82 =219 kN/m2 
' 42 (0,16+0,82)3 ' 
n=l0~<5h=º· 28 ·lOO_ 
12 
=112kN/m2 
' 42 (0,16+ 12)3 ' 
:::>iagrama de pressões: 
0,8m 
8,55 kN/m2 
0,8 m 
4,48 kN/ 2 
0,8 m 
2,19 kN/m2 
0,8m 
1, 12 kN/m2 
Figura28 
32 MUROS DE ARRIMO 
b) Para m = 0,5 - x = 0 ,5 · 4 = 2,0 m usaremos a fórmula m > 0,4 
<Yh=l,77-V m 2 -n 2 
H2 (m2 +n2)3 
1 77 -100 
para n =0,2~<Yh= ' 2 4 
1 77 ·100 para n =0,4~<Yh= ' 
2 4 
1,77 ·100 
paran=0,6~ ah= 2 4 
1,77 ·100 para n = 0,8 ~ ah= - - -
42 
1 77 ·100 
paran=l,O~<Yh= ' 2 4 
Diagrama de pressões: 
0,8 m 
0,8 m 
0,8 m 
0,8m 
0,8m 
0,52 . 0,22 = 4 53 kN/m 2 
(0,52 +0,22)3 ' 
0,52 .0,42 =642 kN/m 2 
(0,52 +0,42)3 ' 
0,52 . 0,62 = 4 38 kN/m 2 
(0,52 +0,62)3 ' 
0,52 . 0,82 = 1 99 kN/m 2 
(0,52 +0,82)3 ' 
0,52 .12 2 
2 2 3 = 1, 42 kN/m (0,5 +l ) 
4,53 kN/m2 
------". 
6,42 kN/m2 
----
---
4,38 kN/m2 
1,99 kN/m2 
1,42 kN/m2 
Figura 29 
1 - INTRODUÇÃO 33 
.6.4 - Cargas lineares 
As pressões laterais, usando a Teoria da Elasticidade e com testes de Terzaghi 
:954), são apresentadas a seguir: 
1, 
(a) 
T 
z = nH 
H _] 
plo: 
H=4m 
x= mH 1+-~~~~~~---+{ 
Figura30 
1 x= m H 
1 
z = nH 
Figura31 
q (kN/m) (carga linear) 
param > 0,4 
4 q { m2n \ 
o h = n H (m 2 + n2)2 J 
param :s;0,4 
q 0,203 n 
0 h = H (O, 16 + n2)2 
q = 100 kN/m 
34 MUROS DE ARRIMO 
a) Param = 0,3 - x = 0,3 · 4 = 1,2 m usaremos a equação param 5 0,4 
\ 
1 
ah=!!._. 0,203 · n 
H (0,16+n2 )2 
n = O 2 ~ CJh = 100 . 0,203·0,2 = 25 37 kN/m2 
' 4 (0,16+ 0,22)2 ' 
n=04~ah= 10º. º· 2º3 ·0,4 =1982kN/m2 
' 4 (0,16+0,42 )2 ' 
n = 0 6 ~CJh = 100_ 0,203 ·0,6 =ll 26 kN/m2 
' 4 (0,16+0,62)2 ' 
n =08~ah = 10º. 0, 203 ·0,S = 634kN/m2 
' 4 (0,16+0,82)2 ' 
n=l 0~CJh= 10º. 0,203 ·l =377kN/m2 
' 4 (0,16+12)2 ' 
Diagrama de pressões: 
25,37 kN/m2 
0,8m 
19,82 kN/m2 
0,8m 
11,26 kN/m2 
0,8m 
6,34 kN/m2 
0,8 m 
3,77 kN/ 2 
Figura32 
1 - INTRODUÇÃO 35 
b) Param= 0,5 - x = 0,5 · 4 = 2 m usaremos a equação m > 0,4 
4 q m 2 ·n 
<Jh=-·-·-- --
n: H (m2 +n2)2 
4 100 0,52 · 0,2 paran = 0,2 ~ <Jh =-·-· 2 2 2 = 18,92 kN/m2 n: 4 (0,5 +0,2 ) 
4 100 0,52 · 0,4 2 paran=0,4~<Jh=-·-· 2 2 2 =18,93 kN/m n: 4 (0,5 +0,4 ) 
4 100 0,52 ·0,6 2 
paran=0,6~<Jh= - ·-· 2 2 2 =12,3kN/m n: 4 (0,5 +0,6 ) 
4 100 0,52·0,8 2 paran=0,8~<Jh=-·-· 2 2 2 =8,04 kN/m n: 4 (0,5 +0,8 ) 
4 100 0,52 ·l 2 para n = 1 O~ <J h = - · - · = 5 09 kN/m ) n: 4 (0,52 +12)2 ) 
Diagrama de pressões: 
0,8 m 
18,92 kN/m2 
0,8m 
18,93 kN/m2 
0,8 m 
12,83 kN/m2 
0,8 m 
8,04 kN/m2 
0,8m 
5,09 kN/m2 
Figura33 
36 MUROS DE ARRIMO 
1.6.5 - Carga tipo sapata corrida 
As pressões laterais, usando a Teoria da Elasticidade e com testes de Therzaghi 
(1943), são apresentadas a seguir: cargas do tipo rodovia, ferrovia, aterro sobre a 
superfície do terreno, paralelo ao muro de contenção. 
q (kN/m2) 
(strip loading) 
2q 
Oh = 7C (~ - sen ~ COS 2a) 
Figura34 
Exemplo: 
z = nH 
4m 
Figura35 
\ 
2,q 
ah = - , (/3 - sen/3 cos 2o:) 
n =O J~z==O 2-4=0 8 m , , , 
3+1 
tgo:=-- = 5 
0,8 
~m 
o:= arctg 5 = 1,372 rad 
tg ( o: + /3) = ~ = 6,25 2 0,8 
a + /3 =1,4121~ /3=0,0795 rad 
2 
1 - INTRODUÇÃO 37 
3m 
30 kN/m2 
Figura 36 
2 · 30 ( ) ah= -- 0,0795 - sen (0,0795)-cos(2· 1,3724) = 2,92 kN/m2 
,r 
r 38 MUROS DE ARRIMO 
para n = 0,4 - z = 0,4 . 4 = 1,6 m 
3+1 
tga = - = 2,5 ~a= 1,1903 rad 
1,6 
tg(a+ /3)= ~ = 3,125 
2 1,6 
a+ /3 = 1,2611 ~ f3 = 0,1416 rad 
2 
ah= 
2 
· 
30 ( 0,1416-sen(0,1416) · cos(2 · 1,1903)) = 4,65 kN/m2 
n 
para n = 0,6 - z = 0,6 . 4 = 2,4 m 
3+1 
tga = - = 1,6667 ~a= 1,0304 rad 
2,4 
tg(a+ /3) = ~ = 2,08 
2 2,4 
a+ /3 = 1,1233 ~ f3 = 0,1858 rad 
2 
ah= 
2
·
30 ( 0,1858-sen(0,1858} cos(2·1,0304)) = 4,96 kN/m2 
n 
para n = 0,8 - z = 0,8 . 4 = 3,2 m 
3+1 
tga= - = 1,25~a =0,8961 rad 
3,2 
tg(a+ /3) = ~ = 1,5625 ~ 2+ /3 = 1,0015 
2 3,2 2 
f3 = 0,2108 rad 
ah= 
2 
· 
30 ( 0,2108-sen(0,1208) · cos(2 · 0,8961)) = 4,90 kN/m2 
n 
para n = 1 - z = 4 
3+1 
tga=-=l~a=0,7854 rad 
4 
tg(a+ /3) = ~ = 1,25 ~ a+ f3 = 0,8961 
2 4 2 
f3 = 0,2213 rad 
ah = 
2
·
3
0 (0,2213-sen(0,2213} cos(2·0, 7854)) = 4,23 kN/m2 
n 
::)5agrama de pressões: 
0,8m 
0,8 m 
0,8m 
0,8 m 
0,8 m 
1 - INTRODUÇÃO 
-----; 4,96 kN/m2 
--- ---J 4,90 kN/m2--~ 
4,23 kN/m2 
Figura37 
39 
2 - MUROS DE ARRIMO 41 
2 - /MUROS DE ARRIMO 
2.1 - MUROS DE ARRIMO POR GRAVIDADE 
a) Construção de alvenaria de pedra ou concreto ciclópico 
• Pré-dimensionamento 
(30 cm ou 8% a 15% H) 
(1:10a1:15) 
H 
(0,5 d a d) 
____._ __ b, To J12% a 15%) H 
1. (40% a 70%) H •l(o.K.) 
Figura 38 
• Tipos em alvenaria e concreto ciclópico 
Figura39 
42 MUROS DE ARRIMO 
b) Construção em concreto ciclópico 
• Pré-dimensionamento 
(30 cm ou 8% a 15% H) 
(40% a 70% H) 
Figura40 
c) Verificação dos esforços no concreto ciclópico 
• Concreto ciclópico (concreto simples) 
fck = 15 MPa 
y = 2,2 kN/m3 (peso específico) 
• Tensões resistentes de cálculo (tração) 
jctd = jctkw = 1•27 = O, 75 MPa 
yc 1,68 
yc = 1,4 ·1,2 = 1,68 
fctkmr = O, 7 jctm = O, 7 · (0,3 · 15213 ) = 1,27 MPa 
• Tensões resistentes de cálculo de compressão 
(30 cm ou 8% a 15% H) 
(40%a 70% H) 
fibra extrema à compressão = 0,85 · fcd = 0,85 · ~ = 7,59 MPa = a Rd 
1,68 e 
fibra extrema à tração = O, 85 · jctd = O, 85 · O, 75 = O, 64 MPa = a ctRd 
2 - MUROS DE ARRIMO 43 
• Tensões de cisalhamento resistente de cálculo 
r r d = 0,3· jctd = 0,3-0,75 = 0,225 MPa 
onde: 
3 Vsd 
r wd=--~rrd 
2 -b·h 
15 Vsd 
rwd = ' ~ 0,225 MPa = rrd 
b ·h 
2.2 -MUROS DE ARRIMO DE FLEXÃO 
Pré-dimensionamento: ( concreto armado) 
20 cm (mín.) 
(10% a 12% H) 
(8% a 10% H) 
,. (40% a 70% H) 
Figura41 
H 
~I 
44 MUROS DE ARRIMO -------
b) Pré-dimensionamento: ( concreto armado) 
15 a 20 cm (mín.) 
H 
(8% a 10% H) 
Figura42 
2.3- MURO DE ARRIMO COM CONTRAFORTES 
a) Pré-dimensionamento: (concreto armado) 
1 cm 
30 cm~ 
H ~(m~ 
(8% a 10% H) 
Figura43 
--~-
2.4 - CORTINAS DE ARRIMO 
Cortina de divisa de terreno. 
Cortina de arrimo 
2 - MUROS DE ARRIMO 45 
Figura44 
46 
2.5 - MUROS DE ARRIMO ATIRANTADOS 
Furo de t rado 
Muro de concreto 
(perfis de aço com madeira) 
Chumbador 
/ 
/ 
/ 
/ 
Superfície 
de ruptura 
Figura 45 - L: comprimento do Grout ( ancoragem); D: diâmetro médio ( ancoragem) 
2 - MUROS DE ARRIMO 47 
- OUTROS TIPOS DE MUROS 
:Muro de arrimo fogueira 
Pré-moldados de concreto armado e terra (crib-wall) 
H 
(Os 
' e) 1) 1-t 
Figura46 
48 MUROS DE ARRIMO 
b) Muro estaqueadQ 
Estacas 
Muro de arrimo 
, ,, 
''' 
' ' ' 
Estacas 
Figura47 
Bloco de concreto 
Estacas 
3 - ESTABILIDADE DOS M UROS 49 
3 - ESTABILIDADE DOS MUROS 
3.1 - DESLIZAMENTO (ESCORREGAMENTO) 
Ep 
B/2 
.1. B/2 
Figura48 
Isolo: 4>,c, ri 
C' = 0,5c a 0,67c 
f = 0,67tg a tgef> 
1 2 Ep = - · y · Hp · Kp ( empuxo passivo) 
2 
1 2 Ea = - · y · H · Ka ( empuxo ativo) 
2 
Ev = Ea · sen /3 
Eh = Ea · cos /3 
- = peso do muro de concreto 
- = peso do solo em e abcd) 
1 
Ea = - y H'2 · Ka 
2 
H' 
5Q MUROS DE-ARRIMO 
Forças atuantes: Eh 
Forças resistentes: 
Fr = (Ps+ Pc+Ev)-0,67 -tg<j>+c' -B+Ep 
Forças resistentes= Fr > {1,5 solo não coesivo 
Forças atuantes Eh - 2,0 solo coesivo 
Como pode acontecer que o solo na frente do muro seja retirado (erodido).~ 
comenda-se adotar Ep = O, então a equação das forças resistentes fica: 
Fr = (Ps + Pc + Ev) · 0,67 · tg<j> + c'B 
ou Fr = (Ps + Pc + Ev) · tgq, + c'B 
3.2 - TOMBAMENTO 
Momentos atuantes: 
Ma= M 1 =Eh· (H'/3) 
Momentos resistentes: 
Mr1 = Ps-es+Pc-ec+Ev -ev 
Momentos resistentes = Mr1 > {1,5 solo não coesivo 
Momentos atuantes Ma - 2,0 solo coesivo 
3.3 - TENSÕES NO SOLO NA BASE DO MURO DE ARRIMO 
• Carga vertical = Pc + Ps + Ev = V 
• Momentos em relação ao cenro de gravidade da sapata do muro (Ponto O) 
H' Mo =-Ps ·(es-0,5b)+ Pc-(0,5b-ec)+ Ev-(0,5b-ev) +Eh -3 
largura (1 m) 
l ·b2 b2 W=--=-6 6 
S = B· l=B 
\ 
ev 
ec 
/. 
\ 
B/2 
es 
Pc 
Ev 
B 
3 - ESTABILIDADE DOS M UROS 51 
Ps 
Eh 
h'/3 
B/2 
Figura49 
V Mo 
a = -±-S w 
~I 
. / 
V Mo Pc+Ps+Ev Mo 
ª 1 = S + W = b · l + b2 
6 
Pc+Ps +Ev 6Mo 
ª1 = b +---;z-
H' 
.\fo = -Ps · (es -0,5 · b) + Pc · (0,5 · b- ec) + Ev(0,5 . b-ev)+ Eh· -
3 
52 fv1UROS DE ARRIMO 
V Mo V 6Mo 
a ---------
2 - S W - S b2 
Pc +Ps+Ev 6Mo 
ª 2 = b b2 
No caso de a2 < O faremos o cálculo da tensão a1 (máxima) como material . -
-resistente à tração: 
1 e e 
4~- - -•-- - .... - - -- - - - - i~ 
o 
1. b 
Figura 50 
onde: 
Mo 
e=-
V 
b 
c=--e 
2 
N 
a =m ·-
1 i e 
onde: 
db 50,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 
m1 0,6665 0,6665 0,665 0,64 0,585 0,5 
\ 
1 
/ 4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 
- PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 
- PROJETO DE MURO DE ARRIMO DE GRAVIDADE 
670 
1 
1 
1 
12 1 1 
__ J2_5~ _ 
1 1 
1 1 
1 1 
1 1 
1 0 1 0 
~~~~~W11 1 
,+---'---,-~~H-~--'----.-~-
:233,33 
·20 90 
\. 305 .\ 
Figura 51 
?ré-<limensionamento 
{
40% = 0,4 x 670 = 268 cm 
(40% a 70%H) = 70%=0,7x670=469 cm 
adotaremos = 305 cm 
{
30 cm 
(30 cmou8%H) = 8%H=0,08x670=53,6 cm 
adotaremos = 45 cm 
{
12%H = 0,12 x 670 = 80, 4 cm 
(12% a 15%H) = 14%H = 0,15 x 670 = 100,5 cm 
adotaremos = 90 cm 
700 
53 
--,, 
54 MUROS DE ARRIMO 
Inclinação externa ao talude: 
~ 
(1:10 a 1:15) - adotaremos (1:12) 
b) Cálculo do empuxo (Rankine) 
/3 = 10º~ </J= 32º ~ Ka= 0,321 
1 1 Ea = -·r·H'2 -Ka=-x18x72 x 0,321 = 141,56 kN/m 
2 2 
H' = 670 + 30 = 700 cm 
Eh= Ea· cos/3 = 141,56-coslüº = 139,40 kN/m2 
Ev = Ea -sen/3 = 141,56 ·senlüº = 24,58 kN/m2 
c) Verificação ao escorregamento 
Parte do Peso Braço parte do muro Momento 1 muro e (kN/m) (e) (kNm/m) do solo 
2 
<D 0,48 X 5,8 X 0,5 X 22 = 30,62 3x0,48+0,42=0,74 m 39,62 X 0,74 = 44,86 
O 45 
@ 0,45 X 5,8 X 22 = 57,42 o,42 + 0,48+T=1. 125 m 57,42 X 1,125 = 64,60 
® 1,55 X 5,8 X 0,5 X 22 = 98,99 0,42+0,48+0,45+ 
1
•
55 
= 1,86 m 
3 98,89 X 1,86 = 184, 10 
© (º·152+1,7 x5,8+ 1,7;3) x18=101,16 - 2,38 m 101,16 X 2,38 = 240,76 
® 0,9 X 3,05 X 22 = 60,40 1,525 m 60,4 X 1,525 = 92,11 
: 
Empuxo 24,58 0,42 + 0,48 + 0,45 + 0,1 7 = 24,58 X 2,52 = 61,94 (Ev) 2,52 m 
1: Total 373,17 M1R = 688,37 kNm/m 
para 0,9 tg<f> = 
0,90 X tg 36º = 0,65 - solo da base 
FR = 373,17 X 0,65 = 242,56 kN/m (força resistente) 
Fator de segurança contra escorregamento: 
FR 242,56 1,74 - = Eh 139, 40 
1 
--
l 
I! 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 55 
para 0,67 tg<f> = 0,67 · tg 36º = 0,49 - solo de base 
FR = 373,17 x 0,49 = 182,85 = l 31 
Eh 139,40 139,40 ' 
_ Verificação ao tombamento 
:Momento atuante: 
H' 7 M1 =Eh--=139,40x-=325,26 kN/m 
ª 3 3 
~fomento resistente: 
MlR = 688,37 =212>15 
M 325 26 ' ' 
la ' 
(O.K.) 
e) Cálculo das tensões na base 
H'3 
Mo =-Ps ·(es-0,5b) + Pc(0,5b-ec)+Ev(0,5b - ev)+ Eh·-
3 
0,5b = 0,5 X 3,05 = 1,525 ~ 0,5b = 1,525 m 
Mo= -101,16 x (2,38-1,525)+30,62(1,525-0,74)+57,42 x (1,525-1,125)+ 
+98,99 X (1,525-1,86) + 60,40(1,525-1,525) + 24,58 X (1,525-2,52) 
+139,40x ( I) =-86,49+24,03+ 22,96+(- 33,12)+0+(-24,45) + 325,26 
Mo = 228,19 kNm/m 
S = l X b = b = 3 05 ffi 2 ) 
b2 3 052 
w=lx-=-'-=155 m 3 
6 6 ' 
(J = 
373
,l7 + 228'19 =122 35+147 21=269 57 kN/m2 1 3 05 1 55 ' ' ' 
' ' 
CJ2 = 122,35-147,21 = -24,86 kN/m
2 
56 MUROS DE ARRIMO 
8 o2 = 24,86 kN/m2 
--------------,--(tração) 
2 
o1 = 269,57 kN/m2 (compressão) 
Figura52 
Vamos calcular a tensão máxima como material não resistente à tração: 
Mo = 228, 19 kNm/m 
V = 373,17 kN/m 
f = Mo =0 611 m V , 
C=~- e= 3•05 - O 611 = o 914 m 2 2 ' ' 
como 
e O 914 
- = -' - = 0,3 ~ da tabela temos m1 = 0,6665 b 3,05 
a1 = m ·V= O 6665 x 
373) 7 = 272 12 kN/m2 1 e ' 0,914 ' 
\ 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 57 
f' Verificações dos esforçosno concreto ciclópico nas seções do muro 
__ Seçãoº--- -----.---
1 1 
1 
__ Seção 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I __ ~ _ _ _ _____ _I 
12 1 1 
1 1 © 1 
Seção 2 1 1 1 
---------------- --------- ---1---- -----
670 I I I 
1 1 
--?_E:Ǫ~J _ ----- -------- --:--~ ------ ---: 
©@I ® 1 
~_?s.~~-ç~ª~~-4~---/,--~--~--~-~~0-+--:-1"1~~---,.t-------.-
1 i~ç~9_? __ _ ~-~-2_4_8_4_5_®_15_5_1~5-~-9º------~-
700 
305 
.1 
F igura 53 
Seção 1 
90 
J. 305 
-1 
Figura 54 
58 MUROS DE ARRIMO 
a) Cálculo do empuxo da seção 1: 
/3 = 10º <P = 32º Ka = 0,321 (Rankine) 
1 1 Ea1 =-·r·Hf ·Ka =-xl8x l,51842 xü,321 = 6,66 kN/m 2 2 
H1 = 1,5184 m 
Eh1 = Ea 1 • cos/3 = 6,66 · coslüº = 6,55 kN/m 
Ev 1 = Ea1 · sen/3 = 6,66 · senlüº = 1,15 kN/m 
b) Cálculo das tensões na seção 1: 
o 
-----~-----
/( B/2 ,( B/2 ,! 0@ 
/( ,! B = 95,75 cm Convenção 
Figura55 
B = 12 + 45 + 38,75 = 95,75 cm 
B/2 = 47,875 cm 
Parte do Peso Braço (m) 
muro e do 
solo (kN/m) Ponto (O) 
G) 0,12 X 1,45 X 0,5 X 22 = 1,92 0,4875 - 0,666 X 0, 12 = 0,40 
® 0,45 X 1,45 X 22 = 14,36 0,4875 - 0, 12- 0,225 = o, 13 
@ 0,3875 X 1,45 X 0,5 X 22 = 6,18 0,666 X 0,3875 - 0,47875 = - 0,22 
© 1,5484 X 0,3875 X 0,5 X 18 = 5,30 0,333 X 0,3875 - 0,4875 = - 0,35 
Empuxo 1, 15 0, 1353 - 0,47875 = - 0,34 (Ev1) 
Total 28,91 
Momento 
(kNm/m) 
1,92 X 0,4 = O;Ti 
14,36 X 0,13= • !"" 
6, 18 X (- 0,22) = - 1 -
5,3 X (- 0,35) = - 1,86 
1, 15 X (- 0,34) = - 0,JC 
MR = - 0,97 kNm/m 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 59 
Mo= Eh1 · H
1 
-(MR) = 6,55x 1'5184 -0,97 = 2,35 kNm/m 
3 3 
e) Tensão na seção 1: 
p M 
O'=-±-
s w 
S=Bxl=B=0,9575 m 
w = 1 X B2 = 0,95752 = o 15 
6 6 ' 
O'= 
28
'
91 
±
2
'
35
=3019±1567 
0,9575 0,15 ' ' 
a 1 = 30,19+ 15,67 = 45,86 kN/m
2 
= 0,0458 MPa 
compressão 
a 2 = 30,19-15,67 = 14,57 kN/m
2 
= 0,0145 MPa 
traç.ão 
a1 =45,86 kN/m
2 
2 a1d = 1,4x45,86=64,20kN/m 
a1d = 0,064 MPa (O'cRd = 7,59 MPa (0.K.) 
0'2 = 14,57 kN/m
2 
0'2d = 1,4 X 14,57 = 20,40 kN/m2 
0'2d =0,0204 MPa (O'cRd =7,59 MPa (O.K.) 
d) Tensões de cisalhamento 
-rwd= l ,5xVsd = 1,5x(l,4x6,55) = 14 37 kN/m2 =0 0143 MPa 
bh 1·0,9575 ' ' 
-rwd = 0,0143 MPa (-rrd = 0,225 MPa (0.K.) 
6Q MUROS DE ARRIMO 
Seção 2 
1. 305 .1 
Figura 56 
a) Cálculo do empuxo na seção 2 
Ka = 0,321 f3 = 10º </> = 32º 
1 1 Ea2 = - ·r -H; -Ka=-xl8 x 3,0366
2 
x0,321 = 26,64 kN/m 
2 2 
H 2 =3,0366 m 
Eh2 = Ea2 · cos f3 = 26, 64 x cos 1 Oº = 26, 24 kN/m 
Ev2 = Ea2 · sen f3 = 26,64 x senlüº = 4,63 kN/m 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 61 
b) Cálculo das tensões na seção 2 
o 
1 m 
B/2 ( 
"I 
B/2 ,I 
/ B=146,5cm / /--~----, 
Figura 57 
B = 24 + 45 + 77,5 = 146,5 cm 
B/2 = 73,25 cm 
Parte do Peso 
muro e do (kN/m) 
Braço (m) Momento 
Ponto (0) (kNm/m) 
solo 
<D 0,24 X 2,90 X 0,5 X 22 = 7,66 0,7325 - 0,666 X 0,24 = 0,57 7,66 X 0,57 = 4,36 
® 0,45 X 2,0 X 22 = 28,71 0,7325- 0,24 - 0,225 = 0,27 28,71 X 0,27 = 7,75 
G) 0,775 X 2,90 X 0,5 X 22 = 24,72 0,666 X 0,775 - 0,7325 = - 0,22 24,72 X (- 0,22) = - 5,43 
© 3,0366 X 0,775 X 0,5 X 18 = 21,18 0,333 X 0,775 - 0,7325 = - 0,47 21, 18 X (- 0,47) = - 9,95 
=mpuxo 4,63 (Ev1) 0,2705 - 0,7325 = 0,46 4,63 X (- 0,446) = - 2, 13 
Total 86,90 MR=-5,4 
Mo= Eh2 · ~
2 
-(MR) = 26,64x 3·º:66 5,4 = 21,67 kNm/m 
e) Tensões na seção 2 
p M 
(j=-±-
s w 
S = B x 1 = E = 1 465 m 2 , 
2 2 
W =lX!!_= l, 455 =0 3577 m 3 
6 6 ' 
(j = 86,90 ± 21,57 = 59 32± 60 30 
1,465 0,3577 ' ' 
CY1 = 59,32+ 60,30 = 119,62 kN/m
2 
= 0,119 MPa 
compressão 
a 9 =59,32 - 60,30=0,98 kN/rn 2 =0,098 MPa 
= tração 
62 MUROS DE ARRIMO 
cr1 = 0,199 kN/m
2 
a 1d =1,4x0,199=0,278 kN/m
2(acRd =7,59 MPa (O.K.) 
cr2 = 0,098 kN/m
2 
a 2d = 1,4 x (- 0,0981) = - 0,137 MPa (actRd = 0,64 MPa (O.K.) 
d) Tensão de cisalhamento 
-rwd = 1,5x Vsd = 1,5x (1,4 x 26,64) = 39 19 kN/rn2 = 0 038 MPa 
bh 1 X 1,465 ' ' 
-rwd = 0,038 MPa (-rrd = 0,225 MPa (0.K.) 
Seção 3 
435 455,50 
670 12 
;151,83 
120 90 
1-
305 
.1 
Figura58 
a) Cálculo do empuxo na seção 3 
Ka = 0,321 (3 = 10º <f, = 32º 
1 1 Ea2 = - · y · H: · Ka = - x 18 x 4,555
2 
x 0,321 = 59,94 kN/m 
2 2 
H2 = 4,555 m 
Eh3 = Ea3 -cos/3 = 59,44 x coslOº = 59,03xcosl0º = 58,13 kN/rn 
Ev3 = Ea3 · sen /3 = 59, 44 x senlüº = 59, 03 x senlüº = 10, 25 kN/rn 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 63 
b) Cálculo das tensões na seção 3 
o 
1m 
B/2 /__ 
' 
B/2 ,/ 
/ B=197,25cm / 
/,,.__~ -----'--------, 
Figura59 
B = 38 + 45 + 116,25 = 197,25 cm 
B/2 = 98,625 cm 
~edo Peso Braço (m) 
-:uro e do 
solo 
(kN/m) Ponto (0) 
G) 0,36 X 4,35 X 0,5 X 22 = 17,22 0,98625 - 0,666 X 0,36 = 0,75 
~ 0,45 X 4,35 X 22 = 43,06 O, 98625 - 0,36 - 0,225 = 0,40 
~ 1, 1625 X 4,35 X 0,5 X 22 = 55,63 0,666 X 1,1625-0,98625 =-0,21 
~ 4,555 X 1,1625 X 0,5 X 18 = 47,65 0,333 X 1, 1625 - 0, 98625 = - 0,60 
:;-puxo 10,25 0,4058 - 0,98625 = - 0,58 
-=v,) 
~tal 173,81 
Momento 
(kN/m) 
17,22 X 0,75 = 12,92 
43,06 X 0,40 = 17,22 
55,63 X (- 0,21) = - 1 1,68 
47,65 X (- 0,60) = - 28,59 
10,25 X (- 0,58) = - 5, 95 
MR= - 16,08 
H 4 555 Mo=Eh3 --
3 
-(MR)=58,13x - '--16,08=72,18 kNm/m 
3 3 
e) Tensões na seção 3 
p M 
(j=-±-
s w 
S = B x 1 = B = 1 9725 m 2 ) 
2 9 2 
w= l x~= l, 725 =0 648 m 3 
6 6 ' 
(j= 173,81 ± 72,18 =8811± 111 39 
1,9725 0,648 ' ' 
64 MUROS DE ARRIMO 
o-1 = 88,11 +11 1,39 = 199,5 kN/m
2 
= 0,199 MPa 
compressão 
o-2 =88,11- 111,39=-23,28 kN/m
2 
= - 0,0232 MPa 
tração 
o-1 = 0,199 MPa 
a 1d = 1,4 x 0,199 = 0,278 kN!m
2(acRd = 7,59 MPa (0.K.) 
o-2 = 0,0232 MPa 
a 2d =1,4x(-0,0232) = -0,325 MPa (act.Rd =0,64 MPa (O.K.) 
d) Tensões de cisalhamento 
Seção 4 
rwd = 1,5 x Vsd = 1,5 x (1,4 x 58,13) = 61 88 kN/m2 
bh 1 X 1, 9725 ' 
r wd = 61,88 kN/m2 = 0,06188 MPa (rrd = 0,225 MPa 
670 
1 
1 
1 
12 1 
1 
1 
1 
1 
610 
:sso 
' 
' 
' 
' 
' 
1 1 
T<_ s;;;e~çãko~4r-__ --:;_ ~-_í,:l:_ ~--~- W-?I CD 1 ® @ 
....--1-~1::.+--"-'--......... ---L--.---'-~~ 
120 24845 ® 155 15 
1. 305 
-1 
Figura 60 
-
4 - P ROJETO DE M UROS DE ARRIMO 65 
a) Cálculo do empuxo da seção 4 
1 1 2 Ea4 = -·r · H; ·Ka= -x 18x6,1
2 x 0,321 = 107,50 kN/rn 
2 2 
H 4 = 4,555 rn 
Eh4 = Ea4 ·cos ,B = 107,50 x coslüº = 105,87 kN/rn 
Ev4 = Ea4 · sen ,B = 107,50 x senlüº = 18,66 kN/rn 
,, b) Cálculo das tensões na seção 4 
--
1 o 2 1 m 
-
li B/2 ,I B/2 ,1 
li B ,1 
Figura 61 
B = 48 + 45 + 155 = 248 cm 
B/2 = 124 cm 
:>arte do Peso Braço (m) Momento 
-:uro e do 
solo (kN/m) Ponto (O) (kN/m) 
~ 0,48 X 5,8 X 0,5 X 22 = 30,62 1,24 - 0,666 x 0,48 = O, 92 30,62 X 0,92 = 28,17 
~ 0,45 X 5,80 X 22 = 57,42 1,24 - 0,48 - 0,225 = 0,535 57,42 X 0,535 = 30,72 
~ 1,55 X 5,8 X 0,5 X 22 = 98,89 0,666 X 1,55 - 1,24 = - 0,21 98,89 X {- 0,21) = - 20,77 
~ 6,1 X 1,70 X 0,5 X 18 = 93,33 0,333 X 1,55 - 1,24 = - 0,72 93,33 X (- 0,72) = - 67,20 
.::rouxo 18,66 0,688 - 1,24 = - 0,552 18,66 X (- 0,522) = - 10,30 Ev1) 
-otal 298,92 MR=-39,38 
Mo=Eh3 · H
4 
-(MR)= 105,87x~-39,38= 175,89 kNm/m 
3 3 
66 MUROS DE ARRIMO 
e) Tensões na seção 4 
p M 
<J= - ±-
s w 
S=Bxl =B=2 48 m 2 ) 
w = 1 x B
2 
= 
2
' 
482 
= 1 025 m 3 
6 6 
<J = 287,92 ± 175,89 = 120 53 ± 171 60 
2 48 1 025 ' ' ) ) 
<J1 = 120, 53 + 171, 60 = 292, 13 kN/m 2 = O, 292 MPa 
compressão 
<J2 =120,53-171,60=- 51,07 kN/m2 =- 0,051 MPa 
tração 
<J1 = 0,292 MPa 
<J1d =l,4x0,292 = 0,409 MPa (<JcRd =7,59 MPa 
<J2 = -0,051 MPa 
<J2d = 1,4x (- 0,051) = - 0,0714 MPa (<JctRd = 0,64 MPa 
d) Tensões de cisalhamento 
-rwd = l,5xVsd = 1,5xl,4xl05,87 = 89 64 kN/m2 = O 08964 MPa bh lx2,48 ' ' 
-rwd = 0,08964 MPa (-rrd = 0,225 MPag) Armação mínima de retração 
Da tabela de armadura rnfnima de retração, adotaremos -+ </> 12,5 c/15. 
,:\bertura de fissura wr s 0,3 mm. 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 67 
0 12,5 c/15 
0 12,5 c/15 0 12,5 c/15 
1( 2 X 0 12,5 c/15 •I 
Figura 62 
68 MUROS DE ARRIMO 
4.2 - PROJETO DE MURO DE ARRIMO DE FLEXÃO 
20 
1 JTTr--im11m11M=:=i:=i=i=:'.FFT11Tl 
(j) 
H = 550 cm 
© 
65 
Concreto: 
y = 25 kN/ m3 
Aterro: 
y = 18 kN/m3 
<I> = 28º 
c = O 
__._~_.__-"="".,-L_----+:__::"--1-~~~~~~---L~20 
a) Pré-dimensionamento 
base 
® 
385 
285 
Figura 63 
( 40% a 70%){40%H = 0,4 x 550 = 220 cm 
70%H=0,7x550=385 cm 
adotaremos 385 cm 
topo: 20 cm 
seção mais solicitada: 
{8%H = O, 08 x 550 = 44 cm 10%H = 0,1 x 550 = 55 cm 
adotaremos 45 cm 
Solo da base: 
y = 19 kN/m3 
<I> = 34º 
4- PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 69 
b) Cálculo do empuxo: Rankine (Tabela 1.2.A) terra: 
! 
1 
P = Oº <P = 28º Ka = 0,361 y = 18 kN/m3 
1 1 ~ 
Ea = -· y · H 2 · Ka = - x 18 x 5, 52 x 0,361 = 98,28 kN~ -2 2 
H =5,5 m /3=0 
Carga distribuída 
--
5,5 m 
Ka · q = 0,361 X 25 = 9,03 kN/ m2 
(0.K.) 
+ 
Ka · y · H = 0,361 X 18 X 5,5 = 35,74 kN/m2 
(O.K.) 
Figura 64 
H 55 Ea = (Ka- y ·H)·-= 35,74 x - '- = 98,28 kN/m 
2 2 
7 Ü MUROS DE ARRIMO 
c) Verificação de escorregamento 
20 
1 
H = 550 cm 
2 
® © 
' 
65 
20 
1 @ o 2 252 
55 45 285 
192,5 192,5 
Figura 65 
Parte do Peso Braço(m) Momento 
muro e do 
solo (kN/m) Ponto(O) (kN/m) 
G) 0,2 X 5,05 X 25 = 25,25 0,55 + 0,25 + 0,10 = 0,90 25,25 X 0,9 = 22,73 
@ 0,25 X 5,05 X 0,5 X 25 = 15,78 0,55 + 0,666 X 0,25 = 0,716 15,78 X 0,716 = 11,30 
@ 0,20 X 3,85 X 25 = 19,25 0,5 X 3,85 = 1,925 19,25 X 1,925 = 30,37 
© 0,25 X 2,85 X 0,5 X 25 = 8,90 0,55 + 0,45 + 0,333 X 2,85 = 1,949 8,9 X 1,949 = 17,34 
® 0,45 X 0,25 X 25 = 2,81 0,55 + 0,225 = 0,775 2,81 X 0,775 = 2,17 
@ 0,55 X 0,25 X 0,5 X 25 = 1,72 0,666 X 0,55 = 0,366 1,72 X 0,366 = 0,63 
(?) (solo) (5,05+5,3) X 0,5 X 2,85 X 18 = 265,47 0,55 + 0,45 + 0,5 X 2,85 = 2,425 265,47 X 2,425 = 643,76 
@(carga 2,85 X 25 = 71,25 0,55 + 0,45 + 0,5 X 2,85 = 2,425 71,25 X 2,425 = 172,78 distribuída) 
Total 410,43 MR = 901,08 
Empuxo total (atuante): ~, 
Eq Ea Fa 
.---"-, .---"-, ,------,"---._ 
49,66+98,28=147,94 k '\=Fa 
Solo da base: <f> = 34 º ~ 
para 0,9 · tg<f> = 0,9 · tg 34º = 0,607 
Fr = 410,43 X 0,607 = 249,13 kN/m 
Fr = 249,13 = l,68 > l, 5 (O.K.) 
Fa 147,94 
para 0,67 · tg<f> = 0,67 · tg 34º = 0,45 
Fr = 410,43x0,45 = 184,69 kN/m 
Fr = 184,69 = l 25 
Fa 147,94 ' 
para 0,80 · tg<f> = 0,8 · tg 34º = 0,539 
Fr = 410, 43 x O, 539 = 221, 22 kN/m 
Fr = 221,22 = l 50 
Fa 147,94 ' 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 71 
No caso de adotarmos 0,67 tg<f> deveremos aumentar a base 
- ., Verificação ao tombamento 
Momento atuante: 
IMa=Eq f +Eh fl 
55 55 Ma= 49, 66 x - '- + 98,28 x - '- = 316, 75kN/m 
2 3 
Momento resistente: Mr = 901,08 kN/m 
Mr = 901,08 = 2,84 > l, 5 (O.K.) 
Ma 316, 75 
72 MUROS DE ARRIMO 
e) Cálculo das tensões n~ base 
Parte do 
/ 385cm / /~~--- ~:,, r:-{i) 
(Momentos fletores) 
Convenção 
Figura 66 
Peso Braço(cm) muro e do (kN/m) 
solo Ponto(O) 
CD 0,2 X 5,05 X 25 = 25,25 192,5 - 55-25 - 10= 102,50 
0 0,25 X 5,05 X 0,5 X 25 = 15,78 192,5 - 55- 0,666 X 25 = 120,85 
G) 0,20 X 3,85 X 25 = 19,25 o 
© 0,25 X 2,85 X 0,5 X 25 = 8,90 192,5-55- 45- 0,333 X 285 = -2,405 an 
® 0,45 X 0,25 X 25 = 2,81 192,5 - 0,666 X 55 = 155,87 
® 0,55 X 0,25 X 0,5 X 25 = 1,72 192,5- 55 - 22 = 115 
(j) (solo) (5,05+5,3) X 0,5 X 2,85 X 18 = 265,47 0,5 X 285 - 192,5 = - 50 
@ (carga 2,85 X 25 = 71,25 0,5 X 285- 192,5 = - 50 distribuída) 
Total 410,43 
Tensões 
P Mo 
<J= - ±-
s w 
S= lxb 
S =lx 3,85=3,85 m 2 
w= l x 3'
852 
=2 47 m3 6 ) 
b2 
W=lx-
6 
0+0 
Mo= Ma0 -MR0 = 316, 75-117,07 = 199,68 kNm/m 
<J= 410,43 ± 199,68 = 106 60 ± 80 84 
3,85 2,47 ' ' 
Momento 1 (kNm/m) 
25,25 X 1,025 = 25,88 
15,78 X 1,2085 = 19,07 
o 
8,9 X (-0,02405) = -0,21 
2,81 X 1.5587 = 4,38 
1,72 X 1,15 = 1,98 
265,47 X (-0,50) = - 132,73 
71,25 X (-0,50) = -35,63 
MRo = 11 7,07 1 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 
\ 
cr1 = 106,60+80,8~187,44 kN/rn
2 
<Y2 = 106,60-80,84 = ~6--ti:[m 2 
base 
Figura 67 
.. -erificação dos esforços no muro à flexão 
H = 550 cm 
20 
Seção O 
--, 
Seção 1 _______________ _ _ 
Seção 2 ______ ____ __ ____ _ 
Seção 3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -,- _ 
' 
' 
Seção 4 _______________ _ 
-, - ----- -- --------- ---- -----
__ ___ Seção 5 
65 45 
_._~~~~ --L-~~ L~~~~~~~~~~~~J....--. 2Q 
285 
Figura 68 
73 
] 4 MUROS DE ARRIMO 
Seção! ~ 
E 
u 
o 
lf) 
lf) 
li 
I 
20 
Seção O 
---, 
H1 = 101 Ea1 
' -. • -101 H1 
Seção _1 ____ ------------- j __ J_ --~ 3 = 3 
pa1 
Seção 2 , 
- -- - ---- -- --------- r- -------- - --- - - - - -, 
' 
' 
Seção} _______________ _ -:- __ ___ ____ ________ . 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' Seção 4 , 
---------------- - - -r - - - ----------------- - - - - --
_____ Seção 5 . 
65 
285 
Figura 69 
Empuxos 
pa1 = Ka · y · H 1 = 0,361 x 18 x 1,01 = 6,56 kN/m
2 
H 101 
Ea1 = pa1 ·-
1 
=6,56x-'- =3,31 kN/m 
2 2 
pq1 = Ka·q = 0,361 x25 = 9,03 kN/m
2 
Eq1 = pq1 · H1 = 9, 03 x 1, 01 = 9,12 kN/m 
Cortante na seção 1 
VS1 = 3,31 + 9,12 = 12,43 
VSd1 = 1,4 X 12,43 = 17,40 kN/m 
-1~=~ 2 2 
pq1 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 7 5 
' Momento fletor na seçã\ 
H 1 01 1 01 
MS1 =Ea1 ·-
1 +Eq1 · 
1 
=3,31x-'-+9,12x-'-=5,72 kNm 
3 3 2 
Cálculo da armação na seção l:jck = 20 MPa; CA-50 Aço 
Seção 1 
/ __ / __ 2_5 _ _,,/ 
101 
e =20+-x25=25 cm 
505 
bw = 100 cm = 1 m 
d = e-4 =25 - 4=21 cm 
Figura 70 
1 d = e - e I e= espessura I e = cobrimento ! 
K6 = 105 x bw·d2 = 105 x 1 xo,212 = 770,97 
MA 5,72 
K6 = 770,97 ~ Tabela A~ K 3 = 0,325 
AS= 0,325 x 5,72 = O 88 cm2 /m 
10 0,21 ' 
O 15 O 15 ASmín = -'- ·bw ·h= - '-x100x25=3,75 cm2/m 
100 100 
:mflcação da armadura da força cortante 
VSd1 = 17,40 kN/m 
i'.Rd1 = (rrd · K · (1,2 + 40 · p1)) · bw · d 
\ ] 6 MUROS DE ARRIMO 
fck ~ 20 MPa; -ird ~a 
K= 1,6-d= 1,6-0,21 = 1,39>1 (0.K.) 
= AS\ = 3, 75 = O 001 786 
Pi bw -d 100x21 ' 
VRd1 = (276x 1,39(1,2+40 x 0,001786)) 
1,271 
X 1 X 0,21 = 102,43 kN/m 
VRd1 = 102, 43 kN/m » VSd1 = 17, 40 kN/rn 
Não é preciso armar a força cortante. 
Seção 2 
E 
V 
o 
l() 
l() 
li 
I 
Seção O 
pa2 
Seção 3 : 
------ -- ----- - ---- -r- --------- -- - - - --· 
' 
' 
, 
' 
' Seção 4 : 
-- --------- -- ----- - r - - -- - ----- - ---- - ---- -- ----
65 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' _____ Seção 5 . 
pq2 
45 
-L~~~~..__-X ......_~ ~~~~~~~~~-"-r-20 
285 
Figura 71 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO ] ] 
Empuxos 
Pª2 = Ka·r · H2 = 0,361 x 18 x 2,02 = 13,13 kN/m2 
H 2 02 Ea2 = pa1 · -
2 
= 13,13 x -'- = 13, 26 kN/m 
2 2 
pq2 = Ka ·q = 0,361 x 25 = 9,03 kN/m
2 
Eq2 = pq2 · H2 = 9,03 x 2,02 = 18,24 kN/m 
Cortante na seção 2 
Seção 2 
/ 
l_/ __ 3o_--+,',I 
Figura 72 
VS2 = 13,26 + 18,24 = 31,50 kN/m 
VSd2 = 1,4 X 31,50 = 44,10 kN/m 
~fomento fletor na seção 2:Jck = 20 MPa; Aço CA-50 
H H 2 02 2 02 
MS2 =Ea2 · -
2 +Eq2 · -
2 
=13,26x - '-+18,24x-'-=27,35 kNm 
3 2 3 2 
202 
e =20+-x25 = 30 cm 
505 
bw = 1 m == 100 cm 
d = e - 4 = 30 - 4 = 26 cm 
2 2 
K6=10sxbw·d = lOsxlx0,26 == 24717 
MS2 27,35 , 
K6 = 247,17 ~ Tabela A~ K 3 = 0, 330 
7 8 MUROS DE ARRIMO 
Verificação da armadura da força cortante 
VSd2 = 44,10 kN/m 
VRd 1 = (rrd · K · (1 ,2 + 40 · p1)) · bw · d 
fck = 20 MPa - rrd = 276 kPa 
K = 1,6 - d= 1,6 - 0,26 = 1,34 >l 
ASPi = bw·d 
p1 = 
4
'
5 
=0,001731 
100x26 
(O.K.) 
VRd1 = (276 x l,34(1,2+40x 0,00173l))x 1 x 0,26 = 122,05 kN/m 
1,2692 
VRd1 = 122,05 kN/m » VSd2 = 44,10 kN/m 
Não é preciso armar a força cortante. 
4 - PROJETO DE M UROS DE A RRIMO 79 
Seção 3 
E 
u 
o 
li) 
li) 
li 
I 
20 
Se ão O ~ 
Seção 1 , 
- -- -- --- ------ ---- ,- -- ------ - -- ----
H3 = 303 
Seção 2 : Ea3 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - '-1+-.-----1+----I 
' 
' 
: H3/3 
' 
' 
H3/2 
Seção -~- -- --------- - -- -~- _ __________ __.__._ 
' 
' 
pa3 
Seção 4 , 
----------- ------ - -,- --------- ------------ --- -
__ ___ Seção 5 . 
65 
pq3 
45 
-&.- --- --L-- ~~-~--~~~~-~~__._~20 
285 
Figura 73 
Empuxos 
pa3 =Ka -y- H 3 =0,361x18x3,03= 19,69 kN/m
2 
H 303 
Ea3 = pa3 · -
3 
= 19,69x-'- =29,83 kN/m 
2 2 
pq3 = Ka · q = 0,361 x 25 = 9,03 kN/m
2 
Eq3 = pq3 ·H3 = 9,03x3,03 = 27,36 kN/m 
80 MUROS DE ARRIMO 
Cortante na seção 3 
Seção 3 
/_/_~3s _ _,,,/ 
Figura 74 
VS3 = 29,83 + 27,36 = 57,19 kN/m 
VSd3 = 1,4 X 57,19 = 80,07 kN/m 
Momento fletor na seção 
H H 3 03 3 03 MS3 =Ea3 · -
3 
+ Eq3 · -
3 
= 29,83x-'-+27,36x - '-= 71,57 kNm/m 
· · 3 2 3 2 
303 
e=20+-x25=35 cm 
505 
bw = 1 m = 100 cm 
d =e-4= 35 - 4=31 cm 
K6=l05xbw·d2 =l05xlx0,312 =134 3 
Msl 71,57 ' 
K6=134,3~TabelaA~K3 =0,338 
AS= K3 . M§J = 0,338 x 71,57 = 7 80 cm2 /m 
10 d 10 0,31 ' 
ASmín = 0,15 ·bw ·h= 0,15 xl00x35=5,25 cm2/m 
100 100 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 81 
Verificação da armadura da força cortante 
VSd3 = 80,07 kN/m 
VRd1 = (rrd · K · (1,2 + 40 · p1)) · bw · d 
fck = 20 MPa ~ rrd = 276 kPa 
K= l,6 - d= 1,6-0,31 = 1,19 
AS 7,8 
p =--= =0 002145 
l bw · d 100 X 31 ' 
VRd1 = ( 276x 1,29(1,2 + 40 ;
3
~,002516)) xl x 0,31 = 143,55 kN/m 
v'Rd1 = 143, 55 kN/m » VSd3 = 66,15 kN/m 
Não é preciso armar a força cortante. 
Seção 4 
E 
u 
o 
LI) 
LI) 
li 
I 
Seção O 
Seção 1 , 
- - --- ------- -- ---- , - ----- ---- - --- --
Seção 2 _ _ _ _ _____ ______ _ 
H4 = 404 
Ea4 
Seção 3 
----- ----- -- ----- -~ - - ----- -- ----- --
' 
' H4/3 
' 
' 
pa4 
___ __ Seção 5 . 
H4/2: 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
pq4 
65 45 
---~~~~'----'~~~~~~~~~~~_._~20 
285 
Figura 75 
! 
' 
' 
82 MUROS DE ARRIMO 
pa4 = Ka · y · H4 = 0,361 x 18 x 4,04 = 26,25 kN/m2 
H 4,04 
Ea4 = pa4 ·-
4 
=26,25x-- = 53,03 kN/m 
2 2 
pq4 = Ka·q = 0,361 x25= 9,03 kN/m
2 
Eq4 = pq4 · H4 = 9,03x 4,04 = 36,48 kN/m 
Cortante na seção 4 
Seção 4 
/ 
l_/ __ 4o_.....,,I 
Figura 76 
VS4 = 53,03 + 36,48 = 89,51 kN/m 
VSd4 = 1,4 X 89,51 = 125,32 kN/m 
Momento fletor na seção 4 
H H 4 04 4 04 
MS4 = Ea4 ·-
4 +Eq4 ·-
4 
=53,03x-'-+36,48 x-'-=145,10 kNm 
3 2 3 2 
404 
e = 20+-x25 = 40 cm 
505 
bw = 1 m = 100 cm 
d = e - 4 = 40 - 4 = 36 cm 
K6=105. bw·d2 =105 x lxü,362 =89 31 
M 54 145,10 ' 
K6 = 89,31 ~ Tabela A~ K3 = 0,347 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 83 
AS= K3 . Ms4 = 0,347 x 145,10 = 13 99 cm2 /m 
10 d 10 0,36 ' 
AS , = O,l5 ·bw·h = 0,15 xlOOx 40= 6 cm2 /m 
mm 100 100 
Verificação da armadura da força cortante 
VSd4 = 125,32 kN/m 
VRd1 = (rrd · K · (1,2 + 40 · p1)) · bw · d 
fck = 20 MPa - rrd = 276 kPa 
=~= 
13
,
99 
=0 003886 
Pi bw·d 100x36 ' 
VRd1 =(276xl,24(1,2+40x0,003886)J xlx0,36=:167 kN/m 
1,355 
VRd1 = 167 kN/m » VSd4 = 125,32 kN/m 
~ão é preciso armar a força cortante. 
84 MUROS DE ARRIMO 
Seção 5 
E 
u 
o 
LI) 
LI) 
li 
I 
20 
Seção O 
-, 
Seção 1 , 
----- -- -- - - -- --- - - r- --- - --- - - - -- - - -
, 
' 
' 
' Seção 2 : 
---- - -- -- - ---- -- - - r- --- - ----- -- - --· 
H5 = 505 
' 
' 
' 
' 
' 
' Seção-~... . ..... __ _ . _ _ _;.. _ _. ___ .. _ _ _ _... . 
Ea5 
Seção 4 , 
H5/2: 
----- ------------ -~- - ------- ------ - -- - ---
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
H5/3 
.. Seção 5 __ 
65 45 - ---- -- .... . -- -- .. -. .. Pi!~ .. ::-:.~--'"="-~- ---_ . ~~----L 
-L--~----' 20 
285 
Figura 77 
pa5 =Ka ·r·H5 =0,36lxl8x5,05=32,82 k.N/m
2 
H5 5, 05 Ea5 = pa5 ·2 =32,82x - 2- =82,87 k.N/m 
pq5 = Ka·q = 0,36lx25=9,03 kN/m
2 
Eq5 = pq5 ·H5 = 9,03x45,05 = 45,60 k.N/m 
Cortante na seção 5 
VS5 = 82,87 + 45,60 = 128,47 kN/m 
VSd5 = 1,4 X 128,47 = 179,86 k.N/m 
.1 
w 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 85 
~lamento fletor na seção 5 
H 5 H 5 5,05 5,05 M 55 = Ea5 · ~ ' +Eq5 ·~ =82,87x--+45,60x--=255 kNm 3 2 3 2 
Cálculo da armação na seção 5 
jck = 20 MPa Aço CA-50 
e=45 cm 
d = e-4 = 45-4 = 41 cm 
bw = 1 m = 100 cm 
2 0 2 
K6=l05·bw ·d =l05xlx ,41 =6592 
M S5 255 ' 
K6 = 49,80 ~ Tabela A~ K3 = 0,358 
AS= 0,358 x 255 = 22 20 cm2 /m 
10 0,41 ' 
Tabela ~ q,16 c/9 
--erificação da armadura da força cortante 
VSd5 = 179,86 kN/m 
VRd1 = (rrd · K · (1,2 + 40 · p1)) · bw · d 
jck = 20 MPa - rrd = 276 kPa 
=~= 
22
,
22 
=0 005420 
p1 bw · d 100 x 41 ' 
VRd1 =(276xl,19(1,2+40 x 0,005420)) 
1,4167 
x 1 x 0,41 = 190, 78 kN/m 
VRd1 = 190, 78 kN/m » VSd5 = 179, 86 kN/m 
-~º é preciso armar a força cortante. 
86 MUROS DE ARRIMO 
g) Resumo da armadura 
jck = 20 MPa Aço CA-50 Tabela T4 (lajes) 
Seção 1 
-
AS= 3,75 cm2/m </> 12,5 c/25 ou </> 10 c/20 
Seção 2 
-
AS = 4,5 cm2/m </> 12,5 c/25 ou</> 10 c/17 
Seção 3 
-
AS = 7,80 cm2/m </> 12,5 c/16 
Seção 4 
-
AS = 13,99 cm2/m </> 16 c/14 
Seção 5 
-
AS= 22,20 cm2/m </> 16 c/9 
Ancoragem 
jck = 20 MPa fb = 44</> = 44 x 1 = 44 cm </> = 10 mm = 1 cm 
Emendas por traspasse (100%) ( aot = 2) - fot = 2 fb 
Ancoragem 44 </> Emendas 
</> 10 mm - f b = 44 X 1 = 44 cm fot = 88 cm 
</> 12,5 mm-fb = 44 X 1,25 = 55 cm fot = 110 cm 
</> 16 mm-fb = 44 X 1,6 = 71 cm fot = 142 cm 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 
14 14 
-1!- __ ____________ ______ __ ___ Seção_O _ ~1-
.---
L-. -
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ __ Seção_ 1 _ 
0 10 d17 
300 7J 200 
_j_ 
. ____________________ Seç_ão _ 2 _ 
o 
N 
<) 
C"') 
-o 
lSl -
____ _________________ Seçao 3 ____________ __ _ 
420 
284 
--- --- --- -- - -. --- -- ---- ---- --. -.. ?~S~'?-~ -
E 
V 
- 06,3 d 20 
E __ ____ Se~ão 5 __ ____ _____ _ 
~========~2~82~~~~~~ 
-~J_~ ~ _1-_ 14 
A t 
l_ 012,Sd20 l_ 
•4 14 
, ..____ ___ --"-3-79 ____ -J -t 
Figura 78 
016 c/9 
87 
88 MUROS DE ARRIMO 
4.3- PROJETO DE MURO DE ARRIMO COM CONTRAFORTE 
Recomendado para H :2: 6 m (mais econômico) 
Recomendações para facilitar o cálculo do muro de arrimo com contrafortes 
a) Colocar contrafortes nas duas extermidades; 
b) Colocar contrafortes a cada 50% de H , para que a parede vertical seja considera-
da no cálculo como armada em uma única direção; 
c) O cálculo da cortina será feito em uma única direção, horizontal, como viga cc 
tínua apoiada nos contrafortes: 
pl2 
Jl,f=-
12 
positivo 
pl2 
X= - · 
10 ' 
negativo 
d) O cálculo do contraforte será feito com a carga da cortina q = 1,13. p 1 - l eng:. 
tado na laje de fundação; 
e) O cálculo da laje de fundo será feito em uma única direção, com viga contír.= 
apoiada nos contrafortes, com cargas de concreto, solo e reação do terrenc 
balanço será calculado com a reação do terrreno. 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 89 
Figura 79 
Seja o muro de arrimo com contraforte abaixo para H = 7 m, calcular as dimen-
- s do muro e sua armação. 
a) Pré-dimensionamento 
8 8%H = - x 600 = 48 cm ~ adotaremos 40 cm 
b) Solo 
100 
70 70%H=-x700=490 cm 
100 
50 50%H= -x600= 300 cm 
100 
</> = 30º ~ Ka = O, 333 
y = 1,8 kN/m3 
<JS= 2 kgf/cm 2 = 2 x 10-2 kN/m2 
9Q MUROS DE ARRIMO 
Figura80 
1) Verificação da estabilidade e deslisamento-escorregamento 
a) Cargas verticais 
concreto 
fundação= 0,4 x 4,9 x 25 = 49 kN/rn 
O 4+02 
cortina = ' x6,6x25=49,5 kN/rn 
2 
4x6,6 
contraforte = x O, 2 x 25 = 66 kN/contraforte 
2 
pc = ( 49+ 49,5) X 3, 7 + 66 = 430,45 kN 
solo 
Ps = 4 X 6,6 X 18 X 3,7 = 1.758,24 kN 
La·e de funda ão 
Contraforte 
Viga da fundaçãc 
2) 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 91 
b) Cargas horizontais: empuxos 
Ei=!·r·Ka-H2 =!xl8x0,33x72 =145,53 kN/m 
2 2 
Et = f · Ei = 3, 7 x 145, 53 = 538, 46 kN ( entre eixos de contraforte) 
c) Verificação a deslisamento 
</! = 30º - f = 0,67 · tg<f! = 0,386 
(Pc + Ps) ·J?:. 1,5 · Et 
(Pc+ Ps) · f = ( 430,45+1, 758,24) x 0,386 = 844 kN 
2.188,69 
l ,5Et = l,5x 538,46 = 807,69 kN 
J, a1 = 807,69 = 0,369 (0.K.) < 0,67 tg,t, 
re 2.188,69 'I' 
Verificação a tombamento 
a) Cargas verticais: (resistente) 
concreto 
braço 
,........_, 
fun 9 4,9 444,18 kNrn dação = M1 = 4 x 3, 7 x - = 2 l bc~ J cortina=0,2x6,6x25x3,7x ~ 73,26 kN/m 
0,6 
[ b,~ l ,.-----,.._._ . 02x66 02 
cortma= ' 
2 
' x25x3,7x ~ = 46,80 kNm 
0,766 m 
[ bra~ l 
contraforte = 66 x 0,5 + 0,4 + ~ = 147,40 kNm 
2,23m 
= 711,64 kNm 
92 MUROS DE ARRIMO 
solo 
Mr = 1, 758, 24 x O, 9 + \ 4 = 5.450, 44 kNm 
[ 
braço J 
2,23m 
b) Cargas horizontais: empuxo 
7 
Ma = 538, 46 x - = 1.256, 41 kNm 
3 
c) Verificação a tombamento 
Mr > l ,5-Ma 
Mr = 711 ,64 + 5.450,44 = 6.162,08 kNm (O.K.) Mr > l,5Ma 
1,5 ·Ma= 1,5 X 1.256,41 = l.884,6lkNm 
3) Cálculo das cortinas: (fck = 25 MPa) 
3,7 m 
pm 
3,7 m 
pm 
Contraforte 
Figura81 
a) Empuxos: p = Ka · y · H = 0,333 X 18 · H = 6 · H 
H = 6,6 m ~ p= 39,6 kN/m2 
H =5,6 m ~ p= 33,6 kN/m2 
H=4,6 m~ p=27,6 kN/m2 
H=3,6 m~ p=21,6 kN/m2 
e = 40 cm 
56 
e= 20+20x-'-= 36,97 cm 
6,6 
46 
e = 20+20x-'-= 33,94 cm 
6,6 
e=20+20x 3'6 =30,91 cm 
6,6 
4 - PROJETO DE M UROS DE ARRIMO 93 
H=2,6 m~ p=15,6 kN/m2 LJ,O e=20+20x-=27,88 cm 
6,6 
H =1,6 m ~ p= 9,60 kN/m2 
H=O,O m~ p=O kN/m2 
b) Seção entre (H 6,6 me H = 5,6 m) 
Pm = 39,6+33,6 = 36 6 kN/m2 2 , 
em= 30+36,97 = 38 5 cm 
2 , 
d=38,5 - 4=34,5 cm 
e=20+20x 
1
'
6 
=24,84 cm 
6,6 
e=20 cm 
Pm-c2 36 6x3 72 M= = ' ' =41 75 kNm/m 
12 12 ' 
X = pm -f,2 = 36,6 x 3,72=-5010 kNm/m 
10 10 ' 
5 5 V=-· pm·f =- x36,6x3,7=84,64 kN/m 
8 8 
Armação e flexão (fck = 25 MP a) 
M = 41, 75 kNm/m 
AS= k3 . M 
10 d 
5 2 K 6 = 10 xlx0,345 = 285 
41,75 
k3= 0,329 AS= 0,329 x 41, 75 = 3 98 cm2 /m 
10 0,345 ' 
X = -50, 10 kNm/m K6 = 10
5 
x 1 x 0,345
2 
= 237 
50,10 
k3= 0,329 AS= 0,329 x 50,10 = 4 78 cm2 /m 
10 0,345 ' 
ASrrún = O,l5 x38,5x100=5,77 cm2/m <f>lü c/12,5 
100 
Armação a cortante: (fck = 25 MPa) - rrd = 320 kPa 
94 MUROS DE ARRIMO 
V= 84,64 k:N/m Vd = 1,4 x 84,64 = 118,5 kN 
rrd=320 KPa k = 1,6 -0,345 = 1,255 = 6'25 = O 00181 p 100x34,5 ' 
VRd2 = [ 320 x 1,255 x (1,2+ 40x 0,00181) J xl x 0,345 = 176 kN > Vd 
Não é preciso armar a cisalhamento. 
c) Seção entre (H = 4,6 me H = 3,6 m) 
Pm= 27,6+21,6 = 24 6 kN/m 2 2 ' 
em= 33,94+ 30,91 = 3242 cm 2 ) 
d= 32,42-4 = 28,42 cm 
M = prn· e2 = 24,6x3,72 = 28 06 k:Nm/m 
12 12 ' 
X= pm · f.2 = 24,6x3,72 =-33 67 kNm/m 
10 10 ' 
5 5 
V =-·pm·f =- x24,6x3,7 = 56,89 k:N/m 
8 8 
Armação flexão: (fck = 25 MPa) 
2 
K6= 105 x~ 
M 
M = 28, 06 k:Nm/m 
AS=k3_M 
10 d 
K6 = 10
5 
x 1 x 0,2842
2 
= 287 
28,06 
k3= 0,329 AS= 0,329 x 28,06 = 3 25 cm2 /m 
10 0,2842 ' 
X= -33,67 k:Nm/m K6 = 10
5 
x 1 x 0,2842
2 
239 
33,67 
k3= 0,329 AS = 0,329 x 33,67 =3 90 cm2/m 
10 0,2842 ' 
O 15 
ASmín = - ' - x32,42xl00=4,86cm2 /m <j>lO c/15 
100 
4- PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 95 
Armação a cortante: (fck = 25 MPa) 
V = 56, 89 kN/m 
-crd =320 KPa 
Vd=l,4x56,89=79,65 kN 
k = 1,6-0,2842 = 1,3158 = 5,33 = O 001875 
p 100x28,42 ' 
VRd2 = [320x l,3158x (l,2+40 x0,001875) Jx 1 x 0,2842 = 152,5 kN > Vd 
Não é preciso armar a cisalhamento. 
-1) Cálculo do contraforte: (20 X variável) 
q = 1,13 · P1 · f = 1,13 X 39,56 X 3,7 = 165,4 kN/m 
p 1 = Ka · y · H = 0,333 X 18 X 6,6 = 39,56 kN/m2 
e= 6,6 m 
p,e P. 
M=-·-2 3 
P1 = 165,4 kN/m 
Figura82 
M = 6,6 x 165,4 x 6,6 = 1.200 8 kNm 2 3 ' (20x440) 
d= 440-5 = 435 cm 
M = 1.200,8 kNm K 6 =10
5
x0,2x4,352 = 315 
1.200,8 
AS= 0,327 xl.220,8 = 9 02 cm2 /m 
10 4,35 ' 
AS , = O,l5 x 20 x 440 = 13,2 cm2 
mm 100 7</)16mm 
k3=0,327 
96 MUROS DE ARRIMO 
CisalhamenLo ( ver anexo): 
V= 165,4 x 6'6 = 545,82 kN 
2 
Vd = 1,4 x 545,82 = 764,15 kN 
VRd2 =4.339x0,2x4,35=3.774,9 kN 
Vco=767x0,2x4,35=667,39 kN 
Vsw = 764,15- 667,29 = 96,86kN 
ASw = 96,86 = 0 56 cm2 /rn 
S 0,9x4,35x43,5 ' 
(~w) _ =0,10x20 = 2 cm2 /m 
mm 
Armadura de pele 
O 10 ? 
ASpel = -'-x 20x4,35=8,70 cm~ /face 
e 100 
8,7 2 
ASpele = 4 35 = 2 cm /rn <{>8 c/20 
J 
5) Cálculo das tensões no solo 
p M 
P = carga vertical total 
S = área 
M = momento atuante 
adotaremos </)10 c/25 (2 ramos) 
CY =-±-S w b · d 2 e d 1 d · ~ · ) w = -- mo e o e res1stenc1a 
6 
P=2.188,69 kN 
S = 4,9x 3,7 = 18,13 m 2 
2 
W=3, 7x4,9 = 14 80m3 
6 J 
4,9m 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 97 
1. 3,7 m ~I 
0,5 m _ ~ 1----------1 
0,4 m _._ 
4,0m 
0,2m 3,3m 
Eixo do cont raforte 
0,2m 
Ma = 1.256,41 +33x (2,45-0,6) +61,05 x (2,45-0,766) + 
+ 66 X (2,45-2,23) + 1.758,24 X (2,45 - 3,1) 
_'vf G = 1.434, 78-1.142,85 = 291, 93 kNrn 
f (J"= PS± Mw) (J" = 2.188,69 ± 291,93 =l20 72 ±19 72 
18 13 14 8 ' ' ) , 
a1 = 120, 72 + 19, 72 = 140, 45 kN!m 
2 
= 1, 40 kgf/cm 2 
a_ =120,72 -19,72=101 kN/rn2 =1,01 kgf/crn2 
a1 < 2 kgf/cm
2 (0.K.) 
I• 4,9 m •I (base) 
~, 1 l 1 1 1 l J 1 ,~ 
_o_,7_m_l·-·~1·---4~,_2_m _____ .1 (base) 
140,45 kN/m2 
o \A \h 
134,81 kN/m2 
Solo A= 18 x 6,6 = 118,8 kN/m2 
na laje do fundo 
101 kN/ m2 
l l l r I r I r r ! 118' 8 kN/m2 
98 MUROS DE ARRIMO 
6) Cálculo da fundação: f = 40 cm; d = 40 - 5 = 35 cm 
CJ3 = 101 + (140,45 - 101) x 4,2 = 134 81 kN/m2 
4 9 ' 
' 
Cálculo do momento no balanço (O e 1) 
o 72 o 72 
M1 =134,8lx~+(l40,45-134,8l)x~=33,95 kNm 
ou aproximadamente 
M = 134,81+140,45 x 0,72 = 33 72 kNm/m 1 2 2 ) 
Cálculo do momento entre (1 e 2) 
Cálculo na direção dos contrafortes 
M = (134,81-118,8) x 3, 
72 
18,26 kNm/m 
12 
pf2 
M=-
12 
M = pf
2 
= - (134,81-118,8) x 3, 72 = - 21,92 kNm/m 
10 10 
Cálculo da armação 
M1 = 33, 72 kNm/m 
K6 = 105 X 1 X 0,352 363,28 
33,72 
ASnún = 6 cm2 /m 
k3=0,327 
M = 18,26 kNm/m K6= 105 xlx0,352 = 670 
18,26 
k3=0,325 
X= 21,92 kNm/m 
05 0 2 K 6 = 1 x 1 x , 35 = 558 
21,92 
k3= 0,326 
AS= 0,326 x 21,92 = 2 04 cm2 /m 
10 0,35 ' 
ASmm = 6 cm2 /m </JlO dl2,5 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 99 
Cortante:jck = 25 MPa 
V= 140,45+134,81 xO 7=96 34 kN/m 
2 ' ' Vd = 1,4 x 96,34 = 135kN 
rrd=0,32 MPa=320 KPa k=l,6-d=l,6-0,35 =1,25 m 
= 
5
,
25 
=000178 Pi 100x35 ' 
VRd1 = [ 320x 1,25(1,2+40 x 0,00178) Jxl x 0,35 = 178 kN > Vd (O.K.) 
Não é preciso armar a cisalhamento . 
.1 Cálculo da viga da fundação 
Flexão 
0,15 2 ASmín = -x40x70=4,2 cm 
100 
Pele 
O 15 
ASmín =-'-x40x70=2,8 cm2 
100 
Cortante 
AS min = 0,1 X 40 = 4 cm2/m 
3(/>16 rrun 
6(/>8 rrun 
ef>lü c/20 
100 MUROS DE ARRIMO 
8) Detalhes da armação 
a) Armação da laje de fundação 
Figura 83 
b) Armação do contraforte 
4 0 16 1.ª camada 
3 0 16 1.' camada 
2x21 08 
7 016 
.! 0 16 1.' camada 
3 0 16 2.' camada 
Seção A-A 
3 016 1.' camada 4 0 16 1.' camada 
3 0 16 2.' camada 
0 10 c/25 
2 X 21 0 8 c/20 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 101 
Figura 84102 MUROS DE ARRIMO 
e) Armação da cortina 
0 10 c/12,5 
010 c/15 
à 
~ 
li"') 
0 
"-
"' c:rri 
010 c/12,5 
li) 
"'' 
u 
~ 
~ 0 "-"' 
Figura85 
4 - PROJETO DE MUROS DE ARRIMO 103 
d) Armação da viga de fundação 
Figura86 
5 - ANEXOS 105 
5-ANEXOS 
5 .1 - TABELAS DE ARMADURA MÍNIMA DE RETRAÇÃO 
Para a correta utilização das Tabelas a seguir, observe os exemplos mos-
rados para cada urna das tabelas:fck = 15 MPa; fck = 20 MPa; fck = 25 MPa 
efck = 30 MPa. 
~ = 15 MPa 
1 bef = 100 cm para s s 1 S<jl 1 
100 
bef = - -------- p/s > 1 S<jl 
espaçamento 
As 
pri=-----1 
bef · hef 
1 fck = 15MPa 1 fctm = 1,8246 MPa 
_ = 20 MPa 
fctm 
as=-----t 
pri 
1 bef = 100 cm para s s 1 S<jl j 
100 
bef = - - ------- p/s > 1 S<jl 
espaçamento 
As 
pri = --- --1 
bef · hef 
1 fck = 20 MPa 1 fctm = 2,2104 MPa 
fctm 
as= - - ---1 
pri 
\ hef = 3 + 8<jl 1 
wk1 
(abertura de 
fissura em 
mm) 
wk1 
(abertura d e 
fissura em 
mm) 
wk1 
(abertura de 
fissu ra e m 
mm) 
wk1 
(abertura de 
fissura em 
mm) 
1 06 MUROS DE ARRIMO 
fck = 25 MPa 
fck = 30 MPa 
bef = 100 cm para s s 15<j> 1 
100 
bef = --------- p/s > 15cj> 
1 fck = 25 MPa 1 
espaçamento 
As 
pri= - ----i 
bef · hef 
fetm = 2,564964 MPa 
fctm 
os= - --- ---i 
pri 
bef = 100 cm para s s 15<j> ! 
100 
bef= - --- ----- p/s > 15<j> 
1 fck =30 MPa ! 
espaçamento 
As 
pri=-------i 
bef · hef 
fctm = 2,896468 MPa 
fetm 
os= - ----
pri 
wk1 
(abertura de 
fissura em 
mm) 
wk1 
(abertura de 
fissura em 
mm) 
wk1 
(abertura de 
fissura em 
mm) 
wk1 
(abertura de 
fissura em 
mm) 
5-ANEXOS 1 Q] 
Tabela de armadura mínima de retração (fck = 15 MPa) 
Armadura Cobrimento e= 3 cm 
<I> espaça- AS pri as wk1 wk2 (mm) mento (cm) (cm2) (MPal (mm) (mm) 
30 0,67 0,003829 477 0,63 0,88 
25 0,80 0,003810 479 0,64 0,89 
5 20 1,00 0,003810 479 0,64 0,89 
15 1,33 0,003800 480 0,64 0,89 
10 2,00 0,003810 479 0,64 0,89 
30 1,05 0,004146 440 0,54 0,89 
25 1,26 0,004146 440 0,54 0,75 
6,3 20 1,58 0,004159 439 0,54 0,75 
15 2,10 0,004146 440 0,54 0,75 
10 3,15 0,004146 440 0,54 0,75 
30 1,67 0,004441 411 0,47 0,66 
25 2,00 0,004433 412 0,47 0,66 
8 20 2,50 0,004433 412 0,47 0,66 
15 3,33 0,004428 412 0,47 0,66 
10 5,00 0,005319 343 0,33 0,46 
30 2,67 0,004855 376 0,39 0,55 
25 3,20 0,004848 376 0,39 0,55 
10 20 4,00 0,004848 376 0,39 0,55 
15 5,33 0,004845 377 0,39 0,56 
10 8,00 0,007273 251 0, 18 0,25 
30 4,17 0,005137 355 0,44 0,62 
25 5,00 0,005128 356 0,44 0,62 
12,5 20 6,25 0,005128 356 0,44 0,62 
15 8,33 0,006408 285 0,28 0,40 
1 
10 12,50 0,009615 190 O, 13 0,19 
30 6,67 0,005277 346 0,53 0,75 
25 8,00 0,005274 346 0,53 0,75 
16 20 10,00 0,006329 288 0,37 0,53 
15 13,33 0,008437 215 0,21 0,30 
10 20,00 0,012658 144 0,09 0, 14 
30 10,50 0,005526 330 0,61 0,86 
25 12,60 0,006632 275 0,42 0,60 
20 20 15,75 0,008289 220 0,27 0,39 
15 21,00 0,011053 165 0,15 0,23 
10 31,50 0,016573 110 0,07 0, 11 
30 16,67 0,007248 252 0,44 0,64 
25 20,00 0,008696 210 0,31 0,45 
25 20 25,00 0,010870 168 0,20 0,29 
15 33,33 0,014491 126 O, 11 0, 17 
10 50,00 0,021739 84 0,05 0,08 
··~~I 
108 MUROS DE ARRIMO 
Tabela de armadura mínima de retração (fck = 20 MP a) 
Armadura Cobrimento e= 3 cm 
<P espaça- AS pri as wk1 wk2 (mm) mento (cm) (cm2) (MPal (mm) (mm) 
30 0,67 0,003829 577 0,77 1,07 
25 0,80 0,003810 580 0,77 1,08 
5 20 1,00 0,003810 580 0,77 1,08 
15 1,33 0,003800 582 0,78 1,08 
10 2,00 0,003810 580 0,77 1,08 
30 1,05 0,004146 533 0,65 0,91 
25 1,26 0,004146 533 0,65 0,91 
6,3 20 1,58 0,004159 531 0,65 0,91 
15 2, 10 0,004146 533 0,65 0,91 
10 3,15 0,004146 533 0,65 0,991 
30 1,67 0,004441 498 0,57 0,80 
25 2,00 0,004433 499 0,57 0,80 
8 20 2,50 0,004433 499 0,57 0,80 
15 3,33 0,004428 499 0,57 0,80 
10 5,00 0,005319 416 0,40 0,56 
30 2,67 0,004855 455 0,48 0,67 
25 3,20 0,004848 456 0,48 0,67 
10 20 4,00 0,004848 456 0,48 0,67 
15 5,33 0,004845 456 0,48 0,67 
10 8,00 0,007273 304 0,21 0,31 
30 4, 17 0,005137 430 0,43 0,75 
25 5,00 0,005128 431 0,43 0,75 
12,5 20 6,25 0,005128 431 0,43 0,75 
15 8,33 0,006408 345 0,27 0,49 
10 12,50 0,009615 230 0,12 0,22 
30 6,67 0,005277 419 0,40 0,91 
25 8,00 0,005274 419 0,40 0,91 
16 20 10,00 0,006329 348 0,28 0,64 
15 13,33 0,008437 262 O, 16 0,37 
10 20,00 0,012658 175 0,07 0,17 
30 10,50 0,005526 400 0,37 1,04 
25 12,60 0,006632 333 0,26 0,73 1 1 20 20 15,75 0,008289 287 0,16 0,48 1 
15 21,00 0,011053 200 0,09 0,28 1 
li 10 31,50 0,016573 133 0,04 O, 13 1 
30 16,67 0,007248 305 0,21 0,77 1 
25 20,00 0,008696 254 O, 15 0,64 1 
25 20 25,00 0,010870 203 O, 10 0,36 1 
15 33,33 0,014491 153 0,05 0,21 1 
10 50,00 0,021739 102 0,02 0,10 1 
1, 
5 - ANEXOS 1 09 
Tabela de armadura mínima de retração (fck = 25 MPa) 
Armadura Cobrimento e = 3 cm 
<I> espaça- AS pri os wk1 wk2 (mm) mento (cm) (cm2) (MPal (mm) (mm) 
30 0,67 0,003829 670 0,89 1,24 
25 0,80 0,003810 673 0,90 1,25 
5 20 1,00 0,003810 673 0,90 1,25 
15 1,33 0,003800 675 0,90 1,25 
10 2,00 0,003810 673 0,90 1,25 
30 1,05 0,004146 619 0,76 1,06 
25 1,26 0,004146 619 0,76 1,06 
6,3 20 1,58 0,004159 617 0,75 10,5 
15 2, 10 0,004146 619 0,76 1,06 
10 3,15 0,004146 619 0,76 1,06 
30 1,67 0,004441 578 0,66 0,92 
25 2,00 0,004433 579 0,66 0,93 
8 20 2,50 0,004433 579 0,66 0,93 
15 3,33 0,004428 579 0,66 0,93 
10 5,00 0,005319 482 0,46 0,65 
30 2,67 0,004855 528 0,56 0,78 
25 3,20 0,004848 529 0,55 0,78 
10 20 4,00 0,004848 529 0,55 0,78 
15 5,33 0,004845 529 0,55 0,78 
10 8,00 0,007273 353 0,25 0,36 
30 4, 17 0,005137 499 0,49 0,87 
25 5,00 0,005128 500 0,50 0,87 
12,5 20 6,25 0,005128 500 0,50 0,87 
15 8,33 0,005408 400 0,32 0,57 
10 12,50 0,009615 267 O, 14 0,26 
30 6,67 0,005277 486 0,47 1,06 
25 8,00 0,005274 486 0,47 1,06 
16 20 10,00 0,006329 405 0,33 0,74 
15 13,33 0,008437 304 0, 18 0,43 
r 10 20,00 0,012658 203 0,08 0,20 
30 10,50 0,005526 464 0,43 1,21 
25 12,60 0,006632 387 0,30 0,85 
20 20 15,75 0,008269 309 0,19 0,55 
15 21,00 0,011053 232 0, 11 0,32 
10 31,50 0,016573 155 0,05 0, 15 
30 16,67 0,007248 354 0,25 0,89 
25 20,00 0,008696 295 0,17 0,63 
25 20 25,00 0,010870 236 0, 11 0,41 
15 33,33 0,014491 177 0,06 0,24 
10 50,00 0,021739 118 0,03 0, 11 
- ------~ -
r 
11 Ü MUROS DE ARRIMO 
Tabela de armadura mínima de retração (fck = 30 MPa) 
Armadura Cobrimento e = 3 cm 
(j) espaça- AS pri as wk1 wk2 (mm) mento (cm) (cm2) (MPa) (mm) (mm) 
30 0,67 0,003829 757 1,00 1,40 1 
25 0,80 0,003810 760 1,01 1,41 1 
5 20 1,00 0,003810 760 1,01 1,41 
15 1,33 0,003800 762 1,02 1,42 
10 2,00 0,003810 760 1,01 1,41 1 
30 1,05 0,004146 699 0,86 1, 19 
25 1,26 0,004146 699 0,86 1, 19 
6,3 20 1,58 0,004159 696 0,85 1, 19 1 
15 2,10 0,004146 699 0,86 1, 19 
10 3,15 0,004146 699 0,86 1, 19 
30 1,67 0,004441 652 0,75 1,04 1 
25 2,00 0,004433 653 0,75 1,05 
8 20 2,50 0,004433 653 0,75 1,05 1 
15 3,33 0,004428 554 0,75 1,05 
10 5,00 0,005319 545 0,52 0,73 
30 2,67 0,004855 597 0,62 0,88 
25 3,20 0,004848 597 0,63 0,88 
10 20 4,00 0,004848 597 0,63 0,88 li 
15 5,33 0,004845 598 0,63 0,88 li 
10 8,00 0,007273 398 0,28 0,40 
30 4,17 0,005137 564 0,56 0,98 1: 
25 5,00 0,005128 565 0,56 0,99 
12,5 20 6,25 0,005128 565 0,56 0,99 
15 8,33 0,005408 452 0,36 0,64 1 
10 12,50 0,009615 301 0,16 0,29 
30 6,67 0,005277 549 0,53 1, 19 
25 8,00 0,005274 549 0,53 1,20 
16 20 10,00 0,006329 458 0,37 0,84 1 
15 13,33 0,008437 343 0,21 0,48 
10 20,00 0,012658 229 0,09 0,22 1 
30 10,50 0,005526 524 0,48 1,36 
25 12,60 0,006632 437 0,33 0,96 ~ 
20 20 15,75 0,008269 349 0,21 0,62 1 
15 21,00 0,011053 262 0,12 0,36 1 
10 31,50 0,016573 175 0,05 0,17 1 
30 16,67 0,007248 400 0,28 1,01 1 
25 20,00 0,008696 333 0,19