Sistemas de Forças em Mecânica Geral

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MECÂNICA GERAL
Aula 02 – Sistemas de Forças
Prof(a) M.a Lorrany M. Yoshida
UNIVERSIDADE CEUMA
ENGENHARIA CIVIL
SISTEMAS DE FORÇAS
• Introdução
• Sistema de forças bidimensionais
• Sistema de forças tridimensionais
MECÂNICA GERAL
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Análise de forças que atuam em estruturas e
em equipamentos de engenharia
Base para o entendimento de matérias mais
específicas da engenharia
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AÇÃO DE UMA FORÇA
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Efeitos externos Efeitos internos
AÇÃO DE UMA FORÇA
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Efeitos externos Efeitos internos
• São as forças e que
mantém unidos os
pontos materiais que
formam o corpo
• Efeitos externos: representam
a ação de outros corpos sobre
o corpo rígido considerado.
• Se não for contrabalanceada,
cada uma das forças externas
pode imprimir ao corpo rígido
um movimento de translação
ou de rotação, ou ambos.
• Forças externas
são mostradas
em um diagrama
de corpo livre.
PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE
“A força pode ser aplicada em qualquer ponto sobre sua linha de ação
sem alterar os efeitos externos resultantes da força externa ao corpo
rígido no qual ela atua.”
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CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS
• Força de contato: produzida por contato físico direto
• Força de corpo: é gerada em virtude da posição de um corpo dentro
de um campo de forças
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FORÇAS CONCORRENTES
• Conjunto de forças que passam por um
mesmo ponto
• Um conjunto de forças concorrentes
aplicadas em um ponto material pode ser
substituído por uma única força resultante
que é o vetor equivalente à soma das
forças aplicadas
• Componentes do vetor força
(decomposição): dois ou mais vetores que,
juntos, têm o mesmo efeito que um único
vetor
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PROBLEMA 2.1
As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua
resultante.
Solução trigonométrica: usamos a regra do triangulo para a soma de
vetores em conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para
encontrar a resultante de P e Q.
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PROBLEMA 2.1
Pela lei dos cossenos:
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       

155cosN60N402N60N40
cos2
22
222 BPQQPR
N73,97R
PROBLEMA 2.1
Pela lei dos senos:
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sen A sen B Q
sen A sen B
Q R R
  
60N
senA sen 155
97,73N
 
A 15,04
α 20 A
 
 
35,04  
PROBLEMA 2.1
Solução trigonométrica alternativa: construímos 
o triângulo retângulo BCD e calculamos
Usando agora o triângulo ACD, obtemos:
E novamente:
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(60 ) 25 25,4
(60 )cos 25 54,4
CD N sen N
BD N N
  
  
25,4N
tgA A 15,0
94,4N
R 25,4/senA R 97,7N
   
  
40
54,4
94,4
25,4
D
97,7NR  35,0  
PROBLEMA 2.2
Uma barcaça é puxada por dois
rebocadores. Se a resultante das
forças exercidas pelos rebocadores é
22250 N dirigida ao longo do eixo da
barcaça determine:
a) A força de tração em cada um dos
cabos para  = 45o
b) O valor de  para o qual a tração
no cabo seja mínima
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PROBLEMA 2.2
a) Solução trigonométrica: aplicando
a regra do triângulo para soma
vetorial. Com a intensidade e a
direção da resultante conhecida e as
direções dos outros dois lados,
paralelas aos cabos dados, aplicamos
a Lei dos Senos para encontrar as
trações nos cabos.
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PROBLEMA 2.2
a) Solução trigonométrica: regra do
triângulo e Lei dos Senos
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



 105
250.22
3045
21
sen
N
sen
T
sen
T
N 517.11N288.16 21  TT
PROBLEMA 2.2
b) O ângulo para tração mínima no
cabo 2 é determinado aplicando a
regra do triângulo e observando o
efeito de variações em 𝛼.
A tração mínima no
cabo 2 ocorre
quando T1 e T2 são
perpendiculares.
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 30sen N) (22.250T2
2 11125T N
PROBLEMA 2.2
b)
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   30 cos N 22.250T1
1 19270T N
𝛼 = 180∘ − 90∘ − 30∘
𝛼 = 60∘
PROBLEMA 2.3
Duas forças são aplicadas no Ponto B da barra AB. Determine a
magnitude e direção da força resultante.
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PROBLEMA 2.3
𝑅 = 3.304 𝑘𝑁 𝑅 = 3.304 𝑘𝑁
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50°
• Aplicando a Lei dos Cossenos:
𝑅2 = 2𝑘𝑁 2 + 3𝑘𝑁 2 − 2 2𝑘𝑁 3𝑘𝑁 𝑐𝑜𝑠80∘
• Aplicando a Lei dos Senos:
3
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝑅
𝑠𝑒𝑛80𝑜
𝑅 = 3.304 𝑘𝑁
𝛽 = 63,41𝑜
𝜙 + 𝛽 + 50∘ = 180∘
𝜙 = 66,59∘
PROBLEMA 2.4
Um carrinho que se move ao longo de
uma barra horizontal age por meio de
duas forças mostradas na figura.
a) Sabendo que α = 25∘ determine a
magnitude da força P, sabendo que a
resultante que age no carrinho é no
sentido vertical.
b) Qual é a intensidade correspondente
da resultante?
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PROBLEMA 2.4
Usando a Lei do Triângulo e a Lei dos
Senos:
a)
1600
𝑠𝑒𝑛25∘
=
𝑃
𝑠𝑒𝑛75∘
b)
1600
𝑠𝑒𝑛25∘
=
𝑅
𝑠𝑒𝑛80∘
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25 75 180 80        
𝑃 = 3660 𝑁
𝑅 = 3730 𝑁
SISTEMAS DE FORÇAS
• Introdução
• Sistema de forças bidimensionais
• Sistema de forças tridimensionais
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COMPONENTES RETANGULARES
• Pode-se decompor uma força em duas
componentes perpendiculares de forma que
o paralelogramo resultante seja um
retângulo.
• 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 são chamados de componentes
retangulares e 𝐹 = 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦.
• Definimos então os vetores unitários
perpendiculares 𝑖 e 𝑗 que são paralelos aos
eixos x e y.
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COMPONENTES RETANGULARES
• Os componentes de um vetor podem
ser expressos como produtos dos
vetores unitários pelas intensidades
dos componentes do vetor
 𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗
• 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 são chamados de componentes
escalares de 𝐹
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COMPONENTES RETANGULARES
• Para obter a resultante de duas ou
mais forças concorrentes:
𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2
= 𝐹1𝑥 𝑖 + 𝐹1𝑦 𝑗 + 𝐹2𝑥 𝑖 + 𝐹2𝑦 𝑗
ou
𝑅𝑥 𝑖 + 𝑅𝑦 𝑗
= 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 𝑖 + 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 𝑗
• Conclusão:
𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 = 𝐹𝑥
𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 = 𝐹𝑦
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PROBLEMA 2.5
As forças 𝐹1, 𝐹2 e 𝐹3, todas
atuando no ponto A do
suporte, são especificadas de
três modos diferentes.
Determine os componentes
escalares em x e em y de cada
uma destas três forças.
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PROBLEMA 2.5
Solução: os componentes escalares de 𝐹1
são:
𝐹1𝑥 = 𝐹1 cos 35° = 600 ∗ cos 35°
= 491 𝑁
𝐹1𝑦 = 𝐹1 sen 35° = 600 ∗ sen 35°
= 344 𝑁
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PROBLEMA 2.5
Os componentes escalares de 𝐹2 são:
𝐹2𝑥 = −𝐹2
4
5
= −500 ∗ 0,8 = −400 𝑁
𝐹2𝑦 = 𝐹2
3
5
= 500 ∗ 0,6 = 300 𝑁
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PROBLEMA 2.5
Oscomponentes escalares de 𝐹3 são:
𝐹3𝑥 = 𝐹3𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐹3𝑦 = −𝐹3𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑡𝑔𝛼 =
0,2
0,4
= 0,5 → 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1 0,5
= 26,6°
𝐹3𝑥 = 800 ∗ 𝑠𝑒𝑛26,6° = 358 𝑁
𝐹3𝑦 = −800 ∗ 𝑐𝑜𝑠26,6° = −716 𝑁
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PROBLEMA 2.5
Alternativamente, os componentes escalares de 𝐹3
podem ser obtidos escrevendo-se 𝐹3 como um
módulo multiplicado por um vetor unitário 𝑛𝐴𝐵 na
direção do segmento de reta AB. Assim,
𝐹3 = 𝐹3𝑛𝐴𝐵 = 𝐹3 ∗
𝐴𝐵
𝐴𝐵
= 800
0,2 𝑖 − 0,4 𝑗
0,2 2 + −0,4 2
= 800 0,447 𝑖 − 0,894 𝑗 = (358 𝑖 − 716 𝑗) 𝑁
Os componentes escalares desejados são, então:
𝐹3𝑥 = 358 𝑁
𝐹3𝑦 = −716 𝑁
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SISTEMAS DE FORÇAS
• Introdução
• Sistema de forças bidimensionais
• Sistema de forças tridimensionais
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COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
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 𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐴𝑍
Em 3 dimensões, os 
vetores cartesianos 
unitários 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 são 
usados para designar as 
direções dos eixos x, y e 
z, respectivamente. 
 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧𝑘
(2.1)
(2.2)
COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
• Intensidade de um vetor cartesiano
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𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐴𝑧2 (2.3)
COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
• Direção de um vetor cartesiano
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A direção de 𝐴 é definida pelos ângulos de direção 
coordenadas 𝛼 (alfa), 𝛽 (beta) e 𝛾(gama), medidos 
entre a origem de 𝐴 e os eixos x, y e z positivos, 
desde que estejam localizados na origem de 𝐴, 
cada um desses ângulos está entre 0° e 180°.
COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
• Direção de um vetor cartesiano
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cos 𝛼 =
𝐴𝑥
A
(2.4)
COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
• Direção de um vetor cartesiano
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cos 𝛽 =
𝐴𝑦
A
(2.5)
COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
• Direção de um vetor cartesiano
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cos 𝛾 =
𝐴𝑧
A
(2.6)
cos 𝛼, cos 𝛽 e cos 𝛾 são denomidados 
cossenos diretores 
COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
• Direção de um vetor cartesiano
Se 𝑢𝐴 =
 𝐴
𝐴
→ 𝑢𝐴 =
𝐴𝑥
A
 𝑖 +
𝐴𝑦
A
 𝑗 +
𝐴𝑧
A
𝑘
Substituindo 2.4, 2.5 e 2.6 em 2.7 temos:
𝑢𝐴 = cos𝛼 𝑖 + cos𝛽 𝑗 + cos 𝛾 𝑘
Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da
soma dos quadrados das intensidades de suas componentes e 𝑢𝐴
possui uma intensidade de um, então pode-se estabelecer uma
relação importante com os cossenos diretores como:
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(2.7)
(2.8)
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 =1 (2.9)
COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
• Adição de vetores cartesianos
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(2.10)
(2.12)
 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧𝑘
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 +
(𝐴𝑥 + 𝐵𝑥) 𝑖
(2.11)
COMPONENTES RETANGULARES NO ESPAÇO
• Adição de vetores cartesianos
Se este conceito for generalizado e aplicado em um sistema de
várias forças concorrentes, então a força resultante será o vetor
soma de todas as forças do sistema e poderá ser escrito como:
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(2.12)𝑅 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥) 𝑖
 𝐹𝑅 = 𝐹 = 𝐹𝑥 𝑖 + 𝐹𝑦 𝑗 + 𝐹𝑧𝑘 (2.13)
PROBLEMA 2.6
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O cabo de sutentação de uma torre
está ancorado por meio de um
parafuso e a tração no cabo de
sustentação da torre é 2500 N.
Determine a) os componentes Fx, Fy e
Fz da força que atua no parafuso em A,
b) os ângulos 𝛼, 𝛽 e 𝛾 que definem a
direção da força.