Lista Mat B 2018 1 L3

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UFRPE-UAG - Unidade Acadeˆmica de Garanhuns
Matema´tica B
Prof. Sansuke Watanabe, D.Sc. Agronomia
Lista de Exercı´cios 3 2018.1
1. Nos itens abaixo determine o domı´nio D(f) da func¸a˜o dada e fac¸a um esboc¸o da
regia˜o correspondente do plano.
(a) f(x,y) = xy
y−2x
(b) f(x,y) = 1
x
+ 1
y
(c) f(x,y) =
√
xy
(d) f(x,y) = 1
(ex+ey)2
(e) f(x,y) = 1√
x2+y2
(f) f(x,y) = 1
4x2−y2
2. Determine e fac¸a um esboˆc¸o das curvas de nı´vel f(x,y) = k para cada uma das
func¸o˜es de duas varia´veis abaixo.
(a) f(x,y) = y− x
(b) f(x,y) =
√
16− x2 − y2
(c) f(x,y) = 2x2 + y2
(d) f(x,y) = xy
(e) f(x,y) =
√
x+ y
(f) f(x,y) = y− ex
(g) f(x,y) = y− ln x
(h) f(x,y) = y− x2
3. Calcule os limites indicados abaixo:
(a) lim
(x,y)→(1,−2)
(5x2 + 3xy)
(b) lim
(x,y)→(1,2)
x2y2 − 4
xy− 2
(c) lim
(x,y)→(pi4 ,pi)
(sin 2x+ sin 2y)
(d) lim
(x,y)→(1,1)
x3y− x2y2
x− y
(e) lim
(x,y)→(0,0)
(ecos(3x+y) + sec 5xy)
(f) lim
(x,y)→(0,0)
x2y sen x− x3y2
sen x− xy
(g) lim
(x,y)→(0,0)
5
ln(x+ 3y+ e)
(h) lim
(x,y)→(0,0)
cos x+ cosy
e−x + 3ey
(i) lim
(x,y)→(2,1)
x2y6 − 4y2
xy3 − 2y
(j) lim
(x,y,z)→(−1,2,0)
xyz− x+ y− z
x2 + y2 + z2 − 4
4. Verifique se cada uma das func¸o˜es do exercı´cio anterior sa˜o contı´nuas no ponto para
onde tende (x,y) em cada item.
5. Nos itens abaixo, calcule as derivadas parciais em relac¸a˜o a x e y.
(a) z = 2x+ 3y
(b) z = 5x2y
(c) z = 2y
2
3x+1
(d) z = y cos x
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(e) z = x tan(2y) + y tan(3x)
(f) z = x2 siny
(g) z = sin xy
(h) z = xyexy
(i) z = ex siny
(j) z = ey ln x2
6. Nos itens abaixo, calcule as derivadas parciais em relac¸a˜o a x,y e z.
(a) w = x2y5z7 (b) w = x ln y
z
(c) w = ex
2+y3+z4
7. Mostre que as func¸o˜es z = f(x,y) seguintes satisfazem a equac¸a˜o
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0
(a) z = x
y (b) z = ln
2y2
x2
(c) z = x
x+y
8. Mostre que as func¸o˜es seguintes satisfazem a equac¸a˜o de onda
a2
∂2f
∂x2
=
∂2f
∂t2
(a) f(x, t) = (x− at)5
(b) f(x, t) = sin(x+ at)
(c) f(x, t) = ex−at
9. Nos itens abaixo, calcule dw
dt
pela regra da cadeia:
(a) w = ex
2+y2 , x = cos t, y = sin t
(b) w = 3xy
x2−y2
, x = t2, y = 3t
(c) w = ln(x4 + 2x2y+ 3y2), x = t, y = 2t2
10. Nos itens abaixo, calcule ∂w
∂t
e ∂w
∂u
pela regra da cadeia:
(a) w = x2 + y2, x = t2 − u2,y = 2tu.
(b) w = x
x2+y2
, x = t cosu, y = t sinu.
11. Sendo w = f(x2 − y2,y2 − x2), mostre que
y
∂w
∂x
+ x
∂w
∂y
= 0
12. Nos itens abaixo, determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superfı´cie dada no ponto
indicado:
(a) z = (x2 + y2)2, (1, 2, 25).
(b) z = 4xy, (4, 14 , 4).
(c) z = x2 + xy+ y2 − 10y+ 5, (3, 2, 4).
(d) z = 2x+y
x−2y , (3, 1, 7).
(e) z = ey cos x, (0, 0, 1).
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13. Calcule o gradiente∇f no ponto P nos seguintes casos:
(a) f(x,y, z) = xy+ xz+ yz, P = (−1, 3, 5).
(b) f(x,y, z) = ln(x2 + y2 + z2), P = (1, 2,−2).
(c) f(x,y, z) = exy cos z, P = (0, 2, 0).
14. Calcule a derivada direcional de f em P na direc¸a˜o do vetor v dado:
(a) f(x,y, z) = xy2 + x2z+ yz, P = (1, 1, 2), v =~ı+ 2~− ~k;
(b) f(x,y, z) = ln(x2 + y2 + z2), P = (0, 0, 1), v = 2~ı+ 2~− ~k;
(c) f(x,y, z) = xyez + yzex, P = (1, 0, 0), v =~ı+ 2~+ ~k.
15. Calcule o valor ma´ximo da derivada direcional de f em P e a direc¸a˜o em que ocorre:
(a) f(x,y, x) = sin xy+ cosyz, P = (−3, 0, 7);
(b) f(x,y, z) = 2xyz+ y2 + z2, P = (2, 1, 1);
(c) f(x,y, z) = exyz, P = (2, 1, 1).
16. Suponha que a temperatura T num ponto P = (x,y, z) e´ dada por T = 2x2−y2+4z2.
Determine a taxa de variac¸a˜o de T no ponto (1,−2, 1) na direc¸a˜o do vetor 4~ı−~+2~k.
Em que direc¸a˜o T cresce mais rapidamente nesse ponto? Qual a taxa ma´xima de
crescimento?
17. Comec¸ando na origem, em que direc¸a˜o seguir para obter a taxa mais ra´pida de
decrescimento da func¸a˜o
f(x,y, z) = (2− x− y)3 + (3x+ 2y− z+ 1)2 ?
18. Nas proximidades de uma bo´ia, a profundidade de um lago em um ponto com
coordenadas (x,y) e´ z = 200 + 0, 02x2 − 0, 001y3, onde x, y e z sa˜o medidos em
metros. Um pescador que esta´ em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em
direc¸a˜o a` bo´ia, que esta´ localizada no ponto (0, 0). A a´gua sob o barco esta´ ficando
mais profunda ou mais rasa quando ele comec¸a a se mover? Explique.
19. Suponha que em uma certa regia˜o do espac¸oo potencial ele´trico V seja dado por
V(x,y, z) = 5x2 − 3xy+ xyz.
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o do potencial em P(3, 4, 5) na direc¸a˜o do vetor
~v =~i+~j− ~k.
(b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente em P?
(c) Qual a taxa ma´xima de variac¸a˜o em P?
20. Determine os pontos crı´ticos das func¸o˜es abaixo e classifique-os usando o teste da
segunda derivada:
(a) z = 5x2 − 3xy+ y2 − 15x− y+ 2.
(b) z = 2x2 + xy+ 3y2 + 10x− 9y+ 11.
(c) z = x5 + y4 − 5x− 32y− 3.
(d) z = x2 + y3 − 6xy.
(e) z = x2y+ 3xy− 3x2 − 4x+ 2y.
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21. Se a soma de treˆs nu´meros x,y e z e´ 12, quais devem ser esses nu´meros para o
produto de x,y2 e z3 ser o ma´ximo possı´vel?
22. Suponha que as equac¸o˜es f(x) = 0 e f ′(x) = 0 na˜o teˆm raı´zes comuns. Mostre que
todos os pontos crı´ticos de z = yf(x) + g(x) devem ser pontos de sela.
23. Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume V dado tera´ menor a´rea de
superfı´cie se for cu´bica.
24. Mostre que uma caixa retangular com tampa e a´rea de superfı´cie A dada tera´
ma´ximo volume se for um cubo.
25. Uma caixa de papela˜o sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine
as dimenso˜es que minimizem a quantidade de papela˜o utilizado.
26. Treˆs alelos (verso˜es alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos
de sangue: A (AA ou AO), B(BB ou BO), O(OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg
estabelece que a proporc¸a˜o de indivı´duos em uma populac¸a˜o que carregam dois
alelos diferentes e´
P = 2pq+ 2pr+ 2rq
onde p, q e r sa˜o proporco˜esdeA, B eO na populac¸a˜o. Use o fato de que p+q+r = 1
para mostrar que P e´ no ma´ximo 32 .
27. De uma folha de flandres com 12 centı´metros de largura deseja-se obter uma calha
dobrando-se as bordas da folha de iguais quantidades de modo que as abas fac¸am
o mesmo aˆngulo com a horizontal. Qual a largura das abas e qual o aˆngulo que
devem fazer a fim de ter uma capacidade ma´xima?
28. Uma caixa retangular tem um volume de 20 metros cu´bicos. O material utilizado
nos lados custa R$1, 00 pormetro quadrado, omaterial usado no fundo custa R$2, 00
por metro quadrado e o usado na parte superior custa R$3, 00 por metro quadrado.
Quais as dimenso˜es da caixa mais barata?
29. Um fabricante produz dois tipos de ligas meta´licas nas quantidades de x e y
toneladas, respectivamente. Se o custo total da produc¸a˜o e´ expresso pela func¸a˜o
C(x,y) = x2 + 100x + y2 − xy e a renda total e´ dada pela func¸a˜o R(x,y) =
100x− x2 + 2000y+ xy, encontre o nı´vel de produc¸a˜o que maximiza o lucro.
30. O custo de inspec¸a˜o de uma linha de operac¸a˜o depende do nu´mero de inspec¸o˜es
x e y de cada lado da linha, e e´ dado de acordo com a func¸a˜o C(x,y) = x2 + y2 +
xy− 20x− 25y+ 1500. Quantas inspec¸o˜es devem ser feitas de cada lado de modo a
minimizar os custos?
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