INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA - AULA 01

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INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
O uso da pesquisa é bastante comum nas várias atividades humanas.
Exemplos
As indústrias costumam realizar pesquisas entre os consumidores antes do lançamento de um novo produto no mercado.
As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha.
Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram preferências dos espectadores para organizar sua programação.
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ESTATÍSTICA
É uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
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TERMOS DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
População: é a totalidade de pessoas, animais, plantas ou objetos, da qual se podem recolher dados. É um grupo de interesse que se deseja descrever ou acerca do qual se deseja tirar conclusões.
Amostra: é um subconjunto finito de uma população ou universo. A amostra deve ser obtida de uma população específica e homogênea por um processo aleatório. A aleatorização é condição necessária para que a amostra seja representativa da população.
Indivíduo ou objeto: cada elemento que compõe a amostra é o indivíduo ou objeto.
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Variável
É uma característica qualquer de interesse que associamos à população ou à amostra para ser estudada estatisticamente. A variável pode ser qualitativa ou quantitativa.
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VARIÁVEL QUALITATIVA
Em uma pesquisa que envolve pessoas, as variáveis consideradas podem ser sexo, cor de cabelo, esporte favorito ou grau de instrução, etc. Nesse caso dizemos que as variáveis são qualitativas, pois apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou atributo) dos indivíduos pesquisados.
As variáveis qualitativas podem ser ordinais, quando existem uma ordem nos seus valores, ou nominais, quando isso não ocorre.
“Grau de instrução” é uma variável qualitativa ordinal, já que os seus valores podem ser ordenados (fundamental, médio, superior, etc.).
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VARIÁVEL QUANTITATIVA 
Quando as variáveis de uma pesquisa são altura, peso, idade ou números de irmãos, dizemos que elas são quantitativas, pois seus valores são números.
As variáveis podem ser discreta, quando se trata de contagem (números inteiros), ou contínuas, quando se trata de medidas (números reais).
Exemplos:
“Números de irmãos” é uma variável quantitativa discreta, pois podemos contar (0, 1, 2, etc.).
“Altura” é uma variável quantitativa contínua, um vez que pode ser medida (1,55m, 1,80m, 1,73m, etc.).
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QUADRO RESUMO DOS TIPOS DE VARIÁVEIS
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FREQUÊNCIA ABSOLUTA E FREQUÊNCIA RELATIVA
O número de vezes que o valor da variável é citado representa a freqüência simples ou freqüência absoluta ( f ).
A freqüência relativa (fr) registra a freqüência em relação ao total de citações. 
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Sem intervalo de classe.
Exemplo: 1) As notas de Matemática obtidas por 25 alunos do 3º ano do colégio de aplicação foram as seguintes: (tabela primitiva).
75 – 60 – 55 – 40 – 55 
80 – 95 – 50 – 60 – 75
40 – 55 – 85 – 90 – 70
60 – 90 – 85 – 70 – 55 
80 – 75 – 60 – 75 – 60 
Organize essa tabela em ordem crescente (rol).
Faça a distribuição de freqüência.
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Com intervalo de classe.
Exemplo: 2) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1 2 3 4 5 6 6 7 7 8
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9
 Complete a distribuição de frequência.
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ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Classe: classes de frequência ou, simplesmente, classe são intervalos de variação da variável.
 As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, 4,..., k (onde k é o número total de classes da distribuição). 
 Assim em nosso exemplo, o intervalo 4 – 6 define a terceira classe ( i = 3). Como a distribuição é formada por cinco classes, podemos afirmar que k = 5.
Limites de classe: Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.
 O menor número é o limite inferior da classe (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li).
 Na terceira classe, por exemplo, temos: l3 = 4 e L3 = 6.
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Amplitude de um intervalo de classe: É a medida do intervalo que define a classe.
 Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por hi.Assim hi = Li – li.
 Na distribuição do exemplo anterior, temos: h3 = L3 – l3 = 6 – 4 = 2 pontos.
Amplitude total da distribuição (AT): É a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo): AT = L(máx.) – l(mín.).
 No nosso exemplo, temos: AT = 10 – 0 = 10 pontos.
É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a relação: k = AT/hi.
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Amplitude amostral (AA): É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra: AA = x(máx.) – x(mín.).
 Em nosso exemplo, temos: AA = 90 – 10 = 80.
Ponto médio de uma classe (xi): É, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais, ou seja, é a média aritmética dos limites da classe.
 xi = li + Li/2.
 Assim, o ponto médio da terceira classe, em nosso exemplo, é: x3 = 4 + 6/2 = 10/2 = 5.
Número de classes: Para a determinação do número de classe de uma distribuição podemos lançar mão da regra de Sturges, que nos dá o número de classe em função do número de valores da variável: i =3,3.log n.
h = AT/i.
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TIPOS DE FREQUÊNCIAS
Frequências simples ou absolutas (fi) são os valores que realmente representam o número de dados de uma classe.
 A soma das frequência simples é igual ao número de total de dos dados: ∑fi = n.
Frequência relativas (fri) são os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total: 
 fri = fi/ ∑fi. Ou fri = fi/n.
Frequência acumulada (Fi) é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe:
 Fk = f1 + f2 + f3 +... + fk. ou Fk = ∑fi (i = 1, 2, ..., k).
Frequência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição: Fri = Fi/ ∑fi.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média aritmética (dados não-agrupados)
 É o quociente entre a soma dos valores observados e o número de observações.
 
 Sendo x1, x2,..., xn os valores que a variável pode assumir, e n a quantidade de valores no conjunto de dados.
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EXEMPLO
Sabe-se que, na sétima rodada do Campeonato brasileiro de Futebol de 2009, foram realizadas 10 jogos, cuja quantidade de gols por partida está representada na tabela:
 
 Calcular a média de gols dessa rodada.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média aritmética ponderada.
 O número de vezes que um valor se repete recebe o nome de peso, e a média aritmética calculada com pesos é chamada de média aritmética ponderada.
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EXEMPLO 
Com dados agrupados sem intervalo de classe
Em uma sala de aula, foi feita uma pesquisa sobre a idade dos alunos, que apresentou os seguintes resultados:
 Calcule a média das idades.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média aritmética com dados agrupados
 Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino.
 Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:
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MEDIDAS
DE TENDÊNCIA CENTRAL
Média aritmética com intervalo de classe
 Nesse caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio,e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
 onde xi é o ponto médio da classe.
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EXEMPLO
Considere a distribuição:
 Calcule a média aritmética dessa distribuição.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Mediana (Me) é outra medida de tendência central definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem.
Para dados não-agrupados
a) Quando temos um grupo de valore em número ímpar de dados, a mediana é o termo central da distribuição. Nesse caso, ele pertence ao grupo observado.
b) Quando temos um grupo de valores em número par de dados, a mediana é a média aritmética dos termos centrais. Nesse caso a mediana pode não pertencer ao grupo de valores observado.
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EXEMPLO
A tabela abaixo registra os valores pago em contas de água, no primeiro semestre do ano, por uma pousada localizada no litoral: 
 
 
 
 
 Calcule a média e a mediana .
 1) média aritmética
 
 
 2) Mediana
 Primeiro ordenamos os dados em ordem crescente: 
 30,43 – 31,50 – 34,17 – 35,45 – 150,12 – 462,33.
 Depois tomamos os valores que ficam no “meio” e calculamos a média aritmética desses dois valores.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Cálculo da mediana para dados agrupados sem intervalo de classe.
 Observe a tabela:
 
 
 Nesse caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüência. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada.
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Cálculo 
Sendo ∑fi/2 = 34/2 = 17, a maior frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável, sendo este o valor mediano. 
 Logo:
 Me = 2 meninos.
No caso de existir uma frequência acumulada (Fi), tal que Fi = ∑fi/2 , a mediana será dada por:
 Isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa frequência acumulada e o seguinte. 
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Exemplo
Considere a tabela abaixo
 Temos: 
 ∑fi/2 = 8/2 = 4
 Logo: Me=15+16/2 = 31/2 = 15,5
 donte: Me = 15,5
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Cálculo da mediana para dados agrupados com intervalo de classe.
 Nesse caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a ∑fi/2 .
 
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Na prática, executamos os seguintes passos:
Determinamos as frequências acumuladas.
Calculamos ∑fi/2 .
Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à ∑fi/2 (classe mediana) e, em seguida, empregamos a fórmula:
 l* é limite inferior da classe mediana;
 F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;
 f* é a frequência simples da classe mediana;
 h* é a amplitude do intervalo de classe mediana.
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EXEMPLO
Dada a tabela abaixo determine a média e a mediana.
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Observação
No caso de existir uma frequência acumulada exatamente igual a ∑fi/2, a mediana será o limite superior da classe correspondente.
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Exemplo
Tomemos a distribuição da tabela abaixo:
 
 
Temos: ∑fi/2=26/2=13
 Logo: Me= L*= 30.
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Moda (Mo)
 É (são) o(s) valor(es) que parece(m) com maior frequência no conjunto de valores observados.
 Vamos indicar a moda por Mo.
 
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EXEMPLOS
O conjunto de valores 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3 e 4 tem moda 1, pois é o valor que aparece com maior frequência. 
A tabela mostra o resultado de uma pesquisa sobre tipo sanguíneo:
 
 Observando a tabela e o gráfico, percebemos que a maior frequência é 717, que representa as pessoas com sangue tipo O. Logo a moda dessa amostra é o número de indivíduos de sangue tipo O.
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OBSERVAÇÕES
Quando todos os valores apresentam a mesma frequência, não há moda na distribuição considerada.
 Exemplo: 3, 5, 10, 12, 13 ou 2, 2, 3, 3, 6, 6, 11, 11.
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais.
 Exemplo: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9.
 Temos duas modas: 4 e 7 (bimodal).
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Cálculo da moda com dados agrupados sem intervalo de classe.
 Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequência.
Exemplo: Na distribuição da tabela, a frequência máxima (12) corresponde o valor 3 da variável.
 Logo: Mo = 3
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Cálculo da moda com dados agrupados com intervalo de classe.
 A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites dessa classe modal.
 O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.
 Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
 Temos, então:
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FÓRMULA DE CZUBER 
Há, para o cálculo da moda, outros métodos mais elaborados, como, por exemplo, o que faz uso da fórmula de Czuber:
 
 
 na qual:
 l* é o limite inferior da classe modal;
 h* é a amplitude da classe modal;
 D1= f*- f(ant);
 D2= f* - f(pos);
 sendo:
 f* a frequência simples da calsse modal;
 f(ant) a frequência simples da classe anterior à classe modal;
 f(post) a frequência simples da classe posterior à classe modal.
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Medidas de dispersão ou de variabilidade
Exemplo
 No quadro está indicado o número de pontos feitos por um time feminino de basquete na fase final de um campeonato.
 
 Calculando a média aritmética desses pontos temos:
 
 
 Agora, vamos verificar o quanto cada pontuação está afastada da média aritmética. Para isso, calculamos a diferença entre a pontuação e a média.
 
 Calculando a média dos valores absolutos dos desvios, temos:
 
 Este resultado é chamada desvio médio absoluto ou simplesmente desvio médio.
 
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Medidas de dispersão ou de variabilidade
Desvio médio (Dm)
 É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios para a média.
 
 
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Medidas de dispersão ou de variabilidade
Desvio médio com intervalo de classe
 Para determinar o desvio médio para dados agrupados, adicionamos os produtos dos módulos de todos os desvio por suas respectivas frequências e dividimos o resultado pela soma das frequências, isto é:
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Medidas de dispersão ou de variabilidade
Variância.
 É a média aritmética dos quadrados dos desvios para a média.
Variância para dados não agrupados
 
Variância para dados agrupados com intervalo de classe.
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Medidas de dispersão ou de variabilidade
Desvio padrão (σ)
 É a raiz quadrada da variância.
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Exemplo
A tabela a seguir, mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho. 
 Determine o desvio médio, a variância e o desvio padrão desses salários.
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FIM