Bombeamento de EKMAN

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1
4. Modelos de Circulação
Considere condições de oceano profundo (longe de continentes), e valores 
típicos de escalas espaciais L, velocidade horizontal U, profundidade H, 
parâmetro de Coriolis f para latitudes médias, gravidade g e densidade ρ como:
L ~ 106 m f ~ 10-4 s-1 U ~ 10-1 m s-1 H ~ 103 m ρ ~ 103 kg m-3
Fazendo uma análise de grandeza dos termos da equação de conservação de 
momentum, onde a difusão é desprezada, 
Dois termos são ordens de grandeza maiores que os outros: 
a Força de Coriolis e a Força do Gradiente de Pressão.
4.1 Fluxo Geostrófico
2
Na direção vertical, o seguinte balanço é verificado
φ
ρ
cos21 ug
z
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w Ω+−
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
10-11 10-11 10-11 10-14 10 10 10-5
z
p
ρ
g
∂
∂
−=
1Portanto, , que é a Relação Hidrostática. 
O balanço geostrófico é formado pelas equações
y
pfu
x
pfv
∂
∂
−=
∂
∂
=
ρρ
1
;
1
z
p
ρ
g
∂
∂
−=
1
Ele é valido em grande parte dos oceanos, longe dos continentes (mais de 
100 km) e da superfíce, longe da camada onde os ventos atmosféricos são 
diretamente percebidos (abaixo de 100 m).
3
Como f < 0 no Hemisfério Sul (HS) e f > 0 no Hemisfério Norte (HN), 
os fluxos geostróficos têm sentidos contrários nos dois hemisférios. 
p1 < p2 < p3 < p4 < p5< p6
FCoriolisFPressão
V
p1 < p2 < p3 < p4 < p5< p6
FCoriolisFPressão
V
Fig. 8. O balanço geostrófico no HN e no HS.
O fluxo geostrófico se dá ao longo de isóbaras (linhas de mesma pressão) e 
não perpendicular a elas como verificado num sistema sem rotação. O fluxo é 
tal que a pressão maior fica do lado direito do escoamento no Hemisfério 
Norte e a pressão menor do lado esquerdo do escoamento no Hemisfério Sul.
4
A pressão em um determinada profundidade é determinada pelo peso de água 
acima, de acordo com a relação hidrostática. Portanto, altas e baixas pressões 
são equivalentes a altos e baixos níveis do mar e muito pode-se inferir sobre o 
fluxo geostrófico, tendo em vista que ele é dominado pelo gradiente 
horizontal de pressão. Portanto, o fluxo geostrófico é relacionado ao formato 
da superfície dos oceanos.
Fig. 9. Correntes equatoriais zonais apresentadas em equilíbrio geostrófico
com a distribuição de pressão associada a altura da superfíce do mar.
5
Sem a presença de atrito, no caso de isóbaras circulares ao redor de centros de 
baixa e alta pressão, o fluxo geostrófico descreve trajetórias circulares ciclônica e 
anti-ciclônica, respectivamente (Fig. 10).
No Hemisfério Norte, o fluxo é em sentido anti-horário ao redor da baixa pressão 
(L) e em sentido horário ao redor da alta pressão (H);
No Hemisfério Sul, o fluxo é em sentido horário ao redor da baixa pressão (L) e em 
sentido anti-horário ao redor da alta pressão (H).
ciclônico
anti-ciclônico
Hemisfério 
Norte
Hemisfério 
Sul
Fig. 10. Fluxo Geostrófico ao redor de baixa pressão (ciclônico) e alta 
pressão (anti-ciclônico).
6
Na superfície, assumindo densidade constante, a pressão é dada 
simplesmente por p = ρ g (r + ζ).
Logo,
Fig. 11. Média anual da altura da superfície do mar. O fluxo geostrófico é 
paralelo às linhas de contorno. 
7
Usando as equações do balanço geostrófico, pode-se calcular o fluxo geostrófico
em profundidade
onde ζ é a altura da superfície do mar em relação ao nível médio do mar e no 
segundo termo do lado direito das equações foi usada a hipótese de densidade 
constante próximo a superfície.
Se a densidade for homogênea em todo o oceano ou ao longo de superfícies 
isobáricas, isto é, paralela às isóbaras e a gravidade constante, então o primeiro 
termo do lado direito das equações é zero e o fluxo geostrófico é regido pela 
altura da superfície do mar. Esta é a condição de escoamento BAROTRÓPICO, 
onde a velocidade em toda a coluna do oceano é igual.
Em caso contrário, o escoamento é BAROCLÍNICO, onde há um cisalhamento 
da velocidade ao longo da coluna do oceano.
8
Abaixo está uma representação de um campo baroclínico, onde as superfícies 
isobáricas cruzam as superfícies isopicnais de densidade constante. Note a 
diferente inclinação das isóbaras em relação à isopicnais. Isto se deve ao fato 
da pressão em camadas muito profundas do oceano (em A e B) ser a mesma e 
a relação hidrostática ser válida.
superfície 
isobárica
superfície 
isopicnal
d
e
n
sid
ad
e
Campo baroclínico
Fig. 12. Estrutura de isóbaras e isopicnais em um campo baroclínico.
9
5. Teoria de Ekman
p1 < p2 < p3 < p4 < p5< p6
FCoriolisFPressão
V
Considere, além do balanço geostrófico (Força de Coriolis e Força do 
Gradiente de Pressão) a presença de forças viscosas provenientes do atrito. 
O atrito atua no sentido de retardar o movimento, e com isso, a Força de 
Coriolis (que é proporcional à velocidade) também diminui. Há então um novo 
balanço Força do Gradiente de Pressão + Força de Coriolis + Atrito = 0.
Balanço Geostrófico
p1 < p2 < p3 < p4 < p5< p6
FCoriolisFPressão
V
Atrito
FCoriolis+Atrito
O Balanço Geostrófico é quebrado
na presença do atrito.
Fig. 14. O Balanço geostrófico e o novo equilíbrio na presença do atrito.
10
Tomando o sistema de forças anterior onde o atrito é dado pelo fluxo 
turbulento somente na direção vertical, temos o balanço
O balanço na direção vertical é o hidrostático, e a velocidade vertical é calculada 
como um resíduo da equação da continuidade.
Sem perda de generalidade para a discussão apresentada abaixo, Ekman analisou 
um caso particular no qual a velocidade geostrófica é zero, isto é, o gradiente 
horizontal de pressão é zero. Com isso, o sistema se reduz a
As expressões acima podem ser reescritas, interpretando a velocidade (u, v) 
como tendo dois componentes, sendo um a velocidade geostrófica (ug , vg) e 
o outro a velocidade associada ao atrito (uE , vE ). Assim, o balanço é
2
21
z
vAuf
y
p
z ∂
∂
+−=
∂
∂
ρ2
21
z
uAvf
x
p
z ∂
∂
+=
∂
∂
ρ
2
2
2
2 )()(;)()(
z
vv
Afuuuffu
z
uu
Afvvvffv EgzgEgEgzgEg ∂
+∂
+=+=
∂
+∂
−=+=
0;0 2
2
2
2
=
∂
∂
+−=
∂
∂
+
z
vAuf
z
uAvf EzEEzE
11
As equações do sistema anterior representam um balanço entre a Força de 
Coriolis e o Atrito. Elas são chamadas as equações de Ekman. 
Considerando um caso onde o vento na superfície flui exatamente na 
direção y, e a velocidade tendendo a zero com a profundidade, a solução do 
sistema é 
onde o subscripto E foi omitido para simplificação, e 
é a tensão do vento na direção y,
ρw é a densidade da água, ρair é a densidade do ar, CD é o coeficiente de 
arrasto, e U10 é a velocidade do vento em 10 m de altura.
A solução acima é a Espiral de Ekman e está representada esquematicamente 
na Fig. 15. 
12
Para a superfície, z = 0, a solução é,
Portanto, apesar do vento e da tensão do vento estar na direção y, a velocidade 
da camada superficial do oceano flui à 45o à direita do vento no Hemisfério 
Norte (HN). No Hemisfério Sul, flui 45o à esquerda. Ainda, a intensidade da 
corrente diminui exponencialmente com a profundidade.
Fig. 15. A Espiral de Ekman com vento a 10 m/s à 35oN, que gira em sentido 
horário (anti-horário) com a profundidade no HN (HS).
Por definição, a profundidade da 
camada de Ekman DE é atingida 
quando a velocidade fica oposta à 
velocidade Vo da superfície
13
A camada de Ekman também se desenvolve na camada do fundo do oceano e 
na camada limite da atmosfera, mas com características diferentes, visto que 
em z = 0, a velocidade é zero.
Fig. 16. Espiral de Ekman na atmosfera (similar à Espiral no fundo do oceano) 
ondea velocidade fora da camada limite é zonal, e a velocidade próxima à 
superfície está à 45o à esquerda da velocidade fora da camada limite. A linha 
sólida apresenta a velocidade em diversas alturas em metros até 1000 m. A linha 
tracejada apresenta a intensidade do vento com a altura.
14
As soluções de Ekman são muito elegantes e seus aspectos são 
observados, tanto que uma das motivações foi a observação do 
movimento de icebergs serem a 45o da direção do vento e não na direção 
do vento como inicialmente poderíamos esperar.
Entretanto, a teoria tem suas hipóteses: 
1. Não foi considerada a presença de contornos;
2. Foi assumida uma profundidade suficientemente grande para a Espiral se 
desenvolver (no mínimo 200 m);
3. Considerou o parâmetro de Coriolis constante, mas esta hipótese não 
ruim dependendo da escala na qual esta sendo analisado o movimento;
4. Regime permanente, isto é, não há aceleração;
5. O coeficiente de difusão turbulenta Az foi considerado constante e 
dependente somente do vento em 10 m;
6. A densidade foi considerada constante, mas essa hipótese também não é 
ruim.
15
O transporte de massa na camada de Ekman até a profundidade d é dado por
cuja unidade é kg m-1 s-1 e corresponde à massa de água passando por uma 
superfície com 1 m de largura e comprimento d por segundo. 
Fig. 17. O fluxo de massa através de uma superfície vertical.
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Tomando as equações de Ekman
0;0 2
2
2
2
=
∂
∂
+−=
∂
∂
+
z
vAuf
z
uAvf EzEEzE
2
2
2
2 1
;
1
z
vA
z
T
z
uA
z
T
z
yz
z
xz
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρρ
e usando a relação 
2
2
2
2 1
;
1
z
vA
z
T
z
uA
z
T E
z
yzE
z
xz
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ρρ
ou, para o caso específico da difusão de momentum associada a velocidade de 
Ekman
pode-se integrar as equações de Ekman em z para calcular o fluxo de massa. 
Então,
Como a velocidade de Ekman é zero em –d, a tensão devido ao atrito em –d é 
também zero. 
17
Portanto,
Este resultado mostra que o Transporte de Ekman é ortogonal à tensão do 
vento. No HN, ele é à direita da tensão de vento, e no HS ele é à esquerda.
Isto implica que ressurgência pode acontecer na região costeira. A 
ressurgência é fundamental para os processos biológicos, pois o movimento 
ascendente da água traz nutrientes para regiões próximas à superfície e a 
produtividade biológica é aumentada. Ainda, a atmosfera é alterada na 
presença de águas mais frias, propiciando a formação de nevoeiros e 
inibindo a convecção e a precipitação.
Fig. 18. A ressurgência costeira devido ao transporte de Ekman. 
18
Outro processo de muita importância associado ao tranporte de Ekman é o 
chamado Bombeamento de Ekman (Ekman Pumping). Este processo impõe 
um fluxo vertical de massa que leva águas mais frias de regiões abaixo da 
camada de Ekman na direção da superfície ou águas superficiais mais quentes 
para a subsuperfície.
Pode-se calcular a velocidade vertical na base da camada de Ekman através da 
conservação de massa e do transporte de Ekman. 
Integrando a equação da continuidade na direção vertical em toda a camada de 
Ekman obtemos uma relação entre o divergente do transporte de massa de 
Ekman e a velocidade vertical na base da camada de Ekman
E
EyEx wdw
y
M
x
M ρρ =−=
∂
∂
+
∂
∂ )(Mas a velocidade na superfície é nula 
19
Este resultado mostra que se há divergência de massa na camada de Ekman, 
então haverá um ENTRANHAMENTO (upwelling) de massa oriunda da 
camada abaixo da camada de Ekman. Se há convergência de massa na camada 
de Ekman, há um DETRANHAMENTO (downwelling) de massa para a 
camada abaixo da camada de Ekman. Portanto, dependendo do vento
A velocidade vertical na base da camada de Ekman pode também ser escrita em 
função da tensão do vento (Txz, Tyz) como
No Hemisfério Norte
Tensão do vento gira em sentido anti-horário (rotacional positivo) => Entranhamento
Tensão do vento gira em sentido horário (rotacional positivo) => Detranhamento
Rotacional da Tensão 
do Vento em z
No Hemisfério Sul
Tensão do vento gira em sentido anti-horário => Dentranhamento
Tensão do vento gira em sentido horário => Entranhamento
),(11 xzyzzxzyzxzyzE TTfy
T
x
T
ff
T
yf
T
x
w ×∇=





∂
∂
−
∂
∂
≈





∂
∂
−





∂
∂
=ρ
20
wE < 0
ME vento corrente superficial
Vento Ciclônico
(anti-horário no HN)
Vento Anti-ciclônico
(horário no HN)
wE > 0
Fig. 19. O Bombeamento de Ekman em relação à tensão do vento.
21
Fig. 20. Distribuição média da pressão ao nível do mar (hPa) em cores e dos 
ventos de superfície (m/s) em vetores para dezembro.
22
Fig. 21. Temperatura da superfície do mar e algumas regiões onde há forte 
ressurgência. Nestas regiões, as temperaturas são menores em relação a 
média zonal na mesma latitude. 
23
24
O cisalhamento da tensão do vento possui variabilidade espacial e com isso 
regiões com diferentes transportes de Ekman são criadas no oceano.
Tomando um padrão de ventos climatológico na direção meridional, há regiões 
com ventos de oeste nas latitudes médias, ventos de leste na região tropical e 
equatorial que criam regiões com divergência e convergência de massa na 
superfície. 
As regiões de divergência têm uma altura do nível do mar menor que as regiões 
de convergência e há correntes geostróficas devido ao gradiente de pressão. 
Para conservar massa, as regiões com divergência na superfície são abastecidas 
com um fluxo vertical de massa para a superfície de regiões abaixo da camada 
de Ekman, e regiões com convergência na superfície impõem fluxos de massa 
da camada de Ekman para baixo. Este comportamento está apresentado na Fig. 
22.
25
26
6. Modelo de Sverdrup
• Considera a Força do Gradiente de Pressão, a Força de Coriolis e a Força de 
Atrito do vento como no modelo inicial de Ekman, mas em uma camada mais 
espessa que a camada de Ekman, onde a força de atrito do vento não é mais 
importante;
• Entretanto, os movimentos na camada abaixo da camada de Ekman são 
induzidos por convergências e divergências na camada de Ekman;
• Expressa o balanço de forças predominante nos oceanos;
z
T
uf
y
p yz
∂
∂
+−=
∂
∂
ρρ
11
z
T
vf
x
p xz
∂
∂
+=
∂
∂
ρρ
11
Integrando essas equações em z, em uma camada maior que a camada de 
Ekman, e sabendo que Txz = Tyz = 0 em z = - h e Txz = Tx e Tyz = Ty em z = 0
xyxz
hh
TfMTdxvfdz
x
p
+=+=
∂
∂
∫∫
−−
00
ρ yxyz
hh
TfMTdxufdz
y
p
+−=+−=
∂
∂
∫∫
−−
00
ρ
onde Mx = MxE + Mxg e My = MyE + Myg
isto é, Escoamento na camada = Ekman + Geostrófico
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Diferenciando a primeira equação em relação a y e a segunda em relação; 
diminuindo a primeira da segunda; e usando o balanço de massa (assumindo 
que a velocidade vertical no fundo da camada e na superfície é zero)
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
M
x
M yx
obtemos a Equação de Sverdrup
),( yxzxyy TTy
T
x
T
M ×∇=
∂
∂
−
∂
∂
=β onde y
f
∂
∂
=β
),( yxz TT×∇
yMβ
Fig. 23. Dependendo da direção do componente vertical do rotacional da 
tensão do vento, há um escoamento de massa para o sul ou para o norte. 
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Uma estimativa do fluxo total de massa no Atlântico Norte subtropical (35oN) 
para a região equatorial devido ao transporte de Sverdrup é de 25 x 106 m3/s
(25 Sverdrups = 25 SV), sendo que cerca de 20 % é realizado segundo 
transporte de Ekman na camada superficial diretamente devido à tensão do 
vento e 80 % é devido ao fluxo geostrófico devido ao gradiente de pressão.
O modelo de Sverdrup fornece que
e isto explicaa existência do sistema de correntes zonais equatorial e tropical 
(Fig. 24) . Este resultado foi obtido considerando um contorno no lado leste 
das bacias, e.g., o Oceano Pacífico equatorial tendo a América do Sul e 
América no lado leste da bacia.
2
2
y
T
M xx ∂
∂
−∝
Fig. 24. Sistema de correntes 
zonal equatorial e tropical 
29
Stommel considerou o balanço de momentum como Sverdrup e mais uma força 
de atrito lateral. Ele considerou três situações em regime estacionário:
1. O oceano sem rotação;
2. O oceano com rotação mas com f constante;
3. O oceano com rotação e com f variando linearmente com a latitude.
Seus resultados estão apresentados na Fig. 25, onde fica clara a importância da
variação de f com a latitude para a intensificação do fluxo no lado oeste.
7. Modelo de Stommel
O fluxo de massa que vai para o sul tem que retornar para o norte. Isto em 
parte é feito através das intensas correntes de contorno do lado oeste das 
bacias, por exemplo, Corrente do Golfo, Corrente de Kuroshio. Isto nos 
leva ao Modelo de Stommel.
30
Fig. 25. Do lado esquerdo, resultados de Stommel para os experimentos 1 
(sem f) e 2 (com f constante). Do lado direito, os resultados para o 
experimento 3 (com f variando).
A interpretação física para o surgimento das intensas correntes no lado oeste 
está associada à conservação de momentum angular, isto é, da vorticidade
potencial = vorticidade absoluta η (dada pela soma da vorticidade planetária f e 
da vorticidade relativa ζ tomada em relação à superfície da Terra) dividida pela 
altura do vortex). Ainda, f >> ζ fora dos trópicos.
f+= ςη
y
u
x
v
∂
∂
−
∂
∂
=ς
Para conservação da vorticidade potencial em toda a bacia, a vorticidade relativa 
negativa fornecida pela tensão do vento tem que ser compensada por uma fonte 
de vorticidade relativa positiva. Esta advém do atrito da Instensificação da 
Corrente de Contorno Oeste. 
31
Do lado direito da bacia, o escoamento é de norte para sul. A vorticidade
relativa negativa dada pela tensão do vento é balanceada principalmente pela 
redução da vorticidade planetária devido à mudança de latitude e há um 
balanço
ηsul-leste = η norte-leste - | vorticidade T| ;
Do lado esquerdo da bacia, o escoamento é de sul para norte. A vorticidade
relativa negativa dada pela tensão do vento não é balanceada pelo aumento 
vorticidade planetária devido à mudança de latitude. Mais um termo devido ao 
atrito com vorticidade relativa positiva tem que ser adicionado para ocorrer o 
balanço
η norte-oeste = ηsul-oeste - | vorticidade T| + vorticidade Atrito;