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Problemas e Exercícios - ZAB 0161
2 de junho de 2014
Data: Até 16 de junho de 2014.
Horário: Até 10:00 horas.
Local: Sala do Prof. Jorge Diaz Calle.
.
Justifique as respostas.
1. Seja T : R2 −→ R3, definido por T (x, y) = (x+2y, −x, 0). Encontre a matriz da transformação T em relação
às bases β = {(1, 3); (−2, 4)} e β′ = {(1, 1, 1); (2, 2, 0); (3, 0, 0}.
2. Seja T : R3 −→ R3, definido por T (x, y, z) = (x+2y+z, 2x−y, 2y+z). Encontre a matriz da transformação
T em relação à base canônica β e a outra baseβ′ = {(1, 0, 1); (0, 1, 1); (0, 0, 1)}.
3. Obtenha os pontos de interseção das parábolas y = x2 + 1 e y = −x2 + 3, se existem. Faça um desenho de
cada parábola informando os vértices.
4. Identifique a quádrica:
2x2 + 3y2 + 72xz + 23z2 + 150 = 0.
dando a equação em um sistema x′, y′ e z′, sem termos mixtos, e faça um desenho simples nestas coordenadas.
5. Identifique a quádrica:
4x2 + 4y2 + 4z2 + 4(xz + xy + yz)− 18 = 0.
dando a equação em um sistema x′, y′ e z′, sem termos mixtos, e faça um desenho simples nestas coordenadas.
6. Seja a matriz A =
 0 0 −21 2 1
1 0 3

. Encontre os autovalores e os autoespaços (espaço vetorial de cada autove-
tor) correspondentes da matriz A.
7. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão. Se este tiver 40 metros e o semi-eixo menor 10 metros,
calcular a altura do arco a 10 metros do centro da base.
8. Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua distância ao
ponto F = (6, 0) é sempre igual à duas vezes sua distância a reta 2x− 3 = 0.
9. Considere a cônica cuja equação é dada por
5x2 − 4xy + 8y2 + 4
√
5x− 16
√
5y + 4 = 0.
Informe o tipo de cônica, dê uma equação canônica que a identifique e faça um esboço da mesma utilizando
os seus elementos.
10. Considere a cônica cuja equação é dada por
7x2 − 4xy + 10y2 + 7z2 + 2xz − 4yz − 6 = 0.
Informe o tipo de cônica, dê uma equação canônica que a identifique e faça um esboço da mesma utilizando
os seus elementos.
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