MarceloCCoelho Projeto da Locomotiva

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Universidade Federal do Maranhão – UFMA 
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia – CCET 
Departamento de Engenharia Elétrica – DEE 
Curso de Engenharia Elétrica 
Controle I 
 
 
 
 
 
Marcelo Campos Coelho 
2015060401 
 
 
 
 
CONTROLE DE UMA LOCOMOTIVA DIESEL VIA ATUADOR DO TIPO MOTOR DE 
CORRENTE CONTINUA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís 
2018 
 
 
 
Marcelo Campos Coelho 
2015060401 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE DE UMA LOCOMOTIVA DIESEL VIA ATUADOR DO TIPO MOTOR DE 
CORRENTE CONTINUA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís 
2018 
Projeto da disciplina de Controle I do período 
letivo de 2018.2. Este, visa a obtenção da nota 
referente a terceira avaliação. 
Prof.º Dr. João Viana da Fonseca Neto. 
 
 
Resumo 
Sistemas de controle para motores DC são necessários em diversos setores da 
industrias e outras áreas. Neste trabalho, propõe se um sistema de controle para a velocidade 
rotacional do eixo do motor, através da corrente da armadura. O sistema tem como requisitos 
atingir um overshoot menor que 10%, tempo de subida menor que 1s e erro estacionário nulo 
de resposta para uma entrada ao degrau. O Controle é feito por um acelerador que serve de 
potenciômetro para a tensão de referência que é comparada com a tensão de saída do tacômetro 
e após isso ser amplificada com um ganho K e injetada no sistema de controle. É utilizado um 
controlador proporcional integral e derivativo (PID), sintonizado através de métodos 
experimentais e analíticos, como Ziegler-Nichols, para sintonia dos coeficientes. Em seguida 
um ajuste fino é feito a partir dos coeficientes gerados pelos métodos e estudos do 
comportamento da planta por suas respostas temporais e análises de pólos e zeros. 
 
Palavras-chaves: Controle PID, Ziegler-Nichols, motor DC, pólos e zeros. 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
1. Introdução ............................................................................................................. 5 
2. Desenvolvimento .................................................................................................. 7 
2.1. Modelo matemático e função de transferência .............................................. 7 
2.1.1. Objetivo do controle: ............................................................................... 7 
2.1.2. Variaveis a serem controladas ................................................................. 7 
2.2. Análise do comportamento da planta .......................................................... 13 
2.2.1. Resposta ao impulso .............................................................................. 13 
2.2.2. Reposta ao degrau .................................................................................. 13 
2.2.3. Lugar das raízes ..................................................................................... 14 
2.2.4. Pólos, zeros ............................................................................................ 15 
2.3. Projetos de Controladores ........................................................................... 16 
2.3.1. Sintonia Manual do PID ........................................................................ 16 
2.3.2. Método de Ziegler-Nichols para sintonia de PID .................................. 20 
2.4. Análise em malha fechada........................................................................... 24 
2.4.1. Reposta ao impulso ................................................................................ 24 
2.4.2. Reposta ao degrau .................................................................................. 24 
2.4.4. Pólos, zeros ............................................................................................ 26 
2.4.5. Diagrama de Bode ................................................................................. 26 
3. Conclusão ........................................................................................................... 28 
Anexos........................................................................................................................29 
Referencias..................................................................................................................31 
 
5 
 
1. INTRODUÇÃO 
A locomotiva elétrica a diesel é uma versão independente da locomotiva elétrica. 
Assim Como a locomotiva elétrica, esta possui motores que funcionam com energia elétrica 
AC ou DC que aciona os motores de tração para movimentar os vagões. O que difere as duas, 
é o fato que a elétrica a diesel carrega sua própria estação geradora de tensão, em vez de estar 
conectado a uma estação geradora remota através de fios aéreos ou de um terceiro trilho. A 
estação geradora é composta por um grande motor diesel acoplado a um alternador que produz 
a eletricidade necessária para alimentar os motores de tração. 
 
Figura 1 - Diagrama esquemático da locomotiva elétrica a diesel. 
Fonte: < http://www.railway-technical.com/trains/rolling-stock-index-l/diesel-locomotives/>. 
Os principais componentes desse equipamento são: 
 Motor a diesel: Esta é a principal fonte de energia da locomotiva. É composto 
por um motor a combustão que gera a energia mecânica que será transformada 
em energia elétrica pelo alternador; 
 Alternador: O motor diesel aciona o alternador principal, que fornece a 
potência para mover o trem. O alternador gera eletricidade AC que é usada para 
prover energia para os motores de tração montados sob os trilhos; 
 Retificadores / Inversores: Os motores de tração podem ser AC ou DC. Os DC 
eram mais utilizados no passado, porém, devido ao fato dos motores AC serem 
mais baratos e mais duráveis, estes são empregados nas novas locomotivas; 
 Se os motores são DC, a saída dos retificadores é usada diretamente. Se os 
motores são AC, a saída DC dos retificadores é convertida em AC trifásica para 
os motores de tração; 
6 
 
 Motores de tração: Esses motores eram tradicionalmente de corrente contínua, 
mas o desenvolvimento da eletrônica de potência e controle levou à introdução 
de motores trifásicos. Existem entre quatro e seis motores na maioria das 
locomotivas diesel-elétricas; 
 Sistema de controle: composto pelo regulador do motor e componentes 
elétricos ou eletrônicos, incluindo dispositivos de comutação, retificadores e 
outros componentes, que controlam ou modificam a alimentação elétrica dos 
motores de tração. 
 
7 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
2.1. Modelo matemático e função de transferência 
A locomotiva elétrica a diesel é mostrada na figura 2. A eficiência do motor diesel é 
muito sensível à velocidade de rotação dos motores. Queremos projetar um sistema de controle 
que aciona os motores elétricos de uma locomotiva elétrica a diesel para uso em trens 
ferroviários. A locomotiva é acionada por motores CC localizados em cada um dos eixos A 
posição do acelerador (consulte a Figura 2) é definida movendo os potenciômetros de entrada. 
O objetivo do controle é regular a velocidade de rotação do eixo 𝜔𝑜 para o valor desejado 𝜔𝑟. 
 
Figura 2 - Sistema de locomotiva diesel elétrica. Fonte (Modern Control System, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. – 12th 
ed., p 876) 
2.1.1. Objetivo do controle: 
Regular a velocidade de rotação do eixo para o valor desejado na presença de 
distúrbios de torque de carga externos. A variável correspondente a ser controlada é a 
velocidade de rotação do eixo 𝜔𝑜. 
2.1.2. Variaveis a serem controladas 
O controle de velocidade w0 é medido por um tacômetro, que fornece uma tensão de 
retorno v0, oamplificador eletrônico amplifica o sinal de erro 𝑣𝑟 − 𝑣0 
entre os sinais de tensão de referência e retorno e fornece uma tensão 𝑉𝑓 que é 
fornecida ao enrolamento de campo de um gerador CC. O gerador é acionado a uma velocidade 
constante 𝜔𝑑 pelo motor diesel e gera uma tensão 𝑉𝑔 que é fornecida para a armadura de um 
motor de corrente contínua. A armadura do motor é controlada por corrente fixa fornecida a 
8 
 
este campo. Como resultado, o momento produz um torque 𝑇 e aciona a carga conectada ao seu 
eixo para que a velocidade controlada 𝜔0 
tender a velocidade de comando 𝜔𝑟. 
Um diagrama de blocos e um gráfico de fluxo de sinal do sistema são mostrados na 
Figura 3. Na Figura 3 usamos 𝐿𝑡 e 𝑅𝑡 que são definidos como: 
𝐿𝑡 = 𝐿𝑎 + 𝐿𝑔 
𝑅𝑡 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑔 
Valores para os parâmetros da locomotiva elétrica a diesel são fornecidos na Tabela 1. 
Observe que o sistema tem um loop de feedback; usamos a tensão do tacômetro 𝑉0 como um 
sinal de feedback para formar um sinal de erro 𝑣𝑟 − 𝑣0 · Sem feedback de estado adicional, o 
único parâmetro de sintonização é o ganho do amplificador 𝐾. Como primeiro passo, podemos 
investigar o desempenho do sistema apenas com feedback da tensão do tacômetro. 
 
Figura 3 - a) Fluxo de sinais b) Diagrama de Blocos do sisema. Fonte (Modern Control System, Richard C. Dorf, Robert H. 
Bishop. – 12th ed., p 878). 
Valores dos ganhos definidor pela seguinte Tabela 1: 
Tabela 1 – Valores dos parâmetros para a locomotiva diesel elétrica, Fonte (Modern Control System, Richard C. Dorf, 
Robert H. Bishop. – 12th ed., p 878). 
 
A matriz K é a matriz de ganho de feedback de estado. 
9 
 
As especificações de design são: 
K e K 
DSl: Erro de rastreamento de estado estável menor que 2% para uma entrada de etapa 
de unidade. 
DS2: Percentual de overshoot de 𝜔0(𝑡) menor que 10% para uma entrada 𝜔(𝑆) =
 𝑙/𝑠. 
DS3: Tempo de acomodação menor que 1 segundo para uma entrada de passo unitário. 
O primeiro passo no desenvolvimento da equação diferencial vetorial que descreve 
com precisão o sistema é escolher um conjunto de variáveis de estado. Na prática, a seleção de 
variáveis de estado podem ser um processo difícil, especialmente para sistemas complexos. As 
variáveis de estado devem ser suficientes em número para determinar o comportamento futuro 
do sistema quando o estado atual e todas as entradas futuras forem conhecidos. A seleção de 
variáveis de estado está intimamente relacionada à questão da complexidade. 
O sistema de locomotivas elétricas a diesel possui três componentes principais: dois 
circuitos elétricos e um sistema mecânico. Parece lógico que o vetor de estado inclua variáveis 
de estado de ambos os circuitos elétricos e do sistema mecânico. Uma escolha razoável de 
variáveis de estado é 𝑥1 = 𝜔0, 𝑥2 = 𝐼𝑎, 𝑥3 = 𝐼𝑓. Essa seleção de variável de estado não é 
exclusiva. Com as variáveis de estado definidas acima, o modelo de variável de estado é: 
𝑥1̇ = −
𝑏
𝐽
𝑥1 +
𝐾𝑚
𝐽
𝑥2 −
1
𝐽
𝑇𝑑 
𝑥2̇ = −
𝐾𝑏
𝐿𝑡
𝑥1 −
𝑅𝑡
𝐿𝑡
𝑥2 +
𝐾𝑔
𝐿𝑡
𝑥3 
𝑥3̇ = −
𝑅𝑓
𝐿𝑓
𝑥3 +
1
𝐿𝑓
𝑢 
Onde 
𝑢 = 𝐾 ∗ 𝐾𝑝𝑜𝑡 ∗ 𝜔𝑟 
Na matriz para (com 𝑇𝑑(𝑠) = 0), nós temos: 
�̇� = 𝑨𝒙 + 𝑩𝑢, 
𝑦 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝑢, 
Onde 
𝑨 =
[
 
 
 
 
 
 −
𝑏
𝐽
𝐾𝑚
𝐽
0
−
𝐾𝑏
𝐿𝑡
−
𝑅𝑡
𝐿𝑡
𝐾𝑔
𝐿𝑡
0 0 −
𝑅𝑓
𝐿𝑓]
 
 
 
 
 
 
, 𝑩 = [
0
0
1
𝐿𝑓
] 
10 
 
𝑪 = [1 0 0], 𝑫 = [0] 
A função de transferência correspondente é: 
𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝑰 − 𝑨)−𝟏 ∗ 𝑩 =
𝑲𝒈𝑲𝒎
(𝑹𝒇 + 𝑳𝒇𝒔)(𝑹𝒕 + 𝑳𝒕𝑺)(𝑱𝒔 + 𝑩) + 𝑲𝒎 + 𝑲𝒃
 
Comece supondo que a realimentação do tacômetro esteja disponível, ou seja, que 𝐾1 
esteja no loop. Se aproveitarmos o fato de que 𝐾𝑝𝑜𝑡 = 𝐾𝑡 = 1 então (a partir de uma 
perspectiva de entrada-saída) o sistema tem a configuração de feedback simples mostrado na 
Figura 4. 
 
Figura 4 - Diagrama de blocos. Fonte (Modern Control System, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. – 12th ed., p 880) 
Usando os valores de parâmetros fornecidos na Tabela 1 e calculando o estado 
estacionário erro de rastreamento para uma entrada de etapa unitária: 
𝑒𝑠𝑠 =
1
1 + 𝐾𝐺(0)
=
1
1 + 121,95𝐾
 
Usando o método de Routh-Hurwitz, também descobrimos que o sistema de circuito 
fechado é estável 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 0.008 < 𝐾 < 0.0468. 
 O menor erro de rastreamento em estado estacionário é alcançado para o maior valor 
de 𝐾. Melhor podemos obter um erro de rastreamento de 15%, que não atende à especificação 
do projeto 𝐷𝑆1. Além disso, quando 𝐾 fica maior, a resposta torna-se inaceitavelmente 
oscilatória, consequentemente instável. 
 Consideramos agora um projeto de controlador de feedback de estado completo. Os 
loops de feedback são mostrados na Figura 3, que mostra que 𝜔0, 𝐼𝑎, e 𝐼𝑓 estão disponíveis 
para feedback Sem qualquer perda de generalidade, definimos 𝐾 = 𝐼. Qualquer valor de 𝐾 >
 0 também funcionaria. 
A entrada de controle é: 
𝑢 = 𝐾𝑝𝑜𝑡𝑤𝑟 − 𝐾𝑡𝑥1 − 𝐾2𝑥2 − 𝐾3𝑥3 
Os ganhos de feedback a serem determinados são 𝐾1, 𝐾2 e 𝐾3. O ganho do tacômetro, 
𝐾𝑟, é agora um parâmetro chave do processo de design. Também o 𝐾𝑝𝑜𝑡 é uma variável chave 
11 
 
para ajuste. Ajustando o parâmetro 𝐾𝑝𝑜𝑡, temos a liberdade de escalar a entrada 𝜔𝑟. Quando 
nós definimos. 
𝐾 = [ 𝐾𝑡 𝐾2 𝐾3] 
𝑢 = −𝐾𝑥 + 𝐾𝑝𝑜𝑡𝑊𝑟 
O sistema de malha fechada com feedback de estado é: 
𝒙 = (𝑨 − 𝑩𝑲)𝒙 + 𝑩𝒗 
𝒚 = 𝑪𝒙 
𝒗 = 𝑲𝒑𝒐𝒕𝑾𝒓 
Usaremos métodos de posicionamento para determinar 𝐾𝑠 que o autovalor de A - BK 
está nos locais desejados. Primeiro fazemos com que o sistema seja controlável. 
Quando 𝑛 = 3 a matriz de controlabilidade é: 
𝑃𝑐 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 ∗ 𝐵] 
𝑑𝑒𝑡𝑃𝑐 = 𝐾𝑔2 ∗ 𝐾𝑚/(𝑗 ∗ 𝐿𝑓3 ∗ 𝐿𝑡^2) 
𝑑𝑒𝑡𝑃𝑐 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 0 
Assim, o sistema é co-regulável. Podemos colocar todos os pólos do sistema 
apropriadamente para satisfazer o DS2 e o DS3. A região desejada para colocar os autovalores 
de A - BK ilustrada na Figura 5. As locuções de campo específicas são selecionadas para serem: 
𝑝1 = −50 
𝑝2 = −4 + 3𝑗 
𝑝3 = −4 − 3𝑗 
A seleção de p1= -50 permite uma boa resposta de segunda ordem segundo que é 
governada por p2 e p3. A matriz de ganho K que atinge os polos de malha fechada desejados é: 
𝐾 = [ 0,0041 0,0035 4,0033] 
 
Figura 5 - Localização dos pólos de mallha fechada, ou seja, os autovalores (A-Bk). Fonte (Modern Control 
System, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. – 12th ed., p 881) 
12 
 
 
Figura 6 - Resposta ao degrau de malha fechada da locomotiva. Fonte (Modern Control System, Richard C. Dorf, Robert H. 
Bishop. – 12th ed., p 881) 
Para selecionar o potenciômetro ganho Kpot, calculamos primeiro o ganho CC da 
função de transferência em malha fechada. Com o feedback de estado no lugar, a função de 
transferência em malha fechada é: 
𝑇(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾)−1 ∗ 𝐵 
𝐾𝑝𝑜𝑡 = 1/𝑇(0) 
Usar o potenciômetro de ganho K dimensiona efetivamente a função de transferência 
de malha fechada para que o ganho de CC seja igual a 1. Esperamos então que uma entrada de 
etapa de unidade representando um comando de primeira etapa resulte em uma saída de estado 
estável de 1 ° / s em w0. A resposta ao degrau do sistema é mostrada na Figura 6. Podemos ver 
que todas as especificações de design estão satisfeitas. 
 
 
13 
 
2.2. Análise do comportamento da planta 
2.2.1. Resposta ao impulso 
Sabendo que 
𝐺(𝑠) =
𝜔𝑜(𝑠)
𝜔𝑟(𝑠)
=
1000
0,03𝑠3 + 0,53𝑠2 + 3,12𝑠 + 8,2
 
𝜔𝑜(𝑠) =
1000
0,03𝑠3 + 0,53𝑠2 + 3,12𝑠 +8,2
𝜔𝑟(𝑠) 
Para se obter a resposta ao impulso, faz-se 𝜔_𝑟 (𝑠) = 1. Obtém-se então a expressão 
abaixo, sua representação gráfica é apresentada na Figura 7. 
𝜔𝑜(𝑠) =
1000
0,03𝑠3 + 0,53𝑠2 + 3,12𝑠 + 8,2
 
 
Figura 7 - Resposta ao impulso da planta. 
Com o impulso unitário espera-se verificar se o sistema é resistente a interferências 
que possam ocorrer na entrada. Deseja-se que o sistema retorne à condição inicial, ou seja, neste 
caso, igual a 0. Nota-se que é até o que ocorre, porém com uma grande amplitude de pico e um 
tempo de acomodação maior que o desejado. 
2.2.2. Reposta ao degrau 
Quando substitui-se 𝜔_𝑟 (𝑠) por 1/𝑠, obtém-se a equação abaixo. Sendo essa a 
resposta ao degrau. 
14 
 
𝜔𝑜(𝑠) =
1000
0,03𝑠3 + 0,53𝑠2 + 3,12𝑠 + 8,2
1
𝑠
 
𝜔𝑜(𝑠) =
1000
0,03𝑠4 + 0,53𝑠3 + 3,12𝑠2 + 8,2𝑠
 
De forma gráfica, tem-se: 
 
Figura 8 - Resposta ao degrau da planta. 
O degrau unitário é usado como um meio de verificar se o sistema é um bom seguidor. 
O que não é caso, a partir da análise do gráfico. O sistema não fixa no sinal desejada, indo para 
um valor excessivo. 
2.2.3. Lugar das raízes 
Como a característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada 
está intimamente relacionada à localização dos polos de malha, é importante que o projetista 
saiba como os polos de malha fechada se movem no plano s, à medida que o ganho de malha 
varia. 
Na figura 9, é apresentado o gráfico do lugar das raízes para um sistema com 
realimentação unitária negativa variando-se o ganho 𝐾(entre 0 e infinito). 
Pode-se inferir diretamente do gráfico o valor de 𝐾 em que o sistema de malha fechada 
se mantenha oscilante. Para isso encontra-se um valor de 𝐾 em que pólos fiquem localizados 
no eixo 𝑗𝜔, ou seja, deixa o sistema marginalmente estável. Isso ocorre quando 𝐾 = 0,0469 e 
pólos dominantes em 𝑠 = ± 10,1980𝑗, levando a um comportamento oscilatório na resposta ao 
degrau. 
15 
 
 
Figura 9 - Gráfico do lugar das raízes. 
2.2.4. Pólos, zeros 
Através do MATLAB pode-se plotar os pólos e zeros no plano 𝑠. Pela FT nota-se 
rapidamente que não se tem zeros finitos. Gráfico da Figura 10. 
 
Figura 10 - Mapa de pólos e zeros. 
A partir do gráfico, referindo-se ao pólos dominantes, tem-se: 
𝜁 = 0,733 
𝜔𝑛 = 5,23 
𝜎 = 3,83 
𝜔𝑑 = 3,56 
16 
 
2.3. Projetos de Controladores 
2.3.1. Sintonia Manual do PID 
Considerando a função de transferência da planta, 𝐺(𝑠), pode-se determinar os valores 
de 𝐾𝑝, 𝐾𝑖 e 𝐾𝑑 a partir da análise de seus valores no gráfico dos lugares das raízes 
concomitantemente com suas influências no percentual de overshoot, no tempo de acomodação 
e no erro de regime permanente devido a uma resposta a um degrau. 
𝐺(𝑠) =
1000
0,03𝑠3 + 0,53𝑠2 + 3,12𝑠 + 8,2
 
Primeiramente faz-se 𝐾𝑖 = 0 e 𝐾𝑑 = 0 e encontra-se um valor de 𝐾𝑝 até que o sistema 
de malha fechada se mantenha oscilante. Para isso encontra-se os pólos que deixam o sistema 
marginalmente estável, ou seja, pólos localizados no eixo 𝑗𝜔. Nesse caso, tem-se 𝐾𝑝 = 0,0469 
e pólos em 𝑠 = ± 10,1980𝑗, levando a um comportamento oscilatório na resposta ao degrau. 
 
Figura 11 - Lugar das raízes mostrando 𝐾𝑝 = 0,0469. 
A Figura 11, apresenta o lugar das raízes para a seguinte equação característica: 
1 + 𝐾𝑃 [
1000
0,03𝑠3 + 0,53𝑠2 + 3,12𝑠 + 8,2
] = 0 
Reduzindo o valor de 𝐾𝑝 pela metade implica numa resposta ao degrau com um 
decaimento de amplitude de aproximadamente um quarto. Obtém-se então um 𝐾𝑝 = 0,0235. 
A fim de aperfeiçoar o valor, reduz-se o 𝐾𝑝 para 0,0180, o que afeta o overshoot, o diminuindo. 
O resultado é mostrado na Figura 12. 
17 
 
 
Figura 12 - Resposta ao degrau 𝐾𝑝 = 0,0180. 
Em seguida, mantém-se o ganho proporcional fixo, 𝐾𝑝 = 0,0180, o ganho integral 
nulo e analisa-se o lugar das raízes para uma variação de 𝐾𝑑, de zero a infinito. O gráfico 
referente a equação característica abaixo é apresentado na Figura 13. 
1 + 𝐾𝐷 [
1000𝑠
0,03𝑠3 + 0,53𝑠2 + 3,12𝑠 + 8,2 + 𝐾𝑃
] = 0 
 
Figura 13 - Lugar das raízes para 𝐾𝑝 = 0,0180, 𝐾𝑖 = 0 e 0 < 𝐾𝑑 < ∞. 
Como é desejado um baixo tempo de acomodação, ganho derivativo foi aumentado 
gradualmente até um valor aceitável, obtendo-se 𝐾𝑑 = 0,0030. Com esses valores de 𝐾𝑑 e 𝐾𝑝, 
obtém-se a seguinte resposta ao degrau. 
18 
 
 
Figura 14 - Resposta ao degrau para 𝐾𝑝 = 0,080, 𝐾𝑖 = 0 e 𝐾𝑑 = 0,0030. 
Por fim, é necessário diminui o erro de regime permanente, contudo, com a inserção 
de um integrador, esse erro é eliminado. Nesse caso, mantém-se 𝐾𝑝 fixo, 𝐾𝑑 = 0 e 0 < 𝐾𝑖 <
∞. Portanto, a partir dos valores de 𝐾𝑖 para o gráfico do lugar das raízes da Figura 15 para a 
equação característica abaixo, obteve-se 𝐾𝑖 = 0,0550. 
1 + 𝐾𝐼 [
1000
𝑠(0,03𝑠3 + 0,53𝑠2 + 3,12𝑠 + 8,2 + 𝐾𝑃)
] = 0 
 
Figura 15 – Lugar das raízes para 𝐾𝑝 = 0,0180, 𝐾𝑓 = 0,055 e 𝐾𝑑 = 0. 
Em resumo, para definição dos valores dos ganhos, seguiu-se a seguinte tabela. 
Ganho PID 
Percentual de 
Overshoot 
Tempo de acomodação 
Erro de regime 
permanente 
Aumento de 
𝐾𝑃 
Aumenta Mínimo impacto Diminui 
Aumento de 
𝐾𝐼 
Aumenta Aumenta Elimina 
19 
 
Aumento de 
𝐾𝐷 
Diminui Diminui Sem impacto 
Tabela 2 – Efeito de aumentar os ganhos PID numa resposta ao degrau. 
E como resultado final, tem-se a seguinte resposta a um degrau, Figura 16. 
 
Figura 16 – Percentual de overshoot e tempo de acomodação com 𝐾𝑝 = 0,0180, 𝐾𝑑 = 0,0030 e 𝐾𝑖 = 0,0550. 
Esses valores para os ganhos podem ser modificados, seguindo-se a Tabela 2, e assim 
outros valores podem ser obtidos para essas mesmas especificações de projeto. 
Portanto, a resposta a um degrau mostrada na Figura 16 indica um tempo de 
acomodação, 𝑡𝑠, de 0,757𝑠 e um percentual de overshoot de 1,05%, o que vai de encontro com 
as especificações de projeto. 
 
20 
 
2.3.2. Método de Ziegler-Nichols para sintonia de PID 
Este método é muito utilizado quando não é possível fazer uma análise analítica da 
planta por não se conhecer ou por complexidade, optando assim por uma abordagem mais 
experimental para sintonia de controladores PID. Isso fez com que Ziegler e Nichols 
propusessem regras para estabelecer valores para 𝐾𝑝 (ganho proporcional), 𝑇𝑖 (tempo integral) 
e 𝑇𝑑 (tempo derivativo) baseados nas características da planta. 
Existem dois métodos para a sintonia do PID proposto por Ziegler-Nichols, porém 
para este projeto será utilizado apenas o segundo método do livro: EGENHARIA DE 
CONTROLE MODERNO/ Katsuhiko Ogata; 5ª ed, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, p. 
524, pois polinômio é de ordem superior. 
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 ∗ (1 +
1
𝑇𝑖 ∗ 𝑠
+ 𝑇𝑑 ∗ 𝑠) 
 
Figura 17 - Saída oscilante de amplitude constante do sistema. Fonte: (ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO – 
Katsuhiko Ogata, 5ª ed, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, p. 524). 
Para determinar 𝐾𝑝, 𝑇𝑖 e 𝑇𝑑, a partir da tabela estabelecida pelo método: 
 
Tabela 3 – Tabela para regra de Ziegler-Nichols (ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO – Katsuhiko 
Ogata, 5ª ed, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, p. 525). 
Como a planta do projeto já foi definido anteriormente por: 
𝐺𝑝(𝑠) =
𝐾𝑔 ∗ 𝐾𝑚
(𝑅𝑓 + 𝐿𝑓 ∗ 𝑠) ∗ [(𝑅𝑡 + 𝐿𝑡 ∗ 𝑠) ∗ (𝐽 ∗ 𝑠 + 𝑏) + 𝐾𝑚 ∗ 𝐾𝑏]
 
Com as seguintes atribuições para os ganhos da Tabela 1: 
21 
 
 
Figura 18 - Diagrama de Blocos do sistema. 
A função de transferência calculada foi obtida a partir do Matlab. 
𝐺(𝑠) =
105 ∗ 𝐾𝑝
3 ∗ 𝑠3 + 53 ∗ 𝑠2 + 312 ∗ 𝑠 + 105 ∗ 𝐾𝑝 + 820
 
O valor de 𝐾𝑝 que torna o sistema marginalmente estável pode ser obtidopelo critério 
de estabilidade de Routh. Sendo a equação característica determinada por: 
3 ∗ 𝑠3 + 53 ∗ 𝑠2 + 312 ∗ 𝑠 + 105 ∗ 𝐾𝑝 + 820 = 0 
Assim o arranjo de Routh fica 
 
Figura 19 - Arranjo de Routh do polinômio característico. 
Analisando a primeira coluna do arranjo, pode-se determinar o valor de Kp da seguinte 
forma: 
𝐾𝑐𝑟 = 𝐾𝑝 =
321 ∗ 53 − 3 ∗ 820
105
= 0,0469 
Portanto o valor crítico (𝐾𝑐𝑟) é 0,0469 e função de transferência se torna: 
𝐺(𝑠) =
4692
3 ∗ 𝑠3 + 53 ∗ 𝑠2 + 312 ∗ 𝑠 + 5512
 
A Figura 20 exibe a saída do sistema para 𝐾𝑐𝑟 = 0,0469, que é oscilante 
 
22 
 
 
Figura 20 - Saída do sistema oscilante para Kp=0,0469, 𝑇𝑖 = ∞ e Td=0. 
Pode-se notar que para o ganho crítico a saída exibe oscilação que caracteriza condição 
marginalmente estável: 
Para encontrar o Período crítico faz-se 𝑠 = 𝑗𝜔, logo: 
3 ∗ 𝑠3 + 53 ∗ 𝑠2 + 312 ∗ 𝑠 + 5512 = 0 
3 ∗ 𝑗𝜔3 + 53 ∗ 𝑗𝜔2 + 312 ∗ 𝑗𝜔 + 5512 = 0 
3 ∗ 𝑗𝜔3 + 53 ∗ 𝑗𝜔2 + 312 ∗ 𝑗𝜔 + 5512 = 0 
𝑗𝜔 ∗ (104 − 𝜔2) + 53 ∗ (104 − 𝜔2) = 0 
Logo: 
104 − 𝜔2 = 0 
𝜔 = √104 
Com o valor da frequência pode-se encontrar o valo do período crítico a partir da 
relação: 
𝑃𝑐𝑟 =
2 ∗ 𝜋
𝜔
=
2 ∗ 𝜋
√104
= 0,6161 
Com base na tabela pode-se obter os valores de 𝐾𝑝, 𝑇𝑖 e 𝑇𝑑. 
𝐾𝑝 = 0,6 ∗ 0,0469 = 0,0282 
𝑇𝑖 = 0,5 ∗ 0,6161 = 0,3081 
𝑇𝑑 = 0,125 ∗ 0,6161 = 0,077 
Os valores obtidos no método devem apenas ser tomados como ponto de partida para 
encontrar os valores que atendam as especificações do projeto, através de uma abordagem 
computacional pode-se fazer o Scrpit 01 em anexo, que possa varrer todos os valores possíveis 
23 
 
dentro de faixas de valores para 𝐾𝑝, 𝑇𝑖 e 𝑇𝑑 que tenham como valor próximo aos que foram 
encontrados e que atendam as especificações exigidas, adotar faixas de valores corretas diminui 
o tempo de procura do programa por isso a necessidade do método. 
A figura 21 exibe o resultado gráfico dos valores 𝐾𝑝, 𝑇𝑖 e 𝑇𝑑 no sistema com resposta 
ao degrau. 
𝐾𝑝 = 0,031 
𝑇𝑖 = 0,475 
𝑇𝑑 = 0,218 
𝑇𝑠 = 0,26 
 
Figura 21 - Resposta ao degrau com 𝐾𝑝 = 0,031, 𝑇𝑖 = 0,4750 e 𝑇𝑑 = 0,2600. 
 
 
24 
 
2.4. Análise em malha fechada 
Nesta seção, faz-se a análise do sistema em malha fechada, com os ganhos do 
controlador PID obtidos pelo segundo método de Ziegler-Nichols. 
2.4.1. Reposta ao impulso 
A função de transferência de malha fechada é dada por: 
𝐺(𝑠) =
𝜔𝑜(𝑠)
𝜔𝑟(𝑠)
=
321𝑠2 + 1473𝑠 + 3100
1,425𝑠4 + 25,17𝑠3 + 469,2𝑠2 + 1862𝑠 + 3100
 
Aplicando-se um impulso, obtém-se a Figura 22. 
 
Figura 22 - Resposta do impulso do sistema em malha fechada. 
É notória a grande atenuação no valor da amplitude pico e na diminuição do tempo de 
acomodação. Isso implica que agora o sistema volta ao seu estado inicial, após uma perturbação, 
de maneira mais rápida, menos da metade do tempo sem o controlador, e com uma amplitude 
de pico consideravelmente menor, reduzida de aproximadamente 30 vezes. 
2.4.2. Reposta ao degrau 
Quando substitui-se 𝜔_𝑟 (𝑠) 𝑝𝑜𝑟 1/𝑠, obtém-se a equação abaixo. Sendo essa a 
resposta ao degrau. 
𝜔𝑜(𝑠) =
321𝑠2 + 1473𝑠 + 3100
1,425𝑠4 + 25,17𝑠3 + 469,2𝑠2 + 1862𝑠 + 3100
1
𝑠
 
𝜔𝑜(𝑠) =
321𝑠2 + 1473𝑠 + 3100
1,425𝑠5 + 25,17𝑠4 + 469,2𝑠3 + 1862𝑠2 + 3100𝑠
 
De forma gráfica, tem-se: 
25 
 
 
Figura 23 – Resposta ao degrau da FT de malha fechada. 
Neste caso, o sistema segue o degrau unitário, com overshoot de 8,71%, dentro do 
limite especificado, assim como o tempo de acomodação que é de 0,98𝑠, abaixo de 1𝑠. Devido 
a presença da parte proporcional, o erro de regime é nulo. 
2.4.3. Lugar das raízes 
No sistema à malha fechada, o método do lugar das raízes para se analisar os polos da 
Função de Transferência de acordo com a variação do ganho 𝐾. A Figura 24 ilustra o resultado 
obtido na simulação em MATLAB. 
 
Figura 24 - Gráfico do lugar das raízes. 
Percebe-se que o aumento no valor do ganho 𝐾 vai em direção ao infinito, as raízes 
complexas conjugadas se deslocarão para infinito, aumentando a uma frequência angular não 
amortecida, 𝜔_𝑛, provocando uma resposta mais rápida e um aumento do overshoot. 
26 
 
2.4.4. Pólos, zeros 
Através do MATLAB pode-se plotar os pólos e zeros no plano s. Gráfico da Figura 
25. 
 
Figura 25 - Mapa de pólos e zeros. 
Os dois zeros do sistema estão bem próximos a dois pólos complexos conjugados, 
sendo assim esses pólos têm suas contribuições reduzidas na resposta total do sistema. 
2.4.5. Diagrama de Bode 
Uma função de transferência no domínio do plano ‘s’ pode ser convertida ao domínio 
da frequência fazendo 𝑠 = 𝑗𝜔, ou seja, para o sistema à malha fechada, tem-se: 
𝜔𝑜(𝑗ω)
𝜔𝑟(𝑗ω)
=
321(𝑗ω)2 + 1473(𝑗ω) + 3100
1,425(𝑗ω)4 + 25,17(𝑗ω)3 + 469,2(𝑗ω)2 + 1862(𝑗ω) + 3100
 
Um diagrama de Bode é constituído por dois gráficos: um é o gráfico do logaritmo do 
módulo de uma função de transferência senoidal; o outro é o gráfico do ângulo de fase. Ambos 
são traçados em relação à frequência em escala logarítmica. A unidade utilizada nessa 
representação do módulo é o decibel, normalmente abreviado como dB. Na representação 
logarítmica, as curvas são desenhadas em papel semilog, com a utilização da escala logarítmica 
para a frequência e a escala linear tanto para módulo (mas em decibéis) como para ângulo (em 
graus). 
Dois conceitos são essenciais quando se está analisando a resposta em frequência do 
sinal através do diagrama de bode: margem de ganho e margem de fase. A margem de ganho 
representa o adicional do ganho à malha aberta na fase 180° para fazer o sistema à malha 
fechada instável. A margem de fase representa o atraso adicional na fase do sistema à malha 
aberta com ganho unitário para fazer o sistema à malha fechada instável. A Figura 5 mostra o 
diagrama bode do sistema de malha fechada com o controlador PID. 
27 
 
 
Figura 26 - Diagrama de Bode. 
Para este caso, a margem de fase é 82,6736°, a frequência em que o ganho cruza a 
magnitude 1 é de 17.0073 𝑟𝑎𝑑/𝑠. A margem de ganho em malha aberta e a frequência com 
que a fase cruza 180°, são ambos, infinitos. Já que, no espectro de fase, o deslocamento de fase 
de 180° só é atingido no infinito. 
 
28 
 
3. CONCLUSÃO 
Com a realização deste projeto, compreendeu-se algumas peculiaridades que residem 
o mundo do controle clássico e suas finalidades, foi entendido que o controle clássico existe 
através da modelagem ou análise experimental de sistemas dinâmicos pelas leis que regem o 
mundo real, tornando as EDO’s ferramentas essenciais para a atividade de controle. Entendendo 
que para este projeto a representação de função transferência é a mais conveniente, pois para 
este se avalia a resposta transitória ou frequência de um sistema invariante, visto como entrada 
e saída única (BIBO). 
Através das respostas da função de transferência da planta para entradas de testes 
(impulso e degrau) em malha aberta, observou-se algumas características da planta por si só, 
como a capacidade do sistema retornar ao estado de repouso pelo impulso ou saber se o mesmo 
é um bom seguidor pela entrada ao degrau. Observou-se também como a implantação de um 
controlador PID junto a planta em um sistema realimentado pode exibir saídas bem mais 
desejadas como: overshoot, tempo de resposta, erro estacionário e interferências de distúrbios 
bem menores por exemplo em relação a malha aberta. 
Entendeu-se também em sistemas a força e importância dos métodos para a sintonia 
dos PID’s que pode ser analítica ou empírica (tentativa e erro) e como pelo estudo da localizaçãodos polos que podendo ser movidos para uma posição desejada pelo projetista, pode levar a 
resolução de um problema a um simples ganho proporcional. 
 
29 
 
ANEXOS 
Script 01 
Programa do Matlab para varrer os valores de 𝐾𝑝, 𝑇𝑖 e 𝑇𝑑 para sintonia do PID 
clc 
clear all 
syms s Kp Ti Td 
%% Dados da Tabela 
Km=10; Kg=100; Kb=0.62; J=1; b=1; La=0.2; 
Ra=1; Rf=1; Lf=0.1; Rt=Rf+Ra; Lt=Lf+La; 
%% Função de transferência com realimentação unitária 
Gc=Kp*(1+(1/(Ti*s))+Td*s); 
Gp=(Kg*Km)/((Rf+Lf*s)*((Rt+Lt*s)*(J*s+b)+Km*Kb)); 
G=(Gc*Gp)/(1+Gc*Gp); 
[n,d]=numden(G); 
%% o collect deixa em evidência os temos do polinômio 
n=collect(n,s) 
d=collect(d,s) 
%% 
t = 0:0.01:5; 
for Kp = 0.035:-0.001:0.03; 
 Kp 
 for Ti = 0.5:-0.001:0.46; 
 for Td = 0.22:-0.001:0.2; 
 num=[0 0 (100000*Kp*Td*Ti) (100000*Kp*Ti) (100000*Kp)]; 
 den=[(3*Ti) (53*Ti) (312*Ti+100000*Kp*Td*Ti) 
(820*Ti+100000*Kp*Ti) (100000*Kp)]; 
 y = step(num,den,t); 
 m = max(y); 
 s = 501; 
 while y(s) > 0.98 && y(s) < 1.02; 
 s=s-1; 
 end; 
 ts=(s-1)*0.01; 
 if m < 1.09 && m > 1.02 && ts < 0.98 
 break; 
 end; 
 end; 
 if m < 1.09 && m > 1.02 && ts < 0.98 
 break; 
 end; 
 end; 
 if m < 1.09 && m > 1.02 && ts < 0.98 
 break; 
 end; 
end; 
plot(t,y) 
grid 
title('Resposta ao degrau unitário') 
xlabel('t(s)') 
ylabel('Saída') 
solution = [Kp;Ti;Td;ts] 
 
Script 02 
Programa do Matlab para análise da planta 
30 
 
clc 
clear all 
num=[1000]; 
den=[.03 .53 3.12 8.2]; 
G=tf(num,den) 
figure(1) 
step(G) 
figure(2) 
impulse(G) 
figure(3) 
rlocus(G) 
figure(4) 
bode(G) 
figure(5) 
pzmap(G) 
 
Script 03 
Programa do Matlab para analise de malha fechada com PID 
clc 
clear all 
num=[321 1473 3100]; 
den=[1.425 25.17 469.2 1862 3100]; 
sys = tf(num,den) 
[GM,PM,Wcg,Wcp] = margin(sys) 
figure(1) 
step(sys) 
figure(2) 
impulse(sys) 
figure(3) 
rlocus(sys) 
figure(4) 
bode(sys) 
figure(5) 
pzmap(sys) 
 
 
 
 
31 
 
REFERENCIAS 
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno: 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEIMI, A. Sistemas de Controle para 
Engenharia: 6. ed. Porto Alegre: Bookman Editora LTDA, 2013. 
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Modern Control Systems: 12. ed. New Jersey: Pearson Education, 
2010. 
Diesel Locomotives. Disponível em: < http://www.railway-technical.com/trains/rolling-stock-
index-l/diesel-locomotives/>. Acesso em: 07/07/2018.