PROVA 1 CYNTHIA FEIJO SEGATTO 2018/2 (CYNTHIA ÁREA 1/ALVERI ÁREA 2)

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UFRGS-DMPA MAT01355-ÁLGEBRA LINEAR-P1 turma A2 - 04/10/2018 - 1
Nome: Gabarito
Cartão da UFRGS:
• MANTENHA O CADERNO DE QUESTÕES GRAMPEADO
• NÃO É PERMITIDO USO DE CALCULADORAS OU TELEFONES CELULARES
( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
As questões 1 e 2 consideram a matriz A =

1 2 0 4
2 1 −1 3
3 12 2 22
4 8 0 16

1 2 0 4
2 1 −1 3
3 12 2 22
4 8 0 16
1 2 0 4
0 −3 −1 −5
0 6 2 10
0 0 0 0
1 2 0 4
0 1 1/3 5/3
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 −2/3 2/3
0 1 1/3 5/3
0 0 0 0
0 0 0 0
Assim
• temos 2 pivos logo Posto(A) = 2
• temos 2 variáveis livres, logo Nulidade(A) = 2.
• O Espaço Nulo é a solução de Ax = 0 assim uma
base para este espaço é:
βN (A) =


2
−1
3
0
 ,

−2
−5
0
3


1. Podemos afirmar que o posto de A é:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 Resposta (c)
2. Uma base para e espaço nulo de A pode ser:
(a)


1
2
3
4
 ,

2
1
12
8

 (b)


2
−1
3
0
 ,

2
5
0
−3

 (c)


1
0
0
0
 ,

2
3
0
0

 (d)


2/3
1/3
1
1
 ,

2/3
2/3
0
0

 (e) NRA
Resposta (b)
3. Em quais das opções abaixo podemos garantir que a equação Ax = 0 possui apenas a solução trivial:
(i) A é uma matriz 4× 4 com 4 posições pivô A é inversível, logo S
(ii) A é uma matriz 5× 5 com 3 posições pivô Temos 2 variáveis livres N
(iii) A é uma matriz 6× 4 com 4 posições pivô 6 linhas 4 colunas sem varáveis livres S
(iv) A é uma matriz 3× 5 com 3 posições pivô 2 variáveis livres N
(a) NSSN (b) SNNS (c) NSNN (d) SNSN (e) NSNS
Resposta (d)
4. Considere uma matriz A5×5 cujas colunas não geram R5. Assinale a alternativa correta:
(a) A transformação linear T : x→ Ax é injetora Não pois tem 1 variável livre
(b) O sistema linear Ax = b pode não ter solução
(c) A é inversível
(d) As colunas de A geram R4
(e) As linhas de A são linearmente independentes
As colunas de A não geram R5, assim Posto(A) ≤ 4 e Nulidade ≥ 1 logo T não é injetora, A não é
inversível, as colunas de A geram um espaço de dimensão ≤ 4 as linhas de A não podem ser LI
Resposta (b)
5. Sejam v1 =
74
0
, v2 =
51
1
, v3 =
11
1
, v4 =
74
0
 e v5 =
10
2
. Sejam α e β escalares. Assinale a
solução na forma paramétrica do sistema:
 x −3y −2z = −5y − z = 4−2x +3y +7z = −2
(a) v2 + αv5
(b) αv2 + βv4
(c) v1 + αv2
(d) v3 + αv4
(e) NRA
1 −3 −2 −5
0 1 −1 4
−2 3 7 −2
1 −3 −2 −5
0 1 −1 4
0 −3 3 −12
1 −3 −2 −5
0 1 −1 4
0 0 0 0
1 0 −5 7
0 1 −1 4
0 0 0 0
x1x2
x3
 =
51
1
α+
74
0

Resposta c
6. Quais das seguintes transformações são transformações lineares?
i. T : R3 → R3, definida por T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, 2x1 + x2, x1 − 2x2 + 4x3) É TLinear
ii. T : R3 → R3, definida por T (x1, x2, x3) = (x1 + 2, x1 + x2 − x3, x2 − 4x3) T (~0) 6= ~0
iii. T :M2×2 → R, definida por T
((
a b
c d
))
= ad− bc 1 = T (−I) 6= (−1)T (I) = −1
(a) SSS (b)SSN (c) SNN (d) SNS (e)NSS Resposta c
7. Quais dos valores de α e de β fazem que o vetor (5, 1,−1, 0) seja uma combinação linear de (α+β, 1, 1, α)
e (2, 1, 0, 1)
(a) α = 5 e β = 0 (b) α = 1 e β = 5 (c) α = 2 e β = −3 (d) α = −4 e β = −2 (e) NRA
Observe que:

5
1
−1
0
 = r

α+ β
1
1
α
 + s

2
1
0
1
 usando as seg. e terceira linhas temos que r = −1 e s = 2.
E com isto ficamos com um sistema de 2 eq. e 2 incógnitas para α e β e assim temos α = 2 e β = −3
Resposta c
8. Considere os vetores v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1,−1), u = (1, 2,−3) de R3 e os vetores w1 = (2, 3), w2 =
(0,−1) de R2. Se sabemos que Av1 = w1 e Av2 = w2, então podemos afirmar que Au vale:
(a) (3,-2) (b) (4,7) (c) (-4,-7) (d) (2,1) (e) (-2,-5)
Como
 12
−3
 = −
10
1
+ 2
 11
−1
 temos A(−v1 + 2v2) = −Av1 + 2Av2 = −w1 + 2w2 = (−2−5
)
Resposta e
9. Sabendo que o conjunto {v1, v2, v3} é linearmente dependente, que o conjunto {v2, v3, v4} é linearmente
independente e que a matriz A = [v1 v2 v3]. Assinale a alternativa correta:
(a) O sistema Ax = v1 possui solução única A tem colunas LD logo tem variável livre - Falso
(b) O sistema Ax = v2 não possui solução v2 ∈ Col(A) - Falso
(c) O sistema Ax = v3 possui solução única A tem colunas LD logo tem variável livre - Falso
(d) O sistema Ax = v4 não possui solução v4 6∈ Col(A) - Verdadeiro
(e) NRA
Resposta d
10. Se u =
12
4
, v =

2
1
4
3
 e A = uvT então podemos afirmar que a nulidade de AT é:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
As linhas da matriz AT4×3 = vuT possui 4 linhas multiplas assim 1 pivô e 2 variáveis livres
Resposta c
11. O conjunto solução da equação
∣∣∣∣∣∣∣∣
x x x x
0 x x x
0 0 x x2
0 0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, onde |A| = det(A) é:
(a) {0, 1,−1}
(b) {0, 1}
(c) {−1}
(d) {0}
(e) {1}
|A| = −1
∣∣∣∣∣∣
x x x
0 x x
0 0 x2
∣∣∣∣∣∣ + 1
∣∣∣∣∣∣
x x x
0 x x
0 0 x
∣∣∣∣∣∣ = −x4 + x3 =
x3(1− x)
Resposta b
12. O determinante da matriz A =

2 1 0 0
0 1 0 0
0 0 2 −9
−2 0 6 −2
 o determinante de A é:
(a) -116
(b) -20
(c) 100
(d) 56
(e) NRA
Resposta c
13. Considere a seguinte transformação T (x1, x2, x3, x4) = (x1, x4). Podemos afirmar que o espaço nulo desta
transformação é:
(a) N (T ) = {(0, a, b, 0) ∈ R4/a, b ∈ R}
(b) N (T ) = {(a, b) ∈ R2/a, b ∈ R}
(c) N (T ) = {(a, 0, 0, b) ∈ R4/a, b ∈ R}
(d) N (T ) = {(a, b, 0, 0) ∈ R4/a, b ∈ R}
(e) NRA
T : R4 → R2 O sistema é dado por:
(
1 0 0 0
0 0 0 1
)
x1
x2
x3
x4
 assim ~x =

0
1
0
0
 a+

0
0
1
0
 b =

0
a
b
0

Resposta a
14. Seja T uma transformação linear cuja matriz canônica possui 5 linhas e 3 colunas. A alternativa correta
é:
(a) T é sobrejetora se a nulidade é zero e T nunca
será injetora.
(b) T é sobrejetora se a nulidade é 3 e T nunca será
injetora.
(c) T é inversível se a nulidade é zero.
(d) T é injetora se a nulidade é 3 e T nunca será
sobrejetora.
(e) T é injetora se a nulidade é zero e T nunca será
sobrejetora.
T : R3 → R5
A transformação não pode ser sobrejetora ou inver-
sível, mas se Nulidade for 0 será injetiva
Resposta e
15. Sejam P3 (EV polinômios de grau menor ou igual a 3) e W = Span{p1(t), p2(t), p3(t), p4(t), p5(t)} onde:
p1(t) = 5t
3 + 3t, p2(t) = t
3 + 4t2, p3(t) = 2t
2 + 7t, p4(t) = t, p5(t) = 2t
2 + 4t
A dimensão de W é:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
Isomorfismo com R3
1 0 0 0 5
4 2 0 2 0
0 4 1 7 3
0 0 0 0 0
≈
1 0 0 0 5
0 2 0 2 −20
0 0 1 3 43
0 0 0 0 0
Resposta c
16. Sabendo que para uma matriz A ser reduzida à matriz identidade são necessárias a aplicação de três
operações elementares descritas por:
1. L2 + 2L3 → L2 E1
2. L1 − 4L3 → L1 E2
3. L1 + 2L2 → L1 E3
Com estas afirmações podemos dizer que A−1 é:
(a)
1 2 00 1 2
0 0 1
 (b)
1 −2 40 1 −2
0 0 1
 (c)
1 2 40 1 2
0 0 1
 (d)
1 4 20 1 2
0 0 1
 (e) NRA
E3E2E1A = I logo A−1 =
1 2 00 1 0
0 0 1
1 0 −40 1 0
0 0 1
1 0 00 1 2
0 0 1
 =
1 2 00 1 2
0 0 1

Resposta a
17. Se um sistema de quatro incógnitas Ax = b, onde Posto(A) = 4, podemos afirmar:
(a) Este sistema sempre será consistente.
(b) Este sistema sempre será inconsistente.
(c) Dependendo de b o sistema pode não ter solução ou pode ter infinitas soluções
(d) Dependendo de b o sistema pode ter exatamente uma solução ou pode não ter solução
(e) O sistema tem solução única
A4×n com n ≥ 4. Assim a, b, c, e são falsas
Resposta d
18. Seja W =
{(
0 −a+ 3b
a− 2b c
)}
, podemos afirmar:
(a)W não é subespaço deM2×2 (b) dim(W ) = 1 (c) dim(W ) = 2 (d) dim(W ) = 3 (e) dim(W ) = 4
Resposta d
19.Seja A um matriz m × n, n ≤ m, e suponha que cada coluna de A tenha uma posição pivô. É correto
afirmar que:
(a) Ax = b solução única (b) Col(A) = Rn (c) N(A) = {~0}
. (d) Ax = 0 muitas soluções (e) Colunas de AT são LD
Raciocínio semelhante da questão 17. Resposta c
20. Considere A, B, C e X matrizes n × n, com A, B e C inversíveis. Considere a equação matricial
C(I+AX)B−1 = I onde I é a matriz identidade. Assim o valor de X é:
(a) A−1(BC−1 − I) (b) (C−1B− I)A−1 (c) (BC−1 − I)A (d) (B−1C− I)A (e) A−1(C−1B− I)
Resposta e