Teste de Hipoteses

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Hipo´teses e Erros T. H. n ≥ 30 ou σ conhecido T. H. me´dia n < 30 e σ desconhecido T. H. proporc¸a˜o T. H. variaˆncia T. H. desvio padra˜o
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLAˆNDIA
Cieˆncias Conta´beis-Estat´ıstica
Eduard Rojas Castillo
FAMAT-UFU
2015
VI. Teste de Hipo´teses
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Hipo´teses e Erros T. H. n ≥ 30 ou σ conhecido T. H. me´dia n < 30 e σ desconhecido T. H. proporc¸a˜o T. H. variaˆncia T. H. desvio padra˜o
Introduc¸a˜o: Hipo´teses e Erros
Teste de Hipo´teses e´ um procedimento para verificar se os dados
corroboram (concordam) com alguma afirmativa ou na˜o, sobre uma
populac¸a˜o.
Um teste de hipo´teses consiste em analisar uma amostra, por meio
da teoria de probabilidades, para verificar se uma afirmativa acerca
de determinado paraˆmetro e´ rejeitada ou na˜o.
Como uma dada afirmac¸a˜o pode ser verdadeira ou falsa, formula-se
duas hipo´teses:
1 Hipo´tese nula (H0).
2 Hipo´tese alternativa (H1).
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Hipo´teses: Nula e alternativa
1 Hipo´tese nula, e´ uma hipo´tese estat´ıstica que conte´m uma afirmac¸a˜o
de igualdade. Por exemplo: ( µ = 60kg ; µ ≤ 60kg ; µ ≥ 60kg ;
p = 0, 7; p ≤ 0, 7; p ≥ 0, 7; σ2 = 16g 2; etc.)
2 Hipo´tese alternativa, e´ complemento da hipo´tese nula. (µ 6= 60Kg ;
µ > 60kg ; µ < 60kg ). E´ a hipo´tese que deve ser aceita caso H0 for
falsa.
A resposta num teste de hipo´tese e´ dada na forma:
Rejeitar H0: Significa que os dados observados testemunham
fortemente contra H0, neste caso sera´ adotada a hipo´tese H1.
Na˜o rejeitar H0: Significa que na˜o ha´ evideˆncia suficiente para
rejeitar H0.
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A amostra ainda que seja aleato´ria (o que deve ser) pode nos induzir a
tomar deciso˜es erradas acerca do paraˆmetro.
Tipos de Erros em um Teste de Hipo´teses:
Decisa˜o
Estado Real
H0 e´ verdadeira H0 e´ Falsa
Aceita H0 Decisa˜o Correta Erro Tipo II (β)
Rejeita H0 Erro Tipo I (α) Decisa˜o Correta
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Exemplo
Os dois tipos de erros podem ser melhor entendidos, se fizermos uma
analogia com um “julgamento”, como a seguir:
H0: O acusado e´ inocente;
H1: O acusado e´ culpado.
Se, de forma equivocada, H0 for rejeitada tem-se o erro Tipo I.
Considera-se que este, dentre os dois tipos de erros e´ o mais grave e
enta˜o, preocupa-se em controlar a probabilidade de sua ocorreˆncia.
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N´ıvel de significaˆncia e valor p
Definic¸a˜o
N´ıvel de significaˆncia e´ a probabilidade ma´xima permiss´ıvel, para cometer
um erro Tipo I. Esta probabilidade e´ denotada por α e seus valores mais
comuns sa˜o 0,10, 0,05 e 0,01.
A probabilidade de um erro Tipo II e´ denotada por β.
Definic¸a˜o
Se a hipo´tese nula for verdadeira, um valor P ou valor de probabilidade
de um teste de hipo´tese e´ a probabilidade de se obter uma estat´ıstica
amostral com valores ta˜o extremos ou mais extremos do que aquela
determinada a partir dos dados da amostra.
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Teste de Hipo´tese sobre uma Me´dia - µ
1o Caso: n ≥ 30 ou σ conhecido
Suposic¸o˜es:
1 A amostra e´ aleato´ria;
2 A amostra e´ oriunda de uma populac¸a˜o normal.
Possibilidades de Hipo´teses
1-Hipo´teses:
1.1:
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
ou 1.2:
{
H0 : µ ≤ µ0
H1 : µ > µ0
ou 1.3:
{
H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ < µ0
O teste e´ realizado escolhendo-se um caso dentre os treˆs listados.
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2 - Estat´ıstica padronizada do Teste: z =
X¯ − µ0
σ√
n
Se σ na˜o for conhecido mas a amostra for grande, substitua por s
na fo´rmula acima.
3 - Decisa˜o: A varia´vel em (2) tem distribuic¸a˜o normal padra˜o logo,
o(s) valor(es) cr´ıticos (valores que determinam a regia˜o ou as regio˜es de
rejeic¸a˜o de H0) sa˜o determinados a partir desta distribuic¸a˜o.
O teste e´ realizado escolhendo-se as hipo´teses de interesse (um caso
dentre os treˆs 1.1, 1.2 ou 1.3), determinando-se a estat´ıstica do teste e
tomando-se a decisa˜o.
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O valor P de um teste de hipo´tese depende da natureza do teste.
Ha´ treˆs tipos de teste de hipo´tese. Teste unicaudal a` esquerda, teste
unicaudal a` direita e teste bicaudal.
1) Teste unicaudal a` esquerda: Se H1 conte´m o s´ımbolo (<).
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2) Teste unicaudal a` direita: Se H1 conte´m o s´ımbolo (>).
3) Teste bicauldal: Se H1 conte´m o s´ımbolo (6=). Em um teste
bicaudal, cada cauda tem uma a´rea de 1
2
P .
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Quanto menor o valor P do teste, mais evideˆncia ha´ para se rejeitar
H0. Um valor P muito pequeno indica um evento incomum.
Lembre-se, entretanto, que mesmo um valor P , muito baixo na˜o
constitui prova de que a hipo´teses nula e´ falsa, somente que esta e´
provavelmente falsa.
Regra de decisa˜o baseada em um valor P
Se P ≤ α, enta˜o rejeite H0.
Se P > α, enta˜o falhe em rejeitar H0.
A tabela a seguir ajudara´ a interpretar sua decisa˜o.
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Regra de decisa˜o baseada na regia˜o de rejeic¸a˜o
Se a estat´ıstica do teste padronizada z :
estiver na regia˜o de rejeic¸a˜o, enta˜o rejeite H0;
na˜o estiver na regia˜o de rejeic¸a˜o, enta˜o falhe em rejeitar H0.
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Exemplo 1
Em um anu´ncio, uma pizzaria afirma que a me´dia de seu tempo de
entrega e´ menor que 30 minutos. Uma selec¸a˜o aleato´ria de 36 tempos de
entrega tem me´dia amostral de 28,5 e desvio padra˜o de 3,5 minutos. Ha´
evideˆncia suficiente para apoiar a afirmac¸a˜o em α = 0, 01?
Soluc¸a˜o
1-Hipo´teses:
{
H0 : µ ≥ 30
H1 : µ < 30
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2-Estat´ıstica padronizada do teste:
z =
X¯ − µ0
S√
n
=
28, 5− 30
3, 5√
36
= −2, 57
3-Decisa˜o:
Com α = 0, 01, a Regia˜o de Rejeic¸a˜o de H0 e´ composta por todos os
valores de z menores que -2,33. RRH0 = {z ∈ R|z < −2, 33}.
Ilustre graficamente.
Conclusa˜o: Tem-se evideˆncia suficiente para concluir que a me´dia do
tempo de entrega e´ menor que 30 minutos a 1% de significaˆncia.
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Exemplo 2
O departamento de agricultura dos Estados Unidos reporta que o custo
me´dio para se criar um filho ate´ a idade de 2 anos na zona rual e´ de $
10.460. Voceˆ acredita que esse valor esta´ incorreto, enta˜o voceˆ seleciona
uma amostraaleato´ria de 900 crianc¸as (com idade ate´ 2 anos) e descobre
que a me´dia dos custos e´ $ 10.345 com desvio padra˜o de $ 1.540. Com
α = 0, 05, ha´ evideˆncias suficiente para concluir que a me´dia do custo e´
diferente de $ 10.460?
Soluc¸a˜o
1-Hipo´teses:
{
H0 : µ = $10.460
H1 : µ 6= $10.460
2-Estat´ıstica padronizada do teste:
z =
X¯ − µ0
S√
n
=
10.345− 10.460
1.540√
900
= −2, 24
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3-Decisa˜o:
Com α = 0, 05, a Regia˜o de Rejeic¸a˜o de H0 e´ composta por todos os
valores de z compreendidos entre -1,96 e 1,96. Haja vista o valor de α e a
hipo´tese H1. RRH0 = {z ∈ R|z < −1, 96 ou z > 1, 96}.
Conclusa˜o: Tem-se evideˆncia suficiente para concluir que a me´dia do
custo de se criar um crianc¸a desde o nascimento ate´ os 2 anos em uma
a´rea rural dos Estados Unidos e´ significativamente diferente de $ 10.460 a
5% de significaˆncia.
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Exemplo 3
Em Ilinois, uma amostra aleato´ria de 85 alunos da oitava se´rie tem nota
me´dia de 282 com desvio padra˜o de 35 em um teste nacional de
matema´tica. O resultados do teste informa ao administrador de uma
escola estadual que a nota me´dia no teste para os alunos da oitava se´rie
do estado e´ mais do que 275. Com α = 0, 04, ha´ evideˆncia suficiente
para apoiar a afirmac¸a˜o do administrador?
Soluc¸a˜o
1-Hipo´teses:
{
H0 : µ ≤ 275
H1 : µ > 275
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2-Estat´ıstica padronizada do teste:
z =
X¯ − µ0
S√
n
=
282− 275
35√
85
= 1, 84
3-Decisa˜o:
Com α = 0, 04, a Regia˜o de Rejeic¸a˜o de H0 e´ composta por todos os
valores de z maiores que 1,75. RRH0 = {z ∈ R|z > 1, 75}.
Ilustre graficamente
Conclusa˜o: Tem-se evideˆncia suficiente para apoiar a afirmac¸a˜o do ad-
ministrador, ou seja, ha´ evideˆncia de que a nota me´dia no teste para os
alunos da oitava se´rie do estado de Ilinois e´ significativamente maior que
275 com α = 0, 04
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Tomando decisa˜o a partir do valor p
Sempre que o valor p for menor que a significaˆncia, ha´ evideˆncias
para rejeitar H0.
Calcule o valor p para os exemplos 1, 2 e 3 apresentados anteriormente e
decida sobre a rejeic¸a˜o ou na˜o de H0.
Para o exemplo 1: P(Z < −2, 57) = 0, 0051
Para o exemplo 2: 2× P(Z < −2, 24) = 2× 0, 0125 = 0, 0250 e
Para o exemplo 3: P(Z > 1, 84) = 0, 0329
Como estes valores sa˜o menores que a significaˆncia em cada caso, enta˜o
decide-se pela rejeic¸a˜o de H0.
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Teste de Hipo´tese sobre uma Me´dia - µ
2o Caso: n < 30 e σ desconhecido
Exemplo 4
De uma populac¸a˜o de alunos foi extra´ıda uma amostra de 6 indiv´ıduos
com as seguintes alturas: 150, 152, 153, 160, 161, 163. Teste a
afirmativa de que a me´dia de altura desta populac¸a˜o e´ 160 a 5% de
significaˆncia.
Soluc¸a˜o
1-Hipo´teses:
{
H0 : µ = 160
H1 : µ 6= 160
2-Estat´ıstica padronizada do Teste:
t =
x¯ − µ0
S√
n
=
156, 5− 160
5, 46√
6
= −1, 57
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3-Decisa˜o:
Com α = 0, 05, a Regia˜o de Rejeic¸a˜o de H0 e´ composta por todos os
valores de t maiores que 2,571 ou t menores que -2,571. Isto e´;
RRH0 = {t ∈ R| t < −2, 571 ou t > 2, 571}
Ilustrar graficamente.
Conclusa˜o: Logo, na˜o ha´ evideˆncias para afirmarmos que a me´dia de
altura da populac¸a˜o de alunos seja significativamente diferente de 160 a
5% de significaˆncia.
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Teste de Hipo´tese sobre uma Me´dia - µ
OBS.: Lembre-se que se a variaˆncia (ou desvio padra˜o) populacional
for conhecido ou se n ≥ 30 o teste de hipo´tese sobre uma me´dia pode
ser realizado utilizando a distribuic¸a˜o normal padra˜o (tabela z).
A vantagem disso, e´ que a suposic¸a˜o de normalidade deixa de ser
necessa´ria.
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Teste de hipo´tese para uma proporc¸a˜o (p)
Suposic¸o˜es:
1 A amostra e´ aleato´ria.
2 As observac¸o˜es sa˜o de uma varia´vel com distribuic¸a˜o de Binomial,
isto e´, em cada indiv´ıduo a caracter´ıstica observada e´ do tipo “sim”
ou “na˜o”.
3 np ≥ 5 e nq ≥ 5. Estas duas condic¸o˜es garantem uma boa
aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o de p^ para a distribuic¸a˜o normal, com
µp^ = p e σp^ =
√
pq
n
4 Teste z para uma proporc¸a˜o p, e´:
z =
p^ − µp^
σp^
=
p^ − p√
pq
n
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Teste de hipo´tese para uma proporc¸a˜o (p)
1-Hipo´teses:
1.1:
{
H0 : p = p0
H1 : p 6= p0 ou 1.2:
{
H0 : p ≤ p0
H1 : p > p0
ou 1.3:
{
H0 : p ≥ p0
H1 : p < p0
2 - Estat´ıstica do Teste: zc =
p^ − p0√
p0q0
n
3 - Decisa˜o: A varia´vel em (2) tem distribuic¸a˜o normal logo, o(s)
valor(es) cr´ıticos (valores que determinam a regia˜o ou as regio˜es de
rejeic¸a˜o de H0) sa˜o determinados a partir desta distribuic¸a˜o.
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Exemplo 5
Uma pesquisa conclui (afirma) que 90% dos me´dicos recomendam
aspirina a pacientes que teˆm filhos. Teste a afirmac¸a˜o, ao n´ıvel de
significaˆncia de 0,05, de que a percentagem e´ inferior a 90%, se numa
amostra aleato´ria de 100 me´dicos, 80% recomendam aspirina.
Soluc¸a˜o
1-Hipo´teses:
{
H0 : p ≥ 0, 90
H1 : p < 0, 90
2 - Estat´ıstica do Teste: z =
0, 80− 0, 90√
0, 90× 0, 10
100
= −3, 33
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3 - Decisa˜o: Com α = 0.05, a Regia˜o de Rejeic¸a˜o de H0 e´:
RRH0 = {z ∈ R| z < −1, 645} (ilustrar graficamente)
4 - Conclusa˜o: Logo, ha´ evideˆncias para afirmarmos que a proporc¸a˜o de
me´dicos que recomendam aspirina a pacientes que teˆm filhos e´ menor
que 90% a 5% de significaˆncia.
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Teste de hipo´tese para uma variaˆncia (σ2) e desvio padra˜o
σ
1 Para testar uma variaˆncia σ2 ou um desvio padra˜o σ de uma
populac¸a˜o que e´ normalmente distribu´ıda, podemos usar o teste
qui-quadrado (χ2).
2 A estat´ıstica de teste padronizado e´: χ2 =
(n − 1) s2
σ2
1-Hipo´teses:
1.1:
{
H0 : σ
2 = σ2
0
H1 : σ
2 6= σ2
0
ou 1.2:
{
H0 : σ
2 ≤ σ2
0
H1 : σ
2 > σ2
0
ou 1.3:
{
H0 : σ
2 ≥ σ2
0
H1 : σ
2 < σ2
0
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Teste de hipo´tese para uma variaˆncia (σ2).
2 - Estat´ıstica do Teste: χ2 =
(n − 1)S2
σ2
0
3 - Decisa˜o: A varia´vel em (2) tem distribuic¸a˜o de qui-quadrado com
n − 1 graus de liberdadelogo, o(s) valor(es) cr´ıticos (valores que
determinam a regia˜o ou as regio˜es de rejeic¸a˜o de H0) sa˜o determinados a
partir desta distribuic¸a˜o.
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Valores cr´ıticos para um teste χ2.
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Exemplo
Encontre e o valor cr´ıtico χ2 para um teste unicaudal a` esquerda quando
n = 11 e α = 0.01
Soluc¸a˜o
g .l . = n − 1 = 11− 1 = 10.
A a´rea a` direita do valor cr´ıtico e´: 1− α = 0.99.
Na tabela χ2 com g .l . = 10 e a a´rea 1− α = 0.99, o valor cr´ıtico e´
χ2
0
= 2.558.
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Exemplo
Encontre o valor cr´ıtico χ2 para um teste unicaudal a` direita quando
n = 26 e α = 0.10
Soluc¸a˜o
g .l . = n − 1 = 26− 1 = 25.
Na tabela χ2 com g .l . = 25 e a a´rea α = 0.99, o valor cr´ıtico e´
χ2
0
= 34.382.
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Exemplo
Encontre os valores cr´ıticos χ2 para um teste bicaudal quando n = 13 e
α = 0.010
Soluc¸a˜o
g .l . = n − 1 = 13− 1 = 12.
α
2
= 0.005
As a´reas a` direita dos valores cr´ıticos sa˜o: α
2
= 0.005 e
1− α
2
= 0.995
Na tabela χ2 com g .l . = 25 e as a´reas 0.005 e 0.995, os valores
cr´ıticos sa˜o χ2R = 28.299 e χ
2
L = 3.074
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Exemplo 6:
Exemplo 6: Um pesquisador desconfia que pessoas de uma determinada
regia˜o do pa´ıs apresentem alturas menos homogeˆneas. Ele quer testar se
a variaˆncia dessa populac¸a˜o e´ maior que 0, 30m2. De uma amostra com
31 pessoas obteve-se s2 = 0, 40m2. Adotando α = 0, 05, qual deve ser a
conclusa˜o do teste?
Soluc¸a˜o
1-Hipo´teses:
{
H0 : σ
2 ≤ 0, 30
H1 : σ
2 > 0, 30
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Hipo´teses e Erros T. H. n ≥ 30 ou σ conhecido T. H. me´dia n < 30 e σ desconhecido T. H. proporc¸a˜o T. H. variaˆncia T. H. desvio padra˜o
2 - Estat´ıstica do Teste: χ2c =
(31− 1)0, 40
0, 30
= 40
3 - Decisa˜o Com α = 0.05 e g .l . = 30 a Regia˜o de Rejeic¸a˜o de H0 e´:
RRH0 = {χ
2 ∈ R| χ2 > 43, 773} (ilustrar graficamente)
4 - Conclusa˜o: Logo, na˜o ha´ evideˆncias suficientes para afirmarmos que
a populac¸a˜o da referida regia˜o e´ menos homogeˆnea quanto a`s alturas, em
relac¸a˜o ao restante do pa´ıs, com significaˆncia de 5%.
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Hipo´teses e Erros T. H. n ≥ 30 ou σ conhecido T. H. me´dia n < 30 e σ desconhecido T. H. proporc¸a˜o T. H. variaˆncia T. H. desvio padra˜o
Teste de hipo´tese para um desvio padra˜o (σ).
1-Hipo´teses:
1.1:
{
H0 : σ = σ0
H1 : σ 6= σ0 ou 1.2:
{
H0 : σ ≤ σ0
H1 : σ > σ0
ou 1.3:
{
H0 : σ ≥ σ0
H1 : σ < σ0
E o restante do teste e´ feito da mesma forma como para a variaˆncia pois,
se a hipo´tese (afirmac¸a˜o) e´ sobre σ enta˜o, pode-se fazer uma afirmac¸a˜o
equivalente sobre σ2
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Hipo´teses e Erros T. H. n ≥ 30 ou σ conhecido T. H. me´dia n < 30 e σ desconhecido T. H. proporc¸a˜o T. H. variaˆncia T. H. desvio padra˜o
Exemplo 7
Um restaurante afirma que o desvio padra˜o no tempo de servir e´ menor
que 2,9 minutos. Uma amostra aleato´ria de 23 tempos de servic¸o tem
um desvio padra˜o de 2,1 minutos. Com α = 0, 10, ha´ evideˆncia o
bastante para dar suporte a` afirmac¸a˜o do restaurante? Suponha que a
populac¸a˜o seja normalmente distribu´ıda.
Soluc¸a˜o
1 - Hipo´teses:
{
H0 : σ ≥ 2, 9 minutos
H1 : σ < 2, 9 minutos
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Hipo´teses e Erros T. H. n ≥ 30 ou σ conhecido T. H. me´dia n < 30 e σ desconhecido T. H. proporc¸a˜o T. H. variaˆncia T. H. desvio padra˜o
2 - Estat´ıstica do Teste: χ2 =
(23− 1)(2, 1)2
(2, 9)2
≈ 11, 536
3 - Decisa˜o: O teste e´ unicaudal a` esquerda, o n´ıvel de significaˆncia e´
α = 0, 1 e ha´: g .l . = 23− 1 = 22, graus de liberdade. Enta˜o o valor
cr´ıtico e´: χ2
0
= 14, 042.
RRH0 = {χ
2 ∈ R| χ2 < 14, 042} (ilustrar graficamente)
4- Conclusa˜o: No n´ıvel de significaˆncia de 10%, ha´ evideˆncias
suficientes para afirmarmos que o desvio padra˜o para o tempo de servic¸o
e´ menor que 2,9 minutos.
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	 Hipóteses e Erros
	T. H. n 30 ou conhecido
	T. H. média n < 30 e desconhecido
	T. H. proporção
	T. H. variância
	T. H. desvio padrão