Cointegração e VAR em Econometria

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Aula 07
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Econometria p/ BACEN 2016 
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AULA 07 ± Cointegração e VAR 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Regressão Espúria 2 
2. Cointegração e modelo de correção de erro 5 
3. Vetor auto-regressivo (VAR) 12 
3.1 Condição de estacionariedade de um VAR 15 
3.2 Função de Impulso-Resposta 19 
Indo mais fundo 23 
Lista de Exercícios resolvidos 38 
Gabarito 48 
 
 
Está acabando, força aí! Digamos asVLP��R�³JURVVR´�GR�FXUVR� Mi�IRL��Então, bola para 
frente! 
 
Sem edital? Então, essa é a melhor hora para terminar de estudar econometria. 
Quando a matéria é muito difícil, é bom que vocês usem qualquer tempo disponível 
para se aprofundarem no estudo da matéria. Assim, parem de ficar pensando em 
edital e caiam em cima dos livros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Regressão Espúria 
 
Bom gente, antes de qualquer coisa, preciso explicar o conceito de regressão espúria 
para vocês. Pense comigo, vamos fazer uma regressão do PIB chinês contra o índice 
de homicídios no Nordeste brasileiro. 
 
O PIB chinês vem apresentando taxas de crescimento elevadas, tal como a violência 
no Nordeste (www.mapadaviolencia.org.br), então, caso colocássemos as curvas das 
séries em um gráfico, os resultados seriam semelhantes ao gráfico abaixo. 
 
 
 
Você percebe que o comportamento de ambas é semelhante? 
 
-³(P�TXH�VHQWLGR��SURIHVVRU´" 
 
Ambas estão crescendo! 
 
Só para você ter uma ideia, se fizéssemos uma regressão do PIB chinês contra o 
índice de violência no Nordeste, o coeficiente da variável explicativa seria significativo 
e apresentaria um R² de 94,45% (Isso a partir de uma amostra ajustada, percebam 
que é só para da um exemplo)! 
 
0
10
20
30
40
50
60
Plot das curvas
Crescimento Chinês
Violência no Nordeste
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9RFr�LULD�SHQVDU�� ³PHX�GHXV��GHVFREUL�D�$PpULFD´��(QWmR��D�SULPHLUD�FRLVD�TXH�YRFr�
deveria fazer é uma ligação baratinha para o governo chinês e dizer: 
 
-³2OKD�SHVVRDO��PH�DMXGHP�D�DXPHQWDU� D�YLROrQFLD�QR�1RUGHVWH��TXH�YRFr�LUmR�FUHVFHU�
FDGD�YH]� PDLV´�� 
 
Bom, mas antes de fazer isso, pense um pouquinho, pois você, provavelmente, 
acabará em uma prisão chinesa. Não tem lógica pensar nessa relação causal! Você 
pode até encontrar uma explicação para este fato, como a possibilidade de que o 
governo brasileiro importe mais mecanismos de proteção da China, conforme a 
violência aumenta. Mas, tem uma muito mais simples, essa é uma regressão 
espúria! 
 
,QWXLWLYDPHQWH�� VH�GXDV�YDULiYHLV� SRVVXHP�XP�FRPSRUWDPHQWR� ³H[SORVLYR´�� WDO�FRPR�
o PIB chinês e a violência no Nordeste, ambas crescem ou caem de forma crescente. 
,VVR�³Gi�D�LPSUHVVmR´�GH�TXH�XPD�YDULiYHO� SRGH�HVWDU�³FDXVDQGR´� D�Rutra! Os testes 
estatísticos, em sua maioria, vão apontar significância estatística, tal como o teste F 
e os testes de hipóteses sobre os coeficientes. Ou seja, apesar de alguns dos testes 
estatísticos indicarem que a regressão é significativa, as variáveis não guardam 
relação teórica entre si. 
 
Vamos falar em termos mais técnicos. Isso pode ocorrer em dois casos: com 
variáveis estacionárias ou não estacionárias. 
 
No caso de duas variáveis estacionárias, se você encontra uma relação estatística 
entre ambas, mas que não faz sentido em termos teóricos, isso pode ser decorrência 
da falta de alguma variável de controle. Portanto, a correlação espúria entre duas 
variáveis pode descrever uma situação na qual estas duas são correlacionadas pelas 
suas correlações com uma terceira variável. Por exemplo, ao regredir o PIB chinês 
contra a violência no Nordeste (supondo que ambas são estacionárias), podemos 
adicionar uma nova variável explicativa, como a taxa de crescimento mundial, que 
pode fazer com que a violência no Nordeste perca sua significância estatística. Nesse 
caso, eliminamos a correlação espúria ao acrescentar uma variável explicativa. 
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Outro caso importante é que podemos eliminar a correlação espúria entre duas 
variáveis explicativas com tendência crescente ou decrescente pela inclusão de uma 
YDULiYHO� H[SOLFDWLYD� GH� ³WHQGrQFLD� GHWHUPLQtVWLFD´�� 1R� QRVVR� FDVR�� VH� DV� YDULiYHLV�
estudadas têm tendência de crescimento estacionário, a inclusão de uma variável 
³WHQGrQFLD�GHWHUPLQtVWLFD´� SRGH�UHVROYHU� R�SUREOHPD�GD�Forrelação espúria. Algo que 
pode indicar tal situação é a aplicação do teste de Dickey-Fuller (DF) aumentado com 
tendência, tal como explicado na aula anterior. 
 
Agora, se ambas as variáveis não forem estacionárias, a coisa complica. Nesse 
caso, pode surgir o problema da regressão espúria de Granger e Newbold. Neste 
caso, PHVPR� FRP� D� LQFOXVmR� GH�XP� WHQGrQFLD�� D�UHJUHVVmR� SRGH�DLQGD� ³SDUHFHU´�
adequada. 
 
Na verdade, pode-se provar que o R² e o teste os testes de hipóteses não têm um 
comportamento padrão. Ou seja, mesmo que os processos sejam independentes, os 
testes vão indicar o contrário. 
 
Vocês podem me dizer: 
 
-³3URIHVVRU��PDV�SRU�TXH�HX�QmR�GLIHUHQFLR�DPEDV�DV�YDULiYHLV�H�SURQWR´" 
 
Boa Rapaz! Se você pensou isso, parabéns! Isso resolve o problema! 
 
Mas, não resolve o problema teórico! Você quer encontrara a relação entre as 
variáveis em nível e não em diferenças! Isso pode significar uma grande diferença em 
termos teóricos. Mas, o que fazer? 
 
 
 
 
 
Uma expressão muito utilizada no meio acadêmico para 
definir estacionariedade é o posicionamento da variável com 
UHODomR�DR�³FtUFXOR�XQLWiULR´��&,���$VVLP� 
 
-Processo estacionário = raízes estão fora do CI 
 
-Processo não estacionário = raízes dentro do CI 
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2. Cointegração e modelo de correção de erro 
 
Para fins de prova, vamos tratar de variáveis que sejam I(1), apesar de o conceito 
de cointegração ser aplicável a variáveis com mais de uma raiz unitária. 
 
A ideia é a seguinte, suponha dois processos independentes ݕ௧ e ݔ௧, sendo que 
ambas possuem uma (1) raiz unitária. Agora, realize uma regressão: ݕ௧ ൌ ߚݔ௧ ൅ ݑ௧ 
Bom, obviamente, esta é uma séria candidata a regressão espúria. Se o seu interesse 
é a relação em nível e não em diferenças, não basta diferenciar as variáveis. Assim, 
o que fazer? 
 
Engle e Granger deram um tratamento formal a este problema. Os autores 
perceberam que é possível que haja uma combinação linear tal que: ߣଵݕ௧ ൅ ߣଶݔ௧ ׽ ܫሺ ?ሻ 
Portanto, é possível encontrar uma combinação linear entre as variáveis com 
mesma ordem de integração que é estacionária. Assim, é possível que exista um 
ȕ�WDO�TXH� ݕ௧ െ ߚݔ௧ ׽ ܫሺ ?ሻ 
(VWH�ȕ�VHULD�FKDPDGR�GH�SDUkPHWUR�GH�FRLQWHJUDomR�� 
 
Mas, o que quer dizer isso? Na verdade, você está visualizando se há uma relação 
de longoprazo entre as variáveis. Preste atenção, pode ser que não haja, como 
no nosso exemplo do PIB chinês e o índice de violência no Nordeste. 
 
Vamos supor que ݔ௧ é o preço de canetas pretas da marca X, enquanto ݕ௧ é o preço 
de canetas pretas da marca Y. Pensem em Economia! O preço dos dois produtos 
guardam uma relação de longo prazo, já que ambos são substitutos (não 
necessariamente perfeitos, pois pode haver diferenças de qualidade e publicidade). 
Assim, a diferença de preços entre eles mantém um valor de longo prazo, haja vista 
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a impossibilidade de que um dos dois produtos apresente uma elevação de preços 
muito significativa, em detrimento do outro (pois, caso contrário, os consumidores 
migrariam para o produto que não teve aumento, reduzindo o preço do primeiro e 
elevando o do segundo). 
 
Portanto, pode-se escrever a relação entre ambos de forma que: 
 ȟݕ௧ ൌ ߶ଶ ሺݕ௧ିଵ െ ߚݔ௧ିଵሻ ൅ ݁௧ (1) ȟݔ௧ ൌ ߶ଵ ሺݕ௧ିଵ െ ߚݔ௧ିଵሻ ൅ ݒ௧ 
De forma que ߶ଶ ൏ ? e ߶ଵ ൐ ?. 
 
3UHVWHP�DWHQomR��e�FRPR�VH�IRVVH�XP�³HOiVWLFR´��4XDQGR�R�SUHoR�GH�ݕ௧ está elevado, 
a variação em ݔ௧ (ݕ௧) deverá ser no sentido de aumentar (diminuir) no próximo 
período, de modo a ³YROWDU� SDUD o valor de equilíbrio´. Isso é uma relação de 
cointegração! 
 
Bom, se duas variáveis são cointegradas, você pode estimar ݕ௧ ൌ ߚݔ௧ ൅ ݑ௧ 
por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). 
 
Mas, como saber se as variáveis são cointegradas? Afinal: ݕ௧ െ ߚݔ௧ ൌ ݑ௧ ׽ ܫሺ ?ሻ 
2X� VHMD�� D� SHUJXQWD� p�� Ki� XP� YHWRU� GH� FRLQWHJUDomR� ȕ�� WDO� TXH� D� UHODomR� DFLPD�p�
verdadeira? 
 
Perceba que basta testarmos se ࢛࢚ ׽ ࡵሺ૙ሻ. Portanto, precisamos averiguar se os 
resíduos da regressão são estacionários. 
 
Como fazer isso? Basta utilizarmos o teste DF. Entretanto, os valores críticos não são 
os mesmo usuais, pois a hipótese nula implica que as séries não são cointegradas e, 
portanto, estaremos computando uma regressão espúria. Os valores críticos são 
estes: 
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Bom, nós já dissemos que, se as variáveis são cointegradas, pode-se estimar o 
mesmo por MQO. As etapas propostas por Engle-Granger para testar cointegração 
são: 
 
1) Verifique, por meio dos testes de raiz unitária, se as variáveis ݕ௧ e ݔ௧ têm a mesma 
ordem de integração. Caso não seja este o caso, as variáveis não podem ser 
FRQVLGHUDGDV�GHQWUR�GR�³FDVR�FOiVVLFR�GH�FRLQWHJUDomR´. Assim, via de regra, quando 
as ordens de integração entre as variáveis forem diferentes, a regressão entre estas 
duas será inválida, ok? 
 
2) Estime o modelo abaixo por MQO. ݕ௧ ൌ ߚݔ௧ ൅ ݑ௧ 
2) Realize um teste de raiz unitária nos resíduos: ȟݑ௧ �ܿ݋݊ݐݎܽ��ݑ୲, 
aplicando o teste DF (pode ser o teste DF aumentado). 
 
3) Se os resíduos forem estacionários, as séries cointegram, caso contrário, não. 
 
Essa é a forma mais simples, mas suficiente. Nesse caso, você pode usar a estimativa 
do passo (1) sem medo. 
 
 
 
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Uma outra forma muito comum de se utilizar o resultado de que duas variáveis são 
cointegradas é por meio dos modelos de correção de erro. 
 
Vamos à primeira equação do sistema (1): ȟݕ௧ ൌ ߶ଶ ሺݕ௧ିଵ െ ߚݔ௧ିଵሻ ൅ ݁௧ 
Se nós incluirmos algumas defasagens da variável dependente e da independente 
podemos estudar toda a dinâmica do comportamento de ݕ௧ ao longo de determinado 
período. Assim: ȟݕ௧ ൌ ߶଴ ȟݔ௧ ൅ ߶ଵȟݕ௧ିଵ ൅ ߶ଶ ȟݔ௧ିଵ ൅ ߶ଷ ሺݕ௧ିଵ െ ߚݔ௧ିଵሻ ൅ ݁௧ 
Que é o mesmo que: ȟݕ௧ ൌ ߶଴ ȟݔ௧ ൅ ߶ଵ ȟݕ௧ିଵ ൅ ߶ଶ ȟݔ௧ିଵ ൅ ߶ଷ ሺݑ௧ିଵሻ ൅ ݁௧. 
Este é o conhecido modelo de correção de erro (MCE)! 
 
O MCE permite o estudo da dinâmica de curto prazo de uma variável, com destaque 
para a forma que se comporta ߶ଷ , tal como explicamos acima. O componente ߶ଷ ሺݑ௧ିଵሻ é conhecido como termo de correção de erro, que permite a análise da 
relação teórica entre as variáveis. Perceba que quanto maior o valor de ߶ଷ , mais 
rápido é o ajuste até o equilíbrio. 
 
-³0DV��SURIHVVRU��FRPR�VDEHU�TXDQWDV�GHIDVDJHQV�XWLOL]DU� HP�XP�0&(´" 
 
Bom, essa é uma outra discussão, mas vamos lá. 
 
Em primeiro lugar, você tem que verificar se a sua teoria contempla alguma coisa, 
pois muitas vezes essa informação é essencial para testar a teoria que você está 
avaliando. Assim, a própria teoria irá te dizer quantas variáveis utilizar. 
 
Outras formas estão relacionadas a realizar uma regressão com o maior número de 
defasagens possível e aí aplicar testes, como o F ou o t de Student. Com base nos 
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resultados, você iria excluindo variáveis até atingir o melhor grau de ajustamento 
possível, baseando-se em critérios como o de Akaike e de Schwartz. 
 
 
 
 
Pessoal, esta é uma matéria que não é nem um pouco 
comum de ser cobrada em concursos, pelo menos em concursos que não 
próprios de estatísticos. Assim, vou passar para vocês algumas questões da 
ANPEC. Acredito que possa ser cobrado no concurso atual, mas, se isso 
ocorrer, acredito que a questão será teórica, tal como na ANPEC. 
 
 
(ANPEC ± 2003) Considere o modelo de regressão linear: ࡯࢚ ൌ ࢇ૙ ൅ ࢇ૚ࢅ࢚ ൅ ࢛࢚ ǡ ࢚ ൌ ૚ǡǥ ǡ ࢀ 
Em que ࡯࢚, ࢅ࢚ e ࢛࢚ são o consumo, a renda pessoal e o erro aleatório no período 
t, respectivamente. 
 
Exercício 1 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são I(1), ࢛࢚ �é estacionário. 
 
Resolução 
 
Falso! Isso só será verdade se as séries forem cointegradas. 
 
 
 
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Exercício 2 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são integradas, mas com ordens de integração diferentes, a regressão 
será inválida. 
 
Resolução 
 
Como eu disse para vocês, via de regra, quando duas variáveis tiverem ordem de 
integração diferentes, a regressão será inválida. Verdadeiro! 
 
 
Exercício 3 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são I(1), o teste de Dickey-Fuller aumentado pode ser utilizado para 
identificar cointegração entre as duas variáveis. 
 
Resolução 
 
Perfeito! O teste DF, em suas diversas formas, pode ser utilizado para testar 
estacionariedade dos resíduos. Mas, não se esqueça de que os valores críticos não 
serão os mesmos do teste DF tradicional. 
 
Exercício 4 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são I(1), mas os resíduos são I(0), as séries cointegram. 
 
Resolução 
 
Verdadeiro por definição. 
 
 
 
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Exercício 5 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são I(1), mas os resíduos também são I(1), a regressão de ઢ࡯࢚ contra ઢࢅ࢚ é inválida. 
 
Resolução 
 
Falso. Se os resíduos são I(1), as séries não cointegram, então sua alternativa e 
regredir as variáveis em suas diferenças. 
 
 
(ANPEC ± 2009) Julgue os itens a seguir: 
 
Exercício6 
 
O teste t não será válido em regressões espúrias com variáveis não 
estacionárias 
 
Resolução 
 
Perfeito. A estatística não terá distribuição t em pequenas amostras, nem normal em 
grandes amostras, característica necessária para o teste. 
 
 
(ANPEC ± 2005) Julgue os itens a seguir: 
 
Exercício 7 
 
Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas 
cointegráveis, não se corre os risco de os resultados serem espúrios. 
 
 
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Resolução 
 
Oh questão mais mal escrita! Quando ele diz ordem 1, ele quer dizer, integrada de 
ordem 1. Bom, se a ordem de integração de duas séries é 1, mas as mesmas são 
cointegráveis, os resultados não serão espúrios. Verdadeiro. 
 
 
Exercício 8 
 
Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas 
cointegráveis, os resíduos serão estacionários. 
 
Resolução 
 
Verdade! Essa é a definição. 
 
Continuando. 
 
 
3. Vetor auto-regressivo (VAR) 
 
Pessoal, vocês se lembram do tópico de equações múltiplas? 
 
-³&ODUR�TXH� OHPEUo professor. Vou ser analista funcionário público´� 
 
Desculpe-me! Então, quando você está confiante que uma variável é endógena a um 
sistema de duas variáveis (ݕ௧ e ௧݃), podemos reescrever um sistema na forma: ݕ௧ ൌ ݂ሺݕ௧ ǡ ݖ௧ሻ݌ܽݎܽ�ݍݑ݈ܽݍݑ݁ݎ�ݐ ݖ௧ ൌ ݃ሺݕ௧ ǡ ݖ௧ሻ݌ܽݎܽ�ݍݑ݈ܽݍݑ݁ݎ�ݐ 
Veja, H[LVWH�XP�VLVWHPD�GH�HTXDo}HV�GH�VpULHV�WHPSRUDLV�FRP�YDULiYHLV�TXH�VH�³DXWR -
DIHWDP´��$�WLWXOR� GH�LOXVWUDomR��YDPRV�GDU�XP�H[HPSOR�GH�VLVWHPD� 
 
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 ݕ௧ ൌ ܽ଴ െ ܾଵݖ௧ ൅ ܿଵݕ௧ିଵ ൅ ܾଶ ݖ௧ିଵ ൅ ݁௧ (2) ݖ௧ ൌ ݀଴ െ ݄ଵݕ௧ ൅ ଵ݂ݖ௧ିଵ ൅ ݄ଶݖ௧ିଵ ൅ ݒ௧ 
Por enquanto, vamos pressupor que as variáveis ݕ௧ e ݖ௧ são estacionárias e ݁௧ e ݒ௧ 
são erros do tipo ruído branco. Um sistema na forma de (2) é chamado de Vetor 
Auto-regressivo, no caso, de primeira ordem, pois a maior defasagem do sistema é 
de um período (pode ser mais). 
 
Antes de entrarmos em detalhe da estimação e identificação, precisamos resolver um 
problema: perceba que as equações do sistema (2) têm uma dinâmica tal que 
choques em ݁௧ (ݒ௧ ) afetam, de forma contemporânea, ݖ௧ (ݕ௧), se ݄ଵ ൐ ? (ܾଵ ൐ ?). Isso 
afeta a dinâmica do sistema, impedindo uma visualização do mesmo de forma a isolar 
efeitos externos, assim precisamos colocar o sistema de uma forma que isso não 
mais ocorra. 
 
Para resolver tal problema, vamos reescrever o sistema na forma abaixo: 
 ݕ௧ ൅ ܾଵݖ௧ ൌ ܽ଴ ൅ ܿଵݕ௧ିଵ ൅ ܾଶ ݖ௧ିଵ ൅ ݁௧ ݖ௧ ൅ ݄ଵݕ௧ ൌ ݀଴ ൅ ଵ݂ݖ௧ିଵ ൅ ݄ଶݕ௧ିଵ ൅ ݒ௧ 
Podemos reescrever tal sistema em forma de matrizes: ฬ ? ଵܾ݄ଵ ?ฬቚݕ௧ݖ௧ቚ ൌ ቚܽ଴݀଴ቚ ൅ ฬܿଵ ଶܾ݄ଶ ଵ݂ ฬ ቚݕ௧ିଵݖ௧ିଵ ቚ ൅ ቚ ௧݁ݒ௧ቚ 
Simplificadamente: ܤܺ௧ ൌ Ȟ଴ ൅ Ȟଵܺ௧ିଵ ൅ ܧ௧ 
 
 
 
 
 
 
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Bom, agora vamos fazer XPD� RSHUDomR�GH� ³GLYLVmR´��9DPRV� PXOWLSOLFDU� DPERV� RV�
lados por ܤିଵ, o que leva a: 
 ܺ௧ ൌ �଴ ൅ �ଵ ܺ௧ିଵ ൅ ௧߰ 
Onde: �଴ ൌ Ȟ଴ܤିଵ, �ଵ ൌ Ȟଵܤିଵ; e 
௧߰ ൌ ܧ௧ܤିଵ 
Isso, de maneira explícita, é descrito da seguinte forma: 
 ݕ௧ ൌ ߜ଴ ൅ ߜଵݕ௧ିଵ ൅ ߜଶݖ௧ିଵ ൅ ߝ௧ (3) ݖ௧ ൌ ߞ଴ ൅ ߞଵݖ௧ିଵ ൅ ߞଶݕ௧ିଵ ൅ ߤ௧ 
Para distinguir (2) de (3), chamamos o primeiro de VAR em forma estrutural e o 
segundo VAR em forma padrão. 
 
Pode-se demonstrar que os erros (ߝ௧ e ߤ௧) na forma padrão serão dados por: ߝ௧ ൌ ሺ݁௧ െ ܾଵݒ௧ ሻሺ ? െ ଵܾ݄ଵሻ ߤ௧ ൌ ሺݒ௧ െ ݄ଵ݁௧ሻሺ ? െ ଵܾ݄ଵሻ 
Se os erros da forma estrutural são ruído branco, estes têm média zero, variância 
constante e individualmente não corelacionados. 
 
O que cabe destacar é que estes erros são correlacionados entre si, conforme 
pode ser percebido das fórmulas acima! 
 
- ³7XGR�EHP�SURIHVVRU��PDV�FRPR�HX�HVWLPR�HVWH�9$5�SDGUmR´" 
 
 
 
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Bom, você não vai ver grandes diferenças. Use MQO! A partir do método tradicional 
de estimação, podemos encontrar valores para os parâmetros do Vetor Auto-
Regressivo. 
 
-³(�FRPR�VDEHU�TXDO�D�RUGHP�GR�9$5´" 
 
Tal como no caso da cointegração, use os critérios de seleção de modelos (R², Akaike 
e Schwartz). Você pode partir de uma relação estabelecida na teoria, ou utilizar o 
máximo de defasagens possível e ir ajustando o modelo aos poucos. 
 
 
3.1 Condição de estacionariedade de um VAR 
 
Assim, para determinar a condição de estacionariedade de um VAR precisaríamos de 
mais matemática do que o concurso exige, assim, vocês vão ter que decorar algumas 
coisas. Parta do sistema (3): 
 
 ݕ௧ ൌ ߜ଴ ൅ ߜଵݕ௧ିଵ ൅ ߜଶݖ௧ିଵ ൅ ߝ௧ (3) ݖ௧ ൌ ߞ଴ ൅ ߞଵݖ௧ିଵ ൅ ߞଶݕ௧ିଵ ൅ ߤ௧ 
Agora vamos colocá-lo na forma de matrizes: 
 ܺ௧ ൌ �଴ ൅ �ଵ ܺ௧ିଵ ൅ ௧߰ 
 
Quando estamos tratando de sistemas de equações em séries de tempo, há clara 
correspondência entre a condição de estacionariedade para uma equação: ݕ௧ ൌ ܽ ൅ ܾݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ 
E: ܺ௧ ൌ �଴ ൅ �ଵ ܺ௧ିଵ ൅ ௧߰ 
 
 
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Veja que, no primeiro caso, a condição de estacionariedade exige ? ൏ ܾ ൏ ?. Agora, 
para avaliar a estacionariedade do sistema, há de se avaliar as propriedades de �ଵ. 
As propriedades determinantes de �ଵ serão dadas a partir de seus autovalores. 
 
 
Obs. Autovalores 
 
Não vou adentrar neste assunto, pois ele é profundo e complexo! Só vou 
explicar o que é um autovalor! 
 
Suponha um sistema linear de equações tal que: ܣݔ ൌ ݕ 
Isso p� XP� H[HPSOR� GH� XPD� ³transformação linear´ que transforma um vetor de 
variáveis ݔ em ݕ. 
 
Agora, uma transformação linear muito comum é aquela que transforma vetores em 
múltiplos de si mesmos, de forma que ݕ ൌ ߣݔ. Substituindo: ܣݔ ൌ ߣݔ ሺܣ െ ߣܫሻݔ ൌ ? 
Sendo ܫ a matriz identidade. 
 
A última equação tem soluções não nulas se e, somente se, ߣ for escolhido de forma 
que: 
 ݀݁ݐሺܣ െ ߣܫሻ ൌ ? (4) 
Isso é, se o determinante desta equação é igual a zero! Os valores de ࣅ que fazem 
com que (4) seja verdade são os autovalores da matriz A. 
 
O autovalor de uma matriz tem correspondência direta com algumas das 
propriedades do sistema que estamos estudando, daí a necessidade de 
entendermos seu conceito! 
 
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Retornando. 
 
A partir da análise dos autovalores da matriz �ଵ podemos saber se o sistema é ou 
não estacionário. 
 
- ³0DV��FRPR�YRX�HQFRQWUDU� RV�DXWRYDORUHV� GD�PDWUL]´" 
 
Vamos a um exemplo. Suponha que: �ଵ ൌ ቚܽ ܾܿ ݀ቚ 
A ideia de autovalor é que: ܦ݁ݐሺ�ଵ െ ߣሻ ൌ ? 
Assim: ܦ݁ݐ ቚܽ െ ߣ ܾܿ݀ െ ߣቚ ൌ ? ሺܽ െ ߣሻሺ݀ െ ߣሻ െ ሺܾ ? ሻܿ ൌ ? ሺܽ݀ െ ܽߣ െ ݀ߣ ൅ ߣ ?ሻ െ ሺܾܿሻ ൌ ? ߣ ? െሺܽ ൅ ݀ሻߣ ൅ ሺܽ݀ െ ܾܿሻ ൌ ? 
Agora, basta resolver a equação e encontrar as raízes do polinômio! Você lembra do 
2º grau, certo? Substitua alguns valores e tente se lembrar! Você deve encontrar os 
valores de ߣ que fazem com que esta equação seja verdade. 
 
No caso em questão, existem, até 2 raízes que fazem com que a equação seja igual 
a zero (ߣଵ e ߣଶ). Para fins do concurso, o sistema que você tem de se preocupar é 
este! Nesse caso, há diversos casos de raízes possíveis para o sistema, que irão 
gerar algumas conclusões com relação à estacionariedade do sistema. 
 
 
 
 
 
 
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Caso 1. Ambas as raízes menores que 1 em módulo (ȁࣅ૚ȁ ൏ � ? e ȁࣅ૛ȁ ൏ � ?) 
 
Neste caso, as variáveis são estacionárias. 
 
Caso 2. Se uma raiz é igual a 1 e outro menor do que um, em módulo (ࣅ૚ ൌ �૚ e ȁࣅ૛ȁ ൏ � ?) 
 
Neste caso, as séries são integradas de ordem 1 (I(1)) e cointegram! 
 
 
 
Veja, a partir da análise dos autovalores de um sistema, é possível identificar se duas 
séries são cointegradas! Há uma relação direta entre o conceito de cointegração e o 
9$5��9HMD�D�HTXDomR������DTXLOR�SRGH�VHU�GHVFULWR�FRPR�XP�³WLSR´�GH�9$5��Mas, não 
vou adentrar essa questão, pois o tópico de Vetor Auto-Regressivo com 
correção de erro não costuma constar em editais. Sejamos práticos! 
 
Caso 3. Se ambas raízes forem maiores que 1, em módulo (ȁࣅ૚ȁ ൐ � ? e ȁࣅ૛ȁ ൐ � ?) 
 
Neste caso, as séries são explosivas. 
 
Caso 4. Se ambas forem iguais a 1 (ࣅ૚ ൌ �૚ e ࣅ૛ ൌ �૚) 
 
Neste caso, ambas as séries possuem raiz unitária e não cointegram. 
 
 
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3.2 Função de Impulso-Resposta 
 
Uma das muitas utilidades de se estimar um VAR é encontrar uma função de impulso-
resposta para o modelo, de forma que possamos identificar qual o impacto de um 
choque sobre seus erros na dinâmica do sistema. 
 
Toda a ideia advém do fato de que um VAR pode ser escrito como um Vetor de 
Médias Móveis (VMM). Com base em: ܺ௧ ൌ �଴ ൅ �ଵ ܺ௧ିଵ ൅ ௧߰ 
Substitua: ܺ௧ ൌ �଴ ൅ �ଵ ሺ�଴ ൅ �ଵܺ௧ିଶ ൅ ߰௧ିଵሻ ൅ ௧߰ ܺ௧ ൌ �଴ ൅ �ଵ ሺ�଴ ൅ �ଵሺ�଴ ൅ �ଵܺ௧ିଷ ൅ ௧߰ିଶሻ ൅ ߰௧ିଵሻ ൅ ௧߰ 
E por aí vai! Olhe só, pode-se provar que, se você substituir indefinidamente, 
chegaremos a: ܺ௧ ൌ തܺ ൅ ?ܣଵ௜ ߰௧ି௜ 
Sendo തܺ a média incondicional do processo e dado que o processo é estacionário. 
 
Portanto, podemos escrever o processo VAR em VMM. Assim, para o sistema (3): ቚݕ௧ݖ௧ቚ ൌ ฬߜ଴ߞ଴ ฬ ൅ ฬߜଵ ߜଶߞଶ ߞଵ ฬ ቚݕ௧ିଵݖ௧ିଵ ቚ ൅ ቚߝ௧ߤ௧ቚ, 
podemos reescrevê-lo como: ቚݕ௧ݖ௧ቚ ൌ ቚݕതݖA?ቚ ൅ ? ቆฬߜଵ ߜଶߞଶ ߞଵ ฬ௜ ቚߝ௧ߤ௧ቚቇ 
Dado que: ߝ௧ ൌ ሺ݁௧ െ ܾଵݒ௧ ሻሺ ? െ ଵܾ݄ଵሻ ߤ௧ ൌ ሺݒ௧ െ ݄ଵ݁௧ሻሺ ? െ ଵܾ݄ଵሻ 
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Podemos reescrever o sistema de forma que: ቚݕ௧ݖ௧ቚ ൌ ቚݕതݖA?ቚ ൅ ?ሺ ? െ ଵܾ݄ଵሻ ? ฬߜଵ ߜଶߞଶ ߞଵ ฬ௜ ฬ ? െܾଵെ݄ଵ ? ฬ ቚ݁௧ݒ௧ ቚ 
Simplificando: ቚݕ௧ݖ௧ቚ ൌ ቚݕതݖA?ቚ ൅ ? ฬ߮ ଵ ሺ݅ሻ ߮ଶ ሺ݅ሻ߮ଷ ሺ݅ሻ ߮ସሺ݅ሻฬ ቚ݁௧ݒ௧ ቚ 
Sendo que ࢏ representa o período que está sendo avaliado, com vistas a indicar 
qual o impacto de um choque no período ࢏. 
 
Veja que o coeficiente ࣐૚ሺ૙ሻ mostra o impacto de curto prazo de um choque em ࢋ࢚ sobre ࢚࢟, enquanto que ࣐૚ሺ࢔ሻ mostra o impacto de um choque em ࢋ࢚ sobre ࢚࢟ 
no período ࢔. 
 
Cada um destes 4 elementos é conhecido como multiplicador de impacto! Este 
conjunto de coeficientes, que indica os multiplicadores de impacto, define a 
função de impulso-resposta para cada ࢏. 
 
Perceba que o valor destes multiplicadores é diferente para cada período, dado que 
um dos componentes da matriz com os multiplicadores de impacto é: ฬߜଵ ߜଶߞଶ ߞଵ ฬ௜ 
Para saber o impacto de um choque em ݁௧ no período ݊ em ݕ௧, basta somar: ȭ߮ଵ ሺ݊ሻ 
Se você fizer ݊ ՜ ?, teremos o multiplicador de longo prazo. 
 
 
Bom, é isso aí pessoal. Vamos aos exercícios. 
 
 
 
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Exercício 9 
 
(IPEA ± 2004) Considere o modelo vetorial auto-regressivo de primeira ordem ቚ࢟૚࢚࢟૛࢚ቚ ൌ ቚ૚ǡ ૛ െ૙ǡ ૛૙ǡ ૟ ૙ǡ ૝ ቚ ቚ࢟૚࢚ି૚࢟૛࢚ି૚ቚ ൅ ቚࢋ૚࢚ࢋ૛࢚ቚ 
Sendo que os erros são um ruído branco, assinale a alternativa correta: 
a) O processo é estacionário 
b) As variáveis são integradas de ordem distinta 
c) As variáveis são ambas I(2) 
d) As variáveis são ambas I(1) e não cointegram 
e) As variáveis são ambas I(1) e cointegram 
 
 
Resolução 
 
Vamos encontrar os autovalores do sistema. No caso: ݀݁ݐ ฬ ?ǡ ? െ ߣ െ ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? െ ߣฬ ൌ ? 
Assim: ሺ ?ǡ ? െ ߣሻሺ ?ǡ ? െ ߣሻ െ ሺെ ?ǡ ? ? ?ǡ ?ሻ ൌ ? ߣଶ െ ?ǡ ?ߣ ൅ ?ǡ ? ൌ ? 
Encontre as raízes do polinômio, que são: ߣଵ ൌ ? e ߣଶ ൌ ?ǡ ? 
Olhe os casos que descrevemos acima. Este se enquadra no caso 2, ou seja, ambas 
as variáveis são I(1) e cointegram. Alternativa (e). 
 
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 (ANPEC 2008) Julgue a afirmativa 
 
Exercício 10 
 
A regressão entre duas variáveis integradas de primeira ordem, ou seja I(1), 
sempre é espúria 
 
 
Resolução 
 
Nem sempre! Se elas forem cointegradas isso não será verdade. 
 
 
Exercício 11 
 
Um modelo AR(2), dado por ࢚࢟ ൌ ࢇ ൅ ࣘ૚࢚࢟ି૚ ൅ ࣘ૛࢚࢟ି૛ ൅ ࢋ࢚ será estacionário se ȁࣘ૚ȁ ൏ ૚ e ȁࣘ૛ȁ ൏ ૚. 
 
Resolução 
 
Falso. Lembrem-se da condição de estacionariedade de um AR(2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um modelo AR(2), dado por: ݕ௧ ൌ ܽ଴ ൅ ܽଵݕ௧ିଵ ൅ ܽଶݕ௧ିଶ ൅ ݁௧, 
será estacionário se, conjuntamente: ȁܽଶȁ ൏ ? ܽଵ ൅ ܽଶ ൏ ? ܽଶ ൅ ܽଵ ൏ ? 
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Exercício 12 
 
Um passeio aleatório é um processo estacionário. 
 
Resolução 
 
Falso. Um passeio aleatório é dado por: ݕ௧ ൌ ݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ 
 
 
 
Olha pessoal, como a matéria de hoje não é muito cobrada em prova, vou dar algumas 
questões que permitirão a vocês aprofundar bem o conhecimento de séries de tempo 
em geral. Se preparem, pois estas questões são relativamente mais difíceis! 
 
 
(ANPEC ± 2007) Julgue as afirmativas 
 
Exercício 13 
 
Uma combinação linear de dois processos estocásticos independentes e 
estacionários será estacionária. 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
3HQVH�XP�SRXFR�SHVVRDO��D�SUySULD�LGHLD�GD�FRLQWHJUDomR�WHP�³XP�SRXFR´�D�YHU�FRP�
este conceito. Se você somar dois processos independentes e estacionários, o 
resultado será estacionário. 
 
 
Exercício 14 
 
Uma combinação linear de dois processos estocásticos não estacionários será 
não estacionária. 
 
Resolução 
 
Falso. 
 
Opa! Cuidado coma pegadinha! Não necessariamente! Por que? Porque os 
processos podem cointegrar. 
 
(ANPEC ± 2008) Julgue a afirmativa 
 
Exercício 15 
 
Um modelo de série temporal não estacionário tem, pelo menos, uma raiz 
unitária. 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Essa é uma senhora pegadinha! Vamos nos lembrar do conceito de estacionariedade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você consegue pensar em um caso em que essas condições são satisfeitas, mas 
sem existir uma raiz unitária? Vamos lá, suponha que um modelo tenha sua 
representação real dada por: ݕ௧ ൌ ܽ ൅ ܾݐ ൅ ݁௧ 
Sendo ݕ௧ a variável explicada e ݐ uma tendência determinística. 
 
Neste caso, os valores flutuarão em torno da tendência, sem propensão para que a 
amplitude das flutuações aumente ou diminua. 
 
Nós já comentamos que este processo pode ser conhecido como uma sucessão com 
tendência estacionária (TS). Mesmo que o processo não apresente tendência de 
redução nem de aumento de sua amplitude, a média ao longo do processo não é 
constante, fazendo com que a sucessão não mais seja estacionária. 
 
Veja um gráfico de uma tendência linear. 
 
Uma série estacionária possui as seguintes características: ܯ±݀݅ܽ ൌ ܧሺݕ௧ሻ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ 
E a covariância entre (ݕ௧ ǡݕ௧ି௦ ) só depende do valor de s, ou seja, só 
depende da defasagem entre ambos. De tal forma que: ܿ݋ݒሺݕଵଽଽ଼ ǡ ݕଵଽଽ଺ ሻ ൌ ܿ݋ݒሺݕଵଽଽ଻ ǡ ݕଵଽଽହ ሻ ൌ ܿ݋ݒሺݕଵଽଽ଺ ǡ ݕଵଽଽସ ሻ 
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Perceba que a média do processo não será constante. 
 
Daí depreende-se que a afirmativa é falsa. 
 
 
 
 (ANPEC ± 2009/alterada) 
 
Considere o modelo abaixo: ࢚࢟ ൌ ࢇ࢚࢞ ൅ ࢛࢚ ࢚࢞ ൌ ࢈࢚࢞ି૚ ൅ ࢋ࢚ 
Sendo que ࢛࢚ e ࢋ࢚ erros aleatórios que se comportam como um ruído branco. 
 
Julgue as afirmativa 
 
Exercício 16 
 
Se ࢈ ൌ ૚, ࢚࢞ será I(1). Se ࢇ ് ૙, então ࢚࢞ e ࢚࢟ serão cointegradas. 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5 6
Exemplo de TS
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Resolução 
 
Bom, a primeira alternativa é óbvia. Com certeza�ݔ௧, no caso especificado, será I(1), 
por definição. 
 
Vamos substituir: ݕ௧ ൌ ܽሺܾݔ௧ିଵ ൅ ݁௧ሻ ൅ ݑ௧ 
Assim, ݕ será uma combinação linear de um processo I(1) e um processo I(0), no 
caso, a soma dos erros que são I(0). Portanto, ݕ será I(1)! 
 
Agora pense, ݔ e ݕ são I(1), mas uma regressão de um contra outro produz erros 
estacionários. Portanto, ambas variáveis são cointegradas. 
 
 
(BACEN ± CESPE\2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 17 
 
As virtudes atribuídas aos modelos de vetor auto regressivo (VAR) incluem a 
simplicidade e a não necessidade de determinar as variáveis endógenas e 
exógenas, bem como a facilidade de interpretação dos coeficientes individuais 
nos modelos estimados por essa técnica, que dispensa estimar a função de 
resposta ao impulso. 
 
Resolução 
 
Alternativa errada. Completamente errada, a estimação de um VAR exige o 
conhecimento das variáveis endógenas e exógenas, além do fato da dificuldade de 
interpretar os coeficientes, o que reforça o uso da função de impulso-resposta. 
 
 
 
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Exercício 18 
 
O relacionamento entre as taxas de juros de curto e de longo prazos ilustra 
como as variáveis se ajustam a qualquer discrepância do relacionamento de 
equilíbrio de longo prazo, exemplificando variáveis cointegradas cujas 
trajetórias temporais são influenciadas pela extensão do desvio do equilíbrio de 
longo prazo. 
 
Resolução 
 
Esse é um exemplo clássLFR� GH� FRLQWHJUDomR�� RX� VHMD�� YDULiYHLV� TXH� ³FDPLQKDP�
MXQWDV´�� 3HQVH� QR� ³HOiVWLFR´�� TXDQGR� XPD� YDULiYHO� VH� PRYH� HOD� ³SX[D´� D� RXWUD��
tendendo para um estado de equilíbrio entre elas. Alternativa correta. 
 
(ANATEL ± CESPE/2014) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 19 
 
 
 
Resolução 
 
Tal como discutimos nesta aula, a hipótese nula do teste de cointegração implica a 
existência de uma regressão espúria, o que impede o uso do ADF. Os valores críticos 
do teste ADF diferem do caso tradicional no caso de análise de cointegração. 
Alternativa verdadeira. 
 
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Exercício 20 
 
 
 
Resolução 
 
Nós já estudamos as características da função de autocorrelação parcial (FACP) nos 
casos de AR, MA e ARMA: 
 
Assim, percebe-se que a FACP será declinante e infinita em direção a zero. O 
exercício menciona o fato de o MA ser invertível porque isso garante suas 
propriedades mais básicas. 
 
Alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
 
Resolução 
 
Nós já estudamos a forma que se comporta a função de autocorrelação quando a 
aplicamos sobre AR, MA ou ARMA: 
 
 
 
Assim, a FAC não cresce, conforme diz o enunciado, mas declina, quanto maior a 
defasagem entre as observações avaliadas. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(ANTT ± CESPE/2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 22 
 
 
Resolução 
 
De novo? A CESPE gosta disso! Veja o exercício 19. 
 
Alternativa falsa. 
 
Exercício 23 
 
 
Resolução 
 
Duas séries são ditas estacionárias se o resíduo da regressão for estacionário e não 
integrado, conforme diz a alternativa. A teoria básica é que as séries estariam 
³FDPLQKDQGR� MXQWDV´�� GH�IRUPD�TXH�D�GLIHUHQoD�HQWUH�HODV�QmR�WHP�UDL]�XQLWiULD� 
 
Alternativa falsa. 
 
Exercício 24 
 
 
 
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Resolução 
 
Outra questão repetida! Veja exercício 21! A alternativa descreve perfeitamente o 
comportamento da FAC de um AR. 
 
Alternativa verdadeira. 
 
Exercício 25 
 
Resolução 
 
A partir da definição da matriz de variância e covariâncias é possível realizar uma 
estimação, com base no estimador MQG, que controla a heterocedasticidade e 
DXWRFRUUHODomR� GH� XP� PRGHOR�� (VWH� HVWLPDGRU� ³FRUULJLGR´� DSresenta propriedades 
superiores ao MQO quando presentes algum deste problemas (que tornam o MQO 
ineficiente). 
 
Alternativa verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 26 
 
(PETROBRAS ± CESGRANRIO/2012) 
 
Resolução 
 
Com base no gráfico você percebe que há uma sazonalidade latente, já que em todo 
mês de Janeiro há um pico na série. Mas, por outro lado, não é possível visualizar 
uma tendência na série, que se mostra praticamente estável em um patamar. 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 27 
 
(EPE ± CESGRANRIO/2012) 
 
 
Resolução 
 
Exercício muito interessante! Vamos aplicar o operador esperança às duas equações: 
 ܧ൫ݔଵǡ௧൯ ൌ ܧሺ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ?ݔଵǡ௧ିଵ ൅ ?ǡ ?ݔଶǡ௧ିଵ ൅ ݁ଵ௧ሻ ܧ൫ݔଶǡ௧൯ ൌ ܧሺ ? ൅ ?ǡ ?ݔଵǡ௧ିଵ ൅ ?ǡ ?ݔଶǡ௧ିଵ ൅ ݁ଶ௧ሻ 
 
Isso é igual a: 
 ܧ൫ݔଵǡ௧൯ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ?ܧሺݔଵǡ௧ିଵሻ ൅ ?ǡ ?ܧሺݔଶǡ௧ିଵሻ ൅ ? ܧ൫ݔଶǡ௧൯ ൌ ? ൅ ?ǡ ?ܧሺݔଵǡ௧ିଵሻ ൅ ?ǡ ?ܧሺݔଶǡ௧ିଵሻ ൅ ? 
 
 
Se chamarmos ܧ൫ݔଵǡ௧൯ ൌ ܺ e ܧ൫ݔଶǡ௧ିଵ൯ ൌ ܻ facilita visualizarmos um sistema de 
equações que nos dará o valor médio de cada uma destas: 
 ܺ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ?ܺ ൅ ?ǡ ?ܻ ܻ ൌ ? ൅ ?ǡ ?ܺ ൅ ?ǡ ?ܻ 
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Agora basta operar. Vamos isolar Y na segunda equação: 
 ?ǡ ?ܻ ൌ ? ൅ ?ǡ ?ܺ ՜ ܻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ 球? ܺ
 
Substitua este valor na primeira equação: 
 ܺ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ?ܺ ൅ ?ǡ ?ሺ ?ǡ ? ൅ ?ǡ 球?ܺ ሻ ܺ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ?ܺ ൅ ?ǡ 球?൅ ?ǡ 爃球?ܺ ՜ ?ǡ 甃礃?ܺ ൌ ?ǡ 礃?՜ ࢄ ൌ ૛ 
 
Substituindo este valor na relação que define Y: 
 ࢅ ൌ ૛ǡ ૞ ൅ ૙ǡ૛૞ሺ૛ሻ ൌ ૜ 
 
Alternativa (d). 
 
(ANTT ± CESPE\2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 28 
Duas series não estacionarias I(1) são ditas cointegradas se o resíduo da 
regressão yt = a + ȕxt + ut for integrado de primeira ordem, ou seja, ut ~ I(1) com 
yt ~ I(1) e xt ~ I(1). 
 
Resolução 
A definição de cointegração exige que o resíduo de uma regressão entre duas 
variáveis não estacionárias seja estacionário, ou seja, ut~I(0). 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
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(TRT 19ª ± FCC\2014) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 29 
 
Um modelo ARIMA(1,1,1) é um modelo com um componente autorregressivo, 
um componente sazonal e um componente de médias móveis. 
 
Resolução 
 
Pessoal, vocês não precisam conhecer o que é um modelo ARIMA com componente 
sazonal (chamados modelos SARIMA) para responder a esta questão. Você sabe que 
um ARIMA(1,1,1) é composto por um componente auto-regressivo de primeira ordem, 
uma média móvel de primeira ordem e uma diferenciação de primeira ordem (ou seja, 
o modelo original não era estacionário e foi diferenciado). 
 
Alternativa errada. 
 
Exercício 30 
 
As funções de autocorrelação e autocorrelação parcial de um modelo ARMA 
são primordiais para a identificação do modelo. 
 
Resolução 
 
Perfeito! Estas duas funções são utilizadas em conjunto para determinação do tipo de 
ARMA com o qual estamos lidando. 
 
Alternativa correta. 
 
 
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Exercício 31 
 
A análise de regressão múltipla é uma técnica estatística para analisar a relação 
entre uma única variável independente e várias variáveis dependentes. 
 
Resolução 
 
Pessoal, uma regressão múltipla relaciona 1 variável dependente com várias 
independentes. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de Exercícios resolvidos 
 
(ANPEC ± 2003) Considere o modelo de regressão linear: ࡯࢚ ൌ ࢇ૙ ൅ ࢇ૚ࢅ࢚ ൅ ࢛࢚ ǡ ࢚ ൌ ૚ǡǥ ǡ ࢀ 
Em que ࡯࢚, ࢅ࢚ e ࢛࢚ são o consumo, a renda pessoal e o erro aleatório no período 
t, respectivamente. 
 
Exercício 1 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são I(1), ࢛࢚ �é estacionário. 
 
 
Exercício 2 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são integradas, mas com ordens de integração diferentes, a regressão 
será inválida. 
 
 
Exercício 3 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são I(1), o teste de Dickey-Fuller aumentado pode ser utilizado para 
identificar cointegração entre as duas variáveis. 
 
 
Exercício 4 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são I(1), mas os resíduos são I(0), as séries cointegram. 
 
 
 
 
 
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Exercício 5 
 
Se ࡯࢚ e ࢅ࢚ são I(1), mas os resíduos também são I(1), a regressão de ઢ࡯࢚ contra ઢࢅ࢚ é inválida. 
 
 
(ANPEC ± 2009) Julgue os itens a seguir: 
 
Exercício 6 
 
O teste t não será válido em regressões espúrias com variáveis não 
estacionárias 
 
 
(ANPEC ± 2005) Julgue os itens a seguir: 
 
Exercício 7 
 
Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas 
cointegráveis, não se corre os risco de os resultados serem espúrios. 
 
 
Exercício 8 
 
Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas 
cointegráveis, os resíduos serão estacionários. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 9 
 
(IPEA ± 2004) Considere o modelo vetorial auto-regressivo de primeira ordem ቚ࢟૚࢚࢟૛࢚ቚ ൌ ቚ૚ǡ ૛ െ૙ǡ ૛૙ǡ ૟ ૙ǡ ૝ ቚ ቚ࢟૚࢚ି૚࢟૛࢚ି૚ቚ ൅ ቚࢋ૚࢚ࢋ૛࢚ቚ 
Sendo que os erros são um ruído branco, assinale a alternativa correta: 
a) O processo é estacionário 
b) As variáveis são integradas de ordem distinta 
c) As variáveis são ambas I(2) 
d) As variáveis são ambas I(1) e não cointegram 
e) As variáveis são ambas I(1) e cointegram 
 
 
(ANPEC 2008) Julgue a afirmativa 
 
Exercício 10 
 
A regressão entre duas variáveis integradas de primeira ordem, ou seja I(1), 
sempre é espúria 
 
 
Exercício 11 
 
Um modelo AR(2), dado por ࢚࢟ ൌ ࢇ ൅ ࣘ૚࢚࢟ି૚ ൅ ࣘ૛࢚࢟ି૛ ൅ ࢋ࢚ será estacionário se ȁࣘ૚ȁ ൏ ૚ e ȁࣘ૛ȁ ൏ ૚. 
 
 
 
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Exercício 12 
 
Um passeio aleatório é um processo estacionário. 
 
 
(ANPEC ± 2007) Julgue as afirmativas 
 
Exercício 13 
 
Uma combinação linear de dois processos estocásticos independentes e 
estacionários será estacionária. 
 
 
Exercício 14 
 
Uma combinação linear de dois processos estocásticos não estacionários será 
não estacionária. 
 
 
(ANPEC ± 2008) Julgue a afirmativa 
 
Exercício 15 
 
Um modelo de sérietemporal não estacionário tem, pelo menos, uma raiz 
unitária. 
 
 
 
 
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 (ANPEC ± 2009/alterada) 
 
Considere o modelo abaixo: ࢚࢟ ൌ ࢇ࢚࢞ ൅ ࢛࢚ ࢚࢞ ൌ ࢈࢚࢞ି૚ ൅ ࢋ࢚ 
Sendo que ࢛࢚ e ࢋ࢚ erros aleatórios que se comportam como um ruído branco. 
 
Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 16 
 
Se ࢈ ൌ ૚, ࢚࢞ será I(1). Se ࢇ ് ૙, então ࢚࢞ e ࢚࢟ serão cointegradas. 
 
(BACEN ± CESPE\2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 17 
 
As virtudes atribuídas aos modelos de vetor auto regressivo (VAR) incluem a 
simplicidade e a não necessidade de determinar as variáveis endógenas e 
exógenas, bem como a facilidade de interpretação dos coeficientes individuais 
nos modelos estimados por essa técnica, que dispensa estimar a função de 
resposta ao impulso. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 18 
 
O relacionamento entre as taxas de juros de curto e de longo prazos ilustra 
como as variáveis se ajustam a qualquer discrepância do relacionamento de 
equilíbrio de longo prazo, exemplificando variáveis cointegradas cujas 
trajetórias temporais são influenciadas pela extensão do desvio do equilíbrio de 
longo prazo. 
 
(ANATEL ± CESPE/2014) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 19 
 
 
 
 
Exercício 20 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
 
 
(ANTT ± CESPE/2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 22 
 
 
 
Exercício 23 
 
 
 
Exercício 24 
 
 
 
 
 
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Exercício 25 
 
 
Exercício 26 
 
(PETROBRAS ± CESGRANRIO/2012) 
 
 
 
 
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Exercício 27 
 
(EPE ± CESGRANRIO/2012) 
 
 
(ANTT ± CESPE\2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 28 
Duas series não estacionarias I(1) são ditas cointegradas se o resíduo da 
regressão yt = a + ȕxt + ut for integrado de primeira ordem, ou seja, ut ~ I(1) com 
yt ~ I(1) e xt ~ I(1). 
 
 
(TRT 19ª ± FCC\2014) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 29 
 
Um modelo ARIMA(1,1,1) é um modelo com um componente autorregressivo, 
um componente sazonal e um componente de médias móveis. 
 
 
 
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Exercício 30 
 
As funções de autocorrelação e autocorrelação parcial de um modelo ARMA 
são primordiais para a identificação do modelo. 
 
 
Exercício 31 
 
A análise de regressão múltipla é uma técnica estatística para analisar a relação 
entre uma única variável independente e várias variáveis dependentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1-F 28-F 
2-V 29-F 
3-V 30-V 
4-V 31-F 
5-F 
6-V 
7-V 
8-V 
9-e 
10-F 
11-F 
12-F 
13-V 
14-F 
15-F 
16-V 
17-F 
18-V 
19-V 
20-V 
21-F 
22-F 
23-F 
24-V 
25-V 
26-b 
27-d 
 
 
 
 
 
 
Boa gente! Está acabando, força aí! Hora de acelerar os estudos. 
 
Um abraço e bons estudos.