Introdução à Física: Estudo da Natureza

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8th October 2012
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
Universidade do Estado da Bahia
F´ısica II Prof. Antonio Luiz de Almeida
2 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
Contents
1 INTRODUCA˜O 7
1.1 O que e´ a F´ısica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 O que faz a F´ısica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Diviso˜es da F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 A´reas da F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Filosofia da F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 GRANDEZAS FI´SICAS 15
2.1 Definic¸a˜o de Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Grandeza Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Grandeza Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Pesos e Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 VETORES 23
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Soma e Subtrac¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 MECAˆNICA 33
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 Equac¸o˜es de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.3 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Princ´ıpios da Dinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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4.3.1 Princ´ıpio da Ine´rcia (Primeira Lei de Newton) . . . . . 42
4.3.2 Princ´ıpio Fundamental da Dinaˆmica (Segunda Lei de
Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.3 Princ´ıpio da Ac¸a˜o e Reac¸a˜o (Terceira Lei de Newton) . 43
4.3.4 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.5 Teorema da Conservac¸a˜o do Momento Linear . . . . . 46
4.3.6 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.7 Trabalho e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.8 Notas Finais sobre os Princ´ıpios de Conservac¸a˜o . . . . 54
5 OSCILACO˜ES 57
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Movimento Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.1 Movimento Oscilato´rio Harmoˆnico . . . . . . . . . . . . 58
5.2.2 Per´ıodo e Frequeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.3 Ana´lise Qualitativa de uma Oscilac¸a˜o . . . . . . . . . . 60
5.2.4 Elongac¸a˜o, Velocidade, Acelerac¸a˜o e Forc¸a no MHS . . 63
5.2.5 Elongac¸a˜o, Velocidade e Acelerac¸a˜o em Funa˜o do Tempo 68
5.3 Energia no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.1 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.2 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 ONDAS 79
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.1 Ondas Longitudinais e Transversais . . . . . . . . . . . 80
6.1.2 Ondas bi e tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.3 Amplitude de uma onda . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.4 Ondas Ela´sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.5 Ondas Eletromagne´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Propagac¸a˜o de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.2 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 FLUIDOS 97
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Hidrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.1 Pressa˜o e Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2.2 Variac¸a˜o de Pressa˜o em um Fluido em Repouso . . . . 98
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7.2.3 Princ´ıpios de Pascal e de Arquimedes . . . . . . . . . . 99
7.2.4 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2.5 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 TERMODINAˆMICA 103
8.1 Princ´ıpios da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Leis da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.3 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3.1 Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3.2 Tipos de Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3.3 Tratamento Macro e Microsco´pico da Termodinaˆmica 105
8.3.4 Propriedades Termodinaˆmicas . . . . . . . . . . . . . . 105
8.4 Termoˆmetro e Escala de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . 106
8.5 Expansa˜o Te´rmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.5.1 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.6 Gases Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.7 Capacidade Te´rmica e Calor Espec´ıfico . . . . . . . . . . . . . 110
8.7.1 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9 ELETRICIDADE E MAGNETISMO 115
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.2 A Natureza Ele´trica da Mate´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.3 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.4 Campo Ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.5 Diele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.6 Circuitos Ele´tricos e Forc¸as Eletromotrizes . . . . . . . . . . . 121
9.7 Efeitos Te´rmicos da Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.8 Voceˆ Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.9 Energia Ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.10 Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.11 Campo Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.12 Eletro´ıma˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.12.1 SAIBA MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.13 Circuitos Ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.13.1 Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.13.2 Associac¸a˜o de Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.13.3 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.13.4 Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
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9.13.5 Associac¸a˜o de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.13.6 Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.13.7 Indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10 O´PTICA 143
10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 O´ptica Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2.1 Reflexa˜o e Refrac¸a˜o da Luz . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.2.2 Propagac¸a˜o da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.3 Leituras Recomendadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
Chapter 1
INTRODUCA˜O
“O Mundo na˜o e´ uma ide´ia minha.
Mas, a ide´ia que eu tenho do mundo e´
a minha ide´ia”.
Fernando Pessoa
1.1 O que e´ a F´ısica?
F´ısica e´ a cieˆncia que estuda a natureza em seus aspectos mais gerais. O
termo vem do grego (physike´), que significa natureza. Atualmente, e´ dific´ılimo
definir qual o campo de atuac¸a˜o da f´ısica, pois ela aparece em diferentes cam-
pos do conhecimento que, a primeiravista, parecem completamente descor-
relacionados. A F´ısica concebe a natureza por meio das radiac¸o˜es
e mate´ria. Como cieˆncia, faz uso do me´todo cient´ıfico. Baseia-se essencial-
mente na matema´tica e na lo´gica ao formular seus conceitos.
1.2 O que faz a F´ısica?
A F´ısica estuda a natureza. Entretanto, outras cieˆncias tambe´m o fazem: a
Qu´ımica, a Biologia, a Geologia, a Economia (ainda que seja a natureza
humana). Como definir a a´rea de atuac¸a˜o de cada uma delas? Esta e´
uma pergunta dif´ıcil, sem resposta consensual. Ainda mais quando a´reas
interdisciplinares aparecem aos montes: F´ısico-Qu´ımica, Biof´ısica, Geof´ısica,
Econof´ısica etc. Alguns dizem que f´ısicos esta˜o interessados em determinar a
natureza do espac¸o, do tempo, da mate´ria, da energia e das suas interac¸o˜es.
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Figure 1.1:
Esta definic¸a˜o exclui certas a´reas mais novas da F´ısica que trabalham com
a Biologia, por exemplo. Outros dizem que F´ısica e´ a u´nica cieˆncia fun-
damental e que estas diviso˜es sa˜o artificiais, ainda que tenham utilidade
pra´tica. Seu argumento e´ simples: a F´ısica descreve a dinaˆmica e a con-
figurac¸a˜o das part´ıculas fundamentais do universo. O universo e´ tudo
que existe e e´ composto destas part´ıculas. Enta˜o todos os fenoˆmenos,
eventualmente abordados em outras cieˆncias, poderiam ser explicados em
termos da f´ısica destas part´ıculas. Seria como dizer que todos os resultados
das outras cieˆncias podem ser derivados em bases f´ısicas. Isso ja´ acontece
com explicac¸o˜es de fenoˆmenos antes demonstrados pela Qu´ımica e hoje ex-
plicados pela F´ısica. Entretanto, ainda na˜o e´ muito fa´cil explicar a maioria
dos fenoˆmenos de outros ramos da cieˆncia, pois isto envolve campos ainda
na˜o explorados e uma matema´tica muito elaborada. Com base nisso, alguns
chegam a sugerir que ate´ mesmo o ce´rebro um dia podera´ ser descrito por uma
equac¸a˜o ou um conjunto de equac¸o˜es matema´ticas (muito provavelmente, en-
volvendo muitos argumentos de probabilidade). Ha´ os que defendem que as
diviso˜es da cieˆncia teˆm origem social e histo´rica. Segundo eles, as definic¸o˜es
da F´ısica sa˜o forjadas para tentar reunir todos aqueles aceitos como f´isicos na
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sociedade. Talvez quem esteja certo seja quem acredite na ma´xima: f´ısicos
sa˜o pessoas diferentes, em lugares diferentes, fazendo coisas
diferentes.
1.3 Diviso˜es da F´ısica
Como outras cieˆncias, a F´ısica e´ dividida de acordo com diversos crite´rios.
Em primeiro lugar ha´ uma divisa˜o fundamental entre f´ısica teo´rica, f´ısica
experimental e f´ısica aplicada (os dois primeiros ramos se reu´nem sob a de-
nominac¸a˜o de pesquisa ba´sica).
• A F´ısica Teo´rica procura criar e definir novas teorias que condensem o
conhecimento advindo das experieˆncias; tambe´m vai procurar formular
as perguntas e os experimentos que permitam expandir o conhecimento.
• A f´ısica E xperimental conduz experimentos capazes de validar ou na˜o
teorias cient´ıficas, ou mesmo corrigir aspectos defeituosos destas teo-
rias.
• A F´ısica Aplicada trata do uso das teorias f´ısicas na vida cotidiana.
Uma outra divisa˜o pode ser feita pela magnitude do objeto em ana´lise.
A F´ısica Quaˆntica trata do universo do muito pequeno, dos a´tomos e das
part´ıculas que compo˜em os a´tomos; a F´ısica Cla´ssica trata dos objetos que
encontramos no nosso dia-a-dia; e a F´ısica Relativ´ıstica trata de situac¸o˜es
que envolvem grandes quantidades de mate´ria e energia. Mas a divisa˜o mais
tradicional e´ aquela feita de acordo com as propriedades mais estudadas nos
fenoˆmenos. Da´ı temos a Mecaˆnica, quando se estudam objetos a partir de seu
movimento ou auseˆncia de movimento e tambe´m as condic¸o˜es que provocam
esse movimento; a Termodinaˆmica, quando se estudam o calor, o trabalho,
as propriedades das substaˆncias, os processos que as envolvem e as trans-
formac¸o˜es de uma forma de energia em outra; o Eletromagnetismo quando
se analisam as propriedades ele´tricas, aquelas que existem em func¸a˜o do fluxo
de ele´trons nos corpos; a Ondulato´ria, que estuda a propagac¸a˜o de energia
pelo espac¸o; a O´ptica, que estuda os objetos a partir de suas impresso˜es vi-
suais; a Acu´stica, que estuda os objetos a partir das impresso˜es sonoras; e
mais algumas outras diviso˜es menores.
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 9
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1.4 A´reas da F´ısica
• Acu´stica
• Astrof´ısica
• Biof´ısica
• Cieˆncia Planeta´ria
• Cosmologia
• Dinaˆmica dos Fluidos
• Econof´ısica
• Eletromagnetismo
• Eletroˆnica
• F´ısica Atmosfe´rica
• F´ısica Atoˆmica
• F´ısica Biome´dica
• F´ısica Computacional
• F´ısica da Computac¸a˜o
• F´ısica da Mate´ria Condensada
• F´ısica de Materiais
• F´ısica de Part´ıculas
• F´ısica de Plasmas
• F´ısica Matema´tica
• F´ısica Me´dica
• F´ısica Molecular
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• F´ısica Nuclear
• F´ısica Oceaˆnica
• F´ısica Qu´ımica
• Geof´ısica
• Meca´nica Cla´ssica
• Mecaˆnica Estat´ıstica
• Mecaˆnica Quaˆntica
• O´ptica
• Relatividade Geral
• Relatividade Restrita
• Teoria Cla´ssica de Campos
• Teoria Quaˆntica de Campos
• Termodinaˆmica
• Termologia
1.5 Filosofia da F´ısica
Ha´ muito de f´ısica em Filosofia, Metaf´ısica, Cieˆncia e Me´todo Cient´ıfico. En-
tretanto, existem filosofias peculiares a` F´ısica que sera˜o mencionadas aqui.
Uma delas e´ o Determinismo Cient´ıfico. Ao conceber que tudo na˜o passa de
part´ıculas e que seu movimento e´ definido em qualquer instante quando se
determina a posic¸a˜o e a velocidade da part´ıcula no momento atual, pode-se
dizer que todo o futuro ja´ esta´ determinado. O Demoˆnio de Laplace nasce
assim, apesar de ter sido arranhado pela Mecaˆnica Quaˆntica quanto a sua
definic¸a˜o e pelo Caos quanto a sua implementac¸a˜o. Extenso˜es desse pen-
samento centrado no Determinismo Cient´ıfico adequadamente adaptadas a`s
dificuldades teo´ricas teˆm consequeˆncias filoso´ficas profundas, por exemplo:
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 11
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se aceitamos que o ce´rebro comanda todas as ac¸o˜es humanas e se e´ feito so-
mente de a´tomos (governados apenas por leis da F´ısica), e´ preciso perguntar
se realmente a pessoa tem livre-arb´ıtrio para controlar seu comportamento.
No entanto, ha´ um debate se cabe a` F´ısica ou a` Metaf´ısica responder a estas
questo˜es filoso´ficas. Outra questa˜o e´ a busca e a crenc¸a em uma teoria geral,
u´nica, consistente que descreva todos os processos do universo. Tal teoria
deveria contemplar a Mecaˆnica Quaˆntica e a Teoria da Relatividade como
casos especiais, bem como todas as outras teorias existentes. Tambe´m dev-
eria ser baseada apenas em argumentos matema´ticos, ou seja, sem nenhuma
constante fundamental. Va´rias teorias ja´ foram consideradas como teoria
fundamental, por exemplo, a Supersimetria. Entretanto, esta e´ uma questa˜o
aberta e talvez sempre seja.
1.6 Voceˆ Sabia?
Dentre as muitas coisas intrigantes, poucas ha´ ta˜o misteriosas quanto o
tempo. A ironia e´ que mal nos damos conta disso. Estando desde o nasci-
mento submetidos a uma mesma noc¸a˜o de tempo, aceita por todos a` nossa
volta, tendemos a achar que ela e´ a u´nica que corresponde a` realidade. Causa
um grande choque saber que outras culturas teˆm formas diferentes de perce-
ber o tempo e de representar o curso da histo´ria. Ainda assim, acreditamos
que elas esta˜o erradas e no´s, certos. Ledo engano.
Historicamente, o tempo foi percebido de formas diferentes. Os gregos antigos
tinham uma noc¸a˜o c´ıclica do tempo. Para eles, o tempo se iniciava com
as prodigiosas eras de ouro e dos deuses, declinando depois, ate´ chegar a`
crise final com a fraqueza e penu´ria da era dos homens, quando, enta˜o, se
reiniciava ociclo. Para os romanos, o tempo se enfraquecia na medida em
que se afastava do mais sagrado dos eventos: a fundac¸a˜o de Roma. Na
Idade Me´dia, prevalecia o tempo recursivo, pelo qual os crista˜os acreditavam
percorrer uma via penitencial, desde a expulsa˜o do Jardim do E´den ate´ o
retorno ao Para´ıso.
Foi so´ com a consolidac¸a˜o do capitalismo, a partir do Renascimento, que
passou a prevalecer uma noc¸a˜o de tempo quantitativo, dividido em unidades
ideˆnticas e vazias de qualquer conteu´do mı´tico, cujo s´ımbolo ma´ximo foi o
relo´gio mecaˆnico, com seu incansa´vel tic-tac. Essa foi tambe´m a e´poca em
que a cieˆncia e a te´cnica se tornaram preponderantes. Nesse contexto, o
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maior dos cientistas modernos, Sir. Isaac Newton, formalizou o conceito de
tempo como sendo absoluto. Como pertencemos a esse tempo moderno, e´
ele que apreendemos, em casa, na escola e nos relo´gios ao redor. E achamos,
como Newton, que ele e´ o u´nico verdadeiro!
Mas o mundo moderno foi-se complicando, e esse conceito fixo e fechado
se tornou cada vez menos satisfato´rio. De fato, o amplo conhecimento de
outras culturas e as grandes transformac¸o˜es cient´ıficas forc¸aram a admitir
que cada povo cria as noc¸o˜es de tempo que correspondam a`s suas formas e
necessidades de vida.
O que e´ claro, no caso da cultura moderna, e´ que nossa percepc¸a˜o de tempo
ficou coligada ao desenvolvimento tecnolo´gico. Assim, dos moinhos de vento
a`s caravelas, a`s ferrovias, aos ve´ıculos automotores, aos transatlaˆnticos, aos
avio˜es, ao cinema, ao ra´dio, e a` teveˆ, sentimos um efeito de acelerac¸a˜o per-
manente. O u´ltimo e mais drama´tico episo´dio nesta saga da acelerac¸a˜o foi
assinalado pela Revoluc¸a˜o da microeletroˆnica, a partir dos anos 70. Num
repente, fomos invadidos por inu´meros prod´ıgios te´cnicos: fax, bips, PCs,
celulares, TVs a cabo, modems, e-mail... O aparato digital entrava em cena,
em toda a sua multiplicidade de recursos.
Tudo parece convergir para tornar as comunicac¸o˜es mais ra´pidas, o trabalho
mais produtivo, a vida mais fa´cil e para configurar uma nova concepc¸a˜o de
tempo: um tempo extremamente ce´lere, controlado, agora, pelo homem e
suas tecnologias digitais.
Nicolau Sevcenko
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Chapter 2
GRANDEZAS FI´SICAS
”Na educac¸a˜o dos filhos e´ que se revela a virtude dos pais”.
Coelho Neto
2.1 Definic¸a˜o de Grandeza
Grandeza e´ qualquer entidade f´isica pass´ıvel dum processo de medic¸a˜o. Distingue-
se a grandeza intensiva da extensiva. A` primeira se pode atribuir uma medida
independente da massa do sistema a que se reporta. E´ o caso, por exemplo,
da pressa˜o, da temperatura, do campo ele´tromagne´tico etc. A grandeza ex-
tensiva depende intrinsicamente da massa do sistema. E´ o caso do volume,
da energia.
2.2 Grandeza Escalar
Diz-se de uma grandeza que pode ser caracterizada exclusivamente por um
nu´mero e uma unidade. Por exemplo, a massa de um corpo, a temperatura
de um sistema, o ı´ndice de refrac¸a˜o de um cristal isotro´pico, a energia de um
sistema, o tempo.
2.3 Grandeza Vetorial
Diz-se de uma grandeza que para ser definida, no seu processo de medida,
ale´m de um nu´mero e uma unidade, necessita-se dos conceitos de direc¸a˜o e de
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sentido bem definidos. Por exemplo, posic¸a˜o, velocidade, acelerac¸a˜o, forc¸a,
quantidade de movimento.
2.4 Voceˆ Sabia?
2.4.1 Pesos e Medidas
ANTIGUIDADE
Em nossa civilizao atual, os processos de medic¸a˜o sa˜o bastante complexos,
a fim de satisfazerem a`s necessidades da cieˆncia a da tecnologia. Em e´pocas
remotas, o homem utilizou processos simples, suficientes para a sua te´cnica
primitiva.
Mas, quando comec¸ou a medir? Comec¸ou provavelmente quando ainda nem
falava, pois poderia medir ou comparar um peixe com outro, a saber, qual o
maior ou o menor. Tambe´m seria do seu conhecimento que uma certa quan-
tidade de alimento saciava sua fome. Obviamente, eram maneiras intuitivas
de medir.
A partir do momento em que o homem passou a viver em grupos e a` pro-
porc¸a˜o que esses aglomerados cresciam, a necessidade de medir aumentava
ainda mais. As maneiras como mediam as grandezas eram bastante simples:
usavam partes do pro´prio corpo, como o comprimento do pe´, a largura da
ma˜o ou a grossura do dedo, o palmo e a passada. Utilizavam ainda uma vara
ou um basta˜o.
Com o surgimento das primeiras civilizacco˜es, tais processos na˜o mais sat-
isfaziam a`s necessidades dos homens, pois os mesmos sabiam constatar as
diferenc¸as daquelas partes para cada indiv´ıduo. As construc¸o˜es de casas a
navios, a divisa˜o de terras e o come´rcio com outros povos exigiam medidas
padro˜es, que fossem as mesmas em qualquer lugar. Assim, um mercador de
tecidos da Babiloˆnia poderia vender sua mercadoria em Jerusale´m, usando
uma vara padra˜o de tamanho aproximado ao da adotada la´.
Os povos antigos - os eg´ıpcios, os babiloˆnios, os ass´ırios, os chineses, os persas
a os gregos - possu´ıam padro˜es diferentes de comprimento. A unidade de
comprimento dos babiloˆnios era o dedo (aproximadamente 16mm). Usavam
tambe´m o cu´bito, que equivalia a 30 dedos. O pe´ e a polegada foram, em
geral, para esses povos, as unidades padro˜es.
16 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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E´ interessante ressaltar que, segundo L. A. Sanches, os eg´ıpcios possu´ıam uma
estranha medida denominada ”polegada piramidal”, encontrada na grande
piraˆmide de Que´ops, junto ao Nilo, constru´ıda a 3 ou 4 mil a.C. Ao ser
estudada, conclu´ıram que o diaˆmetro da Terra mede um bilha˜o e meio destas
polegadas. O ca´lculo do per´ımetro da base da piraˆmide resulta 365, 242
polegadas, resultado cujos algarismos exprimem exatamente o nu´mero de
dias do ano solar (365,242 dias).
O homem tambe´m precisou pesar, ou melhor, comparar massas, pois peso e
massa sa˜o duas grandezas diferentes, sendo o primeiro uma forc¸a resultante
da atrac¸a˜o gravitacional, como voceˆ vera´ mais adiante no seu curso de F´ısica.
Massa e´ a quantidade de mate´ria de um corpo, ou em termos mais f´ısicos,
e´ a resisteˆncia que ele oferece a uma forc¸a aplicada. O peso pode variar
dependendo das condic¸e˜es e a massa e´ invariante no estado de repouso.
Nos primeiros tempos, o homem comparava a massa de dois corpos equilibrando-
os um em cada ma˜o. Ate´ que surgiu a primeira ma´quina de comparac¸a˜o:
uma vara suspensa no meio por uma corda. Os objetos eram pendurados nas
suas extremidades e, se houvesse o equil´ıbrio, ou seja, se a vara ficasse na
horizontal, eles possu´ıam a mesma massa.
Os povos antigos padronizaram centenas de diferentes pesos e medidas para
atender a`s necessidades de suas civilizac¸o˜es.
O gra˜o de trigo tirado do meio da espiga, provavelmente foi o primeiro el-
emento padra˜o de peso. Dos sistemas adotados, um deles propagou-se pela
Europa toda e hoje ainda e´ usado pelos pa´ıses de l´ıngua inglesa, apo´s pe-
quenas modificac¸o˜es: trata-se do sistema comercial chamado ”avoirdupois”,
palavra francesa que significa ”bens de peso”. Suas unidades sa˜o:
• gra˜o (gr)
• dracma (dr)
• ona (oz)
• libra (lb)
• quintal (cwt)
• tonelada (t)
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 17
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Com relac¸a˜o ao tempo, apesar de na˜o poder segura´-lo ou guarda´-lo, o homem
conseguia medi-lo registrando as repetic¸o˜es dos fenoˆmenos perio´dicos. Qual-
quer evento familiar servia para marcar o tempo: o per´ıodo entre um e outro
nascer do Sol, a sucessa˜o das luas cheias, ou a das primaveras.
Voceˆ deve saber que, assim como os antigos, os ı´ndios contavam os anos
por invernos ou vero˜es, os meses por luas e os dias por so´is. Tais ca´lculos
na˜oeram muito exatos. As horas de claridade entre o nascer e o poˆr do sol
variam muito durante o ano. Ja´ o perodo que vai de uma lua cheia a outra
permanecia constante. Logo os homens perceberam tal fato e conclu´ıram que
a maneira mais exata de medir o tempo era baseando-se na periodicidade de
eventos em corpos celestes.
O nosso ano e´ o per´ıodo de tempo em que a Terra faz o seu movimento de
translac¸a˜o em torno do Sol. Ele e´, a`s vezes, chamado de ano astronoˆmico,
equinocial, natural ou solar. Os cientistas chamam-no geralmente de ano
tro´pico e tem 365 dias, 5 horas, 48 minutos, 45 segundos e 7 de´cimos. Como
no calenda´rio consideramos apenas 365 dias, a cada quatro anos, as horas e
os minutos que sobram sa˜o reunidos, formando mais um dia, que aparece no
ano bissexto.
0 meˆs foi a primeira medida exata de tempo. Era calculado de uma lua cheia
a outra e tinha exatamente 29 dias e meio. Entretanto, dividindo-se o ano
em meses lunares, obtinha-se 12 meses e uma sobra de 11 dias. Na˜o havia
relac¸a˜o exata entre o ano calculado pela translac¸a˜o da Terra em torno do
Sole o meˆs lunar. Isto originava confusa˜o ao iniciar um novo meˆs. Outras
tentativas de diviso˜es em relac¸a˜o a fenoˆmenos naturais foram refutadas pela
mesma raza˜o. J´ilio Ce´sar, no ano 46 A.C. aboliu o ano lunar e adotou o ano
solar de 365 dias, com um dia a mais a cada quatro anos. Os meses eram
baseados aproximadamente nos meses lunares, pore´m com durac¸a˜o diferente.
Os imperadores romanos costumavam subtrair dias de alguns meses para
adiciona´-los a outros, seus favoritos.
A semana de 7 dias na˜o tem relac¸a˜o exata com os corpos celestes e seus
movimentos, embora a divisa˜o do meˆs em quatro semanas tenha origem nas
diviso˜es que representavam as quatro fases da Lua.
O dia e´ estabelecido pelo per´ıodo de rotac¸a˜o da Terra em torno do seu eixo.
A hora e´ a vige´sima quarta parte do dia, na˜o existindo, pore´m, relac¸a˜o entre
os fenoˆmenos naturais e as repetic¸o˜es de durac¸a˜o de uma hora: a divisa˜o foi
18 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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feita arbitrariamente e por convenieˆncia.
O relo´gio de Sol, que consistia em um basta˜o espetado no cha˜o no centro de
um c´ırculo, foi o primeiro instrumento para medir o intervalo de tempo.
Uma hora possui 60 minutos e este, 60 segundos. Esta divisa˜o foi feita pelos
antigos babiloˆnios (aproximadamente 2000 a.C.), que adotavam um sistema
de base sexagesimal, pois ja´ haviam dividido o c´ırculo na base 60, crite´rio
que ate´ hoje conservamos.
IDADE ME´DIA E RENASCENC¸A
Os pesos e medidas usados nas civilizac¸o˜es antigas eram levados a outras
atrave´s do come´rcio ou da conquista. Assim, no in´ıcio da Idade Me´dia,
as unidades adotadas eram as dos romanos, o u´ltimo e maior impe´rio da
Antiguidade, que levaram-nas por toda a Europa, oeste da A´sia e A´frica.
Sem du´vida, os mais usados eram ainda aqueles das dimenso˜es humanas.
Obviamente eram necessa´rias medidas mais precisas para certas atividades,
como no caso das construc¸oˆes bizantinas e a´rabes. Esses povos certamente
possu´ıam seus padro˜es de pesos e medidas, embora fossem diferentes para
cada regia˜o. Ao que tudo indica, nenhum padra˜o foi criado em termos na-
cionais, ate´ que, na Inglaterra, Ricardo I (reinou de 1189 a 1199, ja´ no se´culo
XII) determinou unidades para comprimento e para capacidade. Estas eram
de ferro e mantidas em va´rias regio˜es do pa´ıs por autoridades regionais com
o objetivo de comprovar a veracidade de uma medida. Datam desta e´poca a
jarda e o gala˜o, ate´ hoje usados pelos pa´ıses de l´ıngua inglesa.
Va´rias verso˜es existem para explicar o aparecimento da jarda: no norte da
Europa, supo˜e-se que era o tamanho da cinta usada pelos anglo-saxo˜es e
no sul seria o dobro do comprimento do cu´bito dos babiloˆnios. Seu valor
tambe´m ppdee ter sido determinado por Henrique I (reinou de 1100 a 1135),
que teria fixado o seu comprimento como sendo a distaˆncia entre o seu nariz
e a ponta de seu brac¸o esticado. Informac¸o˜es como esta provavelmente na˜o
carecem de verdade, pois a maioria dos padro˜es da Idade Me´dia era realmente
criada pelos soberanos, primeiros interessados nas medidas dos valores de seus
reinos.
Os pesos padro˜es eram aqueles dos povos antigos, conforme a regia˜o, em geral
mantendo o gra˜o como unidade fundamental. Em algumas regio˜es europe´ias,
continuava o uso do sistema ”avoirdupois” nas transac¸o˜es comerciais. Para
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 19
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o come´rcio de jo´ias e pedras preciosas, que exigia processos de medidas mais
delicados, era usado o sistema ”troy”, cujas unidades eram:
• gra˜o (gr.)
• pennyweight (dw.t)
• onc¸a (oz.t)
libra (Ib.t)
Para pedras preciosas, a unidade era o quilate, que equivale aproximadamente
a 4 gra˜os.
De todos os padro˜es de pesos e medidas criados, nenhum conseguiu uma
utilizac¸a˜o internacional e homogeˆnea, existindo ainda aqueles remanescentes
da Antiguidade. A situac¸a˜o se tornava mais delicada e confusa, devido a
reproduc¸a˜o inexata, erros de interpretac¸a˜o e desonestidade de alguns.
O mesmo na˜o aconteceu com as medidas de tempo que ja´ haviam sido
padronizadas por Ju´lio Ce´sar, sendo seu calenda´rio adotado pelo menos em
toda a Europa. Ainda devemos lembrar que nas invenc¸o˜es do fim da Idade
Me´dia e Renascenc¸a eram adotados padro˜es cautelosos, pois se tratava de
uma nova atividade e podia ser muito bem controlada. Como exemplo, a
tipografia e a imprensa, cujos tipos mo´veis de padro˜es internacionais foram
criados em fins do sculo XV e sa˜o ate´ hoje mantidos.
SISTEMAME´TRICO DECIMAL E SISTEMA INTERNACIONAL
DE UNIDADES
Em fins do se´culo XVIII, a diversificac¸a˜o de medidas era enorme, dificultando
muito as transac¸o˜es comerciais. Na Franc¸a, a situac¸a˜o estava pior e grac¸as
a`s novas ide´ias trazidas pela Revoluc¸a˜o Francesa de 1789 e as imposic¸o˜es que
fazia o florescimento da era industrial, foi criada uma comissa˜o de homens
de cieˆncia para a determinac¸a˜o e construc¸a˜o de padro˜es, de tal modo que
fossem universais.
Os padro˜es deveriam reproduzir os fenoˆmenos naturais, para na˜o dependerem
de futuras mudanc¸as. Apo´s estudos e pesquisas, a comissa˜o que inclu´ıa nomes
famosos como Borda, Lagrange e Laplace conclu´ıram que a unidade de com-
primento deveria pertencer ao sistema decimal, de maior facilidade, e presa
a um dos treˆs seguintes fenmenos naturais:
20 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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• comprimento de um peˆndulo de per´ıodo (2 oscilac¸o˜es) igual a 1 segundo,
latitude 45o;
• comprimento de 1/4 do c´ırculo equatorial;
• comprimento de 1/4 de meridiano terrestre do equador a um dos po´los.
Como na primeira a medida iria depender de grandezas alheias ao compri-
mento, como o tempo e o peso, e como medidas do equador eram quase
imposs´ıveis, foi aceita a proposic¸a˜o do meridiano, pois, ale´m de na˜o apre-
sentar os defeitos das anteriores, ja´ contava com uma boa comparac¸a˜o. 0
meridiano que passa por Paris ja´ havia sido medido precisamente e podia ser
comparado com a nova determinao.
Imediatamente foram tomadas as medidas necessa´rias para o trabalho e des-
ignadas cinco comisso˜es para a execuc¸a˜o, onde figuravam Lavoisier, Coulomb
e Legendre. Devido a` demora que o empreendimento levaria e a` urgeˆncia da
criac¸a˜o do sistema, foi proposto e aceito pela Assemblia o metro proviso´rio,
baseado na medida antiga. Mais tarde verificou-se que a diferenc¸a realmente
era mı´nima.
As unidades padro˜es eram o metro, o quilograma e o segundo.
O metro foi definido como a de´cima milione´sima parte do meridiano terrestre
medido de Dunkerke a Barcelona.
A unidade de massa era o quilograma, constru´ıdo em platina iridiada, massa
pro´xima de 1 litro de a´gua destilada a 4oC.
O segundo era a unidade de tempo,de valor 86400 avos do dia solar me´dio.
Por decreto-lei, as unidades tornaram-se oficiais na Franc¸a e, passados alguns
anos, va´rios pa´ıses ja´ as adotavam.
Os padro˜es foram feitos e co´pias exatas foram enviadas aos pa´ıses que le-
galizaram o sistema me´trico, dentre eles o Brasil.
Anualmente, por volta de 1870, reuniam-se em Paris os membros da Confed-
erac¸a˜o Internacional de Pesos e Medidas e, em 1875, determinou-se a criac¸a˜o
do Bureau Internacional de Medidas. Participaram 30 pa´ıses, dentre os quais
o Brasil, atrave´s de seu representante, Visconde de ltajuba´.
A Inglaterra resolveu na˜o adotar o sistema decimal, mantendo ate´ hoje suas
unidades, juntamente com os Estados Unidos.
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 21
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
Com o desenvolvimento cient´ıfico e tecnolo´gico de nosso se´culo, verificou-
se, ale´m de melhores maneiras de definir as unidades, a insuficieˆncia destas,
pois na˜o havia um padra˜o para grandezas fundamentais como no caso da
eletricidade.
Enfim, em 1960, na XI Confereˆncia Internacional de Pesos e Medidas, foi
adotado o Sistema Internacional de Unidades e o metro e o segundo foram
redefinidos, como voceˆ encontrou neste cap´ıtulo.
As grandezas fundamentais do SI sa˜o: Comprimento, Massa, Tempo, Inten-
sidade Ele´trica, Temperatura e Intensidade Luminosa.
Devido a se´rios prejuzos que sofre a Inglaterra pela na˜o adoc¸a˜o do SI, ela
passou a usa´-lo oficialmente.
Como voceˆ deve ter observado, um modelo ou uma teoria cient´ıfica nunca e´
eternamente exata, podendo vir a sofrer mudanc¸as conforme a pro´pria cieˆncia
e tecnologia exija, de acordo com o seu desenvolvimento.
Figure 2.1:
22 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
Chapter 3
VETORES
”A mente que se abre a uma nova ide´ia, jamais volta ao seu tamanho origi-
nal”.
Albert Einstein
3.1 Introduc¸a˜o
As grandezas vetoriais seguem os funadamentos matema´ticos da algebra ve-
torial. E´ preciso conhecer os vetores e sua algebra para sabermos lidar com
as grandezas vetorias. Definimos um vetor como um seguimento de reta
orientado, tal como ilustra a figura (−→). Da figura vemos que um vetor
tem mo´dulo (comprimento), direc¸a˜o e sentido. A direc¸a˜o de um vetor pode
ser vertical, horizontal, ou obl´ıqua. Mas o fato e´ que direc¸a˜o e´ um conceito
relativo, ou seja, e´ preciso outras ”entidades” matema´ticas, relacionando-se
com um vetor para que possa ser poss´ıvel definir sua direc¸a˜o. Essas outras
entidades, as quais me refiro, devem ser, preferencialmente, um outro vetor,
ou uma semi-reta ou uma reta. O conceito de direc¸a˜o define-se no aˆngulo
formado pelo vetor e a´quelas outras ”entidades”. Na figura seguinte, vemos
que o vetor (−→) forma aˆngulos diferentes com as diferentes retas, ou seja,
a direc¸a˜o do vetor pedende da reta a qual tomamos como refereˆncia.
No caso dos vetores que ilustramos, vemos que, por mero acaso, todos esta˜o
na horizonal. Podemos dizer, a priori, que a direc¸a˜o desses vetores e´ a direc¸a˜o
horizontal. Vemos que neles ha´ uma seta. A seta na figura dos vetores define
o sentido dos vetores. Podemos dizer que os nossos vetores, anteriores, esta˜o
na direc¸a˜o horizontal e sentido para a direita. E´ fato que em toda direc¸a˜o
23
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
Figure 3.1:
ha´, potencialmente, dois sentidos. E´ preciso, em uma determinada direc¸a˜o
”escolhermos” um sentido, o que implica, concomitantemente a ”eliminac¸a˜o”
do outro sentido, impl´ıcito na drec¸a˜o. Quando isso ocorre, dizemos que
houve uma orientac¸a˜o na direc¸a˜o do vetor. Vetor e´ um segmento de
reta orientado. Assim, as grandezas vetoriais sa˜o seguimentos de reta
orientadas. Um seguimento de reta orientado (vetor) tem mo´dulo
(comprimento), direc¸a˜o e sentido.
NOTA: Ao darmos nome a um vetor, precisamos colocar uma pequena seta
sobre o seu nome. Por exemplo, vetor
−→
A . E´ bem prova´vel, algumas vezes,
que estejamos interessados em saber apenas sobre o comprimento (mo´dulo)
do vetor. Quando isso ocorre, escrevemos o nome do vetor, com seta, entre
barras de mo´dulo ou escrevemos o nome do vetor sem a seta e sem as barras
de mo´dulo. Usando o nosso vetor
−→
A como exemplo se estamos interessados
apenas em seu mo´dulo, devemos escreveˆ-lo como |−→A | ou como A.
NOTA: dois ou mais vetores sa˜o iguais quando todos teˆm o mesmo mo´dulo
(comprimento), mesma direc¸a˜o e mesmo sentido.
NOTA: dois vetores
−→
A e
−→
B sa˜o opostos, quando eles teˆm o mesmo mo´dulo,
mesma direc¸a˜o e sentidos contra´rios.
24 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
3.2 Soma e Subtrac¸a˜o de Vetores
Podemos somar e subtrair vetores. Por, exemplo, dados dois vetores
−→
V 1 e−→
V 2, podemos soma´-los e obtermos como resultado da soma um terceiro vetor−→
V , ou seja,
−→
V =
−→
V 1 +
−→
V 2 (3.1)
Como ilustrac¸a˜o da soma de vetores, dada na equac¸a˜o (3.1), temos a figura
seguinte:
Figure 3.2: Soma de Vetores
Da figura temos que θ e´ o aˆngulo (direc¸a˜o) formado por
−→
V 1 e
−→
V 2, α o aˆngulo
(direc¸a˜o) formado por
−→
V e
−→
V 1 e β o aˆngulo (direc¸a˜o) formado por
−→
V e
−→
V 2.
Da equanc¸a˜o (3.1) partimos do princ´ıpio que
−→
V 1 e
−→
V 2 sa˜o completamente
conhecidos, ou seja, conhecemos os seus mo´dulos, direc¸o˜es (o aˆngulo θ) e
sentidos.
Ca´lculo do Mo´dulo de
−→
V - Lei dos Cossenos
Para a obtensa˜o do mo´dulo de
−→
V seguimos o seguinte racioc´ınio: da figura
(3.2) vemos que o triaˆngulo ÂCD e´ um triaˆngulo retaˆngulo e que V e´ a sua
hipotenusa. Assim, usando a Lei de Pita´goras para o triaˆngulo retaˆngulo
ÂCD, podemos escrever:
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 25
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
V 2 = (V1 +BC)
2 + CD
2
(3.2)
Vemos, na equac¸a˜o (3.2), que os seguimentos de reta BC e CD ainda sa˜o
inco´gnitas. Mas do triaˆngulo B̂CD temos que BC = V2cosθ e CD = V2senθ.
Ao substituirmos esses ”valores” na equac¸a˜o (3.2), obtemos:
V 2 = (V1 + V2cosθ)
2 + (V2senθ)
2 = V 21 + V
2
2 cos
2θ + 2V1V2cosθ + V
2
2 sen
2θ
...
V 2 = V 21 + V
2
2 (sen
2θ + cos2θ) + 2V1V2cosθ = V
2
1 + V
2
2 + 2V1V2cosθ
Ou seja,
V =
√
V 21 + V
2
2 + 2V1V2cosθ (3.3)
Com a equac¸a˜o (3.3), podemos calcular o mo´dulo (comprimento) de
−→
V . A
equac¸a˜o (3.3) e´ chamada Lei dos Cossenos.
Ca´lculo dos aˆngulos α, β e θ - Lei dos Senos
Os valores dos aˆngulos α, β e θ implicam a definic¸a˜o das respectivas direc¸o˜es
relativas dos vetores.
Para obtermos as relac¸o˜es necessa´rias para os ca´lculos dos nossos aˆngulos tal
como apresentados na figura (3.2) vemos que:
• Do triaˆngulo, ÂCD senα = CD
V
, de forma que:
CD = V senα (3.4)
26 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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Figure 3.3:
• Do triaˆngulo B̂CD, senθ = CD
V2
, nos permite escrever:
CD = V2senα (3.5)
Das equac¸o˜es (3.4) e (3.5), conclu´ımos que V senα = V2senθ, de modo que:
V
senθ
=
V2
senα
(3.6)
• Da mesma figura, encontramos, no triaˆngulo ÂBE que senα = BE
V1
...
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 27
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BE = V1senα (3.7)
Tambe´m encontramos, no triaˆngulo B̂DE, que senβ = BE
V2
...
BE = V2senβ (3.8)
Das equac¸o˜es (3.7) e (3.8), encontramos que V1senα = V2senβ .
..
V1
senβ
=
V2
senα
(3.9)
• Cobinando as equac¸o˜es (3.6) e (3.9), podemos escrever a expressa˜o:
V
senθ
=
V1
senβ
=
V2
senα
(3.10)
A equac¸a˜o (3.10) e´ chamada Lei dos Senos.
A Lei dos Senos nos fornece a relac¸a˜o dos aˆngulo α, β e θ.
Subtrac¸a˜o de Dois Vetores
A subtrac¸a˜o de dois vetores pode ser obtida da expressa˜o:
−→
D =
−→
V 1 −−→V 2 = −→V 1 + (−−→V 2) (3.11)
Ou seja, a subtrac¸a˜o de dois vetores e´ o mesmo que a soma de um vetorcom
o inverso do outro, tal como ilustra a figura (3.4). Da mesma figura, vemos
que o aˆngulo formado por
−→
V 1 e −−→V 2 e´ o aˆngulo pi − θ. Assim, o mo´dulo de−→
D pode ser obtido por meio da seguinte expressa˜o:
D =
√
V 21 + V
2
2 + 2V1V2cos(pi − θ) =
√
V 21 + V
2
2 − 2V1V2cosθ (3.12)
28 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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Figure 3.4: Subtrac¸a˜o de Vetores
3.2.1 Voceˆ Sabia?
Os Vetores surgiram no in´ıcio do se´culo XIX com trabalhos de Caspar Wes-
sel (1745–1818), Jean Robert Argand (1768–1822) e Carl Friedrich Gauss
(1777–1855) que no estudo dos nu´meros complexos como pontos no plano
bidimensional os representaram como segmentos de reta orientados com rep-
resentac¸a˜o bidimensional. Diversos matema´ticos e cientistas trabalharam na
mesma e´poca com este tipo de representac¸a˜o, sem a denominac¸a˜o de vetores,
mas como pares ordenados de nu´meros reais. Avanc¸o significativo houve em
1827 com August Ferdinand Mo¨bius quando publicou um pequeno livro, The
Barycentric Calculus, no qual introduziu diretamente segmentos de reta de-
notados por letras do alfabeto, vetores na esseˆncia, mas ainda na˜o no nome.
No seu estudo de centros de gravidade e geometria projetiva, Mo¨bius de-
senvolveu uma aritme´tica destes segmentos de reta; adicionou-os e mostrou
como multiplic´-los por um nu´mero real. Seus interesses estavam em outro
lugar, e ningue´m se importou em notar a importaˆncia destes ca´lculos.
”O tempo e o espac¸o sa˜o modos pelos quais pensamos e na˜o condic¸o˜es
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 29
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nas quais vivemos.”
Albert Eisntein
3.2.2 SAIBA MAIS
Exemplo 3.2.2 1
Dois vetores cujos mo´dulos sa˜o de 6 e 9 unidades de comprimento, formam
um aˆngulo de (a) 0o, (b) 60o, (c) 90o, (d) 150o e (e) 180o. Determine o mo´dulo
da soma desses vetores e a direc¸a˜o do vetor resultante com relac¸a˜o ao vetor
menor.
??Soluc¸a˜o (A. L. Almeida):
Com o uso da figura (3.2) e a lei dos cossenos (equac¸a˜o 3.3) podemos obter
o mo´dulo do vetor resultante, da soma dos vetores, para cada um dos ı´tens
da questa˜o e θ igual aos valores definidos em cada ı´tem.
Da figura (3.2), tomamos V1 = 6uc e V2 = 9uc.
A direc¸a˜o do vetor resultante
−→
V com o menor vetor
−→
V 1 e´ obtida com a lei
dos senos, equac¸a˜o (3.10).
Letra (a):
No ı´tem (a) θ = 0o de forma que a equac¸a˜o (3.3) pode ser posta na forma:
V =
√
(6)2 + (9)2 + 2(6)(9)cos0o =
√
225
...
v=15uc
Com o uso da lei dos senos, equac¸a˜o (3.10), obtemos o aˆngulo formado pelo
vetor resultante e o menos vetor V1 (figura 3.2), como segue:
senα =
V2.senθ
V
=
9.sen0o
15
= 0
Isso implica que o aˆngulo α e´ igual a 0o.
30 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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Exec´ıcio 3.2.2 1
O vetor resultante de dois outros e´ de 10 unidades de comprimento (10uc)
e forma um aˆngulo de 35o com um dos vetores componentes, que e´ de 12
unidades de comprimento (12uc). Determine o mo´dulo do outro vetor e o
aˆngulo entre os dois.
Resp. (a) V2 = 6, 90uc, (b) θ ∼= 124o
Exec´ıcio 3.2.2 2
Determine o aˆngulo entre dois vetores, de 8 e 10 unidades de comprimento,
quando o vetor resultante faz um aˆngulo de 50o com o vetor maior. Calcule
tambe´m o mo´dulo do vetor resultante.
Resp. (a) θ ∼= 123o, (b) VR = 8, 77uc
Exec´ıcio 3.2.2 3
A resultante de dois vetores e´ de 30 unidades de comprimento e forma, com
eles, aˆngulos de 25o e 50o. Determine os mo´dulos dos dois vetores.
Resp. V1 = 23, 79uc , V2 = 13, 13uc.
Exec´ıcio 3.2.2 4
Dois vetores, de 10 e 8 unidades de comprimento, formam um aˆngulo de (a)
60o, (b) 90o e (c) 120o. Determine o mo´dulo da diferenc¸a e o aˆngulo aˆngulo
que esta faz com o vetor maior.
Resp. (a) D = 9, 17uc, (b) D = 12, 81uc , (c) D = 15, 62uc .
Exec´ıcio 3.2.2 5
Sa˜o dados quatro vetores coplanares, de 8, 12, 10 e 6 unidades de compri-
mento, respectivamente; os treˆs u´ltimos fazem, com o primeiro, os aˆngulos
de 70o, 150o e 200o, respectivamente. Determine o mo´dulo e a direc¸a˜o do
vetor resultante.
Resp. (a) VR = 14, 39uc, (b) β ∼= 99o
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 31
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
32 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
Chapter 4
MECAˆNICA
”El mundo que hemos creado como resultado de nuestro pensamento hasta
hoy d´ıa tiene problemas que no pueden resolverse si seguimos pensando de la
forma como pensamos cuando lo creamos.”
Albert Einstein
4.1 Introduc¸a˜o
Mecaˆnica e´ a parte da F´ısica em que se investiga o movimento e suas causas.
Tradicionalmente, compreende a cinema´tica, em que se anilisam os movimen-
tos sem investigar as suas causas, a dinaˆmica, onde se estudam as forc¸as e os
movimentos que provocam e a esta´tica, em que se abordam os problemas de
equil´ıbrio dos sistemas.
Esta divisa˜o corresponde, em geral, a um n´ıvel relativamente elementar.
Em n´ıvel mais elevado, os fenoˆmenos mecaˆnicos sa˜o analisados na mecaˆnica
anal´ıtica, em que o instrumental matema´tico e´ elaborado e muito poderoso.
Na mecaˆnica anal´ıtica cla´ssica ou newtoniana, o fundamento teo´rico e´ con-
stitu´ıdo pelas Leis de Newton ou por princ´ıpios que lhes sejam equivalentes.
Na mecaˆnica relativ´ıstica, as leis de Newton modificam-se e generalizam-se
para que a construc¸a˜o teo´rica seja feita de acordo com o princ´ıpio da rela-
tividade.
A mecaˆnica e´ uma das partes mais desenvolvidas da F´ısica e constitui, jun-
tamente com a teoria eletromagne´tica de Maxwell, uma constru¸a˜o teo´rica
caracter´ıstica do se´culo XIX. Ainda hoje, e´ a base de importantes aplicac¸o˜es
33
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pra´ticas tais como a engenharia civil, a investigac¸a˜o das propriedades estru-
turais dos so´lidos, a investigac¸a˜o do movimento em meios cont´ınuos e seus
inu´meros empregos particulares.
4.2 Cinema´tica
Cinema´tica e´ a parte da mecaˆnica em que estudam os movimentos sem que
se indaguem as causas que os produzem, nem os fatores que os influenciam.
Fazem parte integrante do seu objeto a investigac¸a˜o sobre as relac¸o˜es entre
espac¸o percorrido e tempo; entre espac¸o, velocidade e acelerac¸a˜o; a integrac¸a˜o
das equac¸o˜es diferenciais dos movimentos; a representac¸a˜o dos movimentos
em diversos sistemas de coordenadas etc.
A cinema´tica e´ cla´ssica quando admite a passagem de um referencial a outro
mediante uma transformac¸a˜o de Galileu. Na cinema´tica relativ´ıstica, esta
passagem e´ feita por uma transformac¸a˜o de Lorentz.
4.2.1 Voceˆ Sabia?
Metaf´ısica (do grego meta = depois de/ale´m de e physis = natureza ou
f´ısico) e´ um ramo da filosofia que estuda a esseˆncia do mundo. A saber, e´
o estudo do ser ou da realidade. Se ocupa em procurar responder perguntas
tais como:
O que e´ real? O que e´ natural? O que e´ sobre-natural? O ramo central
da metaf´ısica e´ a ontologia, que investiga em quais categorias as coisas esta˜o
no mundo e quais as relac¸o˜es dessas coisas entre si. A metaf´ısica tambe´m
tenta esclarecer as noc¸o˜es de como as pessoas entendem o mundo, incluindo a
existeˆncia e a natureza do relacionamento entre objetos e suas propriedades,
espac¸o, tempo, causalidade, e possibilidade.
34 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
Figure 4.1: Plata˜o e Aristo´teles, de Raphael (Stanza della Segnatura, Roma).
Aristo´teles e´ considerado o ”pai” da metaf´ısica. Um detalhe interessante da
imagem que podemos observar sa˜o as ma˜os, tanto de Aristo´teles, quanto de
Plata˜o, veja que a ma˜o de Aristo´teles esta´ voltada para baixo, representando
sua crenc¸a em relac¸a˜o a realidade, e a ma˜o de Plata˜o para cima, ou seja, o
mundo das ide´ias.
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 35
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
4.2.2 Equac¸o˜es de Movimento
Limitaremos o nosso estudo de cinema´ticaaos movimentos retil´ıneos. Tomemos
a reta X para o deslocamento de mo´vel, como ilustra a figura. Definimos a
posic¸a˜o inicial de um mo´vel como xo e a posic¸a˜o final como x. Um mo´vel
encontra-se na posic¸a˜o inicial xo num instante to e na posic¸a˜o x no tempo t.
A velocidae me´dia do mo´vel no deslocamento x− xo e´ dada por:
vm =
x− xo
t− to =
∆x
∆t
(4.1)
Se a velocidade do mo´vel sofre mudanc¸a durante o seu deslocamento a taxa
de variac¸a˜o da velocidade com o tempo chama-se acelerac¸a˜o. Se em uma
posic¸a˜o inicial xo num intante inicial to o mo´vel possui uma velocidade vo
e se na posic¸a˜o final x, no instantante final t, o mo´vel possui velocidade v,
definimos a acelerac¸a˜o me´dia do mo´vel como:
am =
v − vo
t− to =
∆v
∆t
(4.2)
Se na˜o ha´ acelerac¸aˆo no movimento do mo´vel, o movimento e´ retil´ıneo uni-
forme (MRU) e se, ha´ acelerac¸a˜o e a mesma for constante, o movimento
e´ retil´ıneo uniformemente variado (MRUV). Limitaremos o nossos estudos
a`queles movimentos em que na˜o ha´ acelerac¸aˆo ou aos outros com acelerac¸a˜o
constante.
Para um movimento com acelerac¸a˜o constante podemos escrever a equac¸a˜o
(4.1) na forma
vm =
x− xo
t− to =
v + vo
2
(4.3)
onde (4.3) e´ va´lida apenas para movimentos com acelerac¸a˜o constante, como
esse caso espec´ıfico.
Com o aux´ılio de um cronoˆmetro, podemos tomar o tempo inicial to do
movimento, para assumir um valor zero, ou seja, to = 0. Assim, da equac¸a˜o
(4.3) podemos escrever que:
36 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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x = xo + vmt
= xo + (
v + vo
2
)t
= xo + (
vot
2
) + (
vt
2
)
= xo + (
vot
2
) +
(vo + at)t
2
= xo + (
vot
2
) + (
vot
2
) +
at2
2
...
x = xo + vot+
1
2
at2 (4.4)
Da equac¸a˜o (4.2), assumindo to = 0 podemos escrever:
t =
v − vo
a
Substituindo a expressa˜o anterior na equac¸a˜o (4.4) obtemos:
x = xovo(
v − vo
a
) +
1
2
a(
v − vo
a
)2
= xo +
vov
a
− v
2
o
a
+
1
2a
(v2 − 2vvo + v2o)
= xo +
vov
a
− v
2
o
a
+
v2
2a
− vov
a
+
v2o
2a
= xo +
v2
2a
− v
2
o
2a
Assim,
x− xo = v
2
2a
− v
2
o
2a
...
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 37
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2a∆x = v2 − v2o
Ou seja,
v2 = v2o + 2a∆x. (4.5)
O conjunto de equac¸o˜es anteriores nos permite analisar e resolver os proble-
mas de cinema´tica nos MRU e MRUV.
”As batalhas nunca se ganham. Nem se quer sa˜o travadas. O campo de
batalha so´ revela ao homem a sua pro´pria loucura e desespero e a vito´ria na˜o
e´ mais do que uma ilusa˜o de filo´sofos e loucos.”
William Faulkner
4.2.3 SAIBA MAIS
Exemplo 4.2.3 1
Um objeto parte do repouso com acelerac¸a˜o constante de 8m · s−2, ao longo
de uma linha reta. Determine: (a) a velocidade ao fim de 5s; (b) a velocidade
me´dia no intervalo de 5s; (c) a distaˆncia percorrida nestes 5s.
?Soluc¸a˜o : (A. L. Almeida) Os dados do problema sa˜o vo = 0, t = 5s e
a = 8m · s−2.
Como o movimento e´ uniformemente acelerado, encontramos:
(a)vf = vo + at = 0 + (8m · s−2) (5s) ⇒
vf = 40m · s−1
(b) vm =
vo+vf
2
= 0+40
2
m · s−1 ⇒
vm = 20m · s−1
(c) s = vot +
1
2
at2 = 0 + 1
2
(8m · s−2) (5s)2 = 100m ou s = vt =
(20m · s−1) (5s) = 100m
s = 100m
38 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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Exemplo 4.2.3 2
Um oˆnibus, movendo-se a uma velocidade de 20m·s−1, comec¸a a parar a uma
taxa de 3m · s−1 a cada segundo. Determine a distaˆncia que ele percorrera´
antes de parar.
?Soluc¸a˜o : (A. L. Almeida)
Para o trecho em considerac¸a˜o, vo = 20m · s−1, vf = 0m · s−1 e a = −3m ·
s−2. Note que o oˆnibus na˜o esta´ aumentando sua velocidade no sentido
positivo do movimento. Ao contra´rio, ele esta´ parando naquele sentido e,
portanto, sua acelerac¸a˜o e´ negativa (uma desacelerac¸a˜o). Usando v2f = v
2
o +
2ax, encontramos que:
x =
v2f − v2o
2a
=
− (20m · s−1)2
2 (−3m · s−2) ⇒ x = 67m
Exemplo 4.2.3 3
Um ele´tron atinge uma tela de TV com velocidade de 3×106m·s−1. Admitindo-
se que o ele´tron percorreu a distaˆncia de 0, 04m, acelerado a partir do repouso,
determine a sua acelerac¸a˜o.
?Soluc¸a˜o(A. L. Almeida):
Temos vf = 3, 0× 106m · s−1, vo = 0, ∆S = 0, 04m
Da equac¸a˜o v2f = v
2
o + 2a∆S, escrevemos
a =
v2f − v2o
2∆S
=
(3, 0× 106m · s−1)2
2 (0, 04m)
⇒ a = 1, 125× 1014m · s−2
Exemplo 4.2.3 4
Um motorista espera o sinal de traˆnsito abrir. Quando a luz verde acende, o
carro e´ acelerado uniformemente durante 6s, na raza˜o de 2m ·s−2, apo´s o que
ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro comec¸ou a se
mover, ele foi ultrapassado por um caminha˜o movendo-se no mesmo sentido
com velocidade uniforme de 10m · s−1. Apo´s quanto tempo e a que distaˆncia
da posic¸a˜o de partida do carro os dois ve´ıculos se encontrara˜o novamente?
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 39
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?Soluc¸a˜o(A. L. Almeida):
No te´rmino dos 6s iniciais de movimento, a velocidade do carro sera´ vcar. =
vocar. +acar.t = (2m · s−1)(6s) = 12m · s−1. No te´rmino dos 6s iniciais, o carro
encontra-se em scar. = socar. + vocar.t +
1
2
acar.t
2 = 36m. No te´rmino dos 6s
inicias o caminha˜o encontra-se em scam. = vcam.t = 10m · s−1(6s) = 60m
Assim, no te´rmino dos primeiros 6s de movimento, carro e camina˜o estara˜o
separados por s′ = scam. − scar. = 24m. Apo´s os 6s iniciais de movimento,
ambos, carro e caminha˜o esta˜o em movimento retil´ıneo uniforme, ou seja,
v = constante. A velocidade relativa carro-caminha˜o e´ definida como
vcar.−cam. = vcar. − vcam. = 2m · s−1
Obtemos o instante em que carro e caminha˜o se encontram fazendo uso da
expressa˜o
te = (6s) +
s′
vcar.−cam.
⇒ te = 18s
A posic¸a˜o do encontro pode ser obtida por meio da expressa˜o
se = (vcam.) (te) =
(
10m · s−1) (18s)⇒ se = 180m
Exemplo 4.2.3 5
Um carro esta´ se movendo a 45km · h−1 quando o motorista nota que o sinal
fechou. Se o tempo de reac¸a˜o do motorista e´ de 0, 7s e o carro desacelera na
raza˜o de 7m ·s−2 ta˜o logo se apliquem os freios, calcule a distaˆncia percorrida
pelo carro desde o instante em que o motorista nota que o sinal fechou ate´
parar. ”Tempo de reac¸a˜o” e´ o intervalo de tempo em que o motorista veˆ o
sinal fechar, ate´ o instante em que ele aplica os freios.
?Soluc¸a˜o(A. L. Almeida): do enunciado, temos: vo = 45km·h−1 = 451000m3600s =
12, 50m · s−1 , a = 7m · s−2, t = 0, 7s. A partir da´ı encontramos que
s = so + vot− 1
2
at2 =
(
12, 50m · s−1) (0, 7s)− 1
2
(
7m · s−2) (0, 7s)2
⇒ s = 7, 04m
40 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
Exerc´ıcio 4.2.3 1
Um automo´vel, partindo do repouso, atinge a velocidade de 60km · h−1 em
15s. (a) Calcule a acelerac¸a˜o me´dia em m · min−2 e a distaˆncia percorrida.
(b) Admtindo-se que a acelerac¸a˜o e´ constante, determineS quantos segundos
a mais sa˜o necessa´rios para o carro atingir a velocidade de 80km · h−1. (c)
Qual a distaˆncia total percorrida?
Exerc´ıcio 4.2.3 2
Um corpo, movendo-se com velocidade inicial de 3m ·s−1, e´ submetido a uma
acelerac¸a˜o de 4m · s−2, no mesmo sentido da velocidade. Qual a velocidade
do corpo e a distaˆncia percorrida apo´s 7s?
Exerc´ıcio 4.2.3 3
A velocidade de um trem e´ reduzida uniformemente de uma velocidade inicial
15m·s−1 para uma velocidade fina 7m·s−1 , enquanto percorre uma distaˆncia
de 90m. (a) Calcule a acelerac¸a˜o. (b) Que distaˆncia o trem ainda percorrera´
antes de parar, supondo que a acelerac¸a˜o permanec¸a constante?
Exerc´ıcio 4.2.3 4
A velocidade de um caminha˜o aumenta uniformemente de 15km · h−1 para
60km ·h−1, em 20s. Determine: (a) a velocidade me´dia; (b) a acelerac¸a˜o; (c)
a distaˆncia percorrida. Tudo nas unidadesde metros e segundos.
Exerc´ıcio 4.2.3 5
Um objeto parte do repouso com acelerac¸a˜o constante de 8m · s−2, ao longo
de uma linha reta. Determine: (a) a velocidade ao fim de 5s; (b) a velocidade
me´dia no intervalo de 5s; (c) a distaˆncia percorrida nestes 5s.
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 41
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4.3 Princ´ıpios da Dinaˆmica
A Dinaˆmica estuda os movimentos e as causas que os produzem ou os
modificam.
4.3.1 Princ´ıpio da Ine´rcia (Primeira Lei de Newton)
O princ´ıpio da ine´rcia estabelece que um ponto material isolado permanece
em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme.
• Forc¸a e´ a causa que produz num corpo variac¸a˜o de velocidade e, por-
tanto, acelerac¸a˜o. A unidade de intensidade de forc¸a no SI e´ o Newton (N).
• Referenciais Inerciais sa˜o os referenciais em relac¸a˜o aos quais vale o
princ´ıpio da ine´rcia.
• Ine´rcia e´ a propriedade da mate´ria de resistir a qualquer variac¸a˜o em
sua velocidade.
• Massa e´ a medida da ine´rcia da mate´ria. No SI sua unidade e´ o
quilograma (s´ımbolo: kg).
• Primeira Lei de Newton: um corpo em repouso tende, por ine´rcia,
a permanecer em repouso. Quando em movimento retil´ıneo e uniforme, tem
a tendeˆncia natural de manter constante sua velocidade.
4.3.2 Princ´ıpio Fundamental da Dinaˆmica (Segunda
Lei de Newton)
O princ´ıpio fundamental da Dinaˆmica estabelece que a resultante das
forc¸as aplicadas a um ponto material e´ igual ao produto de sua massa pela
acelerac¸a˜o adquirida:
−→
F R = m
−→a . (4.6)
Peso
−→
P de um corpo e´ a forc¸a de atrac¸a˜o que a Terra exerce no corpo.
Acelerac¸a˜o da gravidade −→g e´ a acelerac¸a˜o de um corpo em movimento
sob ac¸a˜o exclusiva de seu peso:
42 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
−→
P = m−→g . (4.7)
4.3.3 Princ´ıpio da Ac¸a˜o e Reac¸a˜o (Terceira Lei de New-
ton)
O princ´ıpio da ac¸a˜o e reac¸a˜o estabelece que toda vez que um corpo A
exerce uma forc¸a
−→
F A em outro corpo B, este tambe´m exerce em A uma forc¸a−→
F B tal que
−→
F A = −−→F B, isto e´, −→F A e −→F B teˆm mesma intensidade, mesma
direc¸a˜o e sentidos opostos.
4.3.4 SAIBA MAIS
Exemplo 4.3.4 1
Um objeto de 600N devera´ ter uma acelerac¸a˜o de 0, 70m · s−2. Qual o valor
da forc¸a resultante que devera´ agir sobre ele?
?Soluc¸a˜o(A. L. Almeida): supondo que o peso foi medido na Terra, usamos
p = mg, para obter:
m =
p
g
=
600N
9, 8m/s2
= 61kg
Agora que sabemos a massa do objeto (61kg) e a acelerac¸a˜o desejada (0, 70m/s2),
temos:
F = ma = (61kg)(0, 70m/s2) = 43N.
Exemplo 4.3.4 2
Uma forc¸a constante atua sobre um objeto de 5kg e reduz sua velocidade de
7m · s−1 para 3m · s−1, em um tempo de 3s. Determine a forc¸a.
?Soluc¸a˜o(A. L. Almeida): primeiramente, devemos achar a acelerac¸a˜o do
objeto, que e´ constante, porque a forc¸a e´ constante. Assim,
a =
vf − vo
t
=
−4m/s
3s
= −1, 33m2
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 43
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Podemos agora usar F = ma com m = 5kg.
F = (5kg)(−1, 33m2) = −6, 7N.
O sinal de menos indica que a forc¸a e´ retardadora, isto e´, tem sentido oposto
ao do movimento.
Exemplo 4.3.4 3
Um carro de 600kg esta´ se movendo em uma estrada nivelada a 30m ·s−1. (a)
Qual a intensidade de uma forc¸a retardadora (suposta constante) necessa´ria
para parar o carro em 70m?
?Soluc¸a˜o(A. L. Almeida): primeiramente, determinamos a acelerac¸a˜o do
carro, de uma equac¸a˜o de movimento. E´ sabido que vo = 30m/s, vf = 0 e
x = 70m. Com o uso da expressa˜o v2f = v
2
o + 2ax, podemos escrever:
a =
v2f − v2o
2x
=
0− 900m2/s2
140m
= −6, 43m2
Podemos agora escrever:
F = ma = (600kg)(−6, 43m/s2) = −3860N
Exemplo 4.3.4 4
Cacule a acelerac¸a˜o mı´nima com que uma mulher de 45kg pode deslizar por
uma corda abaixo, sendo que a corda pode resistir a uma tensa˜o de apenas
300N .
?Soluc¸a˜o(A. L. Almeida):
O peso da mulher e´ mg = (45kg)(9, 8m/s2)=441N. Como a corda pode
somente suportar 300N , a forc¸a resultante para baixo, F , na mulher deve
ser no mı´nimo 441N − 300N = 141N . Sua acelerac¸a˜o mı´nima para baixo e´
enta˜o,
a =
F
m
=
141N
45kg
= 3, 1m/s2
44 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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Exemplo 4.3.4 5
Uma caixa esta´ em repouso sobre um lago congelado, que e´ uma superf´ıcie
horizontal sem atrito. Se um pescador aplica uma forc¸a horizontal de mo´dulo
48, 0N sobre a caixa, produzindo uma acelerac¸a˜o de 3, 00m/s2, qual e´ a massa
da caixa?
?Soluc¸a˜o(A. L. Almeida):
Temos que:
m =
F
a
=
48, 0N
3, 00m/s2
= 16kg
Exerc´ıcio 4.3.4 1
Uma u´nica forc¸a de 12N atua sobre uma part´ıcula de massa m. A part´ıcula
parte do repouso e percorre, sobre uma reta, a distaˆncia de 18m em 6s.
Calcule m.
Exerc´ıcio 4.3.4 2
Na Lua, a acelerac¸a˜o da gravidade e´ apenas 1/6 da acelerac¸a˜o da gravidade
na Terra. Um astronauta, cujo peso na Terra e´ de 600N , esta´ na superf´ıcie
da Lua. Qual e´ a massa do astronauta, medida na Lua?
Exerc´ıcio 4.3.4 3
Uma astronauta chega a um planeta desconhecido. A visibilidade e´ ruim
e atrave´s de um canal de comunicac¸a˜o indaga qual a direc¸a˜o para a Terra.
”Voceˆ ja´ esta´ na Terra”, vem a resposta, ”espere que logo estaremos a´ı” . A
astronauta na˜o acredita muito e deixa cair uma bola de chumbo, de 76, 5g
de massa, do topo da nave ate´ o solo, 18m abaixo, cronometrando em 2, 5s o
tempo de queda. (a) A astronauta tem a massa de 68, 5kg; qual o seu peso
no planeta desconhecido? (b) A astronauta esta´ ou na˜o na Terra?
Exerc´ıcio 4.3.4 4
Um corpo de 6kg e´ puxado sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito por
uma forc¸a horizontal de 10N . (a) Se o corpo esta´ em repouso em t = 0,
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 45
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
qual a sua velocidade no instante t = 3s? (b) Que distaˆncia o corpo percorre
nestes 3s?
Exerc´ıcio 4.3.4 5
O Super-homem lanc¸a uma rocha de 2400N sobre seu adversa´rio. Qual e´ a
forc¸a horizontal que o Super-homem deve aplicar sobre a rocha para que ela
se desloque com uma acelerac¸a˜o horizontal igual a 12, 0m/s2?
4.3.5 Teorema da Conservac¸a˜o do Momento Linear
NOTA: O Momento Linear (−→p ) e´ tambe´m chamado de Quantidade de Movi-
mento ou Momentum.
A maioria das interac¸o˜es no cotidiano na˜o e´ frontal. Num jogo de bilhar ou
numa colisa˜o de carros, por exemplo, os objetos podem colidir de lado ou de
raspa˜o e os objetos se afastam em direc¸o˜es diferentes. Pore´m, mesmo nessas
situac¸o˜es, a quantidade de movimento se conserva, so´ que a regra de soma ja´
revela completamente seu cara´ter vetorial.
Nas situac¸o˜es em que, apo´s a colisa˜o, os objetos mudam a direc¸a˜o de seus
movimentos, podemos analisar a quantidade de movimento de cada um de-
les, separando-a em duas componentes: uma na direc¸a˜o da quantidade de
movimento inicial e outra na direc¸a˜o perpendicular a ela. A conservac¸a˜o da
quantidade de movimento deve se dar nas duas direc¸o˜es. Esse procedimento
decorre do cara´ter vetorial da quantidade de movimento.
Por sua generalidade e universalidade, a conservac¸a˜o de quantidade de movi-
mento num sistema e´ um dos mais fundamentais princ´ıpios de conservac¸a˜o
da F´ısica. Matematicamente expressamos a quantidade de movimento −→p ,
da seguinte forma:
−→p = m−→v . (4.8)
onde m e´ a massa e −→v e´ a velocidade do objeto.
A expressa˜o matema´tica da conservac¸a˜o da quantidade de movimento de um
sistema isolado, constitu´ıdo de n massas, ficaria assim:
46 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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−→
P sist = m1
−→v1+m2−→v2+...+mn−→vn =
n∑
i=1
mi
−→v i =
n∑
i=1
−→p i = Constante. (4.9)
A unidade SI dessa grandeza e´ kg.m/s.
Andar a pe´ e´ uma interac¸a˜o entre os pe´s e o cha˜o. Para caminhar,no´s
nos impulsionamos para frente e ao mesmo tempo empurramos a Terra para
tra´s, resultando num deslocamento para frente, pore´m, na˜o vemos a Terra se
deslocar em sentido oposto. Isto poderia nos dar a impressa˜o de que nosso
movimento na˜o estaria acoplado a outro e que no sistema constitruido por
”caminhante e planeta Terra”, a conservac¸a˜o da quantidade de movimento
na˜o ocorreria. Esse reconhecimento e´ dif´ıcil porque a velocidade de recuo da
Terra e´ desprez´ıvel. Isto se deve ao fato de a massa da Terra ser muito grande
comparativamente a`s outras. O princ´ıpio da conservac¸a˜oo da quantidade de
movimento continua va´lido, mesmo neste caso.
Vamos imaginar agora a situac¸a˜o de um carro quebrado que deve ser em-
purrado para entrar em movimento. Uma so´ pessoa conseguira´, com muito
esforc¸o, coloca´-lo em movimento. Este trabalho seria facilitado se duas pes-
soas empurrassem o carro. Isto porque duas pessoas fazem mais forc¸a que
uma. No caso de um oˆnibus, precisar´ıamos de mais pessoas para empurrar
se quise´ssemos atingir uma velocidade razoa´vel.
Da situac¸a˜o anterior, podemos concluir que: para alterar o estado de movi-
mento de um objeto e´ necessa´rio a ac¸a˜o de uma forc¸a; e esta forc¸a deve
ser tanto maior quanto maior for a massa do objeto e a velocidade que
queremos que ele adquira. Isto e´, para forc¸as maiores maior e´ a variac¸a˜o da
quantidade de movimento. Quanto mais tempo se empurrar o carro, maior
sera´ a velocidade que se conseguira´. Isto e´, quanto maior o intervalo de
tempo da aplicac¸a˜o da forc¸a, maior a variac¸a˜o da quantidade de movi-
mento. Enta˜o a variac¸a˜o da quantidade de movimento e´ proporcional a` forc¸a
aplicada e ao intervalo de tempo de sua aplicac¸a˜o. Matematicamente temos:
∆−→p = −→F ·∆t. (4.10)
A variac¸a˜o do momento linear, ∆−→p , e´ conhecida como impulso. Se di-
vidirmos por t os dois membros temos:
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 47
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
−→
F =
∆−→p
∆t
= m
∆−→v
∆t
. (4.11)
A forc¸a tambe´m e´ uma grandeza vetorial, sendo definida por mo´dulo, direc¸a˜o
e sentido, sua unidade SI e´ o Newton, N (N.kg.m/s2). Na equac¸a˜o, (4.11) a
variac¸a˜o da velocidade com o tempo e´ a acelerac¸a˜o, enta˜o temos:
−→
F = m−→a . (4.12)
4.3.6 Voceˆ Sabia?
ISAAC NEWTON (1642-1727)
Nascido no ano em que morreu Galileu, ingressou em Cambridge aos 18 anos,
depois de uma juventude de grandes dificuldades materiais. Com 26 anos,
tornou-se doutor e, no ano seguinte, catedra´tico. No entanto, foi logo depois
de seu bacharelado em artes que realizou, longe da Universidade, suas mais
duradouras contribuic¸o˜es a` F´ısica.
Em 1666, a regia˜o de Cambridge e´ atingida pela grande peste, chamada
peste pneumoˆnica. A Universidade fecha suas portas e Newton refugia-se
na propriedade de sua famı´lia, no campo. Esse per´ıodo de isolamento foi
extremamente prof´ıcuo, lanc¸ando as ra´ızes de muitos trabalhos posteriores
de Newton. Segundo um relato seu, teria enta˜o desenvolvido o teorema bino-
mial, o c´lculo diferencial e integral, teoremas sobre se´ries infinitas, calculado
a a´rea da hipe´rbole, e concebido as ide´ias da Gravitac¸a˜o Universal e de funda-
mentos da mecaˆnica, entre outros temas. Na˜o bastasse isso, ainda enunciou
uma teoria da luz e das cores.
Suas teorias sobre a luz sa˜o, no entanto, objeto de intensa cr´ıtica em Cam-
bridge, levando Newton a um longo per´ıodo de ciscunspecc¸a˜o. Seu trabalho
em mecaˆnica foi, no entanto, grandemente encorajado pelo astroˆnomo Hal-
ley, que incentivou Newton a publicar seus resultados. Em 1687, publica os
Princ´ıpios Matema´ticos de Filosofia Natural (o Principia), em que sintetiza
a mecaˆnica de Galileu e a astronomia de Kepler, acrescentando inu´meros
elementos ine´ditos.
48 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
Figure 4.2: Isaac Newton
Na introduc¸a˜o do Principia, depois de algumas definic¸o˜es ba´sicas, as 3 ”Leis
de Newton” sa˜o enunciadas:
1. Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento em
linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forc¸as
nele impressas.
Essa lei ja´ havia sido enunciada, de modo diferente, por Galileu e
Descartes.
2. A mudanc¸a do movimento e´ proporcional a` fora motriz impressa, e se
faz segundo a linha reta pela qual se imprime essa forc¸a.
Esta lei tambe´m fora enunciada, ainda que de maneira menos clara, por
Galileu, que tinha a conscieˆncia de que a forc¸a produziria variac¸o˜es na
velocidade, e que a relac¸a˜o era vetorial e na˜o escalar como no enunciado
de Descartes.
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 49
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
3. A uma ac¸a˜o sempre se opo˜e uma reac¸a˜o igual, ou seja, as ac¸o˜es de
dois corpos um sobre o outro sempre sa˜o iguais e se dirigem a partes
contra´rias.
A definic¸a˜o de quantidade de movimento de Newton, ”...a medida do
mesmo, obtida conjuntamente a partir da velocidade e da quantidade de
mate´ria” coincide essencialmente com a de Descartes, embora Newton
inclua a direc¸a˜o e sentido tacitamente ao falar em velocidade.
Tambe´m se encontra no Principia um teorema demonstrando que uma forc¸a
centr´ıpeta (radial) implica na lei das a´reas (de Kepler), independente da lei
de variac¸a˜o desta forc¸a com a distaˆncia. Esta lei e´ equivalente conservac¸a˜o
do momento angular.
Em outro ponto do Principia, demonstra-se que se a o´rbita do corpo sob
ac¸a˜o da forc¸a centr´ıpeta for el´ıptica, a forc¸a tem uma lei de variac¸a˜o tipo
1/r2 e vice-versa. Ao constatar por medidas astronoˆmicas que a o´rbita da
Lua seria el´ıptica, Newton postula que a Terra tambe´m produz uma forc¸a
que cai como 1/r2. Quanto a` natureza desta forc¸a (cuja causa u´ltima na˜o
faz hipo´teses), Newton supoˆs ser a mesma forc¸a gravitacional existente na
superf´ıcie da Terra.
Embora o mecanicismo de Descates tenha sido importante ponto de partida
metodolo´gico para Newton, va´rios aspectos da teoria cartesiana do movi-
mento dos planetas sa˜o contestados no Principia. A existeˆncia de um fluido
(o e´ter) girando como um turbilha˜o ou vo´rtice junto com os planetas e´ con-
testada por Newton que, usando como argumento observac¸o˜es em fluidos,
sustenta que os planetas devem mover-se no va´cuo para permanecerem em
movimento, interagindo grac¸as a` poleˆmica ac¸a˜o a` distaˆncia.
A hipo´tese de forc¸a a` distaˆncia foi atacada, entre outros, pelo contemporaˆneo
Leibnitz, que a apontava como uma volta a uma concepc¸a˜o eclesia´stica da
natureza, afirmando: ”A Gravidade... deve ser considerada como uma qual-
idade oculta, ou o efeito de um milagre”. No entanto, existe uma diferenc¸a
qualitativa entre as forc¸as ocultas aristote´licas, que sa˜o essencialmente im-
penetra´veis ao conhecimento humano e as de Newton, que se referem a` forc¸as
cuja existeˆncia pode ser constatada, analisada e calculada, mesmo que ainda
na˜o se conhec¸am em detalhe suas causas. A influeˆncia de um corpo celeste no
movimento de outro seria intermediado pelos choques das part´ıculas de e´ter
50 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
existentes no espac¸o que os separa. A u´nica forc¸a reconhecida efetivamente
por Descartes seria, portanto, a forc¸a de impacto.
Newton, embora tambe´m atomista, acreditava existirem outros tipos de
forc¸as entre as part´ıculas, capazes de agir a` distaˆncia, de maneira ana´loga
a` forc¸a gravitacional entre os planetas. Este programa cient´ıfico de New-
ton dirige-se portanto a` estrutura da mate´ria. Conforme nos diz Newton no
prefa´cio do Principia:
”Gostaria de que pude´ssemos derivar o resto dos princ´ıpios da
Natureza dos princ´ıpios mecaˆnicos pelo mesmo tipo de racioc´ınio,
pois por muitas razo˜es sou induzido a suspeitar de que todos eles
possam depender de certas forc¸as pelas quais as part´ıculas dos
corpos, por algumas causasate´ aqui desconhecidas, ou sa˜o mu-
tuamente impelidas umas em direc¸a˜o a`s outras, e se ligam em
formas regulares, ou sa˜o repelidas e se afastam umas das out-
ras”.
Sua imagem da estrutura da mate´ria, que se modificou diversas vezes ao
longo de sua vida, enfatizava a necessidade de outros princ’{ıpios ale´m das
forc¸as e da ine´rcia para explicar a complexidade do mundo f´ısico. Postulava
que elas tambe´m fossem movidas por certos Princ´ıpios Ativos, responsa´veis
pelo complexo comportamento qu´ımico da mate´ria, com qual Newton travou
intenso e ı´ntimo contato.
4.3.7 Trabalho e Energia
As atividades humanas sa˜o realizadas a partir de transformac¸o˜es de uma
quantidade de energia, de natureza eletroqu´ımica, que prove´m diariamente
dos alimentos ingeridos. Da mesma forma, ao assistirmos televisa˜o, somos
atingidos por sua energia luminosa, que se originou da energia ele´trica, que
por sua vez pode ter se originado da energia gravitacional da a´gua de uma
hidroele´trica. O que observamos na natureza e´ uma cont´ınua transformac¸a˜o
das diversas formas de energia. Na verdade, na˜o ha´ criac¸a˜o ou perda de ener-
gia. Este e´ o princ´ıpio de conservac¸a˜o de energia, muito importante
na F´ısica.
Uma forma de energia que analisaremos e´ a energia cine´tica, a energia de
um objeto devido ao seu movimento. Assim, quanto maior a velocidade de
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 51
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
um corredor maior a sua energia cine´tica. Para variarmos a velocidade de
um objeto, por conseguinte sua energia, vimos que e´ necessa´rio a aplicac¸a˜o
de uma forc¸a. Este e´ apenas um exemplo de uma propriedade geral de que
as variac¸o˜es de energia ocorrem quando ha´ a aplicac¸a˜o de forc¸as.
Nos aparelhos e ma´quinas, e´ importante saber com que rapidez ocorrem tais
variac¸o˜es ou transformac¸o˜es da energia . E´ a poteˆncia que nos informa de
quanto sera´ a variac¸a˜o da energia por unidade de tempo:
P =
∆E
∆t
. (4.13)
A unidade de energia no SI e´ o Joule, J , sendo enta˜o a unidade de poteˆncia
dada por J/s, que e´ conhecido como Watt, W .
A variac¸a˜o de energia de um objeto e´ definida como a grandeza trabalho.
Por exemplo, supomos o caso de um motorista tentando parar um carro com
uma certa velocidade (energia). Ele poderia utilizar o sistema de freios ou
usar o freio-motor, deixando o carro engatado, ou ainda deixar o carro de-
sengatado e esperar ate´ o carro parar. Desta situac¸a˜o podemos concluir que
quanto maior a for¸¸a aplicada para frear o carro, menor sera´ a distaˆncia
que ele percorrera´ ate´ parar. Nas treˆs situac¸o˜es comentadas, a variac¸a˜o da
energia ou trabalho e´ a mesma, pois nos treˆs casos o carro pa´ra. Matem-
aticamente esta ide´ia e´ expressa por:
T = ∆E = F.d.cosθ. (4.14)
onde T e´ o trabalho realizado pela forc¸a F durante a distaˆncia d e θ e´ o
aˆngulo entre a direc¸a˜o de aplicac¸a˜o da forc¸a e a direc¸a˜o do deslocamento ou
distaˆncia percorrida.
A quantidade de movimento e a energia cine´tica sa˜o dois conceitos f´ısicos
semelhantes, que dependem da massa m e da velocidade v. Ha´ duas formas
de energia cine´tica: uma devido a` velocidade translacional e outra devido
a` velocidade rotacional. A expressa˜o matema´tica para a energia cine´tica
translacional e´ dada por:
52 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
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Ec =
mv2
2
. (4.15)
Sendo a unidade SI de energia o Joule, J .
Obs.: Restringiremos os nossos estudos aos casos dedicados apenas a` en-
ergia cine´tica translacional, deixando a energia cine´tica de rotac¸a˜o para as
pro´ximas disciplinas de F´ısica.
Outra forma de energia importante, e que na˜o esta´ relacionada direta-
mente com o movimento, e´ a energia acumulada por um objeto devido a`
forc¸a gravitacional. Por exemplo, sabemos que um objeto parado ao ser
deixado cair do 1o andar de um edif´ıcio chega com menos velocidade (ener-
gia) do que um objeto que e´ deixado cair do 5o andar. Esta energia contida
pelo objeto parado e´ chamada de energia potencial e matematicamente e´
definida por:
Ep = mgh. (4.16)
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade e h e´ a altura em que se encontra o objeto
em relac¸a˜o a` superf´ıcie da Terra.
A energia mecaˆnica total de um sistema f´ısico como o somato´rio de suas
enerias cine´tica e potencial:
E = Ec + Ep =
1
2
mv2 +mgh. (4.17)
Se o sistema f´ısico, em estudo, for um sistema conservativo de energia, a
equac¸a˜o (4.17) deve ser escrita como:
E = Ec + Ep = constante. (4.18)
ou seja,
∆E = 0. (4.19)
F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida 53
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4.3.8 Notas Finais sobre os Princ´ıpios de Conservac¸a˜o
”O u´nico lugar onde o sucesso vem antes do trabalho e´ no diciona´rio.”
Albert Eistein
O movimento de um ponto material e´ definido em cada instante pelos seus
vetores, posic¸a˜o e velocidade. A experieˆncia mostra que as leis da dinaˆmica,
acompanhadas do conhecimento das coordenadas e velocidades num dado
instante, permitem determinar as equac¸o˜es de movimento de um ponto ma-
terial, ou seja, conhecer o seu comportamento ”mecaˆnico” no passado, pre-
sente e futuro. Em muitos casos e´ imposs´ıvel determinar as forc¸as que atuam
sobre o ponto material, o que inviabiliza, por meio direto a`s Leis de New-
ton, o conhecimento da sua trajeto´ria. Esta dificuldade sugere uma questa˜o:
”existira˜o proposic¸o˜es derivadas das equac¸o˜es de Newton que permitam re-
solver este problema?” A resposta e´ afirmativa: existem, sa˜o os TEOREMAS
(Princ´ıpios) de Conservac¸a˜o!
Certas quantidades possuem a propriedade importante de, sob certas condic¸o˜es,
serem constantes no tempo: momento linear, momento angular, energia
mecaˆnica total. A descoberta desta propriedade, a conservac¸a˜o, fascinou
de tal forma os f´ısicos que passou, em muitos casos, a ser assumida como
um postulado implicitamente aceito pela natureza e aplica´vel a grandezas
pertencentes aos mais diversos domı´nios da F´ısica.
Na Mecaˆnica, a importaˆncia destes princ´ıpios pode resumir-se do seguinte
modo:
(a) na˜o dependem da trajeto´ria e da natureza das forc¸as; o que permite
tirar concluso˜es acerca das propriedades de va´rios processos sem recorrer a`s
equac¸o˜es de movimento;
(b) como na˜o dependem das forc¸as que atuam, podem ser usados quando as
forc¸as sa˜o desconhecidas ;
(c) mesmo quando as forc¸as sa˜o conhecidas, a resoluc¸a˜o, recorrendo aos
princ´ıpios de conservac¸a˜o, e´ este´ticamente muito mais elegante e de ca´lculo
simples.
O que se escreveu para o ponto material ou part´ıcula, pode tambe´m ser gen-
eralizado para um sistema: a experieˆncia mostra que as leis da dinaˆmica,
acompanhadas do conhecimento das coordenadas e velocidades dos constitu-
intes do sistema num determinado instante, permitem determinar as equac¸o˜es
54 F´ısica II - Prof. Antonio Luiz de Almeida
UNEB Curso: Lic. Qu´ımica
de movimento, ou seja, conhecer o comportamento do sistema em qualquer
instante; a complexidade do sistema e a consequ¨eˆnte ana´lise de todos os seus
constituintes torna muito dif´ıcil este processo anal´ıtico... Da´ı a importaˆncia
da utilizac¸a˜o dos PRINCI´PIOS (Teoremas) da conservac¸a˜o.
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Chapter 5
OSCILACO˜ES
”Somos o que fazemos. Mas somos, principalmente, o que fazemos para
mudar o que somos.”
Autor desconhecido
5.1 Introduc¸a˜o
OSCILACA˜O: fenoˆmeno em que o estado de um sistema - o oscilador -
varia periodicamente em func¸a˜o do tempo. Uma part´ıcula esta´ oscilando
quando se move periodicamente em torno de uma posic¸a˜o de equil´ıbrio. O
movimento de um peˆndulo e´ oscilato´rio. Um peso amarrado na extremidade
de uma mola esticada oscila ao ser abandonado. Os a´tomos num so´lido esta˜o
vibrando. Os ele´trons,