Cálculo II-Campos-Vetoriais (Lista de Ex)

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 CÁLCULO II CÁLCULO II CÁLCULO II CÁLCULO II ———— EFB1EFB1EFB1EFB103 03 03 03 ————B4B4B4B4 
 
 
CAMPOS VETORIAISCAMPOS VETORIAISCAMPOS VETORIAISCAMPOS VETORIAIS 
 
 
1.1.1.1. Calcule o gradiente do campo escalar: f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 R: (2x,2y,2z) 
 
2.2.2.2. Calcule o gradiente do campo escalar: f(x,y,z) = 2xy + x2 sen ax R: (2(y+xsenaz),2x,ax2cosaz) 
 
3.3.3.3. Dado o campo vetorial: 2 2F(x, y, z) (2x y) i xyzj yz k= + + +
� ���
 calcule: 
 a. . F∇
� �
 R: 4(x+y+z) 
 b. F∇ ∧
� �
 R: ((z2-xy),0,(yz-1)) 
 
4.4.4.4. Dado o campo vetorial: y 2F(x, y, z) xe sen z i z j= +
� ��
 calcule: 
 a. . F∇
� �
 R: ey senz 
 b. F∇ ∧
� �
 R: (-2z, xeecosz, -xeysenz) 
 
5.5.5.5. Dado o campo escalar f(x,y,z)= x2 y ez, calcule: 
 a. f∇
�
 R: ezx(2y, x, xy) 
 b. 2 f∇ R: yez (2+x2) 
 
6.6.6.6. Dado o campo vetorial: 2 yF(x, y, z) x e i zsenxj xy coszk= + −
� ���
 calcule: 
 a. . F∇
� �
 R: 2xey + xy senz 
 b. F∇ ∧
� �
 R: (-(xcosz+senz), -ycosz, zcosx-x2ee) 
 
7.7.7.7. Mostre que . F 0∇ ∇ ∧ =
� � �
 
 
8.8.8.8. Mostre que f 0∇ ∧∇ =
� � �
 
 
9.9.9.9. Dado o campo vetorial: x y zF(x, y, z) F (x, y, z) i F (x, y, z) j F (x, y, z)k= + +
� ���
 onde: 
 
2
x
2 4
y
2 3 3
z
F` (x, y, z) axz by
F (x, y, z) axy cy z
F (x, y, z) x 2ay z
 = +

= +

= +
 
determine os valores das constantes a, b e c para que F 0∇ ∧ =
� � �
 R: 2,1,3 
 
10.10.10.10. Dado o campo vetorial: x y zF(x, y, z) F (x, y, z) i F (x, y, z) j F (x, y, z)k= + +
� ���
 onde: 
 
3 2y
x
2 2 3 2y
y
2 2
z
`F (x, y, z) axy e
F (x, y, z) bx y ayz axe
F (x, y, z) cy z
 = −

= + +

=
 R: -2, -3, -3 
determine os valores das constantes a, b e c para que F 0∇ ∧ =
� � �
 
 
 
11.11.11.11. Dado o campo vetorial 2F(x, y, z) y i xj= +
� ��
 calcule a integral de linha entre os pontos A(0,0) 
e B(1,1) sobre os caminhos: 
a. a reta que liga estes pontos, R: 5/6 
b. a parábola y = x2. R: 13/15 
Verificando que a integral de linha, de forma geral, depende do caminho. 
 
12.12.12.12. Dado o campo vetorial 3 3F(x, y, z) xy i x yj= +
� ��
 calcule a integral de linha entre os pontos 
A(0,0) e B(2,8) sobre os caminhos: 
a. a reta que liga estes pontos, R: 128 
b. a parábola y = 2x2. R: 2816/7 
Verificando que a integral de linha, de forma geral, depende do caminho. 
 
13.13.13.13. Considere a trajetória fechada C formada pelos lados do retângulo ABCD mostrado abaixo, 
calcule 
C
F.ds∫
� �
� onde 
2 2F(x, y, z) y i xy j= +
� ��
 
 
 
R: -1/3 
 
 
 
14.14.14.14. Considere a trajetória fechada C formada pelos lados do triângulo ABC mostrado abaixo, 
calcule 
C
F.ds∫
� �
� onde 
2 2F(x, y, z) y i xy j= +
� ��
 
 
 
R: -1/2 
 
 
 
Compare o resultado com o resultado do exercício anterior 
 
15.15.15.15. Calcule a integral de linha do campo = + +
� ���
F(x, y, z) y i xj xyk sobre a curva 3r ti j t k= + +
�� �� 
com .a t a− ≤ ≤ R: 2a 
 
xxxx 
yyyy 
1111 
2222 
xxxx 
yyyy 
2222 
1111 
16.16.16.16. Calcule a integral de linha do campo = + +
� ���
F(x, y,z) y i zj xk sobre a curva 
 
=

=

= +
x cos t
y sent
z x y
 R: pi/4 
 com 0 .
2
t
pi≤ ≤ 
17.17.17.17. Calcule a integral de linha do campo = + +
� ��� 2F(x, y, z) 2x i zj y k sobre a curva 
  − =
− =
3x y 0
xy z 0
 R: 2/5 
 com 1 1.y− ≤ ≤ 
 
18.18.18.18. Calcule a integral de =
�
2F(x, y, z) (2x, y, x ) sobre a curva 
  − =
− =
2x y 0
xy z 0
 R: 6/5 
 com 1 1.x− ≤ ≤ 
 
19.19.19.19. Calcule a integral de = −
� ��
F(x, y, z) x i y k sobre a curva 
 
=

=

= −
2
2
x 2t
y t
z x 3y
 R: 3/2 
 com 0 1.t≤ ≤ 
 
20.20.20.20. Calcule a integral de = + +
� ���2F(x, y, z) xy i xj yzk sobre o segmento que liga o ponto (0, 0 ,0) 
ao ponto (1, 2, 3). R: 8 
 
21.21.21.21. Calcule a integral de = + +
� ���2F(x, y, z) y i xj xyzk sobre o segmento que liga o ponto (0, 0 ,0) 
ao ponto (2, 3, 4). R: 33 
 
22.22.22.22. Calcule a integral de = + −
� ��
F(x, y, z) y i (4y x) j sobre o arco de circunferência com centro na 
origem, ligando o ponto (1, 0) ao ponto (0, 1). R: 4-pi/2 
 
23.23.23.23. Calcule a integral de = + +
� ���2F(x, y, z) y i xj xyzk sobre a poligonal de vértices (0, 0, 0); 
(2, 0, 0); (2, 3, 0), (2, 3, 4). R: 54 
 
 
24.24.24.24. Calcule a integral de = + −
� ��
F(x, y) y i (4y x) j sobre a poligonal de vértices (1, 0); (0, 0); (0, 1). 
R: 2 
25.25.25.25. Calcule a integral de = −
+
� ��
2 2
1
F(x, y) (y i xj)
x y
 sobre a circunferência x2 + y2 = a2 no sentido 
anti-horário. R: -2 
26.26.26.26. Calcule a integral de =
�
F(x, y, z) (y, x, xy) sobre a poligonal de vértices (0, 0, 0); (1, 2, 0); 
(1, 2, 3).R: 8 
 
27.27.27.27. Calcule a integral de = + +
� ���2F(x, y, z) xy i xj yzk sobre a poligonal de vértices (0, 0, 0); 
(0, 2, 0); (1, 2, 0), (1, 2, 3). R: 11 
 
28.28.28.28. Determine os valores das constante a e b para que o campo 
= + +
� ���
F(x, y, z) ayz i bxzj 2xyk 
 seja conservativo e obtenha a função potencial. R: 2xyz + k 
 
29.29.29.29. Determine os valores das constante a e b para que o campo 
= − + +
� ��3 2y 2 2 2yF(x, y, z) (axy e ) i (bx y axe ) j 
 seja conservativo e obtenha a função potencial. R: -x2y3 - xe2y + k 
 
30.30.30.30. Mostre que o campo: 
= − + − +
� ��2 3 2 2F(x, y, z) (2xy y ) i (2x 3xy 2) j 
 é conservativo e determine a função potencial. R: x2 y2 — xy3+2y+k 
 
31.31.31.31. Mostre que o campo: 
= − + −
� ��3 3 4 2F(x, y, z) (4x y y ) i (x 3xy ) j 
 é conservativo e determine a função potencial. R: x4y - y3x +k 
 
32.32.32.32. Verifique se o campo vetorial: 
= − + − + +
� ���2F(x, y, z) (x y) i (x 3z) j (z 3y)k 
 é conservativo e, em caso afirmativo, determine a função potencial. R: 3 2x zxy 3yz k
3 2
− + + + 
 
33.33.33.33. Verifique se o campo vetorial: 
2 2 2F(x, y, z) x i y j z k= + +
� ���
 
 é conservativo e, em caso afirmativo, determine a função potencial. R:(x3+y3+z3)/3 + k 
 
 
 
 
 
34.34.34.34. Determine os valores das constante a e b para que o campo 
= + + + + +
� ���2 2 2 2 2F(x, y, z) (ax sen2y bxz ) i (bx cos2y cyz ) j (czx 2zy )k 
 seja conservativo e, se possível, obtenha a função potencial. R: x2 sen2y + z2 x2+ z2 y2 +k 
 
35.35.35.35. O campo elétrico produzido por uma carga elétrica puntiforme q é dado por: 
r2
0
q1 ˆE e
4 r
=
piε
�
 
isto é, 
( ) ( )3 / 22 2 20
q1
E x i y j z k
4 x y z
= + +
piε + +
� ���
 
mostre que este é um campo conservativo, sendo: 
E V= −∇
��
 
onde V é o potencial elétrico: 
0
q1
V
4 r
=
piε
 
isto é: 
2 2 2
0
q1
V
4 x y z
=
piε + +
 
 
36.36.36.36. A força que age sobre uma partícula é definida por: 
2 2 2 2F(x, y, z) (x y ) i (x y ) j= + + −
� ��
 
a. determine o trabalho executado sobre a partícula quando ela se desloca do ponto 
(0,0) ao ponto (2,8) sobre a parábola y = x2. R: 246J 
b. Esta força é conservativa? 
 
37.37.37.37. Calcule o trabalho realizado pela força x y zF(x, y, z) a(e i e j e k)= + +
� ���
sobre uma partícula que 
se desloca do ponto (0,0,0) ao ponto (2,4,8) sobre a curva definida por: 
 2
3
x t
y t
z t
=

=

=
 R: a(e8 + e4 + e2 — 3) 
 
38.38.38.38. Um campo vetorial F(x, y, z) f(r)r=
� � é um campo central. Mostre que este tipo de campo é 
conservativo. 
 
39.39.39.39. Considere o campo 2 2 2 2
y x
F(x, y, z) i j
x y x y
= −
+ +
� ��
 
a. Mostre que 
C
F.ds 0≠∫
� �
� sobre a circunferência mostrada na figura. 
b. Mostre que F 0∇ ∧ =
� � �
. 
c. Explique os resultados anteriores. 
d. Obtenha a função potencial associada a F
�
. 
 
 
 
yyyy 
xxxx 
1111 ----1111 
 
40.40.40.40. Considere o campo 2
1 x
F(x, y, z) i j
y y
= −
� ��
 
a. Mostre que 
C
F.ds 0≠∫
� �
� sobre o quadrado mostrado na figura. 
b. Mostre que F 0∇ ∧ =
� � �
. 
c. Explique os resultados anteriores. 
d. Obtenha a função potencial associada a F
�
. R: x/y + k