ELE401 Nota de Aula 03 Revisão 2º 2017

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ELE401 – Circuitos Magnéticos 
 
 
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO/GUSTAVO LOPES 1 
CAPÍTULO III – CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
Os circuitos magnéticos utilizam materiais 
ferromagnéticos no sentido de direcionar e elevar a 
indução magnética (e conseqüentemente o fluxo 
magnético). Isto é possível uma vez que os 
materiais ferromagnéticos possuem altas 
permeabilidades. 
A figura 3.1, a seguir, apresenta um exemplo típico 
de circuito magnético. Nesta configuração, pode-se 
notar o direcionamento do fluxo magnético 
proporcionado pela forma do núcleo. 
 
Figura 3.1 – Núcleo Magnético 
3.2 EFEITO DA DISPERSÃO 
Os circuitos magnéticos também são sujeitos aos 
efeitos da dispersão. Assim, considere inicialmente 
a bobina ou solenóide da figura 3.2 a seguir. 
i
N
a b
B
dispersãodispersão 
Figura 3.2 – Efeito da Dispersão em um Solenóide 
Como pode ser observado, ocorre nas 
extremidades da bobina uma determinada 
dispersão do campo magnético através do ar 
(pode-se ver, na figura, uma redução da densidade 
de campo magnético “B”, nas extremidades). Este 
fenômeno é conhecido como “efeito das 
extremidades” ou “dispersão”. 
Considere agora o circuito magnético apresentado 
de forma esquemática à figura 3.3 a seguir. 
Neste caso, o efeito da dispersão também ocorre 
nas extremidades da bobina. Entretanto, devido à 
alta permeabilidade proporcionada pelo material 
ferromagnético que constitui o núcleo, este efeito 
de dispersão será bastante reduzido. Observar que 
a alta permeabilidade oferece um caminho mais 
adequado à “circulação” do fluxo magnético. 
Portanto, quanto maior for a permeabilidade do 
núcleo, menor será o efeito da dispersão de fluxo 
magnético pelo ar. 
 
 
Figura 3.3 – Efeito da Dispersão em um Núcleo Magnético 
Da figura 3.3 tem-se que: 
 dt   
Onde: 
t = Fluxo magnético total produzido pela 
corrente; 
 = Fluxo magnético que “circula” pelo 
núcleo; 
d = Fluxo magnético de dispersão pelo ar. 
Para materiais de alta permeabilidade tem-se que: 
d  
3.3 EQUACIONAMENTO 
3.3.1 Determinação de “B” e “H” 
Considere o circuito magnético da figura 3.4 a 
seguir. Para a linha média do mesmo pode-se 
escrever que: 
  2/ mWb
A
B  (3.1)
Onde: 
B= Densidade de campo magnético de cada 
uma das pernas do núcleo magnético; 
 = Fluxo magnético que “circula” através de 
cada uma das pernas do núcleo 
magnético; 
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A= Área da seção reta transversal de cada 
uma das pernas do núcleo magnético. 
 
Figura 3.4 – Circuito Magnético 
A densidade de campo magnético “B” pode ser 
expressa por: 
  HxB m  10 
Ou ainda, 
HB   
Portanto, determinado o valor de “B” (conforme 
expressão 3.1), e de posse da curva de 
saturação do material, pode-se calcular o valor 
da intensidade de campo magnético “H” 
correspondente, para cada uma das pernas do 
núcleo magnético. 
Desta forma, considere a curva de saturação 
apresentada à figura 3.5 a seguir. 
 
Figura 3.5 – Curva de Saturação do Material 
Para cada valor de “B” haverá um valor de “H” 
correspondente. Assim, pode-se escrever 
também que: 
  mAEBH / (3.2)
3.3.2 Definição de Força Magnetomotriz 
Foi visto anteriormente que: 
l
iNinH  
Desta forma, pode-se escrever também que: 
iNlH  
Define-se como força magnetomotriz, o 
produto “ lH  ” ou o produto “ iN  ”, então: 
  AEiNlHF  (3.3)
Onde: 
F= Força magnetomotriz (ou simplesmente 
f.m.m.). 
Esta definição é realizada como uma analogia 
à força eletromotriz nos circuitos elétricos. Tal 
correspondência será analisada no item 
seguinte. 
3.4 ANALOGIA ELETROMAGNÉTICA 
3.4.1 Introdução 
Seja o circuito elétrico da figura 3.6 a seguir. 
 
Figura 3.6 – Circuito Elétrico 
Para este circuito elétrico podem ser escritas 
as seguintes equações: 
iRe  
Sendo: 
A
L
A
LR   
E ainda, 
L
AG   
Onde: 
e Força eletromotriz (f.e.m.) 
R Resistência elétrica total do circuito; 
G Condutância elétrica total do circuito; 
i Corrente elétrica que passa pelo circuito 
elétrico; 
L Comprimento total do condutor; 
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A Área da seção reta transversal do 
condutor; 
 Resistividade elétrica do material 
utilizado como condutor; 
 Condutividade elétrica do material 
utilizado como condutor. 
Seja agora o circuito magnético apresentado à 
figura 3.7: 
 
Figura 3.7 – Circuito Magnético 
Na figura 3.7, tem-se que: 
F Força magnetomotriz (f.m.m.); 
N Número de espiras da bobina; 
i Corrente que circula na bobina; 
 Fluxo magnético que “circula” pelo 
núcleo. 
Observando as figuras 3.6 e 3.7, pode-se 
concluir que: enquanto no circuito elétrico 
circula uma corrente elétrica “i”, no circuito 
magnético “circula” um fluxo magnético “ ”. 
Por outro lado, no circuito elétrico existe uma 
fonte de força eletromotriz “e” e no circuito 
magnético existe uma fonte de força 
magnetomotriz “F”. Portanto, pode-se fazer a 
seguinte analogia entre os dois circuitos: 
i   
e  F 
Para o circuito magnético, pode-se escrever 
que: 
 iNlHF  
 lAl
BlHF  

 
   A
lF (3.4)
No circuito elétrico, pode-se escrever que: 
 iRe  
 
A
L
A
LR 
 
 
 i
A
Le   (3.5)
Comparando as equações (3.4) e (3.5), pode-
se observar uma analogia entre os seguintes 
termos: 
 A
LR   e A
l
 
A primeira relação corresponde à resistência 
(R) do circuito elétrico. A segunda, portanto, 
corresponderia a uma certa “resistência” do 
circuito magnético. Através desta analogia, 
define-se: 
  1 HAlRe  (3.6)
Onde: 
Re Relutância magnética do núcleo ou do 
circuito magnético. 
Desta forma pode-se escrever que: 
  eRF (3.7)
Onde (3.7) é uma equação análoga à lei de 
Ohm no circuito elétrico. 
Por outro lado, o inverso da relutância 
magnética é definido como sendo a 
permeância magnética (Pe), de forma análoga 
a condutância (G) no circuito elétrico. Desta 
forma, pode-se escrever que: 
  Hl
A
R
P
e
e
 1 (3.8)
3.4.2 Cálculo da Indutância do Circuito 
Magnético 
Sabe-se que: 
iLN   
Onde: 
 Fluxo enlaçado ou concatenado; 
L Indutância da bobina. 
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Portanto: 
i
N
i
L   
Mas como, 
N
lHiiNlH  
E ainda, 
AB  
Vem: 
lH
ABNN
lH
ABN
i
NL 


2 
Mas, 
HB   
Assim, 
l
ANL  2 
Como, 
A
lRe   
Tem-se que: 
  HPN
R
NL e
e
 2
2
 (3.9)
3.4.3 Resumo da Analogia Eletromagnética 
A seguir será apresentada uma tabela com o 
resumo das principais analogias verificadas 
entre os circuitos elétricos e magnéticos. 
Circuito Elétrico Circuito Magnético 
i = Corrente Elétrica (A)  = Fluxo Magnético (Wb) 
e = Força Eletromotriz (V) Fmm = Força Magnetomotriz (Ae) 
R = Resistência Elétrica () Re = Relutância Magnética (Ae/Wb) 
G = Condutância (S) Pe=Permeância (Wb/Ae) 
 = Condutividade (A/Vm)  = Permeabilidade (Wb/Am) 
E=Ri (Lei de Ohm) F=Ni=Re 
 i = 0 (Lei de Kirchhoff)  = 0 
 A
LR  
,  
L
AG    A
lRe   , 
 
l
APe
  
Tabela 3.1 – Resumo da Analogia Eletromagnética 
 
 
 
 
3.4.4 Circuito Elétrico Análogo 
Um circuito elétrico simples pode ser 
representado de forma esquemática conforme 
a figura 3.8 a seguir. 
 
Figura 3.8 – Representação Esquemática de um Circuito 
Elétrico 
Seja agora um circuitomagnético como aquele 
apresentado na figura 3.9 a seguir. 
 
Figura 3.9 – Circuito Magnético 
Através da analogia com o circuito elétrico, o 
circuito magnético anterior pode ser 
representado por um circuito elétrico análogo, 
conforme ilustra a figura 3.10 a seguir. 
 
Figura 3.10 – Circuito Elétrico Análogo 
A analogia é utilizada para melhorar a 
compreensão e maior facilidade na solução 
dos circuitos magnéticos. 
 
3.4.5 Efeitos da Saturação 
Seja a curva de saturação ou magnetização da 
figura 3.11 a seguir. 
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Figura 3.11 – Curva de Saturação 
Como pode ser observado na figura (3.11) 
anterior, as permeabilidades dos pontos (1) e 
(2) são diferentes. 
Assim, pode-se concluir que a saturação afeta: 
a) A permeabilidade magnética do material 
(); 
b) A permeância (Pe) ou a relutância (Re) 
do circuito magnético; 
c) A indutância (L) da bobina ou do circuito 
elétrico. 
Vale lembrar que: 
l
APe
  
A
lRe   
eR
NL
2
 
3.5 CIRCUITOS MAGNÉTICOS SÉRIE 
Um circuito magnético série é aquele em que o 
fluxo magnético é o mesmo em todas as suas 
pernas. 
Este tipo de circuito magnético pode ser 
dividido em: 
a) Circuito magnético série homogêneo: 
quando as áreas das seções retas 
transversais de todas as pernas do 
núcleo forem iguais. A figura 3.12 a 
seguir ilustra esta condição. 
 Figura 3.12 – Circuito Magnético Série Homogêneo 
Da figura 3.12, tem-se: 
AAAAA  4321 
4
4
3
3
2
2
1
1 A
B
A
B
A
B
A
B   
BBBBB  4321 
b) Circuito magnético série não-
homogêneo: quando pelo menos uma 
das áreas das seções retas transversais 
for diferente das demais. A figura 3.13 a 
seguir ilustra esta condição. 
 
Figura 3.13 – Circuito Magnético Série Não Homogêneo 
Da figura 3.13, tem-se que: 
4321 AAAA  
4
4
3
3
2
2
1
1 A
B
A
B
A
B
A
B   
4321 BBBB  
Para os circuitos magnéticos das figuras 3.12 
e 3.13, pode ser desenvolvido o circuito 
análogo equivalente apresentado à figura 3.14 
a seguir: 
 
Figura 3.14 – Circuito Elétrico Análogo 
Da figura 3.14, tem-se que: 
   4321 eeee RRRRF 
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Chamando, 
4321 eeeee RRRRR TOTAL  
Vem, 

TOTALe
RF 
Portanto, pode-se desenvolver o circuito 
elétrico análogo equivalente apresentado na 
figura 3.15 a seguir. 
 Figura 3.15 – Circuito Elétrico Análogo 
Considere agora o circuito magnético da figura 
3.16 a seguir. 
 Figura 3.16 – Circuito Magnético Série 
Onde: 
lllll  4321 
Sendo “l” sendo a linha média do circuito. 
Através da analogia eletromagnética pode-se 
desenvolver o circuito elétrico análogo à figura 
3.17 a seguir. 
 
Figura 3.17 – Circuito Elétrico Análogo 
Conforme desenvolvimento anterior pode-se 
escrever que: 

TOTALe
RF 
Ou de uma forma mais geral: 
 


n
k
eTOTAL
RF
1
 (3.10)
Da equação 3.6, tem-se que: 
 1 HAlRe  
Ou ainda, 
kk
k
e A
lR
k   
Levando em 3.10, obtém-se: 
 
 
n
k kk
k
A
lF
1  (3.11)
Mas, 
A
B  
Ou ainda, 
k
k A
B  
Em (3.11), vem: 



n
k
k
k
k lBF
1  
Como, 
HB   
Ou ainda, 
k
k
k
BH  
Obtém-se finalmente que: 
 


n
k
kk lHF
1
 (3.12)
Ou seja, 
iNlHlHlHlHF  ....44332211 
Ou ainda, 
iNFFFFF  ....4321 
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As intensidades de campo magnético: H1, H2, 
H3, H4,...,Hn são determinadas através das 
curvas de magnetização dos materiais, 
respectivamente para B1, B2, B3, B4,..,Bn. 
3.5.1 Tipos de Problemas 
Existem basicamente dois tipos de problemas 
de cálculo de circuitos magnéticos, a saber: 
a) Determinar o valor da corrente “i” 
injetada na bobina, necessária para 
produzir um determinado fluxo 
magnético “” no núcleo; 
b) Determinar o valor do fluxo magnético 
“”, no núcleo, produzido por uma dada 
corrente “i” na bobina. 
O primeiro tipo de problema é de solução 
muito simples (solução direta), já o segundo 
tipo requer uma solução iterativa mais 
trabalhosa. 
A seguir serão apresentados exemplos 
práticos dos dois tipos de problemas citados. 
3.5.2 Exemplos 
Exemplo 1 
Seja o circuito magnético serie não-
homogêneo apresentado à figura 3.18 a 
seguir: 
 
Figura 3.18 – Circuito Magnético – Exemplo 1 
Sabendo que: 
Espessura do Núcleo = 8 cm, N = 300 espiras 
(número total de espiras da bobina), 
 = 0,0064 Wb (fluxo magnético no núcleo). 
Determinar a força magnetomotriz “F” e a 
corrente “i” injetada na bobina. As medidas na 
figura 3.18 são dadas em centímetros. 
Considerar a curva 1 de magnetização, do 
anexo 1. 
Solução: 
Cálculos Iniciais: O circuito magnético da 
figura 3.18 pode ser dividido em 2 partes (de 
seções iguais). Para estas partes podem ser 
calculados os comprimentos das linhas médias 
e as áreas das seções retas transversais do 
núcleo, ou seja: 
Parte 1 
L1 = (05 + 30 + 04) x 02 + (05 + 22 + 05) = 
110 cm, L1 = 1,10 m. 
A1 = 10 x 8 = 80 cm2, A1 = 0,0080 m2 
Parte 2 
L2 = 05 + 22 + 05 = 32 cm, L2 = 0,32 m. 
A2 = 08 x 08 = 64 cm2, A2 = 0,0064 m2. 
Circuito Elétrico Análogo 
O circuito magnético da figura 3.18 pode ser 
representado pelo circuito elétrico análogo da 
figura 3.19 a seguir. 
 
Figura 3.19 – Circuito Elétrico Análogo – Exemplo 1 
Da figura 3.19 tem-se que: 
  21 ee RRF 
Ou ainda, 
21 FFF  
Vale lembrar que: 
lHF  
Portanto, 
111 lHF  
222 lHF  
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Tabela de Valores 
Considerando os dados fornecidos e através 
das expressões anteriormente apresentadas, é 
possível montar a tabela de valores (3.5) a 
seguir. 
Parte  (Wb) A (m2) B (T) H (Ae/m) L (m) F (Ae) 
1 0,0064 0,0080 0,8 620 1,10 682 
2 0,0064 0,0064 1,0 900 0,32 288 
Tabela 3.2 – Tabela de Valores 
No desenvolvimento da tabela 3.2, considerou-
se que: 
a) No circuito magnético série, o fluxo 
magnético é o mesmo em todas as 
partes. Portanto: 
 Wb 0064,01   
b) As áreas das seções retas transversais 
(A1 e A2) e os comprimentos das linhas 
médias (l1 e l2) foram determinados no 
item “cálculos iniciais”; 
c) Os valores B1 e B2 são determinados 
através da expressão: 
A
B  
d) Os valores H1 e H2 são obtidos através 
da curva de saturação do material, para 
B1 e B2 respectivamente. 
Obs.: A curva de magnetização do material é 
apresentada no anexo 1 (curva 1). 
e) Os valores F1 e F2 são determinados 
através da seguinte expressão: 
lHF  
Determinação da Corrente 
A corrente “i” da bobina pode ser determinada 
da seguinte forma: 
21 FFF  
Logo, 
 AeF 970288682  
Como, 
iNF  
Vem, 
 A
N
Fi 233,3300
970  
Determinação de outros Valores 
Da tabela podem ser extraídos diversos 
valores como: 
 As relutâncias das diversas partes do 
núcleo magnético; 
 As permeâncias das diversas partes do 
núcleo; 
 A relutância equivalente do circuito 
magnético; 
 As permeabilidades magnéticas 
absolutas e relativas das diversas 
partes; 
 O fluxo enlaçado com a bobina; 
 A indutância (L) da bobina. 
Fica como exercício para o leitor, a 
determinação destas grandezas. 
Exemplo 2 
Para o mesmo circuito magnético do exemplo 
1 anterior, determine o valor do fluxo 
magnético correspondente a uma corrente de 
6,667 A na bobina. 
Solução: 
CálculosIniciais 
No exemplo 1, foram determinadas as áreas 
das seções e os comprimentos das linhas 
médias do núcleo. Foi desenvolvido também o 
circuito elétrico análogo. 
Sabe-se que: 
iNF  
Como, 
i = 6,667 A e N = 300 espiras 
Vem, 
 AeF 2000667,6300  
Circuito Elétrico Análogo 
A figura 3.20 a seguir apresenta o circuito 
elétrico análogo correspondente. 
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Figura 3.20 – Circuito Elétrico Análogo – Exemplo 2 
Admitindo por hipótese que: F1=1000 Ae, é 
possível desenvolver a tabela de valores (3.3) 
do item a seguir. 
Tabela de Valores – 1ª iteração 
Parte  (Wb) A (m2) B (T) H (Ae/m) L (m) F (Ae) 
1 0,0080 0,0080 1,00 909 1,10 1000 
2 0,0080 0,0064 1,25 1600 0,32 512 
Tabela 3.3 – Tabela de Valores 
A força magnetomotriz total (F) é igual a soma 
das parcelas F1 e F2, portanto; 
][ 1512512100021 AeFFF  
Este valor (1512 Ae) está abaixo do valor real 
da força magnetomotriz total, ou seja, 
2000 Ae. Desta forma, uma nova hipótese se 
faz necessária. 
Admitindo por hipótese que: F1 = 1400 Ae, 
pode-se desenvolver a tabela de valores (3.4) 
a seguir. 
Tabela de Valores – 2ª iteração 
Parte  (Wb) A (m2) B (T) H (Ae/m) L (m) F (Ae) 
1 0,0093 0,0080 1,16 1273 1,10 1400 
2 0,0093 0,0064 1,45 3000 0,32 960 
Tabela 3.4 – Tabela de Valores 
A força magnetomotriz total (F) é igual a soma 
das parcelas F1 e F2, portanto; 
][ 2360960140021 AeFFF  
Este valor (2360 Ae) está acima do valor real 
da força magnetomotriz total, ou seja, 
2000 Ae. Desta forma, uma nova hipótese se 
faz necessária. 
Admitindo agora F1 = 1250 Ae, pode-se 
desenvolver a tabela de valores (3.5) a seguir. 
 
Tabela de Valores – 3ª iteração 
Parte  (Wb) A (m2) B (T) H (Ae/m) L (m) F (Ae) 
1 0,0089 0,0080 1,11 1136 1,10 1250 
2 0,0089 0,0064 1,39 2300 0,32 736 
Tabela 3.5 – Tabela de Valores 
Somando F1 e F2 obtém-se: F = 1986 Ae. Este 
valor está muito próximo do valor real de 
2000 Ae. Portanto, pode-se dizer que o fluxo 
magnético no núcleo vale 0,0089 Wb. 
Outros Valores Obtidos da Tabela 
Da tabela 3.5 podem ser obtidas inúmeras 
outras grandezas, conforme sugerido no 
exemplo 1 anterior. Alguns destes possíveis 
resultados são apresentados a seguir. 
 0,0089 (Wb) ReT 223147 (H-1) 
Re1 140450 (H-1) L 0,4033 (H) 
Re2 82697 (H-1) 
Tabela 3.6 – Outros Valores Obtidos 
O leitor deve comparar os resultados obtidos 
nos dois exemplos dados e verificar os efeitos 
causados pela não-linearidade do circuito 
magnético. 
3.6 CIRCUITOS MAGNÉTICOS PARALELOS 
Em um circuito magnético paralelo, existem 
“nós” de bifurcação para o fluxo magnético. A 
figura 3.21 a seguir apresenta uma 
configuração típica. 
 
Figura 3.21 – Circuito Magnético Paralelo 
Para este circuito magnético, pode-se 
desenvolver o circuito elétrico análogo 
apresentado na figura 3.22. 
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Figura 3.22 – Circuito Elétrico Análogo 
Da figura 3.22, tem-se: 
321   
Tem-se também, 
21 2121 ee RRFFF   
31 3131 ee RRFFF   
Portanto, podemos admitir que, 
32 FF  
De onde retiramos: 
3322 lHlH  
Considere agora o núcleo magnético 
apresentado à figura 3.23 a seguir. 
 
Figura 3.23 – Circuito Magnético Paralelo com Bobina 
Central 
Da figura anterior, tem-se que: 
312   
Considerando a simetria do núcleo, 
2
2
31
  
Por analogia, pode-se desenvolver o circuito 
elétrico análogo da figura 3.24 a seguir. 
 
Figura 3.24 – Circuito Elétrico Análogo 
Da figura 3.24, pode-se escrever que: 
3221 FFFFF  
E portanto, 
31 FF  
Exemplo 3 
Determinar o valor da corrente “i” na bobina do 
circuito magnético da figura 3.25, a seguir, tal 
que 3= 0,005 Wb. 
Para o material ferromagnético do núcleo, 
considere a curva 1 de magnetização, 
apresentada no anexo 1. 
 
Figura 3.25 – Circuito Magnético – Exemplo 3 
Os dados referentes às dimensões do núcleo 
podem ser obtidos da tabela 3.7 a seguir. 
Parte A (m2) L (m) 
1 0,0090 0,56 
2 0,0032 0,26 
3 0,0045 0,51 
N = 300 espiras 
Tabela 3.7 – Dados do Exemplo 3 
Solução: 
Cálculos Iniciais 
Os comprimentos das linhas médias, bem 
como as áreas das seções retas transversais 
ELE401 – Circuitos Magnéticos 
 
 
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do núcleo magnético, estão relacionados à 
tabela 3.7, dada anteriormente. 
Circuito Elétrico Análogo 
Para o circuito magnético dado, pode-se 
desenvolver o circuito elétrico análogo 
apresentado à figura 3.26 a seguir. 
 
Figura 3.26 – Circuito Elétrico Análogo 
Da figura anterior, tem-se que: 
321   
3121 FFFFF  
32 FF  
11 1  eRF 22 2  eRF 33 3  eRF 
Tabela de Valores: 
Considerando os dados da tabela 3.7, e 
Wb005.03  , pode-se desenvolver a tabela de 
valores a seguir. 
Parte  (Wb) A (m2) B (T) H (Ae/m) L (m) F (Ae) 
1 0,0094 0,0090 1,044 980 0,56 549 
2 0,0044 0,0032 1,375 2254 0,26 586 
3 0,0050 0,0045 1,111 1150 0,51 586 
Tabela 3.8 – Tabela de Valores – Exemplo 3 
Obs.: Na elaboração da tabela anterior, 
considerou-se a curva 1 de magnetização 
apresentada no anexo 1. 
Da tabela 3.8, tem-se que: 
][ 113558654921 AeFFF  
Como iNF  
][783.3300
1135 A
N
Fi  
Cálculos Adicionais Propostos 
Fica para o leitor, a título de exercício, calcular 
os valores das relutâncias e permeâncias do 
circuito magnético dado, bem como o valor da 
indutância da bobina. As respectivas respostas 
são apresentadas a seguir. 
Re1 58404 (H-1) Pe1 1,7122x10-5 (H) 
Re2 133182 (H-1) Pe2 7,5080x10-6 (H) 
Re3 117200 (H-1) Pe3 8,5320x10-6 (H) 
ReT 120744 (H-1) PeT 8,2810x10-6 (H) 
L 0,7454 (H) 
Tabela 3.9 – Dados finais do Exercício 3 
3.7 GAPs E ENTREFERROS 
A figura 3.27 a seguir apresenta um exemplo 
típico de introdução de gap em um circuito 
magnético. 
 
Figura 3.27 – Circuito Magnético Série com Gap 
Os gaps ou entreferros são muitas vezes 
utilizados em circuitos magnéticos no sentido 
de: 
a) Possibilitar certa linearização da curva 
de saturação; 
b) Possibilitar acesso físico ao fluxo em um 
núcleo magnético. 
3.7.1 Espraiamento 
A introdução de gaps em circuitos magnéticos, 
como aquele apresentado à figura 3.27, causa 
certa dispersão do fluxo magnético pelo ar, no 
local onde este gap foi colocado. Este 
fenômeno é chamado de “espraiamento” do 
fluxo magnético e seu efeito pode ser 
verificado através da figura 3.28 a seguir. 
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PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO/GUSTAVO LOPES 12 
 
Figura 3.28 – Espraiamento do fluxo Magnético em um 
Gap 
Muitas vezes, o efeito do espraiamento é 
considerado nos cálculos de circuitos 
magnéticos através de um acréscimo da área 
correspondente à seção reta transversal no 
gap. Desta forma, se a área correspondente 
ao material ferromagnético for “A”, considera-
se como área da seção reta transversal do gap 
(Ag), a relação: 
 AkAg  (3.13)
Onde: 
k = Fator de acréscimo correspondente ao 
espraiamento (por exemplo: k = 1,05  elevação 
de 5% na área). 
É importante deixar claro que esta forma de 
representação do espraiamento, nos cálculos, 
constitui uma aproximação. 
3.7.2 Efeito da Dispersão 
A introdução de gaps ou entreferros provoca a 
elevação da relutância total equivalente de um 
núcleo magnético. Em outras palavras pode-se 
dizer que: os gaps dificultam a “circulação” do 
fluxo magnético. Desta forma, haverá uma 
maior tendência de formação de fluxo de 
dispersão no ar, nas extremidades da bobina 
(cabeças de bobina), como pode ser 
observadoà figura 3.29 a seguir. 
 
Figura 3.29 – Efeito da Dispersão em um Núcleo com Gap 
Pode-se concluir, portanto que: quanto maior 
for o gap, maior será a relutância do núcleo 
magnético e consequentemente maior será o 
fluxo de dispersão pelo ar. 
3.7.3 Cálculo da Relutância do Gap 
Da equação 3.6, tem-se que: 
A
lRe   
Para o gap, pode-se escrever que: 
gg
g
ge A
l
R   
Onde: 
ge
R = Relutância magnética do gap; 
gl = Comprimento do gap; 
g = Permeabilidade magnética do gap; 
Ag = Área da seção reta transversal do gap. 
Como a permeabilidade magnética do ar (e 
portanto do gap) é praticamente igual à 
permeabilidade magnética do vácuo, pode-se 
escrever que: 
 
g
g
ge A
l
R  0 (3.14)
Exemplo 4 
Seja o circuito magnético da figura 3.30 a 
seguir. 
 
Figura 3.30 – Circuito Magnético do Exemplo 4 
Determinar o valor da corrente “i” na bobina do 
circuito magnético, tal que = 0,0064 Wb, 
espessura do Núcleo = 8 cm, N = 300 espiras 
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(número total de espiras da bobina), 
Gap = 0,1 cm. 
Obs: 
Considerar todas as medidas da figura 3.30 
em centímetros; 
Utilizar a curva de saturação 1 do anexo 1; 
Observar que a única diferença do circuito 
magnético da figura 3.30, para o circuito 
magnético do exemplo 1, é exatamente o gap 
ou entreferro. 
Solução: 
Cálculos Iniciais 
O circuito magnético da figura 3.30 pode ser 
dividido em 3 partes: duas para o material 
ferromagnético e uma para o gap. Para estas 
partes podem ser calculados os comprimentos 
das linhas médias e as áreas das seções retas 
transversais do núcleo, ou seja: 
Parte 1 – Material Ferromagnético
1l = (5 + 30 + 4) x 2 + (5 + 22 + 5) = 110 cm 
1l = 1,10 m 
1A = 10 x 8 = 80 cm2 
1A = 0,0080 m2 
Tabela 3.10 – Medidas da Parte 1 do Circuito Magnético da 
Figura 3.30 
Parte 2 – Material Ferromagnético
2l = (5 + 22 + 5) – 0,1 = 31,9 cm 
2l = 0,319 m 
2A = 8 x 8 = 64 cm2 
2A = 0,0064 m2 
Tabela 3.11 – Medidas da Parte 2 do Circuito Magnético da 
Figura 3.30 
Parte 3 – Entreferro 
2l = 0,1 cm 
2l = 0,001 m 
2A = 8 x 8 = 64 cm2 
2A = 0,0064 m2 
Tabela 3.12 – Medidas da Parte 3 do Circuito Magnético da 
Figura 3.30 
 
 
Circuito Elétrico Análogo 
O circuito magnético da figura 3.30 pode ser 
representado pelo circuito elétrico análogo da 
figura 3.31 a seguir. 
 
Figura 3.31 – Circuito Elétrico Análogo 
Da figura 3.31, tem-se que: 
  321 eee RRRF 
Ou ainda, 
321 FFFF  
Vale lembrar também que; 
lHF  
Portanto, 
111 lHF  
222 lHF  
333 lHF  
Tabela de Valores: 
Considerando os dados fornecidos e 
calculados, e através das expressões 
anteriormente apresentadas, pode-se 
desenvolver a tabela de valores a seguir. 
Parte  (Wb) A (m2) B (T) H (Ae/m) L (m) F (Ae) 
1 0,0064 0,0080 0,8 620 1,10 682 
2 0,0064 0,0064 1,0 900 0,32 288 
3 0,0064 0,0064 1,0 795775 0,001 796 
Tabela 3.13 – Tabela de Valores – Exemplo 4 
No desenvolvimento da tabela 3.13, 
considerou-se que: 
a) No circuito magnético série, o fluxo 
magnético é o mesmo em todas as 
partes. Portanto: 
 Wb 0064,0321   
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b) As áreas das seções retas transversais 
(A1, A2, A3) e os comprimentos das 
linhas médias (l1, l2, l3) foram 
determinadas no item “cálculos iniciais”. 
c) Os valores B1, B2 e B3 são 
determinados através da expressão: 
A
B  
d) Os valores H1 e H2 são obtidos através 
da curva de saturação do material, para 
B1 e B2 respectivamente. 
Obs.: Na elaboração da tabela anterior, 
considerou-se a curva 1 de magnetização 
apresentada no anexo 1. 
e) A intensidade de campo magnético no 
gap (H3) é determinada através da 
seguinte expressão: 
7
0
3
3 104
0,1
 
BHH g 
f) Os valores F1, F2 e F3 são determinados 
da seguinte forma: 
lHF  
Determinação da Corrente 
Para a determinação da corrente “i” na bobina, 
deve-se considerar que: 
][ 1766796288682321 AeFFFF  
][ 887,5300
1766 A
N
Fi  
Determinação de outros Valores 
Da tabela 3.13, podem ser extraídos outros 
valores como: 
 As relutâncias das diversas partes do 
núcleo; 
 As permeâncias das diversas partes do 
núcleo; 
 A relutância equivalente do circuito 
magnético; 
 As permeabilidades magnéticas 
absolutas e relativas das diversas 
partes; 
 O fluxo enlaçado com a bobina; 
 A indutância (L) da bobina. 
Fica como exercício para o leitor, a 
determinação destas grandezas. 
Observações: 
Considere a tabela 3.14 a seguir, onde é 
realizada uma comparação dos valores obtidos 
nos exemplos 1 e 4. 
Variável Exemplo 1 Exemplo 4
 (Wb) 0,0064 0,0064 
i (A) 3,233 5,887 
ReT (H-1) 151563 275938 
L (H) 0,594 0,326 
Tabela 3.14 – Comparação dos Resultados com e sem Gap 
Pode-se observar que a inserção do gap 
elevou a relutância equivalente do circuito 
magnético de 151563 H-1 para 275938 H-1. 
Com este novo valor de relutância, para se 
obter o mesmo fluxo magnético no núcleo, ou 
seja, 0,0064 Wb, foi necessária uma elevação 
no valor da corrente de 3,233 A para 5,887 A. 
Evidentemente que a qualidade magnética do 
núcleo diminui com a inserção do gap, este 
fato pode ser observado através da indutância 
(L), que passou de 0,594 H para 0,326 H. 
3.8 CURVAS DE SATURAÇÃO 
Considere a característica B = f(H) da figura 
3.32 a seguir. 
 
Figura 3.32 – Característica B = f (H) 
Esta característica B = f (H) é na verdade uma 
curva de saturação que determina a 
propriedade do material ferromagnético em 
termos de sua permeabilidade magnética (µ). 
Pode ser chamada, portanto, de curva de 
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saturação ou curva de magnetização do 
material ferromagnético. 
Por outro lado, sabe-se que: 
AB  e FiNlH  
Portanto, através de mudanças de escalas, a 
característica da figura 3.32 pode ser alterada 
para aquela desenvolvida à figura 3.33 a 
seguir. 
 
Figura 3.33 – Característica  = f (F) 
Esta nova característica  Ff é na 
verdade uma curva de saturação que 
determina a propriedade do núcleo magnético 
em termos de sua permeância magnética (Pe) 
ou relutância magnética (Re). Pode ser 
chamada, portanto, de curva de saturação ou 
curva de magnetização do núcleo magnético. 
Sabe-se também que: 
  N e iNf  
Portanto, através de novas mudanças de 
escalas, as características das figuras 3.32 e 
3.33 podem ser alteradas para aquela 
desenvolvida à figura 3.34 a seguir. 
 
Figura 3.34 – Característica  = f (i) 
Esta característica  if é na realidade uma 
curva de saturação que determina a 
propriedade da bobina em termos de sua 
indutância (L). Pode ser chamada, portanto, de 
curva de saturação da bobina. 
As três curvas anteriormente apresentadas  HfB  ,  Ff ,  if ), podem ser 
representadas em uma única característica, 
considerando apenas as mudanças de escalas 
das ordenadas e abscissas. Este fato pode ser 
verificado na figura 3.35 a seguir. 
 
Figura 3.35 – Curva de Saturação 
Na figura 3.35, tem-se que: 
B = f(H)  Característica do material; 
 = f(F)  Característica do núcleo magnético; 
 = f(i)  Característica da bobina. 
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3.9 PERGUNTAS PROPOSTAS 
Responda as seguintes perguntas: 
1) Por que são utilizados materiais 
ferromagnéticos na confecção de circuitos 
ou núcleos magnéticos? 
2) O que é o efeito da dispersão? Quando ele 
deve ser considerado? 
3)O que é a força magnetomotriz? Faça uma 
analogia com os circuitos elétricos. 
4) O que são os circuitos elétricos análogos? 
Onde são utilizados? Por quê? 
5) Quais são os respectivos análogos elétricos 
das seguintes grandezas magnéticas: , F, 
Re, Pe, µ? 
6) O que é relutância de um circuito 
magnético? Qual é a sua unidade? 
7) O que é permeância de um circuito 
magnético? Qual é a sua unidade? 
8) Qual é a relação entre permeância e 
indutância? 
9) Dada a área da seção reta transversal de 
um núcleo magnético série e homogêneo, e 
conhecido o fluxo magnético que atravessa 
a mesma, como seriam determinadas: a 
indução magnética no núcleo (B); a 
intensidade de campo magnético (H)? 
10) Quais são as unidades usuais de “B” e “H”? 
11) Quais são as características dos seguintes 
circuitos magnéticos? 
a) Circuito magnético série uniforme; 
b) Circuito magnético série não-
uniforme; 
c) Circuito magnético paralelo uniforme; 
d) Circuito magnético paralelo não-
uniforme; 
12) Que tipo de cálculo de circuito magnético é 
mais trabalhoso? 
a) Dado um fluxo magnético “”, 
determinar a corrente necessária para 
produzi-la; 
b) Dada uma corrente “i”, determinar o 
fluxo magnético produzido pela 
mesma? Por quê? 
13) Faça um análogo magnético das leis de 
Kirchhoff das tensões e correntes. 
14) Os circuitos magnéticos devem ser tratados 
como lineares ou não-lineares? Por quê? 
15) Quais são as dificuldades encontradas nos 
cálculos de circuitos não-lineares? Dê 
exemplos. 
16) O que são gaps ou entreferros em um 
circuito magnético? Por que são utilizados? 
17) Qual é o significado do espraiamento em 
um gap? De que forma seu efeito é 
considerado no cálculo de um núcleo 
magnético? 
18) Qual é a relação entre a relutância de um 
gap e a relutância do material 
ferromagnético que constitui um núcleo? 
Explique. 
19) Qual é o significado de cada uma das 
seguintes relações: 
B = f(H)  = f(F)  = f(i) 
Que grandezas representam? 
20) Dê as unidades usuais das seguintes 
grandezas: 
a) Indutância; 
b) Permeabilidade magnética; 
c) Condutância; 
d) f.m.m.; 
e) f.e.m. 
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3.10 EXECÍCIOS PROPOSTOS 
Resolva os seguintes exercícios: 
1) Considere o seguinte circuito magnético: 
 
Dados do Exercício: 
Espessura do Núcleo = 10 cm, N = 500 espiras, 
Medidas na figura em centímetros. 
Determinar: 
a) O Valor da força magnetomotriz necessária 
para produzir um fluxo de 0,006 Wb; 
b) O valor da corrente correspondente; 
c) O valor da indutância “L” da bobina; 
d) A permeância total do circuito magnético; 
e) A permeabilidade magnética de cada parte 
do circuito magnético. 
Obs.: Considerar a curva de saturação anexa. 
2) No circuito magnético do exercício anterior, 
determine o valor do fluxo magnético “” 
produzido por uma força magnetomotriz de 
3000 Ae. 
3) Considere o seguinte circuito magnético: 
 
Dados do Exercício: 
Espessura do Núcleo = 8 cm, N = 1000 espiras, 
Espraiamento no gap = 10% 
Medidas na figura em centímetros. 
Determinar o valor da corrente “i” que produz um 
fluxo magnético de 0,001 Wb na coluna direita do 
núcleo. Considerar para o material ferromagnético 
a curva de saturação anexa. 
4) Refazer o exercício anterior considerando o 
circuito magnético sem o entreferro. 
5) Faça uma análise comparativa dos 
resultados obtidos nos exercícios 3 e 4 
anteriores. 
6) No circuito magnético a seguir, determinar a 
indutância da bobina e o fluxo enlaçado 
com a mesma. 
 
Dados do Exercício: 
i = 5 A, N = 500 espiras, 1= 0,002 Wb, 
3=0,003 Wb, L1 = 0,6 m, L2 = 0,4 m. 
Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da 
curva de saturação anexa. 
7) Considere o seguinte circuito magnético: 
 
Dados do Exercício: 
Espessura do Núcleo = 10 cm, N = 1000 espiras, 
=0,015 Wb, 1gl =0,10 cm e 2gl = 0,15 cm, 
dl=150 cm e de=180 cm. 
De posse dos dados acima, determinar: 
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a) A força magnetomotriz necessária para 
produzir o fluxo “”; 
b) A corrente “i” da bobina; 
c) A permeância total do circuito magnético; 
d) A indutância da bobina. 
Obs.: Considerar simetria dos gaps, espraiamento 
de 5% nos gaps de comprimento 2gl , para o 
material ferromagnético a curva de saturação 
anexa. 
8) Considere o seguinte circuito magnético: 
 
Dados do Exercício: 
Espessura do Núcleo = 8 cm, i = 6,2 A, medidas na 
figura em centímetros. 
Sabendo-se que  Wb 0056,03  , determinar o 
número de espiras da bobina. 
Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da 
curva de saturação anexa. 
9) Seja o seguinte circuito magnético toroidal, 
com gap e “N” espiras uniformemente 
distribuídas: 
 
 
Dados do Exercício: 
Espraiamento no Gap = 10%, N = 1000 espiras, 
gap = 12,0 x 10-7 H/m, gl = 1 mm, dl = 81,2 cm e de 
= 103,8 cm, Espiras justapostas. 
Desprezar o fluxo de dispersão e considerar o 
comprimento do arco equivalente à linha média do 
gap. 
De posse destes dados, determinar: 
a) A corrente necessária para produzir um 
fluxo de 0,012 Wb; 
b) As relutâncias equivalentes do ferro e do 
gap; 
c) A indutância da bobina. 
Obs.: Considerar a curva de magnetização anexa. 
10) Considere o seguinte circuito magnético: 
 
Dados do Exercício: 
Espessura do Núcleo = 1 pol, i = 0,2 A, N = 1000 
espiras. Medidas na figura em polegadas. 
Determinar o fluxo e a indução magnética em cada 
perna do circuito magnético. Desprezar os 
espraiamentos dos entreferros e os campos de 
dispersão. Supor que a permeabilidade relativa do 
ferro é tão alta que a força magnetomotriz do 
enrolamento está totalmente aplicada nos 
entreferros. 
Obs.: Desenvolva um circuito magnético 
equivalente. 
 
 
ELE401 – Circuitos Magnéticos 
 
 
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11) Refazer o exercício anterior, considerando 
agora a seguinte curva de magnetização 
para o material ferromagnético: 
 
12) Na curva de magnetização anexa (curva 1), 
determinar o valor da permeabilidade 
magnética relativa para: 
a) B = 0,5 Wb/m2; 
b) B = 1,5 Wb/m2; 
c) H = 1400 AE/m; 
d) H = 3600 AE/m. 
13) Considere o circuito magnético da figura a 
seguir, onde: 
i
F N
18 26 6
10
10
202
 
Dados do Exercício: 
Espessura do Núcleo = 10 cm, espraiamento do 
núcleo = 20%, N = 1390 espiras. 
Medidas na figura em centímetros. 
Determinar: 
a) O circuito elétrico análogo; 
b) A corrente na bobina para que se obtenha 
um fluxo de 0,006 Wb no núcleo magnético; 
c) A indutância da bobina; 
d) A relutância total do circuito magnético. 
Obs.: Considerar simetria na coluna do núcleo 
onde está o gap; 
Para o material ferromagnético, considerar a curva 
de saturação (1) anexa; 
 
3.11 BIBLIOGRAFIA 
[1] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção 
Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda, 
1985. (Cap. 9 - págs. 217 a 229); 
[2] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 02a, Editora 
Guanabara Dois S.A., Segunda Edição, 1986. 
(Cap. 29 - págs. 803 a 819); 
[3] David Halliday e Robert Resnick, 
“Fundamentos de Física” , Parte 03 - 
Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e 
Científicos Editora Ltda, 1991. (Cap. 34 - págs. 
241 a 257); 
[4] L. Bessonov, “Applied Electricity for 
Engineers”, MIR Publishers - Moscow, 1973. 
(Cap. 3 - págs. 89 a 95); 
[5] Syed A. Nasar, “Máquinas Elétricas”, Coleção 
Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda, 
1984. (Cap. 1 - págs. 01 a 05); 
[6] Encyclopedia Britannica, “Magnetism”. 
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