ECAC02 2018S2 Aula01

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Aula 01Aula 01
Introdução aos Sistemas de ControleIntrodução aos Sistemas de Controle
Giscard Francimeire Cintra VelosoGiscard Francimeire Cintra Veloso
ECAC01 – Controle ClássicoECAC01 – Controle Clássico
2o. Semestre/20182o. Semestre/2018
 
Plano de AulaPlano de Aula
Objetivos:
 Definir um sistema de controle. 
 Explicar a necessidade da realimentação 
negativa para o controle de sistemas
 
Sistemas em Malha Aberta e em Malha Sistemas em Malha Aberta e em Malha 
FechadaFechada
Sistemas de Controle
“Um sistema de controle consiste em subsistemas e processos 
(plantas) construídos com o objetivo de se obter uma saída desejada 
com desempenho desejado para uma entrada específica fornecida.” 
(NISE)
 
Sistemas em Malha Aberta e em Malha Sistemas em Malha Aberta e em Malha 
FechadaFechada
Sistemas de Controle
Exemplos
a) Sistema de controle em malha aberta
Aquecedor 
Elétrico
Entrada Saída
TemperaturaTensão
Elétrica
 
Sistemas em Malha Aberta e em Malha Sistemas em Malha Aberta e em Malha 
FechadaFechada
Sistemas de Controle
Exemplos
b) Sistema de controle em malha fechada
Aquecedor 
Elétrico
Entrada Saída
Temperatura
real
Temperatura 
desejada
Medição de
Temperatura
+
_
 
Sistemas em Malha Aberta e em Malha Sistemas em Malha Aberta e em Malha 
FechadaFechada
Sistemas de Controle
Sistema de controle em malha aberta
Aquecedor 
Elétrico
Entrada Saída
Temperatura
real
Um sistema de controle em malha aberta é aquele em que o sinal de 
saída NÃO exerce nenhuma ação de controle no sistema. (OGATA)
Tensão
Elétrica
 
Sistemas em Malha Aberta e em Malha Sistemas em Malha Aberta e em Malha 
FechadaFechada
Sistemas de Controle
Sistema de controle em malha fechada
Aquecedor 
Elétrico
Entrada Saída
Temperatura
real
Temperatura 
desejada
Medição de
Temperatura
+
_
“Um sistema que estabeleça uma relação de comparação entre a saída 
e a entrada de referência, utilizando a diferença como meio de controle, 
é denominado sistema de controle com realimentação.” (OGATA)
 
Sistemas em Malha Aberta e em Malha Sistemas em Malha Aberta e em Malha 
FechadaFechada
Características
Sistema de controle em malha aberta:
- Simplicidade
- Baixo custo
- Imprecisão
- Vulnerabilidade a distúrbios
Sistema de controle em malha fechada:
- A saída pode seguir a entrada automaticamente
- Robustez frente a distúrbios
- Maior complexidade
- Melhora a estabilidade
(Ver Simulações)
 
Sistemas de ControleSistemas de Controle
Razões para se construir um sistema de controle:
- Amplificação de potência
- Controle remoto
- Conveniência da forma da entrada
- Compensação de perturbações (distúrbios)
 
Breve HistóricoBreve Histórico
Século XVIII: James Watt
 Controle de velocidade da máquina a 
vapor
 
Breve HistóricoBreve Histórico
Estabilidade, estabilização e 
manobrabilidade
 1868: James Clerk Maxwell – critério de 
estabilidade para sistemas de 3a. ordem
 1877: Edward John Routh – critério de 
estabilidade de Routh-Hurwitz
 1892: Alexandr Michailovich Lyapunov – 
ampliou o trabalho de Routh para sistemas 
não lineares
 
Breve HistóricoBreve Histórico
Estabilidade, estabilização e 
manobrabilidade
 1922: Sperry Gyroscope Company – 
manobras de navios usando compensação 
e controle adaptativo
 1922: Minorski – PID
 1932: Bode e Nyquist – análise de 
estabilidade de sistemas a malha fechada 
com base na resposta da malha aberta a 
entradas senoidais
 1948: Walter R. Evans: Lugar das Raízes
 
Realimentação NegativaRealimentação Negativa
Função de Transferência em Malha Fechada
Seja um sistema genérico com realimentação negativa:
+
_
R (s) E(s) G(s)
H (s)
C (s)
Observa-se facilmente que: eC (s)=G(s)⋅E(s) E(s)=R(s)−H (s)⋅C (s)
 
Realimentação NegativaRealimentação Negativa
Função de Transferência em Malha Fechada
A função de transferência pode ser obtida da seguinte forma:
C (s)=G(s)⋅E(s) E(s)=R(s)−H (s)⋅C (s)
C (s)
R(s)
C (s)=G(s)[R (s)−H (s)⋅C (s)]
C (s)=G(s)⋅R(s)−G(s)⋅H (s)⋅C (s)
C (s)+G(s)⋅H (s)⋅C (s)=G(s)⋅R(s)
C (s)[1+G(s)⋅H (s)]=G(s)⋅R(s) C (s)
R(s)
=
G(s)
1+G (s)⋅H (s)
Quando H(s) = 1, trata-se de uma realimentação unitária.
 
Realimentação NegativaRealimentação Negativa
Sistema de Primeira Ordem
+
_
R(s) E(s) 1
τ s
C (s)
C (s)
R(s)
=
1
τ s
1+ 1
τ s
=
1
τ s
τ s+1
τ s
C (s)
R(s)
= 1
τ s+1
= 1
s+ 1τ
τ é a constante de tempo
 
Realimentação NegativaRealimentação Negativa
Sistema de Primeira Ordem
Exercício:
R(s)=1
s 5
s+5
C (s)
Seja o sistema de primeira ordem:
a) Obter τ , e Ta. Esboçar a resposta ao degrau.
b) Inserir o sistema numa realimentação negativa unitária e obter τ e Ta 
do sistema realimentado. Esboçar a resposta ao degrau.
 
Realimentação NegativaRealimentação Negativa
Sistema de Segunda Ordem
+
_
R(s) E(s) ωn
2
s(s+2ζωn)
C (s)
C (s)
R(s)
=
ωn
2
s(s+2ζωn)
1+
ωn
2
s(s+2ζωn)
=
ωn
2
s(s+2ζωn)
⋅
s(s+2ζωn)
s(s+2ζωn)+ωn
2
C (s)
R(s)
=
ωn
2
s2+2ζ ωn s+ωn
2
 
Realimentação NegativaRealimentação Negativa
Sistema de Segunda Ordem
Exercício:
R(s)=1
s 100
s2+15 s+100
C (s)
Seja o sistema de segunda ordem:
a) Obter Mp%, Tp e Ta. 
b) Inserir o sistema numa realimentação negativa unitária e calcular 
novamente Mp%, Tp e Ta. 
 
EstabilidadeEstabilidade
Definição
Do ponto de vista da resposta TOTAL, um sistema linear e invariante no 
tempo pode ser:
- Estável: se toda entrada limitada gerar uma saída limitada;
- Instável: se alguma entrada limitada gerar uma saída NÃO 
LIMITADA;
 
EstabilidadeEstabilidade
Definição
É possível inferir sobre a estabilidade do sistema observando sua 
função de transferência, mais especificamente, o posicionamento dos 
pólos.
SISTEMAS ESTÁVEIS possuem função de transferência em malha 
fechada com polos somente no semiplano da esquerda no plano s.
 
EstabilidadeEstabilidade
Definição
Observações:
- um único polo no semiplano da direita caracteriza um sistema 
instável;
- polos no eixo imaginário e que tenham multiplicidade maior que 
1 tornam o sistema instável devido à soma de respostas A∙tn∙cos(ωt+φ)
- polo na origem torna um sistema instável;
 
Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzCritério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Definição
Trata-se de um método que fornece informações sobre a estabilidade 
sem precisar calcular os polos do sistema em malha fechada.
 
Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzCritério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Construção da Tabela de Routh
Seja uma função de transferência:
C (s)
R (s)
= N (s)
a4 s
4+a3 s
3+a2 s
2+a1 s+a0
A montagem inicial da tabela é feita usando-se os coeficientes da 
equação característica:
equação característica
 
Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzCritério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Construção da Tabela de Routh
As demais entradas da tabela são calculadas a partir de determinantes:
 
Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzCritério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Construção da Tabela de Routh
Exemplo:
Construa a tabela de Routh para o sistema mostrado abaixo:
 
Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzCritério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Construção da Tabela de Routh
Exemplo:
A F.T. de malha fechada será:
Solução:
T (s)=C (s)
R(s)
= 1000
s3+10 s2+31 s+30+1000
= 1000
s3+10 s2+31s+1030
 
Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzCritério de Estabilidadede Routh-Hurwitz
Construção da Tabela de Routh
Exemplo:
Construindo a tabela:
 
Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzCritério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Interpretação da Tabela de Routh
Critério de Routh-Hurwitz:
O número de raízes do polinômio usado para montar a 
tabela que se situam no semiplano direito do plano s é igual ao número 
de mudanças de sinal na primeira coluna.
Exemplo:
3 s7+9 s6+6 s5+4 s4+7 s3+8 s2+2 s+6=0
 
Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzCritério de Estabilidade de Routh-Hurwitz
Interpretação da Tabela de Routh
Critério de Routh-Hurwitz:
3 s7+9 s6+6 s5+4 s4+7 s3+8 s2+2 s+6=0
s7
s6
s5
s4
s3
s2
s1
s0
3 6 7 2 0
9 4 8 6 0
4,67 4,33 0 0 0
−4,34 8 6 0 0
12,94 6,46 0 0 0
10,17 6 0 0 0
−1,17 0 0 0 0
6 0 0 0 0
4 mudanças de sinal
4 raízes no semiplano direito
 
Projeto de Estabilidade via Routh-HurwitzProjeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Problema
Determinar a faixa de valores de ganho K para o sistema 
abaixo ser: a) estável; b) instável; c) marginalmente estável. Admitir 
somente K>0.
+
_
R (s) 1
s(s+7)(s+11)
C (s)
K
 
Projeto de Estabilidade via Routh-HurwitzProjeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Problema
Determinar a faixa de valores de ganho K para o sistema 
abaixo ser: a) estável; b) instável; c) marginalmente estável. Admitir 
somente K>0.
Solução:
T (s)= K
s3+18 s2+77 s+K
s3
s2
s1
s0
K
0
K
1 77
18
1386−K
18
 
Projeto de Estabilidade via Routh-HurwitzProjeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Problema
s3
s2
s1
s0
K
0
K
1 77
18
1386−K
18
a) Para que não haja mudança de sinais na primeira coluna:
1386−K>0
K<1386
 
Projeto de Estabilidade via Routh-HurwitzProjeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Problema
s3
s2
s1
s0
K
0
K
1 77
18
1386−K
18
b) Para que haja mudança de sinais na primeira coluna:
K>1386
 
Projeto de Estabilidade via Routh-HurwitzProjeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Problema
s3
s2
s1
s0
K
0
K
1 77
18
1386−K
18
c) Para que a linha s1 seja de coeficientes nulos:
K=1386
 
Projeto de Estabilidade via Routh-HurwitzProjeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz
Exercício
Para um sistema com realimentação unitária, com a F.T. de 
malha aberta abaixo, obtenha a faixa de valores de K que torna o 
sistema estável.
G(s)=
K (s+20)
s(s+2)(s+3)
Resposta: 0 < K < 2
 
Exercícios propostosExercícios propostos
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 6a. Edição, Rio de 
Janeiro: LTC, 2012.
Capítulo 6: problemas: 1 a 45.
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