Geometria do design - kimberly elam

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GEOMETRIA 
DO DESIGN 
Geometria do design 
Estudos sobre proporção e composição 
Kimberly Elam 
tradução C laudio Marcondes 
COSACNAIFY 
Sumário 
5 Introdução 
Proporção no homem e na natureza 
6 Proporções e preferências cognitivas 
8 Proporção e natureza 
12 Proporções do corpo humano na escultura clássica 
14 Proporções do corpo humano no desenho clássico 
18 Proporções faciais 
Proporções na arquitetura 
20 Proporções arquitetõnicas 
22 Traçados reguladores de Le Corbusier 
Seção áurea 
24 Construção do retângulo áureo 
27 Proporções áureas 
29 Seção áurea e sequência de Fibonacci , 
30 Triângulo e elipse áureos 
32 Retângulos áureos dinâmicos 
Retângulos de raiz 
34 Construção do retângulo de raiz 2 
36 Norma DI N de formatos proporcionais de papel 
37 Retângulos dinâmicos de raiz 2 
38 Retângulo de raiz 3 
40 Retângulo de raiz 4 
41 Retângulo de raiz 5 
42 Comparação dos retângulos de r,iiz 
43 Análises visuais do design 
44 Cartaz "Folies-Bergére" 
46 Cartaz "Job" 
48 Cartaz "Bauhaus Ausstellung" 
50 Cartaz para o jornal L'lntransigeant 
54 Cartaz "East Coast by L.N.E.R." 
56 Cadeira Barcelona 
58 Chaise Longue 
60 Cadeira Brno 
62 Cartaz " Negerkunst" 
64 Cartaz "Wagon-Bar" 
66 Cartaz "Konstruktivisten" 
68 Cartaz "Der Berufsphotograph" 
70 Cadeira Plywood 
72 Cartaz "Konkrete Kunst" 
76 Capela do Instituto de Tecnologia de Illinois 
78 Cartaz "Beethoven" 
81 Cartaz "Musica Viva" (1957) 
82 Cartaz "Musica Viva" (1958) 
84 Cadeira Tulipa 
86 Cartaz "Vormgevers" 
88 Cartaz "Fürstenberg Porzellan" 
90 Cartaz "Majakovskij" 
92 Processador de alimentos Braun 
94 Cafeteira Aromaste, Braun 
96 Chaleira li Conico 
98 Novo Fusca 
701 Epílogo 
102 Agradecimentos 
103 Créditos de ilustrações 
104 Bibliografia selecionada 
105 Índice remissivo 
106 Sobre a autora 
Introdução 
nada aborrece tanto o juízo sadio quanto uma pin- "A geometria é a linguagem do homem. Mas .:,o deter-
tw,J realizada sem conhecimento técnico, ainda que 
k•1l<1 com cuidado e diligência. Ora, o único motivo 
pelo qual os pintores desse tipo não se dão conta de 
,◄•11~ próprios erros é o fato de não terem aprendido 
1 geometria, sem a qual ninguém pode ser, ou setor-
n11r, um verdadeiro artista; mas a responsabilidade por 
to deve ser atribuída ~os seus mestres. eles próprios norantes dessa arte." 
Albrecht Dürer, Unterweísung der Messing [Instrução 
para medição]. 1525 
minar as distâncias respectivas dos objetos, ele inven-
tou ritmos, ritmos sensíveis ao olho, nítidos nas suas 
relações. E esses ritmos estão no nascimento de com-
portamentos humanos. Ressoam no homem por uma 
Fl,talidade orgânica, a mesma fatalidade que faz com 
que as crianças. os velhos. os selvagens, os letrados 
tracem a seção áurea." 
Le Corbusier, Por uma arquitetura, 1923 [ed bras. 1998] 
1 r<'lo que é possível aperfeiçoar uma arte sobretu- " as proporções dos elementos formais e de seus 
JJc a partir de uma base matemática de pensamento." espaços intermediários quase sempre estão relacio-
M,,x Bill, extraido de um texto de 1949, republicado nadas a determinadas progressões numéricas logica-
11111 Typographic Communications Today, 1989 mente dedutíveis." 
"'1ultas vezes. como profissional do design e como edu-
<,■dora, vi excelentes ideias conceituais acabarem pre-
fuo1cadas durante o processo de realização. em grande 
parte devido a uma falta de entendimento, por parte do 
d1slgner. dos princípios visuais da composição geomé-
trl< ., Tais princípios incluem uma compreensão dos sis-
t,rnas clássicos de proporções, como a seção áurea 
li os retângu los de raiz, assim como dos conceitos de 
nzao e proporção e das relações entre as formas e os 
trn~,1dos reguladores. Este livro se propõe a explicar. 
11111 termos visuais, os princípios da composição geo-
mMr1ca e também a analisar. em conformidade com 
1111•, princípios, um conjunto abrangente de cartazes. 
lb).,tos e edifícios. 
A seleção dessas obras teve como critério o fato de 
'"'""' passado pela prova do tempo e de serem con-
tlaarndas, em muitos aspectos. exemplos clássicos de 
à11•,111n. Elas são apresentadas em ordem cronológica 
Josef Müller-Brockmann, The Graphic Artist and His De-
sign Probfems [O artista gráfico e seus problemas de 
design]. 1968 
e guardam vínculos com o estilo e a tecnologia das 
épocas em que foram produzidas, mas também com 
a intemporalidade do design clássico. Apesar das dife-
renças que marcam tais épocas e da diversidade formal 
das obras, de pequenas obras gráficas bidimensionais 
a estruturas arquitetônicas, nota-se uma extraordinária 
similaridade em sua concepção e ordenamento, a qual 
se deve ao uso deliberado da geometria. 
Este Geometria do design não pretende usar a 
geometria como critério de avaliação estética, mas an-
tes pôr em evidência aquelas relações visuais que se 
baseiam em atributos essenciais tanto da vida, como 
a proporção e os padrões de crescimento, quanto da 
matemática. Seu propósito é esclarecer o processo 
projetual e oferecer coerência ao desenho por meio 
de estruturas visuais. Com tal entendimento. o artis-
ta ou o designer poderá encontrar, por conta própria, 
mérito e valor para si mesmo e suas obras. 
Kimberly Elam 
Ringling School of Art and Design 
Primavera de 2001 
5 
6 
Proporções e pref~rências cognitivas 
Ao longo de toda a história, no contexto tanto do am-
biente humano corno do mundo natural, ji'l se com-
provou uma evidente preferência cognitiva dos seres 
humanos pelas proporções baseadas na seção áurea. 
Alguns dos mais antigos indícios do emprego de um 
retãngulo áureo - ou seja, aquele no qual há uma pro-
porção de 1: 1,61B entre os lados - estão na estrutura de 
Stonehenge, erguida entre 2450 e 1600 aC Outros indí-
cios documentados encontram-se em textos e na arte 
e arquitetura dos antigos gregos. no século V aC. Mais 
tarde, artistas e arquitetos renascentistas também es-
tudaram, documentaram e empregaram as proporções 
derivadas da seção áurea em extraordinárias obras de 
escultura, pintura e arquitetura. E. além das obras feitas 
pelo homem, as proporções da seção áurea podem ser 
observadas no mundo natural. tanto nas proporções do 
corpo humano como nos padrões de crescimento de 
muitas plantas. animais e insetos. 
Intrigado pela seção áurea, o psicólogo alemão 
Gustav Fechner estudou, no final do século XIX, o modo 
Tabela da preferência por retângulos conforme a proporção 
razão: 
largura/comp, retângulo mais selecionado retãngulo menos seleclonado 
'% Fechner % Lalo % Fechner % Lalo 
1:1 3,0 11,7 27,8 22,5 
5:6 0,2 1,0 19,7 16,6 
4:5 2,0 1,3 9,4 9.1 
3 :4 2,5 9 ,5 2,5 9.1 
7:10 7,7 5,6 1,2 2,5 
2:J 20,6 11,0 
º·" 
0,6 
5:8 35,0 30,3 o.o o.o 
13:23 20,0 6 .3 0 .8 0,6 
1:2 7.5 8,0 2,5 12,5 
2:5 1.5 15.3 35.7 26.6 
Totais: 100,0 100.0 100.0 100,1 
[) ~ .. ·, .. . . .'-'i ·. t :-1-.: ··· .. ·:z -: .. : .. ,:·.,. ·:.~ :: . . · Jf.! :/: ._ ·: 
1: 1 
quadrado 
5:6 4:5 
quadrado 
proporção á1.1rea 
quadrado duplo 
--;, 'i,: :·. 
3:4 7:10 
como as pessoas reagiam às qualidades estéticas espe-
cíficas do retângulo áureo. A curiosidade de Fechner foi 
despertada pelos indícios existentes de uma predileção 
estética arquetipica e transcultural pelas proporções da 
seção áurea. 
Fechner restringiu seu experimento ao mundo hu-
mano e começou tomando as medidas de milhares de 
objetos retangulares, tais como livros, caixas, edifí-
cios, caixas de fósforo, jornais etc. E descobriu que a 
razão média dos retángulos estava próxima· daquela 
Gráfico comparativo das preferências por retângulos 
Grâfico de Fechner, 1876 e 
Gráfico de Lalo, 1908 ■ 
50% 
45% 
40" ! 
35% l 
30% 
25% 
20% 
! 
conhecida como seção áurea. ou seja, 1: 1,618, e que 
a maioria das pessoas preferia os retângulos
que 
exibiam proporções semelhantes a essa. Os experi-
mentos exaustivos mas informais de Fechner acaba-
ram sendo repetidos. com maior rigor cientifico. pelo 
francês Charles Lalo em 1908. e mais tarde por ou-
tros pesquisadores, que obtiveram resultados nota-
velmente simi lares. 
1 
./, 
. "'--
/ / '\. "'-
/ / '\. > l 
/ / '\. 
"' 
•• 
15% / / '\._ "'-
---10% 
5% 
0 % 
............__ 
l :1 
quadrado 
5:6 
.,,,,.,.-
-
4:5 3:4 1 7:10 
5:8 13:23 
seção áurea 
2:3 5:8 
seção 
âurea 
13:23 
1:2 
----
1:2 
quadrado 
duplo 
quadrado duplo 
..... 
2:5 
:i," 
2:5 
7 
8 
Proporção e natureza 
"O poder do segmento áureo de criar harmonia advém 
de sua capacidade singular de unir as diferentes par-
tes de um todo, de tal forma que cada uma continua 
mantendo sua identidade, ao mesmo tempo que se 
integra ao padrão maior de um todo único." 
Gyõrgy Doczi, O poder dos limites: harmonias e propor-
ções na natureza, arte e arquitetura, 1986 [ed. bras. 1990] 
A predileção pela seção áurea não se restringe ao sen-
so estético dos seres humanos; ela também faz parte 
Archítectoníca nobílís 
Padrão de crescimento em espiral. 
das notáveis relações entre as proporções nos padrões 
de crescimento de seres vivos como plantas e animais. 
As formas com perfil em espiral das conchas re-
velam um padrão cumulativo de crescimento, o qual 
foi objeto de vários estudos c ientíficos e artísticos. 
Os padrões de crescimento das conchas são espirais 
logarítmicas de proporções áureas, refletindo o que 
ficou conhecido como a teoria de um padrão de cres-
cimento perfeito. No livro The Curves of Life [ As cur-
vas da vida]. Theodore Andrea Cook descreve esses 
Náutllo 
~ \l 
'\ 
\~ _/' 
Espiral áurea 
Diagrama de construção 
de um retângulo áureo e 
da espiral resultante. 
Corte transversal do Nautilus 
pompi/ius mostrando o padrão 
de crescimento em espiral. 
Políníces duplicatus 
Padrão de crescimento em espiral. 
padrões de crescimento como "os processos essen-
ciais da vida". Em cada etapa de crescimento, assi-
nalada por uma espiral, a nova espiral é muito próxi-
ma da proporção de um quadrado áureo maior que o 
anterior. Os padrões de crescimento das conchas do 
náutilo e de outros moluscos nunca exibem propor-
ções áureas exatas. Em vez disso, o que se constata 
nas proporções dos padrões de crescimento biológico 
é a tentativa, nunca alcançada, de chegar a propor-
ções áureas exatas nas espirais. 
Comparação do 
crescimento em espiral 
de uma concha e a 
proporção áurea 
Padrão pentagonal 
O pentágono e o 
ppntagrama têm 
proporções áureas, 
pois a razão dos lados 
dos triángulos em um 
pentagrama é 1:1,618. 
As mesmas relações 
presentes no pentágono/ 
pentdgrarna silo 
encontradas nas 
bolachas-da-praia e nos 
flocos de neve. 
O pentágono e o pentagrama (um pentágono re-
gular estrelado) também exibem proporções áureas 
e podem ser encontrados em muitas criaturas vivas, 
como a bolacha-da-praia. As divisões internas de um 
pentágono criam um pentagrama, no qual a razão en-
tr.e duas linhas quaisquer tem a proporção de 1:1,618. 
'\ !\ 
' t 
! \~\ 
1 \ 
1 \ 
' \ 
,. 
9 
10 
A pinha e o girassol apresentam padrões de cresci-
mento em espiral muito semelhantes. As sementes 
dos dois crescem ao longo de duas espirnis que se 
intersectam e irradiam em direções opostas, e cada 
semente pertence a ambos os conjuntos de espirais. 
O exame das espirais da pinha revela que 8 delas se 
movem em sentido horário e outras 13 em sentido 
anti-horário, aproximando-se bastante das propor-
ções da seção áurea. A mesma proximidade com a 
seção áurea ocorre no caso das espirais do girassol: 
há 21 espirais em sentido horário e 34 em sentido 
anti-horário. 
Os números 8 e 13, constatados nas espirais da~ 
pinhas, e 21 e 34, nas dos girassóis, são bem conht-
cidos dos matemáticos. Eles são pares adjacentes na 
série matemática conhecida como sequência de F1• 
bonacci. Nesta, cada número é obtido pela soma dos 
dois anteriores: O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... A razão 
entre dois termos sucessivos na série tende no limite 
a 1:1,618, ou seja, à proporção áurea. 
Padrões de crescimento 
em espiral dos girassóis 
Tal como ocorre nas pinhas, 
cada semente 
no girassol pertence a 
ambos os conjuntos de 
espirais: 21 espirais 
irradiam em sentido 
horário, e 34_em sentido 
anti-horário. A proporção 
de 21:34 é 1:1,619 - muito 
próxima de 1:1,618, a 
• proporção áurea. 
Padrões de crescimento 
em espiral das pinhas 
Cada semente na pinha 
pertence a ambos os 
conjuntos de espirais: 8 delas 
irradiam em sent ido horário 
e 13, em sentido anti-horário. 
A proporção de 8:13 é 1:1,625 
- também muito próxima de 
ll,618, a proporção áurea. 
\ 
Muitos peixes também exibem medidas relaciona-
das com a seção áurea. A superposição de três dia-
gramas de construção com a proporção áurea ao cor-
po de urna truta arco-íris mostra as relações entre o 
olho e a nadadeira caudal nos retângulos e quadrados 
dourados recíprocos. Além disso. as nadadeiras indi· 
viduais exibem proporções áureas. O peixe-anjo-azul 
enquadra-se exatamente em um retângulo áureo, e 
sua boca e guelras estão no ponto áureo reciproco 
da altura do corpo. 
retângulo áureo 
Análise da seção áurea 
em uma truta 
O corpo de uma truta 
enquadra-se em três 
retângulos áureos. O olho 
é bissectado pelo lado de 
um retângulo áureo 
reciproco, e outro 
retângulo deste tipo define 
~ nadadeira caudal. 
Análise da seção áurea em 
um peixe-anjo-azul 
Todo o corpo do peixe se 
enquadra em um retàngulo 
áureo. A boca e a guelra 
estão no retângulo áureo 
recíproco. 
Talvez parte do nosso fascínio pelo ambiente natu-
ral e por seres vivos como conchas, flores e peixes seja 
devido à nossa predileção subconsciente pelas pro-
porções, formas e padrões associados à seção áurea. 
retãngulo áureo 
11 
12 
Proporções do corpo humano 
na escultura clássica 
Assim como muitas p lantas e animais compartilham 
as proporções áureas. o mesmo se dá com os seres 
humanos. Talvez outro motivo para a predileção cog-
nitiva pelas proporções áureas seja o fato de que o 
rosto e o corpo humanos exibem as mesmas rel.ições 
proporcionais matemáticas constatadas em todos os 
seres vivos. 
Algumas das mais antigas investigações sobre pro-
porções anatômicas e arquitetónicas são encontradas 
Proporções áureas na escultura grega 
O Doríforo (o portador de lança) à esquerda. O Zeus 
do Cabo Artemísion à direitil. Cada retângulo áureo é 
representado por um retângulo com uma linha diagonal 
tracejada. Múltiplos retângulos áureos partilham a mesma 
diagonal tracejada. As proporções das duas figuras são 
quase idênticas. 
nos tratados de um arquiteto e estudioso latino do 
primeiro século dC, Marcus Vitruvius Pollio. Vítrúvio, 
como é mais conhecido, recomendava que a arquite-
tura dos templos fosse baseada nas proporções ideais 
de um corpo humano em que todas as partes estão 
em perfeita harmonia. Ao descrever tal ideal, ele expl i-
cava que a altura de um homem bem-proporcionado 
é equivalente ao comprimento de seus braços aber-
tos. A altura do corpo e o comprimento dos braços 
\ 
i-
e ,:arpo, ao p ~: ,o qut ~s m os 
cujo centro c01nc1de com o umbigo. 
da ao r1e10 "ª virilha e (a direita) pela 
bgo, 
estendidos criam um quadrado. enquanto as mZ!us e 
os pés tocam um circulo cujo centro e o umbigo. Nes-
se esquema, a forma humana é d1v1dida ao meio na 
vinlr a e pela seção áurea no umbigo. As estatuas do 
Dbríforo e de Zeus sào ambas dos anos 1400 ac. Em-
bora realizadas por escultores diferentes muito tem-
po ,ntes dos estudos de V1truv10, ambas coincidem 
claramente com as proporções por ele recomendadas. 
ll
 
1 
Z•us analisado segundo o cânone de Vitrúvio 
\1"1 quadrado encerra o corpo, ao passo que as mãos 
9cam um círculo cujo cent ro coincide com o umbigo. 
figura é dividida ao meio na virilha e (à direita) pela 
ttÇfto ,iurea no umbigo. 
estendidos criam um quadrado, enquanto as mãos e 
os pés tocam um círculo cujo centro é o umbigo. Nes-
se esquema, a forma humana é divid ida ao meio na 
virilha e pela seção áurea no umbigo. As estátuas do 
Doríforo e de Zeus são ambas dos anos 1400 aC. Em-
bora realizadas por escultores diferentes muito tem-
po antes dos estudos de Vitrúvio, ambas coincidem 
claramente com as proporções por ele recomendadas. 
13 
14 
Proporções do corpo humano 
no desenho clássico 
O cânone vitruviano foi adotado por artistas renas-
centistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Dürer, 
no final do século XV e inicio do XVI. Tanto Da Vinci 
como Dürer se dedicaram ao estudo dos sistemas de 
proporções da anatomia humana. Os experimentos de 
! 
\ 
Homem Inscrito num círculo, Albrecht Dürer, após 1521 
.. 
Dürer com vários desses sistemas podem ser vistos 
em sua obra Vier Bücher von menschlicher Proportion 
[Quatro livros sobre a proporção humana], de 1528. 
Já Leonardo da Vinci fez as ilustrações para o livro 
De divina proportione [ Sobre a divina proporç5o] 
----------
Homem vítruviano, Leonardo da Vinci, 1485-90 
\ 
1 rio matemático Luca Pacíoli. Individualmente, 
111hos de Da Vinci e de Dürer se conformam 
u11te ao sistema de V it rúv io. Além disso, quan-
p.uamos esses desenhos com a ajuda de so-
l~ r,,,5 transparentes, constatamos que ambos 
!IS proporções vitruvianas e são, na verdade, 
ld(mticos. A única d iferença significativa está 
IUJo , ,'ntro 
•como umbigo. 
1 ••t,\ <l1v,dida ao 
• ~ltllt1,1 e pela 
•. 
Á 
15 
16 
O cânone vitruviano aplicado ao Homem vltruvíano, 
de Leonardo da Vinci 
Um q uadrado encerra o corpo, ao passo que as mãos e 
os pés tocam um círculo cujo centro coincide com o 
umbigo. A f igura está d iv id ida ao meio na virilha e pela 
seção áurea no umbigo. 
/ 
17 
Comparação das 
proporções de OClrer 
<•m vermelho) e 
Da Vinci (em preto) 
As proporções de 
ambos os art istas são 
quase idênticas. 
---
17 
18 
Proporções faciais 
O cânone de Vitrúvio abrange as proporções do ros-
to e do corpo humano. O posicionamento dos traços 
faciais revela as proporções c lássicas usadas na es-
cultura greco-romana. 
Embora tanto Leonardo da Vinci como Albrecht 
Dürer tenham empregado o cânone vitruviano de 
proporções anatômicas, notam-se diferenças sig-
nificativas nas proporções faciais. O sistema de Da 
Vinci para o rosto reproduz o de Vitrúvio e linhas 
Comparação de proporções faciais e seção áurea 
Detalhe da cabeça do Doríforo (esquerda). Detalhe da 
cabeça do Zeus do Cabo Artemision (direita). Quando 
aplicamos às cabeças das estátuas o cânone vitruviano, 
notamos que as proporções silo quase idênticas. 
Estudos das proporções 
faciais por Dürer, 
e. 1526·27 
Quatro cabeças 
construídas, desenho 
publicado em Das 
Skizzenbuch von Albrecht 
Dürer [O caderno de 
rascunhos de Albrecht 
Dürer], 1905 
' I 
de construção suaves podem ser vistas em seu de· 
senha original. 
Dürer, no entanto, recorre a proporções faciais cla-
ramente diferentes. No Homem inscrito num círculo, 
as proporções são caracterizadas pelos traços con-
centrados na parte inferior do rosto e pe la testa mais 
ampla, o que possivelmente revela urna predileção es-
tética comum à época. O rosto é dividido ao meio por 
uma linha no topo das sobrancelhas, com os olhos, 
, 
", 
, 
I 
O diagrama mostra que um único retângulo áureo rege o 
comprimento e a largura da cabeça. Esse retângulo 
subdivide-se a seguir em retângulos áureos menores que 
definem a posição dos outros elementos faciais. 
de-
:la-
1/0, 
:>n-
3is 
es-
,or 
)S, 
11 n c1r1z e a boca debaixo dela; além disso, o pesco-
" é encurtado. Essas mesmas proporções reapare-
.. m com frequência nos desenhos de Vier Bücher von 
P,,•nschlicher Proportion, de 1528. Dürer também ex-
11101,1 outros tipos de proporções faciais no desenho 
Q11,1tro cabeças construidas, no qual introduz linhas 
Obliquas no grid de base a fim de obter variações. 
Os seres humanos, ta l como as outras criaturas, ra-
r1mt>nte exibem proporções faciais ou corporais que 
Comparação de proporções faciais em desenhos de 
Oa Vinci e Dürer 
0etalhes das cabeças de Homem vitruviano, de Da Vinci 
(tsquerda), e Homem inscrito num círculo, de Dürer 
(direita). No desenho de Da Vinci, as proporções faciais 
•• adequam ao cânone vitruviano, ao contrário do que 
ocorre na cabeça desenhada por Dürer. 
refletem perfeitamente a seção áurea, exceto nas con-
cepções artisticas manifestadas em desenhos, pintu-
ras e esculturas. O emprego da proporção áurea pe-
los artistas, sobretudo pelos gregos antigos, era uma 
tentativa de idealizar e sistematizar a representação 
da figura humana. 
, 
' I 
" , 
19 
20 
Proporções arquitetônicas 
Além de registrar as proporções da anatomia huma· 
na, Vitrúvio também era arquiteto e catalogou as 
proporções arquitetônicas mais harmoniosas. Se-
gundo ele, a arquitetura dos templos deveria se ba-
sear no corpo humano bem-proporcionado, aquele 
no qual há perfeita harmonia entre todas as par-
tes. Atribui-se a ele a introdução do conceito de 
módulo, do mesmo modo que as proporções hu-
manas se expressavam de acordo com um módu-
lo definido pela medida da cabeça ou do pé. Esse 
Desenho do Partenon, Atenas, 
e. 447-432 ac, e relação arquitetônica 
com a seção áurea 
Aná lise das proporções áureas 
segundo o diagrama de construção 
da seção áurea. 
' \ 
Análise da harmonia áurea 
conceito viria a adquirir muita importância na his-
tória da arquitetura. 
O templo do Partenon, em Atenas, é um exemplo 
do sistema de proporções usado pelos gregos an-
tigos. Um exame sumário revela que a fachada do 
edifício é contida em um retângulo áureo subdivi· 
dido. o quadrado do retângulo recíproco principal 
fornece a altura do frontão, e o retângulo menor do 
diagrama determina o posicionamento do friso e da 
arq ui trave. 
,-
seção acima do óculo. a janela circular central, que intercep-
a, foi propositalmente empregada na arquitetura 
11•, Igrejas góticas. Em Por uma arquitetura, Le Cor-
ltu~"•r cita o papel do quadrado e do círculo nas pro-
tOr~ óes da fachada da catedral de Notre-Dame, em 
tam as principais linhas de força verticais da catedral. 
A porta central tam bém tem uma proporção áurea. 
como se pode ver no diagrama de construção. A pro-
porção do óculo é 1/4 do diâmetro do círculo inscrito 
li',uh O retângulo em torno da fachada da catedral no quadrado maior. 
l•rr1 ., proporção áurea. O quadrado desse retângulo 
1'9o encerra a parte principal da fachada, e o retân-
áureo recíproco inclui as duas torres. Os traçados 
••~ul,,dores são as d iagonais que se encontram logo 
om11nraçào das proporções 
~ 6cul" está na proporção de 
1 , 1m rc-lação ao grande 
11 uln d,J fachada. 
retângulo áureo recíproco 
21 
22 
Traçados reguladores de Le Corbusier 
"Do nascimento fatal da arquitetura. A obrigaç5o da 
ordem. O traçado regulador é uma garantia contra 
o arbitrário. Proporciona a satisfação do espírito. O 
traçado regulador é um meio; não é uma receita. Sua 
escolha e suas modalidades de expressão fazem parte 
integrante da criação arquitetural." 
Le Corbusier, Por uma arquitetura, 1923 
Redesenhada a partir de uma lápide de mármore 
descoberta em 1882, a Fachada do Arsenal do Pireu. 
Le Corbusier, Por uma arquitetura, 1923 
Le Corbusier cita os traços reguladores das divisões 
simples, que determinam a proporção entre a a ltura e a 
largura e orientam o posicionamento
e a medida das 
portas. A fachada enquadra-se em um retângulo áureo, 
com a posição e a altura da porta principal 
correspondendo a essa proporção. 
O interesse de Le Corbusier pe la aplicação da geo-
metria e da matemática está registrado em Por uma 
arquitetura. Nesse livro, ele discute a necessidade dos 
traçados reguladores como um meio de criar ordem 
e beleza na arquitetura, e também responde à crítica 
de que "com seus traçados reguladores, vocês ma-
tarão a imaginação e entronizarão a receita". Ao que 
ele retruca: "Mas o passado nos legou provas, docu-
mentos iconográficos, estelas, lajes, pedras gravadas, 
pergaminhos. manuscritos. impressos ... [ ... ] 
I 
I 
, 
I 
~eo-
1ma 
dos 
lem 
:ica 
ma-
1ue 
icu-
Jas, 
Pera construir bem e para repetir seus esforços, 
ern ., solidez e a utilidade da obra, ele [o homem 
, passado] tomou medidas, admitiu um módu-
regulou seu trabalho, introduziu a ordem. ( ... ] 
•••' medir, tomou seu passo, seu pé, seu cotove-
uu seu dedo. Impondo a ordem com seu pé ou 
seu braço, criou um módulo que regula toda a 
1111 ,1, e esta obra está em sua escala, em sua con-
itnl<-ncia, em seu bem-estar, em sua medida. Está 
• isca/a humana." 
Le Corbusier considera o traçado regulador "um dos 
momentos da inspiração, é uma das operações capitais 
da arquitetura". Mais tarde, em 1950 publicou Le Modu-
lor: essai sur une mesure harmonique à /'échelle humaine 
applicable universellement à /'architecture et à la méca-
nique [O Modular: ensaio sobre uma medida harmônica 
em escala humana de aplicação universal na arquitetura 
e na mecânica]. O Modulor apresenta o seu sistema de 
proporções baseado na matemática da seção áurea e 
nas proporções do corpo humano. 
----------------------- - ~ 
Corbusier, 1916. Uma Villa, em 
11m11 arquitetura, 1923 
tr,a) O desenho de Le Corbusier 
tlt~ a série de traçados reguladores 
lor,,rn usados no projeto do edifício . 
• nhns vermelhas sobrepostas ao 
4,11,ho mostr,im o retângulo áureo e as 
l9011.11s de construção. 
1, lo dos traçados reguladores de 
Orliusier com os dois diagramas 
~n•trução do retângulo áureo. 
60~ f 30• --~ } __________ ____ _____ _ 
I 
' , 
J 
' I 
, 
I 
23 
24 
Construção do retângulo áureo 
O retângulo áureo é uma razão da "proporção divi-
na". Esta é derivadil dil divisiio de uma linha em dois 
segmentos, tais que a razão entre o segmento todo 
AB e sua parte mais longa AC é igual à razão entre 
AC e a parte menor CB. E tal razão é de aproximada-
mente 1,61803 para 1, também expressa como 1 ~Is. 
2 
Seção áurea, método de construção 
com quadrado 
1. Comece com um quadrado. 
2. Trace uma diagonal desde o ponto 
mediano A em um dos lados até o 
vértice oposto B. Essa diagonal torna-se 
o raio de um arco de circunferência que 
intercepta o ponto C no prolongamento 
da linha inferior do quadrado. 
O retângulo menor e o quadrado se 
tornam um retângulo áureo. 
3. Ao dividir-se o retângulo áureo, 
obtém-se um retângulo áureo menor, 
denominado recíproco. Resta uma área 
quadrada depois da subdivisão, 
também chamada de gnômon. 
4. O processo de subdivisão pode 
continuar indefinidamente, gerando 
retângulos e quadrados proporcionais 
cada vez menores. 
.. 
A proporção divina: 
A 
AB = AC 
AC CB 
I 
I 
J 
I 
I 
I 
e 
B 
retãngulc áureo 
I 
I 
J 
' 
' 
' \ 
\ 
\ 
B 
A e 
gn6mon 
(quadrado~ ,,, 
' \ 
\ , 
,,, 1Cil:tângulo 
áureo 
r•c~roco 
' \ 
' \ 
' \ 
L✓r,, 
' \ 
' \ 
' \ 
I 
I 
1 l retângulo áureo é único porque, ao ser dividido. o 
.. u retângu lo reciproco é um retângulo proporcional 
IT\l•no r, e a área remanescente após a divisão é um 
l&Jadrado. Os quadrados proporcionais decrescentes 
Iodem gerar uma espiral quando se usa um raio com 
~ mesmo comprimento dos lados do quadrado. 
m um diagrama de subdivisões da 
t Quadrados do diagrama da subdivis~o 
•~ l•ç~o áurea mantêm entre eles a 
, .. 1,çao áurea. 
◄ - - -
--~ 
2S 
26 
Retângulo áureo, método de construção 
com triângulo 
1. Comece com um triângulo reto cujos 
lados estejam na proporção 1:2. Trace um 
arco a partir de D, usando DA como raio, 
e intersecte a hipotenusa. 
2. Trace outro arco ao longo da 
hipotenusa a partir de C, usando CE 
como raio para intersectar a linha de base. 
3. Do ponto B, onde o arco intersecta a 
linha de base, trace uma linha vertical que 
toca a hipotenusa. 
4. Esse método resulta em proporções 
áureas ao definir o comprimento de AB 
e BC, que são os lados do retângulo. 
A d ivisão do triângulo proporciona a 
criação dos lados de um retiingulo com 
proporção áurea, pois a razão entre 
AB e BC é de 1:1,618. 
D 
A e B 
B e 
---- ----+-----------, 
-. 
l 
J 
Proporções áureas 
A, divisões e proporção do método de construção 
com triãngulo geram os lados de um retângulo áureo. 
Além disso. o método pode resultar em uma série de 
1 lrculos ou quadrados que mantêm entre si a propor-
~lo áurea, como se vê nos exemplos abaixo. 
retângulo 
áureo + 
A + 
AB + 
ABC + 
ABCD + 
ABCDE + 
ABCDEF + 
quadrado 
B : 
e = 
D: 
E = 
F : 
G: 
AB =BC+ CD 
BC= CD+ DE 
CD= DE+ EF 
etc. 
retângulo 
áureo 
AB 
ABC 
ABCD 
ABCDE 
ABCDEF 
ABCDEFG 
27 
D 
E 
~ 
G 
F 
28 
Proporções áureas em 
círculos e quadrados 
O método de construçao 
de seções áureas por meio 
do triángulo também 
produz uma série de 
círculos o u quadrados 
áureos. 
.. 
I 
> 
4 
Seção áurea e sequência de Fibonacci 
A~ propriedades específicas da seção áurea têm es-
treita relação com a série de números denominada se-
quência de Fibonacci, assim chamada em homenagem 
ao seu descobridor, o matemático Leonardo de Pisa 
( 1170-1250), conhecido como Fibonacci, e que também 
foi o introdutor dos algarismos arábicos na Europa cer-
ca de o itocentos anos atrás. Essa sequência de núme· 
ros -1. 1, 2, 3. 5, 8, 13, 21, 34 - é calculada somando-se 
Sequência numérica de Fibonaccl 
,. 1, 2 , 3, 5, B, 
1+1 =21 
1+2=3, 
2+3=5, 
os dois números antecessores para se obter o seguinte. 
Por exemplo, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5 etc. A pro-
porção entre qualquer par de números na sequência 
é muito próxima da proporção áurea. Os primeiros 
pares da série vão progressivamente se aproximando 
da seção áurea, e, depois do 15• numero, a divisão de 
qualquer número pelo subsequente tende a 0,618, e 
a divisão por qualquer número anterior tende a 1,618. 
13, 21 , 34, 55, 89, ate. 
3+5=8, 
5+8=13, 
8+13=21, 
13+21=34, 
21+34=55 
34+55=89 
2/1 = 2,0000 
3/ 2 1,5000 
5/3 1,66666 
8/5 = 1,60000 
1318 1.6250 0 
21/13 1,61538 
3 4/ 21 1.61904 
55/34 = 1,61764 
B9; 5s 1.61818 
144/ 8 9 = 1,61797 
233/ 144 1,61805 
377/23 3 1,61802 
610/ 377 1,618 0 3 seção áurea 
29 
30 
Triângulo e elipse áureos 
O triângulo áureo é um triângu lo isósceles, ou seja, 
com dois lados iguais, também conhecido como triân-
gulo "sublime", pois tem propriedades estéticas simi-
lares às do retângulo áureo - e é o triângulo preferi-
do pela maioria das pessoas. Facilmente construído a 
partir de um pentágono, tem ângulos de 36° no vér-
tice e de 72º na base. Essa construção pode ainda dar 
origem a outro triângulo áureo, conectando-se o ân-
gulo da base do triângulo maior ao vértice do pentá-
gon o no lado oposto. A interligação dos vértices com 
Construção do triângulo 
áureo a partir do 
pentágono 
Comece com um 
pentágono. Conecte os 
ângulos na base ao vértice 
do pentágono, o que 
resulta em um triângulo 
áureo com ângulos de 72º 
na base e de 36º no vértice. 
Construção de triângulo 
áureo secundário a partir 
do pentágono 
A construção do pentágono 
também resulta
em 
triângulos âureos secundá-
rio s. Basta conectar um 
ângulo da base a um dos 
vértices do lado oposto. 
Construção de triângulo 
áureo a partir do decágono 
Comece com um decágono, 
ou seja, um po lígono com 
dez lados. Conecte 
quaisquer dois vértices 
adjacentes ao centro para 
obter um t riângulo áureo. 
as diagonais resulta em um pentagrama. O decágono, 
um polígono com dez lados, também resulta numa 
série de triângulos áureos quando o seu ponto cen-
tral é conectado a quaisquer dois vértices adjacentes. 
Também se comprovou que a elipse áurea tem qua-
lidades estét icas similares às do retângulo e do triân-
gulo áureos. Tal como no retângulo, nela se constata 
a mesma proporção de 1:1,618 entre os seus dois eixos, 
o principal e o secundário. 
t 
Elipse áurea inscrita em retângulo áureo 
Triângulo áureo inscrito em elipse áurea, 
Inscrita em retângulo áureo 
í 
I 
Proporções áureas do pentagrama 
A estrela de c inco pontas criada a partir 
das diagonais de um pentágono regular 
• um pentagrama, cuja parte central é 
outro pent ágono etc. A progressão de 
pentágonos cada vez menores é 
conhecida como lira de Pitágoras, devido 
• sua relação com a seção áurea. 
Criação de espiral áurea a partir do 
lrlãngulo áureo 
Um triângulo áureo pode ser dividido em 
Alma série de triângulos áureos menores 
:aiuando se traça um novo ângulo de 36º 
• partir de um ângulo da base. Para se 
l!rl~r a espiral, usa-se o comprimento dos 
.. dos dos t r iângulos das subdivisões 
tomo raio de um círc ulo. 
--- - ---
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/ ~~,, 
~ --', 
""-¾., 
' 
' 
' 
' 
,,: 
31 
( 
\ 
32 
Retângulos áureos dinâmicos 
Todos os retângulos se dividem em duas categorias: 
os retângulos estáticos, com razões de frações de nú-
meros racionais (como l/2, 2/3, 3/3, 3/4 etc), e os 
retângulos dinâmicos, com razões de frações de nú-
meros irracionais (como fi, -13, Js, ~ da seção áurea 
retângulos dinâmicos produzem, ao se dividirem, uma 
interminável quantidade de subdivisões e razões de 
superfície harmoniosas em termos v isuais, pois suas 
razões derivam de números irracionais. 
O processo de divisão de um retângulo dinâmico 
etc.). Quando divididos, os retângulos estáticos não em uma série de subdivisões harmônicas é muito sim-
resultam numa série de superfícies proporcionais vi- pies. Diagonais são traçadas entre vértices opostos e 
sualmente atraentes. As subdivisões são previsíveis e então uma rede de linhas paralelas e perpendiculares 
não apresentam muitas variações. Por outro lado, os é construída a partir dos lados e das diagonais. 
Retângulos áureos 
dinâmicos 
Esses d iagramas, extraídos 
de The Geometry of Art 
and Life [A geometria da 
arte e da vida]. de Matila 
Ghyka, ilustram vários 
exemplos de subdivisões 
harmônicas de retângulos 
áureos dinâmicos. Os 
pequenos retângulos em 
vermelho (esquerda) 
mostram a construç~o dos 
rettingu los áureos. Os 
retângulos nas cores cinza 
e vermelho (coluna 
intermediária) mostram a 
construç~o dos retllngulos 
áureos em vermelho, com 
as subdivisões harmônicas 
em linhas cinzentas. Jâ os 
retângulos com linhas 
pretas (direita) indicam 
apenas as subdivisões. 
I 
E[] ' 
-
[Z[J -
' 
33 
[E] ' ' 
' 
34 
Construção do retãngulo de raiz 2 
Os retângulos de raiz 2 exibem a propriedade espe-
cial de serem infinitamente divisíveis em retângulos 
proporcionais menores. Isso significa que. quando se 
divide ao meio um retângulo de raiz 2, resultam dois 
retângulos menores também de raiz 2; e, quando é 
Construção do retângulo de raiz 2, 
método do quadrado 
1. Comece com um quadrado. 
2. Trace uma diagonal no interior 
do quadrado. Use a diagonal 
como raio de um arco q ue 
intersecta a linha da base do 
quadrado. Complete o retangulo 
em torno da nova f igura. Este é 
um retàngulo de raiz 2. 
, 
, 
Subdivisão de raiz 2 
1. O retângulo de raiz 2 pode ser 
dividido em retângulos similares 
menores. Dividindo-se o retângulo 
com a ajuda de uma diagonal, 
obtém-se dois retângulos menores. 
Subdividindo cada um destes, 
obtêm-se sucessivamente 
retângulos menores de raiz 2. 
2. Esse processo pode ser repetido 
sem cessar, gerando uma série 
infinita de retângulos de raiz 2. 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
• 
/ 
, 
, 
, 
, 
• 
dividido em quatro, resultam quatro retângulos meno· 
res de raiz 2 etc. Cabe notar ainda que as proporções 
do retângulo de raiz 2 são bem p ró ximas da seção 
áurea: as dos retângulos de raiz 2 são 1:1.41, contra 
1:1,618 da seção áurea. 
, 
, 
, 
, 
, 
, ' 
' 
' 
' 
, 
\ 
,,\.-, 
, 
, 
, 
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1 
fi. 
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.fi~ 
, , II 
' 
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, 
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, 
, 
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, 
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, 
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, 
' , 
' , 
' , , 
' , 
' 
retângulo .fi mtãngulo li 
I 
l 
Construção do retângulo de raiz 2, 
método do circulo 
1. Outra maneira de se construir um 
retângulo de raiz 2 começa com o traçado 
de um círculo. Em seguida, inscreve-se um 
quadrado no circulo. 
2. Prolongue os dois lados opostos do 
quadrado de modo que tangenciem o 
circulo. O retângulo obtido é de raiz 2. 
Espiral decrescente 
de raiz 2 
Pode-se construir uma 
espiral decrescente de 
rai z 2 traçando-se e 
conectando-se as 
diagonais nos retângulos 
recíprocos de raiz 2. 
Relações proporcionais 
de raiz 2 
A subdivisão contínua 
de um retângulo de raiz 2 
resulta em retângulos 
similares proporcionalmen-
te menores. 
' 
' 
JS 
36 
Norma DIN de formatos proporcionais de papel 
Os retângulos de raiz 2, como se viu, têm a proprie-
dade de se subdividirem sem cessar em retângulos 
proporcionalmente menores. Por esse motivo, servem 
de base para a norma DIN - Deutsche Industrie Nor-
men (normas industriais alemãs), um critério para a 
definição de formatos de papel. E também regem as 
proporções de muitos dos cartazes examinados nes-
te livro. Uma dobra inicial no meio da folha resulta 
em duas meias-folhas, ou fólios. Dobrando-se quatro 
A2 
Al 
A4 
A3 
AS 1 
Al 
A2 
vezes a folha original, obtêm-se quatro folhas meno-
res ou oito páginas impressas etc. Esse sistema não 
só é eficiente, corno também otimiza o uso do papel. 
As cidades europeias nas quais é tradicional o uso 
de cartazes dispõem de áreas públicas próprias para 
eles com essa proporção. Além da vantagem prática 
de evitar o desperdício no uso das folhas de papel, o 
retângulo de raiz 2 se aproxima das propriedades es-
téticas da seção áurea. 
A3 
t 
A4 
AS 
I 
I 
Retângulos dinâmicos de raíz 2 
r>o mesmo modo que os retângulos áureos, os re-
tltingulos de raiz 2 são conhecidos como retângulos 
dinâmicos, pois, como aqueles, produzem uma varie-
dade de subdivisões e combinações harmônicas que 
1empre guardam as proporções do retângulo orig inal. 
Divisões harmônicas dos 
r•tângulos de raiz 2 
(•squerda) Divisão de 
l,lm retângulo de raiz 2 
tm 16 retângulos menores 
ele raiz 2. 
(direita) Divisão de um 
,.tllngulo de raiz 2 em 
A colunas e ângulos 
1d1acentes. 
(esquerda) Divisão de 
1,1m retângulo de raiz 2 
em 9 ret5ngulos 
menores de raiz 2. 
(direita) Divisão de um 
retângulo de raiz 2 em 
1 retângulos menores 
de raiz 2 e 3 quadrados. 
(esquerda) Divisão de um 
,.!ângulo de raiz 2 em 5 
retângulos menores de raiz 
2 e 2 quadrados. 
(direita) Divisão de 2 
l'tlllngulos de raiz 2. 
O processo de divisão harmônica requer o traçado 
de diagonais e, depois, o traçado de uma rede de li -
nhas paralelas e perpendiculares aos lados e às diago-
nais. Os retângulos de raiz 2 sempre vão se subdividir 
em um número equivalente de retângulos recíprocos. 
quadr o 
1 
1 
37 
38 
Retângulo
de raiz 3 
Assim como o retângulo d e raiz 2 pode ser dividido 
em outros retângulos similares, o mesmo se dá com os 
retângulos de raiz 3, raiz 4 e raiz 5 . Esses retângulos 
O retângulo de raiz 3 tem a propriedade de per-
mitir a construção de um prisma hexagonal regular, 
Esse hexágono é encontrado também na forma dos 
podem ser d ivididos tanto na vertical como na horizon- crista is de neve. d os favos de mel e em muitas outras 
tal. O de raiz 3 pode ser subdividido em 3 retângulos estruturas do mundo natural. 
verticais de raiz 3; e est es, por sua vez, em 3 retângulos 
horizontais de raiz 3 etc. 
Construção de raiz 3 
1. Comece com um retângulo de raiz 2. 
2. Trace uma diagonal no interior do 
retângulo de raiz 2. Use a diagonal como 
raio de um arco de c ircunferência que 
intersecta o prolongamento da linha na 
base do retângulo de raiz 2. Complete o 
retângulo em t orno da figura. Este é um 
ret~ngulo de raiz 3. 
Subdivisão de raiz 3 
O retângulo de raiz 3 pode ser d ividido 
em retângulos similares menores. Divida o 
retângulo em três retângulos menores. 
Divida de novo cada um destes em 
retângulos de raiz 3 ainda menores. Esse 
processo pode ser repetido sem cessar, 
criando-se assim uma série infinita de 
retângulos de raiz 3. 
,' 
/ 
/ 
/ 
" 
' \ 
' 
' 
' 
,.. ' 
' \ 
' 
' 1 
Construção de hexágono 
É possível construir um 
hexágono a partir de um 
ret ângulo de raiz 3. Para 
tanto, gira-se o retângulo 
em torno de seu eixo 
central de modo que os 
vértices se encontrem. 
39 
~o 
Retângulo de raiz 4 
Construção de raiz 4 
1. Comece com um retângulo de raiz 3. 
2. Trace uma d iagonal no interior do 
retângulo de raiz 3. Use a diagonal corno 
raio de um arco de circunferência que 
intersecta o prolongamento da linha da 
base do ratãngulo. Complete o retângulo 
em torno da figura. Este é um retângulo 
de raiz 4. 
Divisão de raiz 4 
O retângulo de raiz 4 pode ser dividido 
em retângulos similares menores. Divida o 
retângulo em 4 retângulos menores. Em 
seguida, subdivida cada um destes em 
retângulos de raiz 4 ainda menores. Esse 
processo pode ser repetido sem cessar, 
criando-se assim uma série infinita de 
retángulos de raiz 4 . 
✓ 
✓ 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
✓ , 
, 
, 
, 
, 
,'T \ 
' 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
\ 
1 
1 
\ 
1 
1 
'J,r-1-
1 
' 1 
1 
\ 
1 
1 
1 
1 
Retângulo de raiz 5 
Construção de raiz S 
1. Comece com um retângulo de raiz 4. 
2. Trace uma diagonal no interior do· 
retângulo de raiz 4. Use a diagonal como 
raio de um arco de circunferência que 
Intersecta o prolongamento da linha na 
base do retângulo de raiz 4. Complete o 
retângulo em torno da figura. Este é um 
retângulo de raiz 5. 
Divisão de raiz S 
O retângulo de raiz 5 pode ser dividido 
tm retângu los similares menores. Divida o 
retângulo em 5 retângulos menores. Em 
1eguida, subdivida cada um destes em 
retângulos de raiz 5 ainda menores. Esse 
11rocesso pode ser repetido sem cessar, 
criando-se assim uma série infinita de 
retângulos de raiz 5. 
Raiz S, método de construção 
com quadrado 
Outra maneira de construir um ret ângulo 
de raiz 5 parte de um quadrado. Um 
1emiclrculo é traçado a partir do ponto 
central da linha de base do quadrado. Em 
H guida, prolonga-se o q uadrado de modo 
1 Incluir os arcos em ambos os lados. 
Os pequenos retângu los em ambos os 
lados do quadrado são retângulos áureos, 
• cada um deles, juntamente com o 
~uadrado orig inal, forma outro retângulo 
,u,eo. Os dois ret ângulos áureos e o 
~uadrado formam um retângulo de raiz 5. 
" 
.. .. - • - - - .... ---,, .... 
___ ... \ 
_,, 
.. + ·\•' 
------'------"----''------
41 
Comparação dos retângulos de raiz 
,42 
' 
' 
' 
' } , 
, ' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
J-+r 
'J-1-+t 
' Análises visuais do design 
Não há melhor maneira de iniciar esta análise de exemplos clássicos do design 
gráfico, ilustração, arquitetura e design industrial do que recorrendo a uma intro-
dução escrita por Le Corbusier. 
Em seu livro Le Modulor, ele fala de uma revelação que teve durante sua juven-
tude em Paris. 
"Um dia. sob a lamparina a óleo em seu quartinho parisiense. alguns cartões-pos-
tais com obras de arte estavam espalhados sobre a mesa. Seu olho deteve-se em 
uma imagem do Capitólio de Michelangelo, em Roma. Ele virou outro cartão, dei-
xan_do-o com o verso para cima, e intuitivamente um de seus ângulos (um ângulo 
reto) cobriu a fachada do Capitólio. De repente, ele ficou impressionado de novo 
com !Jma verdade corriqueira: o ângulo reto rege a composição; os lieux (/ieux de 
/'angle droit, "localizações do ângulo reto") ordenam toda a composição. Para ele 
isso foi uma revelação, uma certeza. O mesmo teste funcionou com uma pintura 
de Cézanne. Mas ele desconfiou de seu próprio veredicto, dizendo a si mesmo que 
a composição de urna obra de arte é ordenada por regras: tais regras podem ser 
métodos conscientes, apropriados e sutis, ou podem ser regras corriqueiras, apli-
cadas desatentamente. Elas também podem estar implícitas no instinto criativo 
do artista, como manifestação de uma harmonia intuitiva, o que sem dúvida era o 
caso de Cézanne. Já Michelangelo era de outra natureza, mais propenso a seguir 
planos conscientes, preconcebidos e deliberados. 
Foi um livro que lhe trouxe a certeza: algumas páginas da Historie de l'Architecture 
[História da arquitetura], de Auguste Choisy, que falavam do tracé regulateur (tra-
çado regulador). Então havia coisas como traçados reguladores que determinavam 
a composição? 
Em 1918 decidiu dedicar-se seriamente à pintura. Os dois quadros iniciais foram 
compostos a esmo. Já no terceiro, cm 1919, tentou preencher a tela de maneira 
ordenada. O resultado mostrou-se quase satisfatório. Então veio a quarta pintura, 
uma réplica meJhorada da terceira, devido ao plano categórico que a unificava, 
continha e lhe dava uma estrutura. Depois houve a série de pinturas feitas em 1920 
(expostas na Galerie Druet, em 1921), todas rigorosamente baseadas na geometria. 
Dois recursos matemáticos foram usados nesses quadros: a posição do ângulo 
reto e a razão áurea." 
Essa percepção de Le Corbusier é valiosa para todos os artistas, designers e arqui-
tetos. A compreensão dos princípios organizativos geométricos permite atribuir a 
uma obra criativa um sentido de coesão compositiva, o qual por sua vez confere 
a todos os elementos um senso de adequação visual. Por meio do exame de ca-
racterísticas geométricas, esquemas e proporções, pode-se entender melhor as 
intenções e o raciocínio dos designers e arquitetos. Essa análise esclarece o pro-
cesso de criação e proporciona uma explicação raciona l para muitas das decisões 
tomadas em tais obras, seja o ordenamento geométrico intuitivo ou proposital, 
aplicado com rigidez ou adotado de maneira casual. 
43 
44 
cartaz "Folies-Bergere", Jules Chéret, 1877 
o cartaz "Folies-Bergere", de Jules Chéret (1836-1932), 
é uma obra fascinante e repleta de dinamismo que cap-
tura o movimento de um grupo de dançarinos. À pri-
meira vista, parece ser uma composição espontãnea e 
desprovida de ordenamento geométrico, mas um exa-
me mais detido revela uma estrutura visual cuidadosa. 
As posições dos membros dos dançarinos correspon-
dem a um pentágono inscrito em um circulo. 
As divisões internas do pentágono criam um penta-
grama que, por sua vez, delimita um outro pentágono 
menor e proporcional. A razão dos lados dos triângu-
los no interior de um pentagrama é 1 :1,618, a razão áu-
rea. O centro exato do cartaz é um ponto pivotante no 
quadril da dançarina, e as pernas estendidas dos seus 
companheiros criam um triângulo invertido. a ponta su-
perior do pentagrama que a enquadra. Os membros
e 
os ombros de todas as figuras são dispostos com exa-
tidão em conformidade com a geometria da estrutura. 
\. 
Analise 
ordenação das três 
ras estão 1mplicitos 
11.11da um pentagrama e, 
f M outro pentágono, 
o n ,. r ") r onto 
otante localizado no 
~ mesmo a figura menor 
parte infertor partlc1pa 
, e utura na Medida 
que st.a cabeça toca o 
o~ entdgono 
1ba1xo) O triàngulo 
Jmado pelas pernas dos 
çarinos e um triângulo 
o 
o pentagrama 
As subd1v1sões do pentagono criam urna 
estrela interna de cinco pontas cu10 
centro e outro pentágono. A seção áurea 
esta presente ali: nos triângulos, a raz.-!o 
entre os dois lados iguais, B e C. e a base 
A é 1 1,57q ou se ~. a raz/io aurea 
45 
\ 
Análise 
Na ordenação das três 
figuras estão implícitos 
primeiro um círculo, depois 
um pentágono, em 
seguida um pentagrama e, 
por fim, outro pentágono, 
com o centro no ponto 
pivotante localizado no 
quadril da dançarina. 
Até mesmo a figura menor 
na parte inferior participa 
dessa estrutura. na medida 
em que sua cabeca toca o 
circulo e o pentágono. 
(embaixo) O triângulo 
formado pelas pernas dos 
dancarinos é um triângulo 
áureo. 
O pentagrama 
As subdivisões do pentágono criam uma 
estrela interna de cinco pontas cujo 
centro é outro pentágono. A seção áurea 
está presente ali: nos triãngulos. a razão 
entre os dois lados iguais. B e C, e a base 
A é 1: 1,678, ou seja, a razão áurea. 
B c 
o 
-45 
46 
Cartaz "Job", Jules Chêret, 1889 
Um mestre da impressão, o parisiense Chéret é consi- ele foi assíduo frequentador dos principais museus 
derado um dos responsáveis por elevar ao patamar de de arte da Europa, onde estudava atentamente as 
forma artística a técnica conhecida como cromolito- obras dos grandes pintores. 
grafia. Seu domínio dessa técnica foi a consequência Muitos dos cartazes de Chéret alcançaram êxito 
de uma aprendizagem iniciada aos 13 anos de idade. imediato, devido ao belo jogo de cores e às mara-
Em termos de educação formal no campo da arte e vilhosas figuras que os ilustravam. Ele aproveita-
do desenho, Chéret fez apenas um curso na École va ao máximo os recursos da cromolitografia, as-
Nationale de Dessin. onde provavelmente tomou con- sim como os princípios da composição, usando-os 
tato com a geometria e os princípios da composição. para conferir unidade a esta e muitas outras de 
Apesar das limitações de sua formação acadêmica, suas obras. 
Análise 
Um círculo cujo centro 
coincide com o ponto 
central do cartaz determina 
o posicionament o da figura 
leminina e do título "Job", 
.,. diagonal entre o canto 
.uperior direito e o inferior 
IUQuerdo organiza o 
J>Os1cionamento da cabeça1 
fjo olho e da mão. Já a 
11>utra diagonal passa pelo 
IDmbro e define o limite 
ido quadril. 
O pentagrama e a proporção 
do cartaz 
Nota-se que as proporções do 
formato do cartaz se baseiam no 
esquema conhecido como ·'página 
pentagonal" . A base do cartaz 
coincide com o lado inferior do 
pentágono e sua altura estende-se 
até tocar o circulo. 
Cartaz "Bauhaus Ausstellung", Fritz Schleifer, 1922 
Fritz Schleifer (1903-77) celebra os princípios do cinco formas retangulares e depuradas graças à 
construtivismo em seu cartaz de 1922 para a Bauhaus eliminação das finas linhas horizontais e verticais. 
Ausstellung (Exposição Bauhaus). Seguindo os ideais A largura do menor retângulo. que representa a 
construtivistas da época, o rosto humano e a tipo- boca, é o módulo de medida para a largura dos 
grafia são apresentados de maneira abstrata, com as outros retângulos. 
formas geométricas simplificadas que caracterizam A tipografia, concebida para ser compatível com 
a era das máquinas. os elementos retangulares do rosto, ecoa as rígidas 
O rosto geométrico, concebido por Oskar Schlem- formas angulares. Em seu desenho, os tipos são si-
mer como parte de um selo da Bauhaus, é submeti- milares àqueles originalmente concebidos por Theo 
do a uma simplificação ainda maior e abreviado em van Doesburg em 1920. 
Selo da Bauhaus, 
Oskar Schlemmer, 1922 
BRUHRU5 
RU55TELLUnCi 
WElmAR 
15.RUCi 5EPT 1923 
f 
Design dos tipos 
Baseada em um quadrado de 5 por 5 unidades, a 
estrutura dos tipos permite que os caracteres mais 
largos, M e W, ocupem o quadrado todo, com c~da traço 
e contraforma ocupando uma unidade. Os caracteres 
mais estreitos ocupam uma porção do quadrado com 
S por 4 unidades, com cada traço ocupando urna 
unidade, e as contraformas ampliadas até duas unidades 
O B e o R são exceções. na medida em que mais meia 
unidade é reservada para as formas originalmente 
arredondadas, assim corno para marcar as diferenças 
entre o R e o A e entre o B e o numera1·s. 
Análise 
O olho está alinhado com $ 
o eixo vertical central. 
Os outros elementos 
faciais sao dispostos em 
relações assimétricas com 
esse eixo. A t ipologia f ica 
alinhada, no alto e 
embaixo, ao retângulo 
que representa 
o pescoço. 
Proporções entre as 
larguras dos retângulos 
(considerando-se a 
largura a menor d imensão 
dos retângulos) 
~m cebeça, na_r~ QU&IXO 
pescoço 
olho 
.. ,, 
,. 
,, 
'é 
:, 
~ 
.. ,, 
,. 
,, 
'é 
:, 
1 
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N 
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" ,, ,. 
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" -g 
,, 
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• 
UHSG 
em 
49 
50 
Cartaz para o jornal L'lntransigeant, Ã. M. Cassandre, 1925 
"O módulo expresso mntemJt1camente serve apenas 
para confirmar uma percepção espontânea. A razão 
áurea só define a proporção ideal previamente 1ntu1da 
pelo artista; trata-se antes de um meio de verificação 
do que um sistema (ela estaria condenadil [se fosse] 
mais um sistema)." 
Diário, Adolphe Mouron (A. M. Cassandre), 1960 
Concebido em 1925 por Adolphe Mouron (1901-6B) -
que se tornaria mais conhecido sob o pseudônimo de A. 
M. Cassandre - para o jornal parisiense L 'Jntransigeant , 
o cartaz é ao mesmo tempo um triunfo conceituai e 
um exemplo de construção geométrica. Um triunfo por 
traduzir a figura de uma cabeça feminina no símbolo 
visual de Marianne, a personificação da França. 
Cassandre teve formação artística acadêmica e es-
tudou pintura em diversos ateliês de Paris. Na verdade, 
dot'>u o pseudõnimo de Cassandre com a intenção 
u~ar o nome verdadeiro em seus quadros. Con-
logo ficou fascinado pelas artes gráficas. nelas 
lumbrando mais possibilidades de uma vigorosa ex-
erimentação do que na pintura Outros aspectos que 
dtra1am eram ~ 1de1a de comunicação de massa e 
a pratica artística desvinculada das trad1c1onais e 
, renhas distinções de classe.Devido a seus 1nteres-
s e estudos no campo da pintura. Cassandre acabou 
Analise 
rmato do cartaz está ordenado segundo um 
unto de modulos de 6 por 8 unidades, proporoonan-
4 camr• 1s v1c Jnis quadr;-1os. •dos os e!&m(.f'ltvs 
uam-se a esse gr,d em termos de posição e 
parçêo C, orific10 do ou, Iu0 fico na ,t rserç. o 
,es campos v1suaIs, assim como o centro da boca. 
anto do L est~ no centro e .atv do car ,z. queix) 
profundamente 1nfluenc1ado pelo cubismo. Em urna 
entrevista de 1926, ele assim descreveu e ,e movi· 
menta: " ... sua lógica implacável e o esforço do artis-
ta para construir geometricamente a obra trazem à 
luz o aspecto eterno, o aspecto impessoal, para além 
de' toda contingência e complexidade 1nd1v1duais". Ele 
reconhecia que sua própria obra era "essenc,almente 
geométnca e monumental" e que os elementos de 
construção geometrica eram perceptíveis em quase 
da figura encaixa-se num desses campos, ass,m como 
o poste de telegrafo. O ângulo de 45º do pescoço 
estende-se de um vértice a outro de um quadrado que 
abrange quatro campos visuais. Os fios do telégrafo 
saem do centro do ouvido em ângulos sucessivos de 15º, 
formando dois ângulos de 45º acima e embaixo da n d 
honzof'tal ,:-entra· 
51 
e 
>r 
ts-
!e. 
adotou
o pseudônimo de Cassandre com a intenção profundamente influenciado pelo cubismo. Em uma 
entrevista de 1926, ele assim descreveu esse movi-
mento:" ... sua lógica implacável e o esforço do artis-
ta para construir geometricamente a obra trazem à 
luz o aspecto eterno, o aspecto impessoal, para além 
de toda contingência e complexidade individuais". Ele 
reconhecia que sua própria obra era "essencialmente 
geométrica e monumental" e que os elementos de 
construção geométrica eram perceptíveis em quase 
de usar o nome verdadeiro em seus quadros. Con-
tudo, logo ficou fascinado pelas artes gráficas, nelas 
vislumbrando mais possibilidades de uma vigorosa ex-
perimentação do que na pintura. Outros aspectos que 
o at raiam eram a ideia de comunicação de massa e 
uma prática artística desvinculada das tradicionais e 
ferrenhas distinções de classe.Devido a seus interes· 
ses e estudos no campo da pintura, Cassandre acabou 
Análise 
O formato do cartaz está ordenado segundo um 
conjunto de módulos de 6 por 8 unidades, proporcionan-
do 48 campos visuais quadrados. Todos os elementos 
adequam-se a esse grid em termos de posição e 
proporção. O orifício do ouvido fica na intersecção 
desses campos visuais. assim como o centro da boca. 
O canto do L está no centro exato do cartaz. O queixo 
da figura encaixa-se num desses campos. assim como 
o poste de telégrafo. O ângulo de 45º do pescoço 
estende-se de um vértice a outro de um quadrado que 
abrange quatro campos visuais. Os fios do telégrafo 
saem do centro do ouvido em ângulos sucessivos de 15º, 
formando dois ãngulos de -45º acima e embaixo da linha 
horizontal central. 
51 
52 
todos os seus cartazes. Cassandre tinha plena cons-
ciência da força visual do circulo e o empregou deli-
beradamente neste cartaz e em vários outros com o 
objetivo de dirigir e concentrar o olhar do observador. 
Além da pintura cubista, a obra de Cassandre foi 
influenciada pelo 5ach Plakat (cartaz-objeto), um 
movimento de artes gráficas que procurou se afas-
tar da tendência expressiva e ornamenta l do passado 
ressaltando sobretudo a objetividade e a função. Tal 
filosofia refletiu-se na Bauhaus da década de 1920 e 
deixou repetidas marcas nos cartazes que Cassandre 
desenhou ao longo de sua carreira. Neste cartaz, o ti-
tulo do jornal é abreviado para L'lntrans no cabeçalho 
que se sobrepõe a um símbolo mais poderoso, a figura 
de Marianne, a voz da França. 
Ângulos e raiz de 2 
O formato do cartaz é um retângulo de raiz 2. O olho 
da figura é bissectado pela diagonal do retângulo de raiz 
2, indicada por uma linha tracejada. Essa diagonal 
também bissecta o centro do cartaz no canto inferior 
esquerdo do L. A linhu de base do título L '/ntrans 
coincide com uma diagonal de 45º originada no centro 
do cartuz. Os f ios telegráficos estào dispostos em 
ângulos sucessivos de 15°, gerando o módulo de 45º 
que se repete nos ângulos do nariz e do pescoço. 
z 
Razões dos diãmetros dos círculos 
= 4 circulos da boca 
= circulo externo da orelha 
drculo da cabeça 
círculo da boca 
círculo da boca = 21/2 círculos pequenos da orelha 
circulo Interno da orelha = círculo do olho 
círculo interno da orelha = e:frculos dos isoladores no posta 
círculo interno da orelha = circulo do lóbulo da orelha 
,roporções do círculo 
11:h c(rculos da boca e da parte mais externa da orelha 
ltm o diâmetro de um módulo. Os círculos menores do 
•lno da parte interna e do lóbulo da orelha e dos 
IOladores no poste têm o d iàrnetro equivalente a 2/5 de 
\lm campo visual. O circulo maior, da cabeça, tem o 
il~mctro de 4 campos visuais. 
Os círculos da cabeça est ão dispostos de tal modo 
que os pontos centrais estão alinhados segundo 
diagonais de 45º. Os círculos dos isoladores estilo todos 
alinhados em diagonais com ângulos sucessivos de 
aproximadamente 15º. Três desses incrementes result am 
no módulo de 45º. 
53 
54 
Cartaz "East Coast by L.N.E.R", Tom Purvis, 1925 
Criado em 1925 pelo artista inglês Tom Purvis (1888-
1959), o cartaz "East Coast by L.N.E.R." é um convi-
te para que o espectador viaje, nas férias de verão, 
pela ferrovia London Northeast. Mais de 25 anos 
antes. dois ilustradores que assinavam suas obras 
como "Beggarstaffs'' introduziram a abordagem 
então radical de simplificar suas composições mar-
cantes com áreas de cores chapadas delimitando 
silhuetas gráficas. Os cartazes de Purvis usam uma 
técnica similar de simplificação e jogo de espaço, 
cor e padronagem . 
O guarda-sol em forma de elipse é o elemento visual 
mais incisivo e atraente do cartaz, não só em função de 
sua cor vibrante, mas também devido ao formato e ao 
posicionamento na d iagonal. O laranja vivo estabelece 
um contraste complementar com o azul do céu e do 
mar. A elipse tem um formato que se aproxima daquele 
do círculo. e este atrai mais a atençi!io do que qualquer 
.ra forma geométrica. Já a diagonal e a direção mais 
nt2 ern termos visuais devido à sua 111stab1l1da· 
t movimento 1mplic-1tos. A dramática forma elípt1-
r pete-se por duas vezes: na estrutura mterna do 
da ~oi e na terminação preta do suporte. 
da$ as formas são meras sllhue as desenhadas 
n extrema concisão. As listras e o arranjo irregular 
lhe introdu?em variedade em meio às formas 
P ICaC''lS 
,tura do cartaz torna-se evidente por meio de 
por 6 u, 1dilcl<>s A linha entre a praia e o 
J mar d1v1de o cartaz e a parte azul ocupa os 2/3 
~ 1 rnac em. O eixo menor da elipse no 
guarda-sol alaranIado passa pelo ponto central do cartaz 
e dá equ1 ibrio à co,noosição. As figuras foram dispostas 
a direita e a esquerda desse eixo, de novo reforçando o 
equilíbrio de cores e formas. 
55 
'o 
ai 
le 
10 
te 
lo 
le 
er 
outra forma geométrica. Já a diagonal é a direção mais 
intrigante em termos visuais devido à sua instabilida-
de e movimento implícitos. A dramática forma elípti-
ca repete-se por duas vezes: na estrutura interna do 
guarda-sol e na terminação preta do suporte. 
Todas as formas são meras silhuetas desenhadas 
com extrema concisão. As listras e o arranjo irregular 
da toalha introduzem variedade em meio às formas 
simplificadas. 
Análise 
A estrutura do cartaz torna-se evidente por meio de 
um grid de 6 por 6 unidades. A linha entre a p raia e o 
céu e o mar divide o cartaz e a parte azul ocupa os 2/3 
superiores da imagem. O eixo menor da elipse no 
guarda-sol alaranjado passa pelo ponto central do cartaz 
e dá equilíbrio à composição. As figuras foram dispostas 
à direita e à esquerda desse eixo, de novo reforçando o 
equilíbrio de cores e formas. 
55 
56 
Cadelra Barcelona, Mies van der Rohe, 1929 
A cadeira Barcelona foi projetada para o Pavilhão da 
Alemanha na Exposição Universal de 1929. realizi,da na 
cidade de Barcelona. O pavilhão destacava-se de 
todos os outros pelo fato de não abrigar nenhuma 
exposição: o que se queria mostrar era o próprio edi-
fício. Elegante, austero e combinando painéis de tra -
vert ino e mármore. lâminas d e vidro furnê e colunas 
cromadas, o pavilhão estava mobiliado apenas com 
mesas, cadeiras e banquetas Barcelona. estas últi-
mas forradas de couro branco. Tanto as banquetas 
Proporções da cadeira (direita) 
A vista lateral (acima, à direita) e a frontal 
(uo 18dO) revelam q u ll a cadeira se 
encaixa perfeitamente em um quadrado. 
As divisões do encosto são muito 
similares a retângulos de raiz 2. 
como as mesas exibiam a mesma estrutura em "x" da 
cadeira. Mies van der Rohe (1886-1969) projetou o 
edifício e a mobília, e ambos são considerados mar-
cos do design e a maior realizai;;ao do período euro-
peu do arquiteto. 
É difícil crer que uma peça tão contemporânea 
e c lássica tenha sido projetada e produzida há mais 
de setenta anos. A cadeira Barcelona é uma sinfo-
nia de proporções meticulosas baseadas em
um sim-
ples quadrado. A altura. a largura e a profundidade da 
cadeira são 1dênt1cas. sei ~la se encaixa perfeita-
mente num cubo. s retângulos de couro do assen-
to e do encost fixados na armação de aço exibem 
ur1a propor o de retêngulo de raiz 2 Os mesmos 
retângulos oram concebidos de modo que, quando 
é necess · io refazer a tapeçélna. mantenham a forma 
despeito dos esforços e tensões dos procr 
d1men os de reforma. A construção em "x" das pernas 
form uma estrutura elegante que se tornou a marca 
reg s rada da cadeira 
ª + 
Proporções das curvas 
curva principal 
brangendo o encosto e 
s pernas dianteiras da 
ade1ra, é formada por 
m círcu o com o mesmo 
raio do quadrado, tendo 
corno r<>ntm o ponto A 
A curvatura do circulo 
orogu,al repete-se na parte 
dianteira do suporte do 
assento, com um c,rculo 
idêntico cujo centro é o 
ponto B Outro circulo, 
com metade do ra.o dos 
maiores, define as pernas 
traseiras e tem o centro 
no ponto e. 
S7 
cadeira são idênticas, ou seja, e la se encaixa perfeita-
mente num cubo. Os retãngulos de couro do assen-
to e do encosto fixados na armação de aço exibem 
uma proporção de retângulo de raiz 2. Os mesmos 
retângulos foram concebidos de modo que, quando 
é necessário refazer a tapeçaria, mantenham a forma 
original a despeito dos esforços e tensões dos proce-
dimentos de reforma. A construção em "x" das pernas 
forma uma estrutura e legante que se tornou a marca 
registrada da cadeira. 
A 
B 
e 
57 
Proporções das curvas 
A curva principal. 
abrangendo o encosto e 
as pernas dianteiras da 
cadeira, é formada por 
um círculo com o mesmo 
raio do quadrado. tendo 
como centro o ponto A. 
A curvatura do circulo 
original repete-se na parte 
dianteira do suporte do 
assento. com um círculo 
idêntico cujo centro é o 
ponto B. Outro círculo. 
com metade do raio dos 
maiores, define as pernas 
t raseiras e tem o centro 
no ponto C. 
58 
Chaise Longue, Le Corbusier, 1929 
Os arquitetos formados na tradição acadêmica quase 
sempre levam em conta os princípios da proporção 
clássica e os aplicam tanto na arquitetura como na mo-
bilia que projetam. Charles Êdouard Jeanneret (1887-
1965), mais conhecido como Le Corbusier, é um caso 
exemplar disso, e a sua atenção meticulosa aos de-
talhes e proporções também está presente na Chaise 
Longue. Na década de 1920, Le Corbusier foi influencia-
do por outros arquitetos, como Mies van der Rohe. que 
v inham desenhando móveis de aço tubular para seus 
edifícios. Por sua vez. tanto Le Corbusier como Mies 
se inspiraram nas formas geométricas das cadeiras de 
madeira vergada do austríaco Michael Thonet, adotan-
do em suas criações formas igualmente despojadas. 
Em 1927, Le Corbusier começou a trabalhar com a ar-
quiteta e designer Charlotte Perriand e com seu primo 
Pierre Jeanneret. Essa bem-sucedida colaboração resul-
tou em vários projetos clássicos de móveis que levam o 
nome de Le Corbusier, entre os quais a Chaise Longue. 
A estrutura tubular cromada da cadeira é uma peça 
Predecessora da 
Chaise Longue 
Cadeira de balanço 
recliniivel Thonet, e. 1870 
arqueada que se apoia num simp~ porte preto. 
Esse arco é um sistema elegan~,que desliza em am-
bas as direções, permite infinjt-á'variedade de posições 
e mantém-se no lugar gra ás ao atrito e à força da gra-
vidade. seja com a cabe ou os pés erguidos. Tal como 
a est rutura geométric do arco. o encosto para a cabe-
cilindro que pode ser facilmente 
reposicionado. A e rutura em arco foi concebida de tal 
modo que podes r retirada do suporte e usada como 
uma cadeira de alanço. 
Análise 
As proporções da deira refletem as divisões harmônicas 
de um retàngulo áureo. eu comprimento é o diâmetro do 
circulo que define o arco sua estrutura. O suporte da 
cadeira tem relação direta co o quadrado na subdivisão 
harmônica. A análise da Chaise ongue se faz pela 
decomposição harmônica de um 
" 
59 
60 
Cadeira Brno, Mies van der Rohe, 1929 
Após o sucesso do Pavilhão alemão de Barcelona em balanço com estrutura de ferro tubular projetadas ain-
1929, Mies van der Rohe foi contratado para projetar da no século XIX e na célebre cadeira de bal,mço de 
a residência da família Tugendhat. que também lhe madeira vergada de Michael Thonet. No caso da MR, 
encomendou o design da mobília mais adequada ao a resistência dos tubos de aço permitiu a adoção de 
estilo decididamente modernista do edifício. uma estrutura em cantiléver e a simplificação radical 
Já em 7926 Mies havia desenvolvido com êxito uma de suas linhas. 
cadeira com braços em cantiléver, batizada de MR. Na O projeto da casa Tugendhat previa uma imensa 
época, a tecnologia para vergar tubos de aço era re- sala de jantar, com uma mesa com capacidade para 
cente e abriu um novo horizonte para desenhos ino- 24 pessoas. A cadeira MR foi destinada originalmen-
vadores. O da cadeira MR baseou-se em cadeiras de te para essa mesa. m as se revelou inadequada pois 
Predecessoras da cadeira Brno 
(esquerda) Cadeira de balanço Thonet. 
e. 1860, e (direita) vista lateral da 
cadeira MR. projetada por Mies van der 
Rohe em 1926. 
os 
Rc 
dai 
co 
pe 
m, 
ro 
co 
va 
Ar 
Vi• 
:i 
V I' 
os braços não se encaixavam sob o tampo. Van der 
Rohe desenhou então as cadeiras Brno, assim chama-
da por causa da cidade em que viviam os Tugendhat, 
com braços mais baixos e um formato compacto que 
permitia sua perfeita acomodação sob o tampo da 
mesa. As cadeiras originais tinham forração de cou-
ro e foram produzidas versões tanto em aço tubular 
como em perfis chatos de aço, o que daria origem a 
variações estruturais. 
Análise 
Vista de cima, a cadeira 
encaixa-se exatamente em 
um quadrado (acima. à 
direita). Como se nota nas 
vistas frontal (direita) e 
l~teral (extrema direita), a 
cadeira coincide com um 
retângulo áureo. O ângulo 
das pernas dianteiras e o 
do encosto da cadeira 
(embaixo, à direita) sào 
simétricos, e os raios das 
curvas estão numa 
proporção de 1 : 3. 
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62 
Cartaz "Negerkunst" , Max Bill, 1931 
Divulgando uma exposição de pintura rupestre pré-
histórica da África do Sul, a geometria e o despoja-
mento veementes do cartaz "Negerkunst" , desenhado 
pelo suíço Max Bill (1908-94) em 1931, remontam ao 
desenvolvimento dos conceitos da arte concreta na 
década de 1930. Esse movimento propunha a cons-
trução aritmética de elementos visuais depurados, e 
Bill adotou esse ideal de uma linguagem visual de ab-
soluta clareza e apelo universal. 
A chave de toda a figura é a medida do diâmetro 
do circulo central. Este é idêntico à altura das partes 
superior e inferior: e a metade do diâmetro é a me-
dida das áreas laterais da figura. A linha vertical que 
passa pelo centro do circulo torna-se o eixo para o 
alinhamento esquerdo da caixa de texto. 
Proporçõe s dos círculos maiores (direita) 
O s círcu los externos são duas vezes maiores 
do que o interno. 
Proporções de raiz 2 (extrema direita) 
O format o do cartaz baseia-se num retângulo de raiz 2, 
cuja decomposição harmônica se pode ver no diagrama. 
A linha vertical serve de eixo para o alinhamento do texto 
e o centro do circulo interno. 
Análise 
As propo rções do g rande 
O baseiam-se no círculo 
interno. Os lados esquerdo 
e d ireito medem metade 
do diâmetro do círculo 
interno, ao passo que os 
lados superior e inferior 
equivalem ao seu d iámetro. 
A diagonal de um canto a 
out ro passa pelo centro do 
círculo, assim como a linha 
vertical que determina a 
margem esquerda da caixa 
de texto. 
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63 
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64 
Cartaz "Wagon-Bar", A. M. Cassandre, 1932 
"Muitos .:acham que os meus cartazes são cut>istas. Eles O cartaz "Wê!gon-Bar" é um prodígio de inter-rela-
tilrn rdzão no sentido de que o meu método é esscn- ções geométricas e tão impecável quanto o anterior 
cia lmcnte geométrico e monumental. A arquitetura, "L 'lntransigeant". Mais uma vez, Cassandre elege ele-
que prefiro acima de tudo. me fez .:ibominar as idios-
sincrasias deformantes ... Sempre fui mais sensível ás 
form,is do que às cores, ao modo como se organizam 
us coisas do que aos seus detalhes. ao espírito de 
geometria do que ao espírito de requinte .. ," 
Adolphe Mouron (A. M. Cassandre), La Revue de /'Union 
de /'Affiche Française, 1926 
mentas representativos e os simplifica e estiliza em 
formas geométricas depuradas. A garrafa de soda, a 
taça e o copo, o pão, a garrafa de vinho e os canudos 
sào colocados sobre a imagem de uma roda de trem. 
O diâmetro da roda é usado como medida do seg-
mento de trilho que enfatiza as frases "Restaurez-vous" 
e "A Peu de frai s". O centro do cartaz é visualmente 
IN [" 
realçado pelas pontas dos dois canudos dentro do Esse é um cartaz relativamente complexo em função 
copo. No sentido vertical, o cartaz é facilmente divisi- da quantidade de elementos que demandam simplifi-
vel em trés retângulos. cação geométrica, das inter-relações estruturais e do 
A geomet ria das figuras desenhadas é aparente domínio organizativo. Todavia, a análise deixa claro que 
na curvatura das garrafas e da taça de vinho. Há um cada uma das decisões tomadas tem sua justificat iva. 
belo jogo de espaços, com o fundo b ranco do cartaz 
invadindo o sifão da garrafa de soda. Uma mudança 
similar do espaço ocorre entre o pão e o rótulo dv 
garrafa de vinho, e também entre a parte superior do 
copo e o contorno do envoltório da roda. 
Análise 
O posicionamento 
meticuloso e o controle 
de cada elemento são 
evidentes nos pontos 
centrais dos círculos que 
definem o bojo d.i taça de 
vinho e as curvas da 
garrafa de soda, pois 
ambos estão situados na 
diagonal traçada entre o 
canto superior esquerdo 
e o inferior direito. Do 
mesmo modo, o centro do 
circulo da garrafa de vinho 
e o centro da roda estão 
alinhados na mesma 
vertical. 
65 
,, 
66 
Cartaz "Konstruktivisten", Jan Tschichold, 1937 
"Nào sabemos por quê, mas podemos demonstrar que 
um ser humano acha os planos de proporções defini-
das e intencionais mais agradáveis ou mais belos do 
que os de proporções acidentais." 
Jan Tschichold, A forma do livro: ensaios sobre tipo-
grafia e estética do livro, 1975 [ed. bras. 2007] 
ser interpretados como indicação desse ocaso. Os 
construt ivistas defendiam a mecanização da arte e 
do design por meio do posicionamento matemático 
de elementos geométricos abstratos como a forma 
mais adequada de exprimir a cultura industrial. Neste 
cartaz, Tschichold orienta-se pelos ideais constru-
tivistas de abstração geométrica, organização visual 
Este cartaz foi desenhado por Jan Tschichold (1902- matemática e tipografia assimétrica - tal como pre-
74) em 1929 para anunciar uma exposição de arte. gava em seu livro Die Neue Typographie [A nova ti-
Como ele foi criado numa época em que já declinava pografia], publicado em 1928. 
o movimento construtivista, o círculo e a linha podem 
konstru ktivisten 
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Análise 
O diâmetro do círculo é usado como 
unidade de medida tanto para o formato 
do cartaz como para a d istribuição de 
seus elementos. O próprio círculo é um 
ponto focal, atraindo inexoravelmente o 
olhar. Ele também destaca o título da 
exposição, assim corno a relação dos 
artistas participantes. O pequeno círculo 
junto à linha de texto com as datas d e 
abertura e encerramento da mostra é um 
fator de pontuação visual na medida em 
que ecoa e contrasta em escala com o 
circulo principal. A lista dos participantes 
da exposição começa no ponto de 
intersecção da diagonal do próprio cartaz 
com a diagonal da seção retangular 
inferior. As d istâncias entre os textos e os 
elementos principais são módulos da 
distância entre a linha horizontal e a linha 
de base do termo konstruktivisten, que 
está cent ralizado no circulo. 
Proporções do cartaz 
O formato retangular estreito é uma 
página pentagonal e deriva de um 
pentágono inscrito num círculo. O lado 
superior do pentágono invertido coincide 
com a largura do retângulo e seu vértice 
inferior tangencia o lado inferior do 
retângulo. A linha horizontal no cartaz 
está situada de modo a conectar dois 
vértices do pentágono. 
.. 
Triângulo compositivo 
A tipografia forma um 
triângulo que serve para 
ancorá- la no formato 
do cartaz e acentua o 
interesse visual. 
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67 
68 
Cartaz "Der Berufsphotograph", Jan Tschichold, 1938 
Projetado em 1938 por Jan Tschichold, este cartaz 
destinava-se a uma exposição da obra de fotógrafos 
profissionais e desde então tornou-se um clássico por 
sua concepção e composição. Devido ao conteúdo da 
mostra. a imagem é figurativa. mas também abstra-
ta pois a mulher é retratada em negativo fotográfico. 
Essa técnica dirige a atenção do espectador para os 
procedimentos fotográficos em vez de ressaltar as ca-
racterísticas dessa mulher específica. O título principal, 
g1w1rbemus1um bas,1 ausslallun& 
er 
"der berufsphotograph", é impresso em íris, técnica em 
que as cores se mesclam quando tintas distintas (ama-
relo. vermelho e azul) são adicionadas ao cilindro de 
impressão. Esse arco-íris t ipográfico é um raro desvio 
expressionista em relação ao formalismo que marca o 
resto da obra de Tschichold. Todavia, sua predileção 
pela tipografia assimétrica e funcional é evidente na 
d isposição das texturas e elementos tipográficos me-
ticulosamente alinhados e interconectados. 
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Análise 
Relações do retângulo 
de raiz 2 
Um diagrama de 
construção de raiz 2 
foi sobreposto ao cartaz. 
O canto do retângulo 
recíproco e as diagonais 
bissectam o olho da 
mulher na foto. 
linha central 
A foto em negativo está exatamente à direita do centro 
do cartaz em formato retangular de raiz 2. O olho 
esquerdo da figura está cuidadosamente posicionado e a 
imagem foi recortada de modo a se tornar o nexo das 
diagonais que regem o posicionamento dos elementos. 
As medidas de largura e altura da imagem repetem-se 
nos elementos tipográficos à esquerda. 
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70 
Cadeira Plywood, Charles Eames, 1946 
Embora contasse com bolsa integral para estudar ar-
quitetura, Charles Eames (1907-78) abandonou a fa-
culdade após dois anos na Universidade Washington, 
em St. Louis, cujo currículo se baseava no ensino tra-
dicional das academias de belas-artes. Certamente 
algo nada animador para quem já demonstrava um 
ardoroso interesse pelo modernismo e pela obra de 
Frank Lloyd Wright. Porém, no decorrer de sua car-
reira, Eames veio a apreciar os fundamentos de sua 
formação acadêmica, sobretudo os princípios clássi-
cos de proporção. 
Cadeira Plywood 
Sua cadeira Plywood, de madeira compensada mol-
dada, foi projetada para a Organic Furniture Competi-
t ion (Concurso de Mobília Orgânica), patrocinada pelo 
Museu de Arte Moderna de Nova York em 1940. Eames 
e seu colaborador, o arquiteto Eero Saa ri nen, preten-
diam fazer uma junção de formas orgânicas em um 
todo unificado. A peça resultante, com belas formas 
curvilíneas, cativou os jurados, assim como as inovado-
ras técnicas de moldagem tridimensional da madeira 
e de fixação de compensado