Interpolação polinomial Cálculo Numérico

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Unidade IV
Interpolação Polinomial
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
PROBLEMA GERAL DA INTERPOLAÇÃO
POLINÔMIO INTERPOLADOR
TEOREMA (EXISTÊNCIA E UNICIDADE)
FORMA DE LAGRANGE
FORMA DE NEWTON
FORMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR
ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO
POLINOMIAL
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SUMÁRIO
NEWTON GREGORY
INTERPOLAÇÃO INVERSA
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Introdução
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Introdução:
	A interpolação consiste em determinar uma função que assume valores conhecidos em certos pontos. A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua. 
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	Um dos motivos desta aproximação é:
Estimar valores intermediários entre dados precisos. 
EXEMPLO: É sabido que no Brasil é realizado censo geral a cada 10 anos. Portanto nos anos em que é realizado o censo, tem-se dados precisos da população do país. Os valores do número de habitantes em anos intermediários pode ser estimado através de uma interpolação.
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Problema Geral da Interpolação
Considere a tabela abaixo com (n+1) pontos distintos:
A interpolação de f(x) consiste em se obter uma função g(x), tal que:
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f(x)
 
 
 
 
 x
Graficamente:
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Nesta unidade consideraremos que g(x) pertence à classe das funções polinomiais.
OBSERVAÇÃO:
Existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a fórmula de Taylor para a qual as condições de interpolação são outras.
Assim como g(x) foi escolhida entre as funções polinomiais, poderíamos ter escolhido g(x) como função racional, função trigonométrica, etc.
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Polinômio interpolador:
	Consideremos o intervalo [a, b] Ì R, os pontos x0, x1, ..., xn Î [a, b] e uma função f cujos valores são conhecidos naqueles pontos. Um polinômio P, de grau menor do que ou igual a n, que satisfaz P(xi) = f(xi), i = 0 , 1, 2, ..., n, chama-se polinômio interpolador de f nos pontos x0, x1, ..., xn .
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	Dado um conjunto de n + 1 pontos distintos, isto é (xk, fk), k = 0, 1, ..., n, com xk ≠ xj para k ≠ j. Existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que p(xk) = f(xk) = fk para k = 0, 1, 2, ..., n.
Teorema (Existência e Unicidade)
DEMONSTRAÇÃO
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Seja p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. Para obter os ai usamos a condição de interpolação fk = p(xk) para k = 0, 1, 2, ..., n. Logo, segue que:
Que corresponde ao sistema linear da forma
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A matriz A, associada ao sistema, é uma matriz de Vandermonde, cujo o determinante é dado por
Como xl ≠ xj para l ≠ j, segue que o determinante da matriz A é diferente de zero e portanto o sistema admite uma única solução
EXEMPLO
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Forma de Lagrange
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Vamos considerar o conjunto de n+1 pontos (xk, fk), k = 0, 1, 2, ..., n, distintos e vamos considerar o polinômio representado por
onde Lk(x) é um polinômio de grau · n que satisfaz a relação:
Com isto temos que
pn(xj) = f0L0(xj) + f1L1(xj) + ... + fjLj(xj) + ... + fnLn(xj)
pn(xj) = fj
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Logo pn(x) satisfaz a condição de interpolação, sendo assim, o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn. Os polinômios Lk(x) são chamados de polinômios de Lagrange e estes são obtidos da seguinte forma:
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Exemplo: Vamos considerar a tabela de pontos do exemplo anterior e determinar uma aproximação para f(0.3) usando a forma de Lagrange.
Calculando os Lk(x) temos:
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Fazendo:
Obtemos: p(x) = x2 - x + 4.
Observe que o polinômio é o mesmo que foi obtido via sistema linear. Isto já era esperado, pois o polinômio interpolador é único.
Desta forma, para x = 0,3 Î [0, 0.4] , teremos f(0.3) ≈ p(0.3) = 3.79.
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Forma de Newton
OPÇÃO 1
OPÇÃO 2
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	Nesta unidade será visto outro método de determinar o polinômio de interpolação. Tal polinômio será chamado de Polinômio de Newton. 
A expressão do polinômio de Newton é dada por:
onde os coeficientes da combinação linear dos polinômios (x –x0), (x –x0) (x –x1), ..., (x –x0) (x –x1)... (x –xn-1) são chamados de diferenças divididas.
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Como 
pn(x0) = f(x0)  f(x0) = d0
é o polinômio interpolador de f pelos pontos x0, x1, ..., xn então pn(xi) = f(xi), 0  i  n . Assim,
pn(x1) = f(x1)  f(x1) = d0 + d1(x1 - x0)  d1 = 
pn(x2) = f(x2)  f(x2) = d0 + d1(x2 - x0) + d2(x2- x0) (x2 – x1) 
 d2 = 
 f[x0, x1]
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Diferenças divididas: CASO GERAL
Pode-se mostrar que o operador diferenças divididas tem as seguintes propriedades:
onde j é uma permutação do conjunto {0, 1, ..., n}
(1)
(2)
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Desta forma, o polinômio de Newton é expresso por:
As diferenças divididas são facilmente calculadas através de uma tabela recursiva. Como exemplo, será apresentado uma tabela envolvendo diferenças divididas até ordem 4.
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DIFERENÇAS DIVIDIDAS
Sejam x0, x1, ..., xn, n + 1 pontos distintos do intervalo [a , b] e f0, f1, ..., fn os valores de uma função f(x) sobre estes pontos. Define-se:
onde, f[xi] é a diferença dividida de ordem zero e f[x0, x1, ..., xn] é a diferença dividida de ordem n, da função f(x) sobre os n + 1 pontos x0, x1, ..., xn. 
.
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TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS 
Pode-se construir uma tabela de diferenças divididas à partir de sua definição. Sejam, por exemplo, cinco pontos dados: 
para estes pontos, a tabela é construída da seguinte forma:
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FÓRMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR
Seja f(x) uma função contínua e com derivadas contínuas em [a , b]. Sejam 
, n + 1 pontos distintos da função.
Deseja-se construir o polinômio pn(x) que interpola f(x) nestes pontos.
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Consideremos p1(x) que interpola f(x) em x0. x1
onde,
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Verificação: p1(x) interpola f(x) em x0. x1?
 
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Seja p2(x) que interpola f(x) em x0. x1, x2
	
	
	
 
	
	
	
 
mas,
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Verificação: p1(x) interpola f(x) em x0. x1 , x2?
portanto, 
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Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio, obtém-se a fórmula de Newton para o polinômio interpolador dada por:
e o erro de truncamento dado pela expressão:
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ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
 
INT. INV.
N. G.
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A equação
tem uso limitado na prática, pois raramente ξ é conhecido. Sua principal aplicação é na estimativa do erro de truncamento para as fórmulas de interpolação, integração e diferenciação numérica. Assim, é usual trabalhar com uma cota superior de erro de truncamento dada por:
 
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Caso a expressão f(x) não seja conhecida, o erro pode ser estimado através do maior valor absoluto das diferenças divididas de ordem n + 1, isto é:
pois,
e
Logo,
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NEWTON GREGORY
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OPERADOR DIFERENÇAS ORDINÁRIAS 
Sejam n + 1 pontos distintos 
igualmente espaçados com passo h , tais que: 
Define-se:
 
onde, 
é a diferença ordinária de ordem zero e 
é a diferença ordinária (ou dif. finita progressiva) de ordem n, da função f(x) sobre os n + 1 pontos 
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TABELA DE DIFERENÇAS ORDINÁRIAS (T. D. O. )
Pode-se construir uma T.D.D. (ou uma T.D.F.P.) à partir de sua definição. Sejam, por exemplo, cinco pontos dados: 
para estes pontos, a tabela é construída da seguinte forma:
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RELAÇÃO ENTRE DIFERENÇA DIVIDIDA 
E DIFERENÇA ORDINÁRIA
Se 
então:
 
Teorema: 
DEMONSTRAÇÃO
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DEMONSTRAÇÃO:
Será feita por indução finita:
1) Para dois pontos (n = 1) , tem-se:
2) Suponhamos válido para n pontos: 
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3) Provemos para n+1 pontos: 
 (c.q.d.)
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EXPRESSÃO DO ERRO PARA NEWTON- GREGORY:
Na dedução da fórmula de Newton o erro de truncamento é dado pela equação:
substituindo a diferença dividida pela ordinária, obtém-se:
Obs.: como o polinômio é único, a estimativa para o erro de truncamento pode ser obtida através da mesma equação.
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INTERPOLAÇÃO
INVERSA
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Sejam conhecidos n + 1 pontos distintos 
O problema da interpolação inversa consiste em :
dado 
 obter 
 tal que 
Uma solução para este problema é obter 
pontos 
e em seguida encontrar 
 tal que 
que interpola f(x) nos 
Neste caso, não é possível fazer nem mesmo uma estimativa do erro cometido. As equações permitem medir o erro ao se aproximar f(x) por 
, e não o erro ao se aproximar 
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Interpolação inversa:
 
Considerando que f(x) seja inversível em um intervalo contendo 
pode-se fazer a interpolação de 
Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a , b] seja inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente) neste intervalo.
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 Se f(x) é inversível, o problema de se obter 
resolvido, obtendo-se 
que interpola 
o intervalo 
Para isto, basta considerar x como uma função de y e aplicar algum dos métodos estudados para interpolação:
, é facilmente
sobre
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Desta forma, o erro de truncamento cometido pode ser medido, utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente. Uma estimativa para o erro é dada por: