Anexo MA aula FD unidade1

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 1 – Introdução
 1.1 – Isolamento das raízes
 1.2 – Refinamento
	2 – Método da Bisseção
 2.1 – Interpretação Geométrica
 2.2 – Algoritmo
 2.3 – Estimativa do Número de Iterações
 2.4 – Estudo da Convergência
	3 – Método do Ponto Fixo
 	 3.1 – Interpretação Geométrica
 3.2 – Estudo da convergência do MPF
 3.3 – Algoritmo
 3.4 – Ordem de convergência do MPF
	4 – Método de Newton - Raphson
 4.1 – Interpretação Geométrica
 4.2 – Estudo da convergência do MNR
 4.3 – Algoritmo
 4.4 – Ordem de convergência do MNR
Sumário:
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1 – Introdução
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Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se determinar um número r para o qual uma função f (x) seja zero, ou seja, f (r)=0. 
Este número é chamado zero ou raiz da função f (x) e pode ser real ou complexo. Em nossos estudos r representará uma raiz real.
Graficamente, os zeros reais são representados pelos pontos de interseção da curva com o eixo Ox, conforme figura abaixo:
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 O objetivo desta unidade é o estudo de métodos numéricos
para a resolução de equações não-lineares, as quais não possuem 
solução analítica.
 A idéia central destes métodos é partir de uma aproximação 
inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através
de um processo iterativo do tipo:
 F(x) é chamada função de iteração.
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Portanto, o processo iterativo pode ser dividido em duas fases:
Fase I - Localização ou isolamento das raízes: 
 Consiste em obter um intervalo [a,b] que contém uma única raiz;
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1.1 – Fase I: Isolamento das raízes
Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função. 
A precisão desta análise é o pré-requisito para o sucesso da fase II.
1.1.1 - Análise Gráfica
Esta análise pode ser feita através de um dos seguintes processos:
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Resolução:
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1.1.2 – Análise Teórica
Nesta análise usamos freqüentemente o teorema de Bolzano:
“Seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) < 0, 
então existe pelo menos um ponto x = r entre a e b que é zero de f (x)”
Graficamente:
 
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Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar o sinal em [a, b], então existe uma única raiz neste intervalo.
 Graficamente:
 
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Podemos aplicar este teorema atribuindo valores para x e analisar o sinal de f (x).
Exemplo: f(x) =
 
 - Analisando a mudança de sinal podemos concluir que existe pelo menos uma raiz dentro dos intervalos indicados. 
 - Derivando a função descobrimos que conserva o sinal em cada um dos intervalos, portanto cada raiz é única no intervalo.
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Observação
 Se f (a) f (b) > 0 então pode existir ou não raízes no intervalo [a,b].
Graficamente:
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1.2 – Fase II: Refinamento
 Esta fase consiste em aproximarmos uma raiz r dentro do
intervalo [a, b] através de um método iterativo.
 Um método iterativo é uma seqüência de instruções que são 
executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em 
ciclos, cada ciclo recebe o nome de iteração. 
 Estas iteração utilizam valores obtidos em iterações anteriores
para encontrar uma nova aproximação para a raiz. 
Estes métodos fornecem uma aproximação para a raiz exata.
1.2.1 – Critérios de parada
 Durante a aplicação de uma método para determinar-se uma raiz, 
necessitamos que uma certa condição seja satisfeita para 
estabelecer se o valor de xi está suficientemente próximo de r. 
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 O valor de xi é raiz aproximada com precisão e se:
 Nem sempre é possível ter as duas exigências satisfeitas 
 simultaneamente, analisemos os casos abaixo:
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 Como não conhecemos o valor da raiz r para aplicar o teste 
 i) |xi – r| < e, usamos freqüentemente os conceitos de erro 
 absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada.
a) Erro absoluto:
b) Erro relativo:
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2 – Método da Bisseção
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Condições para aplicação: 
 -A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde contém pelo menos uma raiz, ou seja, f (a) f (b) < 0.
 -Caso o intervalo contenha duas ou mais raízes, o método encontrará uma delas. 
 
O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja menor que a precisão desejada, usando para isso sucessivas divisões de [a, b] ao meio.
 
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f(x)
x
Iteração 1:
2.1 – Interpretação Geométrica
r
a0
b0
x0
a1
b1
f (x0) > 0
a1 = a0
b1 = x0
r  [a1 , b1]
Iteração 2:
x1
f (x1) < 0
a2 = x1
a2
b2 = b1
b2
r  [a2 , b2]
Iteração 3:
x2
f (x2) < 0
a3 = x2
a3
b3 = b2
b3
r  [a3 , b3]
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2.2 – Algoritmo
Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) f (b) < 0.
1) Dados iniciais:
a) intervalo inicial [a, b]; 
b) precisão e 
3) k = 1
8) k = k +1. Volte ao passo 4.
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2.3 - Estimativa do número de iterações
Dada uma precisão e e um intervalo [a, b], vamos determinar quantas 
iterações k serão efetuadas pelo método da Bisseção até que 
bk – ak < e. Sendo k um número inteiro.
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2.4 - Estudo da convergência da Bisseção: 
Seja f (x) uma função contínua em [a, b], onde f (a) f (b) < 0.
 O método da bisseção gera três seqüências:
não-decrescente e limitada superiormente por 
tal que: 
não-crescente e limitada inferiormente por 
tal que: 
por construção temos que
 A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do
anterior, assim temos: 
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Aplicando o limite temos:
Então t = s
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3 – Método da Iteração Linear
(Método do Ponto Fixo)
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 Seja f (x) uma função contínua em [a, b], intervalo que contém uma raiz r da equação f (x) = 0.
 O Método da Iteração Linear (MIL ou MPF) consiste em transformar f (x) = 0 em uma equação equivalente x = j(x), onde j(x) é uma função de iteração.
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3.1 - Interpretação Geométrica
Graficamente, uma raiz da equação x = j(x) é a abcissa do ponto de intersecção da reta y = x e da curva y = j(x) 
f(x)
x
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Existem várias funções de iteração para esta equação, por exemplo:
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 Analisemos alguns casos de função de iteração:
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Teorema 2:
3.2 – Estudo da Convergência do MIL
 A convergência será dada pelo seguinte teorema:
 Seja r uma raiz da equação f (x) = 0, isolada num intervalo I centrado em r. Seja j(x) uma função de iteração para a equação f (x) = 0. Se:
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 Demonstração
r é uma raiz exata da equação f (x) = 0.
Portanto, comparando (1) e (2), resulta
(1)
(2)
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De (1) , segue que:
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Assim, 
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3.3 – Algoritmo do MIL 
Considere a equação f (x) = 0 e a equação equivalente x = j(x) 
1) Dados iniciais:
3) i = 1
7) i = i +1. Volte ao passo 4.
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3.4 – Ordem de convergência do MIL
Se existir um número p > 1 e uma constante C > 0, tais que
 Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de convergência do processo.
(2)
De (2) podemos escrever:
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 Provaremos que o MIL tem convergência apenas linear.
Conforme foi demonstrado, temos que:
 Então para grandes valores de k o erro em qualquer iteração é proporcional ao erro na iteração anterior, sendo j’(r ) o
fator de proporcionalidade. 
Portanto, 
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4 – Método de 
Newton - Raphson
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 No estudo do método do ponto fixo, vimos que:
ii) a convergência do método será mais rápida quanto menor for |j’(r)|. 
 Com a finalidade de acelerar e garantir a convergência, o MNR procura uma função de iteração j(x) tal que j’(r) = 0. 
 Partindo da forma geral para j(x), iremos obter a função A(x) tal que j’(r) = 0. 
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 Então, dada f (x), a função de iteração representada por
será tal que j’(r) = 0, pois como podemos verificar: 
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4.1 – Interpretação Geométrica
f (x)
r
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4.2 – Estudo da Convergência do MNR
Teorema 3:
 Sejam f (x), f’(x), f’’(x) contínuas num intervalo I que contém a raiz x = r de f (x) = 0. Suponha que f’(r) 0. 
 Demonstração
Devemos provar que as hipóteses do Teorema 2 estão satisfeitas
para 
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4.3 – Algoritmo do MNR 
Seja f (x) = 0.
1) Dados iniciais:
3) k = 1
7) k = k + 1
 Volte ao passo 4.
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4.4 – Ordem de Convergência do MNR 
Seja a função de iteração j(x) desenvolvida em série de Taylor,
em torno de x = r:
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Assim para i suficientemente grande pode-se escrever:
ou seja, o erro da iteração do MNR é proporcional ao quadrado do erro da iteração anterior. Por isso, diz-se que a convergência é quadrática, ou seja, p = 2.