Listas de Estatistica 1

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Curso: ENGENHARIA 
	
	Apostila 6 – Medidas de Dispersão
	
	Turno: MATUTINO/ NOTURNO
	
	
	
	PROFESSORA: Viviane de Souza Garrido
	
	
	
5. Dispersão ou Variabilidade
Vimos que a moda a mediana e a média podiam ser usadas para resumir, num único número, aquilo que é “médio” ou “típico” de um conjunto de dados. Mas, a informação contida fornecida pelas medidas de posição necessita em geral ser complementada pelas medidas de dispersão. Estas servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto de valores. As medidas de dispersão que nos interessam são:
a amplitude total;
o desvio-padrão;
a variância;
e o coeficiente de variação.
As medidas de tendência central como a média, ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de números, não pode por si mesma destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto.
Observe os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:
X: 5, 5, 5, 5, 5. Y: 3, 4, 5, 6, 7. Z: 5, 0, 10, 8, 2.
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtem-se: 5 .
Chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno do valor da média, pode-se dizer que o conjunto Xi apresenta dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto yi apresenta uma dispersão ou variabilidade menor que o conjunto zi.
OBS: Quanto maior as medidas de dispersão, mais heterogêneos são os dados, e ao contrário, quanto menor essas medidas, mais homogêneo o conjunto.
Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua média, é necessário recorre às medidas de dispersão. 
5.1 Amplitude total (H): a amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado:
H =
OBS: A amplitude só leva em conta dois valores de todo o conjunto de dados e, assim, seria mais conveniente considerarmos uma medida que utilizasse todas as observações. Uma ideia inicial é considerar o desvio de cada observação em relação a média aritmética do conjunto de dados. Daí surgem as outras medidas de variabilidade.
A amplitude total e o desvio médio também são medidas de variação, no entanto a variância e o desvio padrão levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo sem utilizar a ideia de módulo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e os mais empregados.
Definição de Desvio: o desvio é definido como sendo a distância entre qualquer valor do conjunto de dados em relação a média aritmética do conjunto de dados. Existem várias medidas de dispersão que envolvem os desvios, são elas: o desvio-padrão, a variância e o coeficiente de variação.
5.2 Desvio-Padrão (S): o desvio-padrão é a medida mais usada na comparação de diferenças entre grupos, por ser mais precisa e estar na mesma medida do conjunto de dados. Ele determina a dispersão dos valores em relação a média. Sua formulação é dada pela raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios, ou seja:
=( amostral )
onde, é cada uma das observações do conjunto de dados, é a média do conjunto de dados e n é o número total de observações do conjunto de dados.
 (populacional )
 5.3 – Variância ( ² ou s² ) 
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente.
 A variância nada mais é do que o valor do desvio-padrão elevado ao quadrado, ou seja,:
- Dados não agrupados:
 ( amostras)
- Dados agrupados:
 ( população )
 
 ( amostra )
 
Tanto o desvio padrão como a variância são usados como medidas de dispersão ou variabilidade. O uso de uma ou de outra dependerá da finalidade que se tenha em vista.
A variância é uma medida que tem pouca utilidade na estatística descritiva, porém, é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.
OBS: A variância não é uma medida conveniente de ser usada pois expressa o seu resultado numa medida ao quadrado. Portanto, não vamos trabalhar com esta medida constantemente.
EXEMPLOS:
Exemplo 1 : Considere o conjunto de valores da variável populacional x:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
1º ) Calcula-se a média = = = 53
2º) Calcula-se os desvios
3º) Calcula-se o quadrado dos desvios e , em seguida, soma.
4º ) Divide pela quantidade de elementos menos 1
5º ) Extrai a raiz quadrada
 = = = 
	xi
	xi 
	( xi )2
	40
	13
	169
	45
	8
	64
	48
	5
	25
	52
	1
	1
	54
	1
	1
	62
	9
	81
	70
	17
	289
	total
	0
	630
Exemplo 2: Calcule o desvio padrão, dados os valores da população: 
8, 10, 11, 15, 16, 18	 R: = 3,56 
Dados Agrupados
 – Sem intervalo de classe
Exemplo3: Calcule o desvio padrão da seguinte distribuição amostral:
	Xi
	fi
	Xi fi
	
	0
	2
	0
	
	1
	6
	6
	
	2
	12
	24
	
	3
	7
	21
	
	4
	3
	12
	
	
	30
	63
	
R: s = 1,06
 – Com intervalos de classe
Exemplo: Calcule o desvio padrão da tabela abaixo.
SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS
 FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 
	Salários semanais (R$)
	Freqüências
	
	150 |--- 154
	4
	
	154 |--- 158
	9
	
	158 |--- 162
	11
	
	162 |--- 166
	8
	
	166 |--- 170
	5
	
	170 |--- 174
	3
	
	Total
	40
	
FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL 
R: s = R$ 5,64
 As fórmulas apresentadas abaixo, para o cálculo do desvio padrão, só não são o método usualmente mais prático, como também mais preciso. Quando a média não é exata e tem de ser arredondada, cada desvio fica afetado ligeiramente do erro, devido a esse arredondamento. O mesmo acontece com os quadrados, podendo os resultados do cálculo ser menos exatos.
5.1.1 - Propriedades
1º) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante ( c ) a (de) todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera:
		
2º) Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante:
 ou 
3º) Em se tratando de uma distribuição normal, observa-se que entre os limites proporcionados por:
 , estão contidas cerca de 68% das informações;
 2, estão contidas cerca de 95% das informações;
 3, estão contidas cerca de 99% das informações.
5.4 – Coeficiente de Variação ou CV ( para população ou g para amostras )
É definido como o quociente entre o desvio-padrão e a média. É freqüentemente expresso em porcentagem. (Ele mede o “grau” de variabilidade do conjunto de dados).
 x 100
Vamos exemplificar o cálculo da amplitude, do desvio-padrão, da variância e do coeficiente de variação utilizando os mesmos exemplos anteriores (aqueles utilizados para exemplificar as medidas de posição).
- Dados não-agrupados 
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, pede-se calcular a amplitude, o desvio-padrão (S), a variância () e o coeficiente de variação (cv).
Solução:
Amplitude: 
R= 18 – 10 = 8 litros de leite
ou seja, a maior variação do número de litros de leite produzidos por dia pela vaquinha A é de 8 litros.
 OBS: Sabemos que a média para estes dados é: = 14 litros de leite por dia 
Desvio-padrão:
==
 
Variância:
	
Coeficiente de variação:
	 ou seja, existe uma variabilidade de 18,93% dos dados em relação a média. 
Dados agrupados 
Exemplo 1: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos,tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:
	
Nº de meninos ()
	
	
	
	
	0
	2
	(0-2,3)=-2,3
	
(-2,3)=5,29
	2(5,29)=10,58
	1
	6
	(1-2,3)=-1,3
	
(-1,3)=1,69
	6(1,69)=10,14
	2
	10
	(2-2,3)=-0,3
	
(-0,3)=0,09
	10(0,09)=0,9
	3
	12
	(3-2,3)=0,7
	
(0,7)=0,49
	12(0,49)=5,88
	4
	4
	(4-2,3)=1,7
	
(1,7)=2,89
	4(2,89)=11,56
	
	
34
	
	
	
=39,06
Calcule a amplitude, o desvio-padrão (S), a variância () e o coeficiente de variação (cv).
Solução:
Amplitude: R= 4 – 0 = 4 meninos, ou seja, a maior variação encontrada neste conjunto de dados é de 4 meninos.
OBS: Sabemos que a média para este conjunto de dados é =2,3 filhos
Desvio-padrão:
==
O número médio de filhos homens por família de 4 filhos é de 2,3 com uma variabilidade de aproximadamente 1 filho, ou seja, a maior parte das famílias com 4 filhos têm entre:
2,3 1 = (1,3 e 3,3) (1 e 3) filhos homens.
Variância:
Coeficiente de variação:
 ou seja, existe uma variabilidade de 47,30% dos dados em relação a média. (variabilidade alta).
Exercício: Calcule o coeficiente de variação entre altura e peso:
Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
 s
 
 Estaturas 175 cm 5,0 cm
								
 Pesos 68 kg 2,0 kg
Resp: g1 = 2,86% < g2 = 2,94%
7
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