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INSTITUTO PEDAGÓGICO DE MINAS GERAIS Metodologia do Ensino de Matemática Coordenação Pedagógica – IPEMIG Belo Horizonte 2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................................... 3 CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA ..................................................... 5 ALGUNS PERÍODOS IMPORTANTES PARA A EVOLUÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA ....... 11 RECURSOS METODOLÓGICOS.................................................................................................................... 19 OS CONTEÚDOS NOS ENSINOS FUNDAMENTAL E MÉDIO ................................................................. 54 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................................................. 66 REFERÊNCIAS .................................................................................................................................................. 67 3 INTRODUÇÃO O conteúdo da Matemática é preocupante para todos. Pesquisas (Gracias, 2000; Grinspun, 2001; entre outros) indicam a preocupação dos educadores em relação ao ensino e, fazer com que os professores pratiquem novas metodologias em suas aulas, fazendo com que os alunos não temam ao ensino de um determinado conteúdo, já que sabemos que algumas pessoas temem a Matemática desde o início de seus estudos no ensino fundamental, e desenvolvem um repelente por esta Ciência para a vida toda. Sabemos que a Matemática não deveria ser vista como uma disciplina temerosa, por ter muitas aplicações e se comportar um amplo campo de relações, regularidades e coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. A Matemática faz parte da vida de todas as pessoas, notada nas mais simples experiências como contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, pagamentos e consumo, na organização de atividades como agricultura e pesca. A Matemática se apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade. . Diante dessas experiências vividas por todos, nós, educadores, temos que fazer a nossa parte para reverter este quadro. Mas, como? A resposta não é simples. Mas é possível embasar nossas aulas em objetivos claros e fazer com que o aluno sinta que a disciplina é importante para a vida dele... De que forma, vamos fazer isto? Aprender com nossos alunos talvez seja um bom começo. E também, antes de entrar em sala de aula, entender os objetivos que estão nos levando até ali. Veremos, então, como os Parâmetros Curriculares Nacionais entendem o ensino de Matemática e podem auxiliar os professores em suas aulas. Ao entender que uma das principais características da Matemática é a necessidade que a população apresentou desde a Antiguidade, é possível mostrar uma Matemática concreta, sem esquecer da importância da abstração. A abstração matemática revela-se no tratamento de relações quantitativas e de formas espaciais. 4 Enfim, são tantas as aplicações e funções que a Matemática exerce que não teriam páginas suficientes deste módulo para mostrar o que realmente esta ciência significa para a humanidade.. Questões a serem refletidas: 1) Qual o papel do professor quanto à cidadania? E a do aluno? 2) Como desenvolver a criatividade dos alunos? 3) O que fazer para que o aluno conheça diversas fontes de informação e saber criticá-las? 5 CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA Meta: refletir sobre os objetivos gerais e específicos para a disciplina de Matemática. Objetivos: Ao final desta unidade o aluno deverá: - entender a finalidade do Ensino Fundamental; - entender os objetivos da Matemática no Ensino Fundamental, e estender tais objetivos para níveis posteriores; - refletir sobre as dificuldades que os professores têm em alcançar os objetivos propostos pelos PCNs. Considerações iniciais sobre o ensino de Matemática O ensino da Matemática no Brasil, que nos seus primórdios se restringia ao contar, passou por diversas mudanças, na tentativa de suprir uma demanda social, como no caso da massificação do ensino primário no processo de industrialização; e na busca de modernização junto aos avanços advindos das diversas áreas de conhecimento, como a psicologia e a filosofia, o que resultou em alterações no direcionamento das ações, passando do enciclopedismo ao tecnicismo, da matemática moderna a um misto de formalismo e tecnicismo. Deste modo, o Ministério da Educação e Cultura lançou em 1997 os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e os Parâmetros Curriculares nacionais do Ensino Médio (PCNEm). Estes documentos auxiliam no ensino de diversas disciplinas no Ensino Fundamental, funcionando como um norteador em nossas disciplinas. Encontramos a disciplina de Matemática no volume 3 dos PCNs, em que inicia mostrando os objetivos gerais deste grau, com a finalidade que o aluno consiga no Ensino Fundamental: Compreender a cidadania diante da participação social e política, assim como exercício dos direitos e deveres políticos, civil e social, adotando no dia-a-dia, 6 atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças, respeitando o outro e exigindo para si o mesmo respeito; Um comentário que aqui se faz necessário é sobre a importância de debates em sala de aula, que devem existir para estimular os alunos. A confecção de cartazes sobre o tema na própria sala de aula, que é uma atividade lúdica e com garantia de sucesso e, o assunto deve se estender a todas as disciplinas. Outros objetivos: Posicionar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas diferentes situações sociais, utilizando o diálogo como forma de mediar conflitos e de tomar decisões coletivas; Conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais, materiais e culturais como meio para construir progressivamente a noção de identidade nacional e pessoal, além de um sentimento de pertinência ao País; Conhecer e valorizar a pluralidade do patrimônio sociocultural brasileiro, bem como aspectos socioculturais de outros povos e nações, posicionando-se contra qualquer discriminação baseada em diferenças culturais, de classe social, de crenças, de sexo, de etnia ou outras características individuais e sociais; Perceber-se integrante, dependente e agente transformador do ambiente, identificando seus elementos e as interações entre eles, contribuindo ativamente para a melhoria do meio ambiente; Desenvolver o conhecimento ajustado de si, e o sentimento de confiança em suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na busca de conhecimento e no exercício da cidadania; Conhecer e cuidar do próprio corpo, valorizando e adotando hábitos saudáveis como um dos aspectos básicos da qualidade de vida e agindo com responsabilidade em relação à sua saúde e à saúde coletiva; Utilizar as diferentes linguagens — verbal, matemática, gráfica, plástica e corporal — comomeio para produzir, expressar e comunicar suas idéias, interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação; 7 Saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos; Questionar a realidade, formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação. Mesmo diante dos objetivos a serem alcançados no Ensino Fundamental, e a vontade de fazer os alunos se entusiasmarem com a disciplina e, querendo vencer em cada desafio da sala de aula, ainda nos deparamos com situações difíceis de resolver. Existem alunos que dificultam nossa maneira de lecionar, devido à indisciplina, e sabemos que precisamos cumprir o conteúdo, e para piorar, estes só prestam atenção quando não é para fazer alguma tarefa relativa ao conteúdo. Ao oferecer jogos de Matemática em sala, jogam mecanicamente, mas no momento de formalizar o conteúdo não correspondem ao que pedimos. Estamos diante de um quadro enfrentado pela autora, e por muitos professores de Matemática. E, para isso, é importante refletirmos sobre a ação de cada dia, e como podemos melhorar nossa didática no ensino de Matemática. Um dos aspectos que os PCN’s aborda é que “A Matemática precisa estar ao alcance de todos e a democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do trabalho docente”. E, ao seguir este enfoque é que os professores se decepcionam por querer ensinar e não conseguir devido ao desinteresse dos alunos. O interesse destes alunos pode estar ligado a algum dos conteúdos da Matemática. Nem os professores de Matemática gostaram de todas as disciplinas de suas graduações como Álgebra Linear, Análise e Equações Diferenciais Aplicadas; portanto os alunos podem não diferir muito dessa situação. A questão é fazê-los gostar de pelo menos algum dos conteúdos para que fique mais fácil para sua aprendizagem e, seguindo outro aspecto do PCNs: “A atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade” . Tendo em vista a experiência de uma aluna que fazia Licenciatura em Matemática, e já era professora em uma sala 8 de filhos de agricultores que gostavam somente de assuntos ligados ao plantio. Ela propôs aos alunos fazer um planejamento através de tabelas e, através disso analisar o índice de vendas, prejuízos e ganhos no mês. Os alunos fizeram isso e ensinaram aos pais, com a finalidade de aplicarem em seus rendimentos. Há muitos conteúdos da Matemática que podem interessar aos alunos, a questão é conhecer o que interessa ao estudante. A impressão que temos que a resposta é NADA. Mas, espero que a nossa impressão esteja equivocada, pois eles não conhecem todos os conteúdos para saber que não gostam de Matemática. É a mesma coisa que posso perguntar ao leitor: “Gosta de badmint?” Se você ainda não conhece este jogo que é uma modalidade dos Jogos Panamericanos, você nem tem a idéia de como é. É só experimentando para saber... e Matemática também. Observe outro aspecto do PCNs: “No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a “escrever” sobre Matemática, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados”. O que este aspecto está abordando é a importância da Estatística no ensino de Matemática e as várias aplicações que ela desenvolve. Algumas experiências frustrantes na docência é escutarmos dos alunos a famosa frase “Quem inventou a Matemática?” ou “Eu vou matar quem inventou a Matemática” somos abordados por questões que mostram a indignação sobre o assunto, e percebe-se que eles não estão vendo significado naquele conteúdo, como se a Matemática tenha sido inventada e hoje só estamos vendo o que foi criado, sem que seja avisado que ainda continuam as pesquisas na área e novos conhecimentos continuam a ser desenvolvidos. E mais uma vez os PCNs podem nos nortear sobre esta situação: “O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução. O contexto histórico 9 possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo”. Nessas situações, voltamos a refletir sobre nossas ações, e a recorrer a recursos didáticos para que, voltando ao objetivo principal deste capítulo, fazer o aluno a interessar-se por algum dos conteúdos, e tentamos os... “Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da atividade matemática”. (BRASIL, 1998) Existem muitas atividades lúdicas e os jogos despertam muito interesse nos alunos, dedicaremos uma parte da unidade para mostrar alguns tipos de jogos em diversos níveis. OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO DA MATEMÁTICA Nos Parâmetros Curriculares Nacionais há alguns objetivos gerais que orientam o ensino fundamental. Aqui veremos que alguns destes objetivos continuam no ensino médio e superior, como: Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos, do ponto de vista do conhecimento, e estabelecer o maior número possível de relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente; 10 Resolver “situações-problema”, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas; Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares; Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções. Atividade de Aprofundamento 1) Em um dos objetivos gerais dos PCNs encontramos: “Desenvolver o conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento de confiançaem suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na busca de conhecimento e no exercício da cidadania”; Desenvolva um roteiro de aula de uma semana para que algum conteúdo de Matemática atenda a este objetivo. Discuta as prováveis dificuldades a serem enfrentadas, e como enfrentá-las. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 11 ALGUNS PERÍODOS IMPORTANTES PARA A EVOLUÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA Meta: Conhecer alguns períodos importantes do ensino de Matemática, fazendo uma ligação das dificuldades anteriores com as atuais. Objetivo: Conhecer o movimento da Matemática Moderna; Entender as preocupações com o ensino de Matemática em outras épocas; Refletir sobre a evolução do ensino de Matemática; Reflexão sobre a implantação dos temas transversais na prática docente. Alguns períodos importantes na evolução do ensino de Matemática Entender o que acontece no ensino de Matemática atualmente é importantíssimo para os profissionais da área para o entendimento da real situação atual do ensino. De acordo com Schubring, 1999, (apud Lorenzato & Fiorentini, 2001): “a Matemática foi a primeira das disciplinas escolares a deflagrar um movimento internacional de reformulação curricular no final do século XIX o desenvolvimento da formação de professores secundários atribuído à iniciativa das universidades européias”. No início do século XX, ocorreu movimento supracitado na Alemanha sob a liderança do matemático Felix Klein. Outro fator importante foi o envolvimento de psicólogos americanos e europeus ao realizarem pesquisas sobre o modo como as crianças aprendiam a Matemática. Mas, as pesquisas voltadas para o ensino de Matemática deram um salto significativo a partir do “Movimento da Matemática Moderna”, ocorrido em meados da década de 60. Este movimento surgiu de um lado motivado pela Guerra Fria, entre Rússia e Estados Unidos e, de outro, como 12 resposta à constatação após a 2º Guerra Mundial, de uma considerável defasagem entre o progresso científico-tecnológico e o currículo escolar, então vigente. Em 1958, a Sociedade norte-americana de Matemática, por exemplo, optou por direcionar suas pesquisas ao desenvolvimento de um novo currículo escolar para a disciplina. Surgiram então vários grupos de pesquisa envolvendo matemáticos, educadores e psicólogos, como o School Mathematics Study Group, que se notabilizou pela publicação de livros didáticos e pela disseminação do ideário modernista para além das fronteiras norte-americanas, atingindo também o Brasil (Lorenzato & Fiorentini, 2001). A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito numa política de modernização econômica, e foi posta na linha de frente por se considerar que, juntamente com a área de Ciências Naturais, constituía-se uma via de acesso privilegiada para o pensamento científico e tecnológico. Dessa forma, o conteúdo a ser ensinado era aquele concebido como lógico, compreendido a partir das estruturas, e conferia um papel fundamental à linguagem matemática. Os formuladores dos currículos dessa época insistiam na necessidade de uma reforma pedagógica, incluindo a pesquisa de materiais novos e métodos de ensino renovados, fato que desencadeou a preocupação com a Didática da Matemática, intensificando a pesquisa nessa área. Ao olhar sob este aspecto, é importante refletir que apesar das reformas iniciadas desde a década de 60 ainda temos um ensino marcado pela técnica de mostrar como se faz o problema, os alunos, então, memorizam a forma, e repetem o procedimento nas futuras tarefas. Atualmente, ainda encontramos aulas baseadas na memorização de fórmulas e repetição de formas de fazer o problema. E como modificar isso? No Brasil, a Matemática Moderna foi veiculada principalmente pelos livros didáticos que teve, e ainda tem grande influência na prática docente. O movimento Matemática Moderna teve seu refluxo a partir da constatação da inadequação de alguns de seus princípios e das distorções ocorridas na sua implantação. O movimento continuou durante algumas décadas e a partir de 1980, o documento apresentado pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), dos Estados Unidos, apresentou recomendações para o ensino de Matemática “Agenda para 13 Ação”, o qual enfocava a resolução de problemas como metodologia do ensino da Matemática nos anos 80. Também a compreensão da relevância de aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos, na aprendizagem da Matemática, imprimiu novos rumos às discussões curriculares. Essas idéias influenciaram as reformas que ocorreram mundialmente, a partir de então foram desenvolvidos os seguintes focos no ensino de Matemática: Direcionamento do ensino fundamental para a aquisição de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores; Importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento; Ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas; Importância de se trabalhar com um amplo espectro de conteúdos, incluindo- se, já no ensino fundamental, elementos de estatística, probabilidade e combinatória, para atender à demanda social que indica a necessidade de abordar tais assuntos; Necessidade de levar os alunos a compreenderem a importância do uso da tecnologia e a acompanharem sua permanente renovação. Porém, mesmo com idéias para fortalecer a prática docente, ainda temos muitos problemas em sala de aula. Tais problemas podem ocorrer devido à formação dos professores, no tocante ao direcionamento de suas aulas baseadas somente em livros didáticos e não acreditem que os conteúdos são veículo para o desenvolvimento de idéias fundamentais (como as de proporcionalidade, equivalência, etc.) e devam ser selecionados levando em conta sua potencialidade quer para instrumentação para a vida, quer para o desenvolvimento do raciocínio. Nos PCN’s, encontramos o seguinte alerta: “Quanto à organização dos conteúdos, é possível observar uma forma excessivamente hierarquizada de fazê-lo. É uma organização, dominada pela idéia de pré-requisito, cujo único critério é a definição da estrutura 14 lógica da Matemática, que desconsidera em parte as possibilidades de aprendizagem dos alunos. Nessa visão, a aprendizagem ocorre como se os conteúdos se articulassem como elos de uma corrente, encarada cada um como pré-requisito para o que vai sucedê-lo”. Sabemos, no entanto, que temos uma lista de conteúdos a cumprir, e que o tempo é curto, além de existir uma apostila obrigatória. Por tudo isso, a mudança de ordem de conteúdos se torna complicado E, também lembrando que, o tempo é restrito e que irá atrasar a apostila. Mas, temos a autonomia de poder despertar o interesse dos alunos sobre outros temas que permeiam a apostila. E, se asituação é esta, podemos trabalhar entre o despertar do interesse dos alunos em outros assuntos, independente do conteúdo imposto pela apostila. Então, que tal dar uma “escapadinha” da ementa com uma finalidade séria de despertar outros interesses nos alunos? O “conhecimento prévio” deveria ser uma das maiores preocupações docentes, porém, na maioria das vezes, subestimam-se os conceitos desenvolvidos no decorrer da atividade prática do aluno, de suas interações sociais imediatas, e parte-se para o tratamento escolar, de forma esquemática, privando os alunos da riqueza de conteúdo proveniente da experiência pessoal. E trazer o cotidiano do aluno em sala não é tarefa fácil, deve-se pesquisar para entender o mundo em que ele está vivendo. Notamos, então, que existem problemas antigos e também novos, a serem enfrentados em sala de aula são antigos e novos, tarefa que requer operacionalização efetiva das intenções anunciadas nas diretrizes curriculares dos anos 80 e início dos 90, e a inclusão de novos elementos à pauta de discussões. Não é apenas o currículo que aflige a nossa prática, nem apenas a nossa formação. As preocupações atuais atingem um patamar inesgotável de questões sobre ensino, por exemplo, a pluralidade de etnias existente no Brasil, que dá origem a diferentes modos de vida, valores, crenças e conhecimentos, e que se apresenta à nossa carreira como um desafio interessante. O papel que a Matemática desempenha na formação básica do cidadão brasileiro deveria ser um dos principais focos em nossa aula. Falar em formação 15 básica para a cidadania significa falar da inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura, no âmbito da sociedade brasileira. Uma maneira interessante de fazê-los pensar sobre a cidadania, é a atividade de recortar as figuras que envolvem uma realidade ruim e uma realidade boa em revistas e jornais. Neste instante conheceremos o que é ruim para o aluno, e assim, podemos trabalhar os direitos e deveres dos alunos, mostrando novas perspectiva a ele no intuito de melhorar sua vida, falando do trabalho que se pode exercer para modificar sua realidade. Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e lingüagens (que vão além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de assimilação rápida de informações, resolvendo e propondo problemas em equipe. Para tanto, o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios. É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento de seu raciocínio, de sua capacidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação. Diante das reformulações vistas no ensino de Matemática, chegamos à época atual. Época de difícil (mas não impossível) alcance dos objetivos do ensino desta disciplina. Época também que podemos fazer nossas aulas baseadas em projetos que envolvam temas atuais, como sugere os PCNs. Os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a possibilidade de organizar os conteúdos, de forma a lhes conferir significado. É importante identificar que tipos de projetos exploram problemas cuja abordagem pressupõe a intervenção da Matemática. Os temas a serem tratados são: Ética – trabalhar a atitude dos alunos em determinados temas como política, preconceito, vida solidária, etc.. 16 Orientação Sexual - mostrar num mesmo patamar os papéis desempenhados por homens e mulheres na construção da sociedade contemporânea, onde ainda encontra barreiras ancoradas em expectativas Ao ensino de Matemática cabe fornecer os mesmos instrumentos de aprendizagem e de desenvolvimento de aptidões a todos, valorizando a igualdade de oportunidades sociais para homens e mulheres. Meio Ambiente - é possível trabalhar interdisciplinarmente o quanto a quantificação de aspectos envolvidos em problemas ambientais favorece uma visão mais clara sobre eles, auxiliando em decisões, como a utilização de recursos naturais, desperdício (médias, áreas, volumes, proporcionalidade, etc.) e procedimentos matemáticos (formulação de hipóteses, realização de cálculos, coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, prática da argumentação, etc.). Saúde - os dados estatísticos permitem o estabelecimento de comparações e previsões, que contribuem para o autoconhecimento. Possibilitam, também o auto-cuidado e ajudam a compreender aspectos sociais relacionados a problemas de saúde. Pluralidade Cultural - a construção e a utilização do conhecimento matemático não são feitas apenas por matemáticos, cientistas ou engenheiros, mas, de formas diferenciadas, por todos os grupos socioculturais, que desenvolvem e utilizam habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, representar, jogar e explicar, em função de suas necessidades e interesses. É aqui que a Etnomatemática pode auxiliar a entender a construção do conhecimento matemático por todos os grupos. O Programa Etnomatemática contrapõe-se às orientações que desconsideram qualquer relacionamento mais íntimo da Matemática com aspectos socioculturais e políticos — o que a mantém intocável por fatores outros, a não ser sua própria dinâmica interna. Do ponto de vista educacional, procura-se entender os processos de pensamento, os modos de explicar, de entender e de atuar na realidade, dentro do contexto cultural do próprio indivíduo. A Etnomatemática procura partir da realidade e chegar à ação pedagógica de maneira natural, mediante um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural. 17 Assim, se o intuito do pesquisador é conhecer a Matemática indígena, ele conhece e propõe a troca de conhecimento com a Matemática ocidental, e se há este interesse, então as duas culturas ficam em contato com os conhecimentos novos. Há um respeito ao que o grupo quer aprender. Segundo Monteiro (in Ribeiro, 2004) a Etnomatemática é uma “proposta educacional e filosófica comprometida com grupos menos favorecidos...”. Mas, há uma preocupação com todos os grupos, como por exemplo, o conhecimento matemático que os médicos cardiovasculares trazem consigo durante uma cirurgia (Shockey, 2002) Notamos, então, que é possível enriquecer as aulas, despertando o interesse de como é a Matemática de diversas e diferentes etnias, como por exemplo, a Matemática indígena. A Etnomatemática é uma nova forma de enxergar a Matemática, podendo tornar-se uma metodologia alternativa se, o professor junto aos alunos pesquisarem o conhecimento matemático de diferentes grupos. E, percebemos então, a evolução do ensino de Matemática em alguns períodos citados. É lógico que o assunto não esgota neste momento, há outros períodos tão importantes quanto estes a serem discutidos. Mas, os citados já nos levam a refletir como o ensino de Matemática é atualmente e como fazer para melhorá-lo. Talvez o novo foco etnomatemático seja uma boa opção e/ou a adoção de outros recursos metodológicos como mostra a unidade seguinte. 18 Atividade de Aprofundamento 1) Quais as principais preocupações que permearamo ensino de Matemática durante os períodos citados? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 2) Observem a história que envolve duas alunas e a professora, simbolizemos os nomes como sendo Lili e Lulu e a professora como Lalá. _ Lalá, quero te contar que amassei o carro do ex-namorado de Lulu, bem-feito para ele, ninguém mandou que ele fique saindo com a Fifi.- falou Lili A professora não gostando daquela situação, argumentou: _ Não pode, Lili, vocês não podem se rebaixar a esse nível. Devemos ter um comportamento acima dessa situação. Imagine o que o garoto poderia fazer com você, se ele descesse do carro? _ Amassei mesmo, bem-feito... Como a professora poderia trabalhar esse assunto utilizando os temas transversais e envolvendo a sua disciplina, a Matemática? _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 19 RECURSOS METODOLÓGICOS Meta: Conhecer caminhos para “fazer Matemática” na escola. Objetivos: Investigas algumas alternativas metodológicas. Como: Resolução de problemas; História da Matemática; Tecnologias na área Educacional; Jogos. Recursos Metodológicos Nesta unidade, estudaremos alguns recursos metodológicos encontrados na literatura da área. Também podemos encontrar sugestões de recursos para o “fazer Matemática em sala de aula” nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Estudaremos, então, alguns recursos como: Resolução de Problemas, História da Matemática, Tecnologias Educacionais e Jogos, sem colocar em questão se um jogo é uma tecnologia educacional, ou mesmo se alguns jogos são problemas que despertam no aluno o interesse em sua resolução Como tudo é relativo, não nos ateremos a esse mérito: se o jogo é uma tecnologia, pois a questão é mais complexa: conseguiremos melhorar o ensino de Matemática. De qual forma?? Os jogos despertam interesses nos alunos? Até que ponto este interesse faz com que os alunos aprendam algebricamente o conteúdo? Questões como essas, fazem-nos estudar tais recursos para que nas aplicações em sala de aula, possamos alcançar nossas metas. Resolução de problemas Tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos, adquiridos anteriormente pelos alunos. A prática mais freqüente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de 20 empregar o que lhes foi ensinado, o que mais parece uma receita de bolo. Será que não podemos levar o aluno até a quadra de esportes da escola para visualizarem as formas geométricas? Ou fazer uma roda no pátio da escola e discutir os problemas financeiros que afetam o país? São habilidades que a matemática pode desenvolver também, apesar de saber que em algum momento teremos que ensinar a Fórmula de Bhaskara na resolução de equação do segundo grau. O saber matemático não se apresenta ao aluno como um sistema de conceitos, que lhe permite resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Ao colocar em foco a resolução de problemas, o que se defende é uma proposta que poderia ser resumida nos seguintes princípios: Situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e, a estruturar a situação que lhe é apresentada; Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros problemas, o que exige transferências; O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas; A resolução de problemas é uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. Diante dos itens indicados nos PCNs, há uma importante reflexão: será fácil aplicar a resolução de problemas em nossas aulas, sem confundir com aqueles problemas que vem no final do capítulo e que os alunos têm repugnação? Não é tão fácil, mas é possível se tivermos um entendimento sobre tal metodologia. O problema é: “Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma seqüência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la” (BRASIL, 1997, p. 44). 21 O aluno tem que se sentir desafiado e, como tudo é relativo, pode ser que o que é desafiante para um, não é para outro, de acordo com o nível intelectual de conhecimento. Resolver um problema pressupõe que o aluno: Elabore um ou vários procedimentos de resolução; Compare seus resultados com os de outros alunos; Valide seus procedimentos. Certa vez, houve uma gincana em um colégio e, os alunos tinham que descobrir o motivo da formação da seguinte seqüência: 1, 2, 3, 4, 11, 13, 15, 19, 80, 90, 91, 104,800 Percebemos as crianças tentando resolver esta seqüência e descobrir como foi formada. Aproveitamos então, para ensinar Progressão Aritmética e Geométrica para os alunos do ensino fundamental. Mas, de nada adiantava resolver o enigma, até que alguns alunos observaram como se escreve os numerais: Um Dois Três Quatro Onze Treze Quinze Dezenove Oitenta Noventa Noventa e um Cento e quatro 22 Oitocentos A primeira letra de cada palavra está em negrito para o leitor visualizar que o número um começa com uma Vogal e as três palavras seguintes começam com consoante e, a próxima com vogal, então a seqüência é: V C C C V C C C V C C C V Os alunos se entusiasmaram por montarem suas próprias seqüências e seus amigos descobrirem. Percebemos, então, o quanto é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr em prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a solução. História da Matemática A História da Matemática, mediante um processo de transposição didática e, juntamente com outros recursos didáticos e metodológicos, pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática. Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns questionamentos e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento. Sabemos quais atividadesos alunos gostam de desenvolver, podemos, então, fazê-los procurar o site mais bonito e o mais feio sobre História da Matemática, e, daí falarem sobre o assunto do site. Uma experiência como esta fez com que os alunos dessem risada de suas explorações na web. Seminários também são utilizados para falar sobre História da Matemática, confecção de cartazes na sala de aula é outra idéia que a autora sempre defende para entusiasmar o aluno a estudar Matemática enquanto desenvolve seu senso artístico. Abaixo veremos as Histórias de alguns ramos da Matemática: 23 História da Geometria As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, encontramos grandes matemáticos: Arquimedes, Apolônio, Euclides, e algumas obras importantes como o resumo feito por Proclo, que comenta os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., e refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito. Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas, enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de “seita filosófica”, que envolvia sob mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados ou axiomas) para construir de maneira lógica todo o restante. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles servem de base para toda Geometria chamada “euclidiana”, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não- euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides. As primeiras unidades de medida referiam-se, direta ou indiretamente, ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça entre outros. Mas, sabemos que tais medidas são relativas, então por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento. 24 Tanto entre os sumérios, como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora com bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam como compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos. O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, uma reta perpendicular à outra. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está pré-determinado. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades, respectivamente. O teorema de Pitágoras explica em todo triângulo- retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). Qualquer trio de números, inteiros ou não, que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros. A respeito de medida de superfícies, encontramos na História a responsabilidade dos sacerdotes, encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra e calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Provavelmente através da observação de trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim, nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura. E na descoberta da área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Era preciso tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12, esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado. 25 Quando se deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer. Traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo e, assim, este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Este método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos. Sabemos que, desde então, muitos terrenos passaram a seguir o contorno de um morro, ou o curso de um rio e algumas construções requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Circunferência é a linha periférica do círculo, sendo este uma superfície. Porém, os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência, para ver “quantas vezes” cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim, tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre “cerca” de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28. A história da Geometria explica a área do círculo em aproximadamente 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes refletia diante do desenho de um círculo, no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura. Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área 26 caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ouaproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14. Figura 1 O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram- no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome possui cerca de duzentos anos, e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência. Por volta de 500 a.C., eram fundadas na Grécia as primeiras universidades. Tales e seu discípulo Pitágoras reuniram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à Matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular. Uma dessas figuras foi denominada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. Percebemos, portanto, que desde os tempos da antiga Grécia, a 27 Geometria sempre foi uma ciência aplicada. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção. História da Álgebra A palavra Álgebra é uma variante latina da palavra de origem árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825, pelo matemático árabe Mohammed ibn- Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de Álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr. Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"-ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação: x 2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5 * 3 x 2 + 7x + 4 = 4 + 5 *3 x 2 + 7x = 5*3 Pode ser que a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações". Ainda que originalmente a palavra "álgebra" refira-se a equações, ela possui um significado muito mais amplo. Uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las. (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas. 28 A fase antiga (elementar), que abrange, aproximadamente, o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais, em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603). O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É importante perceber que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo em que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução que consistia em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome de "regra da falsa posição". O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número, antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações. A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides, era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4: 29 Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 É bem provável que, para os gregos da época de Euclides, o símbolo a2 representava realmente um quadrado e não há dúvidas de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrado esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, observe o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima. Figura 2 Do livro VI. dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada): Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado]. Figura 3 Segundo se sabe, os gregos tinham certa dificuldade conceitual com frações e números irracionais. Mesmo sendo, os matemáticos gregos capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades 30 insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diagonal/lado é diferente da razão de dois inteiros). Desse modo, o estrito rigor matemático os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expressa em termos de inteiros, ou suas razões, pode- se representá-la como um segmento de reta que é, precisamente, a diagonal do quadrado unitário. É importante mencionar Apolônio ( 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato,seu grande tratado “Secções cônicas” contém geometria analítica das cônicas. A Matemática grega teve uma parada notável em sua produção, devido a um dos motivos como a ocupação romana que tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram. Na Europa, a renascença e o rápido florescimento da álgebra foram devidos aos seguintes fatores: - facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco; -invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição; -ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens. Cidades fortes no âmbito comercial surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início. 31 Jogos Uma metodologia sempre favorável ao ensino de qualquer disciplina é a inserção de jogos em aula, porém sempre com um objetivo real e inserido ao conteúdo adequado resulta em uma competição saudável e despertadora de interesses. Nos PCNs, encontramos a definição: “o jogo é uma atividade natural no desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um “fazer sem obrigação externa e imposta”, embora demande exigências, normas e controle” Provavelmente, a situação mais produtiva do meio acadêmico é a que envolve o jogo, quer na aprendizagem de noções, quer como meios de favorecer os processos que intervêm no ato de aprender e não se ignora o aspecto afetivo que, por sua vez, se encontra implícito no próprio ato de jogar. Uma vez que o elemento mais importante é o envolvimento do indivíduo que brinca. Pode-se dizer, com base nas características que definem os jogos de regra, que o aspecto afetivo manifesta-se na liberdade da sua prática. Prática esta, inserida num sistema que a define por meio de regras, o que é, no entanto, aceito espontaneamente. Impõem-se um desafio, uma tarefa, uma dúvida, entretanto é o próprio sujeito quem propõe a si mesmo resolvê-los (Silva & Kodoma, 2004). Para Miranda (2001): “Prazer e alegria não se dissociam jamais. O “brincar” é incontestavelmente uma fonte inesgotável desses dois elementos. O jogo, o brinquedo e a brincadeira sempre estiveram presentes na vida do homem, dos mais remotos tempos até os dias de hoje, nas mais variadas manifestações (bélicas, filosóficas, educacionais). O jogo pressupõe uma regra, o brinquedo é o objeto manipulável e a brincadeira, nada mais é que o ato de brincar com o brinquedo ou mesmo com o jogo. Jogar também é brincar com o jogo. O jogo pode existir por meio do brinquedo, se os brincantes lhe impuserem regras. Percebe-se, pois, que jogo, brinquedo e brincadeira têm conceitos distintos, todavia estão imbricados; e o lúdico abarca todos eles” . 32 Percebemos a participação ativa do sujeito sobre o seu saber é valorizado por no mínimo dois motivos: Fato de oferecer uma oportunidade para os estudantes estabelecerem uma relação positiva com a aquisição de conhecimento, pois o conhecer passa a ser percebido como real possibilidade. Valorizar a participação do sujeito na construção do seu próprio saber é a possibilidade de desenvolver seu raciocínio. Os jogos são instrumentos para exercitar e estimular um agir-pensar com lógica e critério, condições para jogar bem e ter um bom desempenho escolar. Um exemplo a ser mostrado é o jogo “STOP”, em que toda criança trabalha com conceitos de: NOME, CIDADE, COMIDA, COR, entre outros, podendo variar entre várias opções, mas aqui podemos utilizar o “STOP” ao nosso favor, com o chamado “STOP MATEMÁTICO”. De acordo com a série é possível utilizar mais conteúdos. As regras são: Trabalhar em duplas, previamente escolhidas pelo professor; As duplas têm que mostrar dois números que de acordo com cada operação resulta no número escolhido pelo professor ou por uma dupla; A pontuação é a mesma do “STOP TRADICIONAL”, Dez pontos para quem coloca os números inéditos, Cinco pontos para empate e nenhum ponto para quem não fez. O professor ou outra dupla escolhe um número e as duplas fazem as operações. Exemplo: O “STOP” a seguir foi aplicado em uma 8ª série: O número: 25 Tabela 1: Exemplo do “STOP MATEMÁTICO” Adição Subtração Multiplicação Divisão Potenciação Radiciação 2+23 28-3 5*5 125/5 5^ 2 225 33 Para crianças menores, os jogos podem ser ações que elas repetem sistematicamente, mas que possuem um sentido funcional (jogos de exercício), isto é, são fontes de significados e, portanto, possibilitam compreensão, geram satisfação, formam hábitos que se estruturam num sistema. Esta repetição funcional também deve estar presente na atividade escolar, pois é importante no sentido de ajudar a criança a perceber regularidades. Os jogos são também, instrumentos de entretenimento para os adultos, mesmo em bancos de universidades, vemos alunos jogando “truco”. Percebemos, então, que apesar de toda a formalidade do ensino superior existe um passatempo, obtido através de um jogo. E por que não aplicar na metodologia de uma aula no ensino superior? O ensino de Probabilidade pode ser iniciado através do baralho. E, através disto, entender qual a probabilidade de sair um rei dentre as cartas de um único jogo de baralho. Algumas pesquisas estão sendo realizadas com intuito de obter mais jogos que visem a melhoria do ensino de Matemática (Silva & Kodoma, 2004; Fanti &Silva, 2004).e aqui destacaremos alguns jogos interessantes: TRAVERSE O jogo Traverse, cujos direitos autorais pertencem a Glacier Games Company (EUA,1991) é comercializado no Brasil, pela UNICEF. Como podemos notar Traverse parece com a palavra atravessar, que, de acordo com o Dicionário Aurélio (1986, p.197), atravessar significa: “(...) passar para o outro lado, transpor”. Essa ação corresponde ao movimento das peças no tabuleiro. Questões como: “Para onde vou?”, “Para onde devo olhar?”, “Qual a direção dos carros?”, “Preciso andar rápido?” são fundamentais para garantir o sucesso do objetivo. Uma análise detalhada e coordenada também deve ser feita para jogar o Traverse. Nesse jogo, as ações futuras devem ser avaliadas a cada momento, uma vez que a relação entre as peças modifica-se, depois que ocorre uma jogada. Assim sendo, realizar uma travessia exige muita atenção para coordenar as partes que compõem o todo (Silva & Kodoma, 2004). 34 Descrição: O jogo é constituído de um tabuleiro quadriculado de 10x10 cm e de 8 peças de cada cor (azuis,amarelas, vermelhas e verdes), sendo: 2 triângulos, 2 losangos, 2 círculos e 2 quadrados. Jogam de dois a quatro parceiros. Objetivo: Mover todas as peças de sua fileira inicial para o lado oposto do tabuleiro (fileira de destino). Regras: 1) Cada jogador escolhe uma cor e coloca suas peças de um lado do tabuleiro (fileira inicial), na ordem que considerar conveniente, sem incluir os cantos. 2) As peças devem ser movidas de acordocom seu formato (losangos e triângulos devem apontar sempre para frente, o que facilita visualizar seus movimentos): quadrados: movem-se vertical e horizontalmente; losangos: têm movimentos diagonais para frente e para trás; triângulos: movem-se nas diagonais somente para frente e na vertical para trás; círculos: podem fazer movimentos em todas as direções. 3) As peças podem ser movidas em um espaço de cada vez, em direção a um espaço vazio; ou com passes curtos ou longos (vide regras 4 e 5). 4) Passes curtos: O jogador pode “pular” por cima de qualquer peça, desde que esta seja vizinha à sua, e a próxima casa, na direção da jogada, possa ser ocupada. As peças “puladas” não são capturadas nem voltam ao início do tabuleiro, servindo apenas como “trampolim” para o salto (exceção feita ao círculo – vide regra 7). 5) Passes longos: O passe pode ter longa distância, passando por cima de uma peça que não esteja adjacente à sua, desde que haja simetria entre os espaços vazios, antes e depois da peça pulada. Mais uma casa que a peça do jogador ocupará ao final do passe. 6) Séries de pulos: O jogador poderá fazer uma série de pulos consecutivos, contanto que cada passe esteja de acordo com as regras do jogo. 35 7) O círculo: se o jogador passar por cima do círculo de um adversário, deverá colocá-lo na fileira inicial, para que recomece sua travessia. Quando o jogador usar seu próprio círculo como trampolim, o círculo deve permanecer onde estava (antes da jogada). 8) Ao chegar à fileira de destino, as peças não podem mais voltar ao tabuleiro nem serem movidas na própria fileira de chegada. 9) O jogo termina quando um jogador conseguir chegar com suas oito peças no lado oposto do tabuleiro. A questão do “jogar” Traverse, não deve simplesmente ficar entre os jogadores, mas o professor deve ser questionador das ações dos jogadores. Para os autores, uma estratégia para a introdução do jogo é: quatro jogadores que conhecem as regras jogarão em local que permita o acompanhamento da partida por todos. Quem o apresenta, coloca-se diante do grupo de modo que todos possam ver o tabuleiro. A colocação das peças e o desenrolar da partida. É conveniente anunciar a proposta, no sentido de localizar o que é para ser observado: material, ações realizadas e o objetivo do jogo. Deve-se sugerir aos observadores que tenham lápis e papel em mãos para registrar tudo o que forem percebendo. Joga-se uma partida até o final, e depois, então, podem ser feitos alguns questionamentos, como por exemplo: 1. Como é o material que você observou? Descreva-o e desenhe-o. 2. Qual é o objetivo do jogo? 3. Faça uma lista das palavras importantes para jogar o “Traverse”. 4. Fale sobre a importância de cada uma das peças e seus movimentos. DOMINÓ DAS QUATRO CORES De acordo com Guzmán (1991), (apud Silva & Kodoma, 2004) o problema que levou à criação do Jogo de Quatro Cores data de 1852, quando Francis Guthrie, recém formado pela Universidade de Londres, percebeu que a maioria dos mapas encontrados em Atlas eram pintados com quatro cores, respeitando-se o critério de não utilizar a mesma cor em territórios adjacentes. Escreveu, então, para o irmão Frederick, ainda aluno da mesma universidade, pedindo uma demonstração matemática deste teorema: quatro cores bastam para colorir qualquer mapa sem que as regiões 36 vizinhas tenham a mesma cor. Frederick encaminhou o problema para o matemático Augustus de Morgan, seu professor, que tentou, em vão, demonstrar o teorema. Por mais de um século, matemáticos e outros estudiosos buscaram, sem sucesso, soluções para o desafio proposto por Guthrie. Algumas teorias tiveram aceitação por muitos anos, mas foram superadas por outras mais abrangentes, não sendo nenhuma delas suficiente para resolver o problema. A solução, em princípio satisfatória, foi dada por Keneth Apple e Wolfgan Haken, professores da Universidade de Illinois, em 1976, depois de seis anos de intensas pesquisas utilizando computador. Mas, como essa solução ainda é questionada, as investigações continuam. Descrição: Seis peças retangulares com lados medindo 3 cm e 9 cm, sendo duas amarelas, duas azuis e duas verdes; seis peças retangulares de lados 3 cm e 6 cm, sendo duas azuis, duas vermelhas e duas verdes; e, seis peças quadradas com lados medindo 3 cm, sendo três azuis, duas vermelhas e uma amarela. Objetivo: Construir um quadrado usando todas as peças. Regra: Peças de mesma cor não se tocam, nem mesmo pelo vértice. Observação: A proposta pode ser desenvolvida de modo cooperativo, onde os jogadores buscam, juntos, a solução do problema, discutindo, analisando as possibilidades e trocando idéias, ou também, na forma competitiva entre dois jogadores, ou dois grupos de jogadores. Os mesmos autores propõem algumas atividades com o jogo: Atividade 1. Cada jogador, ou dupla, à sua vez, escolhe uma peça do monte e a coloca sobre uma base quadrada de 18 cm de lado (em qualquer posição – não precisa ser adjacente à última colocada). Perde o jogo quem, em sua vez, não conseguir colocar uma peça dentro do quadrado, de acordo com a regra. Atividade 2. Para iniciar, os jogadores (ou equipes) escolhem nove peças cada um(a). À sua vez, só poderá colocar uma dentre as peças já selecionadas. O jogo prossegue até que os jogadores (ou duplas) não possam mais colocar peças 37 para formar o quadrado. Na impossibilidade de continuar o jogo, ganha quem ficar com o menor número de peças. Atividade 3. Faça todos os quadrados possíveis usando 3 peças. Anote as soluções obtidas, e verifique se uma delas pode ser obtida da outra por simetria. Atividade 4. a) Escolha uma peça como unidade e determine a área do quadrado obtido na atividade 3. b) Escolha outra peça (com forma diferente da primeira) e refaça o item (a) c) Comparando os resultados obtidos, o que podemos concluir? Outros jogos são propostos em sala de aula, podemos sempre tentar propor alguns jogos na sala para entusiasmar nossos alunos e atingirmos nossas metas. Tecnologias na Área Educacional Etimologicamente, tecnologia provém de técnica (do latim techné), que quer dizer arte ou habilidade. Assim, podemos falar que é uma atividade voltada para a prática. Vargas (apud Grinspun, 1999) propõe um significado para a tecnologia: “(...) aplicação das teorias, métodos e processos científicos às técnicas” Segundo Grispun (1999): “O principal objetivo da tecnologia é aumentar a eficiência da atividade humana em todas as esferas, incluindo a produção. Poderíamos dizer que a tecnologia envolve um conjunto organizado e sistematizado de diferentes conhecimentos científicos, empíricos e até intuitivos voltados para um processo de aplicação na produção e na comercialização de bens e serviços”.(pág.49) Ao se tratar de sala de aula, percebemos a necessidade da inserção de novas tecnologias no meio educacional. Não podemos deixar de considerar que o mimeógrafo já foi uma grande tecnologia inovadora da época, porém, hoje já ultrapassada. 38 Não esqueçamos também da importância do desenvolvimento passo-a-passo de uma fórmula na lousa, talvez (ainda) nada substitua esta metodologia em que o aluno verifica seu conhecimento algébrico transformando-se em outra fórmula generalizada. Mas, podemos inserir, se tivermos acesso, as tecnologias da informação. Sabemos, também, que ainda existem professores que não se sentem e condições de incorporar as Tecnologias da Informação em suas práticas,tendem a encarar com desconfiança e resistência a introdução das novas Tecnologias da Informação e comunicação. Penteado (2000) defende que “para explorar o potencial educacional das Tecnologias Informáticas (TI) é preciso haver mudanças na organização da escola e, particularmente, no trabalho do professor”. A autora citada acima estuda a eficiência da Informática na escola e suas conseqüências, nestas pesquisas concluiu que “É necessário ajustar e/ou eliminar práticas e regras já existentes e concentrar esforços na criação de situações novas”. Quando se refere às tais situações novas diz às normas institucionais, o currículo, a relação com os alunos, com os pais e professores. A mesma autora verifica ainda que devam ocorrer mudanças também quanto ao professor: “...As mudanças envolvem desde questões operacionais – a organização do espaço físico e a integração do velho com o novo–até questões epistemológicas, como z produção de novos significados para o conteúdo a ser ensinado”. São mudanças que afetam a zona de conforto da prática do professor e criam uma zona de risco caracterizada por baixo índice de certeza e controle da situação de ensino”.(pág. 23) Não podemos mais negar que o computador faz parte da vida do nosso aluno fora da sala de aula e, é necessário percebermos as mudanças na sociedade devido a todo tipo de tecnologia. Encontramos nos PCNs, a seguinte orientação: “As técnicas, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas implicações que exercem no cotidiano das pessoas” 39 Já existem muitas escolas utilizando calculadora em suas aulas, já que este instrumento faz parte da realidade da população; Então, é preciso repensar sobre a utilização da calculadora em sala de aula, sempre levando em conta que é preciso fazer contas sem calculadora, depois conferi-las na calculadora, pois nos concursos não podemos utilizá-la. A calculadora, no entanto, ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação. Borba e Penteado (2001) têm estudado esta tendência de incorporação tecnológica no ensino de Matemática e discutem que existem posições favoráveis e contrárias a essa inserção. As posições favoráveis exageram na importância da tecnologia, afirmando que o computador é a solução para os problemas educacionais, e as posições contrárias à informática questionam se essas tecnologias não dificultariam a aprendizagem dos alunos, na condição de meros repetidores de tarefas. Afirmam ainda, que os alunos não desenvolveriam o raciocínio matemático, por ser o mesmo realizado pelo computador. Os autores afirmam que o computador, segundo Pierre Levy, é uma evolução das mídias, que passaram pelas fases de oralidade, pelo “papel-e-lápis” até chegarem à informática. Apontam, também, que existem dois caminhos que podem ser utilizados pelos professores na incorporação das tecnologias na aula de Matemática, o caminho em que tudo é programável e o outro em que pode surgir novas situações que não estão sob o controle do professor, mas juntos podem investigar e achar a solução. Apesar de muitos professores preferirem a aula programada, de modo a correr dentro do previsto, sabe-se que podem ocorrer situações inesperadas, até mesmo na mais perfeita programação. O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de aprendizagem, e como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar ao aluno a aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas, trocando suas produções e comparando-as. Alguns softwares incorporados à sala de aula, como: Cabri-Geométre, Logo e Gerador de Gráficos podem auxiliar muito o ensino. 40 Logo é uma linguagem de programação que foi desenvolvida no Massachusetts Institute of Technology (MIT), Boston, Estados Unidos, por um grupo de pesquisadores liderados pelo professor Seymour Papert. Como linguagem de programação, serve para nos comunicarmos com o computador. E foi desenvolvido por volta de 1968. Conta-se que a idéia surgiu durante um jantar em que estavam Seymour Papert, Wallace Feurzeig (diretor do grupo de Tecnologia Educacional da Bolt, Beranek e Newman – BBN), Cynthia Solomon (pesquisadora pertencente à BBN) e Daniel Bobrow (na época, estudante de pós-graduação do MIT). Nesse jantar alguém propôs a criação de uma linguagem de programação que fosse bastante poderosa e capaz de substituir o Basic. Dessa idéia nasceu Logo, uma linguagem com capacidade de processar listas e de permitir a criação de novos procedimentos. Entretanto, nessa época o Logo não dispunha de capacidade gráfica, já que os computadores daquele período não possuíam essa facilidade. Por meio da sua utilização, e de inúmeras pesquisas, Papert conseguiu dar àquele Logo uma nova roupagem e uma estrutura filosófica, sendo por isso considerado, até hoje, o pai do Logo. A proposta do Logo é ensinar pessoas de todas as idades como programar, além de ser um software que pode ser utilizado na parte de geometria e na parte da robótica. Apresenta características especialmente elaboradas para programar uma metodologia de ensino baseada no computador (metodologia Logo) e para explorar aspectos do processo de aprendizagem. O Logo tem, assim, duas raízes: uma computacional e outra filosófica. Do ponto de vista computacional, as características do Logo que contribuem para que ele seja uma linguagem de programação de fácil assimilação são: exploração de atividades espaciais, fácil terminologia e a capacidade de se criar novos termos ou procedimentos. As atividades permitem o contato quase que imediato do aprendiz com o computador. Essas atividades espaciais facilitam muito a compreensão da filosofia pedagógica do Logo por parte dos especialistas em computação. Por outro lado, elas fazem com que os aspectos computacionais, da linguagem de programação Logo, sejam acessíveis aos especialistas em educação. 41 Com as atividades espaciais, a proposta é utilizar esses conceitos nas atividades de comandar uma tartaruga mecânica a se mover no espaço ou atividades de desenhar na tela do computador (atividades gráficas). Isso se deve ao fato de essas atividades envolverem conceitos espaciais adquiridos nos primórdios da nossa infância, quando começamos a engatinhar. Entretanto, esses conceitos permanecem no nível intuitivo. Por exemplo, a criança aprende, sem grande dificuldade, a ir da sua casa até a padaria. Essa atividade é desenvolvida sem ela se dar conta de que está usando conceitos como distância, ângulo reto, para virar esquinas. A proposta da atividade gráfica do Logo é utilizar esses conceitos nas atividades de comandar a tartaruga. No processo de comandar a tartaruga, para ir de um ponto a outro, esses conceitos devem ser explicitados. Isso fornece as condições para o desenvolvimento de conceitos espaciais, numéricos, geométricos, uma vez que a criança pode exercitá-los, depurá-los e utilizá-los em diferentes situações. Os domínios de aplicação do Logo estão em permanente desenvolvimento, com o objetivo de atrair um maior número de usuários e motivar os alunos a usar o computador para elaborar as mais diferentes atividades. Entretanto, o objetivo não deve ser concentrado no produto que o aluno desenvolve, mas na filosofia de uso do computador e como ele está facilitando a assimilação de conceitos que permeiam as diversas atividades. Portanto, através do processo de ensino-aprendizagem
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