Unidade 5 Centro de Cisalhamento

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Unidade 5 – CENTRO DE CISALHAMENTO 
 
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5. CENTRO DE CISALHAMENTO 
 
 
OBJETIVOS: 
 
- Definir o problema do centro de cisalhamento. 
- Enunciar as propriedades do centro de cisalhamento. 
- Determinar a distribuição das tensões cisalhantes em perfis de parede fina 
 de seção aberta com um eixo de simetria. 
- Determinar o centro de torção para os perfis mais usados na prática de 
 engenharia. 
- Dimensionar vigas sob flexão, cortante e torção, levando em consideração 
 a redução das cargas ao centro de torção. 
 
 
5.1 - INTRODUÇÃO. 
 
Quando vigas em balanço de seção transversal com dupla simetria são construídas 
e testadas em laboratório, os valores das deformações e tensões experimentais concordam 
bastante com os resultados teóricos. Mas se tomarmos uma seção em cantoneira, como 
indicado na Fig. 54a, tal concordância não se verifica. Nossa teoria prevê que, sob uma carga 
vertical passando pelo centro de gravidade (C) a viga fletirá para baixo, da posição inicial 
para a posição pontilhada (seção da extremidade livre). A experiência, no entanto, mostra a 
seção frontal fletida e torcida, como na Fig. 54b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 54 a Figura 54 b 
 
 
Esta discrepância entre a teoria e a prática foi notada e descrita antes de 1900, mas 
permaneceu sem solução até 1922, quando Weber, na Alemanha publicou a teoria do centro 
de cisalhamento. A explicação de Weber consistiu em um exame do equilíbrio da viga em 
balanço, destacada do seu engastamento, com os respectivos esforços reativos. Ele mostrou 
que a resultante de todas as tensões tangenciais que atuam na seção, não passava pelo seu 
centro de gravidade. Para seções com dupla simetria, o centro de gravidade contém a 
resultante de todas as tensões tangenciais. Porém, para muitas seções assimétricas, a resultante 
das tensões cisalhantes não passa pelo centro de gravidade da seção, embora tenha a 
intensidade e a direção coincidentes com a de P, carga externa aplicada. 
 
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5.2. FLEXÃO EM PERFIS DE PAREDE FINA 
 
Para que se compreenda melhor a natureza do problema do centro de 
cisalhamento, vamos estudar o caso da viga I (Fig. 55a) em balanço, com mesas desiguais, 
mas tendo em z, um eixo de simetria. Os eixos yz, são centrais de inércia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 55a Figura 55b 
 
Supondo que P produza flexão em torno de z (eixo neutro), em qualquer seção 
transversal reativa da viga (seção do lado do engastamento), haverá tensões normais e 
tangenciais provenientes de M e V. A resultante das tensões normais é M e a resultante das 
tensões tangenciais é V = P, cuja linha de ação, na seção reativa, passa pelo ponto S, sobre o 
eixo z. É preciso lembrar que na seção reativa, as tensões cisalhantes só acontecem onde 
existe material (retângulos 1,2 e 3 Fig. 55b). Em geral, o ponto S não coincide com o centro 
de gravidade. Tal ponto (S) é denominado centro de torção ou centro de cisalhamento ou 
centro de flexão da seção. Se o plano que contém P não passar por S haverá, além da flexão, 
torção na viga. Como o perfil de parede fina tem baixa resistência à torção não se pode 
desprezar este fenômeno. Deste modo, a carga P pode estar situada em qualquer ponto na face 
frontal, no entanto as tensões cisalhantes na face reativa produzem uma resultante V = P que 
passará sempre por S. A flexão sem torção acontecerá quando a direção da carga aplicada 
passar por S. 
Vamos localizar o centro de torção para a seção da viga da Fig.55a. Podemos 
considerar a seção da viga como composta por três retângulos: as duas mesas (1 e 2) e a alma 
(3), Fig. 55b. Se não ocorre torção, todos os retângulos sofrem flexão juntos no plano xy, 
tendo a mesma curvatura durante a flexão (por hipótese não existe torção na seção). O 
momento fletor que cada parte suporta é proporcional ao momento de inércia em relação à z, 
de cada retângulo: 
 
M
EI
M
EI
M
EI
1
1
2
2
3
3
= = =d2y/dx2=1/ρ 
onde M1, M2 e M3 são os momentos atuantes nas partes 1,2 e 3, respectivamente, 
e I1, I2 e I3 , os respectivos momentos de inércia de cada retângulo, em relação à z . 
 
Como I3 é muito pequeno comparado à I1 e I2, pode ser desprezado. 
Deste modo, o carregamento de flexão e cortante fica suportado apenas pelas 
mesas 1 e 2. 
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Logo: 
M
I
M
I
1
1
2
2
= 
M M I
I I1
1
1 2
= + e M
M I
I I2
2
1 2
= + (5.1) 
onde M = M1 + M2 é o momento fletor total. 
V1 e V2 nas mesas são proporcionais aos respectivos momentos fletores. 
Logo: V
V I
I I1
1
1 2
= + e V
V I
I I2
2
1 2
= + (5.2) 
onde V = V1 + V2 = P . 
A linha de ação de V, na face reativa, posiciona S. 
Seja: 
h - distância entre os centros de gravidade das mesas 1 e 2. 
h1- distância de S ao centro de gravidade da mesa 1. 
h2- distância de S ao centro de gravidade da mesa 2. 
S - centro de torção, ponto por onde passa V, resultante de V1 e V2. 
 
Os dois sistemas representados nas Fig. 56a e 56b são equivalentes, pois possuem 
a mesma resultante, V, e o mesmo momento em relação ao ponto S: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 56 
 
O sistema da Fig. 56b é constituído por apenas uma força V passante por S. Ele é 
equivalente ao sistema da Fig. 56a, ou seja; faz o mesmo efeito que o sistema da Fig. 56a. 
 
) Podemos definir S como sendo o ponto da seção por onde passa a resultante de todas as tensões cisalhantes que atuam na seção transversal. 
 
Para qualquer posição da carga P na face frontal, na seção reativa vamos sempre 
encontrar uma força cortante equilibrante, passando por S. 
Como: V = V1 + V2 
Igualando a soma dos momentos em S à zero: V1h1 - V2h2 = 0 
Usando a equação (5.2): 
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h
h
I
I
1
2
2
1
= (5.3) 
h = h1 + h2 (5.4) 
 
Deste modo, usando as equações (5.3) e (5.4), localizamos o centro de 
cisalhamento da seção I com mesas desiguais. 
Se o eixo y for também de simetria: h1 = h2 = h/2 
 
) No caso de dupla simetria o centro de torção, S, coincide com o centro de gravidade C. Assim, seções com dupla simetria têm sempre o centro de torção coincidente com o 
centro de gravidade. Neste caso, se a direção de P passa pelo ponto C, como C 
coincide com S, haverá flexão sem torção. 
 
No caso particular da Fig. 55a, em que uma das mesas é retirada (seção em T), é 
fácil verificar que V passará pelo centro de gravidade da mesa que restou (ou V1 = 0 ou V2 = 
0) e este ponto será o centro de cisalhamento (Fig. 57). 
 
) As seções que possuem um eixo de simetria têm o centro de torção sobre este eixo. Qualquer carga cuja direção passar por este ponto (S), ainda que atue em direção 
inclinada pode ser decomposta em duas componentes, uma na direção de z e outra 
paralela a y. A primeira produzirá flexão no plano xz, tendo y como eixo neutro, sem 
torção; a segunda componente dará flexão sem torção, pois passa por (S), no plano xy
tendo z como eixo neutro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 57 - Caso particular em que uma das mesas da seção H é retirada. 
O centro de cisalhamento é o centro de gravidade da mesa restante. 
 
) Quando a carga não passa pelo ponto (S), podemos reduzi-la à (S), centro de torção, e ela poderá ser substituída por um binário e uma carga passante por (S). A carga 
que passa por (S), dará flexão sem torçãoe o binário torção pura. Assim, aplicando o 
princípio da superposição de esforços, a viga estará sujeita à flexão e torção. 
 
) O ponto (S), centro de cisalhamento, é uma característica geométrica da seção e não depende do carregamento. Para qualquer posição da seção transversal, o centro de 
torção permanece o mesmo, como ocorre com o centro de gravidade. 
 
 
 
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) Para seções maciças e vazadas fechadas, o centro de cisalhamento está, geralmente, muito próximo ao centro de gravidade. Como essas seções têm grande resistência à 
torção, podemos desprezar os efeitos da torção se a carga for aplicada no centro de 
gravidade (o momento torçor é muito pequeno e a resistência à torção é grande). Já 
os perfis de parede fina abertos são pouco resistentes à torção e neste caso é de 
fundamental importância o conhecimento do centro de cisalhamento, para levar em 
consideração o efeito da torção, caso o carregamento não passe por (S). 
 
5.3 - TENSÕES DE CISALHAMENTO EM PERFIS DE PAREDE FINA DE SEÇÃO 
 ABERTA. 
 
Estes perfis têm espessura muito pequena comparada com a largura ou qualquer 
dimensão da seção transversal (em torno de 1/10). E como perfis de seção aberta têm baixa 
resistência à torção. É de fundamental importância a localização do centro de torção destes 
perfis. Eles são largamente usados em estruturas. 
Vamos estudar uma viga cuja seção transversal tenha uma linha mediana do 
contorno (ou linha média) mm, de uma forma qualquer Fig. 58a. Os eixos yz são centrais de 
inércia e P é paralela à y. Caso P atue em (S), não haverá torção na viga, somente flexão em 
torno de z, sendo z a linha neutra. As tensões normais de flexão serão: 
 
I
My=σ 
 
Figura 58 
 
Imaginemos o elemento da Fig. 58b, cortado entre duas seções separadas de dx e 
tendo comprimento s, medido sobre a linha mediana a partir da borda livre. F1 é a resultante 
das tensões normais que atuam na face da esquerda. F2 é a resultante das tensões normais que 
atuam na face da direita. Como na face da direita o momento fletor é maior, F2 > F1, para 
haver equilíbrio estático, tensões cisalhantes devem atuar na face paralela à face livre, dando 
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uma resultante VH. Estas tensões são paralelas às superfícies do elemento, que são livres de 
tensões, e são acompanhadas de tensões cisalhantes complementares que atuam nas faces 
frontais. 
Como os momentos nas seções frontais da Fig. 58b são M e (M+dM), as forças 
resultantes F1 e F2 são: 
 
F dA
My
I
dA
My
I
ds
A A
s
1 0
= = =∫ ∫ ∫σ δ 
 onde dA = δ ds ( ) ( ) ( )F d M dM
IA
2 = +∫ ∫ ∫σ δ A = y dA = M + dM yI dsA 0
s
 
 onde A é a área da seção transversal entre a borda livre e o plano longitudinal b-b a 
uma distância s a partir da extremidade livre. 
 
O somatório das forças na direção longitudinal do bloco da Fig. 58b fornece: 
( ) ( ) ( )V F F y dA
I
dM
I
y dAH
A A
= − = =∫ ∫2 1 dM 
 Mas: V VH = =τδ dx e dMdx 
Logo: τ δ=
V M
I
S (5.5) 
A equação (5.5) fornece a tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção 
b-b (Fig. 58a) distante de s da borda livre. 
 
) As tensões cisalhantes são uniformes através da espessura e atuam tangentes à superfície da viga. Estas tensões aparecem na seção transversal a uma distância s a 
partir da borda livre. As tensões na seção transversal fluem em um sentido contínuo 
como mostra a Fig. 58a, paralelas à linha mediana do contorno, mm. 
 
A equação (5.5) é idêntica a equação obtida no estudo da distribuição das tensões 
cisalhantes verticais que ocorrem em uma viga devido a variação do momento fletor. Seus 
termos têm significados iguais. 
M ydAS
s= ∫0 é o momento estático, em relação à linha neutra, da área da seção 
transversal definida de s variando de zero a s. 
δ é a espessura da seção no ponto onde se deseja calcular a tensão cisalhante. 
) Como já foi dito, as tensões cisalhantes fluem de maneira contínua na seção transversal e na linha neutra elas têm o mesmo sentido que o da força cortante V. 
Assim, conhecido o sentido de V é possível determinar o sentido de todo o fluxo das 
tensões cisalhantes. 
 
) A equação (5.5) mostra que nas extremidades (bordas) da seção o momento estático é nulo e consequentemente, a tensão cisalhante. Ela varia de modo contínuo entre as 
bordas e alcança seu valor máximo na linha neutra. 
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5.4 - SEÇÃO I DUPLAMENTE SIMÉTRICA. 
 
A equação (5.5) pode ser usada no cálculo das tensões de cisalhamento nas 
flanges dos perfis I e C e outros tipos. A Fig. 59 explica a existência das tensões cisalhantes 
nas flanges, através do estudo do equilíbrio de um elemento da flange separado por duas 
seções adjacentes e por uma seção longitudinal. A Figura 59 representa uma viga I em 
balanço. Como P atua para baixo, a flange superior está tracionada e a inferior comprimida. 
Como T2 > T1, pois o momento na seção 2 é maior do que na seção 1, deve haver uma força 
cortante Fc que atua como indicado na Figura para manter o equilíbrio do elemento. Esta faz 
aparecer uma força cortante complementar lateral H1. Assim, o elemento está em equilíbrio. O 
sentido de H1 determina o sentido das tensões cisalhantes na flange superior. Do mesmo 
modo, as forças de compressão C2 e C1 que atuam no elemento correspondente da aba 
inferior, exigem a existência da força cortante Fc que faz aparecer H2. Assim, as tensões de 
cisalhamento têm o sentido de H2, na flange inferior. Devido ao fato da flange superior ser 
tracionada e a inferior comprimida, as tensões cisalhantes têm sentidos opostos em uma e 
outra flange. 
 
 
Fig. 59 - Forças cortantes nas flanges de uma viga em balanço 
 
As intensidades das tensões cisalhantes nas flanges é determinada pela equação 
(5.5). Orientando s a partir da extremidade livre da direita, Fig. 60, obtemos: 
 
τ = = =VM V Vhs
I
S
∆
∆
∆ I
 sh
2I 2
 (5.6) 
 
A intensidade da tensão cisalhante nas flanges é diretamente proporcional à 
distância a borda livre da mesma (s). 
 
Na Fig. 61 representamos a variação da tensão cisalhante e seu sentido. 
 
 
 
 
 
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Fig. 60 - O eixo s é sempre orientado a partir da borda livre. 
 
Fig.61- Representação da variação da tensão cisalhante nas flanges e na alma. 
A resultante de todas as tensões tangenciais na alma dá uma força igual à V. 
Estas tensões são as únicas que têm direções verticais (direção de V). 
 
) Podemos concluir que as tensões cisalhantes caminham das bordas da flange inferior para dentro; em seguida sobem a alma e finalmente seguem para fora na flange 
superior Fig. 61. O fluxo é sempre contínuo em qualquer seção estrutural e serve para 
determinar o sentido das tensões. Se a força cortante atua, por exemplo, para baixo, 
sabe-se que o cisalhamento na alma é neste sentido e isto define o sentido das tensões 
cisalhantes nas flanges. 
 
Na Fig. 62, vemos que a resultante de todas as tensões de cisalhamento na seção é 
uma força vertical (as tensões horizontais produzem forças que se anulam não dando 
resultante). A resultante passa pelo centro de gravidade C, que para as seções I (com dupla 
simetria) é também o centro de torção S. O centro de torção é o ponto por onde passa a 
resultante de todas as tensões cisalhantes que atuam na seção transversal. 
 
 
 
 
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Fig. 62 - Em uma seção com dois eixos de simetria, o centro de torção S coincide com o 
centro de gravidade. 
 
5.5. ESTUDO DE UMA SEÇÃO C COM UM EIXODE SIMETRIA. 
 
Vejamos o caso de uma seção C com um eixo de simetria, posicionado como eixo 
neutro, em balanço, sob uma carga vertical P, Fig. 63. Vamos estudar o que ocorre em uma 
seção reativa (equilibrante). Na Fig. 63, verificamos que nas flanges aparecerão tensões 
cisalhantes que caminham continuamente seguindo o sentido da tensão cisalhante do cortante 
na alma (como já estudamos para o perfil I). Estas tensões dão origem às forças: H, V e H, 
Fig. 63. 
O valor da tensão cisalhante na flange é (Fig. 64): 
( )τ = = 

 =∫ ∫VI Y ds VI h VhsIs s∆ ∆ ∆ ∆( )0 0 2 2ds (5.7) 
onde: ∆ - espessura da flange. 
 δ - espessura da alma. 
 s - tem origem na borda livre (Fig. 64) e situa-se na linha mediana do 
 contorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 63 Fig. 64 
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A força horizontal resultante em cada flange é: 
( ) ( )H á rea V h b
I
b
V h b
Im ed
= = =τ
4 4
2
∆ ∆ 
Assim, as tensões cisalhantes, na face reativa, formam o sistema de forças abaixo 
(Fig. 65a) que é equivalente ao sistema da (Fig. 65b), pois ambos têm a mesma resultante e o 
mesmo momento em relação ao mesmo ponto que é o centro da alma. Para isto é necessário 
que: 
I4
bVhHhe.V
22 ∆== , donde: 
4I
bhe
22 ∆= (5.8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 65 a Fig. 65 b 
 
Fig. 65 - Os sistemas das Figuras 65a e 65b são equivalentes: têm a 
mesma resultante e o mesmo momento em relação ao meio da alma. 
 
Como o sistema da Fig. 65b é composto de uma só força excêntrica, V, passante 
por S, este ponto é o centro de cisalhamento, pois é o ponto por onde passa a resultante de 
todas as tensões cisalhantes atuantes na seção. Assim, S, localiza o centro de torção de uma 
seção C simétrica: ele está sobre o eixo de simetria a uma distância “e” do meio da alma, 
contrária à boca do perfil. O ponto S está fora da seção. Este ponto é uma característica 
geométrica dela e não depende do carregamento nem da posição da seção. 
Se o carregamento não passar por S, em cada seção reativa haverá uma força 
cortante V passando por S. Isto fará com que a viga seja submetida à torção e flexão. Ela terá 
flexão simples se as forças atuantes tiverem suas direções passando todas por S. Toda vez que 
as forças forem paralelas à Y, passando fora de S, elas poderão ser substituídas por um 
sistema de forças equivalentes formado por forças que passam por S e por um conjugado de 
torção. Teremos uma combinação de flexão e torção atuando sobre a viga. Se as cargas atuam 
na direção de Z passando por S e pelo centro de gravidade, a flexão é simples em torno de Y. 
Se as cargas são inclinadas elas podem ser decompostas em cargas paralelas aos eixos Y e Z, 
estaticamente equivalentes as anteriores, que serão analisadas como nos casos precedentes 
(Fig. 63). 
A Fig. 66 representa a distribuição das tensões cisalhantes em uma seção C. 
Verificamos que o fluxo é contínuo e na alma ele tem o sentido das tensões cisalhantes do 
cortante V. 
 
 
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Fig. 66- Distribuição das tensões tangenciais através do perfil C 
A integração das tensões tangenciais através da alma dará uma força vertical igual a V. 
 
) Nos casos em que a seção é formada por dois elementos retangulares, de parede fina, que se cruzam, as tensões de cisalhamento originam duas forças que se cortam na 
junção dos dois elementos. Este ponto é o centro de torção, pois ele é o ponto por 
onde passa a resultante de todas as tensões cisalhantes que atuam na seção (Fig. 67). 
 
 
 
Fig. 67 - Seções formadas por dois elementos de parede fina que se cruzam. 
 
No caso de uma seção em Z o procedimento é o seguinte: representamos o fluxo 
contínuo das tensões cisalhantes (Fig. 68a) e substituímos estas tensões pelas forças 
correspondentes (Fig. 68b). A resultante das forças nas flanges é 2H atuando no centro de 
gravidade da seção (Fig. 68b). Combinando esta resultante com a força cortante na alma (V) 
obtemos a resultante R na seção (Fig. 68b). Como R passa pelo centro de gravidade, este 
coincide com o centro de cisalhamento (Fig. 68c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fig. 68 - O centro de torção de uma seção em Z coincide com seu centro de gravidade. 
 
A Fig. 69 apresenta o centro de torção de alguns perfis usados em estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 69 - Centro de torção de alguns perfis. 
 
) Na resolução de exercícios é mais conveniente trabalhar-se com a seção ativa, onde as tensões têm o mesmo sentido dos esforços correspondentes. O que ocorre na seção 
reativa (equilibrante), em termos de tensões, ocorre na seção ativa, somente que nesta 
as tensões têm os sentidos dos esforços aplicados enquanto que na outra (reativa) têm 
sentidos opostos. 
 
Assim, para se compreender melhor o fenômeno do centro de torção, usamos a 
seção reativa, mas na resolução de problemas é mais conveniente o trabalho com a seção 
ativa. 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
BEER - RUSSEL, Resistência dos Materiais. 3ª ed, Makron Books, 1996, SP. 
 
HIGDON e outros, Mecânica dos Materiais, 3ª ed, Guanabara Dois, 1981, RJ. 
 
SINGER, F., Resistencia de Materiales, Harper-Row Publishers Inc. 636 p., 
1971. Madrid. 
 
TIMOSHENKO-GERE, Mecânica dos Sólidos, Vol. II, Livros Técnicos e 
Científicos Editora. 1984. 450 p., RJ. 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
¾ Exercício 5.1 
Para a seção H de mesas desiguais, isolada do engastamento com todos os 
esforços solicitantes, indicados abaixo, pede-se: 
 
1 - Localizar o centro de cisalhamento. 
2 - Determinar as parcelas de M = 20000 kgf.cm, que atuam em 1 e 2. 
3 - Determinar as parcelas de V = 200 kgf, que atuam em 1 e 2. 
4 - Determinar o torque T que age no perfil e τmáx proveniente deste torque. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
cm 56,20h e cm 44,4h : Logo 
25hh ,h216,0h
I
I
h
h
 
cm 33I ,cm 153I1
21
2121
1
2
2
1
4
2
4
1
==
=+=→=
==−
 
 
ngulos.aˆret os todos para cm/kgf 160 e cm 46,12I 
I
.T
 
.s
3
1I 
kgf.cm 2122=4,44)-200(15,00=V.braco=T 4
kgf 35 = V e kgf 165V 
)II(
I.V
V 
:modo mesmo Do 3
cm 3548 Me kgf.cm 16452
)II(
MI
 M2
2
max
4
t
t
max
max
3
iit
21
21
1
1
2
21
1
1
==
=
=
−
=
+=
−
==+=−
∑
τ
δτ
δ
 
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¾ Exercício 5.2 
Verificar se o sistema abaixo está dimensionado, usando Von Mises. Em caso 
afirmativo, calcular o coeficiente de segurança. Desprezar o esforço cortante da secção. 
Calcular o ângulo de torção na seção livre. 
Dados: 
P = 100 Kgf 
G = 0,8.106 kgf/cm2 
Syt = 3.000 kgf/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
c
I
T l
G I
y
I
I
eq
t
= ++ =
= + =
= + =
= =
= + =
= = =
( . . , . , . , )
( . . , )
,
( , . , . ) ,
. , .
( . , , . )
,
. .
,
,
.
.
.
, . . ,
,
15 17 5 5 0 5 0 25
15 1 5 0 5
6 46
14 5 1 0 5 6
12
10 21
6210 5 3
6 0 5 1475 1
60 1
100 100 3
10 21
2938 3
3 2940
100 621
0 8 10 5 17
0 015
3 3
3 3
2 2
6
 cm
 cm
braç o do torç or= 6,46 - 0,25 = 6,21 cm
T = 100.6,21 = 621 kgf.cm
 kgf / cm
 kgf / cm
 kgf/ cm 
 rad
4
2
2
2
τ
σ
σ σ τ
ϕ
 
 
 
Unidade 5 – CENTRO DE CISALHAMENTO 
 
Página 101 
 
¾ Exercício 5.3 
Para a viga abaixo, impedida de torcer nas extremidades e bi-apoiada a flexão, pede-se: 
1 - Diagrama de momento fletor. 
2 - Diagrama de esforço cortante. 
3 - Diagrama de momento torçor. 
4 - Verificar se o sistema está dimensionado calculando o coeficiente de 
segurança em caso afirmativo. 
Syt = 2000 kgf/cm2, usar Von Mises. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
t
333
t
4
x
cm 58,11I 
)8,0.212.1.12(
3
1i.si
3
1I 
cm 33,3181I4
=
+==
=−
∑ δ 
 
222
eq
2
t
T
2
kgf/cm 20433
kgf/cm 12,1151
58,11
1.13330
I
.T
kgf/cm 461=
I Nivel
=+=
===
τσσ
δτ
σ
 
 
12,115198766921
kgf/cm 66
33,3181.8,0
)5,10.1.12(1333
I.b
VMs
kgf/cm 921 kgf/cm 419=
II Nivel
2
V
2
T
2
<=+
===
=
τ
τσ
 
Como σeqI > 2000 ; o sistema não está dimensionado!! 
 
Unidade 5 – CENTRO DE CISALHAMENTO 
 
Página 102 
 
¾ Exercício 5.4 
A viga bi-apoiada abaixo tem suas extremidades impedidas de torcer. Todo o 
carregamento situa-se no plano vertical que passa pelo meio da alma (A - A). Pede-se: 
 
1 - Diagrama de momento fletor. 
2 - Diagrama de momento torçor. 
3 - Tensão equivalente no ponto X da seção I-I, aplicando Von Mises. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 e 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 5 – CENTRO DE CISALHAMENTO 
 
Página 103 
 
3- 
 
48,1
1291.4
1.19.6,4
I4
hbe
2222
=== ∆ 
 
Braço = 1,48 cm, I = 1291 cm4 
 
 I
 I cm
 kgf.cm 
 
T = 517.1,48 = 765 kgf.cm
= 51700.10
1292
= 400 kgf / cm
 kgf / cm
 kgf / cm
 kgf / cm
 kgf / cm
t
t
4
2
2
2
T
2
2
= = +∑
=
=
=



= = =
= + =
= =
= = =
+ =
>
1
3
1
3
4 6 1 2 19 0 8
6 3
51700
517
765 1
6 3
121
3 4516
765 0 8
6 3
97
517 5 1 9 5
0 8 1292
24
97 24 121
3 3 3
2 2
si i
I
M
V kgf 
Nivel I
T
I
Nivel II
VMs
b I
T
t
eq
V
eq
I
eq
. ( , . . . , )
,
. .
,
,
. ,
,
.
. . . ,
, .
δ
σ
τ δ
σ σ τ
τ
τ
σ σ II
eq
Iσ = 4516, kgf / cm2