Apostila Contr Proc Parte 01 V01 (1)

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APOSTILA DE CONTROLE DE PROCESSOS 
 
 
 
 
 
 Darci Odloak - Escola Politécnica da USP 
 
 Wu Hong Kwong - Universidade Federal de São Carlos 
2 
 
1 Malhas de controle: A necessidade de controle 
em processos. Exemplos. Controle manual e 
automático. Elementos da malha de controle. 
 
 
 
 
 
 
1.1 Introdução 
 
Um processo químico é um conjunto de operações ordenadas em que se procede a 
transformação de matérias-primas em produtos através de mudanças químicas, físicas, 
mecânicas ou térmicas (Figura 1.1). 
 
 
 
Figura 1.1 Representação de um processo químico. 
 
Entre as operações que envolvem transformações físicas nos processos químicos pode-se 
citar: 
 
- Transporte de reagentes e produtos - através de tubulações, utilizando-se bombas, 
compressores ou sopradores. 
 
- Aquecimento/resfriamento de líquidos e gases - através do uso de trocadores de calor. 
 
- Operações de separação - envolvendo filtros, secadores, evaporadores, extratores, colunas de 
destilação, etc. 
 
As transformações ou conversões químicas envolvem reações químicas e/ou bioquímicas que 
transformam uma substância em outra através do uso de reatores os quais são, geralmente, o 
"coração" do processo químico. 
 
Todos os processos químicos contínuos são projetados considerando-se um estado 
estacionário, que é definido por um conjunto de hipóteses sobre algumas variáveis do 
processo e atende a um outro conjunto de especificações sobre outras variáveis de processo. 
Por exemplo, consideremos um tanque de aquecimento de um líquido (óleo combustível) 
onde um líquido frio dentro do tanque é aquecido por um outro fluído quente que está 
disponível no processo (óleo lubrificante). A Figura 1.2 representa esquematicamente esse 
processo. 
 
3 
 
 
 
Figura 1.2 Representação do tanque de aquecimento. 
 
hiF e hoF são, respectivamente, as vazões mássicas de entrada e saída do fluido quente; hiT e 
hoT são, respectivamente, as temperaturas de entrada e saída do fluido quente; ciF , coF , ciT e 
coT são as mesmas propriedades do fluido frio. No projeto desse aquecedor, o cenário pode 
ser o seguinte: conhecem-se a vazão e temperatura do fluido que deve ser aquecido ( ciF e ciT ) 
e a temperatura do fluido quente disponível ( hiT ) e queremos calcular as dimensões do 
aquecedor (área de troca de calor A ) e a vazão do fluido quente necessária ( hoF ) para que o 
fluido que está sendo aquecido saia a uma determinada temperatura. É claro que, como 
conseqüência desse cálculo, teremos também as vazões de saída dos dois fluidos e a 
temperatura de saída do fluido de aquecimento. Para fazer esse cálculo, podemos considerar 
simplificativamente as seguintes equações: 
 
Balanço de energia global (desprezando as energias cinética e potencial e perdas de 
calor para o ambiente) 
 
0TCFTCFTCFTCF hophhohiphhicopccocipcci =−+− (1.1) 
 
em que pcC e phC são os calores específicos dos fluidos frio e quente, respectivamente. 
 
Balanço de energia no fluido frio (admitindo que o fluido frio tem temperatura 
uniforme dentro do vaso) 
 
0T
2
TTUATCFTCF cohohicopccocipcci =





−




 +
+− (1.2) 
 
em que U é o coeficiente global de transferência de calor e A é a área de troca de calor da 
serpentina. 
 
Balanço de massa do lado do fluido frio 
 
0FF coci =− (1.3) 
 
4 
 
Balanço de massa do lado do fluido quente 
 
0FF hohi =− (1.4) 
 
Especificação da diferença mínima entre as temperaturas dos fluidos quente e frio na saída da 
serpentina 
 
mincoho TTT ∆=− (1.5) 
 
Como o coeficiente U pode ser calculado desde que as propriedades dos fluidos sejam 
conhecidas, a solução das equações 1.1 a 1.5 resulta na área de troca A e na vazão de fluido 
quente necessárias para o serviço. 
 
Por exemplo, consideremos que em uma refinaria temos um tanque de aquecimento de óleo 
combustível que entra a 120°C e deve sair a 150°C para poder ser queimado 
convenientemente nos fornos de petróleo. A vazão de óleo combustível é 32890 kg/h. O calor 
específico do óleo combustível é 63,0Cpc = kcal/kg.°C. Para aquecer esse combustível 
podemos usar uma corrente de óleo lubrificante que está disponível à temperatura de 230°C. 
O calor específico do óleo lubrificante é 58,0Cph = kcal/kg.°C. Para o projeto do aquecedor, 
vamos considerar que o coeficiente de troca de calor global é 140U = kcal/h.m2.°C e a 
temperatura de saída do óleo lubrificante seja 10°C maior que a temperatura de saída do óleo 
combustível ( 10Tmin =∆ °C). Portanto, no projeto do tanque de aquecimento, a área de troca 
de calor pode ser calculada a partir da solução das equações 1.1 a 1.5: 
 
Da equação 1.3, temos 
 
ccoci FFF == (1.6) 
 
ou seja 
 
32890Fc = kg/h 
 
Analogamente da equação 1.4, temos 
 
hhohi FFF == (1.7) 
 
a ser determinado, 120Tci = °C, 150Tco = °C e 230Thi = °C. Além disso, da equação 1.5, 
160Tho = °C. 
 
Daí, da equação 1.1, temos 
 
0)160)(58,0(F)230)(58,0(F)150)(63,0(32890)120)(63,0(32890 hh =−+− 
 
15311Fh = kg/h 
 
5 
 
Finalmente, podemos usar a equação 1.2 para determinar a área de troca de calor 
 
0150
2
160230A140)150)(63,0(32890)120)(63,0(32890 =





−




 +
+− 
 
7,98A = m2 
 
Uma vez realizado o projeto do aquecedor, pressupõe-se que a área de troca não vai mais se 
alterar ao longo da vida do equipamento. Para análise do controle do aquecedor, podemos 
também admitir que os fluidos quente e frio serão sempre os mesmos e o coeficiente global de 
troca de calor também se manterá praticamente constante. Assim, se as vazões e temperaturas 
de entrada dos fluidos se mantiverem constantes nos valores do projeto, as temperaturas de 
saída se manterão também constantes nos valores correspondentes ao estado estacionário 
considerado no projeto. Entretanto, na operação diária do aquecedor, algumas variáveis 
consideradas constantes no projeto poderão se alterar para valores diferentes dos considerados 
no projeto. Por exemplo, a temperatura de entrada do óleo combustível poderá se alterar, se o 
óleo for alimentado de um tanque diferente. Analogamente, a vazão do óleo combustível 
poderá se alterar se o aquecedor tiver que alimentar um forno de capacidade maior. As 
mesmas considerações podem ser feitas para a vazão e temperatura do óleo lubrificante. 
 
Em qualquer processo, as variáveis de processo que se alteram em relação ao estado 
estacionário de projeto, são chamadas distúrbios, ou perturbações, ou entradas. As variáveis 
de processo que se alteram como conseqüência dos distúrbios são chamadas de saídas do 
processo. A Figura 1.3 ilustra esquematicamente as entradas e saídas do aquecedor de óleo. 
 
 
 
Figura 1.3 Entradas e saídas do aquecedor. 
 
Uma vez conhecidos os valores de cF ciT , hF , e hiT , podemos calcular coT e hoT através das 
equações 1.1 e 1.2 que podem ser escritas da seguinte forma: 
 
( ) hicipcchocopcc
hiphhicipccihophhicopcco
T
2
UATCFT
2
UATCFUA
TCFTCFTCFTCF
−−=++−
+=+
 (1.8) 
 
6 
 
Observe que a condição definida na equação 1.5, não aparece em 1.8, ou seja, essa condição 
não é necessariamente respeitada se o sistema está sujeito a distúrbios. A Tabela 1.1 mostra os 
efeitos de variações em cada uma das entradas nas saídas do aquecedor de óleo combustível. 
 
Tabela 1.1 Estados estacionários do aquecedor de óleo combustível. 
Cenário hF (kg/h) hiT (°C) cF (kg/h) ciT (°C) hoT (°C) coT (°C) 
Projeto 15311 230 32890 120 160 150 
1 500Fh =∆ 15811 230 32890 120 161,52 150,31 
2 2Thi =∆ 15311 232 32890 120 160,72 150,55 
3 3000Fc =∆ 15311 230 35890 120158,36 148,14 
4 2Tci =∆ 15311 230 32890 122 161,26 151,46 
 
Vemos que o estado estacionário que é atingido pelo sistema depende dos valores dos 
distúrbios, e a especificação de 150Tco = °C não é respeitada se as condições de projeto não 
forem mantidas. Portanto, temos que montar uma estratégia para tentar manter coT no valor 
desejado se isso for necessário. 
 
Observando a Tabela 1.1, vemos que, se pudermos manipular uma das entradas, poderemos 
tentar compensar o efeito de uma alteração indesejada nas outras entradas sobre a temperatura 
de saída do óleo combustível. Por exemplo, se a vazão do fluido quente ( hF ) puder ser 
manipulada, poderemos alterar essa entrada para compensar o efeito das outras entradas na 
temperatura de saída do óleo combustível. A Tabela 1.2 mostra os novos estados estacionários 
onde hF é manipulada para compensar os efeitos dos outros distúrbios na temperatura de saída 
do óleo. 
 
Tabela 1.2 Estados estacionários do aquecedor de óleo combustível. 
Cenário hF (kg/h) hiT (°C) cF (kg/h) ciT (°C) hoT (°C) coT (°C) 
Projeto 15311 230 32890 120 160 150 
5 2Thi =∆ 14478 232 32890 120 157,97 150,00 
6 3000Fc =∆ 18931 230 35890 120 168,21 150,00 
7 2Tci =∆ 13166 230 32890 122 154,00 150,00 
 
Portanto, podemos manter a temperatura de saída do fluido frio ( coT ) no estado estacionário 
desejado alterando a vazão do fluido de aquecimento. Isso significa que podemos controlar a 
temperatura de saída do óleo combustível que é enviado para o forno de petróleo manipulando 
a vazão de óleo lubrificante para o aquecedor. Nessa estratégia de controle, a variável 
controlada é coT e a variável manipulada é hF . Entretanto, as equações 1.6 são válidas apenas 
para o estado estacionário e a experiência nos mostra que na operação continua de processos 
químicos, o tempo é uma variável importante, ou seja, o comportamento das variáveis do 
processo ao longo do tempo também é importante. Isso porque os distúrbios afetam o 
processo continuamente ao longo do tempo e temos que manter a variável controlada o mais 
próximo possível do valor desejado em todos os instantes de tempo. 
 
De nada nos adianta essa estratégia de controle, se ao longo do tempo, a variável controlada 
se afastar muito do valor desejado, mesmo que no final ela convirja para o estado estacionário 
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desejado. Assim, para ter certeza que uma estratégia de controle vai funcionar 
adequadamente, temos que analisar o comportamento dela ao longo do tempo. Para tal, temos 
que utilizar um modelo dinâmico do processo, ou seja, um modelo que inclua o tempo como 
variável independente. 
 
Baseado no modelo estacionário definido em (1.8), podemos propor o seguinte modelo 
dinâmico simplificado para o tanque de aquecimento: 
 






−




 +
−−=






−




 +
+−=
c
hohi
hophhhiphh
ho
phh
c
hohi
copcccipcc
co
pcc
T
2
TTUATCFTCF
dt
dTCM
T
2
TTUATCFTCF
dt
dTCM
 (1.9) 
 
ou 
 
( )
hophhhiphhc
ho
phh
hohicipcccopcc
co
pcc
T
2
UACFT
2
UACFUAT
dt
dTCM
T
2
UAT
2
UATCFTUACF
dt
dTCM






+−





−+=
++++−=
 (1.10) 
 
Nesse modelo admite-se que a temperatura do óleo combustível dentro do tanque de 
aquecimento é uniforme e igual ao valor de saída ( coT ) e o acúmulo de calor dentro da 
serpentina possa ser definida em termos da derivada da temperatura de saída do óleo 
lubrificante ( hoT ). cM e hM são as massas dos fluidos frio e quente retidos no tambor e 
serpentina respectivamente. Para o caso do aquecedor de óleo combustível adotamos os 
seguintes valores: 16445Mc = kg (tempo de residência de 30 min) e 765Mh = kg (tempo de 
residência de 3 min). 
 
Resolvendo as equações definidas em (1.9), podemos simular o comportamento dinâmico das 
saídas do aquecedor de óleo combustível para cada um dos cenários mostrados na Tabela 1.1 
Em todos os casos, assume-se que o sistema parte do estado estacionário correspondente às 
condições de projeto. Na Figura 1.4 vemos as respostas do aquecedor quando a vazão do 
fluido quente hF é alterada conforme mostrado na Tabela 1.1 (cenário 1). Vemos que existem 
diferenças entre as velocidades das respostas das duas saídas. A temperatura de saída do 
fluido quente ( hoT ) se aproxima do novo estado estacionário mais rapidamente que a 
temperatura de saída do fluido frio ( coT ) que demora cerca de duas horas para atingir o novo 
estado estacionário. 
 
8 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1.4 Respostas do aquecedor para distúrbio em hF (cenário 1). (a) Temperatura de saída 
do fluido frio; (b) temperatura de saída do fluido quente. 
 
Na Figura 1.5, são comparadas as respostas de coT para variações em hiT (cenário 2), cF 
(cenário 3) e ciT (cenário 4) com as mesmas variações e as compensações na vazão do fluido 
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quente hF conforme definido na Tabela 1.2. Vemos que essa estratégia é eficiente para 
recuperar o valor coT do estado estacionário desejado em todos os casos. Assim, podemos 
considerar uma estratégia de controle da temperatura de saída do óleo combustível onde os 
efeitos de variações na temperatura de entrada e vazão do óleo combustível, bem como na 
temperatura de entrada do fluido de aquecimento (óleo lubrificante) são compensadas pela 
variação da vazão do fluido de aquecimento. 
 
 
(a) 
10 
 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 1.5 Respostas do aquecedor para distúrbio. (a) em hiT (cenário 2); (b) cF (cenário 3); 
(c) ciT (cenário 4). Sem manipulação (linhas azuis) e com manipulação (linhas verdes) de hF 
(cenários 5, 6 e 7). 
 
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Observação 
 
Em princípio, poderíamos escolher qualquer das entradas do aquecedor para ser a variável 
manipulada da malha de controle da temperatura do óleo combustível. Essa decisão tem que 
ser tomada na fase de projeto do sistema de aquecimento do óleo. No caso do aquecedor de 
óleo, manipular a temperatura de entrada do óleo ciT não faz sentido porque a função do 
aquecedor é justamente essa. Manipular a temperatura do fluído quente poderia ser analisada, 
mas nos parece uma alternativa complexa, pois teríamos que incluir no sistema um outro 
aquecedor ou resfriador. A manipulação da vazão do óleo que está sendo aquecido também 
pode ser questionada, pois a vazão do óleo é definida pela carga térmica requerida pelo forno 
de petróleo. Assim, a manipulação da vazão do fluído quente parece ser a melhor alternativa 
para essa malha de controle. 
 
 
Outro exemplo: reator isotérmico 
 
Consideremos o reator tanque bem agitado esquematizado na Figura 1.6. O componente A é 
introduzido no reator em uma corrente que tem vazão AF (mol/h) onde a concentração de A é 
Aic (mol/l). O componente B é introduzido no reator em uma corrente com vazão BF (mol/h) 
e concentração Bic (mol/l). 
 
 
 
Figura 1.6 Esquema do reator tanque isotérmico. 
 
Nesse reator ocorre a reação 
 
 
 
onde as taxas de reação são as seguintes: 
 
A11 ckr = (mol/h.l) T500061 e103k −×= min-1 
 
B22 ckr = (mol/h.l) T550062 e106k −×= min-1 
 
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No estado estacionário para o qual o reator é projetado temos as seguintes vazões de entrada 
150FA = l/h e 200FB = l/h, com as seguintes concentrações 3,0cAi = mol/l e 1,0cBi = 
mol/l. O reator deve operar à temperatura 367T = K e o volume deve ser tal que na saída do 
reator tenhamos 1,0cA ≤ mol/l. 
 
Admitindo que todas as correntes têm a mesma densidade, as equações que definem o estado 
estacionário do reator são as seguintes: 
 
Balanço de massa total 
 
BA FFF += (1.11) 
 
350200150F =+= l/h 
 
Balanço de massa do componente A 
 
0VckVckFccF B2A1AAiA =+−− (1.12)0Vce106Vce103c350)3,0(150 B36755006A36750006A =×+×−− −− (1.13) 
 
Balanço de massa do componente B 
 
0VckVckFccF B2A1BBiB =−+− (1.14) 
 
0Vce106Vce103c350)1,0(200 B36755006A36750006B =×+×−− −− (1.15) 
 
O projeto desse reator consiste basicamente em escolher o volume V tal que a concentração 
Ac fique abaixo de 0,1 mol/l. Podemos resolver o problema do projeto do reator 
iterativamente adotando o valor de V e resolvendo as equações 1.13 e 1.15 para calcular Ac 
e Bc . A Figura 1.7 mostra a concentração Ac em função do volume V . 
 
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Figura 1.7 Concentração Ac em função do volume V . 
 
Por exemplo, se adotarmos 200V = l, obtemos 063242,0cA = mol/l e 122473,0cB = mol/l. 
Portanto, esse volume satisfaz a restrição de máximo em Ac . 
 
Observemos que nesse reator, AF , BF , Aic e Bic são distúrbios ou entradas que afetam Ac e 
podemos implantar uma malha de controle de Ac que manipula uma das entradas para 
neutralizar o efeito das outras entradas. 
 
Para estudar essa malha de controle, podemos escrever o seguinte modelo dinâmico: 
 
VckVckFccF
dt
dcV B2A1AAiAA +−−= (1.16) 
 
VckVckFccF
dt
dcV B2A1BBiBB −+−= (1.17) 
 
Por exemplo, resolvendo o modelo definido pelas equações 1.16 e 1.17 partindo do estado 
estacionário para um distúrbio na concentração de entrada de A que passa para 6,0cAi = mol/l 
obtemos a resposta representada na Figura 1.8 com AF mantido em 150 l/h. Observando essa 
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resposta vemos que Ac ultrapassa o valor limite de 0,1 mol/l e, portanto, o produto fica fora 
de especificação. 
 
 
 
Figura 1.8 Resposta do reator para distúrbio em Aic . 
 
Podemos agora tentar usar a vazão de entrada AF da corrente rica em A para compensar o 
efeito das outras entradas. A Figura 1.9 mostra o comportamento de Ac quando a partir do 
instante 3t = h, AF é reduzido para 120 l/h. Vemos que a concentração tende a voltar para 
valores abaixo do limite e o produto fica novamente dentro da especificação. 
 
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Figura 1.9 Resposta do reator para distúrbio em Aic e com AF reduzido para 120 l/h em 
3t = h. 
 
Com esses dois exemplos, vimos que para alcançar os objetivos básicos da operação de um 
processo químico, faz-se necessário monitorar e ser hábil em induzir mudanças em certa 
variáveis chaves do processo que estão relacionadas à segurança, taxas de produção e 
qualidade dos produtos. 
 
 
1.2 Elementos da malha de controle. Controle manual e 
automático 
 
No caso do aquecedor de óleo, uma vez decidido que a temperatura de saída do óleo 
combustível vai ser controlada através da manipulação da vazão do fluido quente, 
estabelecemos que o processo terá uma malha de controle para tal fim. Conforme 
representado na Figura 1.10, além do processo, uma malha de controle convencional tem três 
elementos básicos: 
 
Sensor: É o instrumento que mede a variável que queremos controlar. No caso do controle da 
temperatura do óleo, esse sensor poderia ser um termopar, ou qualquer outro termômetro que 
possa gerar um sinal proporcional ao valor da temperatura. 
 
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Elemento final de controle: É um equipamento capaz de alterar o valor da variável 
escolhida para ser manipulada. Na grande maioria das malhas de controle implantadas em 
processos químicos, o elemento final de controle é uma válvula de controle, cujo 
funcionamento será explicado ao longo deste texto. 
 
Controlador: É um equipamento que contém a lógica ou lei de controle. Esse equipamento 
pode ser um computador, um circuito analógico ou um circuito pneumático. No caso do 
aquecedor de óleo combustível, a lógica deve ser tal que a vazão do fluido quente qF aumente 
quando a temperatura de saída do óleo estiver abaixo do valor desejado, e vice versa quando a 
temperatura do óleo estiver acima do valor desejado. Eventualmente, o papel do controlador 
pode ser exercido pelo próprio operador. Nesse caso dizemos que a malha está em manual. 
 
 
 
Figura 1.10 Representação esquemática da malha de controle do aquecedor de óleo. 
 
 
1.3 Estratégia de controle 
 
Vimos que as duas tarefas, monitorar certas variáveis do processo e induzir mudanças em 
variáveis adequadas do processo, são as funções primordiais do sistema de controle. 
 
O engenheiro de controle busca como as variáveis de operação se relacionam, como atuar em 
certas variáveis do processo de forma que as variáveis controladas mantenham-se nos níveis 
desejados. O desenvolvimento de uma estratégia de controle consiste em formular ou 
identificar o seguinte: 
 
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Quanto às variáveis 
 
1. Variáveis de entrada 
 
Variáveis manipuladas (ou ajustáveis) - se seus valores podem ser ajustados livremente pelo 
operador ou por um sistema de controle. 
 
Distúrbios (ou carga)- se seus valores não são resultantes de ajuste pelo operador ou por um 
sistema de controle. 
 
2. Variáveis de saída 
 
Variáveis de saída medidas - se seus valores são conhecidos pela medição direta das mesmas. 
 
Variáveis de saída não medidas - se seus valores não são ou não podem ser medidos 
diretamente. 
 
3. Restrições 
 
Rígidas – não podem ser violadas em hipótese nenhuma. 
 
Suaves – eventualmente podem ser violadas com pequenas ultrapassagens. 
 
Quanto à estrutura de controle 
 
4. Os controladores podem ser por realimentação (feedback) ou antecipatório (feedforward). 
 
Uma estrutura de controle é a estrutura de informação utilizada para conectar as medidas 
disponíveis às variáveis manipuladas disponíveis. Dependendo do número de saídas 
controladas e de entradas manipuladas, podemos distinguir a estrutura de controle como 
sistema de controle entrada simples-saída simples (SISO, single input-single output) ou 
entrada múltipla-saída múltipla (MIMO, multiple input-multiple output). 
 
 
1.4 Estrutura de controle 
 
As três estruturas gerais de controle são: 
 
Estrutura de controle feedback - usa medidas diretas das variáveis controladas (medidas 
primárias) para ajustar os valores das variáveis manipuladas. O objetivo é manter as variáveis 
controladas em seus valores desejados (setpoints). Essa estrutura está mostrada na Figura 
1.11. 
 
18 
 
 
 
Figura 1.11 Estrutura geral de controle feedback. 
 
 
Estrutura de controle feedforward - usa medidas diretas das perturbações para ajustar os 
valores das variáveis manipuladas. O objetivo aqui é manter os valores das variáveis de saída 
controladas nos níveis desejados. Essa estrutura está mostrada na Figura 1.12. 
 
 
 
Figura 1.12 Estrutura de controle feedforward. 
 
 
1.5 Projeto de controle 
 
Em qualquer estrutura de controle, o controlador é o elemento ativo que recebe as 
informações das medidas e implementa as ações de controle apropriadas para ajustar os 
valores das variáveis manipuladas. O controlador compara o valor da saída com o valor 
desejado, determina o desvio e produz um sinal de controle que reduzirá o desvio a zero ou a 
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um valor pequeno. A maneira pela qual o controlador produz o sinal de controle é chamada lei 
de controle. 
 
Retomando o exemplo do tanque de aquecimento de óleo combustível (fluido frio) utilizando 
óleo lubrificante (fluido quente) e considerando que se deseja controlar a temperatura de saída 
do óleo combustível, coT , frente a distúrbios na temperatura de entrada do óleo lubrificante, 
hiT . Para tal, será manipulada a vazão de óleo lubrificante, hF . 
 
 
 
Figura 1.13 Estrutura de controle do tanque de aquecimento. 
 
O controlador utilizará os valores conhecidos de coT e sp,cT (valor desejado para a 
temperatura coT ) para ajustar a vazão de óleo lubrificante de acordo com uma fórmula 
predeterminada.A diferença entre cosp,c TT − é chamada de erro. É claro que, quanto maior 
for esse erro, menos satisfatória será a situação, e vice-versa. De fato, o ideal é quando for 
zero. Com base nessas considerações, é natural sugerir que o controlador deva alterar a vazão 
de óleo lubrificante por uma quantidade proporcional ao erro. Assim, uma fórmula plausível 
para o controlador obedecer é 
 ( )cosp,cchsh TTKFF −+= (1.18) 
 
em que cK é uma constante (positiva) de proporcionalidade e hsF é a vazão de óleo no estado 
estacionário inicial. Isso é chamado controle proporcional. 
 
Na Figura 1.14 é mostrada a resposta da temperatura do óleo combustível a uma perturbação 
degrau de 2°C na temperatura do óleo lubrificante para três valores do ganho proporcional 
cK . Pode-se ver que a temperatura do óleo combustível não tende ao valor desejado, que é o 
seu valor no estado estacionário de 150°C. A diferença é chamada de desvio permanente 
(offset). O desvio permanente decresce à medida em que cK aumenta. Por enquanto, diremos 
apenas que o fato de o controlador proporcional ser ou não satisfatório depende de quanto 
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desvio permanente pode ser tolerado, da rapidez da resposta do sistema e do valor do ganho 
que pode ser provido pelo controlador sem acarretar a instabilidade do sistema. 
 
 
Figura 1.14 Resposta ao degrau para uma variação na carga (controle proporcional). 
 
O sistema de controle proporcional pode ser melhorado sensivelmente pela adição do controle 
integral. Nesse caso, o controlador é instruído a acrescentar à correção da vazão de óleo 
lubrificante uma parcela proporcional à integração, relativa ao tempo, do erro. Em termos 
quantitativos, a função vazão de fluido quente segue a relação 
 
( ) ( )∫ −τ+−+=
t
0 cosp,c
I
c
cosp,cchsh dtTT
KTTKF)t(F (1.19) 
 
Este sistema de controle tem dois parâmetros ajustáveis: cK e Iτ . 
 
A Figura 1.15 mostra a resposta do óleo combustível a uma perturbação degrau de 2°C na 
temperatura do óleo lubrificante para os mesmos três valores do ganho proporcional cK e a 
constante de tempo integral Iτ igual a 3,33. Pode-se ver que a temperatura do óleo 
combustível tende ao valor desejado de 150°C. Portanto, o controlador proporcional integral 
elimina o desvio permanente. Esta é uma característica da ação integral. 
 
21 
 
 
 
Figura 1.15 Resposta ao degrau para uma variação na carga (controle proporcional integral). 
22 
 
Exercícios 
 
1.1 Considere o processo de mistura mostrado na Figura 1.16 e suponha que se deseja medir a 
concentração na saída do tanque. Para tal, um elemento de medida é posicionado 
imediatamente após o tanque e um outro é posicionado a 10 m em relação ao primeiro. 
 
Figura 1.16 Tanque de mistura. 
 
Dados: Volume do tanque 7,2V = m3. 
 Vazão volumétrica 400F = L/min. 
 Concentração de alimentação ic no estado estacionário 19c is = g/L 
 Massa específica média da mistura 1213,1=ρ g/cm3. 
 
A solução leva 1 min do instante em que deixa o tanque até alcançar o elemento de medida 
posicionado a 10 m do tanque. Esse tempo é conhecido como tempo morto. Para fins de 
controle, qual dos dois elementos de medida é mais recomendado para controlar a 
concentração de sal no tanque, supondo que a concentração de alimentação ic possa ser 
ajustada livremente? Considere uma variação degrau na concentração de alimentação de 19 
para 20 g/L. 
 
Solução 
Balanço de sal no regime dinâmico 
FcFc
dt
)Vc(d
i −= (1) 
Para volume de tanque constante, 
FcFc
dt
dcV i −= (2) 
23 
 
c
V
F
c
V
F
dt
dc
i −= (3) 
Para visualizarmos como a concentração de alimentação ic afeta a concentração de sal no 
tanque, vamos considerar que a concentração ic varie de 19 para 20 g/L. Assim, temos 
19)0(c = g/L e 20c i = . A solução da equação 3 pode ser visualizada na Figura 11.7 
 
(a) 
24 
 
 
(b) 
Figura 1.17 Resposta ao degrau para uma variação de 1 g/L na concentração de alimentação. 
(a) Leitura do primeiro elemento de medida; (b) leitura do segundo elemento de medida. 
 
O primeiro elemento de medida já acusa que a concentração de sal no tanque começa a variar, 
enquanto que o segundo só vai acusar a partir de 1 min. Assim, qualquer ação de controle em 
tentar corrigir c usando ic é mais rápida usando o primeiro medidor do que o segundo. 
 
1.2 Considere um sistema de mistura em linha, onde duas correntes líquidas (1 e 2) são 
misturadas e pretende-se que a corrente 3 tenha uma determinada propriedade controlada. 
 
Figura 1.18 Sistema de mistura em linha. 
25 
 
Que equações de balanços seriam usadas para se analisar os seguintes casos: 
a) Pretende-se controlar 3T . 
b) Pretende-se controlar 3Ac . 
c) Pretende-se controlar 3F . 
Para cada um dos casos acima, quais seriam os possíveis distúrbios e qual a variável 
manipulada? 
Considerando que o ponto de medida da propriedade controlada em 3 seja distante das 
válvulas colocadas nas correntes 1 e 2, qual a dinâmica esperada para esse sistema? 
 
1.3 Repita o exercício anterior, considerando que a mistura é feita em um tanque bem agitado 
e a propriedade controlada é medida na saída do tanque. 
 
Figura 1.19 Tanque com agitação. 
 
1.4 Um vaso de armazenamento de líquido pode ser representado pelo seguinte esquema: 
 
Figura 1.20 Vaso de armazenamento. 
26 
 
a) Se o objetivo for o controle do volume, qual equação de balanço deve ser considerada? Que 
variáveis podem ser manipuladas? Escolhida uma manipulada, quais os distúrbios? 
b) Repita a análise para o caso em que 23 FF << . 
c) Como ficaria a malha de controle de V , se 2F e 3F também forem controladas? 
d) Suponha que 3F não seja produzida por uma bomba e seja proporcional a V . Como ficaria 
o item a? 
 
1.5 Em uma planta industrial, encontramos as seguintes malhas de controle onde um líquido 
escoa de uma pressão 1P para a atmosfera. Intermediariamente, uma parte desse líquido é 
direcionada para um outro processo. 
 
Figura 1.21 Sistema de escoamento líquido. 
 
Considerando que o escoamento pelas válvulas é definido por: 
21111 PPkxF −= 
atm222 PPkxF −= 
em que: 
1x e 2x abertura das válvulas 
1k e 2k constantes 
 
a) Analise a viabilidade de se controlar F e 2P . 
b) Quais as manipuladas e distúrbios para cada uma das válvulas. 
 
1.6 Em um tambor de flash de uma mistura binária, temos o esquema a seguir: 
 
27 
 
 
Figura 1.22 Tambor de flash. 
 
a) Faça uma análise do modelo desse sistema para verificar quantas malhas de controle podem 
ser implantadas nesse sistema. 
b) Proponha um conjunto de malhas para controlar. 
 
1.7 Em um forno de aquecimento de petróleo esquematizado a seguir: 
 
Figura 1.22 Forno de aquecimento. 
 
O balanço de energia no estado estacionário pode ser colocado na forma 
( )ipgg TTFCF −=λ 
em que: 
pC Calor específico, kcal/kg.°C 
F Vazão de petróleo, kg/h 
gF Vazão de gás, kg/h 
28 
 
T Temperatura do petróleo na saída, °C 
iT Temperatura do petróleo na entrada, °C 
gλ Calor de combustão do gás, kcal/kg 
 
Usando essa informação, derive uma lei de controle que dadas as medidas de F, iT , e 
conhecendo o valor desejado intsetpoT ajuste o valor de gF . Enumere os possíveis problemas 
dessa lei de controle. 
 
1.8 Um tanque com seção transversal de 1,5 m2 armazena líquido que no estado estacionário 
tem vazão de entrada e saída igual a 0,05 m3/h para um nível de líquido igual a 3 m. 
 
Figura 1.23 Tanque de armazenamento. 
 
Com um controlador proporcional que é representado pela seguinte equação: 
( )scs hhKFF −+= 
Derive a resposta do sistemaquando ocorre uma variação brusca em iF de 0,05 para 0,075 
m3/h. Apresente um gráfico com a resposta de h . Para que valor o nível tende no novo estado 
estacionário? 
 
1.9 Uma coluna de destilação tem a seguinte estrutura de controle: 
 
29 
 
 
Figura 1.24 Coluna de destilação. 
 
Para cada uma das malhas de controle, analise as variáveis controladas e manipuladas. 
Discuta a funcionalidade de cada malha individualmente. 
Analise o comportamento global desse conjunto de malhas. Explique porque o sistema de 
controle não vai funcionar. 
 
1.10 Em um resfriador de um produto líquido, tem-se o seguinte esquema de controle: 
 
 
Figura 1.25 Resfriador. 
 
30 
 
Pretende-se controlar a temperatura de saída do produto e a vazão total de produto hF . A 
vazão do refrigerante é mantida no valor máximo e não pode ser manipulada. Mostre 
esquematicamente as duas malhas de controle indicando quais válvulas serão usadas. 
Enumere os distúrbios de cada malha. 
 
2 Simulação de processos para controle: Modelos 
dinâmicos de processos típicos. Integração de 
equações diferenciais com Scilab. Entradas e 
saídas. 
 
2.1 Importância do modelo matemático 
 
Este capítulo discute com maiores detalhes a modelagem matemática e a simulação de 
sistemas dinâmicos com emprego do computador. Conforme vimos no Capítulo 1, a 
importância de se conhecer a dinâmica dos processos no estudo do controle desses processos 
é que, para termos sucesso em fazer com que um sistema se comporte de maneira desejada, 
devemos em primeiro lugar conhecer o comportamento dinâmico do sistema em si, sem o 
auxílio ou interferência do controlador. A tarefa de se projetar os sistemas de controle para ser 
adequadamente realizada necessita do conhecimento das dinâmicas inerentes aos processos. 
 
No projeto de controladores para processos químicos, precisamos da representação 
matemática dos fenômenos físicos e químicos que ocorrem neles. Tal representação 
matemática constitui o modelo do sistema, e a tarefa de construir o modelo chama-se 
modelagem. 
 
A modelagem de um processo químico requer o uso de princípios básicos da ciência da 
engenharia química, como termodinâmica, cinética, fenômenos de transporte, etc. Porém, a 
equação ou conjunto de equações que compreendem o modelo são, na melhor das hipóteses, 
uma aproximação do processo real. Usualmente, é possível melhorar a precisão de um modelo 
matemático ao custo de um aumento na sua complexidade. No entanto, na construção de um 
modelo matemático para controle, frequentemente adotamos suposições simplificadoras sem 
comprometer a precisão dos resultados da análise. 
 
Os modelos matemáticos são úteis na análise e controle de processos pelos seguintes motivos: 
 
Melhor entendimento do processo - modelos de processos podem ser analisados ou usados 
em simulações no computador para investigar o comportamento do processo sem o custo e os 
perigos de operar o processo real. Essa maneira é necessária quando não é factível realizar 
experimentos dinâmicos na planta ou antes dela estar construída. 
 
Treinamento dos operadores - os operadores podem ser treinados para operar um processo 
complexo e lidar com situações de emergência usando um simulador de processo. 
 
31 
 
Projeto da estratégia de controle de um novo processo - um modelo de processo 
permite avaliar diferentes estratégias de controle, por exemplo, na seleção das variáveis a 
serem medidas (controladas) e aquelas a serem manipuladas. 
 
Escolha dos ajustes do controlador - um modelo dinâmico do processo pode ser usado 
para obter os ajustes apropriados do controlador, por meio de simulação em computador ou 
análise direta do modelo dinâmico. 
 
Projeto da lei de controle - técnicas de controle moderno muitas vezes incorporam um 
modelo na lei de controle. Tais técnicas são denominadas de controle baseado em modelo. 
 
Otimização das condições de operação do processo - em muitas plantas de processo há 
incentivos de ajustar periodicamente as condições de operação, de modo a maximizar o lucro 
ou minimizar os custos. 
 
 
2.2 Variáveis e equações do modelo do processo 
 
Na maioria dos sistemas de processamento interessantes ao engenheiro químico, temos três 
grandezas fundamentais: massa, energia e momento. Os modelos de processos, ditos 
rigorosos, são baseados nos balanços de uma ou mais dessas grandezas no processo como um 
todo, ou em partes do processo. No caso de sistemas dinâmicos (que variam com o tempo), 
para cada equação de balanço, nós temos associada à equação resultante, uma variável que 
mede a grandeza que está sendo balanceada. Por exemplo, no caso de um balanço de massa de 
um componente em um reator, a concentração do componente estará associada a esse balanço. 
No caso do balanço de energia, a temperatura poderá estar associada a esse balanço. Essas 
variáveis que são balanceadas são chamadas de variáveis de estado e seus valores definem o 
estado de um sistema de processamento. Mais especificamente, o estado de um sistema 
dinâmico é um conjunto de variáveis cuja evolução no tempo descreve completamente o 
comportamento interno do sistema. Em uma representação mais abstrata, as variáveis de 
estado não necessitam ser fisicamente mensuráveis e podem ser representadas por outras 
variáveis medidas chamadas saídas do sistema. Além disso, as variáveis de estado dependem 
de algumas variáveis independentes que entram nos balanços, mas não são balanceadas. Essas 
variáveis são chamadas de entradas. 
 
As equações que relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) às variáveis 
independentes através da aplicação dos princípios de conservação sobre as grandezas 
fundamentais são chamadas de equações de estado. As equações de estado e as variáveis de 
estado, além das equações que relacionam as saídas com os estados, constituem o modelo 
matemático do processo. 
 
Genericamente, o modelo dinâmico do processo pode ser representado da seguinte forma: 
 
ɺ ( , , )x f x u d= (2.1) 
y h x u= ( , ) (2.2) 
 
onde nR∈x é o vetor de variáveis de estado, f é o conjunto de equações que representam os 
balanços de massa, energia e momento, kR∈u é vetor de entradas que podem ser 
32 
 
manipuladas, lR∈d é o vetor de entradas não manipuladas, mR∈y é o vetor de saídas e h é 
o conjunto de equações que definem as saídas. 
 
 
2.3 Desenvolvimento de modelos dinâmicos dos 
processos 
 
O princípio da conservação de uma quantidade G estabelece que 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]G de consumo de taxaG de geração de taxa 
fora para G de vazãodentro para G de vazão
periodo
controle de volumedo
dentro G de acumulo
−+
−=






 (2.3) 
 
A variável G pode ser a massa total, a massa de um componente individual, a energia total e 
a quantidade de movimento. 
 
Para ilustrar a montagem de modelos dinâmicos, considere o sistema da Figura 2.1, onde o 
contorno que define o sistema é fixo (velocidade nula) e as propriedades do sistema são 
uniformes. 
 
 
Figura 2.1 Sistema fixo e as suas interações com o meio externo. 
 
A aplicação do princípio da conservação das quantidades fundamentais: massa total, massa do 
componente A e energia no sistema, resulta nas seguintes equações: 
 
Balanço de massa total 
 
∑∑
==
ρ−ρ=ρ
M
1j
jj
N
1i
ii FFdt
)V(d
 (2.4) 
 
em que ρ é a densidade média do sistema (massa/volume), V é o volume do sistema, iF é a 
vazão volumétrica da corrente i (volume/tempo), iρ é a densidade da corrente i 
(massa/volume). 
33 
 
 
Balanço de massa do componente A 
 
rVFcFc
dt
)Vc(d M
1j
jAj
N
1i
iAi
A ±−= ∑∑
==
 (2.5) 
 
em que Ac é a concentração de A dentro do sistema,Aic é a concentração de A na corrente i e 
r é a taxa de formação ou consumo de A. 
 
Balanço de energia total 
 
s
M
1j
jjj
N
1i
iii WQhFhFdt
dE
++ρ−ρ= ∑∑
==
 (2.6) 
 
em que E é a energia total do sistema (energia interna + energia cinética + energia potencial), 
ih é a entalpia da corrente i (energia/massa), Q é o fluxo de calor fornecido ao sistema 
(energia/tempo) e sW é o trabalho realizado sobre o sistema (energia/tempo). 
 
Balanço da quantidade de movimento 
 
∑=
υρ
i
ifdt
)V(d
 (2.7) 
 
em que υ é velocidade do sistema e if é uma força que age sobre o sistema. 
 
A aplicação das equações 2.4 a 2.7 ao sistema fornece um conjunto de equações diferenciais, 
cuja solução determinará o comportamento dinâmico do processo. 
 
Se as variáveis de estado não variam com o tempo, dizemos que o processo está em estado 
estacionário. Neste caso, as taxas de acúmulo das grandezas fundamentais são iguais a zero e 
os balanços resultantes levam a um conjunto de equações algébricas. 
 
Além das equações de balanço modelo do processo inclui outras equações, chamadas de 
equações constitutivas, que expressam o equilíbrio termodinâmico, as taxas de reações, as 
taxas de transporte de calor, as taxas de transporte de massa, as taxas de transporte de 
momento e assim por diante. 
 
 
2.4 Modelos dinâmicos de processos típicos 
 
 
Exemplo 2.1 Tanque de aquecimento a vapor 
 
Considere o tanque agitado com aquecimento de vapor representado na Figura 2.2, onde 
estamos interessados em controlar o nível e a temperatura do líquido contido no tanque. Para 
tal, queremos as variáveis de estado e as equações de estado do tanque. 
34 
 
 
Figura 2.2 Tanque de aquecimento com agitação. 
 
As equações de estado desejadas podem ser desenvolvidas aplicando os balanços de massa 
total e de energia no tanque. 
 
Balanço de massa do líquido 
 
FF
dt
)V(d
ii ρ−ρ=
ρ
 (2.8) 
ou 
FF
dt
)Ah(d
ii ρ−ρ=
ρ
 (2.9) 
 
em que A é a área da seção transversal e h é o nível de líquido no tanque. 
 
Supondo que a densidade seja constante, temos: 
 
FF
dt
dhA i −= (2.10) 
 
( )FF
A
1
dt
dh
i −= (2.11) 
 
que é a equação que relaciona o nível de líquido no tanque com as vazões de entrada e saída. 
 
Balanço de energia 
 
Desprezando-se as contribuições das energias cinética e potencial, o balanço de energia no 
tanque de aquecimento pode ser escrita da seguinte forma: 
 
( ) ( ) QTTFCTTCF
dt
)]TT(AhC[d
refprefipi
refp +−ρ−−ρ=
−ρ
 (2.12) 
 
em que pC é o calor específico do líquido. 
35 
 
 
Supondo que pC seja constante e assumindo 0Tref = , temos 
 
p
ii C
QFTTF
dt
)hT(dA
ρ
+−=
 (2.13) 
p
ii C
QFTTF
dt
dhAT
dt
dTAh
ρ
+−=+
 (2.14) 
 
Substituindo a equação 2.11 na equação 2.14, obtemos 
 
( )
p
iii C
QFTTFFFT
dt
dTAh
ρ
+−=−+
 (2.15) 
( )
p
ii C
QTTF
dt
dTAh
ρ
+−= (2.16) 
ou 
 
( )








ρ
∆
+−=
p
stst
ii C
HFTTF
Ah
1
dt
dT
 (2.17) 
 
Sob uma forma matricial-vetorial, as equações 2.11 e 2.17 podem ser escritas como 
 
)d,d,u,u,x,x(fx
)d,d,u,u,x,x(fx
21212122
21212111
=
=
ɺ
ɺ
 (2.18) 
e as duas equações da saída como 
 
)u,u,x,x(hy
)u,u,x,x(hy
212122
212111
=
=
 (2.19) 
 
em que: 






=





=
T
h
x
x
2
1
x (2.20) 






=





=
T
h
y
y
2
1y (2.21) 






=





=
F
F
u
u st
2
1
u (2.22) 






=





=
i
i
2
1
F
T
d
d
d (2.23) 
 
36 
 
( )
( )








ρ
∆
+−=
−=
p
st
1212
1
2121212
222121211
C
H
uxdd
Ax
1)d,d,u,u,x,x(f
ud
A
1)d,d,u,u,x,x(f
 (2.24) 
 
221212
121211
x)u,u,x,x(h
x)u,u,x,x(h
=
=
 (2.25) 
 
Nas equações 2.18-25, referimos h e T como variáveis de estado e iF , iT , stF e F como 
entradas (mesmo que F seja vazão de saída, pois seu valor é ditado pelo meio externo e age 
sobre o sistema). Para resolvermos esse problema, temos que especificar as funções )t(Fi , 
)t(Ti , )t(Fst e )t(F , os parâmetros ρ , pC , A e as condições iniciais )0(h e )0(T . 
 
Exemplo 2.2 Modelo matemático de um CSTR 
 
Considere o reator CSTR com camisa de resfriamento esquematizado na Figura 2.3, onde o 
reagente A é convertido em um produto. 
 
 
 
Figura 2.3 Reator CSTR. 
 
Nesse caso, queremos controlar o nível de produto e a concentração do componente A no 
produto. As equações de estado são desenvolvidas aplicando o balanço de massa, balanço do 
componente A e balanço de energia no tanque. Vamos supor que a densidade e a capacidade 
calorífica sejam constantes. Daí, temos: 
 
Balanço de massa do líquido reagente 
 
FF
dt
dV
i −= (2.26) 
 
Balanço de massa do componente A 
 
rVFcFc
dt
)Vc(d
AiAi
A
−−= (2.27) 
 
37 
 
rVFcFc
dt
dV
c
dt
dcV AiAiAA −−=+ (2.28) 
 
Substituindo (2.26) em (2.28), temos 
 
( ) rVFcFcFFc
dt
dcV AiAiiAA −−=−+ (2.29) 
 
Analogamente, usando uma equação constitutiva para a taxa de reação r , temos 
 
VcekcFcF
dt
dcV A
RTE
0AiAii
A −
−−= (2.30) 
( ) ARTE0AAieA cekccV
F
dt
dc
−
−−= (2.31) 
 
Balanço de energia no líquido reagente 
 
Desprezando os componentes de energia cinética e potencial, temos 
 
QrVHTCFTCF
dt
)TVC(d
rpipi
p
−∆−ρ−ρ=
ρ
 (2.32) 
onde rH∆ é o calor de reação. Daí: 
 
QrVHTCFTCF
dt
dTV
dt
dVTC rpipip −∆−ρ−ρ=





+ρ (2.33) 
 
Substituindo (2.26) em (2.33), temos 
 
( ) QrVHTCFTCF
dt
dTVFFTC rpipiip −∆−ρ−ρ=



+−ρ (2.34) 
QrVHTCFTCF
dt
dTV rpiipi −∆−ρ−ρ= (2.35) 
( )
pp
r
i
i
CV
Q
C
r)H(TT
V
F
dt
dT
ρ
−
ρ
∆−
+−= (2.36) 
 
Podemos também usar a equação constitutiva que relaciona o fluxo de calor com as 
temperaturas: 
 
( )ct TTUAQ −= (2.37) 
 
Considerando a reação cinética como de primeira ordem, temos 
 
A
RTE
0 cekr
−
= (2.38) 
 
38 
 
Então as variáveis de estado são V , Ac e T , e as formas explícitas das funções não lineares 
são dadas pelas equações 2.26, 2.31 e 2.36. Nesse caso, o modelo na forma das equações 2.1 e 
2.2 é 
 










=
T
c
V
Ax (2.39) 






=
Ac
V
y (2.40) 






=
cT
F
u (2.41) 










=
i
Ai
i
T
c
F
d (2.42) 
( )
( ) ( )


















−
ρ
−
ρ
∆−
+−
−−
−
=
−
−
c
p
t
A
RTE
0
p
r
i
i
A
RTE
0AAi
i
i
TT
CV
UA
cek
C
)H(TT
V
F
Vcekcc
V
F
FF
f (2.43) 
 
Para resolvermos esse problema, temos que especificar as vazões )t(Fi e )t(F , as 
temperaturas )t(Ti e )t(Tc , os parâmetros ρ , pC , A , U, tA , 0k , E , R , rH∆ e as 
condições iniciais )0(V , )0(cA e )0(T . 
 
 
2.5 Tempo morto ou atraso por transporte 
 
Nos exemplos de modelagem construídos pode-se observar que quando ocorre uma alteração 
em uma das variáveis de entrada (perturbações e variáveis manipuladas), seu efeito é 
instantaneamente observado nas variáveis de estado e nas saídas. Entretanto, pode-se observar 
em vários processos da indústria que quando uma variável de entrada varia, há um intervalo 
de tempo (curto ou longo) durante o qual nenhum efeito é observado nas saídas do sistema. 
Esse intervalo de tempo é chamado tempo morto. 
 
Um caso típico é o escoamento de um fluído através de um tubo (Figura 2.4). Não havendo 
troca de calor com o ambiente, no estado estacionário a temperatura oT da corrente na saída 
to tubo será igual à da entrada iT . Supondo que temos um fluido incompressível e que em 
0t = a temperatura da entrada varie conforme a curva A (Figura 2.5). É claro que a oT 
permanecerá a mesma até que a variação atinja o fim do tubo, quando, então, oT variará de 
39 
 
acordo com a curva B. Notemos que a temperatura da saída segue o mesmo comportamento 
da temperatura de entrada com um atraso de dt segundos. Assim, dt é o tempo morto. 
 
 
Figura 2.4 Sistema com retardo por transporte. 
 
Para o fluido incompressível podemos calcular facilmente o valor do retardo. 
 
F
AL
t d = (2.44) 
em que F é a vazão do fluido no tubo. 
 
 
Figura 2.5 Resposta do retardo por transporte a um estímulo. 
 
Observando a Figura 2.5, é claro que podemos escrever a seguinte equação: 
 
)tt(T)t(T dio −= (2.45) 
 
isto é, a temperatura na saída num dado instante t é exatamente igual à temperatura na 
entrada dt instantes atrás. 
 
2.6 Sistemas de parâmetros concentrados e de 
parâmetros distribuídos 
 
Até este ponto, a análise dos processos foi baseada em modelos, cujas variáveis de interesse 
variam apenas com o tempo e não no espaço, ou seja, as propriedades e o estado do sistema 
são considerados homogêneos em todo o volume de controle. Esse tipo de sistema é dito de 
parâmetros concentrados e o modelo corresponde a um conjunto de equações diferenciais 
ordinárias. Por outro lado, quando o comportamento do sistema é descrito tanto no tempo 
quanto no espaço, ele é denominado de sistema de parâmetros distribuídos e resulta em 
equações diferenciais parciais. 
 
 
 
 
40 
 
Exemplo 2.3 
 
Para ilustrar a diferença entre um sistema de parâmetros concentrados e um sistema de 
parâmetros distribuídos, considere uma barra de material sólido de espessura infinita, como 
mostra a Figura 2.6. Considere que a entrada para esse sistema seja a temperatura da 
superfície esquerda ( 0x = ), que é uma certa função arbitrária do tempo. A condutividade 
térmica k , a capacidade calorífica pC e a densidade ρ do material são constantes. 
Inicialmente ( 0t < ), a barra se encontra a uma temperatura uniforme de regime estabelecido. 
 
 
Figura 2.6 Condução de calor num sólido. 
 
Neste problema, a temperatura na barra que é função da posição e do tempo é denotada por 
)t,x(T . Assim, a temperatura da superfície é indicada por )t,0(T . Para deduzirmos a equação 
diferencial que descreve a condução de calor na barra, escrevemos primeiro um balanço de 
energia sobre um comprimento diferencial xδ da barra. Esse balanço de energia pode ser 
escrito da seguinte forma: 
 
Taxa de acumulacao
de energia interna no
volume do elemento
Fluxo de entrada de
calor pela superficie
esquerda por conducao
Fluxo de saida de
calor pela superficie
direita por conducao










=










−










 (2.46) 
 
O fluxo de calor por condução segue a lei de Fourier 
 
x
TkAq
∂
∂
−= (2.47) 
 
em que 
 
q = fluxo de calor por condução 
xT ∂∂ = gradiente de temperatura 
k = condutividade térmica 
 
Aplicando a equação 2.47 à equação 2.46, resulta 
 
( )[ ] 




 δ





∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−−
∂
∂
−=−δρ
∂
∂
x
x
TkA
xx
TkA
x
TkATTxAC
t refp
 (2.48) 
 
41 
 
em que refT é a temperatura de referência usada para calcular a energia interna. 
Simplificando, a equação 2.48 resulta na equação fundamental que descreve a condução num 
sólido: 
 
( )[ ] x
x
TkATTxAC
t 2
2
refp δ∂
∂
=−δρ
∂
∂
 (2.49) 
2
2
p x
T
C
k
t
T
∂
∂
ρ
=
∂
∂
 (2.50) 
 
Essa equação é freqüentemente descrita sob a forma: 
 
2
2
x
T
t
T
∂
∂
α=
∂
∂
 (2.51) 
 
em que pCk ρ=α é a difusividade térmica. 
 
Pode ser demonstrado que o atraso por transporte é um sistema de parâmetros distribuídos. 
 
 
2.7 Rotinas de integração do Scilab 
 
O Scilab é um software para computação científica que vem sendo desenvolvido desde 1990 
por pesquisadores do Institut Nationale de Recherche en Informatique et en Automatique, 
INRIA, e a École Nationale des Ponts et Chaussées, ENPC, na França e mantido pelo Scilab 
Comsortium desde maio de 2003 até quando passou a ser mantido e desenvolvido pelo Scilab 
Enterprises em julho de 2012. É gratuito (free software) e é distribuído com o código fonte 
(open source software) e vem sendo usado em ambientes educacionais e industriais pelo 
mundo. Pode ser baixado do endereço www.scilab.org. 
 
O Scilab é uma linguagem de programação de alto nível e propicia um ambiente voltado para 
o desenvolvimento de programas para a resolução de problemas numéricos. Um tratamento 
mais detalhado sobre simulação de processos com Scilab pode ser encontrado em Kwong 
(2016). 
 
Esta seção descreve como se utiliza rotinas do Scilab para simular sistemas dinâmicos. 
Ilustraremos com alguns exemplos numéricos. O Scilab tem várias rotinas de integração, mas 
nos restringiremos à rotina ode, que resolve problemas de condição inicial. 
 
A forma de chamamento mais simples da função ode é 
 
y=ode(y0,t0,t,f) 
 
onde 
 
y0 vetor das condições iniciais das variáveis de estado 
t0 tempo inicial 
42 
 
t vetor de tempo 
f variável string contendo o nome da função de derivadas 
 
 
Exemplo 2.4 Sistema de nível 
 
Considere o sistema mostrado na Figura 2.7, que consiste de um tanque de seção reta com 
área uniforme A ao qual é adaptada uma resistência ao fluxo R . 
 
 
Figura 2.7 Sistema de nível. 
 
Suponha que a vazão F através da resistência R se relacione com a altura de líquido h pela 
relação linear 
 
R
hF = 
 
Uma resistência que apresenta essa relação linear entre a vazão de saída e a altura de líquido é 
chamada de resistência linear (por exemplo, uma tubulação é uma resistência linear se o fluxo 
for laminar). 
 
O tanque está operando em estado estacionário com uma vazão de 4 m3/min e nível do líquido 
está com 2 m de altura. No instante zero, a vazão é aumentada bruscamente para 5 m3/min. 
Encontre a resposta do tanque a esse distúrbio. 
 
Os valores dos parâmetros e condição inicial são 
 
4Fis = m
3/min 
10A = m2 
5,0R = m/(m3/min) 
2)0(h = m 
 
Balanço de massa 
 
FF
dt
dhA i −= 
 
A
FF
dt
dh i −
= 
 
43 
 
Programa 
 
clear 
clearglobal 
clc 
 
//Função das derivadas 
function dht=tanque(t, x) 
 global A R 
 global Fi 
 h=x 
 F=h/R 
 dht=(Fi-F)/A 
endfunction 
 
//Programa principal 
global A R 
global Fi 
 
//Valores dos parâmetros e condição inicial 
A=10 //m2 
R=0.5 //m/(m3/min) 
Fis=4 //m3/min 
hs=2 //m 
 
//Entradas 
DeltaFi=1//degrau unitário 
Fi=Fis+DeltaFi //distúrbio, m3/min 
 
//Gera simulação usando ode 
t0=0 
tf=30 //min 
x0=hs //estado inicial 
t=t0:1:tf 
x=ode(x0,t0,t,tanque) //estado 
h=x //saída, m 
 
//Plota gráficos 
scf(1) 
clf 
plot(t,h) 
xlabel('t (min)') 
ylabel('h (m)') 
 
 
A resposta da altura h é mostrada na Figura 2.8. Note que a altura tende para um novo estado 
estacionário 50,2)(h =∞ m. 
 
44 
 
 
Figura 2.8 Resposta da altura h ao distúrbio. 
 
Exemplo 2.5 Tanque de mistura 
 
Considere o processo de mistura mostrado na Figura 2.9 no qual duas correntes de uma 
solução contendo A escoam para um tanque de volume de armazenamento V constante. 
 
 
Figura 2.9 Tanque de mistura. 
 
O tanque está operando em estado estacionário com as vazões de entrada 1F e 2F iguais a 6,9 
e 0,14 m3/min, respectivamente, vazão de saída de 7,04 m3/min e volume de retenção de 35 
m3. No instante zero, a vazão 2F é aumentada bruscamente para 0,24 m
3/min. Encontre a 
resposta da concentração de A no tanque a esse distúrbio. 
 
Os valores dos parâmetros e condição inicial são 
 
35V = m3 
9,6F1 = m
3/min 
14,0F2 = m
3/min 
1c1 = % 
45 
 
100c2 = % 
97,2)0(c = % 
 
Balanço de A 
 
( )cFFcFcF
dt
dcV 212211 +−+= 
 
c
V
FF
c
V
F
c
V
F
dt
dc 21
2
2
1
1 +
−+= 
 
Programa 
 
clear 
clearglobal 
clc 
 
//Função das derivadas 
function dct=tanque_de_mistura(t, x) 
 global V 
 global F1 F2 F c1 c2 
 c=x 
 F=F1+F2 
 dct=F1/V*c1+F2/V*c2-F/V*c 
endfunction 
 
//Programa principal 
global V 
global F1 F2 F c1 c2 
 
//Valores dos parâmetros e condição inicial 
V=35 //m3 
F1=6.9 //m3/min 
F2s=0.14 //m3/min 
c1=1 //% 
c2=100 //% 
cs=2.97 //% 
 
//Entradas 
DeltaF2=0.1 //degrau de amplitude 0,1 
F2=F2s+DeltaF2 //distúrbio, m3/min 
 
//Gera simulação usando ode 
t0=0 
tf=30 //min 
x0=cs //estado inicial 
t=t0:1:tf 
x=ode(x0,t0,t,tanque_de_mistura) //estado 
c=x //saída, % 
 
//Plota gráficos 
scf(1) 
clf 
plot(t,c) 
xlabel('t (min)') 
ylabel('c (%)') 
46 
 
 
 
A resposta da concentração c em % é mostrada na Figura 2.10. Note que a concentração 
tende para um novo estado estacionário 33,4)(c =∞ %. 
 
 
Figura 2.10 Resposta da concentração c ao distúrbio. 
 
 
Exemplo 2.6 
 
O sistema de dois tanques mostrado na Figura 2.11, encontra-se em operação em regime 
estacionário com vazão de entrada de 20 m3/min. No tempo 0t = , a vazão de entrada é 
aumentada bruscamente para 120 m3/min, durante 0,1 min, pela adição de 10 m3 de água no 
tanque, de maneira uniforme. Determine o desvio máximo do nível (m) nos dois tanques, a 
partir dos valores finais do novo regime estabelecido, e também o instante em que cada 
máximo ocorrerá. 
 
Os valores dos parâmetros e condições iniciais são 
 
10AA 21 == m
2 
1,0R1 = m/(m3/min) 
35,0R 2 = m/(m3/min) 
2)0(h1 = m 
7)0(h1 = m 
 
47 
 
 
Figura 2.11 Sistema de dois tanques em série sem interação. 
 
Suponha que a vazão F através da resistência R se relacione com a altura de líquido h pela 
relação linear 
 
R
hF = 
 
Daí, podemos escrever as seguintes equações: 
 
Balanço de massa no tanque 1 
 
1i
1
1 FFdt
dhA −= 
 
Balanço de massa no tanque 2 
 
21
2
2 FFdt
dhA −= 
 
Programa 
 
clear 
clearglobal 
clc 
 
//Função das derivadas 
function dxt=tanque(t, x) 
 global A1 A2 R1 R2 
 global Fis balde Deltat 
 h1=x(1) 
 h2=x(2) 
 if t<0.1 then 
 Fi=Fis+balde/Deltat 
 else 
 Fi=Fis 
 end 
 F1=h1/R1 
 F2=h2/R2 
 dh1t=(Fi-F1)/A1 
48 
 
 dh2t=(F1-F2)/A2 
 dxt=[dh1t;dh2t] 
endfunction 
 
//Programa principal 
global A1 A2 R1 R2 
global Fis 
 
//Valores dos parâmetros e condições iniciais 
A1=10 //m2 
A2=10 //m2 
R1=0.1 //m/(m3/min) 
R2=0.35 //m/(m3/min) 
Fis=20 //m3/min 
h1s=2 //m 
h2s=7 //m 
 
//Entradas 
balde=10 //pulso, m3 
Deltat=0.1 //min 
 
//Gera simulação usando ode 
t0=0 
tf=10 //min 
x0=[h1s;h2s] //estado inicial 
t=t0:0.001:tf 
x=ode(x0,t0,t,tanque) //estados 
h1=x(1,:) //saída 
h2=x(2,:) //saída 
 
//Plota gráficos 
scf(1) 
clf 
plot(t,h1,t,h2) 
xlabel('t (min)') 
ylabel('h (m)') 
//legend(['h1';'h2']) 
xstring(2,2.2,'h1') 
xstring(6,7.34,'h2') 
 
//Localiza o máximo 
disp('Altura máxima') 
disp('') 
[h1max,k]=max(h1) 
printf('h1 = %f m\n',h1max) 
printf('instante em que o máximo ocorre = %f min\n',k*0.001) 
printf('\n') 
[h2max,k]=max(h2) 
printf('h2 = %f m\n',h2max) 
printf('instante em que o máximo ocorre = %f min\n',k*0.001) 
 
 
As respostas das alturas 1h e 2h são mostradas na Figura 2.12. Note que ambas as alturas 
retornam ao estado estacionário após um período transiente. 
 
49 
 
 
Figura 2.12 Respostas das alturas 1h e 2h . 
 
Os seguintes resultados são mostrados na janela de comando do Scilab. 
 
 
 Altura máxima 
 
 
h1 = 2.951625 m 
instante em que o máximo ocorre = 0.101000 min 
 
h2 = 7.605789 m 
instante em que o máximo ocorre = 1.805000 min 
 
 
 
Exemplo 2.7 Reator de Van de Vusse 
 
Considere o esquema de reações de Van de Vusse. 
CBA
21 kk
→→ 
DA2
3k
→ 
com 
2
A3A1A ckckr −−= 
B2A1B ckckr −= 
B2C ckr = 
2
A3D ck2
1
r = 
50 
 
 
O seguinte conjunto de equações diferenciais descreve o CSTR isotérmico. 
 
( ) 2A3A1AAfA ckckccV
F
dt
dc
−−−= 
B2A1B
B ckckc
V
F
dt
dc
−+−= 
B2C
C ckc
V
F
dt
dc
+−= 
2
A3D
D ck
2
1
c
V
F
dt
dc
+−= 
 
Os valores dos parâmetros são 
 
65k1 = min
-1 
35k 2 = min
-1
 
61k3 = mol/(L.min) 
 
Os valores das entradas e condições iniciais usados na simulação são 
 
74VF = min-1 
10cAe = mol/L 
2)0(cA = mol/L 
117,1)0(cB = mol/L 
256,3)0(cC = mol/L 
311,1)0(cC = mol/L 
 
Aqui, a concentração inicial de Ac não satisfaz o valor estacionário, que é de 3 mol/L, nas 
condições das entradas. Portanto, a resposta transiente é resposta à condição inicial e não 
devido a algum distúrbio no sistema. 
 
Programa 
 
clear 
clearglobal 
clc 
 
//Função das derivadas 
function dxt=vdv(t, x) 
 global k1 k2 k3 
 global FsV cAe 
 cA=x(1) 
 cB=x(2) 
 cC=x(3) 
 cD=x(4) 
 dcAt=FsV*(cAe-cA)-k1*cA-k3*cA^2 
 dcBt=-FsV*cB+k1*cA-k2*cB 
 dcCt=-FsV*cC+k2*cB 
51 
 
 dcDt=-FsV*cD+1/2*k3*cA^2 
 dxt=[dcAt;dcBt;dcCt;dcDt] 
endfunction 
 
//Programa principal 
global k1 k2 k3 
global FsV cAe 
 
//Valores dos parâmetros e condições iniciais 
k1=5/6 //1/min 
k2=5/3 //1/min 
k3=1/6 //mol/(L.min) 
cA0=2 //mol/L 
cB0=1.117 //mol/L 
cC0=3.256 //mol/L 
cD0=1.311 //mol/L 
 
//Entradas 
FsV=4/7 //1/min 
cAe=10 //mol/L 
 
//Gera simulação usando ode 
t0=0 
tf=10 //min 
x0=[cA0;cB0;cC0;cD0] //estado inicial 
t=t0:0.01:tf 
x=ode(x0,t0,t,vdv) //estados 
cA=x(1,:) //saída 
cB=x(2,:) //saída 
cC=x(3,:) //saída 
cD=x(4,:) //saída 
 
//Plota gráficos 
scf(1) 
clf 
plot(t,cA,t,cB,t,cC,t,cD) 
xlabel('t (min)') 
ylabel('c (mol/L)') 
legend(['cA';'cB';'cC';'cD']) 
 
 
A Figura 2.13 mostra que o sistema converge para o seguinte estado estacionário: 
 
3)(cA =∞ mol/L 
117,1)(cB =∞ mol/L 
256,3)(cC =∞ mol/L 
311,1)(cC =∞ mol/L 
 
52 
 
 
Figura 2.13 Resposta transiente à condição inicial de Ac que não satisfaz o estado 
estacionário. 
 
 
Exercícios 
 
2.1 Considere um reator químico com "bypass", como mostrado na figura abaixo. Assuma 
que a taxa de reaçãoseja de primeira ordem ( 1AA kcr = ) onde 1Ac é a concentração no reator. 
Assuma que o volume do reator ( V ) e a vazão de alimentação ( F ) permaneçam constantes. A 
fração de alimentação que "bypassa" o reator é ( )F1 α− e o que entra no reator é Fα . Assuma 
que a fração que bypassa o reator não se altera. A concentração de alimentação ( Aic ) é a 
variável de entrada e a composição na saída da corrente misturada ( 2Ac ) é a variável de saída. 
Escreva o modelo na forma de espaço de estado, usando variáveis desvios. 
 
BuAxx +=ɺ 
DuCxy += 
53 
 
 
Figura. Reator com reciclo 
 
 
Simule a resposta ao degrau unitário para os seguintes parâmetros. 
 
10F = L/min 
100V = L 
1cAi = gmol/L 
5,0=α 
1,0k = min-1 
 
 
2.2 Trocador duplo tubo. 
 
Considere o trocador de calor mostrado na Figura 2. O fluido que escoa pelo tubo interior a 
uma velocidade constante v é aquecido pelo vapor que condensa pelo lado de fora do tubo. 
 
 
 
Figura Trocador de calor com tubo duplo. 
 
 
2.3 Em um tanque de aquecimento de líquido, temos o seguinte esquema: 
 
54 
 
 
em que: 
 
F vazão 
T temperatura 
V volume 
Q fluxo de calor 
ρ densidade 
pC calor específico 
 
a) Considerando que V , pC e ρ são constantes, montar o modelo para controle da 
temperatura de saída através da manipulação de Q . 
b) Considerando que V é variável, montar o modelo para controle da temperatura 
manipulando Q e o controle do nível de líquido manipulando F . 
c) Suponha que a válvula 2 emperre em uma posição intermediária. Como ficaria o modelo 
para controlar o nível manipulando F e a temperatura manipulando iF ? 
 
2.4 Em um tanque de mistura com volume V constante, pretende-se controlar a concentração 
da corrente de saída em um valor intermediário entre as concentrações das correntes de 
entrada ( 21 ccc << ) manipulando-se 1F . 
 
 
 
 
55 
 
Desenvolva o modelo para controle de c considerando que 1c e 2c são variáveis. Qual seria a 
alternativa para a estratégia de controle se fosse observado que a válvula da corrente 1 
frequentemente fica toda aberta e queremos usar o máximo da corrente 2. 
 
2.5 Dois tanques são conectados conforme a figura a seguir: 
 
 
 
Pretende-se controlar o nível 1h de líquido no primeiro tanque manipulando-se a vazão 
volumétrica de entrada iF . Para tal, precisamos de um modelo dinâmico que relacione essas 
duas variáveis. O fluxo através de cada uma das válvulas indicadas na figura obedece à 
equação 
 
hKF ∆= 
 
em que h∆ é a perda de carga (em coluna de líquido) na válvula. Podemos considerar que a 
densidade é a mesma para todas as correntes. 
 
2.6 Desenvolva um modelo para o sistema a seguir sabendo-se que vamos controlar 1h 
manipulando 1F e 2h manipulando 3F . Vale a seguinte relação: 
 
111 hKF = 
 
 
56 
 
Como ficaria o modelo se 2h fosse controlado manipulando-se 2F ? 
 
2.7 Um tambor de vaporização de um composto puro para injeção em um reator pode ser 
representado como a seguir: 
 
 
 
LF vazão de líquido (mol/min) 
VF vazão de vapor (mol/min) 
Q fluxo de calor (kcal/min) 
LV volume de líquido (L) 
TV volume total do vaso (L) 
Lρ densidade do líquido (mol/L) 
Vρ densidade do vapor (mol/L) 
vh∆ calor latente de vaporização (kcal/kg) 
 
Pretende-se controlar o nível de líquido manipulando-se LF e a pressão no tambor 
manipulando-se o fluxo de calor. Considerando que a pressão não é muito alta (vale a lei do 
gás ideal) e a densidade do vapor é bem menor que a densidade do líquido, desenvolver um 
modelo para o controle do tambor. Admitir também que o líquido entra no tambor no ponto de 
ebulição. 
 
2.8 Considere o sistema a seguir constituído por dois tanques de aquecimento e uma tubulação 
longa e termicamente isolada conectando os dois tanques. 
 
57 
 
 
 
iF , 1F , 2F , vazões, m
3/h 
1A , 2A áreas das seções dos tanques, m
2 
tA área da seção do tubo, m
2 
1Q , 2Q fluxos de calor, kcal/h 
iT , 1T , 
*
1T , 2T temperaturas, °C 
L comprimento do tubo, m 
ρ densidade, kg/m3 
pC calor específico, kcal/kg°C 
 
Admitindo-se que 111 hKF = e 222 hKF = , escrever o modelo do sistema supondo-se que seja 
pretendido controlar 2T manipulando-se 1Q e controlar 1h manipulando-se iF . 
 
2.9 Dois tanques em cascata são alimentados por uma corrente de líquido que pode ser 
manipulada na faixa 
maxii FF0 ≤≤ . A vazão da corrente que deixa o primeiro tanque é dada 
por 111 hKF = . A vazão da corrente que deixa o segundo tanque é dada por 222 hKF = . 
Pretende-se desenvolver um modelo para simular o enchimento dos dois tanques que 
inicialmente estão vazios. A condição de enchimento é max11 hh = e max22 hh = . Analisar as 
condições que devem ser obedecidas no estado estacionário para que o enchimento seja 
possível. 
 
58 
 
 
 
2.10 Desenvolva um modelo para o sistema a seguir envolvendo dois reatores CSTR onde 
ocorre uma reação BA → com cinética de primeira ordem em condições isotérmicas. O 
produto dos reatores é enviado para um tanque de mistura onde a composição de saída deve 
ser controlada. 
 
 
 
Admitindo que a densidade é a mesma para todas as correntes, montar o modelo do sistema 
admitindo que além de 3Ac , queremos controlar os níveis dos três tanques. 
 
2.11 Em reator tubular com jaqueta de aquecimento, ocorre uma reação endotérmica BA → 
com cinética de primeira ordem e calor de reação rH∆ (cal/mol). A reação ocorre em fase 
líquida. 
 
59 
 
 
 
Considerando que os calores específicos e densidades sejam constantes, montar um modelo 
do reator para controle da composição 2Ac . 
 
2.12 Considere o sistema a seguir onde a vazão iF é independente de P . A alimentação é 
totalmente líquida. No tambor, temos o líquido em contato com um gás inerte que não se 
dissolve no líquido. Desenvolver um modelo que será usado no controle do nível do líquido. 
 
 
 
Considerar que para o gás vale a lei do gás ideal e que 





ρ
−
+=
g
PPhKF atm . 
 
60 
 
3 Linearização de modelos: Modelos em variáveis 
de estado. Solução de modelos em variáveis de 
estado com Scilab. Comparação entre modelos 
não-lineares e linearizados. 
 
3.1 Linearização de modelos 
 
Para caracterizarmos o comportamento dinâmico dos processos químicos, temos de integrar 
as equações de estado usadas para modelar os processos. Muitos sistemas de processamento 
nos quais estamos interessados, são modelados por equações diferenciais não-lineares, e sabe-
se que não há teoria matemática geral para solução analítica de equações não-lineares. As 
soluções analíticas estão disponíveis apenas para equações diferenciais lineares. 
 
Quando nos defrontamos com análise dinâmica de sistemas não-lineares, podemos agir de 
várias maneiras, como: 
 
- Simulamos o sistema não-linear em computador digital ou analógico e computarmos sua 
solução. 
 
- Transformamos o sistema não-linear em linear por intermédio da transformação de suas 
variáveis. 
 
- Desenvolvemos um modelo linear que aproxima o comportamento dinâmico do sistema não-
linear em torno das condições de operação especificadas. 
 
 
3.2 Linearização de sistemas de uma variável 
 
Linearização é o procedimento pelo qual aproximamos sistemas não-lineares de lineares. Os 
sistemas lineares são largamente usados nos estudos de dinâmica de processos e em projeto de 
sistemas de controle, pelas seguintes razões: 
 
- Podemos desenvolver soluções analíticas para sistemas de equações diferenciais lineares. 
Assim podemos ter um quadro completo e geral do comportamento do processo 
independentemente dos valores dos parâmetros e das variáveis de entrada. Isso não épossível 
para sistemas não-lineares e soluções por computador, pois o comportamento do sistema é 
fornecido apenas para os valores especificados das entradas e dos parâmetros. 
 
- Todos os desenvolvimentos significativos em relação ao projeto de sistemas de controle 
efetivos têm sido limitados a processos lineares. 
 
A validade da utilização de modelos linearizados dependerá da operação do sistema. Como as 
variáveis controladas devem ser mantidas pelos controladores nos valores desejados ou 
61 
 
próximos deles, quando há um bom controle, os desvios são pequenos e o modelo linearizado 
é adequado. 
 
Para ilustrar a linearização de um modelo, considere a equação diferencial não-linear: 
 
)x(f
dt
dx
= (3.1) 
 
onde a função não-linear )x(f pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de um 
estado estacionário sx . 
 
( ) ( )
!n
xx
dx
fd
!2
xx
dx
fd
!1
xx
dx
df)x(f)x(f
n
s
x
n
n2
s
x
2
2
s
x
s
sss
−






++
−






+
−






+= … (3.2) 
 
Se desprezarmos todos os termos de ordem dois ou superior da série, obteremos uma 
aproximação linear para o valor de )x(f e a equação (3.2) pode ser escrita da forma: 
 
( )s
x
s xxdx
df)x(f)x(f
s
−





+≅ (3.3) 
 
Essa aproximação é boa apenas para valores de x próximos de sx . A Figura 3.1 mostra a 
função não-linear )x(f e sua aproximação em torno do ponto sx . A aproximação só é exata 
no ponto de linearização. 
 
 
 
Figura 3.1 Função não linear e sua aproximação linear em torno de sx . 
 
Substituindo na equação 3.1 a função )x(f por sua aproximação linear, tem-se: 
 
( )s
x
s xxdx
df)x(f
dt
dx
s
−





+= (3.4) 
 
62 
 
Observe que a equação 3.4 é uma equação diferencial linear cuja solução analítica é uma 
aproximação da solução da equação 3.1. Ou seja, a solução de (3.4) nos dá uma aproximação 
do comportamento do sistema dinâmico inicial representado pela equação 3.1. 
 
 
Exemplo 3.1 
 
Considere o sistema tanque da Figura 3.2 que consiste em um tanque de seção reta uniforme 
de área A e altura do nível de líquido h . 
 
 
 
Figura 3.2 Sistema de nível. 
 
A Área da seção transversal 
h Altura do nível de líquido 
 
Para um líquido de massa específica constante, o balanço da massa de líquido no tanque 
fornece: 
 
FF
dt
dV
i −= (3.5) 
 
a) Suponhamos que a vazão volumétrica por meio da resistência se relaciona com a altura de 
líquido h pela relação linear h
R
1F = , sendo constanteR = . Substituindo essa relação na 
equação 3.5 resulta na seguinte equação diferencial linear: 
 
h
R
1F
dt
dhA i −= (3.6) 
 
A equação 3.6 é uma equação diferencial linear, cuja expressão geral é )t(rx)t(fx =+′ . 
 
b) Suponhamos agora que a vazão volumétrica através da resistência se relaciona com a altura 
de líquido h pela relação não linear 
 
h
R
1F = (3.7) 
 
o que resulta na seguinte equação diferencial não-linear: 
 
63 
 
iFhR
1
dt
dhA =+ (3.8) 
 
A equação 3.8 contém um termo não-linear dado por h
R
1
. Expandindo esse termo em uma 
série de Taylor em torno do valor estacionário sh , tem-se 
 
( ) ( ) …+−−−+= 2s
3 2
s
s
s
s hh
hR8
1hh
hR2
1h
R
1h
R
1
 (3.9) 
 
Desprezando os termos de segunda ordem e superiores, o resultado é 
 
( )s
s
s hhhR2
1h
R
1h
R
1
−+≅ (3.10) 
 
Substituindo a equação 3.10 na equação 3.8, tem-se o seguinte modelo linearizado: 
 
si
s
h
R2
1Fh
hR2
1
dt
dhA −=+ (3.11) 
 
Exemplo 3.2 
 
Para o sistema tanque do Exemplo 3.1 com área 3,0A = m2, vamos verificar o efeito de uma 
variação no ponto de linearização na resposta do modelo linearizado para uma variação 
degrau unitário na vazão de alimentação. Suponhamos que a vazão efluente seja dada por: 
 
h8F = (3.12) 
 
Para tanto, vamos considerar os pontos de operação estacionária correspondentes aos níveis 
iguais a 1m e 3m de altura (Tabela 3.1), e linearizar o modelo em torno desses dois pontos. 
 
Tabela 3.1 Características da operação estacionária. 
Ponto de operação h (m) F (m3/min) 
1 1 8 
2 3 13,8564 
 
Vamos definir como modelo 1 o modelo linearizado em torno do nível médio de 1 m, e como 
modelo 2 o modelo linearizado em torno do nível médio de 3 m. Esses dois modelos serão 
aplicados nos pontos de operação da Tabela 3.1, isto é, o modelo linearizado é deslocado para 
o ponto de operação em questão. 
 
No primeiro caso, o tanque está operando no nível de 1 m de altura e a vazão é subitamente 
aumentada de 8 m3/min para 9 m3/min. 
 
A resposta da altura de líquido de cada um dos modelos é mostrada na Figura 3.3. 
 
64 
 
 
 
Figura 3.3 Resposta ao degrau unitário para uma variação na vazão de alimentação. 
 
Visualmente, podemos notar que a resposta do modelo 1 se aproxima mais da resposta do 
modelo não-linear do que a resposta do modelo 2. O novo nível de líquido no tanque é 1,2656 
m, enquanto que o nível final previsto pelo modelo 1 é de 1,2500 m e de 1,4328 m pelo 
modelo 2. Calculando a razão da variação de nível pela variação da vazão, isto é, o ganho do 
processo, temos: 1,2656 m/(m3/min) para o processo, 1,2500 m/(m3/min) para o modelo 1 e 
1,4328 m/(m3/min) para o modelo 2. O erro cometido no ganho pelo modelo 1 é de 1,23% 
enquanto que o erro cometido pelo modelo 2 é de 13,21%. 
 
No segundo caso, o tanque está operando no nível de 3 m de altura e a vazão é subitamente 
aumentada de 13,8564 m3/min para 14,8564 m3/min. A resposta da altura de líquido de cada 
um dos modelos é mostrada na Figura 3.4. 
 
65 
 
 
Figura 3.4 Resposta ao degrau unitário para uma variação na vazão de alimentação. 
 
Neste caso, a situação é o contrário. O modelo 2 responde melhor do que o modelo 1. Os 
níveis finais são: 3,4483 m para o processo, 3,2500 m para o modelo 1 e 3,4328 m para o 
modelo 2. Em termos de ganho, são: 3,4483 m/(m3/min) para o processo, 3,2500 m/(m3/min) 
para modelo 1 e 3,4328 m/(m3/min) para o modelo 2. Os erros nos ganhos são: 5,75% e 
0,45% para os modelos 1 e 2, respectivamente. 
 
Isso demonstra que o modelo linearizado é uma boa aproximação do modelo não-linear 
apenas nas proximidades do ponto em que foi feita a linearização. 
 
3.3 Variáveis-desvios 
 
Suponha que sx seja o valor de x no estado estacionário inicial do sistema dinâmico, então 
 
)x(f0
dt
dx
s
s
== (3.13) 
 
Suponha agora que a equação 3.1 seja linearizada em sx produzindo o seguinte modelo 
linearizado: 
 
( )s
x
s xxdt
df)x(f
dt
dx
s
−





+= (3.14) 
 
Subtraindo a equação 3.13 da equação 3.14, obtemos 
 
66 
 
( ) ( )s
x
s xx
dt
df
dt
xxd
s
−





=
−
 (3.15) 
 
Podemos então definir a variável-desvio sxxx −= , e a equação 3.15 toma a seguinte forma: 
 
x
dt
df
dt
xd
sx






= (3.16) 
 
A equação 3.16 é a aproximação linearizada do sistema dinâmico não-linear (3.1) expresso 
em termos da variável-desvio x . A vantagem de se trabalhar com variáveis desvios é que seus 
valores no estado estacionário são iguais a zero. 
 
Exemplo 3.3 
 
Consideremos novamente o modelo linearizado do sistema tanque representado em (3.12) 
 
si
s
h
R2
1Fh
hR2
1
dt
dhA −=+ (3.17) 
 
onde sh é o nível de líquido correspondente a um estado estacionário para um dado valor