AULA 1 POLIGONAL

Prévia do material em texto

C á l c u l o d e p o l i g o n a l c l á s s i c a 
 1 / 5 
Exemplo do cálculo de uma poligonal 
 
 
ENUNCIADO* 
Numa poligonal fechada, conforme o esboço, foram efectuadas as 
seguintes observações (ver caixa): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto A tem coordenadas (MA, PA) = (10000, 10000); o rumo de A 
para W é RAW = 231º 17,6´ e o ângulo WAB = 151º 52,4´. 
Calcule as coordenadas ajustadas dos vértices da poligonal pelo 
método clássico (Bowditch), bem como os rumos e distâncias após 
ajustamento. Neste método, para cada segmento em cada 
componente M e P, as correcções são (exemplo: o segmento AB): 
 
dM = . (comprimento AB) 
 
 
 
dP = . (comprimento AB) 
 
 
* Adaptado do livro “Elementary Surveying” 9th edition, Wolf, P. R. and Brinker, R. C. - 1994 
W E 
A 
B 
C 
D 
Ângulos 
A 100º 44,3´ 
B 101º 35,1´ 
C 89º 05,3´ 
D 17º 11,9´ 
E 231º 24,6´ 
 
Distâncias (m) 
AB 285,10 
BC 610,45 
CD 720,48 
DE 203,00 
EA 647,02 
 
-( erro de fecho total em M ) 
perímetro da poligonal 
perímetro da poligonal 
-( erro de fecho total em P ) 
 C á l c u l o d e p o l i g o n a l c l á s s i c a 
 2 / 5 
RESOLUÇÃO 
 
Tratando-se de uma poligonal fechada, verifica-se a condição de 
que a soma dos ângulos internos é função do número de lados, ou 
seja, Sai = (n-2)×180º 
Temos então que: 
i) Ajustar (compensar) ângulos ou direcções às condições 
geométricas 
ii) Determinar rumos preliminares 
iii) Calcular os incrementos sucessivos dM e dP e ajustar para o 
fecho = 0 (zero) 
iv) Calcular as coordenadas das estações 
v) Calcular os (novos) rumos e distâncias 
 
Neste caso, começando por i) e tendo o fecho angular = 1,2´ optou-
se por dividir este excesso em partes iguais pelos cinco ângulos 
internos (A,..,E), pois é pressuposto que as condições de 
observação sejam as mesmas em todos os ângulos, sendo esses 
cálculos conformes ao quadro: 
 
 
Ponto Ângulo medido 
Múltiplos da 
correção média 
Arredondado 
a 0,1´ 
Diferenças 
sucessivas Ângulo ajustado 
A 100º 44,3´ 0,24 0,2´ 0,2´ 100º 44,1´ 
B 101º 35,1´ 0,48 0,5´ 0,3´ 101º 34,8´ 
C 89º 05,3´ 0,72 0,7´ 0,2´ 89º 05,1´ 
D 17º 11,9´ 0,96 1,0´ 0,3´ 17º 11,6´ 
E 231º 24,6´ 1,20 1,2´ 0,2´ 231º 24,4´ 
 
S= 540º 01,2´ S= 1,2´ 540º 00,0´ 
 
 
Porque (1,2´)/5 = 0,24´ , se arredondássemos cada um destes 
incrementos a 0,2´, a soma dos cinco seria 1,0´ , diferente do fecho 
que é igual a 1,2´. Por esta razão, se recorre aos múltiplos. 
 
Nota a i): Em vez de dividirmos o excesso em partes iguais (mesmo 
com uma habilidade para a soma ser exactamente igual ao fecho), 
poderíamos ter feito ajustes de respectivamente 0,2´, 0,2´, 0,0´, 
0,4´, 0,4´, a A, B, C, D e E, pelo raciocínio de que o C, com as 
visadas mais longas, teria as condições mais favoráveis, não sendo 
portanto alterado, enquanto D e E, por terem a visada mais curta 
DE, seriam mais afectados, com o dobro da correcção que A e B. 
 C á l c u l o d e p o l i g o n a l c l á s s i c a 
 3 / 5 
Este raciocínio também é aceitável, mas iria dar cálculos 
subsequentes e resultados finais necessariamente diferentes que 
os da primeira opção. Só o MMQ (método dos mínimos quadrados) 
pode ser aceite como “a melhor“ solução (que é única), como 
veremos posteriormente no curso. 
 
Cumprindo ii), determinar rumos ou azimutes preliminares, partindo 
de RAW = 231º 17,6´ e o ângulo WAB = 151º 52,4´. A transmissão 
de rumos segue as regras habituais. 
 
 
 
Linha 
Cálculo 
(Transmissão de Rumos) Azimute Preliminar 
AB 234º 17,6´ + 151º 52,4´ - 360º = 26º 10,0´ 
BC 26º 10,0´ + (180º - 101º 35,1´) = 104º 35,2´ 
CD 104º 35,2´ + (180º - 89º 05,3´) = 195º 30,1´ 
DE 195º 30,1´ + (180º - 17º 11,9´) = 358º 18,5´ 
EA 358º 18,5´ + (180º - 231º 24,6´) = 306º 54,1´ 
AB 306º 54,1´ + (180º - 100º 44,1´) - 360º = 26º 10,0´ 
 (verificação!) 
 
 
 
iii) O cálculo dos incrementos sucessivos dM e dP para o ajuste do 
fecho = 0 (zero), é dado por: 
dM = L × sen R 
dP = L × cos R 
respectivamente para cada visada, com L e R respectivamente 
iguais ao comprimento e rumo dessa visada. 
Para um polígono fechado, a soma dos dM e dos dP deveria ser 
zero, se as medições fossem perfeitas (para uma poligonal aberta, 
a soma dos dM e dos dP deveria ser igual às diferenças das 
coordenadas final e inicial). 
Estabelece-se então a condição S dM = S dP = 0 (zero). 
 
NOTA: O facto desse resultado se verificar (S dM = S dP = 0) não 
é garantia, por si só, que não haja quaisquer erros nas medições. 
 
 C á l c u l o d e p o l i g o n a l c l á s s i c a 
 4 / 5 
Os erros de fecho parciais (para M e P) dão-nos o erro de fecho 
linear e 
e = (S dM)2 + (S dP)2 
 
A precisão relativa da poligonal é dada por Pr = e / S L , 
geralmente apresentada como Pr = 1/N, N inteiro. 
 
As diferenças estão expressas no quadro seguinte, sendo os 
comprimentos dados do problema e os azimutes preliminares 
calculados no quadro anterior. 
 
 
 
Ponto 
Azimute 
Preliminar Comprimento (L) DM (L.sen R) DP (L.cos R) 
A 
 26º 10,0´ 285,10 125,724 255,882 
B 
 104º 35,2´ 610,45 590,774 -153,738 
C 
 195º 30,1´ 720,48 -192,560 -694,271 
D 
 358º 18,5´ 203,00 -5,993 202,912 
E 
 306º 54,1´ 647,02 -517,401 388,499 
A 
 SL= 2466,05 SdM= 0,54 SdP= -0,72 
 
 
 
Seguidamente aplica-se o ajustamento aos dM e dP em função do 
comprimento L de cada lado (regra Bowditch), com sinal contrário. 
 
 
Correção de dMi = ddMi = Li 
 
Correção de dPi = ddPi = Li 
 
-SdM 
SL 
-SdP 
SL 
 C á l c u l o d e p o l i g o n a l c l á s s i c a 
 5 / 5 
 
 
 
 
 Compensadas Coordenadas 
Ponto 
Azimute 
Preliminar Comprimento dM ddM dP ddP dM dP M P 
A 10000 10000 
 26º 10,0´ 285,10 125,72 -0,06 255,88 0,08 125,66 255,96 
B 10125,66 10255,96 
 104º 35,2´ 610,45 590,77 -0,13 -153,74 0,18 590,64 -153,56 
C 10716,30 10102,40 
 195º 30,1´ 720,48 -192,56 -0,16 -694,27 0,21 -192,72 -694,06 
D 10523,58 9408,34 
 358º 18,5´ 203,00 -5,99 -0,04 202,91 0,06 -6,04 202,97 
E 10517,54 9611,31 
 306º 54,1´ 647,02 -517,40 -0,14 388,50 0,19 -517,54 388,69 
A 10000,00 10000,00 
 S= 2466,05 S= 0,54 S= -0,72 
 
 
 
 
e = 0,90 0,90 
(erro de fecho) 
 
2466 
 
 
 
Precisão 
 relativa = 
 1 
= --------- 
 2740