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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
Gil da Costa Marques
12MOVIMENTO DOS ANIMAIS
12.1 Introdução
12.2 Força Muscular e Velocidade Impressa
12.3 Velocidade no andar e no correr
12.4 O caminhar do Homem e dos Animais
12.5 Velocidade dos Animais
12.6 O Voo das Aves
12.7 Força de arraste
12.8 Força no Regime Turbulento
12.9 Movimento de Planeio
12.10 Movimento de Paraquedismo
12.11 Movimento de Paraquedismo no Regime Laminar
12.12 Movimento de paraquedismo no Regime Turbulento
12.13 Forças resultantes de diferenças de pressão
12.14 Forças de Sustentação
12.15 Força de impulsão: voo com propulsão 
Di
nâ
m
ic
a 
do
 M
ov
im
en
to
 d
os
 C
or
po
s
281
Dinâmica do Movimento dos Corpos
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
12.1 Introdução
Quando analisado à luz das leis de Newton, os movimentos dos animais são extremamente 
complexos. E isso ocorre por duas razões: Em primeiro lugar, porque são muitas as forças 
musculares agindo, especialmente quando em movi-
mento acelerado. O segundo complicador tem rela-
ção com o fato de que o formato do animal muda 
continuamente com o tempo. Às vezes, ele está mais 
recolhido (entre as passadas), às vezes mais alongado. 
Em linguagem científica, dizemos que um animal em 
movimento não se comporta como um corpo rígido.
Nesta aula estudaremos, à luz da dinâmica Newtoniana, apenas o movimento de paraque-
dismo. Nesse caso, analisaremos o efeito da força de arraste e do peso da ave.
Os demais movimentos (planeio, com propulsão e flutuação no ar) serão analisados com 
base em argumentos simples, isto é, levando em conta aspectos gerais de alguns tipos de força 
(como arraste e sustentação), mas sem nos preocuparmos com expressões analíticas para elas. 
Exploraremos também alguns modelos simples para descrever movimentos tanto o de andar 
quanto o de correr.
12.2 Força Muscular e Velocidade Impressa
As molas motoras dos movimentos dos animais são os músculos, isto é, mediante o aciona-
mento de algumas células excitáveis, que compõem os músculos, o animal adquire a habilidade 
de se locomover.
Os músculos esqueléticos (no corpo humano existem outros dois tipos: lisos e cardíacos) 
são responsáveis pelo movimento do animal todo. Eles são constituídos de milhares de células 
especializadas denominadas fibras musculares. Tipicamente, as dimensões das fibras são: 20 cm 
de comprimento e 50 μm de diâmetro da base.
Figura 12.1: Quando em movimento, os animais 
adquirem diferentes conformações.
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12 Movimento dos Animais
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As fibras musculares são células excitáveis eletricamente. Quando estimuladas, elas se contraem. 
Ao se contraírem, como no caso de uma mola comprimida, um músculo exerce uma força. 
Figura 12.2: Quando estimuladas, as fibras musculares se contraem.
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Dinâmica do Movimento dos Corpos
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A força máxima (Fm) pode ser inferida a partir do dado, experimental, de que um músculo é 
caracterizado por uma tensão máxima dada por:
 12.1 
onde Fm , na expressão 12.1, é a força muscular.
 Exemplos
• ExEmplo 1:
A Figura 12.3 esquematiza um exercício pliométrico, que envolve ciclos de rápida distensão seguida 
de rápido encurtamento muscular. Se durante o exercício um músculo exercer uma força de 700 N, 
qual a sua seção transversal?
→ REsolução:
De acordo com a expressão 12.1, a área do músculo será: A Fm= = =
70
700
70
10
 N/cm
 N
 N/cm
 cm2 2
2.
Os músculos esqueléticos terminam, nos dois extremos, nos tendões. 
Eles ligam os músculos aos ossos. Alguns músculos terminam em 
dois (os bíceps) ou três tendões (os tríceps). Os músculos são assim 
ligados a diferentes ossos.
O tendão tem o papel de transmitir a força muscular aos ossos. 
Como já percebera Leonardo da Vinci, “a função do músculo é 
puxar, nunca empurrar”.
O significado da expressão 12.1 é o de que a força muscular é variável. Depende, até certo limite, 
da força solicitadora. Na medida da necessidade, mais e mais fibras são acionadas, ou seja, encurtadas.
Para efeito de considerações energéticas durante o movimento, devemos analisar o trabalho 
realizado pela força muscular.
F
A
F
A
m m≅ × ≅7 10 706 2 2dina/cm ou N/cm
Figura 12.3: Ação muscular concêntrica.
Figura 12.4: Tendões ligando os 
músculos aos ossos.
284
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Se o músculo se contrair por uma distância d, o trabalho realizado pela força muscular Fm é dado por
 12.2 
Tendo em vista que o trabalho é igual à variação da energia cinética, e admitindo-se que a 
velocidade inicial da pata de um animal seja nula e que ela tenha massa mP, então, a contração 
do músculo por uma distância d propiciará à pata do animal uma velocidade Vp, dada por:
 12.3 
Assim, a velocidade impressa à pata depende da distância contraída pelo músculo, da força 
muscular e da massa da pata do animal.
• ExEmplo 2
A Figura 12.5 ilustra a força 


F F jB B= exercida pelo 
bíceps contraído no ponto B do antebraço. Um sistema 
de referência xyz foi desenhado de modo que o eixo 
0z “saia” do plano do papel. O peso do antebraço tem 
intensidade 20 N e é localizado no centro de gravidade 
CG
anteb
; a bola, com centro de gravidade CG
bola
 tem peso 
de intensidade 50 N.
Sendo x1 = 4,5 cm; x2 = 15 cm e x3 = 30 cm,calcule FB 
e a reação na articulação 

F0.
→ REsolução:
Esta situação não trata de forças concentradas 
numa partícula. Trata-se de um sistema de forças 
distribuídas ao longo de um corpo extenso. 
Esse corpo extenso é o antebraço que, para 
simplificar a análise, iremos considerar como 
uma alavanca com ponto de apoio em 0 (arti-
culação) e, nela, esquematizar as forças (ou seja, 
esquematizar o DCL da alavanca).
Os vetores 
x1 = 4,5 

i ; x2 = 15 

i e x3 = 30 

i (em 
cm) representam os vetores posição dos pontos 
de aplicação de cada força na alavanca em relação 
à origem 0 (articulação do antebraço, no nosso caso).
O caso em análise é uma situação estática, ou seja, uma situação na qual a aceleração resultante do 
sistema é 
a = 0. Portanto, de acordo com a 2ª Lei de Newton, podemos escrever: 
( I )
τ = F dm
m
V F d V F d
m
p
p m p
m
p2
22 = ⇒ = 
Figura 12.5: Esquema da força do bíceps 
sobre o antebraço.
Figura 12.6: Modelo da alavanca para o antebraço.




 
F m a R F j j ji B= = + + −( ) + −( ) =∑ . 0 20 50 001
4 ou 
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Dinâmica do Movimento dos Corpos
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 Temos duas incógnitas (R0 e FB). Precisamos de outra relação entre as incógnitas. Essa relação 
será obtida mediante uma função importantíssima das forças que os músculos exercem sobre 
os ossos: trata-se da rotação que as forças podem produzir nos ossos ao redor das articulações. 
Esse poder de rotação é denominado Torque ou Momento da força em relação à articulação.
O módulo do torque é τ = r.F.sen θ, onde r.sen θ = b = braço de alavanca da força em relação à 
articulação.
O torque será nulo se o braço da força b = 0, ou seja, se θ = 0°. Para 
θ = 90° (


r F⊥ ) → sen90° = 1 e τ = F.b (intensidade máxima do 
torque). Portanto, o torque de uma força é tal que 0 ≤ τ ≤ F.b.
O sentido do vetor torque pode ser determinado, na prática, pela 
regra da mão direita, conforme ilustra a Figura 12.8.
No caso de forças cujas direções (linhas de ação) pertencem a um 
mesmo plano, os torques dessas forças serão vetores perpendiculares ao 
plano. Em relação a um eixo de rotação perpendicular ao plano, 
alguns torques serão no sentido horário e outros no sentido anti-
-horário. Se a soma dos torques
no sentido horário suplantar a soma 
dos torques no sentido anti-horário, o objeto sujeito às forças será 
dotado de uma aceleração angular no sentido horário e vice-versa.No 
caso analisado, no entanto, o objeto está em equilíbrio e destituído do 
movimento de rotação.
Em resumo: Para que uma alavanca não se desloque e não 
experimente movimentos de rotação, devem ser satisfeitas as 
seguintes condições:
Definição de torque
O torque é um vetor que resulta do produto vetorial 
do vetor posição r pela força 

F , ou seja,  

τ = ×r F .
Figura 12.8: Regra da mão direita para 
definir o sentido do vetor torque. Mantendo 
a mesma orientação relativa desenha-se 
r e 

F num mesmo plano e aplicados 
num mesmo ponto; os dedos da mão 
direita devem girar (sempre) no sentido 
de 
r para 

F. O polegar indica o sentido do 
vetor torque 

τ. Sendo o giro no sentido 
“anti-horário” (como na figura), o torque é 
para cima. O torque será oposto se o giro 
for no sentido horário.
Figura 12.7: Detalhe do “braço” da 
força em relação ao eixo de rotação.
Figura 12.9: Alavanca estática.


Fi
i
i
i
∑
∑
=
=
0
0τ
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12 Movimento dos Animais
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Calculando os torques
Os produtos vetoriais (ver tema Vetores) dos vetores cartesianos i i j j k k×( ) = ×( ) = ×( ) =    0 e 
i j k j k i k i j×( ) = ×( ) = ×( ) =       ; ; serão utilizados nos cálculos dos torques.
• 
 
   

τF B B B BB x F i F j F i j F k= × = ( ) × ( ) = ( ) ( ) ×( ) = ( )1 4 5 4 5 4 5, , , N.cmm( )
• 
 
   

τP x P i j i j k1 2 1 15 20 300 300= × = ( ) × −( ) = −( ) ×( ) = −( ) ( )N.cm
• 
 
   

τP x P i j i j k3 3 3 30 50 1500 1500= × = ( ) × −( ) = −( ) ×( ) = −( ) ( )N.cm
• 

τR0 = 0 (pois o respectivo vetor posição 

xR0 = 0)
Como o sistema se encontra estático → τs alavanca/ ,= − −( ) =∑ 4 5 300 1500 0F kB

.
De II determinamos FB = =
1800
4 5
400 N.cm
 cm
 N
,
 (vertical para cima) que, substituído em I, determi-
namos 

R0 = −330 

j ou R0 = 330 N (vertical para baixo).
12.3 Velocidade no andar e no correr
No caso de um animal que se move a velocidade constante, o movimento pode ser visto 
como uma repetição de movimentos. É nesse sentido que ele será encarado como um movi-
mento periódico.
O período T, nesse caso, é o intervalo de tempo necessário para que ele se repita; por exemplo, 
quando o animal volta a colocar as mesmas patas, de novo, no chão. O intervalo de meio 
período define o tempo por ele despendido para dar uma passada.
Tanto no caso do caminhar quanto no do correr, a velocidade de um animal pode ser 
expressa em termos da passada (P), a distância entre dois pontos nos quais o animal coloca uma 
das patas,e o período do movimento:
 12.4 
O número de passos por segundo é o inverso da metade do período 
2
T





. Assim, a veloci-
dade do caminhar dito natural é dada pela expressão 12.4. 
( II )
v P
T
= ⋅2
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Dinâmica do Movimento dos Corpos
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• ExEmplo 3
Usain Bolt, em 2009, em Berlin, venceu a corrida de 100 m rasos em 9,58 s, estabelecendo um novo 
recorde. Analisando o vídeo do evento, constatou-se que Bolt precisou de 41 passos para completar 
os 100 m.
a. Qual foi a velocidade média de Bolt?
b. Supondo uniforme o movimento de Bolt, qual o período e a frequência das passadas?
→ REsolução 1:
a. Velocidade média = 
v = ≅100
9 58
10 44 m
 s
 m/s
,
, .
b. A Figura 12.10 ilustra passadas de um atleta; em A, o pé direito toca na pista e, em B, é o pé 
esquerdo. A distância AB = passo = P. Sendo uniforme a sucessão das passadas, podemos analisar 
o movimento como um “movimento periódico”. Portanto, desse modo, definem-se um período 
e uma frequência do movimento periódico.
Cálculo do período T
Qual o tempo de uma passada? Os 100 m são vencidos por 41 passadas em 9,58 s. A razão 
9 58
41
, s
 passadas = 0.2334 s/passada; portanto, ∆t1 passada = 0,2334 s. 
Como o período T corresponde ao intervalo de tempo de duas passadas sucessivas, tem-se:
Figura 12.10: O período é o tempo de 
duas passadas sucessivas, ou seja, o 
intervalo de tempo que decorre desde 
o toque do pé direito em A e o toque 
do mesmo pé em C.
T = × ( ) ≅2 0 2334 0 47, , s s
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12 Movimento dos Animais
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Cálculo da frequência f das passadas
A frequência é o número de “2 passadas sucessivas” que Bolt realiza em cada intervalo de 1 s. Como 
Bolt completa 41 passadas na corrida, o número de “2 passadas sucessivas” = 41/2. Logo, a frequência 
das passadas será f = ≅41 2
9 58
2 14 passadas
 s,
, passadas/segundo. Como “passada” não é uma grandeza 
física, podemos escrever que f = 2,14/s = 2,14 Hz (hertz).
→ REsolução 2:
Por meio da expressão v P
T
= ⋅2 podemos determinar o período T P
v
=
2
. A velocidade foi determi-
nada no item (a); precisamos calcular o tamanho P da passada, ou seja, P = =100
41
2 44 m , m. Assim, 
T =
× ( )
≅
2 2 44
10 438
0 467
,
,
,
 m
 m/s
 s. A frequência f = 1/T = 2,14 Hz.
12.4 O caminhar do Homem e dos Animais
Tendo em vista que as pernas dos animais executam um movimento periódico e que elas 
executam um movimento pendular durante as passadas,é muito comum analisar o caminhar 
dos animais tomando como base um movimento pendular, ou seja,um MHS. É, assim, uma 
descrição baseada num modelo simples.
Analisaremos o caminhar dos homens e dos animais 
considerando um modelo no qual as pernas executam 
um movimento pendular,onde o pêndulo físico, que 
executa um movimento oscilatório, será encarado 
como se fosse a perna do animal. E ela será pensada 
como uma barra delgada. Este é outro aspecto do 
modelo empregado.
Como sabemos, no movimento harmônico simples, a velocidade máxima, Vmax, atingida 
pelo móvel é dada por:
 12.5 
Figura 12.11: A perna funciona como um pêndulo.
V A
T
Amax = =ω
pi2
289
Dinâmica do Movimento dos Corpos
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A velocidade quadrática média, por outro lado, é dada por:
 12.6 
 A aceleração máxima amax é dada por:
 12.7 
onde A é a amplitude do movimento e T é o período. 
A amplitude será, no caso do homem, a metade do valor de uma passada associada a uma 
das pernas.
O modelo pendular permite-nos concluir, portanto, que a velocidade quadrática será dada, 
em função do período do movimento e do comprimento da passada, por
 12.8 
Esse resultado é, basicamente, o mesmo previsto inicialmente e expresso pela equação 12.4, 
o que confere crédito ao modelo pendular.
Outra vantagem do modelo pendular diz respeito a previsões para o período do movimento 
como função do comprimento das pernas. Nesse caso, a perna dos animais será pensada como 
um pêndulo físico (não um pêndulo simples). No caso do pêndulo simples, a relação entre o 
período e o comprimento do pêndulo é T L
g
= 2pi . No entanto, a perna (não o animal todo), 
pode ser pensada como um corpo rígido. Como consequência, o período de oscilação depende 
de uma característica sua, denominada momento de inércia.Considerando agora a perna como 
se fosse uma barra fina, e o seu centro de massa situando-se no meio da perna, então, o período 
do movimento é dado por:
 12.9 
onde L é o comprimento do pêndulo, ou seja, o comprimento da perna do animal. No caso de 
um homem cuja perna meça 80 cm, o seu período, de acordo com 12.9, é 1,46 s.
V A V= =ω
2 2
max
a A
T
Amax = =





ω
pi2
22
V
T
A P
T
P
T
= = =
2
2 2
2 2pi pi ,
T L
g
= 2 2
3
pi
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E a sua velocidade quadrática média será dada por:
 12.10 
Admitindo-se uma passada de 80 cm, a velocidade desse indivíduo será:
Finalmente, se considerarmos a passada como igual ao compri-
mento das pernas, concluiremos que:
 2.11 
e, portanto, a velocidade do caminhar cresce com o comprimento 
das pernas dos animais.
A aceleração máxima do caminhante é dada por:
12.5 Velocidade dos Animais
Pode-se fazer uma previsão para a velocidade de um animal quando ele está correndo à 
velocidade máxima, com base em uma análise dimensional, ou seja, admitimos que a distância 
d contraída pelo músculo é proporcional a um fator de escala com dimensão de comprimento 
(l ), dito comprimento característico dos músculos, independentemente do animal. Escrevemos:
 12.12 
onde o parâmetro b1 depende do animal e pode ser considerado um parâmetro muscular.
V P
T
P g
l
= =
pi
2
3
4
Figura 12.12: Caminhada pendular 
do homem.
V = = =pi
2
0 8
1 46
1 2 4 32,
,
, , m/s km
h
V lg= 3
4
amax ,
. ,= 




 =
2
1 46
0 8 14 8
2
pi m
s
 m
s2 2
d b l= 1
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Admitamos, ainda mais, que a força máxima do músculo seja proporcional ao número de 
fibras no músculo. Esse número, por sua vez, é proporcional à área da seção transversal. Essa 
área é proporcional ao comprimento característico aludido antes (A = b2l
2). Assim, escrevemos.
 12.13 
onde b2 é uma constante característica do animal. Finalmente, escrevemos a massa da pata como 
se fosse proporcional ao cubo do comprimento característico do músculo, ou seja:
 12.14 
onde b3 depende da densidade da pata e da sua forma geométrica.
Assim, utilizando as expressões 12.12-12.14 em 12.3, inferimos que a velocidade máxima 
de um animal que corre independe da dimensão característica, ou seja:
 12.15 
Se considerarmos dois animais semelhantes quanto à forma, é de se esperar que os coeficientes bi 
de cada um deles sejam iguais. Por exemplo, tendo em vista que a forma e a densidade da pata são se-
melhantes, o mesmo ocorrerá com o coeficiente b3. Assim, para dois animais semelhantes, escrevemos:
 12.16 
Portanto, todos os animais semelhantes quanto à forma terão os mesmos valores para as suas 
velocidades máximas, ou seja, elas são independentes do tamanho dos animais, o que contrasta 
com o a velocidade do caminhar, no qual ela depende, de acordo com 12.11, do tamanho das 
pernas do animal, como se pode verificar pela Tabela 12.1 a seguir.
Tabela 12.1: Velocidade do caminhar dos animais.
Animais Leopardo Gazela Avestruz Raposa Cavalo Coelho Lobo Cão
V (m/s) 32 30 25 20 20 18 20 15
F b lm = 2
2
m b l= 3
3
V b b
bp
= 2 1 2
3
b b3 1 3 2( ) = ( )
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12.6 O Voo das Aves
O voo das aves torna-se possível graças a quatro 
forças que podem estar agindo simultaneamente 
sobre os animais. Poderíamos adicionar uma quinta 
- o empuxo, mas esta é desprezível. Essas forças são:
1. Força de arraste (

FA);
2. Força de sustentação (

FS);
3. Força de impulsão ou propulsão(

FP);
4. Força da gravidade(

P).
Na Figura 12.13 ilustramos três dessas forças no 
caso em que uma ave se desloca para cima e para a 
frente. A seguir, faremos uma descrição sucinta dessas 
forças e três tipos de voos: paraquedismo, planeio e, 
finalmente,movimentos com propulsão.
Dentro de uma boa aproximação, podemos adotar 
as forças de arraste como ortogonais às forças de sus-
tentação. Escrevemos:
 12.17 
A validade desse resultado está relacionada com a origem das próprias forças. A força de 
arraste tem a direção oposta à do movimento enquanto a de sustentação tem uma direção 
ortogonal ao sentido do movimento (Figura 12.13).
As aves podem, ainda, ser impulsionadas por correntes de ar. Trata-se de uma força de natu-
reza colisional, isto é, a colisão das moléculas do ar no sentido ascendente com as asas das aves 
gera uma força sobre elas, impulsionando-as na direção do ar.
As aves podem ganhar altitudes de até 5 km fazendo uso de correntes de ar ascendente. 
Podemos citar dois tipos bastante comuns de tais correntes. A primeira resulta do movimento do 
ar em direção a uma montanha, ou até mesmo uma colina. A corrente resultante do movimento 
associado ao desvio do obstáculo gera uma corrente do tipo plano inclinado, só que, nesse caso, 
o movimento ao longo do plano inclinado é para cima. O segundo tipo de corrente são as termas. 
Figura 12.13: Forças de arraste e de sustentação se 
somam constituindo a força aerodinâmica e essa exibe 
uma componente vertical e uma componente horizontal. 
A componente vertical da força aerodinâmica é uma 
força de sustentação da ave nessa direção e que pode 
ser maior, igual ou menor do que o seu peso.
�
i
�
F FA S = 0
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Dinâmica do Movimento dos Corpos
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Nesse caso, o ar quente próximo da superfície terrestre, sendo menos denso, sobe. Produz assim 
uma corrente ascendente, da qual as aves tiram proveito.
Dizemos que uma ave f lutua quando a sua altura, em relação à superfície da Terra (do 
mar), permanece constante. As aves podem f lutuar sob a ação de correntes ascendentes.
12.7 Força de arraste
Se o movimento se dá ao longo do eixo z, a componente da força de arraste na direção do 
movimento depende da componente da velocidade nessa direção. Ela assume a forma geral 
envolvendo potências da componente da velocidade,ou seja: 
 12.18 
onde κ é uma constante. 
Como veremos a seguir, a potência depende do regime do movimento do fluido.
A expressão 12.18 para a força exercida por um fluido, quando do movimento de um objeto 
nele imerso, só vale para pequenas velocidades, ou seja, quando se trata do regime dito laminar. 
Nesse regime, a força é de natureza viscosa; resulta apenas da colisão do objeto em movimento 
com os átomos do fluido. 
No regime laminar, a velocidade do fluido em relação ao objeto é a mesma ao longo de uma 
lâmina. As moléculas de uma determinada lâmina não interagem com as moléculas de outras 
lâminas. O movimento é mais organizado. Observe a Figura 12.16a.
Figura 12.14: Uma ave utilizando uma corrente ascendente.
F vz z
n= − ( )κ
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12 Movimento dos Animais
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• ExEmplo 4
G. G. Stokes (1819-1903) deduziu a força de arraste sobre uma pequena partícula esférica 
(0,0002 mm ≤ diâmetro ≤ 0,2 mm), que se movimenta ao longo do eixo 0z no seio de um fluido vis-
coso à velocidade constante e de baixa intensidade. A expressão é conhecida como fórmula de Stokes:
onde η = coeficiente de viscosidade do fluido, d = diâmetro da esfera e vz = velocidade da esfera 
em relação ao fluido.
a. Compare a fórmula de Stokes com a expressão 12.18, e indique a potência n e a expressão para 
a constante k.
b. Considere uma gotícula de chuva despencando no ar (sem movimento). Quando a velocidade 
atingir o seu valor terminal (v = constante), determine a expressão da força de arraste sobre a 
gotícula e a respectiva velocidade com que a gota colide com o solo.
→ REsolução:
Consideremos o movimento num regime laminar. 
a. Na fórmula de Stokes (3π.η.d)= kstokes e a fórmula pode assim ser escrita: Fz = −kstokes.vz. 
Comparando com a expressão Fz = −k(vz)
n, podemos concluir que n = 1 e k = 3π.η.d.
b. Vamos considerar uma gotícula de água de raio d em queda no ar (sem movimento). Na Figura 12.15 
o vetor 

E representa o empuxo do ar sobre a gotícula de água.
Aplicando a 2ª Lei de
Newton no eixo 0z: 
( I ) 
onde m′ = massa de ar deslocado pela gotícula e F = força de arraste. A velo-
cidade limite é atingida quando vz = constante ou 
dv
dt
z = 0. Nessa condição, a 
expressão I acima pode ser escrita: 0 = − (m − m′)g + F donde 
 ( II ) 
As massas podem ser expressas em função das respectivas densidades e volumes: 
m dρ piágua
3
6





 e ′





m
d
ρ
pi
ar
3
6
.
Sendo estas substituídas na expressão II, teremos: 
 12.19 
que é a expressão da força de arraste sobre a gotícula.
F d vz z= −3pi η. . .
Figura 12.15: Gotícula de chuva 
caindo na vertical. Admitimos o 
ar sem movimento.
m
dv
dt
mg m g Fz = −( ) + ′ +
F = (m − m′).g
F d g= − 




 ⋅( )ρ ρ
pi
água ar
3
6
295
Dinâmica do Movimento dos Corpos
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
A velocidade terminal pode ser determinada considerando-se F = a força de Stokes, ou seja, 
e, portanto, 
 12.20 
que é a velocidade com que a gota de chuva colide com o solo.
Considerando uma gota de chuva com diâmetro d = 0,2 mm; viscosidade η = 1,8 × 10−5 s.Pa; 
ρágua = 10³ kg/m³; g = 10 m/s² e desprezando-se ρar (por ser desprezível ante a densidade da água), 
a velocidade terminal dessa gota é vz = 2,8 m/s.
Na ausência da força de arraste, a gota cairia em queda livre; nesse caso, se a nuvem de onde a gota 
iniciou a sua queda estivesse a 200 metros de altura, ela atingiria o solo com velocidade aproximada 
de 230 km/h.
12.8 Força no Regime Turbulento
No regime dito turbulento, ocorrem interações 
entre as diversas moléculas. O movimento é muito 
mais complexo, mais desorganizado. As linhas de força 
exibem um padrão que pode ser representado pela 
Figura 12.16b. 
O que caracteriza cada um dos regimes é o número 
de Reynolds, Re, o qual depende, entre outros parâ-
metros, da velocidade do fluido em relação ao objeto. 
Para números de Reynolds pequenos, o regime é 
laminar, enquanto, para números de Reynolds grandes 
(acima de 1.000), o regime é turbulento.
3
6
3
pi η ρ ρ
pi. . . ( )d v d gz = −





 ⋅água ar
v d gz = −





 ⋅( ) .
ρ ρ
ηágua ar
2
18
Figura 12.16: Campos de velocidade no regime 
laminar (a) e turbulento (b). 
b
a
296
12 Movimento dos Animais
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Ao atingir o regime turbulento,a força de arraste sobre um objeto, quando este se movimen-
ta ao longo do eixo z tem componente Fz que pode ser escrita como:
 12.21 
onde ρ é a densidade do ar (quando o fluido é o ar), Ca é o coeficiente de arrasto (o qual 
depende da geometria do objeto), A é a área do objeto em contato com o fluido e vz é a 
componente z da velocidade.
Na Tabela 12.2 apresentamos alguns valores típicos e aproximados dos coeficientes de 
arrasto para diferentes designs de automóveis.
Tabela 12.2: Alguns valores do coeficiente de arrasto.
Forma Ca
0,8-0,9
0,35
0,24
0,16
0,13
12.9 Movimento de Planeio
O movimento de planeio de um animal é aquele que tem a trajetória linear. O ângulo θ entre 
a linha reta e a direção horizontal, definida a partir do plano que tangencia a superfície terrestre, é 
denominado ângulo de planeio. Em geral, tal tipo de movimento é caracterizado pelas condições:
 12.22 
F C A vz a z= − ( )
1
2
2ρ
�
�F F F F FP S A S A= >0 ou ainda 
297
Dinâmica do Movimento dos Corpos
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Quando um animal estiver planando, as equações do movimento são dadas por:
 12.23 
Nas condições especificadas em 12.22, obtemos:
 12.24 
12.10 Movimento de Paraquedismo
O movimento é dito de paraquedismo quando a ave, ou qualquer outro animal, se 
movimenta sob a ação da força de arraste e a gravitacional. Mais geralmente, escrevemos para o 
movimento de paraquedismo:
 12.25 
O mesmo comportamento para os objetos que caem, de adquirir velocidade constante 
depois de um certo tempo, vale para o movimento de planeio. 
A força de arraste é aquela exercida pelo fluido sobre a partícula em movimento, de tal 
forma a se opor ao movimento. Em Forças, admitimos que essa força é da forma:
 12.26 
onde o coeficiente b depende da viscosidade do fluido e da sua forma geométrica. O sinal 
menos na expressão acima significa apenas que a força é contrária ao movimento, ou seja, ela 
m
dV
dt
F F mg
m dV
dt
F F
y
S y A y
x
S x A x
= ( ) + ( ) −
= ( ) + ( )
dV
dt
g F
m
S



= +
Figura 12.17: Movimento de Planeio.
�
�F F F FP A S S= =0 0 ou ainda 
F bV= −
298
12 Movimento dos Animais
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tem o sentido contrário ao sentido do movimento que tem o sentido da velocidade, pois, como 
sabemos, a velocidade sempre indica para onde a partícula vai logo em seguida. O sinal menos 
indica que essa força atua sempre impedindo o movimento.
A força se comporta de acordo com a expressão 12.26 apenas no regime laminar.
12.11 Movimento de Paraquedismo 
no Regime Laminar
Consideremos o caso de um objeto que é solto dentro de 
um líquido viscoso e que agora é colocado em movimento 
sob a ação da gravidade. Nesse caso, devemos levar em conta, 
além da força da gravidade, a força exercida pelo fluido vis-
coso. Admitiremos, ainda mais, que o movimento se dá ao 
longo do eixo y, pois agora o movimento é na vertical.
Assim, levando em conta a força exercida pelo fluido 
como se fosse diretamente proporcional à velocidade, e a 
força gravitacional como constante, escrevemos a seguinte 
equação de primeira ordem para a velocidade da esfera:
 12.27 
ou, de uma forma equivalente:
 12.28 
onde γ = b/m. Integrando membro a membro a equação acima, obtemos a solução para a 
velocidade em função da velocidade inicial (no caso em que ela é solta, essa velocidade é nula);
 12.29 
Figura 12.18: Movimento de Paraquedismo: 
Relevância de arraste.
m
dV t
dt
bV t mgy y
( )
= − ( ) +
dV t
V t g
dty
y
( )
( ) + 





= −
γ
γ
V t g V t g ey y
t t( ) = −




 + ( ) +












− −( )
γ γ
γ
0
0
299
Dinâmica do Movimento dos Corpos
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A primeira conclusão a que chegamos é a de que, independentemente do valor da velocidade 
inicial, a partícula atinge uma velocidade final, que é constante, e que é dada por:
 12.30 
Observe que essa velocidade final é exatamente aquela para a qual a força exercida pelo 
líquido se torna igual à força gravitacional. De fato, de 12.26, vemos que tal condição implica:
 12.31 
Infere-se da equação de Newton, portanto, que, ao atingir essa velocidade limite, a partícula 
se movimenta com velocidade constante, fato esse que se pode comprovar experimentalmente.
A solução para a posição como função do tempo é:
 12.32 
Da solução acima concluímos que, no limite em que o tempo tende a infinito, temos:
 12.33 
o que, de novo, indica que, com o passar do tempo, o movimento da esfera tende a ser um 
movimento uniforme.
12.12 Movimento de paraquedismo 
no Regime Turbulento
Consideremos agora o caso de uma força que depende do quadrado da velocidade. Nesse 
caso, a lei de Newton se escreve como:
 12.34 
V gy final( ) = −





γ
− ( ) − =bV mgy final 0
y t y g t t V t g ey
t t( ) = ( ) − 




 −( ) − ( ) +











 −
− −( )0 10 0 0γ γ γ
γ 11( )
y t y g t t V t gy→∞( ) ≅ ( ) −





 −( ) + ( ) +











0
1
0 0γ γ γ
m
dV t
dt
BV t mg( ) = − ( ) +2
300
12 Movimento dos Animais
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Apesar de ter a mesma forma da equação anterior, a equação 12.34 não é linear, ou seja, 
não vale o princípio da superposição para ela. Como no caso anterior, no entanto, podemos 
escrevê-la de uma forma equivalente à expressão 12.28, ou seja,
 12.35 
onde, agora, γ = B/m. Integrando membro a membro a equação acima, obtemos a solução para 
o caso de uma velocidade inicial diferente de zero, ou seja:
 12.36 
Assim, nos instantes de tempo iniciais, caracterizados pela condição t  (gγ)−1/2, podemos 
verificar que o movimento é acelerado, pois nesse caso vale o resultado aproximado:
 12.37 
enquanto, para grandes valores do intervalo de tempo, caracterizados pela condição t  (gγ)−1/2, 
a solução 12.36 nos leva a um valor constante da velocidade, e esse valor, considerando-se agora 
o caso de velocidade inicial nula, é dado por:
 12.38 
valor esse que poderíamos deduzir do fato de que nesse limite as forças se compensam, levando-nos 
ao resultado:
 12.39 
Concluímos assim que, como no caso anterior, a partícula atinge uma velocidade final constante.
Se a partícula parte de uma posição inicial y(0) = 0, sua coordenada y dependerá do tempo 
da seguinte forma:
 12.40 
dV t
V t g
dty
y
( )
( ) + 





= −
2
γ
γ
V t V g g ty y( ) = ( ) +





 −0
1 2
γ
γ
/
tanh
V t V gty y( ) ≈ ( ) +0
V t gy ( ) =





γ
1 2/
− ( ) + = ⇒ ( ) = 




BV t mg V t
g
y y
2
1 2
0 
γ
/
y t g t( ) = 




 ( )1γ γlncosh
301
Dinâmica do Movimento dos Corpos
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
E, portanto, nos instantes iniciais do movimento (t  (gγ)−1/2), temos:
 12.41 
ao passo que, nos instantes finais (aqueles para os quais vale a desigualdade t  (gγ)−1/2), o 
movimento será uniforme. Nesse limite, a solução 12.40 nos leva ao resultado:
 12.42 
o qual é inteiramente compatível com o movimento uniforme dado em 12.39.
12.13 Forças resultantes de diferenças de pressão
Por causa da impenetrabilidade da matéria, ou seja,do caráter repulsivo das forças inter-
moleculares, os fluidos exercem uma pressão. Normalmente, essa pressão equilibra o efeito da 
gravitação. Esse é um tema que é objeto de estudo da Hidrostática.
Num fluido em equilíbrio, todos os pontos a uma 
mesma profundidade estão sujeitos à mesma pressão. 
Esta, no entanto, depende linearmente da profundi-
dade. Um corpo, como um cubo, quando submerso 
num líquido, está sujeito a uma pressão na sua parte 
inferior (a base do cubo), que é maior do que aquela 
vigente na sua parte superior. Resulta daí que um 
corpo imerso num líquido experimentará a ação de 
uma força, denominada empuxo. 
Por causa da baixa densidade do ar, a força denominada empuxo é desprezível no voo das aves 
e dos animais em geral, ou seja, o peso do líquido deslocado é desprezível ante o peso do objeto. 
y t gt( ) ≅ 1
2
2
y t g t( ) ≅ − 




( )γ γ
1 2ln
Figura 12.19: Pressão como função da profundidade e o 
efeito da diferença de pressão num corpo imerso num fluido.
302
12 Movimento dos Animais
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12.14 Forças de Sustentação
Outro exemplo de força resultante de diferenças de pressão é a força de sustentação - aquela que 
consegue, quando em pleno voo, se equilibrar com a força gravitacional agindo sobre um avião. 
Ela surge, no entanto, apenas quando esse objeto está dotado de movimento em relação ao ar. 
O equilíbrio só é conseguido ao atingir uma velocidade mínima.
As asas, tanto dos aviões quanto dos pássaros, têm uma forma tal que sob elas a pressão é maior 
na sua parte inferior e menor na sua parte superior. Isso ocorre porque o seu design acarreta uma 
velocidade do ar maior na parte superior 
do que na parte inferior. E isso leva às 
diferenças de pressão mencionadas.
As diferenças de pressão entre a parte 
superior da asa e a inferior acarretam 
uma força dita de sustentação. É uma 
força aerodinâmica.
12.15 Força de impulsão: voo com propulsão 
É a força que impulsiona os animais, por exemplo, quando do movimento a partir do 
repouso. Nesse caso, dizemos que o voo é com propulsão. Ele ocorre quando o animal bate as 
asas. Ao fazê-lo, as asas empurram o ar na direção contrária ao do movimento.
A força propulsora resulta da interação das asas com o ar no entorno. Essa força será desig-
nada por 

Fp, e pode ser entendida como uma força de reação exercida pelo ar.
Figura 12.20: Força de sustentação agindo sobre asas de um pássaro.
Figura 12.21: Voo com propulsão. Figura 12.22: Voo sem propulsão.
303
Dinâmica do Movimento dos Corpos
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
 
Figura 11.23: (a) As quatro forças que agem no voo das aves (para cima e para frente). (b) A resultante das quatro forças 

R determina a 
direção da velocidade da ave.
a b
Agora é sua vez...
Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e 
realize a(s) atividade(s) proposta(s).
	12.1 Introdução
	12.2 Força Muscular e Velocidade Impressa
	12.3 Velocidade no andar e no correr
	12.4 O caminhar do Homem e dos Animais
	12.5 Velocidade dos Animais
	12.6 O Voo das Aves
	12.7 Força de arraste
	12.8 Força no Regime Turbulento
	12.9 Movimento de Planeio
	12.10 Movimento de Paraquedismo
	12.11 Movimento de Paraquedismo 
no Regime Laminar
	12.12 Movimento de paraquedismo 
no Regime Turbulento
	12.13 Forças resultantes de diferenças de pressão
	12.14 Forças de Sustentação
	12.15 Força de impulsão: voo com propulsão