Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral de Funções
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Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral de Funções


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Exerc´\u131cios de Ca´lculo Diferencial e Integral de Func¸o\u2dces
Definidas em Rn
Diogo Aguiar Gomes, Joa\u2dco Palhoto Matos e Joa\u2dco Paulo Santos
24 de Janeiro de 2000
2
Conteu´do
1 Introduc¸a\u2dco 5
1.1 Explicac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Futura introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Complementos de Ca´lculo Diferencial 7
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Exerc´\u131cios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ca´lculo diferencial elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Exerc´\u131cios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Derivadas parciais de ordem superior a` primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Exerc´\u131cios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Polino´mio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Exerc´\u131cios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Extremos 27
3.1 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Exerc´\u131cios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Testes de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Exerc´\u131cios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Teoremas da Func¸a\u2dco Inversa e da Func¸a\u2dco Impl´\u131cita 47
4.1 Invertibilidade de func¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Exerc´\u131cios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Teorema do valor me´dio para func¸o\u2dces vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Teorema da Func¸a\u2dco Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Exerc´\u131cios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Teorema da Func¸a\u2dco Impl´\u131cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.1 Exerc´\u131cios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.2 Sugesto\u2dces para os exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Bibliografia 69
3
CONTEU´DO
24 de Janeiro de 2000 4
Cap´\u131tulo 1
Introduc¸a\u2dco
1.1 Explicac¸a\u2dco
Esta´ a ler uma versa\u2dco parcial e preliminar de um texto em elaborac¸a\u2dco. Os autores agradecem
quaisquer notificac¸o\u2dces de erros, sugesto\u2dces,. . . , para ecdi@math.ist.utl.pt. Estima-se que o texto
final tera´ uma extensa\u2dco cerca de tre\u2c6s a quatro vezes maior e incluira´ cap´\u131tulos que nesta versa\u2dco
foram exclu´\u131dos.
A secc¸a\u2dco seguinte desta introduc¸a\u2dco tem cara´cter preliminar e tem como pressuposto a existe\u2c6ncia
do material que aqui ainda na\u2dco foi inclu´\u131do.
Partes deste texto foram distribu´\u131das separadamente por cada um dos autores no passado.
Tendo descoberto que os diversos textos tinham cara´cter algo complementar decidimos reuni-los.
A presente versa\u2dco idealmente na\u2dco mostra de uma maneira o´bvia as adaptac¸o\u2dces e correcc¸o\u2dces que
foram necessa´rias para chegar ao formato actual.
Novas verso\u2dces deste texto ira\u2dco aparecendo sempre que os autores considerarem oportuno em
http://www.math.ist.utl.pt/~jmatos/AMIII/temp.pdf. Para evitar a proliferac¸a\u2dco de textos
obsoletos a maioria das pa´ginas apresenta a data de revisa\u2dco corrente em pe´ de pa´gina.
1.2 Futura introduc¸a\u2dco
Este texto nasce da nossa experie\u2c6ncia a leccionar a disciplina de Ana´lise Matema´tica III no Instituto
Superior Te´cnico. Por um lado reune um nu´mero considera´vel de enunciados de problemas de
exame e por outro serve de propaganda a` nossa maneira de ver os assuntos aqui tratados. Ana´lise
Matema´tica III e´ uma disciplina do primeiro semestre do segundo ano de todos os curr´\u131culos de
licenciatura leccionados no Instituto Superior Te´cnico (IST) excepto Arquitectura.
Se se perguntar a um aluno de um dos dois primeiros anos do IST que tipo de \u201cfolhas\u201d mais
deseja que lhe sejam disponibilizadas pelos seus professores temos como resposta mais que prova´vel:
\u201cfolhas de exerc´\u131cios resolvidos de Ana´lise Matema´tica\u201d. No entanto tal resposta costuma suscitar
como reacc¸a\u2dco da parte dos docentes essencialmente preocupac¸a\u2dco. De facto a resoluc¸a\u2dco de exerc´\u131cios
de Ana´lise Matema´tica na\u2dco e´ geralmente u´nica e o processo de aprendizagem esta´ mais ligado a`
tentativa de resoluc¸a\u2dco dos mesmos quando se possui um conjunto de conhecimentos m\u131´nimo do
que a` absorc¸a\u2dco ace´fala de um nu´mero finito de receitas.
O que se segue e´ uma tentativa de compromisso entre a procura e a oferta neste mercado
sui generis. Sa\u2dco inclu´\u131dos exerc´\u131cios de exame dos u´ltimos anos com modificac¸o\u2dces do enunciado
quando tal foi julgado conveniente e muitos outros com um cara´cter mais ou menos trivial, ou de
complemento de resultados citados, ou de comenta´rio de uma resoluc¸a\u2dco de um exerc´\u131cio, sugesta\u2dco
de extenso\u2dces, etc. Por vezes um exerc´\u131cio embora inclu´\u131do numa secc¸a\u2dco inclui uma questa\u2dco que
so´ e´ tratada numa secc¸a\u2dco posterior. Tais exerc´\u131cios esta\u2dco assinalados com um asterisco *. Foram
inclu´\u131dos esboc¸os de resoluc¸a\u2dco e sugesto\u2dces em nu´mero considera´vel.
5
CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A\u2dcO
O leitor devera´ ter em considerac¸a\u2dco que o programa de Ana´lise Matema´tica III tem variado
ao longo do tempo. E´ consensual no Departamento de Matema´tica do IST e na escola em geral
que a introduc¸a\u2dco a` ana´lise em Rn e o ca´lculo diferencial em Rn devera\u2dco ser tratados em grande
parte no primeiro ano do curso. Da´\u131 a existe\u2c6ncia de secc¸o\u2dces correspondentes a revisa\u2dco de material
coberto no primeiro ano do curso.
Outro facto a ter em conta e´ a diferenc¸a de programa para os cursos de Matema´tica Aplicada
e Computac¸a\u2dco e Engenharia F´\u131sica Tecnolo´gica. Nestes cursos sa\u2dco introduzidos o formalismo das
formas diferenciais e a respectiva versa\u2dco do teorema fundamental do ca´lculo em vez da formulac¸a\u2dco
cla´ssica do teorema de Stokes. Aconselha-se os alunos destes dois cursos a comparar os enunci-
ados de exerc´\u131cios deste tema com as formulac¸o\u2dces cla´ssicas dos mesmos. Tais comparac¸o\u2dces esta\u2dco
indicadas em nota de pe´ de pa´gina.
A notac¸a\u2dco utilizada e´ cla´ssica tanto quanto poss´\u131vel, embora obviamente na\u2dco universal, e nem
sempre sera´ isenta de incoere\u2c6ncias. Por exemplo: usaremos a notac¸a\u2dco de Leibniz para derivadas
parciais mas de acordo com a notac¸a\u2dco geral para operadores, isto e´, \u2202
2u
\u2202x\u2202y =
\u2202
\u2202x
(
\u2202u
\u2202y
)
; usaremos\u222b\u222b
,
\u222b\u222b\u222b
sempre que tal for considerado sugestivo.
Citaremos os resultados essenciais de cada tema mas na\u2dco necessariamente com a sua formulac¸a\u2dco
mais geral remetida por vezes para observac¸o\u2dces marginais ou problemas. O enunciado de tais resul-
tados por vezes e´ seguido de uma \u201cdemonstrac¸a\u2dco\u201d que mais na\u2dco faz que relembrar sinteticamente
a depende\u2c6ncia em relac¸a\u2dco a outros resultados e os me´todos