Proteção de Sistemas Elétricos Notas de Aula

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Universidade Federal de Campina Grande 
Centro de Engenharia Elétrica e Informática 
Departamento de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Proteção de Sistemas Elétricos 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Francisco das Chagas Fernandes Guerra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campina Grande - PB 
 
 
Universidade Federal de Campina Grande 
Centro de Engenharia Elétrica e Informática 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Coordenadoria de Graduação em Engenharia Elétrica 
 
 
 
DISCIPLINA: Proteção de Sistemas Elétricos 
PERÍODO: 10.2 
PROFESSOR: Francisco das Chagas Fernandes Guerra 
 
Plano de Curso 
 
1 – DADOS PRELIMINARES: 
 
• Pré-requisito: Análise de Sistemas Elétricos 
• Carga Horária: 60 
• Nº de créditos: 04 
• Ementa: Cálculo de parâmetros de linha, Transitórios eletromag-
néticos: ondas viajantes em linhas de transmissão, sobretensões 
atmosféricas e de manobras, sobretensões sustentadas e 
computação digital de transitórios eletromagnéticos. Proteção de 
sistemas elétricos: filosofia, proteção de linhas de transmissão, de 
transformadores e de geradores. Fundamentos da transmissão em 
corrente contínua. 
 
2 – OBJETIVOS 
 
Ensinar ao aluno, de maneira sistemática, os conceitos 
fundamentais relacionados aos distúrbios nos sistemas elétricos de 
corrente alternada e as respectivas técnicas de proteção, bem como 
noções do funcionamento de sistemas de transmissão em corrente 
contínua. 
 
3 – PROGRAMA: 
 
1ª UNIDADE – FILOSOFIA DA PROTEÇÃO 
1 - Conceitos gerais sobre proteção dos sistemas elétricos. 
2 - Requisitos básicos de um sistema de proteção. 
3 - Classificação de distúrbios em sistemas elétricos. 
 
2ª UNIDADE – INSTRUMENTAL DA PROTEÇÃO 
1 - Transformadores de corrente. 
2 - Transformadores de potencial eletromagnéticos e capacitivos. 
3 - Relés – Classificação geral. 
4 - Pára-raios. 
 
3ª UNIDADE – TRANSITÓRIOS ELETROMAGNÉTICOS 
1 - Parâmetros de linhas de transmissão. 
2 - Ondas viajantes. 
 2
3 - Sobretensões atmosféricas. 
4 - Sobretensões de manobra. 
5 - Sobretensões sustentadas.. 
6 - Introdução à coordenação de isolamento. 
 
4ª UNIDADE – PROTEÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS POR RELÉS 
1 - Proteção de máquinas elétricas. 
1.1 - Proteção contra defeitos no estator. 
1.2 - Proteção contra defeitos no rotor. 
1.3 - Proteções adicionais – Anti-motorização, perda de excitação, 
sobretensões. 
1.4 - Proteção de motores. 
2 - Proteção de transformadores. 
2.1 - Proteção de sobrecorrente. 
2.2 - Proteção diferencial. 
2.3 - Proteções adicionais. Sobrepressão, sobretemperatura nos 
enrolamentos e no óleo. 
3 - Proteção de linhas de transmissão. 
3.1 - Proteção de sobrecorrente não direcional e direcional. 
3.2 - Proteção de distância. 
3.3 - Proteção diferencial. 
3.4 - Teleproteção. 
4 - Proteção de barras. 
5 - Introdução à proteção digital.. 
5.1 - Relés e sistemas digitais de proteção. 
5.2 - Fundamentos matemáticos de algoritmos de proteção digital. 
 
5ª UNIDADE – TRANSMISSÃO EM CORRENTE CONTÍNUA 
1 - Comparação com a transmissão em corrente alternada. 
2 - Pontes conversoras. 
3 - Tipos de linhas de CCAT. 
4 - Controles na transmissão em corrente contínua. 
 
4 – METODOLOGIA E TÉCNICAS DE ENSINO 
 
• Aulas expositivas da teoria e das técnicas de análise, sempre 
acompanhadas da resolução de problemas, procurando-se, sempre 
que possível, desenvolver a criatividade do aluno. 
• Listas de exercícios, propostas para os alunos resolver em casa. 
 
5 – RECURSOS DIDÁTICOS 
 
Quadro branco, lápis marcador, retroprojetor, data-show. 
 
6 – AVALIAÇÃO 
 
Três provas escritas, além de prova de reposição e de exame final. 
 3
7 – BIBLIOGRAFIA 
 
GUERRA, F. C. F. – Notas de Aula, DEE/CEEI/UFCG, 2011. 
KINDERMANN, G. - Proteção de Sistemas Elétricos de Potência, 
Vols. 1. 2 e 3, UFSC / EEL / LabPlan, 2008. 
MASON, C. R. - The Art and Science of Protective Relaying, Wiley, 
1956. 
ANDERSON, P. M. - Power System Protection, IEEE Press / McGraw 
Hill, 1998. 
 
8 – RESULTADOS ESPERADOS 
 
Prover o aluno dos conceitos fundamentais relacionados aos 
distúrbios nos sistemas elétricos de corrente alternada e as 
respectivas técnicas de proteção, bem como noções do 
funcionamento de sistemas de transmissão em corrente contínua. 
 
9 – ATENDIMENTO INDIVIDUAL AO ALUNO 
 
LOCAL: Sala do professor (Bloco CG) 
HORÁRIO: A definir com os alunos em função do(s) horário(s) 
definidos para a disciplina. 
 
 
 
Campina Grande, 25 de novembro de 2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Francisco das Chagas Fernandes Guerra 
- Professor - 
Chagas – DEE / UFCG 
 
1 
 
Filosofia da Proteção 
 
1. Requisitos na Operação dos Sistemas Elétricos 
• Continuidade de Serviço 
Isto é regulado pela ANEEL por meio de limites para os indicadores 
coletivos de duração equivalente de interrupção por unidade consumidora 
(DEC) e frequência equivalente de interrupção por unidade consumidora 
(FEC). Quando esses indicadores são transgredidos, as distribuidoras são 
submetidas a punições. Para os indicadores coletivos, a concessionária 
que não cumprir os limites recebe uma multa, recolhida para compor a 
Conta de Desenvolvimento Energético (CDE). Instituída pela Lei 10.438/02, 
a CDE é uma conta cuja arrecadação é usada para promover a 
competitividade da energia elétrica produzida por usinas que utilizam 
fontes alternativas: eólicas, pequenas centrais hidrelétricas, biomassa, 
carvão mineral nacional, etc. Parte dos recursos provenientes da Conta 
também é repassada para a universalização da energia elétrica no País. 
• Eficiência Energética 
A expressão eficiência energética refere-se a técnicas e procedimentos 
que visam reduzir perdas e eliminar desperdícios, sem comprometer 
conforto e produção. Certos modos de geração, transmissão, distribuição 
e consumo de energia podem causar prejuízos e degradação ambiental. O 
processamento da energia segundo critérios racionais e adequados é 
parte fundamental do processo de desenvolvimento sustentável. 
• Qualidade de Energia 
A expressão qualidade de energia refere-se a um conjunto de alterações 
na tensão, corrente ou na frequência que resulte em falha ou má 
operação de equipamentos, da geração ao uso final. Isto pode ocorrer em 
várias partes da rede (instalações de consumidores ou no sistema da 
concessionária). A tensão fornecida ao consumidor deve ter módulo e 
frequência dentro das respectivas faixas de variação permissíveis, e forma 
de onda com o mínimo de distorções de caráter permanente (harmônicos, 
sub-harmônicos, inter-harmônicos), ou de caráter transitório (surtos). 
Chagas – DEE / UFCG 
 
2 
 
Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) - Resolução Nº 505 
TL - Tensão de Leitura; TR - Tensão de Referência 
 
 
 
 
 
Frequência (ANEEL – PRODIST – Módulo 8 – Qualidade de Energia – Jan 2010) 
Condições normais: 59,9 Hz ≤ f ≤ 60,1Hz. 
Ocorrência de distúrbios: retorno para 59,5 Hz ≤ f ≤ 60,5Hz dentro de 30 
segundos após o instante que a freqüência sair desta faixa. 
Condições extremas: f ≤ 66 Hz ou f ≥ 56,5 Hz, podendo permanecer acima 
de 62 Hz por no máximo 30 s e acima de 63,5 Hz por no máximo 10 s, e 
permanecer abaixo de 58,5 Hz por no máximo 10 s e abaixo de 57,5 por no 
máximo 5 s. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
3 
 
2. Distúrbios nos Sistemas Elétricos 
2.1 Classificação dos Distúrbios 
a. Sobretensões. 
• Atmosféricas. 
• Manobra. 
• Sustentadas ou temporárias. 
b. Sobrecorrentes. 
• Sobrecargas. 
• Curtos-circuitos. 
• Transitórios de energização (inrush). 
c. Distorções de ondas. 
• Distorções de onda de longa duração (harmônicos, sub-
harmônicos, inter-harmônicos, ruídos, notches). 
• Distorçõesde onda de curta duração (spikes, sags e swells). 
d. Outros distúrbios. 
• Subtensões de longa duração. 
• Desequilíbrios (tensão, carga). 
• Oscilações eletromecânicas em geradores. 
• Inversões de fluxos de potência ativa e reativa em geradores. 
• Sobrefluxos temporários ou sobre-excitações em geradores e 
transformadores. 
2.2 Ações Corretivas 
Distúrbios menos graves 
Efeitos minimizados por sistemas de controle da operação e demais ações. 
Exemplo: ação no sentido de reduzir a velocidade da turbina quando há 
perda de carga do gerador; comutação automática de tape do transfor-
mador em carga; ligação de filtros, em caso de harmônicos na rede, etc. 
Distúrbios mais graves 
Efeitos minimizados por sistemas de proteção, que descarregam surtos de 
tensão para a terra, ou desligam a parte defeituosa do sistema, em caso 
de curtos-circuitos. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
4 
 
3. Requisitos Básicos de um Sistema de Proteção 
• Confiabilidade: O sistema de proteção sempre deve atuar em caso de 
defeito, e apenas neste caso. 
• Sensibilidade: A faixa de incerteza entre as condições de operação e de 
não operação deve ser a menor possível. 
• Velocidade: O sistema de proteção deve atuar da forma mais rápida 
possível, de modo a evitar danos aos componentes da rede elétrica 
(efeitos térmicos e eletrodinâmicos) ou perda de estabilidade do sistema. 
• Seletividade: O defeito deve ser eliminado desligando-se a menor parte 
possível da rede, de modo a ser mantido o máximo índice de continuidade 
de serviço. 
• Economia: O custo do sistema de proteção deve ser compatível com o 
custo do equipamento protegido e com a importância deste último em 
relação ao funcionamento do resto do sistema. 
4. Dispositivos de Proteção Usuais 
Sobretensões 
• Blindagens eletromagnéticas (hastes, gaiola de Faraday, cabos guarda). 
• Descarregadores de surto (pára-raios tipos SiC e ZnO). 
• Relés de sobretensão instalados no lado secundário de transformadores 
de potencial (sobretensões de longa duração). 
Sobrecorrentes 
• Fusíveis (sistemas de baixa e média tensão). 
• Disjuntores acionados por relés instalados no primário (baixa tensão). 
• Disjuntores acionados por relés instalados no lado secundário de 
transformadores de corrente e de potencial (média, alta tensão, extra-alta 
tensão). 
• Religadores automáticos (média tensão). 
• Seccionadores (média tensão). 
Chagas – DEE / UFCG 
1 
 
Ondas Viajantes em Linhas de Transmissão 
 
Este capítulo trata do desenvolvimento de equações que descrevem o 
fenômeno de propagação de ondas de tensão e de corrente em linhas de 
transmissão. São estudadas as influências da forma de terminação e dos 
parâmetros da linha no processo de reflexão e atenuação das ondas. Esta 
matéria constitui base para o estudo das sobretensões transitórias 
decorrentes de descargas atmosféricas e operações de chaveamento nas 
redes elétricas. 
1. Considerações Básicas 
Uma linha de transmissão monofásica inicialmente desenergizada é 
mostrada na Fig. 1, onde a chave S é fechada em t = 0. A partir deste 
instante, propagam-se ondas de tensão (U ) e de corrente ( I ) ao longo da 
mesma. Por simplicidade, é suposto que essas ondas apresentam 
distribuição espacial da forma retangular. 
 
Fig. 1. Energização de linha monofásica. 
Para t > 0, um comprimento x da linha é energizado. L e C são os valores de 
indutância e de capacitância por unidade de comprimento. As resistências 
em série e condutâncias em derivação são desprezadas. Como a carga 
elétrica no elemento de trecho considerado vale UxCQ = , tem-se: 
dt
dx
UC
dt
dQ
= (1) 
Sendo v a velocidade de propagação da onda, tem-se para a corrente I: 
vUCI = (2) 
O fluxo de enlace é dado por: 
IxL=φ (3) 
dt
dx
IL
dt
d
=
φ
 (4) 
Chagas – DEE / UFCG 
2 
 
Como U = dφ / dt, tem-se: 
vILU = (5) 
Substituindo (2) em (5), resulta: 
CLv /1= (6) 
A velocidade de propagação das ondas de tensão e de corrente, v, depende 
das dimensões e da disposição dos condutores, bem como das propriedades 
eletromagnéticas do meio que os circunda. Desprezando os efeitos da 
proximidade do solo e do fluxo magnético interno do condutor, os valores de 
L e C para linhas aéreas monofásicas valem, respectivamente [2]: 
( )rDlnL /
2
0
π
µ
= (7) 
( )rDlnC //2 0επ= (8) 
A constante r é o raio dos condutores e D é a distância entre eles. 
Substituindo (7) e (8) em (6): 
812-6
00 1031085,81026,1/1/1 xxxxv ==εµ=
−
m/s (9) 
Este é o valor da velocidade de propagação da luz no vácuo. Na realidade, a 
resistência e o fluxo interno dos condutores fazem com que v seja um pouco 
menor. No caso de linhas de cabo isolado, face ao alto valor da 
permissividade ε, v possui cerca de metade do valor correspondente ao das 
linhas aéreas. De (2) e (6), tem-se: 
CLUCI /= (10) 
De (10), define-se impedância de surto como sendo a relação: 
CLIUZ //0 == (11) 
Substituindo (7) e (8) em (11): 






ε
µ
π
=
r
D
lnZ
0
0
0
2
1
 (12) 
Vemos que o valor de Z0 independe do comprimento da linha. Z0 depende 
apenas do meio que circunda os condutores e do logaritmo da relação entre 
a distância dos condutores e seus raios. À medida que aumenta a tensão 
nominal das linhas, aumenta o espaçamento entre fases. Entretanto, o raio 
dos condutores também aumenta, de modo que a impedância de surto 
apresenta valores típicos bastante próximos. A Tabela 1 fornece esses 
valores para linhas trifásicas aéreas, em função do número de condutores 
por fase. Para linhas com cabo isolado, como os valores da permissividade 
são mais elevados, os valores típicos de Z0 variam na faixa de 30 a 80 Ω. 
Chagas – DEE / UFCG 
3 
 
Tabela 1. Valores típicos de Z0 para linhas trifásicas aéreas. 
CONDUTORES POR FASE IMPEDÂNCIA DE SURTO, Z0 ( Ω ) 
1 400 
2 320 
3 280 
4 240 
2. Equações Telegráficas 
Um pequeno trecho de linha de transmissão monofásica com parâmetros 
distribuídos é mostrado na Fig. 2, onde: 
• R - resistência em série, em Ω / m. 
• L - resistência em série, em H / m. 
• G – condutância em derivação, em S / m. 
• C – capacitância em derivação, em F / m. 
 
Fig. 2. Elemento incremental de uma linha com parâmetros distribuídos. 
Para as tensões e correntes, pode-se escrever: 
),(
),(
),(),( txxixR
t
txxi
xLtxutxxu ∆+∆−
∂
∆+∂
∆−=−∆+ (13) 
t
txu
xCtxuxGtxitxxi
∂
∂
∆−∆−=−∆+
),(
),(),(),( (14) 
Expandindo i (x + ∆x, t) e sua primeira derivada em série de Taylor, tem-se: 
...
),(
),(),( +∆
∂
∂
+≅∆+ x
x
txi
txitxxi (15) 
...
),(),(),(
2
+∆
∂∂
∂
+
∂
∂
≅
∂
∆+∂
x
xt
txi
t
txi
t
txxi
 (16) 
Desprezando os termos em (∆x)n para n > 1 nas equações (15) e (16) e 
substituindo essas expressões em (13): 
Chagas – DEE / UFCG 
4 
 
t
txi
xRtxixR
xt
txi
xL
t
txi
xLtxutxxu
∂
∂
∆−∆−
∂∂
∂
∆−
∂
∂
∆−=−∆+
),(
),(
),(),(
),(),(
2
2
2
 (17) 
Tomando o limite quando ∆x → 0: 
),(
),(),(),(),(
lim 0 txiR
t
txi
L
x
txu
x
txutxxu
x −∂
∂
−=
∂
∂
=
∆
−∆+
=→∆ (18) 
Considerando (14), tem-se: 
t
txu
CtxuG
x
txi
x
txitxxi
x ∂
∂
−−=
∂
∂
=
∆
−∆+
=→∆
),(
),(
),(),(),(
lim 0 (19) 
Assim, fazendo u = u(x,t) e i = i(x,t), obtém-se o seguinte par de equações:t
i
LiR
x
u
∂
∂
+=
∂
∂
− (20) 
t
u
CuG
x
i
∂
∂
+=
∂
∂
− (21) 
Derivando (20) e (21) em relação a x: 
tx
i
L
x
i
R
x
u
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
2
2
2
 (22) 
tx
u
C
x
u
G
x
i
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
2
2
2
 (23) 
Substituindo (21) em (22) e (20) em (23), resulta: 
2
2
2
2
)(
t
u
CL
t
u
GLCRuGR
x
u
∂
∂
+
∂
∂
++=
∂
∂
 (24) 
2
2
2
2
)(
t
i
CL
t
i
GLCRiGR
x
i
∂
∂
+
∂
∂
++=
∂
∂
 (25) 
Define-se impedância característica da linha, Zc, através da seguinte relação: 
CjG
LjR
Zc ω+
ω+
= (26) 
Se R = G = 0, tem-se Zc = Z0 = (L/C)
1/2, o que corresponde à impedância de 
surto, definida anteriormente para a linha sem perdas. Assim, a impedância 
de surto corresponde à impedância característica da linha no caso particular 
em que as perdas não são consideradas. 
As equações (24) e (25) são conhecidas como equações telegráficas, por 
terem sido inicialmente deduzidas para o estudo de fenômenos relacionados 
ao estudo da transmissão de pulsos telegráficos. 
Chagas – DEE / UFCG 
5 
 
Entretanto, devido ao fato de apresentarem soluções muito complexas, as 
equações (24) e (25) raramente são usadas na análise de sobretensões em 
sistemas elétricos de potência. Para esta finalidade, prefere-se utilizar as 
equações da linha sem perdas, deduzidas a seguir. 
3. Equações da Linha sem Perdas 
Fazendo R = G = 0 nas equações (24) e (25), tem-se: 
2
2
2
2
t
u
CL
x
u
∂
∂
=
∂
∂
 (27) 
2
2
2
2
t
i
CL
x
i
∂
∂
=
∂
∂
 (28) 
Pode-se obter a solução dessas equações através da transformada de 
Laplace. Assim, fazendo U (x, s) = L [u (x, t)] e I ( x, s ) = L [i(x, t)], obtém-
se: 
),(
),( 2
2
2
sxUCLs
dx
sxUd
= (29) 
),(
),( 2
2
2
sxICLs
dx
sxId
= (30) 
Da equação (6), LC = 1 / v2. Substituindo esta expressão em (29), resulta: 
),(
),(
2
2
2
2
sxU
v
s
dx
sxUd
= (31) 
cuja solução é da forma 
vsxvsx esFesFsxU /2
/
1 )()(),( +=
− (32) 
Pelo teorema do deslocamento no tempo: 
)()(])([ 1
1
atfatusFe
sa −−=−−L (33) 
onde a é uma constante arbitrária e u1 representa a função degrau unitário. 
Trazendo (32) para o domínio do tempo, resulta: 
)/()/()/()/(),( 1211 vxtuvxtfvxtuvxtftxu +++−−= (34) 
Para a obtenção da corrente, faz-se R = 0 em (20); assim, tem-se: 
t
txi
L
x
txu
∂
∂
=
∂
∂
−
),(),(
 (35) 
Utilizando transformada de Laplace: 
),(
),(
sxILs
dx
sxdU
=− (36) 
Aplicando (32) em (36): 
Chagas – DEE / UFCG 
6 
 
[ ]vsxvsx esFesF
Lv
sxI /2
/
1 )()(
1
),( −= − (37) 
[ ]vsxvsx esFesF
Z
sxI /2
/
1
0
)()(
1
),( −= − (38) 
onde Z0 é a impedância de surto, anteriormente definida. A relação Z0 = v L 
é obtida explicitando C na equação (6) e substituindo a expressão resultante 
em (11). No domínio do tempo: 
[ ])/()/()/()/(1),( 1211
0
vxtuvxtfvxtuvxtf
Z
txi ++−−−= (39) 
Assim, de (34) e (39), resulta o seguinte par de equações: 
)/()/(),( 21 vxtgvxtgtxu ++−= (40) 
[ ] 021 /)/()/(),( Zvxtgvxtgtxi +−−= (41) 
Na equação (40), em t = 0, g1( t–x / v ) apresenta uma distribuição espacial 
g1( – x/v ). Em x = a, seu valor é g1 ( –a / v ). Em um tempo subsequente τ, a 
distribuição espacial da onda será g1 (τ –x / v), sendo que o valor g1 (– a / v) 
ocorre para x = a + v τ. Isto significa que a onda g1 move-se na direção 
positiva de x. Do mesmo modo, pode-se mostrar que a onda g2 move-se no 
sentido oposto. 
Observa-se que as ondas viajantes de tensão e de corrente têm a mesma 
forma. No entanto, a onda de corrente que se desloca no sentido negativo 
de x tem polaridade oposta à da onda de tensão que se move no mesmo 
sentido, como é mostrado na Fig. 3. 
 
Fig. 3. Sentidos de deslocamento das componentes de onda de u e i. 
O sinal menos da onda de corrente refletida pode ser interpretado do 
seguinte modo: uma onda de corrente positiva é aquela que produz uma 
deflexão positiva no amperímetro mostrado na Fig. 3. Analogamente, se uma 
onda de corrente movendo-se na direção –x passar pelo amperímetro, ela 
entrará pelo terminal negativo, produzindo uma deflexão no sentido 
contrário. 
Chagas – DEE / UFCG 
7 
 
A partir deste ponto, as equações (40) e (41) serão expressas através da 
seguinte notação: 
ri uuu += (42) 
riri iiZuZui +=−= 00 // (43) 
O índice i refere-se à componente que se desloca no sentido positivo, 
denominada onda incidente. O índice r refere-se à componente que se 
desloca no sentido negativo, denominada onda refletida. 
4. Reflexões em Pontos de Transição de Linhas Semi-Infinitas 
Quando uma onda encontra uma descontinuidade da linha (mudança de 
impedância característica), uma parte da mesma é refletida de volta e a 
outra parte é transmitida aos demais ramos do circuito. As magnitudes das 
ondas incidente, refletida e refratada relacionam-se de modo tal a satisfazer 
o princípio da conservação de energia. A seguir, alguns exemplos de 
descontinuidades serão analisados. 
4.1 Mudança de Tipo de Cabo ao Longo da Linha. 
São mostradas ondas de tensão e de corrente na Fig. 4, propagando-se 
através de uma linha que apresenta um ponto de transição P. As 
impedâncias de surto das duas seções são designadas por Z1 e Z2. Por 
simplicidade, supõe-se que as ondas possuem a forma de um degrau. 
 
Fig. 4. Mudança de tipo de cabo ao longo da linha. 
Chagas – DEE / UFCG 
8 
 
Assim, de (42) e (43), tem-se: 
ii = ui / Z1 , ir = - ur / Z1 , i = u / Z2 (44) 
Substituindo (44) em (43): 
112 Z
u
Z
u
Z
u ri −= (45) 
Combinando (45) com (42), resulta: 
irir uKu
ZZ
ZZ
u =
+
−
=
21
12
 (46) 
ii uKu
ZZ
Z
u =
+
=
21
22
 (47) 
Define-se coeficiente de reflexão da tensão como sendo: 
21
12
ZZ
ZZ
K r +
−
= (48) 
e coeficiente de refração por 
21
22
ZZ
Z
K
+
= (49) 
Combinando (44) com (46) e (47): 
irir iKi
ZZ
ZZ
i −=
+
−
=
21
21
 (50) 
ii iKi
ZZ
Z
i =
+
=
21
12
 (51) 
Se Z1 = Z2 , então Kr = 0, K = 1, ur = 0, u = ui , ir = 0, i = ii. Deste modo, uma 
linha sem perdas terminada com sua impedância de surto não apresenta 
reflexão de ondas. A mesma é denominada linha plana ou linha semi-infinita, 
a qual constitui um caso frequente em comunicações. 
Nas equações (47) e (51), supõe-se inicialmente que Z1 > Z2. Ao atravessar a 
junção de cabos, a amplitude da onda de tensão diminui e a amplitude da 
onda de corrente aumenta. O contrário ocorre se Z1 < Z2, como também é 
mostrado na Fig. 4. 
4.2 Linha com Receptor em Curto-Circuito 
Neste caso, Z2 = 0. De (46), (47), (50) e (51), tem-se: 
ur = - ui , u = 0, ir = ii , i = 2 ii (52) 
A Fig. 5 ilustra graficamente esse processo. 
 
Chagas – DEE / UFCG 
9 
 
 
Fig. 5. Linha com receptor em curto-circuito. 
4.3 Linha com Receptor em Aberto 
Dividindo o numerador e o denominador de (46), (47), (50) e (51) por Z2 = ∞, 
obtém-se: 
ur =ui , u = 2 ui, ir = - ii , i = 0 (53) 
Um fato a ser observado é que a tensão no receptor tem seu valor dobrado. 
Isto é mostrado graficamente na Fig. 6. 
 
Fig. 6. Linha com receptor em aberto. 
4.4 Linha com Terminação Capacitiva 
É mostrada na Fig. 7 uma linha em que o terminal receptor apresenta uma 
carga capacitiva. Neste caso, pode-se escrever: 
Chagas – DEE / UFCG 
10 
 
dt
du
Ci= (54) 
 
Fig. 7. Linha com terminação capacitiva. 
Aplicando transformada de Laplace, obtém-se: 
)()( sUCssI = (55) 
Define-se impedância operacional do capacitor como sendo: 
CssIsUsZ /1)(/)()( == (56) 
A onda incidente é dada por ui = U0 u1(t), onde u1(t) é a função degrau 
unitário. A transformada de Laplace de ui é: 
sUsui /)( 0= (57) 
Substituindo (57) em (46), com Z1 = Z0 e Z2= 1 / s C, tem-se: 






+
−
=





+
−
=
sZC
sZC
s
U
ZCs
ZCs
s
U
sU r
0
00
0
00
/1
/1
/1
/1
)( (58) 
Como a linha é considerada sem perdas, Z0 é um número real puro. Assim, 
CZ0 é a constante de tempo para o carregamento do capacitor. Para 
simplificar, faz-se: 
0/1 ZC=α (59) 
Logo, (58) pode ser escrita como: 






+
−
+
=
αα
α
sss
UsU r
1
)(
)( 0 (60) 
Voltando ao domínio do tempo: 
( )tr eUu α−−= 210 (61) 
Chagas – DEE / UFCG 
11 
 
De acordo com (42), tem-se: 
( )tri eUtuUuuu α−−+=+= 21)( 010 (62) 
Para t ≥ 0, fica: 
( )teUu α−−= 12 0 (63) 
A Fig. 7 ilustra graficamente o fenômeno. Vê-se que, inicialmente, a carga 
comporta-se como um curto-circuito, passando a comportar-se no final 
como um circuito aberto. A análise do comportamento de i fica como 
exercício para o leitor. 
4.5 Linha com Terminação Indutiva 
É mostrada na Fig. 8 uma linha com carga indutiva no terminal receptor. 
Neste caso, pode-se escrever: 
dt
di
Lu = (64) 
 
Fig. 8. Linha com terminação indutiva. 
Aplicando transformada de Laplace: 
)()( sILssU = (65) 
A impedância operacional do indutor é: 
LssIsUsZ == )(/)()( (66) 
Como ui = U0 u1(t), da equação (46), tem-se: 






+
−
=





+
−
=
LZs
LZs
s
U
ZLs
ZLs
s
U
sU r
/
/
)(
0
00
0
00
 (67) 
Chagas – DEE / UFCG 
12 
 
A constante de tempo L / Z0 é anotada por β, de modo que: 
0//1 ZL=β (68) 
Assim: 






+
−
+
=
)(
1
)( 0 β
β
β sss
UsU r (69) 
No domínio do tempo: 
( )tr eUu β−−−= 210 (70) 
( )tri eUtuUuuu β−−−=+= 21)( 010 (71) 
Para t ≥ 0, tem-se: 
teUu β−= 02 (72) 
A Fig. 8 ilustra graficamente o fenômeno. Pode-se notar que, inicialmente, a 
carga comporta-se como um circuito aberto, passando a comportar-se no 
final como um curto-circuito. A análise do comportamento de i fica como 
exercício para o leitor. 
4.6 Linha com Derivações 
Quando um surto de tensão incide numa subestação da qual partem várias 
linhas, as tensões transmitidas às mesmas serão menores que a tensão 
incidente. Uma linha de impedância de surto Z1 é mostrada na Fig. 9, ao 
longo da qual viaja uma onda de tensão em forma de rampa em direção às n 
– 1 derivações cujas impedâncias de surto são Z2, Z3, ... ,Zn. 
 
Fig. 9. Junção de linhas. 
Como todas as ramificações estão em paralelo, as ondas de tensão 
refratadas são idênticas. Assim, tem-se: 
Chagas – DEE / UFCG 
13 
 
ii = ui / Z1, i2 = u / Z2, i3 = u / Z3, in = u / Zn (73) 
1
1
Z
uu
iiZuuuu irriri
−
=∴−=+= (74) 
nri iiiii +++=+ ...32 (75) 
Substituindo (73) e (74) em (75), fica: 
n
ii
Z
u
Z
u
Z
u
Z
uu
Z
u
+++=
−
+ ...
3211
 (76) 
i
n
u
ZZZZ
Z
u
/1.../1/1/1
/2
321
1
++++
= (77) 
A equação (77) é um caso geral. Se Z1 = Z2 = Z3 = ... = Zn e ui = r (t), tem-se: 
)(
2
tr
n
u = (78) 
Vê-se que quando o número de derivações aumenta, diminui a amplitude e a 
taxa de crescimento da tensão u. Assim, as linhas paralelas em barramentos 
tendem a reduzir a gravidade dos surtos que entram na subestação. 
5. Reflexões em Linhas de Comprimento Finito 
Até agora somente foi considerado o problema da propagação de ondas em 
linhas semi-infinitas. Num sistema elétrico real, as linhas apresentam 
comprimentos finitos, sendo necessário considerar o efeito de reflexões 
sucessivas de ondas viajantes nos seus terminais. Neste tipo de problema, 
uma representação gráfica do fenômeno facilita enormemente a análise. 
Em 1930, L. W. Bewley propôs um método gráfico utilizando diagramas 
espaço-tempo, os quais indicam a posição e o sentido do movimento de 
cada onda incidente, refletida e refratada em qualquer instante. 
É mostrada na Fig. 10 uma linha de transmissão monofásica sem perdas que 
possui uma impedância de surto Z0. No extremo receptor há uma carga de 
resistência R e no extremo emissor há uma fonte de tensão que gera uma 
tensão da forma u = U0 u1 ( t ). 
Inicia-se o traçado do diagrama do seguinte modo: o eixo que dá a posição 
da onda é traçado na direção horizontal, da esquerda para a direita. É 
marcada neste eixo, em escala, uma distância correspondente ao 
comprimento da linha. O eixo dos tempos é traçado na posição vertical, de 
cima para baixo, sendo graduado em intervalos iguais ao tempo de trânsito 
da onda viajante na linha, cujo valor é t = d / v, onde d é o comprimento da 
linha e v é a velocidade de propagação da onda (v = 300 m/µs). 
 
Chagas – DEE / UFCG 
14 
 
 
Fig. 10. Diagrama de reflexões para uma linha com terminação resistiva. 
No digrama, é possível ver que a inclinação das linhas diagonais representa o 
inverso da velocidade de propagação das ondas na linha. Se as ondas 
estiverem viajando na direção positiva de x (ondas progressivas), a inclinação 
das linhas será igual a + 1/v. Se estiverem viajando na direção –x (ondas 
regressivas) a inclinação das linhas será - 1 / v. 
De (48), o coeficiente de reflexão no extremo receptor é: 
RZ
RZ
ZR
ZR
K r
/1
/1
0
0
0
0
+
−
=
+
−
= (79) 
e, para o extremo emissor, a impedância da fonte é suposta nula. Logo, 
também de (48), resulta Kre = - 1. 
No topo do diagrama estão indicados esses coeficientes. No instante t = 0, 
um degrau de tensão parte da fonte (x = 0) em direção à carga, sendo 
refletida uma onda que se propaga em direção à fonte, atingindo-a no 
instante t = 2 d / v. Isto dá origem a uma nova onda refletida que se propaga 
em direção à carga, repetindo-se o processo. 
Pode-se obter a tensão em qualquer ponto da linha, num dado instante, 
somando-se algebricamente a onda incidente a todas as ondas refletidas que 
passaram por esse ponto, em ambas as direções, até o instante considerado. 
De acordo com a Fig. 10, tem-se para um ponto localizado a uma distância x 
da fonte: 
Chagas – DEE / UFCG 
15 
 
...]/)4([
]/)4([]/)2([
]/)2([)/(),(
10
2
10
2
10
1010
++−+
−−−+−−
−−+−=
vxdtuUK
vxdtuUKvxdtuUK
vxdtuUKvxtuUtxu
r
rr
r
 (80) 
Se o terminal da carga estiver em aberto, R = ∞. De (79), Kr = 1. Para x = d e 
x = d / 2 tem-se, respectivamente: 
...)/5(2)/3(2)/(2
),(
111
0
+−+−−−= vdtuvdtuvdtu
U
tdu(81) 
...)/5,4()/5,3(
)/5,2()/5,1()/5,0(
),2/(
11
111
0
+−+−−
−−−+−=
vdtuvdtu
vdtuvdtuvdtu
U
tdu
 (82) 
São mostradas na Fig. 11 as formas de onda da tensão em x = d e x = d / 2. 
 
Fig. 11. Energização de uma linha com receptor em aberto. 
6. Atenuação e Distorção em Ondas Viajantes 
6.1 Considerações Gerais 
Atenuação é a redução na amplitude das ondas que se propagam ao longo 
de uma linha de transmissão. Distorção é a variação na forma das mesmas 
ao longo do percurso. Esses fenômenos são causados por três fatores: 
Chagas – DEE / UFCG 
16 
 
• perdas de energia, 
• variações na indutância, 
• variações na capacitância. 
As perdas de energia consistem em: 
• perdas resistivas na linha, 
• perdas por efeito corona, 
• perdas nos isoladores, 
• perdas dielétricas nos isolamentos, 
• perdas por radiação, devido às altas frequências. 
As variações na indutância são devidas aos seguintes fatores: 
• efeito pelicular nos condutores, 
• efeito de proximidade (torres metálicas, etc.), 
• influência do solo. 
As variações na capacitância são devidas a: 
• capacitâncias concentradas dos isoladores, 
• proximidade de torres de aço, 
• efeito corona. 
A seguir, serão analisadas as influências das perdas resistivas da linha e do 
efeito corona na propagação das ondas nas linhas de transmissão. 
6.2 Influência das Perdas Resistivas 
Uma onda viajante de tensão, u, propagando-se através de uma linha sem 
perdas é mostrada na Fig. 12. 
 
Fig. 12. Onda viajante de tensão. 
Lembrando que a impedância de surto da linha é Z0 = u / i = ( L/C )
1/2, a 
energia armazenada em uma seção dx da onda de tensão é: 
Chagas – DEE / UFCG 
17 
 
dxuCdxiLdxuCw 222
2
1
2
1
=+= (83) 
A onda move-se a uma velocidade v, próxima à da luz, sendo v = dx/dt. Como 
u é função de x e de t, tem-se: 
t
u
x
u
v
t
u
dt
dx
x
u
dt
du
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
= (84) 
Logo: 






∂
∂
+
∂
∂
==
t
u
x
u
vdxuC
dt
du
dxuC
dt
dw
22 (85) 
Considerando φ (u) uma função que expressa a taxa de dissipação de energia 
em relação ao tempo por unidade de comprimento da linha, tem-se para a 
seção dx: 
dxu
dt
dw
)(φ−= (86) 
Isto corresponde à variação da energia armazenada da onda; assim, tem-se: 






∂
∂
+
∂
∂
=−
t
u
x
u
vuCu 2)(φ (87) 
Na Fig. 12, considerando y = D, ao invés de y = v t – x, o termo ∂u/∂x no final 
da onda é nulo; logo, resulta: 
t
u
uCu
∂
∂
=− 2)(φ (88) 
A condição inicial é u = U0 em t = 0. 
Supondo que a linha caracterizada pelos parâmetros L, C, R e G, tem-se 
para a função φ ( u ): 
22222)( u
L
LGCR
uGu
L
C
RuGiRu
+
=+=+=φ (89) 
Combinando (88) e (89): 
t
u
uCu
L
LGCR
∂
∂
=
+
− 22 (90) 
2
u
C
G
L
R
t
u





 +−=
∂
∂
 (91) 
t
t
C
G
L
R
eUeUu α−






+−
== 0
2
1
0 (92) 
onde 





 +=
C
G
L
R
2
1
α (93) 
Chagas – DEE / UFCG 
18 
 
A atenuação ou taxa de decaimento é: 
ueU
dt
du t αα α −=−= −0 (94) 
A Fig. 13 ilustra este processo de atenuação. 
 
Fig. 13. Atenuação de uma onda viajante causada pelas perdas resistivas. 
6.3 Influência do Efeito Corona 
O efeito corona consiste na ionização do ar que circunda o condutor, 
fazendo com que haja um aumento no seu diâmetro efetivo. Isto é ilustrado 
na Fig. 14, na qual há um condutor envolvido em diversas camadas tubulares 
de ar, de capacitâncias C1, C2, ..., Cn. 
 
Fig. 14. Atenuação e distorção causadas pelo efeito corona. 
A velocidade de propagação da onda em cada cama da de ar é dada por: 
kk CLv /1= (95) 
onde k é o número de ordem de cada camada. Como C1 < C2 < ... < Cn, tem-
se v1 > v2 > ... > vn. Isto faz com que a onda seja distorcida e atenuada ao 
longo de seu percurso na linha, como é indicado na Fig. 14. É mostrado na 
Fig. 15 o que ocorre com uma onda de polaridade positiva ao percorrer 
distâncias sucessivas d1 < d2 < d3 < d4. 
Chagas – DEE / UFCG 
19 
 
 
Fig. 15. Atenuação e distorção em uma tensão impulsiva de polaridade 
 positiva ao percorrer distâncias sucessivas d1 < d2 < d3 < d4. 
Bibliografia 
1. Bewley, L. V. Traveling Waves on Transmission Systems, 2nd. ed.; Dover 
Publications, 1963. 
2. Fuchs, R. D. Transmissão de Energia Elétrica: Linhas Aéreas, LTC/EFEI, 
1977. 
3. Greenwood, A. Electrical Transients in Power Systems, Wiley/Interscience, 
1971. 
4. Hedman, D. E. Teoria de Linhas de Transmissão II, ELETROBRÁS/UFSM, 
1978. 
5. Naidu, S. R. Transitórios Eletromagnéticos em Sistemas de Potência, Ed. 
Grafset, 1985. 
6. Wellauer, M. Introdução à Técnica das Altas Tensões, Ed. Polígono, 1973. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
1 
 
Sobretensões Atmosféricas 
 
1. Causa 
Raios que caem diretamente sobre partes do sistema, ou próximo a elas. 
Devido à extensão física e ao nível de exposição, as LTs aéreas são mais 
vulneráveis. 
2. Mecanismo das Descargas 
Diferentes teorias explicam o carregamento das nuvens. Há grande 
concentração de cargas negativas na parte inferior da nuvem, induzindo 
cargas positivas na terra. A rigidez dielétrica do ar seco é de 30 kV/cm, 
reduzindo-se com a umidade. Há uma descarga piloto em degraus de 15 a 
50 m, cada um. Os degraus são retos, tomando nova direção a cada 
avanço. 
 
Quando a descarga piloto atinge a terra, há a descarga de retorno, com 
grande movimentação de cargas através do canal ionizado, brilho intenso 
e estrondo. Também pode haver descarga de retorno antes da descarga 
piloto alcançar a terra. 
Normalmente, essas descargas se repetem. Cerca de 80% dos raios 
apresentam no mínimo 2 descargas e 20% apresentam 3 a 5. Há registro 
de até 40 descargas. Felizmente, maior parte das descargas ocorre dentro 
da nuvem. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
2 
 
 
3. Consequência 
Injeção de correntes de descarga de até 200 kA, tempos de crescimento 
de 1 µs a 10 µs. Surgem ondas de tensão relacionadas ao surto de 
corrente através da impedância característica do sistema. Caráter das 
ondas: impulsivo (não oscilatório) e valores de pico máximos de 6 pu, com 
polaridade negativa em 90% dos casos. Elas se propagam para os dois 
terminais da linha com velocidade próxima à da luz, com reflexões e 
refrações nos pontos onde há mudança na impedância característica. 
Em caso de surto atmosférico, se o nível de suportabilidade de tensão da 
linha for excedido, há a formação de arco através do ar ou de uma cadeia 
de isoladores, o que normalmente não produz dano ao sistema por causa 
da atuação dos relés de proteção e da abertura do disjuntor. Neste caso, o 
isolamento é auto-regenerativo, podendo o religamento ser feito alguns 
ciclos após, de forma automática e rápida. 
Nos transformadores, máquinas elétricas e outros equipamentos, a 
ruptura do isolamento é um dano permanente, pois não há regeneração. 
4. Classificação de Risco 
• Índice ceráunico: Número de dias de trovoada de um determinado lugar 
por ano. 
• Curvas isocerúnicas: Linhas que ligam pontos (localidades) que têm o 
mesmo nível ceráunico. Abaixo, os mapas ceráunicos do Brasil e mundo. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
3 
 
 
 
 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
4 
 
5. Ensaios de Impulso 
A norma ABNT NBR 6936:1992 (Técnicas de ensaioselétricos de alta 
tensão) estabelece uma onda de tensão padrão para reproduzir em 
laboratório as tensões impostas pelos raios. 
 
S – Parte crescente, denominada frente. 
R – Parte decrescente, denominada cauda. 
M – Ponto de máximo, denominado crista. 
Up – Tensão máxima, denominada tensão de crista. 
Tn – Início convencional para contagem dos tempos. 
Ts
’ – Tempo entre os instantes em que a onda alcança 30% e 90% de Up. 
Ts – Duração convencional da frente de onda, tomada como 1,67 x Ts
’. 
Td – Tempo para a cauda alcançar 50 % de Up, ou tempo de descida. 
Os tempos Ts e Td são respectivamente iguais a 1,2 µs e 50 µs. 
As solicitações sobre os isolamentos aumentam com a amplitude do surto 
e com a inclinação da frente de onda (dv/dt). 
A norma ABNT NBR 6939:2000 (Coordenação do isolamento – Procedi-
mento) fornece valores de tensão suportáveis de impulso atmosférico 
(crista) para valores RMS de tensão máxima de equipamentos. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
5 
 
6. Nível Básico de Isolamento (NBI) 
NBI ou BIL (do inglês Basic Insulation Level) é o máximo valor de crista da 
onda padronizada de impulso atmosférico (1,2 x 50 µs ) que pode ser 
suportado pelo equipamento sem que haja falha na isolação. Alguns 
valores de NBI adotados pelo IEEE são fornecidos na abaixo. Os valores 
reduzidos referem-se a sistemas com neutro solidamente aterrado, onde 
os surtos são mais facilmente dissipados. 
TENSÃO NOMINAL 
DO SISTEMA (kV, RMS) 
NBI PADRÃO 
(kV, PICO) 
NBI REDUZIDO 
(kV, PICO) 
15 110 
34,5 200 
69 350 
138 650 550 
230 1050 825-900 
345 1550 1175-1300 
500 1300-1800 
 
7. Proteção Contra Sobretensões Atmosféricas 
A atenuação dos efeitos das descargas atmosféricas é feita por sistemas 
de aterramento associados aos seguintes elementos: 
• Hastes captoras (pára-raios tipo haste ou Franklin). 
• Gaiola de Faraday. 
• Cabos-guarda (cabos pára-raios). 
• Descarregadores de surtos (pára-raios). 
Esses sistemas serão estudados posteriormente. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
1 
 
Sobretensões de Manobra 
 
1. Causas 
Operações de chaveamento que promovem mudanças abruptas na 
configuração do sistema, como energização ou desenergização em carga 
de elementos indutivos e/ou capacitivos (linhas de transmissão, 
transformadores, bancos de capacitores e de reatores, etc.). 
2. Consequências 
Transferências abruptas de energia entre campos elétricos e magnéticos 
nos componentes da rede, resultando em sobretensões oscilatórias de 
alguns kHz, forte amortecimento, duração de vários milisegundos a até 
vários ciclos e valores de pico máximos de 4 pu. Acima de 345 kV, os 
surtos de manobra podem produzir solicitações mais severas que os 
surtos atmosféricos. 
3. Tensão de Restabelecimento Transitória (TRT) 
3.1 Definição 
Tensão de alta frequência (alguns kHz), que que surge entre os contatos 
de um disjuntor logo após a abertura causada por um curto-circuito. 
3.2 Cálculo da TRT 
É calculada a partir do circuito equivalente abaixo, onde as resistências (e 
os amortecimentos) são ignoradas. 
 
 
 
L Indutância em série equivalente entre fonte e disjuntor. 
C Capacitância para a terra (buchas, TCs, transformador e capacitores de 
equalização do disjuntor). Em 60 Hz, C é desprezível. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
2 
 
Condições iniciais: A corrente é limitada apenas pela indutância. Na 
passagem por zero, a tensão da fonte é máxima, iniciando-se a 
interrupção e o arco. A tensão nos contatos do disjuntor e no capacitor é a 
tensão do arco (desprezível em sistemas de alta tensão). 
Formação da TRT: O disjuntor abre. C é carregado pela fonte através de L. 
Há oscilação no circuito LC na frequência natural do circuito (ω0 = 1/√LC). 
 
Equacionamento 
tUu
dt
di
L
mC
ω=+ cos , 
dt
du
Ci
C= 
t
LC
U
LC
u
dt
ud
mCC ω=+ cos
2
2
 , 0)0( ≅Cu 
Solução 
( )ttUtu
mC 022
0
2
0 coscos)( ω−ω
ω−ω
ω
= 
( ) 1Hz60,kHz
22
0
2
0
00 ≅ω−ω
ω
⇒ω>>ω→ω→ω 
( )ttUtu
mC 0coscos)( ω−ω= 
Se i = 0 e uC = Um (tensão no pico), o termo em 60 Hz varia pouco ( ≅ 1). 
( )tUtu
mC 0cos1)( ω−= 
Valor máximo da TRT: ( ) mmaxCC Uuu 2,0 == /ωπ 
Se ω0 é alta, a tensão nos contatos aumenta rapidamente, podendo 
exceder a rigidez dielétrica do meio extintor, havendo reignição do arco. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
3 
 
3.3 Etapas do Processo de Interrupção 
Etapa térmica 
• Separação dos contatos do disjuntor (tensão inicial nula). 
• As redes desconectadas redistribuem energia entre suas respectivas 
indutâncias e capacitâncias. 
• Há ionização do meio extintor na câmara de extinção, com 
estabelecimento do arco (a tensão através do arco pequena em relação à 
do sistema). 
• Ocorre resfriamento do arco pelo mecanismo extintor (alongamento, 
sopro de ar, etc), com redução da condutividade e aumento da tensão 
através do arco. 
• Ocorre extinção na primeira passagem por zero. 
• Devido à condutividade residual associada à inércia térmica do meio 
extintor, há surgimento de pequena corrente subsequente. 
Etapa dielétrica 
Surgimento da TRT. Posteriormente, o regime permanente é atingido. 
 
Potência recebida, PR: Associada à corrente subsequente. 
Potência de perdas, PP: Associada ao processo de extinção (resfriamento). 
Se PP > PR há extinção do arco. Se não há reignição, a TRT aumenta, 
iniciando-se o processo de esforço dielétrico. Se a TRT é maior que a 
tensão disruptiva do meio, há reacendimento do arco. 
Tempo total de interrupção: Contado a partir do fechamento dos contatos 
do relé até a interrupção da corrente. Disjuntores rápidos: 2 a 4 ciclos. 
Disjuntores lentos: 8 ciclos. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
4 
 
3.4 Fatores de Influência na Forma de Onda e Valor Máximo da TRT 
Capacitâncias, indutâncias, resistências, tipo e local da falta. Pior caso: 
falta trifásica. Faltas nos terminais do disjuntor: maiores amplitudes da 
TRT. Faltas distantes do disjuntor (quilométricas): maiores taxas de 
crescimento da TRT (TCTRT). 
3.5 Taxa de Crescimento da TRT (TCTRT) 
A solicitação sobre o meio extintor depende não apenas do valor da TRT 
como também da TCTRT. Há diferentes definições – (a) inclinação da reta 
que liga o zero ao primeiro pico, (b) ao pico máximo, e outras. 
 
3.6 Normas sobre TRT 
ABNT NBR IEC 62271-100:2006 (Equipamentos de alta-tensão - Parte 100: 
Disjuntores de alta-tensão de corrente alternada). 
4. Sobretensões Causadas por Chopping Currents 
Causa: Disjuntores com mecanismo de extinção de arco muito eficiente. 
Pequenas correntes indutivas são interrompidas antes de sua passagem 
natural por zero (caso de transformadores em vazio ou reatores shunt). 
 
Lm Indutância de magnetização do transformador ou reator. 
C Capacitância em derivação equivalente do sistema. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
5 
 
Processo de interrupção da corrente no zero: Processo natural. 
 
Processo de interrupção da corrente diferente de zero: Processo forçado 
pela ação do mecanismo de interrupção da corrente (p. ex., sopro de ar). 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
6 
 
Há transferência de energia do campo magnético do indutor para o campo 
elétrico do capacitor e vice-versa, com frequência de oscilação: 
CL
m
/1=ω0 , correspondente a alguns kHz. 
Desprezando os efeitos dissipativos das resistências, do arco e da 
histerese do núcleo magnético, a energia armazenada total no instante do 
chopping é dada por: 
2
0
2
0 ILUCW mT 2
1
+
2
1
= 
O máximo valor de uC ocorre quando toda a energia é armazenada no 
campo elétrico de C, a qual, neste instante, é dada por: 
2
02
0
2
ILUCUCW
mCmCm 2
1
+
2
1
=
2
1
= ∴ 
2
0
2
0 I
C
L
UU
m
Cm
+=
 
Como a corrente é pequena, o disjuntor poderá interrompê-la prematura-
mente, logo que os contatos começam a se separar. Com uma pequena 
separação, o dielétrico não suporta a solicitação. Assim, o corte forçado da 
corrente pode causar múltiplas reignições do arco. 
 
As sobretensões são menores que no caso de não haver reignição, pois 
estas permitem retorno de parte da energia para o resto do circuito, 
amortecendo as oscilações. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
7 
 
Exemplo: Para um transformador de 1 MVA, 13,8 kV, a corrente de 
magnetização típica é 3,5%, ou seja: 
)(A5,1
8,133
1000
100
5,3
RMS
x
xI
m
≅= 
H
xI
U
L
m
14
5,1377
3/138000
ω
≅== 
)pico(A5,20 =I (distorção harmônica). 
Capacitância shunt equivalente de 5 nF (valores típicos: 1 a 7 nF). 
Se o chopping ocorre no pico da corrente de magnetização: 
6,1322875,2
105
14
0 2
9
22
0
2
0 ≅+=+= − x
x
I
C
L
UU
m
Cm 
Na prática, esse valor não é alcançado, devido às perdas ôhmicas e, 
pricipalmente, porque apenas uma fração da energia armazenada no 
núcleo magnético é liberada, devido ao efeito de histerese. 
Trechos AB e CD do ciclo – Núcleo recebe energia → ∫ i dλ > 0. 
Trechos BC e DA do ciclo – Núcleo fornece energia → ∫ i dλ < 0. 
Considerando o corte no pico de corrente I0: 
Área do triângulo OBB’: Energia devolvida à fonte no corte em caso de 
indutor linear. 
Área hachurada BB’C: Energia devolvida à fonte no corte em caso de 
indutor não linear. 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
8 
 
5. Sobretensões por Interrupção de Correntes Capacitivas 
Causas: Desligamento de bancos de capacitores ou linhas de transmissão 
aéreas longas ou linhas a cabo. 
 
 
Após a extinção do arco, se a velocidade de afastamento dos contatos não 
for suficientemente elevada, poderá haver reignição para uD = 2 Um. 
LCdt
du
CitUu
dt
di
L
C
mC
1
,,cos 0 =ω=ω=+
 
tUu
dt
ud
mC
C ωω=ω+ 20
2
0 cos2
2
 
mC
C
Uu
dt
ud 2
0
2
0 ω≅ω+2
2
 
Justificativa: Oscilação de alta frequência e curta duração (ω0 >> ω). A 
tensão permanece aproximadamente no valor máximo, Um, em t0 = 0. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
9 
 
Condições iniciais: mC Uu −=)0(
 
0/)0()0(' == Ciu
C 
Solução: ( )tUtu mC 0ω−= cos21)( 
 
O processo de reignição pode se repetir a cada pico de tensão da fonte, 
ocasionando tensões elevadas nos terminais do capacitor e do disjuntor. 
6. Atenuação das Sobretensões de Manobra 
Para esta finalidade, são utilizados: 
• Descarregadores de surtos (pára-raios). 
• Resistor de pré-inserção: É instalado na câmara do disjuntor para reduzir a 
sobretensão durante o fechamento. Durante o deslocamento do contato 
móvel, um resistor é inserido transitória-mente, durante 6 a 10 ms, sendo 
o mesmo posteriormente curto-circuitado quando os contatos se fecham. 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
10 
 
7. Sobretensões de Manobra em Subestações a SF6 
As sobretensões de manobra em subestações aéreas é de alguns kHz. Nas 
subestações blindadas isoladas a SF6, a frequência é da ordem de MHz 
(solicitações mais severas). 
 
 
Explicação: Os parâmetros L e C da subestação a SF6 são bastante 
diferentes, pois eles dependem da geometria dos elementos e do meio 
isolante. À pressão atmosférica normal, o SF6 tem rigidez dielétrica 2,5 
vezes maior que a do ar. De 3 a 5 vezes a pressão atmosférica (condição 
usual), a rigidez dielétrica é 10 vezes a do ar. Isto permite a construção de 
componentes muito mais compactos (barramentos, disjuntores, TCs, TPs, 
chaves seccionadoras, etc). 
Apesar de serem mais caras, as GIS (Gas Insulated Substations) constituem 
uma solução para os grandes centros urbanos, onde há falta de espaço 
físico e necessidade de presevação do aspecto paisagístico. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
1 
 
Sobretensões Sustentadas 
 
1. Causas 
As sobretensões sustentadas ou temporárias são causadas por: 
• Curtos-circuitos fase-terra em sistemas trifásicos. 
• Perda súbita de carga em geradores. 
• Efeito Ferranti. 
• Ressonância linear. 
• Ferroressonância. 
2. Consequências 
Ocorrência de sobretensões com fraco amortecimento, duração de vários 
ciclos, vários segundos ou mais e valores de pico máximos de 1,5 pu. 
Ocorrem à frequência industrial e harmônica; em alguns casos raros, 
podem estar presentes componentes sub-harmônicas. Os pára-raios não 
devem operar, pois a capacidade térmica será excedida em longa duração. 
3. Curtos-circuitos em Sistemas Trifásicos 
Para entender o problema das sobretensões sustentadas, três casos são 
inicialmente analisados em um sistema elétrico: neutro isolado da terra, 
neutro solidamente aterrado e neutro aterrado através de impedância. 
3.1 Neutro Isolado da Terra 
Regime normal: As correntes de defeito fase-terra apresentam valores 
desprezíveis e são limitadas pelas capacitâncias fase-terra (ver figura 
abaixo). O neutro acha-se no mesmo potencial da terra. 
 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
2 
 
Defeito fase-terra: Há deslocamento dos potenciais das fases sãs em 
relação à terra, sendo estas aumentadas por um fator igual a √3. Difícil 
detecção e localização do defeito, não sendo aplicáveis os relés de terra. 
 
Fenômeno denominado falta intermitente (arcing fault ou arcing ground). 
(A) O sistema opera em condições normais. A seguir, há um defeito fase a 
- terra (contato momentâneo com um galho de árvore, descarga através 
de isolador poluído ou disrupção de atmosfera com vapor metálico). 
(B) O neutro é deslocado de um valor igual a Uan em relação à terra. 
Assim, o arco é extinto quando a corrente If = 0. A carga armazenada na 
capacitância faz com que o triângulo fique deslocado, na mesma posição. 
(C) Após meio ciclo de tensão, as tensões se apresentam defasadas de 
180°. Neste meio ciclo, o potencial da fase a aumenta de 0 até cerca de 2 
Van, o que faz com que o arco restabeleça a conexão fase a – terra. Assim, 
o potencial desta fase tende a cair subitamente para o potencial da terra. 
Devido à indutância em série do circuito, há uma oscilação entre + 2Uan e -
2Uan, com frequência de 20 a 100 vezes 60 Hz. Ocorre uma série de 
oscilações transitórias devido às múltiplas reignições do arco, produzindo 
tensões de elevados valores de pico e ocasionando danos no sistema. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
3 
 
 
3.2 Neutro Solidamente Aterrado 
As correntes de defeito fase-terra são altas. Nos terminais de geradores, 
são maiores que as produzidas por um curto-circuito trifásico. Os defeitos 
são facilmente detectados, sendo a proteção de terra sensível seletiva e 
facilmente ajustável. 
Causam esforços eletromecânicos elevados e arcos intensos. 
Também não ocorrem as faltas intermitentes. Assim, os sistemas sejam 
projetados com isolamentos mais econômicos. 
Ao contrário dos sistemas com neutro isolado, não ocorrem sobretensões 
sustentadas em caso de defeito fase-terra. 
 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
4 
 
3.3 Neutro Aterrado por Impedância 
Para os circuitos de Thévenin de sequência positiva, negativa e zero: 
021 ZZZZ ++=∑ , ∑
=
Z
U
I 0a 
 
U
Z
ZZ
U
∑
+
= 021a 
U
Z
Z
IZU
∑
−=−= 2022 aa 
U
Z
Z
IZU
∑
−=−= 2000 aa
 
Operador de Fortescue: a = 1 e j 120° 
021
021
aaac
aaab
UUaUaU
UUaUaU
2 ++=
++= 2
 
Considera-se Z1 ≅ Z2. Combinando as equações: 
U
ZZ
ZZ
aU
10
10
/2
/1
+
−
+= 2b 
U
ZZ
ZZ
aU
10
10
/2
/1
+
−
+=c 
Simplificações:221100 XjXjXj ≅≅≅ Z,Z,Z 
Módulos de Ub e Uc, em pu de U: 
10
10
/2
/1
XX
XX
U pub, +
−
+= 2a 
10
10
/2
/1
XX
XX
U puc, +
−
+= a 
Chagas – DEE / UFCG 
 
5 
 
1
1
0 =
X
X
 , Ub,pu = Uc,pu = 1 → Não há sobretensões nas fases sãs. 
Neutro isolado ou aterrado por alta impedância 
2
1
0 >>
X
X
 , Ub,pu = Uc,pu ≈ √3 → Sobretensão sustentada máxima. 
 
3.4 Definições 
Coeficiente de aterramento: Relação, em percentagem, entre a maior 
tensão fase-terra em uma fase sã e a tensão fase-fase nominal do sistema, 
durante uma falta para a terra em uma ou mais fases. 
Sistema efetivamente aterrado: X0 / X1 ≤ 3 , R0 / X1 ≤ 1 
• Caso limite: neutro solidamente aterrado. 
• Também podem estar incluídos sistemas onde há resistências ou reatâncias 
entre neutro e terra. 
• Em defeitos fase-terra, as tensões fase-terra das fases sãs não excedem 
80% da tensão fase-fase (coeficiente de aterramento < 80%). 
• Os pára-raios podem ser especificados para 85% da tensão fase-fase. 
• As correntes de defeito fase-terra têm valores apreciáveis, sensibilizando a 
proteção de sobrecorrente. 
• As correntes de defeito fase-terra próximos aos pontos de aterramento podem 
atingir valores superiores às correntes de defeito trifásico. 
Em um sistema efetivamente aterrado, para um defeito fase a - terra: 
0,8≤
−
−
NOMINALFASEFASETENSÃO
SÃSFASESNASTERRAFASETENSÃO
 
Tomando como base a tensão fase-neutro nominal do sistema: 
Chagas – DEE / UFCG 
 
6 
 
pux 4,138,0 ≅≤− SÃSFASESNASTERRAFASETENSÃO 
Assim, a sobretensão nas fases sãs não ultrapassa 40%. 
Sistema não efetivamente aterrado: X0 / X1 > 3 , R0 / X1 > 1. 
• Caso limite: neutro isolado. 
• As corrente de defeito fase-terra são menores que as de defeito trifásico. 
• À medida que R0/X1 e X0/X1 aumentam, crescem os problemas de 
detecção de defeitos fase-terra. O ajuste da proteção e a obtenção de boa 
seletividade são tarefas cada vez mais difíceis. 
• Os coeficientes de aterramento se aproximam do valor 100%. 
• Os pára-raios devem ser especificados para mais de 100% da tensão fase-
fase nominal do sistema. 
3.5 Curvas de Coeficientes de Aterramento 
Para especificação de pára-raios, há gráficos que fornecem os coeficiente de 
aterramento para sistemas com neutro aterrado por impedância. 
R1 = R2 = 0 
 
Há gráficos semelhantes para R1 = R2 = 0,1 X1, R1 = R2 = 0,2 X1, etc. 
3.6 Formas de Operação do Neutro de Equipamentos 
Geradores 
Não operam com o neutro solidamente aterrado, pois têm baixa impe-
dância de sequência zero. O neutro é aterrado por resistor, reator, 
transformador de distribuição com resistor no secundário ou bobina de 
Petersen. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
7 
 
Transformadores 
Os sistemas de transmissão e de distribuição aéreos operam com o neutro 
solidamente aterrado. 
Em subestações industriais, o neutro é solidamente aterrado quando o 
secundário é em baixa tensão. Em média tensão (2,4 a 15 kV), o neutro é 
aterrado por resistor. 
4. Perda Súbita de Carga em Geradores 
Quando um gerador perde subitamente a carga (rejeição de carga), há 
elevação na tensão do sistema. Isto ocorre pelos seguintes motivos: 
• Antes da rejeição, o gerador opera de modo superexcitado (as cargas são 
indutivas, absorvendo reativos). Isto tende a se manter algum tempo após 
a rejeição, até que o regulador de tensão atue. 
• A corrente diminui muito, passando a ser limitada pela capacitância 
equivalente em derivação do sistema. Assim, a queda de tensão através 
das impedâncias em série se reduzirá. 
Isto pode ser entendido pela análise das figuras a seguir. Considera-se que 
a tensão interna do gerador permanece constante após a rejeição. 
 
Antes da rejeição, o gerador recebe potência mecânica da turbina e 
fornece potência elétrica à rede. O torque mecânico é igual ao torque de 
reação de armadura, que se anula após a rejeição. Assim, há aceleração e 
aumento da tensão gerada, pois ela é proporcional à velocidade do rotor. 
Em turbogeradores, a sobrevelocidade chega até 10%, em menos de 1s. 
Em hidrogeradores, a sobrevelocidade pode chegar a 40%, em 3 a 4 s. Isto 
permanece até que os reguladores de velocidade e de tensão atuem. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
8 
 
5. Efeito Ferranti 
Este efeito deve-se à capacitância shunt distribuída das LTs. A operação 
com receptor em vazio causa elevação de tensão, com solicitações 
excessivas nos isolamentos. Isto se agrava quando o comprimento da linha 
aumenta. Nas linhas com cabo isolado (subterrâneas, submarinas) este 
efeito é mais intenso que nas linhas aéreas, considerando um mesmo 
comprimento e tensão nominal (maior capacitância shunt). 
 
Equação da linha sem perdas: 
cl
dx
d 2ω−=
2
2
U
 
ω - Frequência angular nominal. 
l - Indutância distribuída em série por unidade de comprimento. 
c - Capacitância shunt distribuída por unidade de comprimento. 
Solução: )()(β )( xasenZjxacosx −β+−= R0R IUU 
clZ /=
0 - Impedância característica ou impedância de surto. 
clω=β
 - Constante de fase da linha. 
Com o terminal receptor em aberto: 
)(β )( xacosUxU −=
R 
Neste caso, para x = 0: 
acosUU β 
RS
= , 
acos
xacos
UxU
β
)β(
 )(
−
=
S 
A constante β produz uma defasagem θ na tensão ao longo da linha (θ = 
βx). Um ciclo de tensão corresponde a 2π radianos de defasagem, ou seja: 
f/c
π
=
λ
π
= β∴π=λβ
22
2 
Chagas – DEE / UFCG 
 
9 
 
Velocidade de propagação da onda: c ≅ 300000 km /s. Para f = 60 Hz: 
kmrad
/x
/00126,0
60103
2
5
=
π
= β 
Em LTs de 230 kV a 1100 kV, β varia pouco (0,00127 a 0,00130 rad/km). 
[ ]
( )acos
xacos
U
xU
0,00126
)(0,00126
 
)( −
=
S
 
O perfil de tensões ao longo de uma linha de 600 km com receptor em 
aberto é mostrado abaixo. A sobretensão alcança 37,4% (valor muito alto). 
 
Linhas com esse comprimento só podem operar com compensação 
(reatores shunt e/ou capacitores série). 
O comprimento de onda em 60 Hz é: 
kmfc 500060/300000/ ===λ 
Uma LT de comprimento a = λ/4 = 1250 km com o receptor aberto apre-
sentaria sobretensões tendendo a infinito. Exemplo: para a = 1246 km: 
[ ]
( )
)!(7,1195
12460,00126
)12461246(0,00126
 pu
xcos
cos
U
U
=
−
=
S
R
 
0.00 200.00 400.00 600.00
Distância ao Emissor, x ( km )
0.90
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
T
en
sã
o,
 U
 (
 p
u 
de
 U
 
)
s
Chagas – DEE / UFCG 
 
10 
 
A seguir, é mostrada a influência da capacitância shunt e do carregamento 
da linha na queda de tensão através da mesma. Considera-se a tensão no 
receptor (UR) fixa. 
 
 
 
( a ) S fechada – Linha muito carregada - UR << US. 
 
 
( b ) S fechada – Linha pouco carregada - UR > US. 
 
 
( c ) S aberta – Receptor em vazio - UR >> US. 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
11 
 
6. Ressonância 
Há ressonância quando circuitos que contêm capacitâncias e indutâncias 
são excitados por tensões de frequência ω próxima ou igual à sua 
frequência natural de oscilação, ω0 = 1/√LC (L e C são os parâmetros 
equivalentes característicos do sistema). 
Isto não é comum nos circuitos aéreos de distribuição e transmissão, pois 
ω0 corresponde a frequências da ordem de kHz, muito maiores que 60 Hz. 
Em sistemas industriais, a presença de cargas não lineares causa 
harmônicos. Fenômenos de ressonância em frequência harmônica podem 
ocorrer, principalmente devido à presença de capacitâncias de cabos 
isolados e aplicação indevida de capacitores para correção do fator de 
potência. A utilização de filtros de harmônicos pode resolver o problema. 
A ressonânciatambém pode ocorrer entre linhas paralelas de AT e EAT 
compensadas por reatores em derivação, em face do acoplamento 
capacitivo existente entre as mesmas. Quando uma delas é aberta em 
ambos os extremos, a tensão nela induzida pode alcançar altos valores. 
O mesmo fenômeno pode ocorrer em uma fase aberta de linhas onde o 
religamento monopolar é praticado. 
7. Ferroressonância 
7.1 Definição 
A ferroressonância é um fenômeno de caráter não linear que ocorre em 
circuitos com indutâncias saturáveis e capacitâncias. Há variações rápidas 
e descontínuas nas amplitudes e fases de corrente e tensão, com formas 
de ondas não senoidais e altos valores de pico. 
 
Fasorialmente: CL UUU += 
Chagas – DEE / UFCG 
 
12 
 
 
Para os módulos das tensões: 
I
C
UUUU CL ω
+=+=
1
 
Condição de funcionamento estável: ponto de trabalho P1 (intercessão da 
reta f com a curva UL). O circuito é predominantemente indutivo (UL > UC). 
 
Com aumento de U ou redução da freqüência ω ou da capacitância C, P1 
se move para cima. Como P1 acha-se próximo ao joelho da curva do 
indutor, as duas curvas podem não se interceptar no 1o quadrante. Assim, 
o novo ponto de operação é P3, no 3
o quadrante. 
Conclusões: 
• O circuito muda bruscamente de comportamento, passando a predominar 
o efeito capacitivo (agora, UC > UL). 
• Além da mudança na fase de I, a amplitude aumenta de I1 para I3. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
13 
 
• As tensões UL e UC se elevam, com risco de dano nos equipamentos. 
• O aumento da tensão UL provoca aumento de fluxo no núcleo magnético, 
o que faz crescer as perdas dinâmicas, causando sobreaquecimento. 
• Como o circuito passa a se comportar de modo não-linear, as formas de 
onda podem conter harmônicas e sub-harmônicas. 
 
 
7.2 Casos Notáveis de Ferroressonância 
Ferroressonância em Transformadores de Potência 
Abertura de uma ou duas fases de uma linha ligada a um transformador 
operando com secundário em vazio, com enrolamentos primários ligados 
em estrela com neutro aterrado. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
14 
 
 
As capacitâncias podem ser de um banco de capacitores ou a capacitância 
shunt da linha. Após a abertura de um disjuntor ou fusível, se o 
transformador ou o banco de capacitores tiver o neutro aterrado, há uma 
mudança na configuração do circuito, sendo introduzida uma capacitância 
em série, propiciando o surgimento do fenômeno de ferro-ressonância. 
Ferroressonância em Transformadores de Potencial 
Pode ocorrer em redes elétricas com transformadores de potencial indu-
tivos (TPIs), dependendo da configuração e modo de operação do sistema. 
 
A linha A possui maior tensão nominal que a linha B, que se acha desligada 
e com um TPI no seu início. Pode haver ferroressonância devido à intera-
ção entre a capacitância entre as linhas e a indutância saturável do TPI. 
Outra situação de ferroressonância é mostrada a seguir. 
 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
15 
 
Os disjuntores de AT possuem mais de uma câmara de extinção, ligadas 
em série. Para distribuição uniforme da tensão quando o disjuntor estiver 
aberto, são ligados capacitores em paralelo com os contatos (capacitores 
de equalização). Assim, pode ocorrer ferroressonância entre eles e TPIs, 
em caso de abertura do disjuntor B. 
O circuito equivalente usualmente empregado na simulação desse 
fenômeno é mostrado a seguir. 
 
Cd - Capacitância equivalente das câmaras de equalização do disjuntor. 
Cb - Capacitância à terra do barramento e demais equipamentos. 
R - Resistência do enrolamento primário do TPI. 
L - Indutância do enrolamento primário do TPI. 
Rd - Resistência linear de perdas no núcleo do TPI. 
Lm - Indutância de magnetização do TPI. 
7.3 Simulações de Ferroressonância 
É considerado um circuito RLC em série, composto por uma fonte de 
tensão senoidal, um capacitor e o enrolamento primário de um transfor-
mador monofásico com secundário em aberto. Os dados são os seguintes: 
• Núcleo envolvente, isolamento a seco. 
• Potência nominal do transformador: 3 kVA. 
• Tensões nominais primária/secundária: 77 / 127 V. 
• Números de espiras das bobinas do primário/secundário: 48 /88. 
• Área da coluna central: 44,4 x 10-4 m2. 
• Comprimento médio de trajetória magnética: 0,57 m. 
• Fator de empilhamento: 0,95. 
• Valores totais de resistência e de capacitância: R = 0,5 Ω, C = 0,2 mF. 
• Tensão RMS da fonte: 77 V. 
Chagas – DEE / UFCG 
 
16 
 
O efeito de histerese é considerado através do modelo de Jiles-Atherton. 
O laço maior de histerese do núcleo é mostrado a seguir. 
 
Se a tensão da fonte fosse aplicada diretamente sobre o primário do 
transformador, ocorreriam os seguintes valores: 
V9,108772, == xU MAXL 
A36,1
77
3000
100
5,3
=≅ xIRMS 
I MAX ≅ 2 x 1,36 = 2,72 A 
λ MAX = UL, MAX / ω = 108,9 / 377 = 0,29 V.s 
As simulações por computador fornecem os seguintes valores máximos no 
regime estacionário de ferroressonância: 
UL, MAX = 183,3 V 
IMAX = 149,9 A 
λ MAX = 0,43 V.s 
-8000.00 -4000.00 0.00 4000.00 8000.00
Campo Magnético, ( A / m )
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
In
du
çã
o,
 
 (
 T
 )
H
B
Chagas – DEE / UFCG 
 
17 
 
 
 
 
 
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20
Tempo ( s )
-400.00
-200.00
0.00
200.00
400.00
T
en
sã
o 
no
 T
ra
ns
fo
rm
ad
or
, u
 
( 
V
 )
L
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20
Tempo ( s )
-400.00
-200.00
0.00
200.00
400.00
T
en
sã
o 
no
 C
ap
ac
ito
r,
 u
 
( 
V
 )
C
Chagas – DEE / UFCG 
 
18 
 
 
 
 
 
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20
Tempo ( s )
-200.00
-100.00
0.00
100.00
200.00
C
or
re
nt
e,
 i 
( 
A
 )
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20
Tempo ( s )
-0.80
-0.40
0.00
0.40
0.80
F
lu
xo
 d
e 
E
nl
ac
e,
 
 (
 V
.s
 )
λ
Chagas – DEE / UFCG 
 
19 
 
7.4 Métodos de Análise da Ferroressonância 
• Método do plano de fase: Consiste na representação do lugar geométrico 
descrito pela variação de duas variáveis de estado do sistema em relação 
ao tempo. Uma forma de avaliar as condições de operação de um 
transformador consiste em traçar um gráfico da tensão terminal, uL, 
versus fluxo de enlace, λ. À medida que o tempo varia, o ponto 
representado no plano de fase descreve uma trajetória. Se esta é fechada, 
a solução é periódica e a figura resultante é chamada de ciclo. Se as 
trajetórias não se fecham, as soluções são caóticas. 
• Método da densidade espectral: Utiliza a transformada discreta de Fourier 
para obter as frequências características presentes nos sinais, que podem 
ser múltiplas ou submúltiplas da freqüência da fonte de excitação. 
7.5 Modos de Ferroressonância 
• Modo fundamental. Os sinais de corrente e de tensão apresentam formas 
não senoidais, com períodos iguais ao do sinal de saída da fonte de 
excitação, T. Os espectros de linhas são discretos, com uma componente 
fundamental, de frequência f = 1/T, e harmônicas, de frequências 2f, 3f, 
etc. O plano de fase apresenta uma única trajetória fechada. 
 
• Modo sub-harmônico. Os sinais são periódicos. O período é um inteiro 
múltiplo da fundamental (nT, n inteiro), com sub-harmônicas que normal-
mente apresentam ordem ímpar, n (ou harmônicas de ordem 1/n). O 
espectro de linhas é discreto. O plano de fase apresenta trajetórias 
fechadas de diferentes tamanhos. 
0.12 0.16 0.20 0.24
Tempo ( s )
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
T
en
sã
o 
( 
p.
u.
 )
-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00
Fluxo de Enlace ( p.u. )
-2.00
-1.00
0.001.00
2.00
T
en
sã
o 
( 
p.
u.
 )
Chagas – DEE / UFCG 
 
20 
 
 
• Modo caótico. O comportamento dos sinais é irregular e imprevisível. 
Espectro de linhas contínuo. Trajetórias no plano de fase não se fecham. 
 
Na teoria de sistemas não lineares são utilizados recursos de análise 
baseados em desenvolvimentos matemáticos refinados, como teoria da 
bifurcação e do caos, de caráter complexo e abstrato. 
8. Proteção contra as Sobretensões Sustentadas 
A tensão nominal dos pára-raios deve ser superior à maior sobretensão 
sustentada que possa ocorrer no sistema, pois a capacidade térmica será 
excedida em caso de condução em regime continuado. Assim, eles não 
proporcionam proteção para as sobretensões temporárias. Essa proteção 
deve ser realizada por reguladores de tensão e, em casos mais graves, por 
relés de sobretensão que comandam a abertura de disjuntores. 
0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0.32
Tempo ( s )
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
T
en
sã
o 
( 
p.
u.
 )
-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00
Fluxo de Enlace ( p.u. )
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
T
en
sã
o 
( 
p.
u.
 )
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20
Tempo ( s )
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
T
en
sã
o 
( 
p.
u.
 )
-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00
Fluxo de Enlace ( p.u. )
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
T
en
sã
o 
( 
p.
u.
 )
Chagas – DEE / UFCG 
 
1 
 
Sobrecorrentes 
 
1. Classificação 
As sobrecorrentes são elevações de corrente acima dos limites normais, 
causadas por sobrecargas, curtos-circuitos e transitórios de energização 
de bancos de capacitores, transformadores e motores (inrush). 
2. Sobrecargas 
Ocorrem quando o equipamento é solicitado por correntes superiores à 
máxima corrente que ele é capaz de suportar em regime contínuo de 
funcionamento. Consequências: perdas por efeito Joule e acréscimos de 
temperatura que podem causar redução da vida útil dos isolamentos ou 
danos imediatos, dependendo da intensidade e da duração da sobrecarga. 
As sobrecargas podem ocorrer sem riscos durante períodos limitados, 
dependendo das características térmicas dos materiais isolantes, da 
temperatura inicial e do tipo de refrigeração utilizado. Informações acerca 
de níveis de sobrecargas e respectivos tempos de duração são fornecidas 
pelo fabricante. Abaixo, são fornecidos os tempos de duração das 
sobrecargas em transformadores de potência em função do tempo. 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
2 
 
3. Curtos-Circuitos 
3.1 Considerações Gerais 
Causa: Contato através de baixa impedância de duas ou mais fases entre si 
ou de uma ou mais fases para a terra (curtos-circuitos fase-terra, fase-
fase, fase-fase-terra, trifásico). 
Forma de onda típica das correntes: Componente CA de 60 Hz superposta 
a componente CC com decaimento exponencial. A assimetria aumenta 
com a relação X/R do sistema (reatância/resistência série). 
 
Consequências 
• Elevadas correntes e perdas ôhmicas nos condutores, com risco de dano 
nas linhas e equipamentos. Também pode haver perda de estabilidade do 
sistema, se o defeito não for rapidamente eliminado. 
• Elevados esforços eletromecânicos nos equipamentos e linhas, com 
intensidade máxima durante o primeiro pico de corrente assimétrica. 
• Pronunciado atraso da fase da corrente em relação à tensão fase-neutro 
correspondente, pois a corrente passa a ser limitada apenas pelas 
impedâncias dos elementos do sistema (geradores, transformadores e 
linhas, que apresentam caráter indutivo). Em situação normal, o ângulo de 
defasagem entre as referidas grandezas é pequeno (cargas têm FP ≥ 0,92). 
• Possibilidade de formação de arcos elétricos com alto poder destrutivo. 
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Tempo ( s )
-40.00
-20.00
0.00
20.00
40.00
60.00
C
o
rr
e
n
te
 (
 k
A
 )
Chagas – DEE / UFCG 
 
3 
 
Observação 
Nem todas as correntes de falta apresentam essas características 
simultaneamente. Exemplo: no sistema elétrico brasileiro, há subestações 
que apresentam correntes de curto-circuito superiores a 30 vezes a 
corrente de serviço. Porém, em alguns sistemas de distribuição, pode 
haver defeitos com correntes de valores pequenos, até abaixo da corrente 
de carga (faltas de alta impedância). Causas principais: contatos entre 
fases e galhos de árvores ou outros objetos; isoladores com problemas; 
condutores de fases partidos, criando-se um caminho para a terra através 
de superfície de alta resistividade. O valor baixo da corrente pode não 
sensibilizar a proteção, com alto grau de risco para pessoas e animais. 
3.2 Cálculo de Curto-Circuito - Revisão 
Um conjunto de n fasores desequilibrados podem ser substituídos por 
uma composição de fasores de sequência positiva, negativa e zero. 
 
021
021
021
cccc
bbbb
aaaa
IIII
IIII
IIII
++=
++=
++=
 
021
021
021
aaac
aaab
aaaa
IIaIaI
IIaIaI
IIII
2 ++=
++=
++=
2
 
( )
( )
( ) 3/
3/
3/
2
1
0
cbaa
cbaa
cbaa
IaIaII
IaIaII
IIII
2 ++=
++=
++=
2
 
Circuitos de Sequência 
E - Tensão de Thévenin de sequência positiva. 
Z1, Z2, Z0 - Impedâncias de Thévenin de sequência positiva, negativa, zero. 
 
Chagas – DEE / UFCG 
 
4 
 
Defeito Trifásico: Fases a – b – c. 
 
11
,
Z
E
IIII cbaFF ===== 33
Z
E
I 
Defeito Monofásico: Fase a – terra. 
 
0021,0,0 IIIIUII ====== aaaacb 
10
1
01021
01
/2
3
2
33
3
ZZ
Z/E
ZZ
E
ZZZ
E
III
+
=
+
≅
++
=== aF
 
FF 3
10
1
/2
3
I
ZZ
I
+
= 
• Se Z0 = Z1 → I1F = I3F 
• Se Z0 < Z1 → I1F > I3F , caso comum próximo ao lado em estrela de 
transformadores delta-estrela com neutro solidamente aterrado. 
• Se Z0 > Z1 → I1F < I3F , caso comum em pontos mais distantes dos 
citados transformadores. Isto porque a impedância de sequência zero da 
linha é maior que a de sequência positiva (em linhas de 69 kV, Z0 ≅ 3 Z1). 
Chagas – DEE / UFCG 
 
5 
 
Defeito Bifásico: Fase b – Fase c. 
 
21021 ,0,,0, aaaaacbacb III,UUIIIUU −===−=== 
( ) FjjajaaabF eee 32/
1
2/
1
2/
1212
2
3
2
33 I
Z
E
IIaaIaIaII
πππ −−− =≅=−=+== 22
FFF III 332 866,0
2
3
≅= 
Assim, I2F < I3F (sempre). 
Defeito Bifásico - Terra: Fase b – Fase c - Terra. 
 
UUUUIUU ====== 021,0,0 aaaacb 
01
031
01
01
1
02
02
1
1 ,
11 ZZ
Z
K
K
I
K
Z/E
ZZ
ZZ
Z
E
ZZ
ZZ
Z
E
I
+
=
+
=
+
=
+
+
≅
+
+
= Fa 
Chagas – DEE / UFCG 
 
6 
 
1
3
11
01
01
1
02
02
1
1
Z
K
I
KKZI
ZZ
ZZ
I
ZZ
ZZ
IU
+
==
+
≅
+
= Faaa 
K
I
K
Z
U
Z
U
I
+
−=−≅−=
1
3
12
2
F
a 
0
13
0
0
1 Z
Z
K
I
K
Z
U
I
+
−≅−= Fa
 
021 aaab IIaIaI ++=
2 






+
−−
+
=





−−
+
==
01
123
0
123
2
11 ZZ
Z
Kaa
K
I
Z
Z
KKaa
K
I
II FFbFT
 
• Z0 = Z1 , K = 1 / 2 , e então: 
( ) ( ) FFFT 32232 5,05,03/2 IaaaII =−−=
 FFT II 32 =
 • Z0 → 0 , K → 0 , e então: 
( ) FjFbFT e 36/5232 31 IaIII π−=−==
 FFT II 32 3=
 Conclusão: Em sistemas solidamente aterrados, o defeito fase-fase-terra 
pode ser o mais severo. 
3.3 Estatísticas de Curtos-Circuitos 
Por equipamento, têm-se a seguinte distribuição típica de faltas: 
• Linhas aéreas: 50% 
• Cabos subterrâneos: 9% 
• Transformadores e reatores 10% 
• Geradores: 7% 
• Disjuntores: