Matemática ENEM 2017 aula 09

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Aula 09
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2017 (Com videoaulas)
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AULA 09: Sequências e progressões 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 07 
3. Questões apresentadas na aula 44 
4. Gabarito 60 
 
 
Olá! 
Nesta nona aula aprenderemos os tópicos relacionados a sequências 
e progressões. Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição e 
deixo abaixo meus contatos: 
 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Instagram, onde posto 
dicas gratuitas para seu estudo: profarthurlima 
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1. TEORIA 
A melhor forma de tratar os assuntos de hoje é através da 
resolução de vários exercícios, precedido de um tópico teórico para 
auxiliar o seu aprendizado. 
 Você verá que as primeiras questões trabalham, principalmente, o 
raciocínio sequencial. Nelas você será apresentado a um conjunto de 
GDGRV�GLVSRVWRV�GH�DFRUGR�FRP�DOJXPD�³UHJUD´�LPSOtFLWD��DOJXPD�OyJLFD�GH�
IRUPDomR��2�GHVDILR�p�MXVWDPHQWH�GHVFREULU�HVVD�³UHJUD´�SDUD��FRP�LVVR��
encontrar outros termos daquela mesma sequência. 
 Esse tipo de questão é uma grande armadilha para o aluno 
GHVDYLVDGR�� ,VVR� SRUTXH� YRFr� SRGH�HQFRQWUDU� D� ³UHJUD´�GH� IRUPDomR� GD�
sequência em menos de 1 minuto, como pode também gastar preciosos 
minutos debruçado na questão para resolvê-la ± ou, pior ainda, não 
conseguir obter um resultado ainda assim. Assim, gostaria de sugerir que 
você adote a seguinte tática: ao se deparar com uma questão como essa, 
gaste uns poucos minutos (2 ou 3) tentando encontrar a lógica da 
sequência. Caso não consiga, não hesite em seguir adiante, resolvendo a 
sua prova e, caso sobre tempo no final, volte a essa questão. Lembre-se: 
gastar 10 ou 15 minutos com uma questão dessas (ainda que você a 
acerte) pode ser bem menos proveitoso do que gastar esse mesmo tempo 
em questões de outras disciplinas. 
 De qualquer forma, vamos trabalhar várias questões com diferentes 
tipos de sequências nesta aula para tornar o seu raciocínio mais 
³DXWRPiWLFR´��FULDQGR�PRGHORV�PHQWDLV�TXH�DXPHQWHP�D�FKDQFH�GH�YRFr�
conseguir resolver essa questão já nos primeiros minutos. 
 Diferentemente das questões de raciocínio sequencial, as 
progressões aritméticas (PAs) e geométricas (PGs) são sequências 
numéricas com características específicas. Vamos recordar brevemente 
alguns aspectos a elas relacionados: 
 
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1.1 Progressões Aritméticas 
As progressões aritméticas (ou PAs) são sequências de números nas 
quais o termo seguinte é equivalente ao termo anterior somado de um 
YDORU�IL[R��TXH�FKDPDUHPRV�GH�³UD]mR´�GD�3$��9HMD�D�VHTXrQFLD�DEDL[R� 
{1, 4, 7, 10, 13, 16...} 
 Veja que 4 = 1 + 3; assim como 7 = 4 + 3; 10 = 7 + 3 etc. Trata-
se de uma progressão aritmética de razão 3. Em questões envolvendo 
progressões aritméticas, é importante você saber obter o termo geral e a 
soma dos termos, conforme abaixo: 
 
1. Termo geral da PA: trata-se de uma fórmula que, a partir do 
primeiro termo e da razão da PA, permite calcular qualquer outro 
termo. Veja-a abaixo: 
1 ( 1)na a r n � u � 
 Nesta fórmula, na p� R� WHUPR� GH� SRVLomR� Q� QD� 3$� �R� ³Q-pVLPR´�
termo); 1a é o termo inicial, r é a razão e n é a posição do termo na PA. 
Usando a sequência que apresentamos acima, vamos calcular o termo de 
posição 5. Já sabemos que: 
- o termo que buscamos é o da quinta posição, isto é, 5a ; 
- a razão da PA é 3, portanto r = 3; 
- o termo inicial é 1, logo 1 1a ; 
- n, ou seja, a posição que queremos, é a de número 5: 5n 
 Portanto, 
1
5
5
5
( 1)
1 3 (5 1)
1 3 4
13
na a r n
a
a
a
 � u �
 � u �
 � u
 
 
 Isto é, o termo da posição 5 é o 13. Volte na sequência e confira. 
Perceba que, com essa fórmula, podemos calcular qualquer termo da PA. 
O termo da posição 100 é: 
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1
100
100
100
( 1)
1 3 (100 1)
1 3 99
298
na a r n
a
a
a
 � u �
 � u �
 � u
 
 
2. Soma do primeiro ao n-ésimo termo: 
1( )
2
n
n
n a a
S
u � 
 Assim, vamos calcular a soma dos 5 primeiros termos da PA que 
apresentamos acima. Já sabemos que 1 1a , 5n e o termo na será, 
neste caso, o termo 5a , que calculamos acima usando a fórmula do termo 
geral ( 5 13a ). Logo: 
1
5
( )
2
5 (1 13) 5 14
35
2 2
n
n
n a a
S
S
u � 
u � u 
 
 
Dependendo do sinal da razão r, a PA pode ser: 
a) PA crescente: se r > 0, a PA terá termos em ordem crescente. Ex.: 
{ 1, 4, 7, 10, 13, 16...} Æ r = 3 
b) PA descrescente: se r < 0, a PA terá termos em ordem decrescente. 
Ex.: {10, 9, 8, 7 ...} Æ r = -1 
c) PA constante: se r = 0, todos os termos da PA serão iguais. Ex.: {5, 
5, 5, 5, 5, 5, 5...} Æ r = 0. 
 
1.2 Progressões Geométricas 
As progressões geométricas (PGs) lembram as PAs, porém ao invés 
de haver uma razão r que, somada a um termo, leva ao termo seguinte, 
haverá uma razão q que, multiplicada por um termo, leva ao seguinte. 
Veja um exemplo abaixo: 
{1, 3, 9, 27, 81...} 
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 Observe que cada termo é igual ao anterior multiplicado por 3. 
Assim, a razão dessa PG é q = 3, e o termo inicial é 1 1a . Veja abaixo as 
principais fórmulas envolvendo progressões geométricas: 
 
a) Termo geral: 
1
1
n
na a q
� u 
onde na p�R�WHUPR�GH�SRVLomR�³Q´�QD�3*�� 1a é o termo inicial e q é a razão. 
 
b) Soma do primeiro ao n-ésimo termo: 
1 ( 1)
1
n
n
a q
S
q
u � � 
onde nS p�R�WHUPR�GH�SRVLomR�³Q´�QD�3*�� 1a é o termo inicial e q é a razão. 
 
c) Soma dos infinitos termos: em regra, tanto a soma de todos os 
termos das PAs quanto das PGs é impossível de ser calculada, pois 
VmR�VHTXrQFLDV�LQILQLWDV��(QWUHWDQWR��TXDQGR�D�UD]mR�³T´�GD�3*�HVWi�
entre -1 e 1, isto é, |q| < 1, os termos da PG serão decrescentes 
(em valor absoluto), tendendo a zero. Veja esta PG abaixo, cuja 
razão é q = 
1
2
: 
{10; 5; 2,5; 1,25; 0,625...} 
 Trata-se de uma PG com termo inicial 1 10a e razão q = 1
2
. À 
medida que andamos para a direita nessa PG, os termos vão 
diminuindo. A soma de todos osseus termos será dada pela fórmula: 
1
1
a
S
qf
 � 
 O símbolo Sf representa a soma dos infinitos termos da PG. 
Aplicando a fórmula acima à PG apresentada, temos: 
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1
1
10
1
1
2
10 2
10 20
1 1
2
a
S
q
S
S
f
f
f
 �
 
�
 u 
 
 
 O quadro a seguir resume as principais fórmulas que você precisa 
saber para resolver as questões sobre progressões aritméticas e 
geométricas. 
 
Principais fórmulas de PA e PG 
Termo geral da PA 1 ( 1)na a r n � u � 
Soma dos n primeiros termos da PA 1
( )
2
n
n
n a a
S
u � 
Termo geral da PG 11
n
na a q
� u 
Soma dos n primeiros termos da PG 1
( 1)
1
n
n
a q
S
q
u � � 
Soma dos infinitos termos da PG com 
|q| < 1 
1
1
a
S
qf
 � 
 
Vamos lá? Sempre que possível, tente resolver o exercício antes de 
ler a minha resolução! 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
Trabalharemos agora alguns exercícios do ENEM e também 
questões de outros vestibulares. O assunto desta aula não é o assunto 
mais cobrado pelo ENEM, mas pode cair!!! Lembre-se: é muito importante 
que você execute os cálculos à mão, pois é assim que você deverá fazer 
na hora da prova. Além disso, é com a prática que vamos ficar cada vez 
melhores. 
 
 
 
1. ENEM ± 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo 
industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No 
primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de 
um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia 
adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se 
que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um 
crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos 
fabricados no ano t de funcionamento da indústria. 
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o 
número de unidades produzidas P em função de t, para W•1? 
(A) 
(B) 
(C) 
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(D) 
(E) 
RESOLUÇÃO: 
 Como a quantidade anual de produtos fabricados aumenta por uma 
razão constante, estamos diante de uma progressão geométrica (PG). 
Para calcular o enésimo termo de uma progressão geométrica, aplicamos 
a fórmula: 
 
 em que: 
Ɣ é igual à produção no primeiro ano de funcionamento ( =8000) 
Ɣ q é a razão da PG. Como a produção aumenta em 50% de ano para 
ano, a razão é de 
Ɣ n é o tempo, que substituiremos por t 
Ɣ é o enésimo termo, que no nosso caso é a produção em um dado 
momento t, a qual chamaremos de P(t). 
 Substituindo tudo na fórmula inicial temos que: 
 
Resposta: E 
 
2. ENEM - 2011) O número mensal de passagens de uma determinada 
empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em 
janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em 
março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses 
subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em 
julho do ano passado? 
A) 38 000 
B) 40 500 
C) 41 000 
D) 42 000 
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E) 48 000 
RESOLUÇÃO: 
 Estamos diante de uma PA cujo termo geral é dado por 
1 ( 1)na a r n � u � 
 
 em que: 
x a1 = 33.000 (correspondente ao mês de janeiro) 
x r = a2 ± a1 = a3 ± a2 = 1.500 
x n = 7, o que corresponde ao mês de julho (considerando 
janeiro o mês inicial - a1) 
 
Substituindo as informações na fórmula temos: 
a7 = a1 + r.(n-1) 
a7 = 33000 + 1500(7-1) 
a7 = 42.000 passagens 
Resposta: D 
 
3. ENEM - 2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que 
o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. 
Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o 
atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada 
ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. 
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado). 
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus 
movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance 
diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance 
diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e 
considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto 
teria de estar entre 
A) 4,0 m e 5,0 m. 
B) 5,0 m e 6,0 m 
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C) 6,0 m e 7,0 m. 
D) 7,0 m e 8,0 m. 
E) 8,0 m e 9,0 m 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de x o alcance do primeiro salto. O atleta percebeu 
que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m. 
Logo, o alcance do segundo salto é de x ± 1,2. 
 O atleta também percebeu que, do terceiro para o segundo salto, o 
alcance diminuía 1,5 m. Logo, o alcance do terceiro salto é x ± 1,2 ± 1,5. 
 Somando os alcances dos três saltos, devemos atingir 17,4 metros. 
Logo: 
x + x ± 1,2 + x ± 1,2 ± 1,5 = 17,4 
3x ± 3,9 = 17,4 
x = 7,1 metros 
Resposta: D 
 
 
4. ENEM - 2010) 5RQDOGR�p�XP�JDURWR�TXH�DGRUD�EULQFDU�FRP�números. 
Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a 
sequência conforme mostrada no esquema a seguir. 
 
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma 
propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a 
soma de qualquer linha posterior às Miɍ construídas. A partir dessa 
propriedade, qual VHUiɍ a soma da 9ª linha da sequência de caixas 
empilhadas por Ronaldo? 
A) 9 
B) 45 
C) 64 
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D) 81 
E) 285 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de an a soma dos termos da n-ésima linha, conforme 
a seguir: 
 a1 = 1 
 a2 = 1 + 2 + 1 = 4 
a3 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 
a4 = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 
 
Repare que a soma dos termos de cada linha forma uma sequência, 
cuja lei de formação é facilmente identificável como sendo an = n2. Veja 
que a1 = 12, a2 = 22, a3 = 32 e a4 = 42. 
Assim, para a 9ª linha temos que a9 =92 = 81. 
Resposta: D 
 
5. PUC-RJ ± VESTIBULAR ± 2012) A sequência (2, x, y, 8) representa 
uma progressão geométrica. 
O produto xy vale: 
 a) 8 
 b) 10 
 c) 12 
 d) 14 
 e) 16 
RESOLUÇÃO: 
 Se (2, x, y, 8) é uma PG, então sabemos que x = 2q, y = xq, 8 = 
yq sendo q a razão da PG. Temos três equações e 3 incógnitas. 
 Substituindo y = xq em 8 = yq temos: 
8 = (xq)q 
8 = xq2 
 
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 Substituindo agora x = 2q temos: 
8 = (2q)q2 
4 = q3 
q = 3 4 
 
 Assim, x = 32 4 . Já y = 38 / 4 . Assim, o produto xy é: 
xy = 32 4 . 38 / 4 = 2.8 = 16 
RESPOSTA: E 
 
6. UFT ± VESTIBULAR ± 2012) Os cubos da sequência a seguir são 
formados com palitos (um palito para cada aresta). 
 
 
 
 
O segundo termo desta sequência é composto por 2 cubos, sendo 
formado pelo primeiro termo acrescido de mais palitos. O terceiro termo é 
composto por 3 cubos, sendo formado pelo segundo termo acrescido de 
mais palitos. Continuando a construção da sequência apresentada, com 
mais 56 palitos, de forma que não sobrem palitos, pode ser construído 
um termo completo com o total de 
 a) 6 cubos. 
 b) 7 cubos. 
 c) 10 cubos. 
 d) 12 cubos. 
 e) 14 cubos 
RESOLUÇÃO: 
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 O primeiro termo da sequência é 12, visto que o primeiro cubo 
necessita de 12 palitos. O segundo termo da sequência é 20. O terceiro 
termo é 28. 
A cada cubo adicionado, são necessários 8 palitos adicionais. Logo, 
com mais 56 palitos, poderemos construir mais 7 cubos, que adicionados 
aos 3 cubos que já tínhamos resultam em 10 cubos. 
RESPOSTA: C 
 
7.UNICENTRO ± VESTIBULAR ± 2012) Em Irati, cidade do Paraná, um 
grupo de senhoras criou um ³&OXEH�GH� /HLWXUD´��1D� VHGH� GR� FOXEH�� HODV�
trocavam livros, liam e discutiam sobre o assunto de que tratavam. Uma 
nova moradora da cidade ingressou no grupo e descobriu que precisaria 
ler 8 livros, 1600 páginas, para acompanhar o bate-papo literário com as 
novas amigas. Resolveu, pois, iniciar a leitura da seguinte maneira: leria 
todos os dias, sendo que, no 1o dia, seriam lidas x páginas e, a cada dia, 
leria 2 páginas a mais do que as lidas no dia anterior. 
Se completou a leitura das 1600 páginas em 25 dias, então o número de 
páginas lidas no 1o dia, foi igual a 
 a) 60 
 b) 50 
 c) 40 
 d) 30 
 e) 20 
RESOLUÇÃO: 
 Estamos diante de uma PA, de razão 2, em que a1 = x e a soma dos 
n = 25 termos é S25 = 1600. Sabemos também que 
a25 = a1 + (25-1)2 = x + 48 
 
Usando a fórmula da soma da PA, temos: 
1( )
2
n
n
n a a
S
u � 
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25
25( 48) 1600
2
25(2 48) 3200
2 48 128
2 80
40
x xS
x
x
x
x
� � 
� 
� 
 
 
RESPOSTA: C 
 
8. FUVEST ± USP ± 2009) Os números a1, a2, a3 formam uma 
progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 - 3, a3 - 3 
estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, 
conclui-se que r é igual a 
 a) 3 3� 
 b) 
33
2
�
 
 c) 
33
4
�
 
 d) 
33
2
�
 
 e) 3 3� 
RESOLUÇÃO: 
 Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão 
r. Logo, podemos dizer que: 
a1 = a2 ± r = 2 - r 
a3 = a2 + r = 2 + r 
 
 Os números a1 + 3, a2 - 3, a3 - 3 formam uma progressão 
geométrica. Logo, podemos dizer que: 
a1 + 3 = (a2 ± 3)/q = -1/q 
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a1 = -3 - 1/q 
 
a3 ± 3 = (a2 ± 3)×q = -q 
a3 = 3 ± q 
 
 Comparando as equações que obtemos para a1 e a3 tanto no caso 
da PA quanto da PG, temos: 
 
a1 = 2 ± r = -3 - 1/q 
a3 = 2 + r = 3 ± q 
 
 Assim, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas, r e 
q. Queremos encontrar r. Isolando q na segunda equação e substituindo 
na primeira temos: 
2 + r = 3 ± q 
q = 1 ± r 
 
2
2
 1� ± � �±
�� ��� ± � ��� � �
� ± � � � �
6 6 0
r
r
r r r
r r r r
r r
 � �
� � � �
� � � � �
� � 
2 4
36 4 6
12
2
b ac
b
r
a
' �
' � ˜
' 
� r ' 
 
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1
2
6 12
2
6 2 3 3 3
2
6 2 3 3 3
2
r
r
r
r 
� �
� �
 
 
 O enunciado nos disse que a1 > 0 e sabemos que: 
a1 = a2 ± r = 2 ± r 
 
Logo, r deve ser menor que 2, caso contrário teríamos a1 ”����&RP�
isso, descartamos o r1 que encontramos e a nossa resposta fica sendo 
apenas o r2 = 3 3� . 
RESPOSTA: E 
 
9. VUNESP ± UNIFESP ± 2007) O 2007º dígito na sequência 
123454321234543... é 
 a) 1. 
 b) 2. 
 c) 3. 
 d) 4. 
 e) 5. 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que a sequência é formada por uma parte que se repete 
várias vezes. Essa parte que mencionamos é composta por 12345432, ou 
seja, a cada 8 algarismos a sequência estará novamente no mesmo 
dígito. Por exemplo: o algarismo 1 ocupa a primeira posição, aparece 
novamente 8 casas depois, na nona posição, etc. 
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 2007 dividido por 8 é igual a 250 e um resto de 7. Logo, ao longo 
de 2007 dígitos teremos 250 sequências completas do tipo 12345432 e 
iremos até o 7º dígito da próxima parte, ou seja, iremos até o dígito 3. 
RESPOSTA: C 
 
10. VUNESP ± UNIFESP ± 2007) ³1~PHURV�WULDQJXODUHV´�VmR�Q~PHURV�
que podem ser representados por pontos arranjados na forma de 
triângulos equiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número 
triangular. 
 
Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. 
 
 ‡����������� 
 ‡���������������������������‡�����‡� 
 ‡�����������������������‡�����‡����������������������‡����‡���‡�������� 
‡����������‡��‡�������������������‡���‡���‡�������������������‡���‡���‡���‡ 
1 3 6 10 
 
Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 
6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que Tn satisfaz a relaçãoTn = Tn±1 + 
n, para n = 2,3,4,..., pode-se deduzir que T100 é igual a 
 a) 5.050. 
 b) 4.950. 
 c) 2.187. 
 d) 1.458. 
 e) 729. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que: 
T1 = 1 
T2 = 1+2 
T3 = 1+2+3 
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T4 = 1+2+3+4 
Tn = 1+2+3+...+n 
 
Assim: T100 = 1+2+3+...+100. Ou seja, T100 nada mais é do que a 
soma dos 100 primeiros termos de uma PA de termo inicial a1 = 1 e razão 
r = 1. Logo: 
T100 = (1 + 100)100/2 = 5050 
RESPOSTA: C 
 
11. UDESC ± VESTIBULAR ± 2007) A soma dos quatro primeiros 
termos da sequência 
a1 = 2 
an = an-1 ���Q���VH�Q•���p� 
 a) 45 
 b) 36 
 c) 61 
 d) 22 
 e) 40 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos quais são os quatro primeiros termos da sequência 
conforme sua lei de formação: 
 a1 = 2 
 a2 = a1 + 2×2 = 2 + 4 = 6 
 a3 = a2 + 3×2 = 6 + 6 = 12 
 a4 = a3 + 4×2 = 12 + 8 = 20 
 A soma desses quatros termos é 40 
RESPOSTA: E 
 
12. FUVEST ± USP ± 2010) Seja x>0 tal que a sequência a1 = log2x, a2 
= log4(4x), a3 = log8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão 
aritmética. Então, a1 + a2 + a3 é igual a 
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 a) 13/2 
 b) 15/2 
 c) 17/2 
 d) 19/2 
 e) 21/2 
RESOLUÇÃO: 
 Como estamos diante de uma PA, podemos dizer que: 
log4(4x) - log2x = log8(8x) - log4(4x) 
2.log4(4x) - log2x = log8(8x) 
 
 Vamos usar a seguinte propriedade: 
loglog
log
c
a
c
bb
a
 
2 2
2
2 2
log 4 log 82 log
log 4 log 8
x x
x
§ · � ¨ ¸© ¹ 
2 2
2
2
2 2
log 4 log 82 log
2 3
log 8log 4 log
3
x x
x
x
x x
§ · � ¨ ¸© ¹
� 
 
2 2
2 2 2
2
2
3
log 8 loglog 4 log log
3
6 3 log
log 3
2 8
x
x x
x
x
x
�� � 
 �
 
 
 
 Isso nos leva a: 
a1 = log28 = 3 
a2 = log4(32) = log232 / log24 = 5/2 
a3 = log8(64) = 2. 
 
Portanto, a1 + a2 + a3 = 3 + 5/2 + 2 = (6 + 5 + 4)/2 = 15/2 
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RESPOSTA: B 
 
13. UFT ± VESTIBULAR ± 2010) Considere a sequência (a1,a2,a3,...) 
definida por: a1 = x, a2 = 2 e an = an-2 + an-1, VH�Q�•����Q�א IN onde IN 
representa o conjunto dos números naturais. O valor de x para que a 
soma dos dez primeiros termos desta sequência seja igual a 396 é: 
 a) - 2 
 b) 0 
 c) 1 
 d) - 10 
 e) 4 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos usar a lei de formação da sequência para descobrir os 
próximos elementos: 
 a1 = x 
a2 = 2 
a3 = a1 + a2 = 2 + x 
a4 = a2 + a3 = 4 + x 
a5 = a3 + a4 = 6 + 2x 
a6 = a4 + a5 = 10 + 3x 
a7 = a5 + a6 = 16 + 5x 
a8 = a6 + a7 = 26 + 8x 
a9 = a7 + a8 = 42 + 13x 
a10 = a8 + a9 = 68 + 21x 
 
 A soma dos dez primeiros termos é: 
176 + 55x = 396 
x = 4 
RESPOSTA: E 
 
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14. CECIERJ ± CEDERJ ± 2013) Um aluno começou a construir, com 
palitos, uma sequência de retângulos justapostos em uma fileira 
horizontal. A figura, a seguir, mostra os três primeiros termos dessa 
sequência: 
 
 P1: 
 
 P2: 
 
 P3: 
 
O primeiro termo da sequência, P1, foi construído com 4 palitos; o 
segundo, P2, com 7 palitos; o terceiro, P3, com 10 palitos; e assim por 
diante, isto é, ao enésimo termo da sequência, Pn, acrescenta-se mais um 
retângulo, utilizando-se um número mínimo de palitos, para formar o 
termo seguinte, Pn+1. Para construir o vigésimo termo desta sequência, 
P20, o aluno precisará de 
 a) 60 palitos. 
 b) 61 palitos. 
 c) 80 palitos. 
 d) 81 palitos. 
RESOLUÇÃO: 
 Estamos diante de uma PA de razão r = 3, visto que a cada novo 
retângulo justaposto são necessários 3 novos palitos. Assim, usando o 
termo geral da PA, temos: 
P20 = P1 + (20-1)r 
P20 = 4 + (19)3 
P20 = 61 palitos 
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RESPOSTA: B 
 
15. VUNESP ± UNESP ± 2015) A figura indica o padrão de uma 
sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que estão dispostas em 
posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 m de comprimento. O 
padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita com o 
total de 136,5 metros lineares de vigas. 
 
 
 
O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência 
completa de grades, em metros, foi de 
 a) 4877. 
 b) 4640. 
 c) 4726. 
 d) 5195. 
 e) 5162. 
RESOLUÇÃO: 
 A grade 1 tem 5 vigas. A partir da grade 2 somam-se 4 vigas ao 
total de vigas da grade anterior. Veja que a grade 2 possui 9 vigas e a 
grade 3 possui 13 vigas. 
O padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita 
com o total de 136,5 metros lineares de vigas, ou seja, 273 vigas de 0,5 
m (visto que 273 x 0,5 = 136,5 m). 
Essa última grade corresponde a: 
an = a1 + (n-1)r 
273 = 5 + (n-1)4 
n = 68 
 
Assim, a soma do número de vigas utilizadas é dada por: 
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S = (5 + 273)×68 / 2 
S = 9452 vigas 
 Isso corresponde a 9452 x 0,5 = 4726 metros de vigas. 
RESPOSTA: C 
 
16. PUC-RS ± VESTIBULAR ± 2015) Consideremos as sequências 
numéricas cujos termos gerais são an = 2n e bn = 2n ± 1 com n א IN. 
Assim, os termos da sequência dada por cn = an ± bn estão colocados 
sobre a representação gráfica de: 
 a) y = ±1. 
 b) y = 0. 
 c) y = 1. 
 d) y = 2x + 1. 
 e) y = 2x ± 2. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que a lei de formação da sequência dada por cn = an ± bn 
corresponde a cn = 2n ± (2n ± 1) = 1. Ou seja, a sequência cn = 1 é uma 
constante, cujos termos (todos iguais a 1) estão colocados sobre a 
representação gráfica de y = 1. 
RESPOSTA: C 
 
17. PUC-RS ± VESTIBULAR ± 2014) Observe a sequência representada 
no triângulo abaixo: 
 
1 
4 7 10 
13 16 19 22 25 
28 31 34 37 40 43 46 
.............................................................. 
........................................................................ 
 
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Na sequência, o primeiro elemento da décima linha será 
 a) 19 
 b) 28 
 c) 241 
 d) 244 
 e) 247 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que os termos que formam a sequência constituem uma PA 
de razão 3, começando em a1 = 1. Precisamos agora descobrir qual a 
posição n em que aparece o primeiro elemento da décima linha. 
 Veja que a primeira linha tem 1 elemento, a segunda tem 3, a 
terceira tem 5 e a quarta tem 7. Ou seja, o número de elementos por 
linha corresponde a outra PA, de razão 2, começando em b1 = 1. 
 A soma do número de elementos até a linha 9 é dada por: 
S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 
 
 Logo, o primeiro elemento da décima linha vai estar na posição 82. 
Assim: 
a82 = a1 + (82-1)r 
a82 = 1 + 81×3 
a82 = 244 
RESPOSTA: D 
 
18. CESPE ± UNB ± 2012 - adaptada) Suponha que o robô Opportunity 
tenha coletado, na superfície de Marte, uma amostra radioativa cuja 
massa, M(t), em gramas, pode ser representada em função do tempo t•� 
em anos, pela expressão M(t) = M0.e-kt, em que k é uma constante 
positiva que depende do material da amostra, e M0 é sua massa inicial. 
Considerando essas informações, julgue o item abaixo: 
 
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Se a amostra for avaliada em instantes ti, i = 1, 2, 3..., tais que ti é o i-
ésimo termo de uma progressão geométrica, então a sequência das 
massas M(ti) será uma progressão aritmética. 
C ± Certo 
E ± Errado 
RESOLUÇÃO: 
 Para que os instantes ti sejam uma PG de razão q, devemos ter t2 = 
q t1; t3 = q2t1; e assim por diante. 
Para que 
� � 0 . iktiM t M e� seja uma PA, a sequência 
2
1 1 1
0 0 0( ; ; ;.... ). .kt kqt kq tM e M e M e� � � deveria ser uma PA, o que não é. 
RESPOSTA: E 
 
19. UECE-CEV ± 2011) A sequência de quadrados Q1 , Q2 , Q3, ...... é tal 
que, para n > 1, os vértices do quadrado Qn são os pontos médios dos 
lados do quadrado Qn-1. Se a medida do lado do quadrado Q1 é 1m, então 
a soma das medidas das áreas, em m2, dos 10 primeiros quadrados é 
 a) 1023/1024 
 b) 2048/1023 
 c) 2048/512 
 d) 1023/512 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a figura abaixo: 
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 O quadrado Q1 tem lado L1 = 1m e área A1 = 1m. 
 Já o quadrado Q2 tem como lado: 
L22 = (L1/2)2 + (L1/2)2 = L12/2 
2 1 / 2L L 
 
 A área de Q2 é dada por 
2
2
1 1
22
A § · ¨ ¸© ¹ 
 
 Já o quadrado Q3 tem como lado: 
 
2 2
2 2 2
3
2
2 2
3
3 2
2 2
2
/ 2
L LL
LL
L L
§ · § · �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
 
 
 
A área de Q3 é dada por 
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2
3
1 1
2 4
A § · ¨ ¸© ¹ 
 
 Perceba, portanto, que as áreas dos quadrados formam uma PG de 
razão ½. 
A soma das medidas das áreas, em m2, dos 10 primeiros quadrados 
é: 
10
1
10
10
10
( 1)
1
11 1
2
1 1
2
a qS
q
S
u � �
§ ·§ ·u �¨ ¸¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹ 
�
 
10
10
1 1
1024
1
2
1023
10231024
1 512
2
S
S
§ ·�¨ ¸© ¹ 
�
§ ·�¨ ¸© ¹ 
�
 
RESPOSTA: D 
 
20. UNEMAT ± VESTIBULAR ± 2011) A soma dos quatro primeiros 
termos de uma Progressão Aritmética (P.A.) é 4 e o produto desses 
termos é zero. 
Sendo a razão da P.A. um número inteiro e positivo, o segundo termo 
dessa sequência é: 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
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 d) 3 
 e) 4 
RESOLUÇÃO: 
 Para que o produto seja zero, pelo menos um dos termos é zero. 
 A soma dos quatro primeiros termos é dada por: 
a1 + a2 + a3 + a4 = 
= a1 + a1 + r + a1 + 2r + a1 + 3r = 
4a1 + 6r = 4 
 Supondo que o termo igual a zero seja o a1, isso nos levaria a r = 
2/3, o que não respeita o enunciado quando o mesmo diz que a razão é 
um número inteiro e positivo. 
 Supondo que o termo igual a zero seja o a3, isso nos levaria ao fato 
de que a4 = r seria o único termo positivo, de forma que a2 = -r e a1 = -
2r. A soma dos termos seria negativa, não respeitando o enunciado. 
Supondo que o termo igual a zero seja o a4, isso nos levaria ao fato 
de que a soma dos termos seria negativa, não respeitando o enunciado. 
Supondo que o termo igual a zero seja o a2, isso nos levaria a a1 = 
-r. Substituindo em 4a1 + 6r = 4, temos: 
4(-r) + 6r = 4 
2r = 4 
r = 2 
 
 Logo, está correto supor que a2 seja zero visto que é a única opção 
que respeita todas as condições do enunciado. 
RESPOSTA: A 
 
21. VUNESP ± UFTM ± 2012) Uma caixa com a forma de um prisma 
reto de base quadrangular, cujas dimensões, em centímetros, são 
números naturais, estava totalmente preenchida com cubos de aresta 
igual a 1 cm. Esses cubos foram usados para fazer uma sequência de 
construções, cujas três primeiras estão representadas nas figuras. 
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Observando a lei de formação dessa sequência, e usando todos os cubos 
disponíveis, sem restar nenhum, foi possível completar 13 construções. 
Dessa forma, pode-se concluir que a medida interna da altura dessa caixa 
é, em centímetros, igual a 
 a) 10. 
 b) 15. 
 c) 13. 
 d) 8. 
 e) 12. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos uma sequência formada por um cubo, depois 5 cubos, 
depois 9 cubos e assim por diante. Isso forma uma PA de razão 4, com a1 
= 1 e n = 13 elementos. 
 O décimo terceiro elemento da PA é: 
a13 = a1 + (13-1)4 
a13 = 1 + (12)4 = 49 
 
 A soma da PA é: 
S13 = (a1 + a13)13/2 
S13 = (1 + 49)13/2 = 325 
 
 A caixa estava preenchida por 325 cubos de lado igual a 1 cm. 
Logo, o volume ocupado pelos 325 cubos é igual ao volume da caixa. 
Assim, temos: 
Volume dos cubos juntos = volume da caixa 
325 x volume de um cubo = área da base quadrangular x altura 
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325 cm3 = área da base quadrangular x altura 
 
O enunciado nos disse que as dimensões da caixa,em centímetros, 
são números naturais. Vejamos as opções que temos de respostas. A 
única resposta para a qual temos altura e área da base sendo números 
naturais é a letra c, em que a altura é 13 cm, o que nos leva a uma área 
de base igual a 25 cm2. 
RESPOSTA: C 
 
22. UECE-CEV - 2011) As medidas dos lados de um triângulo retângulo 
expressas em metros formam uma progressão geométrica cujo primeiro 
termo é a medida do cateto de menor comprimento. A razão desta 
progressão é um número que está no intervalo 
 a) [1 , 3/2] 
 b) [3/2 , 2] 
 c) [2 , 5/2] 
 d) [5/2 , 3] 
RESOLUÇÃO: 
 Alguns alunos podem não estar familiarizados com os 
conhecimentos geométricos. Eles serão objeto de estudo a partir da aula 
11. No entanto, veja como os assuntos de matemática podem ser 
misturados na mesma questão! O ENEM tem muitas questões desse tipo. 
Vamos à resolução. 
Sejam a, b e c os lados do triângulo retângulo, sendo a o menor 
cateto, b o maior cateto, e c a hipotenusa. Como esses valores formam 
uma PG, nessa ordem, então podemos escrever: 
b = qa 
c = q2a 
 
 Do teorema de Pitágoras, temos: 
a2 + b2 = c2 
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a2 + (qa) 2 = (q2a)2 
a2 + q2a2 = q4a2 
1 + q2 = q4 
q4 ± q2 ± 1 = 0 
 
 Seja t = q2, logo: 
2
2
2
± ±� �
4
( 1) 4(1)( 1)
1 4 5
t t
b ac
 
' �
' � � �
' � 
1
2
2
( 1) 5
2(1)
1 5
2
1 5
2
1 5
2
b
t
a
t
t
t
t
� r ' 
� � r 
r 
� 
� 
 
 
 Veja que t2 nos levaria a uma razão negativa, o que não faria 
sentido. Portanto, trabalharemos apenas com t1, fazendo aproximações 
quando aparecerem raízes quadradas: 
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1
1 5
2
5 2,2
1 2,2 1,6 1,2
2
q t
q
� 
|
� |
 
 
 Perceba que 1,2 pertence ao intervalo [1 , 3/2], que poderia ser 
reescrito como [1 ; 1,5]. 
RESPOSTA: A 
 
23. FUVEST ± USP ± 2014) 'DGDV�DV�VHTXrQFLDV�Įn = n2 + 4n + 4 , bn 
= 
2
2n , cn �Įn+1 - Įn e dn = bn+1/bn , definidas para valores inteiros 
positivos de n, considere as seguintes afirmações: 
,��Įn é uma progressão geométrica; 
II. bn é uma progressão geométrica; 
III. cn é uma progressão aritmética; 
IV. dn é uma progressão geométrica. 
São verdadeiras apenas 
 a) I, II e III. 
 b) I, II e IV. 
 c) I e III. 
 d) II e IV. 
 e) III e IV. 
RESOLUÇÃO: 
 ITEM I: 
Įn = n2 + 4n + 4 
 a1 = 1 + 4 + 4 = 9 
a2 = 4 + 8 + 4 = 16 
a3 = 9 + 12 + 4 = 25 
Veja que a3 / a2 é diferente de a2 / a1. Portanto, an não é uma PG. 
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 ITEM II: 
 bn = 
2
2n 
b1 = 2 
b2 = 16 
b3 = 512 
Veja que a3 / a2 é diferente de a2 / a1. Portanto, an não é uma PG. 
 
 ITEM III: 
cn �Įn+1 - Įn = (n+1)2 + 4(n+1) + 4 - (n2 + 4n + 4) 
cn = n2 + 2n + 1 + 4n + 4 + 4 - n2 - 4n ± 4 
cn = 2n + 5 
c1 = 7 
c2 = 9 
c3 = 11 
Veja que a3 - a2 é igual a a2 - a1. Portanto, cn é uma PA. 
 
ITEM IV: 
dn = bn+1/bn 
2
2 2
2
( 1)
( 1) 2 11 2
 2 2
2
n
n n nn
n n
n
bd
b
�
� � �� 
 
3
1
5
2
7
3
2
2
2
d
d
d
 
 
 
Veja que d3 / d2 é igual a d2 / d1. Portanto, dn é uma PG. 
RESPOSTA: E 
 
24. UERJ - VESTIBULAR ± 2012) Em uma atividade escolar, qualquer 
número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos matemáticos 
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descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se obtenha 
como resultado final o número 1. 
 
Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3. 
Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1. 
 
A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro 
vezes. Veja a sequência dos resultados obtidos: 
 
10,9,3,1 
 
Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são 
utilizados é igual a: 
 a) 7 
 b) 8 
 c) 9 
 d) 10 
RESOLUÇÃO: 
 43 não é divisível por 3. Então calcula-se 43 - 1 = 42 
 42 é divisível por 3. Então calcula-se 42 / 3 = 14 
 14 não é divisível por 3. Então calcula-se 14 - 1 = 13 
13 não é divisível por 3. Então calcula-se 13 - 1 = 12 
12 é divisível por 3. Então calcula-se 12 / 3 = 4 
4 não é divisível por 3. Então calcula-se 4 - 1 = 3 
3 é divisível por 3. Então calcula-se 3 / 3 = 1 
Foram necessárias 7 operações. 
RESPOSTA: A 
 
25. PUC-MINAS ± VESTIBULAR - 2014) A sistematização das notas 
musicais permitiu a padronização de instrumentos e, com isso, a 
universalização da composição musical desde o período renascentista. O 
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método adotado para a criação de notas foi o de construir uma sequência 
de frequências de sons conforme uma progressão geométrica de razão q. 
Um músico adota a frequência de Lá (1º. termo) em 440Hz e, após doze 
intervalos, obtém o próximo Lá (13º. termo) em 880Hz, como 
apresentado na tabela a seguir. 
 
 
 
Se esse músico deseja afinar seu instrumento utilizando a frequência da 
nota Fá, nono termo dessa escala, a frequência que ele deverá usar, em 
hertz, é igual a: 
a) 
10440 4 
b) 
10440 8 
c) 
4440 8 
d) 
3440 4 
RESOLUÇÃO: 
 Estamos diante de uma PG cujo termo inicial é a1 = 440 e o termo 
relativo a n =13 é a13 = 880. A razão da PG é q. Utilizando o termo geral 
da PG, temos: 
1
1
n
na a q
� u 
a13 = a1×q13-1 
880 = 440×q12 
q12 = 2 
q = 21/12 
 
 Agora precisamos calcular a9: 
a9 = a1×q9-1 
a9 = 440×(21/12)8 
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a9 = 440×28/12 
a9 = 440×22/3 
2/3
9
3 2
9
3
9
 440 2
 440 2
 440 4
a
a
a
 u
 u
 u
 
RESPOSTA: D 
 
26. UERJ ± VESTIBULAR ± 2009) Uma bola de boliche de 2 kg foi 
arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registra a velocidade e 
a energia cinética da bola ao passar por três pontos dessa pista: A, B e C. 
 
 
 
Se (E1, E2, E3) é uma progressão geométrica de razão 1/2, a razão da 
progressão geométrica (V1, V2, V3) está indicadaem: 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 
2
2 
 d) 1/2 
RESOLUÇÃO: 
 Esse é um exercício muito parecido com o estilo que o ENEM cobra, 
misturando as matérias. Para resolvê-lo, você precisaria saber lá da Física 
que a Energia Cinética é dada por: 
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2
2c
m VE ˜ 
 
em que m é a massa e V é a velocidade. 
 Veja que se (E1, E2, E3) é uma PG de razão ½, então podemos dizer 
que: 
2
2
2
2 2
2 2
11 1
2
2
2
1
2
1
1 2
2
2
1
2
1 1 2
2 22
m V
E V
m VE V
V
V
V
V
˜
 ˜
 
 
 
RESPOSTA: C 
 
27. UECE ± CEV ± 2011) O maior valor da razão de uma progressão 
aritmética para que os números 7, 23 e 43 sejam três de seus termos é 
 a) 4. 
 b) 16. 
 c) 2. 
 d) 8. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que 23 ± 7 = 16 e 43 ± 23 = 20. Não seria possível ter a razão 
como sendo 20 uma vez que entre 7 e 23 a diferença é inferior a isso. 
Também não é possível que seja 16 uma vez que entre 23 e 43 seria 
necessário um valor não-inteiro de razões. 
 Veja as alternativas. 8 não satisfaz devido à diferença de 20 entre 
23 e 43. 
 A razão 4 satisfaz as duas condições. A razão 2 também, mas o 
exercício pediu o maior valor de razão possível, que é 4. 
RESPOSTA: A 
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28. UDESC ± VESTIBULAR ± 2007) O primeiro termo de uma 
progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa 
progressão é: 
 a) 2 
 b) 10 
 c) 5 
 d) 4 
 e) 6 
RESOLUÇÃO: 
 a1 = 10 
 a4 = 80 
 Usando o termo geral da PG temos: 
a4 = a1×q4-1 
80 = 10×q3 
q3 = 8 
q = 2 
RESPOSTA: A 
 
29. VUNESP ± UNESP ± 2012) A soma dos n primeiros termos de uma 
progressão aritmética é dada por 3n2 ± 2n, onde n é um número natural. 
Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente, 
 a) 7 e 1. 
 b) 1 e 6. 
 c) 6 e 1. 
 d) 1 e 7. 
 e) 6 e 7. 
RESOLUÇÃO: 
 Utilizando a fórmula da soma da PA, temos: 
1( )
2
n
n
n a a
S
u � 
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2×(3n2 ± 2n) = n×(a1 + an) 
6n2 ± 4n = n×(a1 + an) 
 
 Substituindo a fórmula do termo geral da PA (an = a1 + (n-1)×r) 
 na igualdade acima, temos: 
 
6n2 ± 4n = n×a1 + n×(a1 + (n-1)×r) 
6n2 ± 4n = n×a1 + n×a1 + n×(n×r - r) 
6n2 ± 4n = 2n×a1 + n2×r - n×r 
6n2 ± 4n = n× (2a1 ± r) + r×n2 
 
 Comparando os coeficientes de n2 e de n, temos: 
r = 6 
2a1 ± r = -4 
2a1 ± 6 = -4 
2a1 = 2 
a1 = 1 
RESPOSTA: B 
 
30. PUC-RJ ± VESTIBULAR ± 2012) Se a soma dos quatro primeiros 
termos de uma progressão aritmética é 42, e a razão é 5, então o 
primeiro termo é: 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 e) 5 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando a fórmula da soma da PA, temos: 
1( )
2
n
n
n a a
S
u � 
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2×42 = 4×(a1 + a4) 
 
 Utilizando a fórmula do termo geral da PA, temos: 
a4 = a1 + (4-1)×5 
a4 = a1 + 15 
 
 Substituindo esta última informação na primeira, que obtivemos a 
partir da soma da PA, temos: 
2×42 = 4×(a1 + a4) 
84 = 4×(a1 + a1 + 15) 
21 = 2a1 + 15 
2a1 = 6 
a1 = 3 
RESPOSTA: C 
 
31. ENEM ± 2016) Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular 
as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da 
esquerda para a direita, como mostra a figura. 
 
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo 
quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado medindo 
3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a 
área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. 
A área do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi 
representada por An. 3DUD� Q� •� ��� R� YDORU� GD� GLferença An - An-1, em 
centímetro quadrado, é igual a 
A) 2n - 1 
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B) 2n + 1 
C) -2n + 1 
D) (n - 1)2 
E) n2 - 1 
RESOLUÇÃO: 
 A área do primeiro quadrado é 1 cm². A do segundo é 4 cm². A do 
terceiro é 9 cm². E assim por diante. Temos a seguinte sequência: 
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ..., An-1, An, ... 
 
 Repare agora na sequência abaixo, formada pela diferença entre um 
termo e o seu antecessor��SDUD�Q�•��: 
3, 5, 7, 9, 11, 13, ..., (An - An-1), ... 
 
 Portanto, a sequência que o enunciado pede é uma Progressão 
Aritmética de razão r = 2 e termo inicial b1 = A2 ± A1. Como a letra n já 
está sendo utilizada, vamos definir que o i-ésimo termo dessa sequência é 
dado pelo termo geral da PA, de forma que i = n ± 1, conforme tabela 
abaixo: 
 
2 3 4 5 6 7 n 
A2 ± A1 A3 ± A2 A4 ± A3 A5 ± A4 A6 ± A5 A7 ± A6 An ± An-1 
3 5 7 9 11 13 bi 
1 2 3 4 5 6 i 
 
 Assim o termo geral da PA é: 
bi = b1 + (i ± 1).2 
 
 Queremos obter justamente bi, visto que ele corresponde a An ± An-
1. Assim, fazendo i = n ± 1, temos: 
bi = b1 + (i ± 1).2 
An ± An-1 = b1 + (n ± 1 ± 1).2 
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An ± An-1 = 3 + (n ± 2).2 
An ± An-1 = 3 + 2n ± 4 
An ± An-1 = 2n ± 1 
Resposta: A 
 
32. ENEM ± 2016) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a 
sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um 
professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) 
e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater 
palmas a cada 2 s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3 
s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s. O professor 
zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando 
ele registrou 1 s. Os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 
60 s. Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes 
em que os três grupos bateram palmas simultaneamente. Qual é o termo 
geral da sequência anotada? 
A) ���Q��FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
B) ���Q��FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
C) 12(n - ����FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
D) 12(n - ��������FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
E) 24(n - 1�������FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”���RESOLUÇÃO: 
 O mínimo múltiplo comum em 2, 3 e 4 é 12. Assim, a partir do 
primeiro segundo, quando todos bateram palma, os três grupos vão 
voltar a bater palmas juntos a cada 12 segundos. Portanto, a sequência 
de segundos nos quais isso vai ocorrer dentro de 60s é: 
1, 13, 25, 37, 49 
 
 Essa sequência nada mais é do que uma PA de termo inicial a1 = 1, 
razão r = 12 e n variando de 1 a 5. Logo, o termo geral é: 
an = a1 + (n ± 1).r 
an = 1 + (n ± 1).12 
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an = 12(n - 1) + 1, com ��”�Q�”�� 
Resposta: D 
 
 
 
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 10. 
Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
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3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
 
1. ENEM ± 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo 
industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No 
primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de 
um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia 
adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se 
que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um 
crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos 
fabricados no ano t de funcionamento da indústria. 
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o 
número de unidades produzidas P em função de t, para W•1? 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
2. ENEM - 2011) O número mensal de passagens de uma determinada 
empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em 
janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em 
março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses 
subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em 
julho do ano passado? 
A) 38 000 
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B) 40 500 
C) 41 000 
D) 42 000 
E) 48 000 
 
3. ENEM - 2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que 
o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. 
Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o 
atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada 
ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. 
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado). 
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus 
movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance 
diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance 
diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e 
considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto 
teria de estar entre 
A) 4,0 m e 5,0 m. 
B) 5,0 m e 6,0 m 
C) 6,0 m e 7,0 m. 
D) 7,0 m e 8,0 m. 
E) 8,0 m e 9,0 m 
 
 
4. ENEM - 2010) RonaOGR�p�XP�JDURWR�TXH�DGRUD�EULQFDU�FRP�Q~PHURV. 
Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a 
sequência conforme mostrada no esquema a seguir. 
 
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Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma 
propriedade e que, por meio GHVVD� SURSULHGDGH�� HUD� SRVVtYHO� SUHYHU� D�
VRPD� GH� TXDOTXHU� OLQKD� SRVWHULRU� jV� Miɍ� FRQVWUXtGDV�� � $� SDUWLU� GHVVD�
SURSULHGDGH�� TXDO� VHUiɍ� D� VRPD� GD� 9ª linha da sequência de caixas 
empilhadas por Ronaldo? 
A) 9 
B) 45 
C) 64 
D) 81 
E) 285 
 
5.PUC-RJ ± VESTIBULAR ± 2012) A sequência (2, x, y, 8) representa 
uma progressão geométrica. 
O produto xy vale: 
 a) 8 
 b) 10 
 c) 12 
 d) 14 
 e) 16 
 
 
6. UFT ± VESTIBULAR ± 2012) Os cubos da sequência a seguir são 
formados com palitos (um palito para cada aresta). 
 
 
 
 
O segundo termo desta sequência é composto por 2 cubos, sendo 
formado pelo primeiro termo acrescido de mais palitos. O terceiro termo é 
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composto por 3 cubos, sendo formado pelo segundo termo acrescido de 
mais palitos. Continuando a construção da sequência apresentada, com 
mais 56 palitos, de forma que não sobrem palitos, pode ser construído 
um termo completo com o total de 
 a) 6 cubos. 
 b) 7 cubos. 
 c) 10 cubos. 
 d) 12 cubos. 
 e) 14 cubos 
 
7.UNICENTRO ± VESTIBULAR ± 2012) Em Irati, cidade do Paraná, um 
JUXSR�GH� VHQKRUDV� FULRX�XP� ³&OXEH�GH� /HLWXUD´��1D� VHGH� GR� FOXEH�� HODV�
trocavam livros, liam e discutiam sobre o assunto de que tratavam. Uma 
nova moradora da cidade ingressou no grupo e descobriu que precisaria 
ler 8 livros, 1600 páginas, para acompanhar o bate-papo literário com as 
novas amigas. Resolveu, pois, iniciar a leitura da seguinte maneira: leria 
todos os dias, sendo que, no 1o dia, seriam lidas x páginas e, a cada dia, 
leria 2 páginas a mais do que as lidas no dia anterior. 
Se completou a leitura das 1600 páginas em 25 dias, então o número de 
páginas lidas no 1o dia, foi igual a 
 a) 60 
 b) 50 
 c) 40 
 d) 30 
 e) 20 
 
8. FUVEST ± USP ± 2009) Os números a1, a2, a3 formam uma 
progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 - 3, a3 - 3 
estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, 
conclui-se que r é igual a 
 a) 3 3� 
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 b) 
33
2
�
 
 c) 
33
4
�
 
 d) 
33
2
�
 
 e) 3 3� 
 
9. VUNESP ± UNIFESP ± 2007) O 2007º dígito na sequência 
123454321234543... é 
 a) 1. 
 b) 2. 
 c) 3. 
 d) 4. 
 e) 5. 
 
10. VUNESP ± UNIFESP ± 2007) ³1~PHURV�WULDQJXODUHV´�VmR�Q~PHURV�
que podem ser representados por pontos arranjados na forma de 
triângulos equiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número 
triangular. 
 
Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. 
 
 ‡����������� 
 ‡���������������������������‡�����‡� 
 ‡�����������������������‡�����‡����������������������‡����‡���‡��� 
‡����������‡��‡�������������������‡���‡���‡�������������������‡���‡���‡���‡1 3 6 10 
 
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Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 
6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que Tn satisfaz a relação Tn = Tn±1 + 
n, para n = 2,3,4,..., pode-se deduzir que T100 é igual a 
 a) 5.050. 
 b) 4.950. 
 c) 2.187. 
 d) 1.458. 
 e) 729. 
 
11. UDESC ± VESTIBULAR ± 2007) A soma dos quatro primeiros 
termos da sequência 
a1 = 2 
an = an-1 ���Q���VH�Q•���p� 
 a) 45 
 b) 36 
 c) 61 
 d) 22 
 e) 40 
 
12. FUVEST ± USP ± 2010) Seja x>0 tal que a sequência a1 = log2x, a2 
= log4(4x), a3 = log8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão 
aritmética. Então, a1 + a2 + a3 é igual a 
 a) 13/2 
 b) 15/2 
 c) 17/2 
 d) 19/2 
 e) 21/2 
 
13. UFT ± VESTIBULAR ± 2010) Considere a sequência (a1,a2,a3,...) 
definida por: a1 = x, a2 = 2 e an = an-2 + an-1, VH�Q�•����Q�א IN onde IN 
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representa o conjunto dos números naturais. O valor de x para que a 
soma dos dez primeiros termos desta sequência seja igual a 396 é: 
 a) - 2 
 b) 0 
 c) 1 
 d) - 10 
 e) 4 
 
14. CECIERJ ± CEDERJ ± 2013) Um aluno começou a construir, com 
palitos, uma sequência de retângulos justapostos em uma fileira 
horizontal. A figura, a seguir, mostra os três primeiros termos dessa 
sequência: 
 
 P1: 
 
 P2: 
 
 P3: 
 
O primeiro termo da sequência, P1, foi construído com 4 palitos; o 
segundo, P2, com 7 palitos; o terceiro, P3, com 10 palitos; e assim por 
diante, isto é, ao enésimo termo da sequência, Pn, acrescenta-se mais um 
retângulo, utilizando-se um número mínimo de palitos, para formar o 
termo seguinte, Pn+1. Para construir o vigésimo termo desta sequência, 
P20, o aluno precisará de 
 a) 60 palitos. 
 b) 61 palitos. 
 c) 80 palitos. 
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 d) 81 palitos. 
 
15. VUNESP ± UNESP ± 2015) A figura indica o padrão de uma 
sequência de grades, feitas com vigas idênticas, que estão dispostas em 
posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 m de comprimento. O 
padrão da sequência se mantém até a última grade, que é feita com o 
total de 136,5 metros lineares de vigas. 
 
 
 
O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência 
completa de grades, em metros, foi de 
 a) 4877. 
 b) 4640. 
 c) 4726. 
 d) 5195. 
 e) 5162. 
 
16. PUC-RS ± VESTIBULAR ± 2015) Consideremos as sequências 
numéricas cujos termos gerais são an = 2n e bn = 2n ± 1 com n א IN. 
Assim, os termos da sequência dada por cn = an ± bn estão colocados 
sobre a representação gráfica de: 
 a) y = ±1. 
 b) y = 0. 
 c) y = 1. 
 d) y = 2x + 1. 
 e) y = 2x ± 2. 
 
17. PUC-RS ± VESTIBULAR ± 2014) Observe a sequência representada 
no triângulo abaixo: 
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1 
4 7 10 
13 16 19 22 25 
28 31 34 37 40 43 46 
.............................................................. 
........................................................................ 
 
Na sequência, o primeiro elemento da décima linha será 
 a) 19 
 b) 28 
 c) 241 
 d) 244 
 e) 247 
 
 
18. CESPE ± UNB ± 2012 - adaptada) Suponha que o robô Opportunity 
tenha coletado, na superfície de Marte, uma amostra radioativa cuja 
massa, M(t), em gramas, pode ser representada em função do tempo t•� 
em anos, pela expressão M(t) = M0.e-kt, em que k é uma constante 
positiva que depende do material da amostra, e M0 é sua massa inicial. 
Considerando essas informações, julgue o item abaixo: 
 
Se a amostra for avaliada em instantes ti, i = 1, 2, 3..., tais que ti é o i-
ésimo termo de uma progressão geométrica, então a sequência das 
massas M(ti) será uma progressão aritmética. 
C ± Certo 
E ± Errado 
 
19. UECE-CEV ± 2011) A sequência de quadrados Q1 , Q2 , Q3, ...... é tal 
que, para n > 1, os vértices do quadrado Qn são os pontos médios dos 
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lados do quadrado Qn-1. Se a medida do lado do quadrado Q1 é 1m, então 
a soma das medidas das áreas, em m2, dos 10 primeiros quadrados é 
 a) 1023/1024 
 b) 2048/1023 
 c) 2048/512 
 d) 1023/512 
 
20. UNEMAT ± VESTIBULAR ± 2011) A soma dos quatro primeiros 
termos de uma Progressão Aritmética (P.A.) é 4 e o produto desses 
termos é zero. 
Sendo a razão da P.A. um número inteiro e positivo, o segundo termo 
dessa sequência é: 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 e) 4 
 
21. VUNESP ± UFTM ± 2012) Uma caixa com a forma de um prisma 
reto de base quadrangular, cujas dimensões, em centímetros, são 
números naturais, estava totalmente preenchida com cubos de aresta 
igual a 1 cm. Esses cubos foram usados para fazer uma sequência de 
construções, cujas três primeiras estão representadas nas figuras. 
 
 
Observando a lei de formação dessa sequência, e usando todos os cubos 
disponíveis, sem restar nenhum, foi possível completar 13 construções. 
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Dessa forma, pode-se concluir que a medida interna da altura dessa caixa 
é, em centímetros, igual a 
 a) 10. 
 b) 15. 
 c) 13. 
 d) 8. 
 e) 12. 
 
22. UECE-CEV - 2011) As medidas dos lados de um triângulo retângulo 
expressas em metros formam uma progressão geométrica cujo primeiro 
termo é a medida do cateto de menor comprimento. A razão desta 
progressão é um número que está no intervalo 
 a) [1 , 3/2] 
 b) [3/2 , 2] 
 c) [2 , 5/2] 
 d) [5/2 , 3] 
 
23. FUVEST ± USP ± 2014) 'DGDV�DV�VHTXrQFLDV�Įn = n2 + 4n + 4 , bn 
= 
2
2n , cn �Įn+1 - Įn e dn = bn+1/bn , definidas para valores inteiros 
positivos de n, considere as seguintes afirmações: 
,��Įn é uma progressão geométrica; 
II. bn é uma progressão geométrica; 
III. cn é uma progressão aritmética; 
IV. dn é uma progressão geométrica.São verdadeiras apenas 
 a) I, II e III. 
 b) I, II e IV. 
 c) I e III. 
 d) II e IV. 
 e) III e IV. 
 
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24. UERJ - VESTIBULAR ± 2012) Em uma atividade escolar, qualquer 
número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos matemáticos 
descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se obtenha 
como resultado final o número 1. 
 
Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3. 
Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1. 
 
A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro 
vezes. Veja a sequência dos resultados obtidos: 
 
10,9,3,1 
 
Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são 
utilizados é igual a: 
 a) 7 
 b) 8 
 c) 9 
 d) 10 
 
25. PUC-MINAS ± VESTIBULAR - 2014) A sistematização das notas 
musicais permitiu a padronização de instrumentos e, com isso, a 
universalização da composição musical desde o período renascentista. O 
método adotado para a criação de notas foi o de construir uma sequência 
de frequências de sons conforme uma progressão geométrica de razão q. 
Um músico adota a frequência de Lá (1º. termo) em 440Hz e, após doze 
intervalos, obtém o próximo Lá (13º. termo) em 880Hz, como 
apresentado na tabela a seguir. 
 
 
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Se esse músico deseja afinar seu instrumento utilizando a frequência da 
nota Fá, nono termo dessa escala, a frequência que ele deverá usar, em 
hertz, é igual a: 
a) 
10440 4 
b) 
10440 8 
c) 
4440 8 
d) 
3440 4 
 
26. UERJ ± VESTIBULAR ± 2009) Uma bola de boliche de 2 kg foi 
arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registra a velocidade e 
a energia cinética da bola ao passar por três pontos dessa pista: A, B e C. 
 
 
 
Se (E1, E2, E3) é uma progressão geométrica de razão 1/2, a razão da 
progressão geométrica (V1, V2, V3) está indicada em: 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 
2
2 
 d) 1/2 
 
27. UECE ± CEV ± 2011) O maior valor da razão de uma progressão 
aritmética para que os números 7, 23 e 43 sejam três de seus termos é 
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 a) 4. 
 b) 16. 
 c) 2. 
 d) 8. 
 
28. UDESC ± VESTIBULAR ± 2007) O primeiro termo de uma 
progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa 
progressão é: 
 a) 2 
 b) 10 
 c) 5 
 d) 4 
 e) 6 
 
29. VUNESP ± UNESP ± 2012) A soma dos n primeiros termos de uma 
progressão aritmética é dada por 3n2 ± 2n, onde n é um número natural. 
Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente, 
 a) 7 e 1. 
 b) 1 e 6. 
 c) 6 e 1. 
 d) 1 e 7. 
 e) 6 e 7. 
 
30. PUC-RJ ± VESTIBULAR ± 2012) Se a soma dos quatro primeiros 
termos de uma progressão aritmética é 42, e a razão é 5, então o 
primeiro termo é: 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 e) 5 
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31. ENEM ± 2016) Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular 
as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da 
esquerda para a direita, como mostra a figura. 
 
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo 
quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado medindo 
3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a 
área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. 
A área do quadrado que ocupa a posição n, na sequência, foi 
representada por An. 3DUD� Q� •� ��� R� YDORU� GD� GLferença An - An-1, em 
centímetro quadrado, é igual a 
A) 2n - 1 
B) 2n + 1 
C) -2n + 1 
D) (n - 1)2 
E) n2 - 1 
 
32. ENEM ± 2016) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a 
sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um 
professor de educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) 
e estipulou a seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater 
palmas a cada 2 s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3 
s e os alunos do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s. O professor 
zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas quando 
ele registrou 1 s. Os movimentos prosseguiram até o cronômetro registrar 
60 s. Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes 
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em que os três grupos bateram palmas simultaneamente. Qual é o termo 
geral da sequência anotada? 
A) ���Q��FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
B) ���Q��FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
C) 12(n - ����FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
D) 12(n - ��������FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
E) 24(n - 1�������FRP�Q�XP�Q~PHUR�QDWXUDO��WDO�TXH���”�Q�”��� 
 
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01 E 02 D 03 D 04 D 05 E 06 C 07 C 
08 E 09 C 10 C 11 E 12 B 13 E 14 B 
15 C 16 C 17 D 18 E 19 D 20 A 21 C 
22 A 23 E 24 A 25 D 26 C 27 A 28 A 
29 B 30 C 31 A 32 D 
 
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