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Aula SISTEMA DE AMORTIZAC¸A˜O CONSTANTE – SAC 12 O b j e t i v o Ao final desta aula, voceˆ devera´ ser capaz de: 1 entender os conceitos do Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC; 2 interpretar e resolver os problemas propostos. Matema´tica Financeira | Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC INTRODUC¸A˜O Neste sistema, as amortizac¸o˜es perio´dicas sa˜o constantes e iguais ao valor do empre´stimo dividido pelo nu´mero de paga- mentos. Sabemos que os juros incidem sobre o saldo deve- dor, que nesse caso decrescem de forma constante apo´s o paga- mento das prestac¸o˜es. Como consequ¨eˆncia do comportamento da amortizac¸a˜o e dos juros, as prestac¸o˜es perio´dicas e sucessivas do SAC sa˜o decrescentes em progressa˜o aritme´tica. SAC – SEM CAREˆNCIA � � � �Exemplo 12.1 Um empre´stimo de R$ 10.000,00 sera´ pago pelo Sistema de Amortizac¸a˜o Constante em quatro prestac¸o˜es mensais, sem perı´odo de careˆncia. Se a taxa de juros contratada for de 10% ao meˆs, construa a planilha. Soluc¸a˜o: A amortizac¸a˜o mensal e´ Ak = 10.000,00 4 = 2.500,00,1 ≤ k ≤ 4. Planilha do financiamento Meses Saldo devedor Amortizac¸a˜o Juros Prestac¸a˜o (k) (Sdk) (Ak) (Jk = i×Sdk) (Pk = Ak+ Jk) 0 10.000,00 - - - 1 7.500,00 2.500.00 1.000,00 3.500,00 2 5.000,00 2.500.00 750,00 3.250,00 3 2.500,00 2.500.00 500,00 3.000,00 4 2.500.00 250,00 2.750,00 TOTAL - 10.000,00 2.500,00 12.500,00 � E´ fa´cil estabelecer expresso˜es gene´ricas de ca´lculo de forma a determinar cada parcela da planilha do SAC, sem careˆncia. Amortizac¸a˜o (Ak) : os valores sa˜o iguais em cada perı´odo k e obtidos por Ak = Sd0n , onde Sd0 e´ o valor do financiamento (saldo inicial ou principal), n e´ no¯ de prestac¸o˜es e 1 ≤ k ≤ n. 158 C E D E R J A U LA 12 1 M O´ D U LO 1 Saldo devedor (Sdk): e´ decrescente em PA (progressa˜o arit- me´tica) de raza˜o Ak = Sd0n , portanto o saldo do perı´odo k, deno- tado por Sdk, sera´ dado por Sdk = Sd0 − k× Sd0n , ou Sdk = Sd0 − k×Ak,1 ≤ k ≤ n. Juros (Jk): tendo em vista a reduc¸a˜o constante do saldo devedor, os juros tambe´m diminuem em progressa˜o aritme´tica cujo 1o¯ termo e´ i×Sd0 e raza˜o i× Sd0n , logo os juros referentes ao k-e´simo perı´odo sera˜o dados por Jk = i×Sd0− (k−1)× i× Sd0n , isto e´, Jk = [ Sd0− (k−1)Sd0n ] × i⇒ Jk = Sd0n × (n− k+1)× i ou Jk = Ak× (n− k+1)× i. Prestac¸a˜o (Pk): a k-e´sima prestac¸a˜o sera´ obtida pela soma da respectiva amortizac¸a˜o com os respectivos juros, ou seja, Pk = Ak+ Jk e, portanto, tem-se que: Pk = Sd0 n + [ Sd0 n (n− k+1) ] × i⇒ Pk = Sd0 n [1+(n− k+1)× i] ou Pk = Ak[1+(n− k+1)× i]. � � � �Exemplo 12.2 Um empre´stimo no valor de R$ 80.000,00 sera´ liquidado pelo sistema de amortizac¸a˜o constante em 40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada para a operac¸a˜o e´ de 4% ao meˆs. Determinar: a) o valor de cada amortizac¸a˜o mensal; b) o valor dos juros e da prestac¸a˜o referentes ao 22o¯ paga- mento; c) o valor da u´ltima prestac¸a˜o; d) o valor do saldo devedor imediatamente apo´s o pagamento da 10a¯ prestac¸a˜o. C E D E R J 159 Matema´tica Financeira | Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC Soluc¸a˜o: Sabe-se que Sd0 = 80.000,00, n= 40 meses e i= 4% a.m. ou i= 0,04 a.m. a) Ak = 80.000,0040 = 2.000,00 com, 1 ≤ k ≤ 40 b) Sabemos que os juros do k−e´simo perı´odo pode ser obtido atrave´s da equac¸a˜o Jk = Sd0 n × (n− k+1)× i, portanto, temos que J22 = 80.000,00 40 ×(40−22+1)×0,04, isto e´, J22 = 2.000,00× 19×0,04 ⇒ J22 = 1.520,00, e portanto, P22 = 2.000,00+1.520,00 = 3.520,00. c) Sabe-se que k−e´sima prestac¸a˜o pode ser obtida da expressa˜o Pk = Sd0n [1+(n− k+1)× i], logo, P40 = 80.000,00 40 [1+(40−40+1)×0,04 = 2.000,00×1,04]⇒ P40 = 2.080,00. d) O saldo apo´s o pagamento da k−e´sima prestac¸a˜o pode ser obtida da expressa˜o Sdk = Sd0 − k× Sd0n , logo, Sd10 = 80.000,00−10× 80.000,0040 ⇒ Sd10 = 60.000,00. Respostas a) R$ 2.000,00. b) R$ 1.520,00 e R$ 3.520,00. c) R$ 2.080,00. d) R$ 60.000,00. 160 C E D E R J A U LA 12 1 M O´ D U LO 1 SAC COM CAREˆNCIA � � � �Exemplo 12.3 Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato e que sera´ pago pelo Sistema de Amortizac¸a˜o Constante. Sabendo que o banco concedeu treˆs anos de careˆncia, que a taxa de juros e´ de 10% ao ano e que o principal sera´ amor- tizado em quatro parcelas anuais, construa a planilha. Ao se supor uma careˆncia de 3 anos, treˆs situac¸o˜es podem ocorrer: • 1o¯Os juros sa˜o pagos durante a careˆncia. Soluc¸a˜o: A amortizac¸a˜o mensal e´ 100.000,004 = 25.000,00. O juro pago no primeiro e no segundo perı´odo sera´ de 10% sobre o saldo inicial de R$ 100.000,00 sendo que este na˜o se altera, pois na˜o ha´ amortizac¸a˜o nos perı´odos um e dois devido ao prazo de careˆncia. A partir do perı´odo treˆs, o comportamento e´ semelhante ao realizado no problema sem careˆncia. Temos enta˜o o seguinte quadro de desem- bolsos: Planilha do financiamento Anos Saldo devedor Amortizac¸a˜o Juros Prestac¸a˜o (k) (Sdk) (Ak) (Jk = i×Sdk) (Pk = Ak+ Jk) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 3 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 4 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00 5 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00 6 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00 7 - 25.000,00 2.500,00 27.500,00 TOTAL - 100.000,00 55.000,00 155.000,00 • 2o¯Os juros sa˜o capitalizados durante a careˆncia e acresci- dos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizac¸o˜es de maior valor. Soluc¸a˜o: Nesse caso, o procedimento inicial e´ semelhante ao ante- rior, isto e´, no primeiro e no segundo perı´odos, os juros sera˜o capi- talizados e acrescidos ao saldo devedor. Temos enta˜o que, no primeiro perı´odo, o saldo devedor passa a ser de R$ 100.000,00 × 1,1 = C E D E R J 161 Matema´tica Financeira | Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC R$ 110.000,00 e, no segundo perı´odo, o saldo passa a ser de R$ 110.000,00× 1,1 = R$ 121.000,00. A partir do terceiro perı´odo dar-se-a´ o inı´cio do pagamento das amortizac¸o˜es, sendo que estas sera˜o calculadas tendo como base o saldo do perı´odo treˆs, isto e´, R$ 121.000,00 e na˜o R$ 100.000,00 como no caso anterior. Temos enta˜o que o valor das amortizac¸o˜es sera´ de 121.000,00 4 = 30.250,00 e, a partir do perı´odo treˆs, o comportamento e´ semelhante ao realizado no problema sem careˆncia. Temos enta˜o o seguinte quadro de desembolsos: Planilha do financiamento Anos Saldo devedor Amortizac¸a˜o Juros Prestac¸a˜o (k) (Sdk) (Ak) (Jk = iSdk−1) (Pk = Ak+ Jk) 0 100.000,00 - - - 1 110.000,00 - 10.000,00 0,0 2 121.000,00 - 11.000,00 0,0 3 133.100,00 - 12.100,00 0,0 4 99.825,00 33.275,00 13.310,00 46.585,00 5 66.550,00 33.275,00 9.982,50 43.257,50 6 33.275,00 33.275,00 6.655,00 39.930,00 7 0,00 33.275,00 3.327,50 36.602,50 TOTAL - 100.000,00 66.375,00 166.375,00 Resumo Nesta aula, continuamos o estudo dos Sistemas de Amorti- zac¸a˜o de Empre´stimos. Os conceitos envolvidos nesse estudo foram agora utilizados no desenvolvimento dos conceitos que envolvem o estudo do Sistema de Amortizac¸a˜o Constante. Exercı´cio 12.1 1. Um financiamento de R$ 10.000,00 pelo SAC devera´ ser pago em dez prestac¸o˜es anuais e consecutivas sem careˆncia, com juros de 4% ao ano. Determine: a) o valor do juro pago na oitava prestac¸a˜o; Resposta: R$ 120,00. b) o valor da quinta prestac¸a˜o; Resposta: R$ 1.240,00. 162 C E D E R J A U LA 12 1 M O´ D U LO 1 c) o valor do saldo devedor imediatamente apo´s o paga- mento da 5a¯ prestac¸a˜o; Resposta: R$ 5.000,00. d) o total de juros pagos durante o financiamento. Resposta: R$ 2.200,00. 2. Um empre´stimo de R$ 100.000,00, sera´ saldado em 25 amortizac¸o˜es quadrimestraispelo sistema SAC, tendo sido contratada a taxa de juros de 5% ao quadrimestre. Quais sa˜o o saldo devedor, os juros e a prestac¸a˜o referentes ao 16o¯ quadrimestre? Respostas: R$ 36.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 6.000,00. 3. Em janeiro de 1989, uma pessoa adquiriu uma casa fi- nanciada por uma instituic¸a˜o financeira em 120 prestac¸o˜es mensais pelo SAC. Sabendo que o valor financiado foi de R$ 84.000,00, que a taxa de juro nominal contratual foi de 18% ao ano e que a primeira prestac¸a˜o foi paga no meˆs de fevereiro desse mesmo ano, calcule: a) o valor das amortizac¸o˜es pagas ate´ dezembro de 1989 (inclusive); Resposta: R$ 7.700,00. b) o valor da prestac¸a˜o a vencer em maio de 1991; Resposta: R$ 1.676,50. c) o total de juros pagos durante o ano de 1990; Resposta: R$ 12.978,00. d) o saldo apo´s o pagamento da de´cima quinta prestac¸a˜o. Resposta: R$ 73.500,00. 4. Um empre´stimo de R$ 120.000,00 e´ feito pelo SAC, a` taxa de 2% ao meˆs, devendo ser devolvido em oito prestac¸o˜es mensais. Sabendo que houve um prazo de careˆncia de treˆs meses, elabore a planilha de pagamentos. 5. Uma empresa em fase de expansa˜o obte´m de uma ageˆncia governamental o financiamento de R$ 48.000.000,00 a ser liberado em treˆs parcelas quadrimestrais sequ¨enciais, sendo de R$ 13.000.000,00 a primeira, de R$ 30.000.000,00 a segunda e de R$ 5.000.000,00 a terceira. Os encargos fi- nanceiros sa˜o basicamente os seguintes: C E D E R J 163 Matema´tica Financeira | Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC a) Taxa efetiva de juros: 9% a.a. b) Comissa˜o de abertura de cre´dito igual a 0,5% sobre o valor do financiamento, esse valor sera´ cobrado quando da liberac¸a˜o da primeira parcela. c) Imposto sobre Operac¸o˜es Financeiras (IOF) de 1% sobre o total geral, ou seja, valor do financiamento mais encargos financeiros. O o´rga˜o financiador concede 4 quadrimestres de careˆncia, sendo os juros pagos durante a careˆncia. O prazo total do financiamento sera´ de 5 anos, e o sistema de amortizac¸a˜o adotado e´ o SAC. As amortizac¸o˜es sera˜o quadrimestrais. Construir a planilha do financiamento. 6. Um banco empresta R$ 1.000.000,00 sob as seguintes con- dic¸o˜es: a) juros de 20% ao ano, pagos semestralmente; b) careˆncia de um ano; c) comissa˜o de abertura de cre´dito de 0,5% sobre o valor financiado, pago no ato; d) comissa˜o de l% sobre o saldo devedor anual; e) IOF de l% sobre o valor total do financiamento (prin- cipal + encargos), pago no ato; f) amortizac¸o˜es semestrais constantes; g) prazo total de quatro anos e meio. Construir a planilha do financiamento. 7. Uma dı´vida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada, atrave´s do SAC em 12 prestac¸o˜es anuais, a` taxa de 20% ao ano. Calcule o saldo devedor apo´s ter sido paga a oitava pres- tac¸a˜o. Resposta: R$ 200.000,00. 8. Um banco de desenvolvimento empresta sob as seguintes condic¸o˜es: a) taxa nominal de juros de 6% ao ano com capitalizac¸a˜o semestral; b) prestac¸o˜es semestrais, sem careˆncia; 164 C E D E R J A U LA 12 1 M O´ D U LO 1 c) Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC ou Sis- tema Franceˆs de Amortizac¸a˜o. Pede-se: para um empre´stimo de R$ 12.000,00, qual seria o valor da primeira prestac¸a˜o pelo SAC se, pelo Sistema Franceˆs, as prestac¸o˜es sa˜o iguais a R$ 1.406,77? Resposta: R$ 1.560,00. 9. Um imo´vel no valor de R$ 500.000,00 foi financiado por um banco em 180 meses. A taxa de juros cobrada nesse tipo de financiamento e´ de 1% ao meˆs e a amortizac¸a˜o pode ser efetuada tanto pelo SAC - Sistema de Amortizac¸a˜o Constante como pelo SAF – Sistema de Amortizac¸a˜o Fran- ceˆs. Determinar em que momento os valores das prestac¸o˜es apuradas pelos dois sistemas tornam-se iguais. Resposta: Por volta da 65a¯ prestac¸a˜o (k = 64,96976). 10. A fim de expandir seus nego´cios, uma pessoa consegue um financiamento de R$ 300.000,00, nas seguintes condi- c¸o˜es: a) taxa de juros de 8% ao ano com capitalizac¸a˜o se- mestral; b) amortizac¸o˜es pelo SAC com pagamentos semestrais; c) prazo de amortizac¸a˜o: 5 anos. Determine os juros pagos na de´cima prestac¸a˜o. Resposta: R$ 1.200,00. � � Autoavaliac¸a˜o Voceˆ conseguiu resolver todos os exercı´cios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, enta˜o voceˆ entendeu os conceitos e as te´cnicas de resoluc¸a˜o dos problemas que en- volvem o Sistema de Amortizac¸a˜o Constante. Se na˜o con- seguiu, na˜o desista, volte a` aula e reveja os conceitos e exem- plos. Na˜o deixe que suas du´vidas se acumulem. Procure dirimi-las com os colegas do po´lo e tambe´m com os tutores. C E D E R J 165
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