anuidades-e-sistemas-de-amortizacao

Prévia do material em texto

RECEITA FEDERAL
Pré-edital
MATEMÁTICA FINANCEIRA
ANUIDADES E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Livro Eletrônico
2 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Sistemas de Amortização .............................................................................3
Introdução ................................................................................................3
1. Conceitos Básicos ...................................................................................3
1.1. Período de Carência ............................................................................14
2. Sistema de Amortização Americano .........................................................15
3. Sistema de Amortização Francês .............................................................17
3.1. Valor Presente e Valor Futuro ...............................................................19
3.2. Fator A de Amortização .......................................................................21
3.3. Exemplo de Sistema Francês ...............................................................22
3.4. Saldo Devedor ...................................................................................36
4. Sistema de Amortização Constante (SAC) ................................................66
4.1. Exemplo de Sistema SAC ....................................................................77
5. Sistema de Amortização Misto .............................................................. 105
Questões de Concurso ............................................................................. 111
Gabarito ................................................................................................ 135
Gabarito Comentado ............................................................................... 136
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
C
U
R
SO
S 
PA
R
A
CO
N
C
U
R
SO
S
divisão
de custos
ClIqUe PaRa InTeRaGiR
Facebook
Gmail
Whatsapp
https://bit.ly/2YPHtuM
https://bit.ly/2Bn5D7P
mailto:materialconcursosone@gmail.com?subject=Oi.%20Desejo%20informa%C3%A7%C3%B5es%20sobre
3 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Introdução
Olá, aluno(a), tudo bem? Seja bem-vindo(a) a mais uma aula do nosso curso 
de Matemática Financeira.
Gostaria de repetir meus contatos para que você possa tirar suas dúvidas.
Nesta aula, falaremos sobre um dos assuntos mais recorrentes em provas, prin-
cipalmente em certames de alto nível, como a Área Fiscal e de Controle: Sistemas 
de Amortização.
Algumas bancas, como CESPE e FCC, são realmente aficionadas por questões 
sobre Amortização. Por isso, é necessário dar enorme atenção a este assunto.
São muito comuns questões cobrando todos os aspectos – seja a composição 
das parcelas, seja o comportamento do saldo devedor.
Portanto, este material abordará o assunto em todas as suas minúcias, para que 
você esteja preparado para certames extremamente rigorosos.
De modo a ajudar na sua compreensão da matéria, foi preparada uma planilha 
por meio da qual é possível simular os diversos sistemas de amortização ensinados 
nesta aula.
Clique aqui e baixe a sua planilha de sistemas de amortização
1. Conceitos Básicos
No mundo moderno, o crédito – ou seja, tomar dinheiro emprestado – é essen-
cial para o progresso de uma sociedade.
Imagine que você tenha passado no concurso público dos seus sonhos e resol-
vido montar um plano financeiro para sua aposentadoria.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://drive.google.com/open?id=1tjCKDuHcto9HEnVc0at_LwvjnVIJRAnB
4 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Para tanto, você poupa mensalmente certa quantia. Você será um chamado 
poupador.
A Equipe Gran Cursos, por sua vez, preocupada com a melhoria da qualidade 
do serviço público brasileiro, deseja montar um novo estúdio, com tecnologia de 
ponta.
Como já explicamos quando tratamos de preferência temporal, tal preferência, 
para a Equipe Gran Cursos, é alta, pela necessidade imediata de dinheiro para 
construir o estúdio. Já você tem baixa preferência temporal, pois não precisa do 
dinheiro neste momento. Está pensando principalmente no seu futuro.
O que vai acontecer, portanto, é que a Equipe Gran Cursos tomará um crédito, 
ou seja, um valor emprestado de você para construir um estúdio.
É interessante notar que, ao contrário do que imaginamos, a maior parte do 
crédito flui das classes baixas para as grandes empresas.
Principalmente nos países desenvolvidos, a classe baixa e a classe média ten-
dem a ser bastante poupadoras e investem para o futuro. Os ricos, por sua vez, 
tendem a arriscar bastante e tomam crédito para abrir empresas.
Além disso, é importante destacar que pessoas ricas têm maior facilidade de 
quitar suas dívidas caso o empreendimento para o qual tomaram crédito falhe.
Infelizmente, aqui no Brasil, há uma cultura de endividamento das classes mais 
baixas. Isso tem consequências graves, pois faz com que o crédito custe caro – é 
por isso que os juros no Brasil são tão elevados.
De qualquer maneira, quando a Equipe Gran Cursos tomar um crédito, certa-
mente consultará o seu professor de Matemática Financeira, que, além de profes-
sor, é também analista de investimentos.
O seu parecer será bem claro.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
5 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
“Os juros compostos são a maior força da natureza. Se você deixar os 
juros se acumularem com o tempo, vai ser impossível pagá-los. ”
Sim. Os juros compostos se acumulam rapidamente e consumiriam rápido todo 
o seu patrimônio.
Vejamos o que aconteceria se a Equipe Gran Cursos financiasse R$100000 em 10 
anos a uma taxa de juros módica de 15% ao ano.
Percebeu como a dívida cresceu? O efeito do tempo no acúmulo de juros com-
postos é devastador.
Por isso, uma ideia inteligente é quitar a dívida aos poucos, de modo a evitar 
o acúmulo de juros. O tomador de empréstimos, consequentemente, com frequên-
cia optará por fazer amortizações da dívida.
É para isso que existem os pagamentos periódicos de uma dívida, como quan-
do você compra um carro parcelado em 24 meses: você está fazendo pagamentos 
periódicos.
De maneira geral, podemos dizer que um pagamento é composto por três par-
tes:
• Juros: correspondem ao efeito do tempo sobre uma dívida. No caso de um 
sistema de amortização, os juros são capitalizados a cada período de paga-
mento – isto é, a cada mês, se os pagamentos forem mensais. A expressão 
da capitalização é nossa velha conhecida, mas não custa relembrar.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
6 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
É importante destacar que esse é o valor mínimo a ser pago para evitar que a 
dívida cresça.
Suponha que você tenha comprado seu primeiro imóvel e financiado R$400000 
a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Se a primeira parcela vai ser paga daqui a 1 
mês, os juros incidentes sobre ela serão:
Portanto, depois de 1 mês, sua dívida terá crescido em R$6000. Esse é, portan-
to, o valor mínimo que você deverá pagar para evitar que sua dívida seja sempre 
crescente.
Para entender melhor essa situação, vejamos dois exemplos. No primeiro, você 
pagará uma parcela de R$4000 e, no segundo, de R$8000.
Figura1. Incidência de juros sobre um empréstimo.
Na situação 1, os juros fazem sua dívida crescer em R$6000; ela passaria a ser 
de R$406000. No entanto, houve um pagamento de R$4000, pelo que parte desse 
crescimento foi atenuado para R$402000. Nessa situação, houve apenas paga-
mento de juros, não houve amortização.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
7 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Se o pagamento realizado é inferior aos juros, o saldo devedor será sempre cres-
cente.
Por outro lado, na situação 2, aconteceu uma amortização que será explicada 
logo a seguir.
• Amortização: corresponde ao abatimento do principal de uma dívida. O ob-
jetivo da amortização é diminuir o poder de produção de juros dessa dívida 
com o passar do tempo, de modo que os juros não se acumulem e que o saldo 
devedor diminua com o tempo até chegar a zero, momento em que a dívida 
está completamente quitada.
Na situação 2 da Figura 1, a dívida foi amortizada no valor de R$2000. Por isso, 
o saldo devedor diminuiu em R$2000, atingindo R$398000.
Podemos extrair duas relações importantes a respeito da amortização:
Nessa equação, P representa o pagamento efetuado. Todo pagamento é com-
posto por um cupom de juros (J). O que sobra, em geral, é o valor da amortização. 
Dizemos em geral porque pode haver a incidência de outros encargos, que serão 
comentados adiante.
A segunda relação importante é que a amortização representa a diminuição do 
saldo devedor:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
8 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
• Outros encargos: embora não sejam tão comuns em provas de concurso, 
são extremamente comuns na vida real. Os outros encargos correspondem a 
outros valores cobrados pelos bancos para fazer um financiamento:
 – seguros: normalmente opcionais, servem para garantir que você poderá 
quitar a dívida caso perca suas principais fontes de renda;
 – taxas bancárias: são cobradas pelos bancos em razão da abertura de uma 
conta ou mesmo de uma linha de financiamento. Essas taxas são as formas 
mais simples de esconder o custo elevado de um empréstimo. Serão mais 
bem-estudadas quando falarmos sobre o cálculo financeiro do custo efetivo 
total de uma transação;
 – impostos: em alguns casos, pode haver a incidência de impostos a cargo 
do tomador, como o IOF, sobre uma operação de financiamento.
É importante que você saiba que as expressões que serão deduzidas para o 
Sistema de Amortização Francês e o Sistema de Amortização Constante não levam 
em consideração a incidência de outros encargos. Portanto, caso existam, deverão 
ser somados à parcela calculada.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
9 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Figura 2. Composição de uma parcela de empréstimo ou financiamento.
Vamos fixar esses conceitos com questões de prova.
Questão 1 (ESAF/2008 /ISS-RN) Uma pessoa faz a aquisição de um imóvel ao 
valor global de R$200000,00 e pagará esta dívida com uma taxa de juros de 10% 
a.a., em um prazo determinado. A parcela mensal prevista é de R$1500,00. Caso 
haja saldo residual, efetuará o devido pagamento ao final deste período. Despre-
zando a figura da correção monetária, podemos afirmar que, neste caso:
a) se o prazo de pagamento for superior a 100 (cem) meses, não haverá saldo 
devedor.
b) independente do prazo, sempre haverá saldo devedor e este é crescente.
c) ao final de 100 (cem) meses, o saldo devedor é de R$50000,00 (valor arredon-
dado na unidade de milhar – critério de arredondamento universal).
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
10 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
d) se a capitalização dos juros for mensal, o saldo devedor ficará zerado após 240 
meses de pagamento.
e) se a capitalização dos juros for anual, o saldo devedor ficará zerado após 240 
meses de pagamento.
Letra b.
Como os pagamentos são mensais e a taxa de juros é anual, tem-se que essa taxa 
é nominal. Portanto, o primeiro passo é calcular a taxa de juros efetiva do emprés-
timo:
Podemos agora calcular o valor do cupom de juros referente à primeira parcela:
Observe que os juros são maiores do que o valor da própria parcela paga. Portan-
to, ao pagar R$1500,00, o cliente não consegue amortizar o empréstimo. o saldo 
devedor será, assim, sempre crescente.
Questão 2 (CESPE/2017/TCE-PE ) Situação hipotética: uma instituição finan-
ceira emprestou a uma empresa R$100000, quantia entregue no ato, sem prazo de 
carência, a ser paga em cinco prestações anuais iguais, consecutivas, pelo Sistema 
de Amortização Francês. A taxa de juros contratada para o empréstimo foi de 10% 
ao ano, e a primeira prestação deverá ser paga 1 ano após a tomada do emprés-
timo.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
11 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Assertiva: se o valor das prestações for de R$26380, a soma total dos juros que 
deverão ser pagos pela empresa, incluídos nas cinco parcelas do financiamento, 
é inferior a R$31500.
Errado.
No final das cinco parcelas, o empréstimo será totalmente quitado, ou seja, total-
mente amortizado. Sendo assim:
Por outro lado, foram pagos:
Sendo assim, o valor dos juros pagos será:
Questão 3 (CESPE/2016/TCE-SC ) Um banco emprestou R$30000, entregues no 
ato, sem prazo de carência, para serem pagos pelo Sistema de Amortização Fran-
cês, em prestações de R$800. A primeira prestação foi paga 1 mês após a tomada 
do empréstimo, e o saldo devedor, após esse pagamento, era de R$ 29650. Nessa 
situação, a taxa de juros desse empréstimo foi inferior a 1,8%.
Certo.
Apesar de ter sido fornecido que o empréstimo segue o Sistema de Amortização 
Francês, esse dado é irrelevante, pois a conta a ser feita é a mesma.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
12 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Os juros que incidem na primeira parcela (paga 1 mês após a contração da dívida) 
são dados por:
Sabemos que:
Portanto, podemos calcular a taxa de juros mensal:
A Questão 1 mostra um fenômeno pouco compreendido a respeito dos juros.
É relativamente comum que os jovens tenham o sonho de comprar sua casa 
própria tão logo comecem a trabalhar regularmente.
Assim, esperam “se livrar do aluguel”. O motivo dessa preocupação extrema-
mente racional é mais bem-explicado pela Contabilidade.
No âmbito da Contabilidade, os juros e a amortização são tratados de maneira 
diferente.
Tabela 1. Tratamento Contábil de Juros e Amortização.
Consiste em
Contabilidade
pública
Contabilidade geral
Amortização
Pagar o principal, de modo a
diminuir o crescimento
dos juros
Receita ou 
despesa de capital
Liquidação de um passivo ou
conversão de um ativo em caixa
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
13 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Pagamento
de Juros
Paga apenas os juros
Receita ou 
despesa correnteDespesa ou receita
A Tabela 1 é muito valiosa. Dependendo dos concursos que você pretende pres-
tar ao longo de sua carreira como concurseiro, ela pode servir para três matérias. 
Com certeza será útil para a vida financeira.
Quando você paga um aluguel, está assumindo uma despesa efetiva (no âmbito 
da Contabilidade Geral) ou uma despesa corrente (no âmbito da Contabilidade Pú-
blica). Essa despesa diminui seu patrimônio líquido, ou seja, sua riqueza.
Bem diferente do que aconteceria se você tivesse R$400000 e comprasse um 
apartamento à vista. Nesse caso, isso nem mesmo seria uma despesa para a Con-
tabilidade Geral, seria apenas a conversão de um ativo (caixa) em outro ativo 
(imóvel). Para a Contabilidade Pública, essa compra seria uma despesa de capital, 
aquela que contribui para a formação de um bem de capital.
Sendo assim, ao comprar um apartamento à vista, você não diminui seu pa-
trimônio líquido.
O problema é que, ao comprar um apartamento financiado, você pagará juros, 
os quais também configuram despesas efetivas ou correntes.
No caso da Questão 1, você paga uma parcela todo mês, mas nada daquilo 
contribui para o seu patrimônio. Pior ainda, seu saldo devedor é sempre crescente.
Em Recife, é relativamente fácil alugar um apartamento de R$400000 por R$1600 
ao mês. Por isso, nunca vi muito sentido em comprar meu próprio imóvel.
Sem falar que, caso eu precise me mudar, é muito mais fácil simplesmente rom-
per o contrato de aluguel e alugar outro apartamento do que ter que lidar com um 
imóvel próprio.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
14 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Não pense que estou dizendo tudo isso para fazer você desistir de comprar seu 
imóvel. Estou apenas mostrando o poder que esses conceitos básicos de Matemá-
tica Financeira possuem e como podem mudar sua maneira de lidar com dinheiro.
A matemática não serve para ser decorada. Deve ser realmente aprendida e 
vivida.
1.1. Período de Carência
Quando você vai ao banco pedir um financiamento, é comum ser oferecido o 
chamado período de carência, o qual corresponde ao tempo em que o empréstimo 
é pago mediante condição especial.
São comuuns anúncios de concessionárias dizendo: “compre seu carro agora e 
pague a primeira prestação só daqui a 3 meses.” Esse período de 3 meses é o pe-
ríodo de carência.
É importante deixar claro que a carência não é nenhuma benesse por parte do 
ofertante do empréstimo.
Durante o período de carência, os juros continuam acumulando por meio da dinâ-
mica de juros compostos.
É preciso tomar cuidado em financiamentos com períodos de carência. É relati-
vamente fácil você se complicar e ver sua dívida crescer exponencialmente.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
15 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Existem duas situações muito importantes:
• carência sem pagamento de juros: durante o período de carência, não é 
feito nenhum pagamento. Por isso, a dívida cresce normalmente por meio de 
juros compostos;
• carência com pagamento de juros: durante o período de carência, o to-
mador do empréstimo paga periodicamente o cupom de juros associado ao 
empréstimo, de modo a evitar que seu saldo devedor seja crescente.
Ambas as situações podem ser cobradas em provas de concurso. No entanto, 
você precisará estudar os sistemas de amortização primeiro, para entender como 
calcular a parcela. Passaremos agora ao estudo desses sistemas.
2. Sistema de Amortização Americano
O Sistema de Amortização Americano é muito usado por empresas nascentes – 
que possuem donos arrojados – e pelo governo no pagamento de suas dívidas (os 
títulos públicos com cupom).
Consiste em realizar o pagamento mínimo de juros, de modo a manter o saldo 
devedor estacionado. Já vimos que esse cupom é dado por:
Convém destacar que esse cupom deve ser calculado de um período de capitali-
zação para o próximo. Portanto, quando a taxa de juros estiver na mesma unidade 
do tempo, o valor de t sempre será t = 1.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
16 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Ao fim do período correspondente ao empréstimo, a dívida é paga integralmen-
te, junto com o último cupom de juros. Essa situação pode ser representada esque-
maticamente pela Figura 3.
Figura 3. Sistema de Amortização Americano.
O grande objetivo do Sistema Americano é evitar que a dívida cresça fazendo o 
menor pagamento mínimo.
Um exemplo é citado pelo empreendedor Flávio Augusto da Silva, dono da Wise 
Up. Flávio conta que abriu a Wise Up com R$20000 tomados emprestados de seu 
cheque especial a juros de 12% ao mês.
Consciente de que essa taxa de juros era muito alta, Flávio sempre se preocupou 
em pagar os juros mensalmente, de modo a evitar que a dívida crescesse.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
17 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Após abrir a segunda turma de sucesso, Flávio quitou sua dívida com o banco. 
A companhia cresceu e, atualmente, é um dos maiores franqueadores de escolas 
de inglês do Brasil.
Questão 4 (TFC/INÉDITA) Uma empresa recorreu ao mercado de títulos para 
conseguir um financiamento de R$500000,00. Foi acordado que ela pagaria 12 
cupons semestrais de R$50000,00 e, junto com o último pagamento, restituiria o 
valor de R$500000,00. Sendo assim, a taxa de juros nominal paga pela empresa 
no financiamento foi de 20% ao ano.
Certo.
O cupom de juros é calculado por:
Como a questão pediu a taxa nominal anual, ela deve ser calculada usando o con-
ceito de taxa de juros proporcional. Como 1 ano é igual a 2 semestres, tem-se:
3. Sistema de Amortização Francês
Esse é o sistema mais comum e conhecido. O Sistema Francês é baseado em 
algumas regras que precisam ser muito bem-memorizadas. A fórmula que será 
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
18 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
deduzida mais adiante leva em consideração todas essas condições. Caso alguma 
questão de prova mude uma delas, é preciso tomar cuidado na hora de aplicá-la:
• o primeiro pagamento é realizado um período após contrair a dívida;
• enquanto a dívida não é paga, é atualizada por juros compostos;
• as parcelas são uniformes e constantes.
Figura 4. Esquema do Sistema Francês.
Perceba a diferença entre o Sistema Francês e o Americano. Nesse último, ocor-
re um pagamento diferente ao fim, quando o capital inicial tomado emprestado é 
integralmente devolvido junto com o último cupom de juros.
Por outro lado, no Sistema Francês, a última parcela não se difere das demais. 
Todas são absolutamente iguais.
Além disso, é importante dizer que ocorre amortização em todas as parce-
las no Sistema Francês, como será visto mais adiante.
É muito comum, em provas de concurso, a utilização dos sinônimo Tabela Price 
ou Sistema Price para o Sistema Francês.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
19 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
3.1. Valor Presente e Valor Futuro
Quando se tem uma série de pagamentos uniformes,tem-se que o capital inicial 
da dívida é equivalente ao valor presente da série de pagamentos. Esse con-
ceito é bastante explorado em problemas.
Outro conceito bastante importante é o valor futuro. Considerando um des-
conto composto, o valor futuro das parcelas é igual ao valor futuro do próprio ca-
pital inicial da dívida.
Com base nisso, podemos facilmente relacionar o valor presente da dívida e as 
parcelas de sua série de pagamentos.
Esse valor futuro pode ser calculado levando cada uma das parcelas a valor fu-
turo. Para isso, precisamos fazer diversas operações de juros compostos.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
20 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Podemos escrever:
Temos, assim, que o valor futuro (VF) é a soma de uma PG com as seguintes 
características:
Sabemos que a soma da PG é dada por:
Vimos, também, a relação entre o valor futuro e o valor presente:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
21 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
3.2. Fator A de Amortização
A expressão que acabamos de deduzir é de suma importância, porque permite 
relacionar a dívida e suas correspondentes parcelas. De quebra, ainda podemos 
utilizá-la para calcular o valor presente de uma série de pagamentos – o que pode 
ser exigido em questões avançadas sobre investimentos.
Vamos repetir a expressão:
O termo (lê-se “n cantoneira i”) é conhecido como fator A de amortização.
É importante que você saiba como escrever o fator A:
A expressão à direita pode ser obtida a partir da esquerda simplesmente efetu-
ando a divisão por (1+i)n tanto no numerador quanto no denominador.
Existem várias questões de prova explorando ambas as expressões do fator A. 
Por isso, é importante saber ambas.
Você decidirá que expressão será utilizando de acordo com o que for mais fácil 
de calcular na hora prova. Considere, principalmente, as aproximações fornecidas 
pelo enunciado.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
22 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
É muito comum que a banca forneça aproximações para uma potência. Por 
exemplo, se for fornecido que , provavelmente a banca está espe-
rando que a expressão da esquerda seja utilizada.
Por outro lado, caso seja fornecido , provavelmente deverá ser 
usada a expressão da direita, que tem (1+i)-n.
Tudo isso ficará mais fácil com exemplos e exercícios.
3.3. Exemplo de Sistema Francês
Suponha que você tenha comprado um carro por R$50000,00, pagando 50% 
de entrada. O restante vai ser pago por meio do Sistema de Amortização Francês a 
juros de 3% ao mês. Dessa maneira, o valor financiado será R$25000.
Com o auxílio de uma planilha de Excel, fizemos o cálculo das prestações e da 
sua composição – em juros e amortização.
As parcelas calculadas são de R$1476,19. O comportamento dos juros e da 
amortização ao longo das 24 parcelas é o seguinte:
Figura 5. Composição das parcelas de um sistema francês em 24 parcelas.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
23 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Observe que, no início, os juros consomem cerca de 50% do valor da dívida. 
À medida que o saldo devedor vai sendo amortizado, o poder da dívida de gerar 
juros diminui. Por isso, a amortização cresce à medida que prossegue o financia-
mento.
Esse conhecimento é muito importante para se entender a dinâmica desse sis-
tema de amortização.
Vejamos agora o que acontece quando o número de parcelas aumenta para 48. 
Nesse caso, a parcela calculada é de R$989,44.
Figura 6. Comportamento dos juros e da amortização em 48 parcelas.
Nesse caso, nas primeiras parcelas, os juros consomem quase 80% de todo o 
valor pago.
Em razão disso, quando o número de parcelas, no Sistema Francês, é maior, 
o valor delas não diminui muito, pois praticamente todo o valor a ser pago nas pri-
meiras parcelas corresponde a juros.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
24 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Podemos, ainda, plotar os juros pagos no total do financiamento em função do 
número de parcelas. Você notará que eles crescem muito rapidamente.
Figura 7. Total de juros pagos no Sistema Francês em função do número de parcelas.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
25 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
A planilha utilizada para realizar essas simulações está disponível no link a se-
guir. Você poderá, assim, criar suas próprias simulações utilizando o Sistema de 
Amortização Francês, o que ajudará bastante na compreensão de seu funciona-
mento.
Clique Aqui e baixe a sua Planilha de Sistemas de Amortização
A seguir são oferecidas algumas questões de prova.
Questão 5 (IADES/2017/FUNDAÇÃO HOMOCENTRO DE BRASÍLIA-DF/CONTA-
BILIDADE) Denominam-se Sistemas de Amortização as diferentes formas de de-
volução de um empréstimo. Acerca da Tabela Price (ou Sistema de Amortização 
Francês), é correto afirmar que:
a) as prestações, em geral, são decrescentes, uma vez que a amortização é fixa e 
os juros, decrescentes.
b) os juros são crescentes nas prestações.
c) a amortização é crescente, os juros são decrescentes e as parcelas são fixas.
d) a amortização é decrescente e os juros são crescentes, uma vez que as parcelas 
são fixas.
e) a Tabela Price é utilizada exclusivamente para financiamento de veículos.
Letra c.
Esta é uma questão teórica muito interessante para se entender o Sistema de 
Amortização Francês (ou Tabela Price). Nesse sistema, as parcelas são fixas e o 
saldo devedor, decrescente. Portanto, os juros pagos também são decrescentes.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://drive.google.com/open?id=1tjCKDuHcto9HEnVc0at_LwvjnVIJRAnB
26 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Como os juros decrescem, mas as parcelas são fixas, tem-se que a amortização é 
crescente a cada pagamento.
Questão 6 (CESPE/2009/TCE-AC) Uma pessoa comprou um veículo pagando uma 
entrada, no ato da compra, de R$3500,00, e mais 24 prestações mensais, conse-
cutivas e iguais a R$750,00. A primeira prestação foi paga 1 mês após a compra 
e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como 
valor aproximado para 1,025-24, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, 
do veículo foi:
a) inferior a 16.800.
b) superior a 16.800 e inferior a 17.300.
c) superior a 17.300 e inferior a 17.800.
d) superior a 17.800 e inferior a 18.300.
e) superior a 18.300.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
27 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Letra b.
Neste problema, temos uma ligeira alteração do Sistema Francês.
Observe que podemos dividir essa série de pagamentos em duas partes:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
28 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
O valor presente total do carro será dado por:
A parte C2 é trivial de calcular.
Por sua vez, a parte C1 pode também ser calculada pela expressão do Sistema de 
Amortização Francês:
Como foi fornecida a aproximação para 1,025-24, o fator A de amortização deve ser 
calculado pela expressão:
Podemos agora calcular o capital C1 correspondente à parte que foi parcelada:
Dessa maneira, a pessoa pagou R$3500 à vista e R$13500 financiados em 18 vezes 
de R$750. O preço à vista do carro (ou seja, seu valor presente) é, portanto:
(CESPE/2008/BB/ESCRITURÁRIO) Julgue o item a seguir, relacionado a emprésti-
mos e financiamentos, considerando, em todas as situações apresentadas, que o 
regime de juros praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, e toman-
do 1,3 como valor aproximado para 1,0212.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
29 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Questão 7 Caso um imóvel no valor de R$120000,00 seja financiado em 12 pres-
tações mensais e consecutivas, tendo como base o Sistema de Amortização Fran-
cês, nesse caso, para a composição da primeira prestação, o valor de amortização 
será superior a R$7800,00.
Errado.
Esta é uma questão bastante direta. O valor da parcela é calculado por:
Como foi fornecida a aproximação para 1,0212, o fator A de amortização será cal-
culado pela expressão:
Dessa maneira, podemos calcular a parcela francesa:
Para calcular a amortização pedida pela questão, devemos calcular os juros que 
incidem sobre a primeira parcela.
Podemos, agora, calcular a amortização na primeira prestação:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
30 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Questão 8 (CESPE/2015/TCE-RN/INSPETOR–ADMINISTRAÇÃO, CONTABILIDA-
DE, DIREITO OU ECONOMIA) Situação hipotética: um empréstimo de R$18000 
foi quitado, com base no Sistema de Amortização Francês — Tabela Price —, em 10 
prestações mensais, consecutivas e iguais, à taxa de juros de 24% ao ano, tendo a 
primeira prestação sido paga 1 mês após a contratação do empréstimo.
Assertiva: Nessa situação, se 0,82 tiver sido considerado o valor aproximado de 
1,02-10, então o valor da prestação foi superior a R$1950.
Certo.
Começaremos convertendo a taxa de juros nominal em efetiva.
A relação entre a parcela e a dívida adquirida é dada pelo fator A de amortização. 
Levando em conta a aproximação fornecida, utilizaremos a seguinte expressão:
Podemos agora calcular o valor da prestação:
Questão 9 (CESPE/2012/TCE-ES/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Uma em-
presa, com o objetivo de captar recursos financeiros para ampliação de seu mer-
cado de atuação, apresentou projeto ao Banco Alfa, que, após análise, liberou 
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
31 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
R$1000000,00 de empréstimo, o qual deverá ser quitado em 12 parcelas mensais, 
a juros nominais de 18% ao ano, capitalizados mensalmente.
Considerando-se a quitação do empréstimo pelo sistema Price e que 10,90 seja va-
lor aproximado para , é correto afirmar que o valor de cada parcela será 
superior a R$90000,00.
Certo.
A fim de calcular as parcelas, devemos obter o fator de amortização para o emprés-
timo. Tendo em mente a aproximação que foi fornecida, devemos utilizar a seguinte 
expressão:
Podemos agora calcular as parcelas:
Questão 10 (CESPE/2009/TCU/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Uma dívida 
foi paga em 10 prestações mensais consecutivas, tendo a primeira prestação sido 
paga 1 mês após a contratação da dívida. O credor cobrou uma taxa de juros com-
postos mensais de 7% e a prestação paga mensalmente foi de R$1000,00. Nessa 
situação, tomando 0,51 como valor aproximado de 1,07-10, julgue o item abaixo.
A dívida em questão era superior a R$6800,00.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
32 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Certo.
A relação entre a dívida adquirida e a parcela financiada é dada pelo fator de amor-
tização. Tendo em vista a aproximação fornecida, devemos calculá-lo da seguinte 
maneira:
Podemos agora obter o valor da dívida inicialmente adquirida:
Questão 11 (VUNESP/2013/SEFAZ-SP) Uma loja cobra 5% ao mês de juros nas 
vendas a prazo. Um eletrodoméstico é vendido em 3 prestações de R$420,00, sen-
do a primeira parcela paga no ato da compra. Isso significa que seu preço à vista 
é de, aproximadamente:
a) R$1184,00.
b) R$1260,00.
c) R$1140,00.
d) R$1200,00.
e) R$840,00.
Letra d.
É importante destacar que a primeira parcela foi paga no ato da compra, não se 
confugurando, portanto, transação pelo Sistema de Amortização Francês.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
33 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
No entanto, podemos calcular o valor presente das parcelas simplesmente descon-
tando todas elas a valor presente:
Questão 12 (ESAF/2010/CVM/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS) Um finan-
ciamento no valor de R$100000,00 possui uma carência de 18 meses, incidindo 
sobre o valor financiado, nesse prazo, uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. 
Calcule o valor mais próximo do saldo devedor ao fim do prazo de carência.
Dado: (1,01)18 = 1,196147
a) R$100000,00.
b) R$112000,00.
c) R$112683,00.
d) R$119615,00.
e) R$118000,00.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
34 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Letra d.
A ESAF poderia ter sido mais incisiva nesse ponto, cobrando realmente um Sistema 
de Amortização Francês com a carência desejada.
Devemos lembrar que, durante o período de carência, os juros se acumulam nor-
malmente, seguindo a dinâmica de juros compostos. Trata-se, portanto, de uma 
mera questão de juros compostos.
O montante acumulado da dívida após o período de carência é dado por:
Para exemplificar a situação, pense no seguinte: você contraiu uma dívida no dia 
1º de janeiro de 2018. Com os 18 meses de carência, você só começará a pagar 18 
meses depois, ou seja, no dia 31 de Julho de 2019. Caso não houvesse carência, 
você já pagaria a primeira prestação no dia 31 de Janeiro de 2018.
Questão 13 (ESAF/2010/CVM/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS–ADAPTA-
DA) Um financiamento no valor de R$100000,00 foi financiado em 18 parcelas. 
O tomador do empréstimo possui a opção por uma carência de 18 meses. A taxa 
de juros compostos no empréstimo é de 1% ao mês. Calcule a diferença entre as 
prestações a serem pagas caso ele opte pela carência e caso não opte.
Dados: (1,01)18 = 1,196147 e (1,01)-18 = 0,836
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
35 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
R$1196
Algo bom em ser professor é que, ao perceber que algo ficou faltando em uma 
questão,é possível simplesmente criar uma questão nova e apresentar aos alunos 
mais um ponto interessante da matéria.
Caso o tomador do empréstimo opte pela carência, já vimos que o montante acu-
mulado após o período de carência é de:
Como esse montante será financiado em 18 prestações mensais a uma taxa de 1% 
ao mês, podemos calcular a parcela envolvida pelo fator A de amortização. Note-
mos que foi fornecida a aproximação para (1,01)-18.
Podemos agora calcular as parcelas envolvidas no financiamento. Denotaremos por 
P1 as parcelas com a carência de 18 meses.
Por outro lado, caso o cliente não opte por usar o prazo de carência, deverá come-
çar a pagar imediatamente as prestações. O capital inicial da dívida, porém, será 
menor (R$100000), pois não será atualizado por juros compostos. Denotaremos 
por P0 as parcelas sem a carência.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
36 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Vale destacar que o fator de amortização é o mesmo calculado anteriormente, por-
que a taxa de juros e o número de pagamentos são iguais em ambos os casos.
Observe que o uso da carência aumentou significativamente as parcelas. A diferen-
ça pedida pelo enunciado foi de:
3.4. Saldo Devedor
Questões sobre saldo devedor no Sistema de Amortização Francês são comuns.
De maneira geral, podemos usar a expressão que já vimos para o decaimento 
do saldo devedor.
Contudo, em questões mais complexas, que pedem, por exemplo, saldo deve-
dor após 15 pagamentos, seria muito difícil calcular 15 amortizações para fazer 
essa conta.
Com essa finalidade, uma propriedade muito interessante do Sistema Francês 
pode ser utilizada: quando pegamos o saldo devedor depois de alguns pagamentos, 
tal saldo também corresponde a um Sistema de Amortização Francês (destacado 
em um quadrado pontilhado).
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
37 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Figura 8. O saldo devedor também é um Sistema de Amortização Francês.
Na Figura 8, vemos que o saldo devedor é o valor presente das parcelas que 
ainda faltam, podendo ser calculado pela mesma expressão do Sistema Francês 
vista na Seção 3.2.
Outro ponto que devemos ter em mente é que, no Sistema Francês, os juros são 
sempre calculados em relação ao saldo devedor do mês anterior. Isso ficará claro 
nas próximas questões.
(CESPE/2011/BRB/ESCRITURÁRIO) Tendo em vista que um empréstimo no valor 
de R$32000,00, entregue no ato, sem prazo de carência, será amortizado pelo 
sistema Price, à taxa de juros de 60% ao ano, em 8 prestações mensais e conse-
cutivas, e considerando 0,68 e 1,80 valores aproximados para 1,05-8 e 1,0512, res-
pectivamente, julgue os itens subsequentes.
Questão 14 A amortização correspondente à primeira prestação será superior a 
R$3500,00.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
38 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Errado.
Quando se tem uma taxa de juros nominal, deve-se primeiramente transformá-la 
em efetiva, usando a proporcionalidade.
Podemos agora calcular a parcela francesa:
O fator A deve ser calculado pela expressão:
Podemos então calcular a parcela francesa:
Calculamos também os juros incidentes na primeira parcela:
Portanto, a amortização na primeira parcela será:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
39 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Questão 15 Se o saldo devedor após o pagamento de segunda prestação for de 
R$25030,00, então o saldo devedor após o pagamento da terceira prestação será 
inferior a R$21250,00.
Errado.
A questão 15 parece estranha, porque, com base na questão 11, poderíamos cal-
cular o valor real do saldo devedor após a segunda parcela. Contudo, de qualquer 
maneira, podemos calcular os juros incidentes nessa parcela com base no que foi 
fornecido pelo enunciado.
Calculamos também a amortização:
Portanto, podemos calcular o saldo devedor:
Questão 16 (FCC/2015/SEFAZ-PI/ANALISTA DO TESOURO ESTADUAL) Uma dí-
vida no valor de R$20000,00 vai ser paga em 30 prestações mensais, iguais e con-
secutivas, vencendo a primeira prestação 1 mês após a data de formação da dívida. 
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
40 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Utilizou-se o Sistema de Amortização Francês com uma taxa de 2% ao mês. Pelo 
quadro de amortização, obtém-se que o saldo devedor imediatamente após o pa-
gamento da primeira prestação é de R$19507,00. O valor da cota de amortização 
incluído no valor da segunda prestação é de:
a) R$502,86.
b) R$512,72.
c) R$522,58.
d) R$532,44.
e) R$542,30.
Letra a.
Como foi fornecido o valor do saldo devedor após o pagamento da primeira presta-
ção, podemos conhecer a amortização.
Também é possível calcular os juros incidentes na primeira prestação pelo capital 
inicial da dívida.
Podemos agora calcular as parcelas.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
41 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
É possível, portanto, calcular os juros incidentes na segunda prestação, lembran-
do que esses juros devem ser calculados em relação ao saldo devedor no mês 1, 
o qual foi fornecido (R$19507).
Por fim, podemos calcular a amortização na segunda parcela.
Para facilitar o seu entendimento, veja o esquema referente a esta questão:
Questão 17 (IADES/2014/METRÔ-DF/CONTADOR) Um financiamento no valor 
de $50000 foi contratado pelo Sistema de Amortização Francês (SAF) para ser 
liquidado em 10 parcelas mensais, iguais e consecutivas, no valor de $8137,27. 
A taxa de juros da operação foi 10,0% ao mês.
Com base nos dados apresentados referentes à 4ª parcela, o valor da amortização 
na 5ª parcela foi de:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
42 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
a) $4050,00.
b) $4156,98.
c) $4500,00.
d) $4593,28.
e) $5000,00.
Letra d.
Apesar dos números quebrados, esta é uma questão bem interessante para enten-
dermos a lógica de um sistema de amortização.
Temos que o saldo devedor após do pagamento da parcela 4, isto é, D4, é igual a 
R$35439,93. Seguindo a lógica de juros postecipados, os juros são calculados em 
relação ao saldo devedor no mês anterior.
Portanto, os juros na 5ª parcela devem ser calculados em relação ao saldo devedor 
no mês 4, que foi fornecido no enunciado.
Como é usado o Sistema de Amortização Francês, temos que a prestação é cons-
tante. Portanto, a 5ª prestação será igual também a R$8137,27. Dessa maneira, 
temos que a amortização será de:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
43 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Questão 18 (FCC/2015/SEFAZ-PI/AUDITOR FISCAL DA FAZENDA ESTADUAL-
-CONHECIMENTOS GERAIS) Considere a tabela abaixo,com taxa de 4% ao perí-
odo. Use somente duas casas decimais em seus cálculos.
Nessa tabela, tem-se que o fator de acumulação de capital para pagamento único é 
dado por (1 + i)n; o fator de valor atual de uma série de pagamentos é dado por (1 
+ i)n – 1/i (1 + i)n; e o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos 
é dado por (1 + i)n – 1/i. Um empresário tomou em um banco um empréstimo no 
valor de R$94550,00, a ser pago em 36 meses. Será utilizado o Sistema de Amor-
tização Francês, à taxa de 4% ao mês, com parcelas mensais e consecutivas, a pri-
meira vencendo 1 mês após a data do contrato. Sobre a terceira prestação desse 
empréstimo, é verdade que:
a) ela difere de R$100,00 da segunda prestação.
b) ao ser paga, ela deixa um saldo devedor de R$93500,00.
c) seu valor é de R$5200,00.
d) sua cota de amortização é de R$1266,22.
e) sua parcela de juros é de R$3682,61.
Letra e.
O fator de amortização foi fornecido pela tabela. Portanto, podemos calcular as 
parcelas pela expressão:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
44 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Agora que sabemos o valor das parcelas, podemos também calcular sua composição 
em juros e amortização. Na primeira parcela, os juros podem ser calculados por:
Devemos lembrar a composição das parcelas em juros e amortização:
De posse da amortização ocorrida na primeira parcela, é possível calcular o saldo 
devedor após esse pagamento.
Podemos, então, começar a traçar o esquema para a segunda parcela.
Os juros e a amortização na segunda parcela podem ser calculados de maneira 
análoga ao que fizemos anteriormente.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
45 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Note que a questão pediu informações sobre a terceira parcela. O saldo devedor ao 
fim do mês 2 é:
Podemos agora calcular os juros incidentes nessa parcela:
 
A única afirmação correta, portanto, é a letra e.
Questão 19 (FCC/2017/TST/ANALISTA JUDICIÁRIO-CONTABILIDADE) Um em-
préstimo foi obtido para ser liquidado em 10 parcelas mensais de R$2000,00, ven-
cendo-se a primeira parcela 1 mês após a data da obtenção. A taxa de juros ne-
gociada com a instituição financeira foi de 2% ao mês no regime de capitalização 
composta. Se, após o pagamento da oitava parcela, o devedor decidir liquidar o 
saldo devedor do empréstimo nessa mesma data, o valor que deverá ser pago, 
desprezando-se os centavos, é, em reais,
a) 3846,00.
b) 3883,00.
c) 3840,00.
d) 3880,00.
e) 3845,00.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
46 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Letra b.
Após o pagamento da oitava parcela, sobraram ainda duas para serem quitadas.
A relação entre o saldo devedor e as duas últimas parcelas é dada pelo fator de 
amortização:
Podemos agora calcular o saldo devedor D8.
Questão 20 (TFC/2017/INÉDITA) João financiou R$27000 por meio do Sistema 
de Amortização Francês para a compra de um automóvel em 24 meses a uma taxa 
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
47 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
de juros de 2% ao mês. Faltando 9 meses para o final do empréstimo, ele resol-
veu quitar sua dívida pagando todo o saldo devedor que ainda restava. Assinale a 
alternativa que corresponde ao saldo devedor logo após o pagamento da décima 
quinta parcela.
Dados: 
a) R$9000,00.
b) R$10125,00.
c) R$12000,00.
d) R$15000,00.
e) R$18000,00.
Letra c.
Esta é uma questão muito avançada a respeito do Sistema de Amortização Francês.
Podemos calcular a parcela por meio do Sistema Francês maior, que possui 24 pa-
gamentos.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
48 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Portanto, a parcela será:
Podemos agora calcular o saldo devedor após o décimo quinto pagamento, perce-
bendo que ele corresponde a um Sistema Francês menor, com apenas 9 pagamen-
tos.
É possível, então, calcular o saldo devedor D15:
Um ponto importante a se comentar sobre esta questão é que, embora o indiví-
duo tenha pagado 15 das 24 prestações (62,5%), ele conseguiu amortizar apenas 
R$15.000 do total de R$27.000 (ou seja, a amortização foi de 55,6%).
Isso acontece porque, no Sistema Francês, a amortização é crescente e se concen-
tra nas últimas parcelas. Mais adiante, veremos uma questão em que o número de 
parcelas é maior. Será possível comparar o que acabamos de ver com o que acon-
tecerá nessa questão posterior.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
49 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Questão 21 (CESGRANRIO/2012/EPE/ANALISTA DE GESTÃO CORPORATIVA-
-FINANÇAS E ORÇAMENTO) Um imóvel foi financiado pelo Sistema de Amortização 
Francês (Tabela Price), em 150 prestações mensais, com taxa de juros, no regime 
de juros compostos, de 4% ao mês. As prestações são consecutivas e iniciaram-se 
1 mês após o recebimento do financiamento. A fração da dívida amortizada na me-
tade do período, isto é, depois de paga a 75ª prestação, é, aproximadamente, de:
Dado: (1,04)−75 = 0,05
a) 5%.
b) 25%.
c) 50%.
d) 75%.
e) 95%.
Letra a.
Façamos um esquema. Um capital C foi tomado emprestado e foi pago em 150 
prestações mensais iguais pelo Sistema de Amortização Francês. Queremos saber 
o saldo devedor após 75 pagamentos.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
50 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Note que o saldo devedor D75 corresponde ao valor presente das 75 últimas parce-
las. Esse valor presente pode ser escrito pela expressão do fator A:
Como foi fornecida a aproximação para (1,04)−75, vamos utilizar a seguinte expres-
são para o fator A:
Sendo assim, temos que:
Agora, podemos calcular as parcelas do financiamento. Para isso, devemos lembrar 
que o capital tomado foi C em 150 prestações e que a relação entre as parcelas e 
o capital tomado emprestado é:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
51 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Vamos utilizar a seguinte expressão para o fator A:
Temos, então, o valor da parcela:
Portanto, podemos aplicar essa expressão ao saldo devedor calculado:
Temos, assim, que o saldo devedor após 75 pagamentos representa um percentual 
do capital inicial dado por:
A questão perguntou quanto foi amortizado. Se o saldo devedor permanece de 
95% da dívida, então foi amortizado o percentual de apenas 5%.
Isso é muito interessante – para não dizer horrível. Quando você faz uma dívida de 
longo prazo, nesse caso de 150 prestações, as primeiras prestações serão compos-
tas quase exclusivamente por juros.
É por isso que, mesmo após pagar metade do financiamento, você quitou apenas 
5% da sua dívida.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
52 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Podemos simular em Excel, usando a planilha apresentada neste material, a dívida 
citada.
Uma dívida de R$200000,00 paga a juros de 4% ao mês, terá um parcela de in-
críveis R$8022,35, o que significa que o total a ser pago será de R$1203352,68 
(pouco mais de 6 vezes o valor da dívida).
É bem verdade que a questão foi bastante exagerada, pois taxas de juros de 4% 
ao mês não são tão comuns para financiamentos de longo prazo. Uma taxa de ju-
ros relativamente padrão para financiamento imobiliário, por exemplo, é de 1,5% 
a 2% ao mês.
Como comparação com a questão anterior, vamos fazer a mesma simulação, con-
siderando juros de 2% ao mês. As parcelas serão, assim, de R$4216,22, e o valor 
total a ser pago será de R$632433,13 (mais de 3 vezes o valor da dívida). Isso é 
muito, não é? Compre um e pague três!
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
53 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Nesse caso, o saldo devedor após o pagamento de 75 parcelas seria de R$162116,46 
– o que equivale a pouco mais de 81% da dívida – e, mesmo após pagar metade 
do financiamento, teriam sido quitados apenas 19% da dívida.
Lembre-se bem dessa questão quando pensar em adquirir dívidas grandes que le-
varão mais de dez anos para ser pagas.
Questão 22 (ESAF/1985/AFRF) Uma pessoa obteve um empréstimo de 
R$120000,00 a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, que deverá ser pago 
em 10 parcelas iguais. O valor dos juros a serem pagos na oitava parcela é de:
a) R$5,00.
b) R$51,00.
c) R$518,00.
d) R$5187,00.
e) R$770,00.
Dados: fatores de amortização a uma taxa de juros de 2% ao mês.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
54 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Prazo Fator A
1 0,98
2 1,94
3 2,88
4 3,81
5 4,71
6 5,60
7 6,47
8 7,33
9 8,16
10 8,98
11 9,79
12 10,58
Letra e.
A questão pediu o valor dos juros a serem pagos na oitava parcela. Para isso, po-
rém, precisamos saber o saldo devedor antes de pagar essa parcela.
Façamos, então, uma representação esquemática do empréstimo e de suas 10 par-
celas.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
55 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Podemos calcular as parcelas por meio da tabela fornecida. Em relação ao Sistema 
Francês total, temos que R$120000 correspondem ao capital equivalente a uma 
série de 10 pagamentos. Portanto:
Assim, é possível entender o saldo devedor D7 como o capital equivalente a uma 
série de 3 pagamentos de R$13.363. Dessa maneira, temos:
Portanto, os juros que incidem na oitava parcela são dados por:
Questão 23 (FGV/2015/ISS-NITERÓI/CONTADOR) Considere a amortização de 
uma dívida pelo Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) em três pagamen-
tos, vencendo a primeira prestação um período após a liberação dos recursos e 
sendo as duas primeiras parcelas de amortização R$5000,00 e R$5500,00, respec-
tivamente.
O valor de cada prestação, em reais, é de:
a) R$5250.
b) R$5000.
c) R$5516.
d) R$6050.
e) R$6655.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
56 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Letra e.
Esta é uma questão bastante complicada. As parcelas do Sistema Francês são cal-
culadas pelo fator de amortização:
Essas parcelas são compostas por juros e amortização.
O enunciado forneceu os valores iniciais de amortização. Além disso, devemos ter 
em conta que:
• no mês 0, houve a primeira amortização no valor de R$5000, portanto o saldo 
devedor diminuiu em R$5000;
• no Sistema Francês, os juros são calculados sobre o saldo devedor do mês 
anterior.
Dessa maneira, a primeira parcela é dada por:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
57 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Comparando as duas parcelas e lembrando que elas devem ser iguais, porque a 
transação está sendo realizada no Sistema Francês, temos que:
Agora que descobrimos as taxas de juros, podemos obter a relação entre a parcela 
e o capital inicial da dívida.
Escrevemos agora a parcela:
Podemos comparar essa expressão com o valor da primeira parcela:
Finalmente, chegamos à prestação que foi pedida pelo enunciado:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
58 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Questão 24 (ESAF/2010/CVM/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS) Pretende-
-se trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$1000,00, vencendo 
o primeiro pagamento ao fim de 1 mês, por outra série equivalente de doze paga-
mentos iguais, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de 1 mês. Calcule o 
valor mais próximo do pagamento da segunda série, considerando a taxa de juros 
compostos de 2% ao mês.
a) R$750,00.
b) R$693,00.
c) R$647,00.
d) R$783,00.
e) R$716,00.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
59 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Letra b.
Trata-se de um problema interessante de refinanciamento. Primeiramente, tem-se 
uma série de pagamentos de oito parcelas iguais que se iniciam 1 mês após a con-
tração da dívida, ou seja, um Sistema Francês com n = 8.
O valor presente de uma série de oito pagamentos é dada por:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
60 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
O fator de amortização foi tabelado. Para a taxa de 2% ao mês e oito pagamentos, 
temos que . Dessa maneira, temos:
Vamos agora refinanciar esse capital de R$7320 em doze pagamentos, consideran-
do a mesma taxa de juros de 2% ao mês. Temos que a nova parcela será:
Questão 25 (ESAF/2010/CVM/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS) Um finan-
ciamento no valor de R$612800,00 deve ser pago pelo Sistema Price em dezoito 
prestações semestrais iguais, a uma taxa nominal de 30% ao ano, vencendo a 
primeira prestação ao fim do primeiro semestre, a segunda ao fim do segundo se-
mestre, e assim sucessivamente. Obtenha o valor mais próximo da amortização do 
saldo devedor embutido na segunda prestação.
Obs.: � Use a tabela fornecida na questão anterior.
a) R$10687,00.
b) R$8081,00.
c) R$10000,00.
d) R$9740,00.
e) R$9293,00.
Letra e.
O primeiro ponto a se comentar sobre esta questão é que foi fornecida a taxa de 
juros nominal anual, porém os pagamentos são semestrais. Portanto, devemos 
converter a taxa anual em semestral.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
61 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
A conversão de taxa nominal em efetivaé sempre feita pelo conceito de proporcio-
nalidade.
Podemos, então, calcular o fator de amortização a uma taxa de 15% ao semestre 
com dezoito pagamentos semestrais usando a tabela fornecida.
Podemos agora calcular as parcelas.
Dessa maneira, as parcelas são iguais a R$100000. O cupom de juros envolvido na 
primeira parcela é calculado em cima do capital inicial da dívida.
É possível calcular a amortização embutida nessa parcela como a diferença entre a 
parcela e os juros pagos.
A amortização se refere ao decréscimo do saldo devedor provocado pelo pagamen-
to da primeira parcela. Portanto, teremos que o novo saldo devedor será:
Para facilitar seu entendimento, montemos um esquema do empréstimo apresen-
tado:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
62 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Perceba que o cupom de juros J1 foi calculado com base no valor de R$612800, sal-
do devedor inicial. A soma dos juros com a amortização produz o valor da parcela, 
que é de R$100000.
O cupom de juros envolvido na segunda parcela é calculado com base no saldo 
devedor no mês 1.
Podemos, então, calcular a amortização embutida nessa parcela como a diferença 
entre a parcela e os juros pagos.
É interessante notar que realmente a amortização no Sistema Francês é sempre 
crescente.
Como a questão pediu a amortização na segunda parcela, já podemos marcar o 
gabarito correspondente.
Questão 26 (FCC/2016/ELETROBRÁS–ELETROSUL/ADMINISTRAÇÃO DE EM-
PRESAS) Considere um empréstimo que deverá ser liquidado por meio de 5 pres-
tações mensais, consecutivas e iguais a R$8610,00 cada uma, com a utilização do 
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
63 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Sistema de Amortização Francês (Tabela Price). Observa-se, pelo plano de paga-
mentos, que a primeira prestação vence 1 mês após a data da concessão do em-
préstimo e que os valores dos juros incluídos na primeira e na segunda prestações 
são iguais a R$1000,00 e R$809,75, respectivamente. O valor do saldo devedor 
imediatamente após o pagamento da segunda prestação é, em reais, igual a:
a) 24589,75.
b) 24780,00.
c) 25589,25.
d) 26525,00.
e) 23980,25.
Letra a.
Esta é mais uma questão das boas sobre o Sistema Francês, muito parecida com a 
questão anterior. Podemos calcular as amortizações:
Considere C o capital inicial da dívida.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
64 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Os juros sobre a primeira parcela são calculados em relação ao saldo devedor no 
mês 0, ou seja, o capital inicial da dívida. Já os juros sobre a segunda parcela de-
vem ser calculados em relação ao saldo devedor no mês 1.
Fazendo a diferença entre os dois juros calculados:
O capital inicial da dívida pode ser calculado pelos juros da primeira parcela:
O enunciado pediu o saldo devedor após o pagamento das duas parcelas. Portanto, 
devemos abater as duas amortizações pedidas.
Questão 27 (ESAF) Uma máquina tem preço de $2000000, podendo ser financia-
da com 10% de entrada e o restante em prestações trimestrais, iguais e sucessi-
vas. Sabendo-se que a financiadora cobra juros compostos de 28% ao ano, capita-
lizados trimestralmente, e que o comprador está pagando R$205821 por trimestre, 
a última prestação vencerá em:
a) 3 anos e 2 meses.
b) 3 anos e 6 meses.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
65 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
c) 3 anos e 9 meses.
d) 4 anos.
e) 4 anos e 3 meses.
Dados: tabela do fator A de amortização para i = 7% ao mês.
A A
1 0,93 11 7,50
2 1,81 12 7,94
3 2,62 13 8,36
4 3,39 14 8,74
5 4,10 15 9,11
6 4,77 16 9,45
7 5,39 17 9,76
8 5,97 18 10,06
9 6,51 19 10,34
10 7,02 20 10,59
Letra b.
Em primeiro lugar, vamos converter a taxa de juros nominal em efetiva.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
66 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Note que o valor financiado foi apenas 90% do preço da máquina à vista, tendo em 
vista que 10% foram pagos a título de entrada. Sendo assim, temos:
A relação entre a dívida adquirida e a parcela a ser paga é dada pelo fator de amor-
tização.
O fator de amortização encontrado foi de 8,74, o que corresponde a n = 14 (veja a 
tabela). Sendo assim, o financiamento foi feito em 14 trimestres. Como 1 ano tem 
4 trimestres, o financiamento vencerá em 3 anos e 2 trimestres (ou 6 meses).
4. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Esse é um dos favoritos das provas. Por ter expressões mais simples que o 
Sistema Francês, é relativamente mais fácil colocar questões que envolvam maior 
nível de raciocínio.
No Sistema SAC, a amortização é constante em todas as parcelas. Dessa ma-
neira, se contraímos uma dívida C a ser paga em N prestações, o valor da amorti-
zação será.
Além disso, podemos calcular a parcela completa como a soma dos juros mais 
a amortização.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
67 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Os juros devem ser calculados em função do saldo devedor no período anterior.
Não existe muita teoria sobre o Sistema SAC além do exposto aqui, embora 
questões sobre o assunto sejam comuns. A seguir veremos algumas delas.
Questão 28 (CESPE/2017/TCE-PE) Situação hipotética: um banco emprestou 
R$12000 para Maria, que deve fazer a amortização em doze parcelas mensais con-
secutivas pelo Sistema de Amortização Constante sem carência. A taxa de juros 
contratada para o empréstimo foi de 1% ao mês, e a primeira parcela deverá ser 
paga 1 mês após a tomada do empréstimo.
Assertiva: o valor da quarta parcela a ser paga por Maria é de R$1090.
Certo.
Esta é uma questão bem simples e muito útil para treinar o Sistema SAC. Vamos 
esmiuçá-la a fim de que você entenda o maior número de detalhes a respeito desse 
sistema.
No Sistema SAC, a amortização é constante. Se temos um capital inicial de R$12000 
para ser amortizado em doze parcelas mensais, temos que a amortização mensal é:
Na primeira parcela, os juros são calculados em função do capital inicial da dívida 
– R$12000. Portanto, temos:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
68 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Assim, podemos calcular a primeira parcela e o saldo devedor após esse pagamen-
to:
Poderíamos repetir o mesmo procedimento para encontrar todas as parcelas. Ou 
podemos notar que, como queremos a quarta parcela, e a amortização mensal é 
constante, teremos a seguinte situação, em que o saldo devedor decresce R$1000 
por mês.
É importante deixar claro que os juros no mês 4 devem ser calculados em relação 
ao saldo devedor no mês 3, como no Sistema Francês.
Dessa maneira, os juros incidentes na quarta parcela podem ser calculados:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
69 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Já temos condições de marcar a resposta correta. No entanto, com o objetivo de 
aprender mais sobre o Sistema SAC, desenharemos o que acontece em todas as 
parcelas até chegar à quarta.
Questão 29 (CESPE/2018/TCE-PB/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS) Um banco 
emprestou R$200000, entregues no ato, sem prazo de carência. O empréstimo foi 
quitado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) em 20 prestações semes-
trais consecutivas.
Nessa situação, se a taxa de juros do empréstimo foi de 1,5% ao semestre, então 
o valor da quinta prestação, em reais, foi de:
a) 12400.
b) 13000.
c) 10000.
d) 11650.
e) 12250.
Letra a.
Como o pagamento será feito em 20 prestações semestrais, a cada semestre, será 
amortizada uma fração do capital tomado emprestado inicialmente, dada por:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
70 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Uma amortização semestral de R$10000 significa que o saldo devedor se reduzirá 
nesse valor a cada semestre.
No semestre 0, quando a dívida é iniciada, o saldo devedor será de R$200000. No 
semestre seguinte (1), o tomador amortizará R$10000. O saldo devedor passará, 
assim, a ser de R$190000. É possível representar graficamente da seguinte ma-
neira:
Perceba que a primeira parcela é paga após o semestre 0 e a segunda é paga 
após o semestre 1, pelo que a quinta será paga após o semestre 4.
No Sistema SAC, os juros incidem sobre o saldo devedor no semestre anterior, 
como representado na figura acima.
Dessa maneira, os juros que incidem na quinta parcela devem ser calculados 
pelo saldo devedor no semestre anterior (semestre 4). Temos então:
Podemos agora calcular a quinta parcela como a soma dos juros com a amortiza-
ção.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
71 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Questão 30 (ESAF/2013/MF/CONTADOR) Um empréstimo de R$80000,00 será 
pago em 20 parcelas mensais, sendo a primeira 30 dias após o empréstimo, com 
juros de 2% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor da 
segunda parcela será:
a) R$5.520,00.
b) R$5.450,00
c) R$5.180,00.
d) R$5.230,00
e) R$5.360,00.
Letra a.
Note que, não raro, as questões que tratam de Sistema de Amortização Constante 
(SAC) cobram simplesmente o cálculo de uma parcela específica, sem nenhuma 
particularidade.
A amortização mensal é dada pela razão entre o empréstimo tomado e o número 
de parcelas para ser quitado:
Podemos esquematizar da seguinte maneira:
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
72 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Os juros da segunda parcela devem ser calculados em relação ao saldo devedor no 
mês anterior (mês 1). Dessa maneira, temos:
A segunda parcela é, então, composta pelo cupom de juros calculado e pela amor-
tização constante.
Questão 31 (FGV/2014/ISS-CUIABÁ/AUDITOR FISCAL) Considere um financia-
mento de quatro anos cujo valor do principal seja de R$100,00 e a taxa de juros, 
igual a 4% ao ano.
Considere quatro planos de amortização para esse financiamento:
• no plano 1, o financiamento é quitado com um único pagamento apenas no 
final do quarto ano, com capitalização dos juros ao fim de cada ano;
• no plano 2, ao fim de cada ano são pagos apenas os juros, com exceção do 
último ano, no qual, além dos juros, é efetuado o pagamento integral do prin-
cipal;
• no plano 3, a liquidação do financiamento segue o modelo Price;
• no plano 4, a liquidação do financiamento segue o modelo SAC.
No final do quarto ano, nos planos 1, 2, 3 e 4, os valores da amortização do princi-
pal serão (em reais), respectivamente, de:
a) 100, 100, maior do que 25 e 25.
b) maior que 116, 100, maior do que 25 e 25.
c) 100, 100, 25 e menor do que 25.
d) menor do que 100, maior do que 100, maior do que 25 e 25.
e) 100, 100, 25 e maior do que 24.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
73 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
Letra a.
No plano 1, a dívida se acumula pela dinâmica de juros compostos.
No momento de quitação da dívida, será amortizado o principal de R$100 e serão 
pagos os juros de R$17. O pagamento de juros não conta para a amortização.
No plano 2, que corresponde ao Sistema Americano, o principal é amortizado ape-
nas no final (ou seja, no ano 4, é amortizado o total de R$100).
No plano 4, a amortização é constante, portanto:
Por fim, no plano 3, devemos lembrar que a amortização é crescente no Sistema 
Francês. Por isso, no último ano, certamente será maior que 25.
Questão 32 (CESPE/2017/TER-BA/TÉCNICO JUDICIÁRIO-CONTABILIDADE) 
Um banco emprestou a uma empresa R$100000, entregues no ato, sem prazo de 
carência, para serem pagos em quatro prestações anuais consecutivas pelo Siste-
ma de Amortização Constante (SAC). A taxa de juros compostos contratada para 
o empréstimo foi de 10% ao ano, e a primeira prestação será paga 1 ano após a 
tomada do empréstimo.
Nessa situação, o valor da segunda prestação a ser paga pela empresa será:
a) superior a R$33000.
b) inferior a R$30000.
c) superior a R$30000 e inferior a R$31000.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
74 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
d) superior a R$31000 e inferior a R$32000.
e) superior a R$32000 e inferior a R$33000.
Letra e.
Como são quatro parcelas anuais, a amortização constante será:
Os juros que incidem sobre a segunda parcela devem ser calculados em relação ao 
saldo devedor no mês 1. Esse saldo é calculado levando-se em conta que já houve 
uma amortização, porque já foi paga uma parcela.
Podemos agora calcular os juros incidentes na terceira parcela:
Observe que o gabarito é bem ambíguo, pois a parcela encontrada não é nem su-
perior nem inferior a R$33.000 – ela é igual. Isso possivelmente seria suficiente 
para um recurso, de modo que a banca aceitasse, pelo menos, a letra a também 
como resposta.
Questão 33 (ESAF/2010/CVM/ANALISTA DE MERCADO DE CAPITAIS) Uma pes-
soa tomou um empréstimo imobiliário no valor de R$240000,00 para ser pago em 
120 prestações mensais pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), a uma 
taxa de 1,5% ao mês, sem carência, vencendo a primeira prestação ao fim do pri-
meiro mês, a segunda ao fim do segundo mês, e assim sucessivamente. Marque o 
valor mais próximo da décima segunda prestação.
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
https://https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
75 de 214https://www.facebook.com/groups/2095402907430691
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Anuidades e Sistemas de Amortização
Prof. Thiago Cardoso 
a) R$5270,00.
b) R$5420,00.
c) R$5300,00.
d) R$5360,00.
e) R$5330,00.
Letra a.
É uma questão bem semelhante às anteriores. Nesta, porém, a ESAF cobrou uma 
parcela mais distante – a décima segunda. Contudo, isso em nada altera o grau de 
dificuldade do problema. Basta aplicar a mesma técnica vista anteriormente.
A amortização mensal é dada por:
Para calcular a décima segunda parcela, precisamos do saldo devedor no mês ante-
rior. Nesse ponto, precisamos saber que, como já foram pagas 11 parcelas, houve 
também onze amortizações. O saldo devedor