Apostila de Estatística

Graficamente:
�
u representa o incremento em Y quando X aumenta em uma unidade;
ESTIMADORES DE ( E ( PARA O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR
Os valores de a e b serão determinados, através do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). O objetivo é encontrar a e b tal que a soma dos erros quadráticos médios seja o menor possível.
�
O erro é determinado por:
 tal que 
 Os valores de a e b são encontrados através da seguinte fórmula:
			
		
É importante observar que:
	- b mede a variação que ocorre em Y por unidade de variação de X.
	- Quando não houver relação entre X e Y teremos 
�� EMBED Equation.3 , pois b=0
	- Quando as relações entre X e Y forem proporcionais, a reta passa na origem e 
a = 0, logo 
bX
Exemplo:
1) Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a potência de um antibiótico. Dez amostras de 50 gramas cada foram guardadas a diferentes temperaturas, e após 15 dias, mediu-se a potência. Os resultados estão no quadro abaixo.
	Temperatura
	30
	36
	50
	54
	60
	73
	78
	82
	91
	95
	Potência
	38
	43
	32
	26
	33
	19
	27
	23
	14
	21
Podemos concluir que o gráfico se trata de uma correlação retilínea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função Y = (+ (X + u. (se não houvesse uma correlação significativa, nossa melhor predição da potência do antibiótico seria 
).
Então, precisamos calcular os valores dos parâmetros da equação 
 que é uma estimativa da verdadeira equação da reta de regressão, onde 
 é o estimado.
Identificação das variáveis: 
Variável dependente: Potência do antibiótico
Variável independente: Temperatura
Estimadores da reta de regressão:
(Coef. Linear)
	 (Coef. Angular ou Intercepto)
Logo, 
Interpretação da reta de regressão: cada ponto da reta de regressão fornece uma estimativa do valor médio ou esperado de Y correspondente ao valor X escolhido; O valor 
=-0,35114, que mede a declividade da reta, mostra que, dento da escala da amostra de X entre 30ºC e 95ºC, quando X aumenta em , digamos 1ºC, a potência estimada do antibiótico diminui em 0,35ºC. O valor de 
50,389, que é o intercepto da reta, indica o nível médio da potência do antibiótico quando a temperatura é zero. 
Determinar a potência do antibiótico quando a exposição for de 65oC.
Exemplo 2: Um funcionário de uma pista de corrida local gostaria de desenvolver um modelo para prever a quantia apostada (em mil dólares) com base na freqüência do público (por 100 apostadores). Após realizar a reta de regressão, o funcionário obteve os resultados abaixo. Escreve a equação da reta e interprete-a:
	
	Coeficiente
	Intercepto
	4,3424
	Coef. Linear
	0,0465
�
Resposta: 
Y = variável dependente = quantidade apostada
X = variável independente = freqüência do público
A equação da reta será: 
Assim, o valor apostado quando a freqüência é zero (0) é de 4,3424 mil dólares. Além disso, para cada 100 pessoas a mais na pista o total apostado subirá em 0,0465.
Uma importante função de determinar a reta de regressão para duas variáveis é a possibilidade de realizar previsões, ou seja, uma vez que obtemos a reta de regressão, podemos escolher um valor de interesse para a variável independente (X) e determinar o valor esperado para a variável dependente (Y).
�
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1) Observou-se que o volume mensal de lixo gerado em uma cidade, em função do número de dormitórios das residências, é o seguinte (em m3):
	No Dormitórios
	1
	2
	3
	4
	Volume de lixo
	0,15
	0,29
	0,45
	0,57
Determinar a equação da reta de regressão.			(y = 0,142x + 0,01)
Estimar o volume de lixo para uma residência com 5 dormitórios. (0,11082)
 
	
2) A função de demanda de um produto está representada na tabela abaixo:
	Preço (R$)
	 56,00
	60,00
	63,00
	68,00
	74,00
	Demanda (un.)
	100
	93
	87
	81
	75
Determinar a equação da reta de regressão.		(y = -1,3831x + 176)
Estimar a demanda se o preço for R$ 80,00.		(65,352)
3) Os gastos com propaganda e o respectivo volume de vendas gerado, de um certo produto, são dados abaixo:
	Gastos com propaganda (em milhares de R$)
	20
	40
	10
	100
	70
	Volume de vendas (em milhares de R$)
	1.110
	1.250
	1.000
	1950
	1600
Determinar a equação da reta de regressão. 		(v=10,496p+878,175)
Estimar o volume de vendas para um gasto de R$ 150,00 em propaganda.
(2.452,575)
Caso não se faça nenhum investimento em propaganda, qual o volume de vendas esperado?							(878,175)
Se a expectativa de vendas for de R$ 1.500,00, quando se deve investir em propaganda para esse produto?				(59,24)			
�
: COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
Uma das formas de determinar se o modelo encontrado é satisfatório para explicar os dados é calculando o COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO do modelo. Esse coeficiente compara a variabilidade do modelo com a variabilidade total dos dados.
CÁLCULO DO 
:
A variabilidade do modelo (variabilidade explicada ou soma dos quadrados explicada) pode ser calculada como: 
.
A variabilidade total (soma dos quadrados total) pode ser calculada como: 
.
�
Observação: 
Exemplo 1: Calcular e interpretar o coeficiente de determinação R2 para os dados do primeiro exercício.
	Temperatura
(X)
	Potência (Y)
	Valores 
preditos (
)
	
	
	30
	38
	39.86
	108.16
	150.21
	36
	43
	37.75
	237.16
	103.01
	50
	32
	32.83
	19.36
	27.40
	54
	26
	31.43
	2.56
	14.67
	60
	33
	29.32
	29.16
	2.97
	73
	19
	24.76
	73.96
	8.07
	78
	27
	23.00
	0.36
	21.13
	82
	23
	21.60
	21.16
	36.01
	91
	14
	18.44
	184.96
	83.92
	95
	21
	17.03
	43.56
	111.63
	
	27,6
	
	720,4
	
	559,02
	R2
	0,7759
Interpretação: o modelo 
 explica 77,59% da variabilidade total de Y. Em outras palavras, a variabilidade da potência do antibiótico é 77,59% explicada pela sua temperatura de armazenamento.
�
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
Uma amostra de 5 ratos da raça Wistar foi obtida e suas idades (em dias) e pesos (em gramas) são apresentados na tabela abaixo:
	Idade (dias)
	Peso médio (gramas)
	30
	63,94
	34
	74,91
	38
	81,65
	42
	95,05
	46
	105,89
Esboce um diagrama de dispersão para essas variáveis.
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
Com base nos itens (a) e (b), você acha que há relação entre as duas variáveis? Que tipo de relação é essa?
Deseja-se obter uma reta que explique o peso médio dos ratos em função das suas idades. Qual deve ser a variável independente e qual deve ser a variável dependente?
Obtenha e interprete a reta de regressão.
Calcule o coeficiente de determinação para a reta obtida. Você acha que o modelo se ajusta bem aos dados observados? Por quê?
Qual o peso médio, em gramas, para ratos com 32, 40, 43 e 49 dias?
�
Bibliografia
TRIOLA, Mário F., Introdução à ESTATÍSTICA - 7ª Edição – Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
	
CRESPO, Antônio Arnot, Estatística Fácil – 18ª Edição – São Paulo, 2002.
A probabilidade de 0 acidentes com a GOL (dentre sete acidentes) é 0,210;
Os valores denotados 0+ representam probabilidades muito pequenas;
CABEÇALHO
� EMBED Equation.3 ���
X
Y
X+1
X
(
(
(+ (X 
(+ (X + u 
Valor de r�
Correlação�
�
0,0�
Nula�
�
0,0 ----| 0,3�
Fraca�
�
0,3 ----| 0,6�
Media�
�
0,6 ----| 0,9�
Forte�
�
0,9 ----| 0,99�
Fortíssima�
�
1,0�
Perfeita�
�
 COLUNA INDICADORA
 TÍTULO
CASA OU CÉLULA
LINHAS
CORPO
RODAPÉ
COLUNA NUMÉRICA
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
2º Semestre/2009
Professora: Janaina Pereira
IFRJ - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia - Rio de Janeiro