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Apostila Matemática   Teoria e Exercícios de Matemática Com~1

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b) Qual o valor máximo do produto de dois números, sabendo-se que a soma é igual a 
dez? 
Solução 
Seja x e (10 –x) os números. O produto será y = x(10-x), para os valores de x nos reais. 
Temos então: 
Raízes do trinômio: 1 0x = e 2 10x = . 
Vértice: 
0 10 5
2v
x += = 
58
Para achar vy basta substituir o valor 5vx = na equação 
(10 ) 5(10 5) 25y x x= − = − = . 
Portanto o valor máximo do produto será 25. 
Veja o gráfico: 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
149) A equação cujo gráfico está inteiramente abaixo do eixo dos x é: 
a) y = 2x2 – 4x – 5 b) y = – x2 + 4x c) y = x2 – 10 
d) y = – x2 + 5 e) y = – 2x2 + 4x – 4 
Resposta: E 
150) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que a sua 
altura h, em metros, t em segundos após o chute, seja dada por tth 62 +−= , 
determine: 
a)Em que instante a bola atinge a altura máxima? 
b)Qual a altura máxima atingida pela bola? 
Resposta: a) 3 segundos; b) 9m 
 
151) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por 
3000802 +−= xxC . Nessas condições, calcule: 
a)A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; 
b)O valor mínimo do custo. 
Resposta: a) 40 unidades; b) 1400 unidades monetárias 
 
152) Após várias experiências em laboratório, observou-se que a concentração de 
certo antibiótico, no sangue de cobaias, varia de acordo com a função 2212 xxy −= , 
em que x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas 
condições, o tempo necessário para atingir o nível máximo de concentração desse 
antibiótico, no sangue dessas cobaias, é: 
a)3 
b)5 
c)6 
d)12 
e)15 
59
Resposta: A 
 
153) Numa escola, o campo de areia de 21 m2 para as brincadeiras foi aumentado de 
uma meama quantidade para os lados, passando a ter uma área de 51 m2. Dado: 
5,1425,210 = 
 
3,5 m 
 
 6 m 
O aumento das dimensões do campo de areia foi de: 
a)1,5m 
b)2,0m 
c)2,5m 
d)3,0m 
e)3,5m3 
Resposta: C 
 
154) Um grupo de pessoas fretou um avião de 150 lugares para uma excursão. A 
empresa locadora exigiu que cada pessoa pagasse R$ 600,00 e mais um adicional de 
R$ 50,00 referente a cada lugar vago. Se esse fretamento rendeu à empresa R$ 328 
050,00, o número de pessoas que participou da excursão foi 
(a) 81 
(b) 85 
(c) 90 
(d) 92 
(e) 97 
Resposta: A 
 
155) Você tem uma corda de 80 m de comprimento e vai colocá-la no solo de modo a 
formar um retângulo, utilizando uma parede já existente. 
 Parede 
 
 x x 
 
a) Para que valor de x, a área do retângulo é máxima? 
b) Qual é a máxima área possível? 
Resposta: a) 20m; b) 800m2 
 
6 -Juros Simples e Porcentagem 
 
6.1 - Taxa Percentual e Taxa Unitária 
 
 Taxa Percentual é a fração cujo denominador é igual a 100. Temos então que fração 
25
100
 é uma taxa percentual e será indicada por 25%, logo : 
Corda esticada 
60
%
100
xx = 
 Quando efetuamos a divisão do numerador por 100, temos como resultado a taxa 
unitária. Exemplos: 
a) 25
100
 = 25% (taxa percentual) 
b) 25
100
 = 0,25 (taxa unitária) 
 
6.2 - Porcentagem 
 
 Calcular a porcentagem de um número significa multiplicar a fração percentual pelo 
número. Exemplo: Calcular: 
a) 2
5
 de 300 = 2
5
 x 300 = 600
5
 = 120 
b) 25% de 400 = 25% x 400 = 25
100
 x 400 = 100 
 
Exercícios: 
156) Um capital foi aplicado por um certo período a uma taxa de 4% no período, 
tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de juro. Qual o valor do capital 
aplicado? 
Resposta: R$ 15.000,00 
 
157) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 2.000,00 mais uma comissão de 
5% das vendas efetuadas. Se num certo mês ele recebeu R$ 6.000,00 (fixo mais 
comissão), qual o valor das vendas efetuadas nesse mês? 
Resposta: R$ 80.000,00 
 
6.3 - Comparação de Dois Números 
 
 A fração a
b
 representa a porcentagem que o número a representa de um número b. 
 
Exercícios: 
158) Que porcentagem o número 2 representa do número 5? 
Resposta: 40% 
 
159) Numa classe com 80 alunos, 28 foram aprovados em matemática. Qual a 
porcentagem de aprovados nessa matéria? Qual a porcentagem de reprovados? 
Resposta: 35% e 65% 
 
6.4 - Lucro Sobre o Preço de Venda e Lucro Sobre o Preço de Custo 
 
 Suponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e seja vendido pelo valor 
PV. Isto é: 
61
 PC = “preço de custo do produto” 
 PV = “preço de venda do produto” 
 L = “lucro obtido com a venda do produto” 
 
 Então temos que o lucro obtido com a venda do produto é: 
L = PV – PC 
 Sendo assim temos: 
a) Lucro sobre o preço de custo: 
L PV PC
PC PC
−
= . 
b) Lucro sobre o preço de venda: 
L PV PC
PV PV
−
= . 
 
Exercícios: 
160) Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 
500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de custo? 
Resposta: 25% 
 
161) Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e vendeu por R$ 
500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de venda? 
Resposta: 20% 
 
162) Um produto é comprado por R$ 150,00 e é vendido por R$ 300,00. Qual foi o 
lucro sobre o preço de custo? Qual foi o lucro sobre o preço de venda? 
Resposta: 100% e 50% 
 
163) Um produto é vendido com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual foi 
o lucro sobre o preço de custo? 
Resposta: 25% 
 
6.5 - Taxa de Variação Percentual 
 
 Chamamos de taxa de variação percentual a medida percentual de quanto a variável 
aumentou ou diminuiu. 
 Sendo assim, temos: 
 Vant= Valor antigo da variável. 
 Vnovo = Valor novo da variável. 
 Δ = Taxa de variação percentual 
 
novo ant
ant
V V
V
−
Δ = ou 1novo
ant
V
V
Δ = −
 
 
Exercícios: 
164) O preço de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 525,00. Qual foi a 
taxa de variação percentual do preço? 
Resposta: 5% 
 
62
165) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado durante 3 meses, 
produzindo um montante de R$ 27.350,00. Qual a taxa trimestral dessa 
aplicação? 
Resposta: 9,4% 
 
6.6 - Fator(ou Coeficiente) de Acumulação 
 
 Vimos no item anterior que a variação percentual é dada por: 
[ ]1 1 1novo novo novo ant
ant ant
V V V V
V V
Δ = − ⇒ = + Δ ⇒ = + Δ 
 
e 
1
novo
ant
VV =
+ Δ
 
 
 O fator ou coeficiente de acumulação denotado por 1 + Δ, é o valor que 
multiplicado pelo valor antigo produz o valor novo. 
 
 Notamos que para varias taxas de variação percentual consecutiva Δ1 , Δ2 , ... Δn 
aplicadas sucessivamente obtemos a fórmula: 
Vnovo = Vant (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) 
que será chamado de fator de acumulação total dos n períodos consecutivos. Temos 
portanto que: 
Δ = (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) – 1 
será chamada de taxa de variação total dos n períodos consecutivos. 
 
Observação: Se Δ1 = Δ2 = ... = Δn = Δ a fórmula será Vnovo = Vant [1+ Δ]n 
 
Exercícios: 
166) Um comerciante comprou um artigo por R$ 200,00 e o vendeu por R$ 250,00. 
Então o lucro sobre o preço de custo foi de: 
a) 15% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 28% 
e) 30% 
Resposta: C 
 
167) Um comerciante comprou um artigo por R$ 200,00 e o vendeu por R$ 250,00. 
Então o lucro sobre o preço de venda foi de: 
a) 15% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 28% 
e) 30% 
Resposta: B 
63
 
168) Um comerciante comprou um produto por R$ 1.500,00, e o revendeu um mês 
depois por R$ 1.725,00. Qual foi a taxa de variação percentual no mês? 
Resposta: 15% 
 
169) O preço da passagem de ônibus no mês de setembro era R$ 1,80, e em outubro 
passou para R$ 2,00. Qual foi a variação percentual do aumento da passagem? 
Resposta: 11,11% 
 
170) O preço do dólar no mês julho era de R$ 2,45, em agosto passou a ser R$ 1,96. 
Qual foi a variação percentual no mês? 
Resposta: -20% 
 
171) Uma empresa comprou um item por R$ 560,00 e quer vendê-lo com um lucro de 
30% sobre o preço de venda. Então o preço de venda desse item será