matemática porcentagem

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Amintas Paiva Afonso
Unidade 02
Porcentagem e
Porcentagem Comercial
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
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Introdução
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Meu salário teve um aumento de R$ 100,00.
 Perdi 2 kg no último mês.
 Ações da Eletrobrás tiveram alta de R$ 0,52.
 Dólar subiu R$ 0,25.
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Introdução
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Perdi 2 kg no último mês.
 Eu pesava 230 kg, mas perdi 2 kg no mês passado.
 Meu filho pesava 8 kg, mas perdeu 2 kg no mês passado.
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Introdução
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Ações da Eletrobrás tiveram alta de R$ 0,52.
 Um lote de 1000 ações da Eletrobrás custava R$ 36,60, mas ontem tiveram alta de R$ 0,52.
 Um lote de 1000 ações da Eletrobrás custava R$ 0,41, mas ontem tiveram alta de R$ 0,52.
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Introdução
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Dólar subiu R$ 0,25.
 O dólar estava cotado em R$ 2,00 mas ontem subiu R$ 0,25.
 O dólar estava cotado em R$ 285,97 mas ontem subiu R$ 0,25.
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Introdução
 Porcentagem é a fração (ou parte) de um valor ou quantidade, que se determina pela quantidade correspondente a cada 100.
 As porcentagens fazem parte do nosso dia-a-dia.
 Os casos de dengue reduziram 35% neste ano.
 A gasolina vai ter um aumento de 8%.
 A inflação de 2009 não deve ser superior a 10%. 
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Por que utilizamos tanto os percentuais?
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
 Porque os percentuais transmitem mais facilmente as relações aritméticas nos negócios, estatísticas e notícias.
 O número de casos de dengue reduziu de 327 em 2003 para 258 em 2004.
 Dos 7 500 funcionários da Usiminas, 5 851 são casados.
OU
 Em 2004 o número de casos de dengue reduziu 21% chegando a 258 casos.
 78% dos 7 500 funcionários da Usiminas são casados.
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Introdução
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
O conceito de porcentagem surge quando relacionamos duas grandezas, sendo a linguagem preferencial na discussão de aumentos e descontos.
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Frações x Percentuais
5%	 	= 5/100 = 1/20	 = 0,05
20%	 	= 	20/100 = 1/5	 = 0,2
80%	 	=	80/100 = 4/5 	 = 0,8
100%	 	=	100/100 = 1	 	 = 1
200% 	=	200/100 = 2/1	 = 2
Existem três formas de se expressar uma porcentagem
Percentual Fracionária	 Decimal
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Frações x Percentuais
Como calcular 20% de 130?
20% = 20/100 = 1/5 = 0,2
 Multiplicamos 130 por 20/100
 Multiplicamos 130 por 1/5
 Multiplicamos 130 por 0,2 obtendo 26
Calcular uma determinada porcentagem de um valor.
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Frações x Percentuais
De percentual para decimal: andamos com a vírgula duas casas para a esquerda. Ex: 25,5% = 0,255
De decimal para percentual: andamos com a vírgula duas casas para a direita. Ex: 0,385 = 38,5%
Na aplicação das fórmulas para resolução dos problemas da Matemática Comercial e Financeira utilizamos as porcentagens escritas na forma decimal.
Como transformar percentuais para decimais e vice-versa?
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Frações x Percentuais
Exemplos : 	Percentual	 Decimal
32,56%
5%
1,25%
225%
65,35 %
7,6%
0,52%
362,5%
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Frações x Percentuais
p = C . i
Ex : Quanto é 32,5% de 220?
 p = C . i
 p = 220 . 0,325 
 p = 71,5
Problema Básico
Para calcular o valor de p (parte do todo), devemos multiplicar C (o todo) por i (taxa percentual), sendo i expressa em notação fracionária ou decimal:
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Exercícios
 1) João, no primeiro trecho de sua caminhada, percorreu 12% de uma estrada. Ao concluir o segundo trecho, correspondente a 1200 metros, o percentual percorrido passou a ser 16% da estrada. Determine a extensão da estrada.
2) Um autor recebe 10% de direitos autorais de um livro que é vendido por R$ 75,00. Para que o autor ganhe R$ 11.730,00 determine o número de livros que deve ser vendido.
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Exercícios
3) Para a estréia de um espetáculo foram emitidos 1800 ingressos, dos quais 60% foram vendidos até a véspera do dia de sua realização por um preço unitário de R$ 45,00. Considerando que todos os ingressos emitidos serão vendidos, por quanto cada ingresso deverá ser vendido no dia do espetáculo para que a arrecadação total, com a venda dos ingressos, seja de R$ 88.200,00?
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Frações x Percentuais
Aumento percentual: Valor final = Valor inicial + aumento
			 Valor final = C + C . i
			 Valor final = C (1 + i )
Aumentos e Descontos
Como vimos p = C . i pode ser o aumento ou o desconto percentual. Logo, o valor final poderá ter recebido um acréscimo ou uma redução.
Desconto percentual: Valor final = Valor inicial - desconto
			 Valor final = C - C . i
			 Valor final = C (1 - i )
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Frações x Percentuais
Solução: Valor Final = Valor inicial + aumento
	 Valor final = C + C . i
	 Valor final = C (1+ i)
	 Valor final = 18,25 (1 + 0,05)
	 Valor final = 18,25 . 1,05 = 19,16
Resposta : A ação passou a valer R$ 19,16
Exemplo 1
Uma ação cujo valor era R$ 18,25 subiu 5%. Qual é o novo valor dessa ação?
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Frações x Percentuais
Solução: Valor final = Valor inicial - desconto
	 Valor final = C - C . i
	 Valor final = C ( 1 - i )
	 Valor final = 18,25 (1 - 0,05)
	 Valor final = 18,25 . 0,95 = 17,34
Resposta : A ação passou a valer R$ 17,34
Exemplo 2
Uma ação cujo valor era R$ 18,25 desvalorizou em 5%. Qual é o novo valor dessa ação?
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O problema da mudança de base
Exemplo 4:
Um computador custa R$ 2.500,00. Seu preço sofreu um aumento de 30%, devido à elevação dos custos de seus componentes. Como a loja não consegue vender um computador devido ao reajuste, fez uma promoção dando 30% de desconto em seu preço. Determine o novo preço de venda.
 Preço com aumento = 2 500 . (1 + 0,3) = R$ 3.250,00
 Preço com desconto = 3 250 . (1 – 0,3) = R$ 2.275,00
=> Preço original = R$ 2.500,00 Preço final = R$ 2.275,00
Preço final é diferente do preço original ! POR QUÊ?
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O problema da mudança de base
Exemplo 5:
Se uma ação da bolsa de valores cair 10% em uma semana e subir 10% na próxima semana, o seu preço sofre alteração?
Valor inicial = x
Valor após queda de 10% = x . (1 - 0,1) = 0,9 . x
Valor após a alta de 10% = 0,9 . x . (1 + 0,1) = 0,99 . x
Supondo um valor inicial de R$ 1.000,00 o valor final da ação seria de R$ 990,00. 
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Descontos (ou aumentos) sucessivos
Exemplo 1:
Uma mercadoria de R$ 120,00 sofre um aumento de 10% em um mês e de mais 15% no próximo mês. 
Qual será o preço final da mercadoria?
De quanto será o aumento total sobre o preço original?
Atenção: não é 25% !!!
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Descontos (ou aumentos) sucessivos
Preço inicial = R$ 120,00
Preço após 1o Aumento = 120 . (1 + 0,10)
Preço após 1o Aumento = 132
Preço final (após 2o aumento) = 132 . (1 + 0,15)
Preço final = R$ 151,80
Valor final = Valor inicial (1 + i)
151,80 = 120 (1 + i)
1 + i =151,80 / 120
1 + i = 1,265 => i = 0,265 = 26,5% (aumento total)
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Lucro em função do preço de custo
Toda mercadoria possui :
 Preço de Custo  PC
 Preço de Venda  PV
 Lucro  L
PV = PC + L
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Lucro em função do preço de custo
Exemplos : 
1) Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 120,00 e ele é revendido por R$ 150,00, determine: 
 a) o lucro obtido na venda do produto.
 b) o lucro percentual.
2) Uma pessoa comprou um computador por R$ 4.000,00 e deseja vende-lo para obter um lucro de 20% sobre a compra, determine o preço de venda do computador? 
3) Um investidor comprou um terreno e o revendeu, por R$ 18.750,00 lucrando 25% . Determine o preço de custo?
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Lucro em função do preço de custo
(mark-up)
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Mark-up  É o índice aplicado sobre o preço de custo de um bem ou de um serviço para a formação do preço de venda.
Finalidades:
 Cobrir impostos incidentes sobre a receita de venda
 Cobrir gastos variáveis sobre as vendas
 Cobrir financiamentos das vendas
 Cobrir despesas administrativas fixas
 Cobrir custos indiretos de produção fixos
 Proporcionar lucro na venda do produto
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Lucro em função do preço de custo
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Lembrando da relação:
Preço de Venda = Preço de Custo + Lucro
Se o lucro será definido como um percentual (mark-up) do preço de custo, então :
Preço de Venda = Preço de Custo + % do Preço de Custo
Mark-up = Pr. Venda - Pr. Custo = Lucro .
		Pr. Custo		 Pr. Custo
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Lucro em função do preço de custo
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Também podemos determinar o preço de venda a partir do lucro desejado sobre esse preço de venda, e nesse caso estamos calculando a Margem.
 É muito utilizado porque identifica quanto se está ganhando em relação a qualquer faturamento.
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Lucro em função do preço de custo
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lembrando da relação :
Preço de Venda = Preço de Custo + Lucro
Se o lucro será definido como um percentual (margem) do Preço de Venda, então :
Preço de Venda = Preço de Custo + % do Preço de Venda
Margem = Pr. Venda - Pr. Custo = Lucro .
		Pr. Venda		Pr. Venda
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Mark-up e Margem - Exercícios e Exemplos Práticos
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Exemplo 1: Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 120,00 e ele é revendido por R$ 150,00, determine a “margem” e o “mark-up” obtido na venda do produto.
Lucro = PV - PC = 150 - 120  L = R$ 30,00
Margem = L / PV
Margem = 30/150
Margem = 0,20 = 20%
Mark-up = L / PC
Mark-up = 30/120
Mark-up = 0,25 = 25%
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Mark-up e Margem - Exercícios e Exemplos Práticos
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Exemplo 2: Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 25,00 e ele é revendido com um “mark-up” de 18%, determine o preço obtido na venda do produto e margem obtida.
 Mark-up = L / PC
 L = Mark-up * PC = 0,18 * 25  Lucro = R$ 4,50
 PV = PC + L
 PV = 25 + 4,5  PV = R$ 29,50
 Margem = L / PV = 4,5 / 29,50
 Margem = 0,1525 = 15,25%
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Mark-up e Margem - Exercícios e Exemplos Práticos
 ADMINISTRAÇÃO
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Exemplo 3: Se o preço de venda de um determinado produto é R$ 150,00 e ele é revendido com uma margem de 27% determine o preço de custo do produto e o “mark-up” obtido.
 Margem = L / PV
 L = Margem * PV = 0,27 * 150  Lucro = R$ 40,5
 PV = PC + L  PC = PV - L
 PC = 150 - 40,5  PC = R$ 109,50
 Mark-up = L / PC = 40,5 / 109,5 
 Mark-up = 0,3699 = 37%
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Mark-up e Margem - Exercícios e Exemplos Práticos
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Exemplo 4: Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 125,00 e ele é revendido com uma margem de 8%, determine o preço de venda do produto.
 Margem = L / PV
 Margem = (PV - PC) / PV
 0,08 = (PV - 125) / PV
 0,08 * PV = PV -125
 0,92 * PV = 125  PV = 125 / 0,92 = R$ 135,87
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Custo,com base no Luco e na Taxa
 Exemplo: Um comerciante ganha R$ 892,14 sobre o custo de certa mercadoria. A taxa de lucro é de 5%. Qual o custo?
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lucro = Custo x taxa
Custo = Lucro / taxa
Custo = R$ 17.842,80
Cáculo do
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Taxa, com base no Lucro/Abatimento e no Preço de Venda
 Exemplo: Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede o abatimento de R$ 93,91. De quanto por cento é este abatimento?
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Taxa = Lucro ou Abatimento / Preço de Venda
Taxa = 2,5522%
Cáculo da
O desconto de R$ 93,91 poderia ser estendido como lucro; neste caso o lucro seria de 2,5522%.
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Lucro, com base no Preço de Venda e na Taxa
 Exemplo: Um comerciante vendeu certas mercadorias com lucro de 8% sobre o custo do R$ 12.393,00. Qual é o seu lucro?
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Lucro = Preço de venda x Taxa / (1 + Taxa)
Lucro = R$ 918,00
Cáculo do
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Taxa, com base no Preço de Venda e no Lucro
 Exemplo: Um comerciante vendeu uma certa mercadoria por R$ 15.825,81 e ganhou R$ 1.438,71 de lucro. De quanto foi a taxa de lucro obtido nesta negociação?
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Taxa = [Preço de Venda / (Preço de Venda – Lucro)] - 1
Taxa = 10%
Cáculo da
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Prejuízo, com base no Preço de Venda e na Taxa
 Exemplo: Um produto foi vendido por R$ 4.751,29 com prejuízo de 5% sobre o custo. Qual foi o valor do prejuízo?
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Prejuízo = [Preço de Venda / (1 – Taxa)] / Preço de Venda
Prejuízo = R$ 250,07
Cáculo do
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Preço Líquido, com base no Preço Bruto e na Taxa
 Exemplo: Um produto é comercializado por R$ 5.460,32. Deste produto podemos descontar alguns impostos na ordem de 8,5%. Qual deverá ser o preço sem impostos?
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Preço Líquido = Preço Bruto x (1 – Taxa)
Preço Líquido = R$ 4.996,19
Cáculo do
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Preço Bruto, com base no Preço Líquido e na Taxa
 Exemplo: Um comerciante vendeu certa mercadoria com desconto de 8% e recebeu o líquido de R$ 2.448,13. Qual foi o preço de venda?
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Preço Bruto = Preço Líquido / (1 – Taxa)
Preço Líquido = R$ 4.996,19
Cáculo do
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Taxa, com base no Preço de Venda e no Lucro
 Exemplo: Um título foi liquidado por R$ 879,64, com abatimento de R$ 46,30. Determinar a taxa do abatimento.
 ADMINISTRAÇÃO
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Taxa = [Abatimento / (Abatimento + Preço Líquido)]
Taxa = 5%
Cáculo da
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