funções matemática básica

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O ENSINO DE FUNÇÕES E O USO DO POWER POINT 
 
André Luis dos Santos Menezes 
CEFET-RJ /alsmenezes@aol.com 
Heitor Achilles Dutra da Rosa 
CEFET-RJ /heitorachilles@aol.com 
 
Introdução 
 
Nos últimos anos muitos softwares educacionais têm sido desenvolvidos por 
instituições de pesquisa e por empresas interessadas na comercialização dos mesmos. 
Alguns destes, são de boa qualidade e auxiliam o desenvolvimento de atividades 
educativas desafiadoras, estimulando o desenvolvimento da inteligência nos alunos, 
enquanto outros, nem tanto. A escassez de tempo ocasionada muitas vezes por baixos 
salários, obriga o professor a aumentar sua carga horária de trabalho, tendo na maior 
parte das vezes que se deslocar de um emprego a outro. Assim, nem sempre é possível 
que o profissional reflita sobre a qualidade do material didático que está utilizando, seja 
este material um livro ou um software. 
De acordo com Borba & Penteado (2001) "é necessário encontrar formas de 
oferecer um suporte constante para o trabalho do professor. Como resposta a essa 
demanda, diversos grupos que trabalham na área de informática educativa vêm 
desenvolvendo ações que visam a prática do professor com uso de tecnologia na 
escola". Compartilhando deste mesmo pensamento é que resolvemos participar deste 
VIII ENEM e contribuir com o mini-curso O ensino de funções e o uso do power point. 
Acredita-se que mesmo com todas as dificuldades acima mencionadas, ainda é 
possível melhorar a nossa prática pedagógica. Diante disso, enfocaremos o ensino de 
funções utilizando o power point como ferramenta por ser esse, antes de mais nada, de 
fácil acesso tanto para o professor quanto para o aluno. 
 
Anais do VIII ENEM – Minicurso 
GT 7 – Formação de Professores que Ensinam Matemática 
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A importância do estudo de funções e sua aplicabilidade 
O estudo das funções historicamente tem início com Leonhard Euler (1707 – 
1783), nascido na Basiléia, Suíça. Sua formação foi abrangente, tendo estudado 
Matemática, Teologia, Medicina e Astronomia, entre outras disciplinas. Aos 26 anos, 
tornou-se o principal matemático da Academia de São Petersburgo, Rússia, tendo 
trabalhado também por um período na Alemanha. Com uma produção de artigos e livros 
inigualável, Euler desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura 
e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - 
desenvolvendo a idéia de função, que passou a ser fundamental em muitos campos da 
matemática. 
 Euler foi o responsável pela adoção, entre outros símbolos, da letra e, e como 
símbolo matemático para representar a base do sistema de logaritmos naturais, adotou a 
letra grega para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência e o 
seu diâmetro e o símbolo f(x) para representar uma função de x. 
 O programa de Matemática da primeira série do Ensino Médio tem como tema 
central as funções reais de uma variável real estudadas sob o ponto de vista elementar, 
isto é, sem o uso do Cálculo Infinitesimal. Como preliminar a esse estudo e preparação 
para as séries subseqüentes, são apresentadas noções sobre conjuntos, a idéia geral de 
função e as diferentes categorias de números: naturais, inteiros e, principalmente, reais. 
A fim de saber que espécie de função se deve empregar para resolver um determinado 
problema, é necessário conhecer as propriedades características de cada função, pois as 
situações da vida real, quer no cotidiano, quer na Tecnologia, quer na Ciência, não 
surgem acompanhadas de fórmulas explícitas. Esse é um ponto de fundamental 
importância, freqüentemente ignorado no ensino formal tradicional, onde os conceitos 
matemáticos muitas vezes só são introduzidos para resolver problemas que se referem a 
eles mesmos. O ensino de funções torna-se significativo quando o aluno consegue 
empregar o ensino adquirido em situações reais, isto torna a aprendizagem dinâmica e 
significativa. 
 Estudos desenvolvidos em educação matemática constatou-se que levar os 
estudantes a realizar pequenas investigações com o auxílio do computador, servirá como 
base tanto para despertar uma nova metodologia para o ensino de funções, quanto para 
despertar a curiosidade e o espírito científico em nossos alunos. 
Obs: Ver arquivo Estudando funções 1. ppt 
 
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Dificuldade encontrada e justificativa 
 
 Um dos nossos objetivos neste mini- curso é levar o docente a uma reflexão 
sobre a importância de ensinar matemática dando sempre que possível um caminho para 
aplicação , partindo do conceito científico aprendido na escola para uma aplicação no 
cotidiano do aluno. Reconhecemos que esta tarefa não é fácil, talvez justifique a causa 
de muitos de nossos educadores resumirem sua prática pedagógica na utilização de 
livros didáticos e resolução de exercícios propostos, que na grande maioria dos casos 
possuem um fim em si mesmos. 
 
Funções 
 Pretendemos desenvolver o estudo de funções a fim de oferecer alternativas que 
possibilitem a utilização de softwares, no ensino e matemática, priorizando aqueles que 
favorecem condições de interatividade criativa do aluno com vistas aos resultados 
almejados em concordância com a fundamentação teórica defendidas por Papert: "a 
formação profissional de uma pessoa deve acontecer sempre no interior da prática na 
qual ela quer se inserir". 
 O estudo de funções tem se mostrado um ponto nevrálgico no estudo da álgebra, 
seja no ensino, fundamental, médio ou até mesmo no ensino superior. Sua aplicação é 
ampla – em Física, Química, Biologia, Economia, e muitas outras áreas – e vem sendo 
pouco explorado, priorizando-se a técnica em detrimento do entendimento dos conceitos 
e suas múltiplas aplicações. 
 Pretendemos trabalhar o aspecto conceitual predominante nos livros didáticos 
que avaliamos, de forma diferenciada e introduzindo um novo padrão que possibilitará a 
sua exploração e observação com exemplos de situações que ocorrem no nosso 
cotidiano, mediante a idéia de modelagem. Assim, estaremos apresentando uma 
abordagem apropriada para que o power point seja usado como ferramenta visando a 
internalização desses conceitos, pois entendemos que (Valente, 1993) tem toda razão 
quando diz: "A simulação oferece a possibilidade do aluno desenvolver hipóteses, testá-
las analisar resultados e refinar os conceitos" 
 
Problema: Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele 
recebe de comissão 50 reais por produto vendido. 
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• Obter a equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do 
número x de produto vendido. 
Solução: y = salário fixo + comissão 
 y = 500 + 50x 
 
• Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos? 
Solução: y = 500 + 50x , onde x = 4 y = 500 + 50.4 = 500 + 200 = 700 ⇒
 
• Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais? 
Solução: y = 500 + 50x , onde y = 1000 
 1000 = 500 + 50x 50x = 1000 - 500 ⇒ 50x = 500 x =10 ⇒ ⇒
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º 
grau, sendo dada por: 
 com , e 0y ax b a b a= + ∈ ≠� 
 
Obs: Ver Arquivos: Função Constante . ppt 
 Função do 1o. grau . ppt 
Aplicações da função quadrática 
 A parábola é uma das figuras mais importantes da Matemática e sua 
aplicabilidade prática é muito grande. Ela pode ser encontrada em muitas estruturas, 
físicasou teóricas no nosso dia-a-dia. Como exemplo, podemos citar as antenas 
parabólicas, os fogões solares, os estudos de balística e aplicações na economia. 
 A parábola é a figura geométrica que apresenta como uma das suas 
características o fato de refletir todos os raios que nela incidem para um único ponto, 
chamado de foco da parábola. Esta característica lhe confere muitas utilidades práticas, 
tais como a utilização da radiação solar para fins domésticos, por exemplo, para 
cozinhar alimentos. Para isso deve-se concentrar essa radiação em pequenas regiões, 
utilizando-se lentes ou espelhos. Os fogões solares utilizam espelhos parabólicos para a 
concentração do calor. Os raios solares incidem na superfície do espelho e ao se 
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refletirem passam pelo foco do espelho. O calor concentrado neste ponto é suficiente 
para cozinhar alimentos. 
 As antenas parabólicas apresentam funcionamento semelhante: as ondas 
eletromagnéticas são captadas pelas antenas e refletidas num único ponto, donde serão 
conduzidas a um decodificador que as transformará em imagem ou som. 
 As funções do segundo grau e suas respectivas parábolas são fundamentais nos 
estudos de balística, ciência que se ocupa do estudo do movimento de projéteis. 
Conhecidas as velocidades do projétil e o ângulo de elevação, é possível determinar a 
equação da trajetória que é um arco de parábola. Para uma distância dada, sempre 
existem dois ângulos de elevação, que enviarão um projétil ao lugar desejado. Na 
prática pode ser necessária a mais alta das duas trajetórias para superar um obstáculo, ou 
o menor deles a fim de se evitar os radares inimigos. A única exceção é o ângulo de 45º, 
com o qual atingimos o maior alcance possível. 
 Imaginemos que uma determinada companhia petrolífera destine determinada 
verba para a construção de oleodutos ou a compra de caminhões. O dinheiro pode ser 
empregado apenas na compra de caminhões ou apenas na construção do oleoduto, ou 
ainda parte em cada um dos investimentos. Em economia, o gráfico originado do estudo 
destes investimentos chama-se curva de possibilidade de produção. Essa curva pode ser 
aproximada por uma função do segundo grau y = ax2 + bx + c com e , 
dando origem a um gráfico que será uma parábola. 
 Imaginemos agora que uma empresa venda seus produtos de modo que o preço 
unitário dependa da quantidade de unidades adquiridas pelo comprador. Por exemplo, 
se, sob determinadas restrições, para cada x unidades vendidas o preço unitário é 40 - 
(x/5) reais, então a receita é dada por uma função do segundo grau, chamada função 
receita. Uma análise da função receita nos permite tomar decisões acertadas no sentido 
de otimizar a lucratividade da empresa. 
 Um dos nossos objetivos é discutir de um modo geral o ensino de funções e sua 
aplicabilidade na análise de questões do nosso cotidiano. Dando ênfase a 
interdisciplinaridade e a contextualização, sempre tentando tornar a aprendizagem 
significativa, pois segundo Ausubel aprendizagem significativa é um processo pelo qual 
uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de 
conhecimento do indivíduo caso contrário ocorre a aprendizagem mecânica em que a 
nova informação é armazenada de maneira arbitrária (Moreira e Masini, 1982:7-9) e 
não poderíamos deixar de citar a consideração de Alves (2002), baseando-se no 
, ,a b c ∈ � 0a ≠
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pensamento de Hume, isso que estou ensinando é uma ferramenta? Tem uso prático? 
Aumenta o poder do aluno sobre o mundo que o cerca? (...) Educa a sua sensibilidade? 
Aumenta suas possibilidades de alegria e de espanto? Caso contrário nada tem a ver 
com sabedoria da vida. Não passa de tolice e perda de tempo... (p.A3). 
Obs: Ver arquivo Função do 2o. grau . ppt 
Anexo 
Conceito intuitivo de função 
ATIVIDADE 1 
 
Agora sem o auxílio do computador, em vez de considerar um quadrado de lados 
medindo 6 cm, consideremos um quadrado de lados medindo 5 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
5 
 5 
 
A área y (em cm2) da parte colorida é função de x (em cm). 
 
a) Qual é a lei de associação da função ? 
 
 
 
 
 
b) Preencha a tabela a seguir calculando os respectivos valores de y: 
 
 
x y
1
2
3
4 
 
 
c) Qual o domínio dessa função ? 
 
 
 
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d) Qual é o contradomínio dessa função ? 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 2 
 
Vamos considerar em vez de da área da parte cinza o seu perímetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
5 
 5 
 
A perímetro y (em cm) da parte cinza é função de x (em cm). 
 
 
a) Preencha a tabela a seguir, sabendo que os valores de y correspondem aos 
respectivos perímetros da parte cinza enquanto x vai variando: 
 
 
x y
1
2
3
4 
 
 
b) Qual é a lei de associação da função ? 
 
 
 
 
 
c) Qual o domínio dessa função ? 
 
 
 
 
 
 
 
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d) Qual é o contradomínio dessa função ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 3 
Considere o quadrado de lados 6 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
6 
 6 
 
A perímetro y (em cm) da parte cinza é função de x (em cm). 
 
 
a) Qual é a lei de associação da função ? 
 
 
 
 
 
b) Na tabela, coloque 7 valores para x e apresente os seus respectivos valores de y: 
 
 
x y
 
 
c) Qual o domínio dessa função ? 
 
 
 
 
d) Qual é o contradomínio dessa função ? 
 
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ATIVIDADE 4 
 
Um retângulo tem 7 cm de comprimento e 4 cm de largura. Ele está dividido em 5 
partes, desta maneira: nos seus “cantos”, serão desenhados quadrados, os quatro com 
lados de x cm. x 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
5 
 
 7 
 
A área y (em cm2) da parte cinza é função de x (em cm). 
 
a) Qual é o domínio dessa função ? 
 
 
 
 
 
b) Qual é o contradomínio dessa função ? 
 
 
 
 
 
c) Qual é a lei de associação da função ? 
 
 
 
 
d) Numa tabela, coloque para x os valores 0,5 ; 1 ; 1,5 e 2 e apresente os 
correspondentes valores de y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ATIVIDADE 5 
 
Um quadrado com lados de 10 cm, será dividido em três partes, como mostra a figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10
10 
x x 
Cada retângulo branco tem um lado de 10 cm e outro de x cm. Considerando todos os 
modos de se fazer a divisão, o perímetro y do retângulo cinza (em cm) é função de x. 
 
a) Qual é o domínio da função ? 
 
 
 
 
b) Qual é o contradomínio ? 
 
 
 
 
c) Qual é a lei de associação? 
 
 
 
d) Quando x = 3, qual é valor de y ? 
 
 
 
 
e) Para que valor de x se tem y = 30 ? 
 
 
 
 
 
 
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ATIVIDADE 6 
 
Na figura temos um quadrado com lados de 10 cm. A extremidade X do segmento CX 
se movimenta sobre o lado AB, indo de A até B. Assim, a área y (em cm 2) da parte 
cinza é função da distância x (em cm).B
D C
A
10 X
x
 10 
 
a) Qual é o domínio da função ? 
 
 
 
 
 
b) Qual é o contradomínio da função ? 
 
 
 
 
 
c) Qual é a lei de associação ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Função Constantes, função do 1o. grau e Função do 2o. grau 
 
 
ATIVIDADE 1 
 
Agora sem o auxílio do computador, em vez de considere um quadrado de lados 
medindo 14 cm dividido em cinco partes, desta maneira: nos seus cantos serão 
desenhados quadrados, os quatro com lados de x cm. x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
x
14 
 
A perímetro y (em cm) da parte cinza é função de x (em cm). 
 
a) Preencha a tabela a seguir, sabendo que os valores de y correspondem aos 
respectivos perímetros da parte cinza enquanto x vai variando: 
 
 
x y
 
 
b) Ao observar a tabela que você preencheu acima, a que tipo de conclusão ela nos 
leva ? 
 
 
 
 
 
c) Qual é a lei de associação da função ? 
 
 
 
 
d) Qual o domínio dessa função ? 
 
 
 
 
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e) Qual o contradomínio dessa função ? 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 2 
 
Agora sem o auxílio do computador, em vez de considere um quadrado de lados 
medindo 11 cm dividido em cinco partes, desta maneira: nos seus cantos serão 
desenhados quadrados, os quatro com lados de x cm. 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
x
11 
 
A perímetro y (em cm) da parte cinza é função de x (em cm). 
 
a) Preencha a tabela a seguir, sabendo que os valores de y correspondem aos 
respectivos perímetros da parte cinza enquanto x vai variando: 
 
 
x y
 
 
b) Ao observar a tabela que você preencheu acima, a que tipo de conclusão ela nos 
leva ? 
 
 
 
 
 
c) Qual é a lei de associação da função ? 
 
 
 
 
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d) Qual o domínio dessa função ? 
 
 
 
 
e) Qual o contradomínio dessa função ? 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 2 
 
Na figura a seguir temos um retângulo dentro de um quadrado. As medidas estão em 
cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
5 
 5 
 
a) O perímetro (em cm) do retângulo assinalado é função de x. Qual é a lei de 
associação dessa função ? 
 
 
 
 
 
b) A área (em cm2) do retângulo assinalado é função de x. Qual é a lei de 
associação dessa função ? 
 
 
 
c) Classifique as funções definidas nos itens anteriores, justificando sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
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ATIVIDADE 3 
 
Na figura abaixo, temos pintada de cinza a letra “U”. As medidas estão em cm. 
 x x 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
4 
 
a) O perímetro do “U” (em cm) é uma função de x, com lei de associação do tipo 
y = ax + b. Apresente os valores de a e b. 
 
 
 
 
b) A área do “U” (em cm2) é uma função de x, com lei de associação do tipo 
y = ax2 + bx + c. Apresente os valores de a, b e c. 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 4 
 
Nesta figura abaixo, temos um quadrado com lados 3 cm, dividido em três partes. 
As medidas estão em centímetros. 
 
 
x 
x 
 
 
 
 
 
 
Considerando todas as formas de se fazer isso, a área cinza (em cm2) é função de x. 
Qual é o domínio dessa função ? 
 
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Palavras-chave: Ensino de Funções, Contextualização e Power Point 
 
Referências Bibliográficas 
 
ALVES, R. Sobre moluscos, conchas e beleza. In:_ Folha de São Paulo. Opinião, n. 31 
mar /02, p.A3 
 
BECKER, F. Epistemologia do professor. Petrópolis: Vozes, 1994. 
 
BORBA, M.C., PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo 
Horizonte: Autêntica Editora, 2001 (Coleção Tendências em Educação Matemática). 
 
D'AMBRÓSIO, U. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas, 1997. 
 
Lima, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2003 (Coleção do professor de 
matemática). 
 
PAIVA, Manoel. Matemática. [s.l.]: Moderna, vol. único, 1999. 
 
VALENTE, J. A. Diferentes uso do computador na educação. In:_ Em Aberto, Brasília, 
ano 12, n. 57, p. 3-15, 1993. 
 
 
VYGOSTYKY, L.S. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins fontes, 1989.